aprendendo e fazendo K

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68. **Problema:** Resolva a equação \( \sin x = \cos x \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi \) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin x = \cos x \) para encontrar a solução. 
 
69. **Problema:** Determine o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Esta é a integral conhecida da função arco tangente. 
 
70. **Problema:** Encontre a solução da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 4 = 0 \), com raízes \(\pm 2\). 
 
71. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{2 - e}{e} \) 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
72. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 4, -2 \) 
 **Explicação:** A fatoração da equação é \((x-4)(x+2) = 0\). 
 
73. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\). 
 
74. **Problema:** Determine a solução geral da equação \( y'' - y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 1 = 0 \), com raízes \(\pm 1\). 
 
75. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 16 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 2, \pm 2i \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\). 
 
76. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar \( \cos(x^2) \). 
 
77. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 **Explicação:** Esta é a integral conhecida como a integral de Gauss. 
 
78. **Problema:** Resolva o sistema de equações diferenciais: 
\[ 
\begin{cases} 
x'' - 2x' + x = 0 \\ 
y'' - 2y' + y = 0 
\end{cases} 
\] 
 **Resposta:** \( x(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t \), \( y(t) = C_3 e^t + C_4 t e^t \) 
 **Explicação:** Ambos têm a mesma equação característica \( (r - 1)^2 = 0 \). 
 
79. **Problema:** Determine a fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos de uma série 
aritmética. 
 **Resposta:** \( S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \) 
 **Explicação:** Esta fórmula é derivada da soma de uma série aritmética. 
 
80. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^3 x \cos x \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)\) e integre. 
 
81. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2, 3 \) 
 **Explicação:** A fatoração da equação é \((x-2)(x-3) = 0\).