teste e prova aa

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**Problema:** Encontre as raízes da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\). 
**Resposta:** As raízes são \(x = 1\), \(x = -1\), e \(x = 2\). 
**Explicação:** Para encontrar as raízes, podemos fatorar o polinômio \(x^3 - 3x + 2\). Usando 
o método da substituição, verificamos que \(x = 1\) é uma raiz. Dividindo \(x^3 - 3x + 2\) por \(x 
- 1\), obtemos \(x^2 + x - 2\). Fatorando \(x^2 + x - 2\) obtemos \((x - 1)(x + 2)\). Portanto, as 
raízes são \(x = 1\), \(x = -1\), e \(x = 2\). 
 
### Problema 3 
**Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y' + 4y = 0\). 
**Resposta:** A solução geral é \(y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{2t}\). 
**Explicação:** A equação diferencial é uma equação diferencial linear homogênea com 
coeficientes constantes. A equação característica associada é \(r^2 - 4r + 4 = 0\), que tem uma 
raiz dupla \(r = 2\). Portanto, a solução geral é \(y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{2t}\). 
 
### Problema 4 
**Problema:** Calcule a série de Taylor de \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\). 
**Resposta:** A série de Taylor é \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + 
\cdots\). 
**Explicação:** A série de Taylor de \(\sin(x)\) é obtida pela soma das derivadas de \(\sin(x)\) 
avaliadas em \(x = 0\) divididas pelos fatores \(n!\), com sinais alternando. 
 
### Problema 5 
**Problema:** Resolva o sistema de equações lineares: 
\[ 
\begin{cases} 
x + 2y - z = 3 \\ 
2x - y + 3z = 4 \\ 
3x + y + 2z = 5 
\end{cases} 
\] 
**Resposta:** A solução é \(x = 1\), \(y = 1\), \(z = 2\). 
**Explicação:** Usamos o método da eliminação de Gauss para resolver o sistema. Após a 
eliminação, obtemos a solução única para as variáveis \(x\), \(y\), e \(z\). 
 
### Problema 6 
**Problema:** Calcule o valor da soma dos primeiros 10 termos da progressão aritmética (PA) 
com o primeiro termo \(a = 3\) e razão \(d = 5\). 
**Resposta:** A soma é 845. 
**Explicação:** A fórmula da soma dos primeiros \(n\) termos de uma PA é \(S_n = \frac{n}{2} 
(2a + (n - 1)d)\). Substituindo \(n = 10\), \(a = 3\), e \(d = 5\), obtemos \(S_{10} = \frac{10}{2} (2 
\cdot 3 + (10 - 1) \cdot 5) = 845\). 
 
### Problema 7 
**Problema:** Determine o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
**Resposta:** O valor do limite é 1. 
**Explicação:** Esse é um limite fundamental da análise matemática. Usando a definição de 
derivada de \(\sin(x)\) em \(x = 0\) ou pela série de Taylor, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(x)}{x} = 1\). 
 
### Problema 8 
**Problema:** Resolva a equação \(e^x = 5x\). 
**Resposta:** A solução é \(x \approx 0.641\). 
**Explicação:** Esta equação não pode ser resolvida analiticamente e geralmente é resolvida 
numericamente. Aproximadamente, a solução é \(x \approx 0.641\). 
 
### Problema 9 
**Problema:** Encontre a matriz inversa de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). 
**Resposta:** A matriz inversa é \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\). 
**Explicação:** Usamos a fórmula para a inversa de uma matriz \(2 \times 2\), que é 
\(\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\), onde \(a = 1\), \(b = 2\), \(c 
= 3\), e \(d = 4\). Calculando, obtemos a inversa. 
 
### Problema 10 
**Problema:** Resolva a equação \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 
**Resposta:** A raiz é \(x = 1\), com multiplicidade 2. 
**Explicação:** A equação é um quadrado perfeito e pode ser fatorada como \((x - 1)^2 = 0\). 
Portanto, a raiz é \(x = 1\), e tem multiplicidade 2.