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**Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) (e outros valores conforme a periodicidade) **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para simplificar a equação. 35. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) **Explicação:** A integral é conhecida como a integral de Gauss e é calculada usando a função gama. 36. **Problema:** Determine a solução da equação \( e^x + e^{-x} = 2 \). **Resposta:** \(x = 0\) **Explicação:** A função \( e^x + e^{-x} \) é minimizada em \( x = 0 \) e é igual a 2. 37. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\). **Resposta:** \(-1\) **Explicação:** Use a integração por partes onde \( u = \ln x \) e \( dv = dx \). 38. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \). **Resposta:** \(x = -1\) (tripla raiz) **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 1)^3\). 39. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y = 0 \). **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 1 = 0 \), que dá raízes \( \pm 1 \). 40. **Problema:** Calcule a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \). **Resposta:** \(\frac{\pi^4}{90}\) **Explicação:** Esta soma é conhecida como a série de Basileia para \( s = 4 \). 41. **Problema:** Resolva o sistema de equações diferenciais: \[ \begin{cases} x'' - 2x' + x = 0 \\ y'' - 2y' + y = 0 \end{cases} \] **Resposta:** \( x(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t \), \( y(t) = C_3 e^t + C_4 t e^t \) **Explicação:** Ambos têm a mesma equação característica \( (r - 1)^2 = 0 \). 42. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx\). **Resposta:** \( \frac{4}{3} \) **Explicação:** Use a identidade \(\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x)\) e integre. 43. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) **Explicação:** Esta é a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\), conhecida pela fórmula \(\frac{\pi}{2}\). 44. **Problema:** Encontre a fórmula geral da soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros positivos. **Resposta:** \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) **Explicação:** Esta fórmula é uma identidade conhecida para a soma de cubos. 45. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). **Resposta:** \( x = 3, -1 \) **Explicação:** A fatoração da equação é \((x-3)(x+1) = 0\). 46. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\). **Resposta:** \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\) **Explicação:** Resolva usando a substituição e a fórmula conhecida para integrais racionais. 47. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)