Prévia do material em texto

59. **Problema:** Determine o valor da série \(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\). 
 **Resposta:** \(e^x\). 
 **Explicação:** Esta é a série de Taylor para a função exponencial \(e^x\). 
 
60. **Problema:** Calcule a área sob a curva \(y = x^2\) no intervalo \([1, 3]\). 
 **Resposta:** \(\frac{26}{3}\). 
 **Explicação:** A integral de \(x^2\) de 1 a 3 é \(\frac{x^3}{3}\) avaliada de 1 a 3, resultando 
em \(\frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\). 
 
61. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_0^1 x e^{-x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{e} - \frac{2}{e}\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos o resultado final \(\frac{1}{e} - 
\frac{2}{e}\). 
 
62. **Problema:** Resolva \( \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} x \right) \). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{1 + x^2}\). 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan^{-1} x\) é \(\frac{1}{1 + x^2}\). 
 
63. **Problema:** Encontre a inversa da função \(f(x) = 2x + 3\). 
 **Resposta:** \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\). 
 **Explicação:** Para encontrar a inversa, trocamos \(x\) e \(y\), e resolvemos para \(y\). 
 
64. **Problema:** Calcule a soma dos primeiros 8 termos da sequência aritmética 3, 6, 9, ... 
 **Resposta:** 204. 
 **Explicação:** A fórmula da soma é \(S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)\), então \(S_8 = 
\frac{8}{2} (2 \cdot 3 + 7 \cdot 3) = 204\). 
 
65. **Problema:** Encontre a área de um círculo com raio 5. 
 **Resposta:** \(25\pi\). 
 **Explicação:** A fórmula da área é \(A = \pi r^2\), então \(A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\). 
 
66. **Problema:** Resolva \(\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x + 1} \right)\). 
 **Resposta:** \(\frac{2x - 1}{(x + 1)^2}\). 
 **Explicação:** Usando a regra do quociente, obtemos \(\frac{(x + 1) \cdot 2x - x^2 \cdot 
1}{(x + 1)^2}\). 
 
67. **Problema:** Calcule a soma dos cubos dos primeiros 3 inteiros positivos. 
 **Resposta:** 36. 
 **Explicação:** A soma é \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36\). 
 
68. **Problema:** Encontre o valor da integral \(\int_{0}^2 (2x + 3) \, dx\). 
 **Resposta:** 14. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ x^2 + 3x \right]_0^2 = 4 + 6 = 14\). 
 
69. **Problema:** Resolva \(\log_5 125\). 
 **Resposta:** 3. 
 **Explicação:** \(125 = 5^3\), então \(\log_5 125 = 3\). 
 
70. **Problema:** Determine a área de um triângulo com base 8 e altura 5. 
 **Resposta:** 20. 
 **Explicação:** A fórmula da área é \(A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times 
\text{altura}\), então \(A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20\). 
 
71. **Problema:** Calcule a inversa da matriz \(\begin{pmatrix}2 & 3\\ 4 & 5\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(\begin{pmatrix}-5 & 3\\ 4 & -2\end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** O determinante é \(-2\) e a matriz adjunta é \(\begin{pmatrix}-5 & 3\\ 4 & -
2\end{pmatrix}\). 
 
72. **Problema:** Resolva a equação \(2x - 3 = 5\). 
 **Resposta:** \(x = 4\). 
 **Explicação:** Adicionando 3 a ambos os lados e dividindo por 2, obtemos \(x = 4\). 
 
73. **Problema:** Encontre o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \cos x \cdot e^x \right)\).