aulas E

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45. **Problema:** Determine \(\int_0^\pi x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\pi\). 
 **Explicação:** Utilize integração por partes para resolver. 
 
46. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 \frac{\ln(x)}{1 + x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi^2}{12}\). 
 **Explicação:** Use expansão em série para simplificar. 
 
47. **Problema:** Calcule \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Utilize a identidade trigonométrica \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). 
 
48. **Problema:** Determine \(\int_0^1 \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\text{Ei}(1) - \text{Ei}(0)\). 
 **Explicação:** Use a função exponencial integral para resolver. 
 
49. **Problema:** Resolva \(\int_0^\pi x \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{4}\). 
 **Explicação:** Utilize a identidade trigonométrica e integração por partes. 
 
50. **Problema:** Calcule \(\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi \ln(2)}{2}\). 
 **Explicação:** Resolva usando técnicas de substituição. 
 
51. **Problema:** Determine \(\int_0^1 x \ln(x) e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 2\). 
 **Explicação:** Use integração por partes para resolver. 
 
52. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\pi\). 
 **Explicação:** Utilize a substituição \(x = \sin^2(\theta)\) para simplificar. 
 
53. **Problema:** Calcule \(\int_0^\pi x \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4\pi}{3}\). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica e integração por partes. 
 
54. **Problema:** Determine \(\int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{8 e}\). 
 **Explicação:** Utilize substituições e integrais conhecidas. 
 
55. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Use substituição trigonométrica para simplificar. 
 
56. **Problema:** Calcule \(\int_0^\pi \cos^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação:** Utilize a identidade trigonométrica e integração por partes. 
 
57. **Problema:** Determine \(\int_0^1 \frac{x \ln(x)}{1 + x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi^2}{12}\). 
 **Explicação:** Utilize expansão em série para simplificar. 
 
58. **Problema:** Resolva \(\int_0^\pi x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\pi\). 
 **Explicação:** Utilize integração por 
 
 partes. 
 
59. **Problema:** Calcule \(\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi \ln(2)}{2}\). 
 **Explicação:** Use substituições apropriadas.