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94. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \) com \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) 
= 0 \). 
 **Resposta:** \( y = e^x \). 
 **Explicação:** Encontre a solução geral da equação característica e aplique as condições 
iniciais. 
 
95. **Problema:** Encontre a integral \( \int_0^1 \frac{dx}{x^2 + 1} \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função arc-tangente. 
 
96. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \) com \( y(0) = 0 
\) e \( y(\pi/2) = 1 \). 
 **Resposta:** \( y = \sin(x) \). 
 **Explicação:** Use a solução geral da equação diferencial e aplique as condições de 
contorno. 
 
97. **Problema:** Determine a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica para simplificar a integral. 
 
98. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \). 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é uma soma infinita das potências pares 
de \( x \) divididas pelos fatoriais. 
 
99. **Problema:** Resolva a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Não possui uma primitiva expressável em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** A integral da função exponencial quadrática não pode ser expressa por 
funções elementares simples. 
 
100. **Problema:** Encontre a transformada de Fourier de \( e^{-a t} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{a + i \omega} \). 
 **Explicação:** Use a fórmula para a transformada de Fourier de funções exponenciais. 
Claro, aqui estão 100 problemas matemáticos difíceis envolvendo logaritmos, cada um com 
resposta e explicação. Para manter a clareza, as respostas e explicações são fornecidas 
diretamente após cada problema. 
 
1. **Problema:** Resolva a equação \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \). 
 **Resposta:** \( x = 6 \). 
 **Explicação:** Usando a propriedade de logaritmos, \( \log_2(x(x-2)) = 3 \), o que resulta 
em \( x(x-2) = 2^3 = 8 \). Resolvendo \( x^2 - 2x - 8 = 0 \), obtemos \( x = 6 \) (válido) e \( x = -2 
\) (não válido). 
 
2. **Problema:** Se \( \log_a(b) = 2 \) e \( \log_a(c) = 3 \), qual é \( \log_a(bc) \)? 
 **Resposta:** \( 5 \). 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c) \), obtemos \( 2 + 
3 = 5 \). 
 
3. **Problema:** Resolva \( \log_{10}(2x) - \log_{10}(x-1) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \). 
 **Explicação:** Aplicando a propriedade \( \log_{10}\left(\frac{2x}{x-1}\right) = 1 \), temos \( 
\frac{2x}{x-1} = 10 \). Resolva \( 2x = 10(x-1) \) para obter \( x = 2 \). 
 
4. **Problema:** Qual é \( \log_3(81) \)? 
 **Resposta:** \( 4 \). 
 **Explicação:** \( 81 = 3^4 \), então \( \log_3(81) = 4 \). 
 
5. **Problema:** Resolva \( \log_{2}(x-1) = 5 - \log_{2}x \). 
 **Resposta:** \( x = 32 \). 
 **Explicação:** Reescreva como \( \log_{2}(x-1) + \log_{2}x = 5 \), o que resulta em \( 
\log_{2}(x(x-1)) = 5 \). Assim, \( x(x-1) = 2^5 = 32 \). Resolvendo \( x^2 - x - 32 = 0 \), obtemos \( 
x = 32 \) (válido) e \( x = -1 \) (não válido). 
 
6. **Problema:** Determine \( \log_5 \left(\frac{125}{25}\right) \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** \( \frac{125}{25} = 5 \), e \( \log_5(5) = 1 \).