aulas do desafio M

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**Explicação**: A equação diferencial é de segunda ordem com coeficientes constantes. 
Usando a fórmula característica, encontramos as raízes e, portanto, a solução geral. 
 
3. **Problema**: Encontre os valores próprios da matriz \(\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: \( \lambda_1 = 5 \) e \( \lambda_2 = 2 \). 
 **Explicação**: Resolva o polinômio característico \(\det(A - \lambda I) = 0\), onde \(A\) é a 
matriz dada. 
 
4. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{2}{3}\). 
 **Explicação**: Use a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) - \sin^3(x)\) e a substituição \(u = 
\cos(x)\). 
 
5. **Problema**: Resolva a equação exponencial \(3^{2x} = 81\). 
 **Resposta**: \(x = 2\). 
 **Explicação**: Reescreva 81 como \(3^4\), então iguale os expoentes. 
 
6. **Problema**: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = x + 2\). 
 **Resposta**: \(\frac{7}{6}\). 
 **Explicação**: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral da diferença 
entre as funções. 
 
7. **Problema**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + x - 1}\). 
 **Resposta**: \(\frac{5}{2}\). 
 **Explicação**: Divida os termos de maior grau no numerador e no denominador. 
 
8. **Problema**: Calcule a soma dos ângulos internos de um hexágono. 
 **Resposta**: 720 graus. 
 **Explicação**: Use a fórmula \(180(n-2)\) onde \(n\) é o número de lados. 
 
9. **Problema**: Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x - 1}\). 
 **Resposta**: \(f'(x) = \frac{3x^2 - 2(x-1) - (x^3 - 2x)}{(x - 1)^2}\). 
 **Explicação**: Use a regra do quociente. 
 
10. **Problema**: Resolva a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
11. **Problema**: Encontre a soma dos primeiros 10 termos da progressão aritmética com 
primeiro termo 3 e razão 5. 
 **Resposta**: 285. 
 **Explicação**: Use a fórmula da soma dos termos de uma PA: \(S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-
1)d)\). 
 
12. **Problema**: Determine a derivada de \(f(x) = \sin(x) \cdot e^x\). 
 **Resposta**: \(f'(x) = \sin(x) \cdot e^x + \cos(x) \cdot e^x\). 
 **Explicação**: Use a regra do produto. 
 
13. **Problema**: Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x + 3y = 7 \\ 
 4x - y = 1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta**: \(x = 2\), \(y = 1\). 
 **Explicação**: Use o método da substituição ou eliminação para encontrar os valores de 
\(x\) e \(y\). 
 
14. **Problema**: Encontre a inversa da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\). 
 **Explicação**: Use a fórmula da inversa de uma matriz \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} 
\text{adj}(A)\).