equacao para todos BB

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33. **Integral:** \(\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C\) 
 - **Explicação:** Utiliza a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
34. **Integral:** \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + a^2}}\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{1}{a \sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{1}{a} \ln\left|x + \sqrt{x^2 + 
a^2}\right| + C\) 
 - **Explicação:** Usa a substituição \(x = a \sinh(t)\). 
 
35. **Integral:** \(\int \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^{3/2}}\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\) 
 - **Explicação:** Utiliza a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
36. **Integral:** \(\int \ln(x) \, dx\) 
 - **Resposta:** \(x \ln(x) - x + C\) 
 - **Explicação:** Usando a integração por partes com \(u = \ln(x)\) e \(dv = dx\). 
 
37. **Integral:** \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2 x^2} + C\) 
 - **Explicação:** Usa-se a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
38. **Integral:** \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\) 
 - **Resposta:** \(\frac{e^{-x} ( \sin(x) + \cos(x))}{2} + C\) 
 - **Explicação:** Utiliza a integração por partes repetida. 
 
39. **Integral:** \(\int \frac{e^x}{x^2} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{e^x}{x} + \int \frac{e^x}{x} \, dx\) (não possui solução elementar) 
 - **Explicação:** A integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\) não tem antiderivada elementar. 
 
40. **Integral:** \(\int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{\sin(x)}{x} - \int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\) 
 - **Explicação:** Usa a integração por partes. 
 
41. **Integral:** \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(\frac{(\ln(x))^2}{2} + C\) 
 - **Explicação:** Usa-se a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
42. **Integral:** \(\int \frac{dx}{(x^2 + 2x + 5)^{3/2}}\) 
 - **Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{3} (x^2 + 2x + 5)^{1/2}} + C\) 
 - **Explicação:** Completa-se o quadrado no denominador e usa-se uma fórmula padrão. 
 
43. **Integral:** \(\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x} + 1}} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln\left| e^{2x} + \sqrt{e^{4x} + 1}\right| + C\) 
 - **Explicação:** Usa-se a substituição \(u = e^{2x}\). 
 
44. **Integral:** \(\int \frac{dx}{x \sqrt{\ln(x)}}\) 
 - **Resposta:** \(2 \sqrt{\ln(x)} + C\) 
 - **Explicação:** Utiliza a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
45. **Integral:** \(\int \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)^2} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(-\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} + 2 \ln|x + 1| + C\) 
 - **Explicação:** Usa-se a substituição \(u = x + 1\) e simplifica a integral. 
 
46. **Integral:** \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(\frac{1}{4(x^2 + 2)} + C\) 
 - **Explicação:** Usa a substituição \(u = x^2 + 2\). 
 
47. **Integral:** \(\int e^{\sqrt{x}} \, dx\) 
 - **Resposta:** \(2 e^{\sqrt{x}} + C\) 
 - **Explicação:** Usa a substituição \(u = \sqrt{x}\). 
 
48. **Integral:** \(\int \frac{dx}{x^2 \ln(x)}\)