Um método de resolução direto em Análise Numérica é um método que após finitas operações aritméticas fornece uma solução exata do problema. Um desses métodos diretos é a Regra de Cramer usada para resolver sistema lineares, esse método é muito eficiente para resolver sistemas lineares possíveis e determinados, ou seja que tenham apenas uma solução já que usa determinante para encontrar a solução.
Usando o Método de Cramer resolva o sistema linear abaixo apresentando todos os cálculos para justificar sua resposta.

X+y+z=6
X+2y-z=5
2x+2y-3z=2

Question

Um método de resolução direto em Análise Numérica é um método que após finitas operações aritméticas fornece uma solução exata do problema. Um dess...

Ed · Answer

Para resolver o sistema linear usando a Regra de Cramer, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Identificar a matriz dos coeficientes (A)** e o vetor dos termos independentes (B):

O sistema é:
   $$
   \begin{align*}
   x + y + z &= 6 \quad (1) \
   x + 2y - z &= 5 \quad (2) \
   2x + 2y - 3z &= 2 \quad (3)
   \end{align*}
   $$

A matriz dos coeficientes $A$ é:
   $$
   A = \begin{bmatrix}
   1 & 1 & 1 \
   1 & 2 & -1 \
   2 & 2 & -3
   \end{bmatrix}
   $$

O vetor dos termos independentes $B$ é:
   $$
   B = \begin{bmatrix}
   6 \
   5 \
   2
   \end{bmatrix}
   $$

2. **Calcular o determinante de A ($D$)**:

$$
   D = \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 \
   1 & 2 & -1 \
   2 & 2 & -3
   \end{vmatrix}
   $$

Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, temos:
   $$
   D = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1)
   $$
   $$
   D = 1 \cdot (-6 + 2) - 1 \cdot (-3 + 2) + 1 \cdot (2 - 2)
   $$
   $$
   D = 1 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1) + 0 = -4 + 1 = -3
   $$

3. **Calcular os determinantes $D_x$, $D_y$ e $D_z$**:

- Para $D_x$, substituímos a primeira coluna de $A$ por $B$:
   $$
   D_x = \begin{vmatrix}
   6 & 1 & 1 \
   5 & 2 & -1 \
   2 & 2 & -3
   \end{vmatrix}
   $$
   $$
   D_x = 6 \cdot (2 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) - 1 \cdot (5 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (5 \cdot 2 - 2 \cdot 6)
   $$
   $$
   D_x = 6 \cdot (-6 + 2) - 1 \cdot (-15 + 2) + 1 \cdot (10 - 12)
   $$
   $$
   D_x = 6 \cdot (-4) + 1 \cdot 13 - 2 = -24 + 13 - 2 = -13
   $$

- Para $D_y$, substituímos a segunda coluna de $A$ por $B$:
   $$
   D_y = \begin{vmatrix}
   1 & 6 & 1 \
   1 & 5 & -1 \
   2 & 2 & -3
   \end{vmatrix}
   $$
   $$
   D_y = 1 \cdot (5 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) - 6 \cdot (1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 5 \cdot 2)
   $$
   $$
   D_y = 1 \cdot (-15 + 2) - 6 \cdot (-3 + 2) + 1 \cdot (2 - 10)
   $$
   $$
   D_y = -13 + 6 \cdot 1 - 8 = -13 + 6 - 8 = -15
   $$

- Para $D_z$, substituímos a terceira coluna de $A$ por $B$:
   $$
   D_z = \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 6 \
   1 & 2 & 5 \
   2 & 2 & 2
   \end{vmatrix}
   $$
   $$
   D_z = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 5 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 5 \cdot 2) + 6 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1)
   $$
   $$
   D_z = 1 \cdot (4 - 10) - 1 \cdot (2 - 10) + 6 \cdot (2 - 2)
   $$
   $$
   D_z = -6 + 8 + 0 = 2
   $$

4. **Calcular as variáveis $x$, $y$ e $z$**:

Usando a Regra de Cramer:
   $$
   x = \frac{D_x}{D} = \frac{-13}{-3} = \frac{13}{3}
   $$
   $$
   y = \frac{D_y}{D} = \frac{-15}{-3} = 5
   $$
   $$
   z = \frac{D_z}{D} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}
   $$

5. **Solução final**:
   $$
   x = \frac{13}{3}, \quad y = 5, \quad z = -\frac{2}{3}
   $$

Assim, a solução do sistema é $x = \frac{13}{3}$, $y = 5$ e $z = -\frac{2}{3}$.

Cálculo Numérico

Respostas

Ainda com dúvidas?

Mais conteúdos dessa disciplina