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42. Determine o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{2^n} \). 
 - **Resposta:** \( -2 \leq x \leq 2 \) 
 - **Explicação:** Utilize o teste da razão para encontrar os limites de convergência. 
 
43. Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) de \( x = 0 \) a \( x 
= \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 - **Explicação:** Integre a diferença entre as funções entre os limites dados. 
 
44. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Diverge. 
 - **Explicação:** Use o teste da integral ou o critério de Leibniz para verificar a 
convergência. 
 
45. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 1) \) que passa pelo ponto 
\( (1, 0) \). 
 - **Resposta:** \( y = x - 1 \) 
 - **Explicação:** Encontre a derivada da função e use o ponto dado para encontrar a 
inclinação da reta. 
 
46. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 9}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{18x^2} + C \) 
 - **Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica adequada para resolver a 
integral. 
 
47. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = e^x 
\), \( y = 1 \), \( x = 0 \) e \( x = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 - **Resposta:** \( \pi (e - 1) \) 
 - ** 
 
Explicação:** Utilize o método dos discos cilíndricos para encontrar o volume. 
 
48. Encontre a série de Taylor para \( e^x \) centrada em \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) 
 - **Explicação:** A série de Taylor para a função exponencial é bem conhecida. 
 
49. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right) + C \) 
 - **Explicação:** Complete o quadrado no denominador e utilize a fórmula da integral 
de arco tangente. 
 
50. Determine a soma dos termos da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 - **Resposta:** \( 1 \) 
 - **Explicação:** Decomponha a fração em termos parciais e simplifique. 
 
51. Encontre a área da região limitada por \( y = x^2 \), \( y = 4x \) e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Determine os pontos de interseção das curvas e integre entre esses 
limites. 
 
52. Determine o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{2^n} \). 
 - **Resposta:** \( -2 \leq x \leq 2 \) 
 - **Explicação:** Utilize o teste da razão para encontrar os limites de convergência. 
 
53. Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) de \( x = 0 \) a \( x 
= \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 - **Explicação:** Integre a diferença entre as funções entre os limites dados. 
 
54. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Diverge. 
 - **Explicação:** Use o teste da integral ou o critério de Leibniz para verificar a 
convergência.