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Diana Xavier

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Ferramentas de estudo

Questões resolvidas

Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \).

Determine a solução da equação \( e^x + e^{-x} = 2 \).

Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\).

Resolva a equação \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\).

Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \).

Calcule a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \).

Resolva o sistema de equações diferenciais:
\[ \begin{cases} x'' - 2x' + x = 0 \\ y'' - 2y' + y = 0 \end{cases} \]

Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx\).

Calcule a integral \( \int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).

Encontre a fórmula geral da soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros positivos.

Resolva a equação \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).

Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \).

Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

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Questões resolvidas

Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \).

Determine a solução da equação \( e^x + e^{-x} = 2 \).

Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\).

Resolva a equação \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\).

Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \).

Calcule a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \).

Resolva o sistema de equações diferenciais:
\[ \begin{cases} x'' - 2x' + x = 0 \\ y'' - 2y' + y = 0 \end{cases} \]

Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx\).

Calcule a integral \( \int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).

Encontre a fórmula geral da soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros positivos.

Resolva a equação \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).

Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \).

Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

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**Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) (e outros valores conforme a 
periodicidade) 
 **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para simplificar a equação. 
 
35. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 **Explicação:** A integral é conhecida como a integral de Gauss e é calculada usando a 
função gama. 
 
36. **Problema:** Determine a solução da equação \( e^x + e^{-x} = 2 \). 
 **Resposta:** \(x = 0\) 
 **Explicação:** A função \( e^x + e^{-x} \) é minimizada em \( x = 0 \) e é igual a 2. 
 
37. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-1\) 
 **Explicação:** Use a integração por partes onde \( u = \ln x \) e \( dv = dx \). 
 
38. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \). 
 **Resposta:** \(x = -1\) (tripla raiz) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 1)^3\). 
 
39. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 1 = 0 \), que dá raízes \( \pm 1 \). 
 
40. **Problema:** Calcule a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^4}{90}\) 
 **Explicação:** Esta soma é conhecida como a série de Basileia para \( s = 4 \). 
 
41. **Problema:** Resolva o sistema de equações diferenciais: 
\[ 
\begin{cases} 
x'' - 2x' + x = 0 \\ 
y'' - 2y' + y = 0 
\end{cases} 
\] 
 **Resposta:** \( x(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t \), \( y(t) = C_3 e^t + C_4 t e^t \) 
 **Explicação:** Ambos têm a mesma equação característica \( (r - 1)^2 = 0 \). 
 
42. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{4}{3} \) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x)\) e integre. 
 
43. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Esta é a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\), conhecida pela fórmula 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
44. **Problema:** Encontre a fórmula geral da soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros 
positivos. 
 **Resposta:** \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) 
 **Explicação:** Esta fórmula é uma identidade conhecida para a soma de cubos. 
 
45. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 3, -1 \) 
 **Explicação:** A fatoração da equação é \((x-3)(x+1) = 0\). 
 
46. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\) 
 **Explicação:** Resolva usando a substituição e a fórmula conhecida para integrais 
racionais. 
 
47. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)

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