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EAE1222: Econometria II
Lista de exercı́cios: Revisão de Fundamentos de Estatı́stica e Econometria
Prof. Luı́s Meloni
Orientações sobre a lista:
1. Essa é uma lista de revisão de Estatı́stica e Econometria I. A compreensão dos tópicos
abordados nesta lista são fundamentais para o acompanhamento da disciplina.
2. É encorajado que os alunos estudem e tentem resolver as listas em grupos, porém,
serão consideradas apenas entregas individuais das listas.
3. Dúvidas sobre as listas devem ser tiradas diretamente nas monitorias.
4. A resolução dessa lista é fundamental para um bom desempenho no curso.
5. A leitura da bibliografia recomendada é fundamental para a resolução da lista.
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1 Fundamentos de Estatı́stica
1) Seja X uma variável aleatória discreta com valores possı́veis x1, x2, ..., xn e probabili-
dades correspondentes p1, p2, ..., pn. Prove as seguintes propriedades da Esperança:
a) Propriedade da soma: sejam X e Y duas variáveis aleatórias, então E[X + Y] =
E[X] + E[Y].
b) Propriedade da multiplicação por uma constante: se a é uma constante real, então
E[aX] = aE[X].
c) Propriedade da mudança de escala: se b é uma constante positiva, então E[bX] =
bE[X].
d) Linearidade: Sejam a e b constantes reais. Mostre que E[aX + b] = aE[X] + b.
e) Lei das expectativas iteradas: sejam X e Y duas variáveis aleatórias e suponha que
Y seja não degenerada, ou seja, P(Y = y) > 0 para algum valor y. Então E[X] =
E[E[X|Y]].
2) Seja X uma variável aleatória discreta com valores possı́veis x1, x2, ..., xn e proba-
bilidades correspondentes p1, p2, ..., pn. Mostre que as seguintes propriedades são
válidas:
(a) Linearidade: sejam a e b constantes reais, então Var(aX + b) = a2Var(X).
(b) Propriedade da soma: para duas variáveis aleatórias X e Y, Var(X+Y) = Var(X)+
Var(Y) + 2Cov(X, Y), onde Cov(X, Y) é a covariância entre X e Y.
(c) Propriedade da decomposição: para qualquer variável aleatória X, podemos es-
crever Var(X) = E[X2]− (E[X])2.
3) Sejam X, Y variáveis aleatórias discretas. Mostre que:
a) A covariância é simétrica: Cov(X, Y) = Cov(Y, X).
b) A covariância é linear. Isso é, Cov(aX, Y) = aCov(X, Y) para qualquer constante a
e Cov(X, aY) = aCov(X, Y) para qualquer constante a.
c) A covariância da soma é a soma das covariâncias: Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) +
Cov(Y, Z) para qualquer variável aleatória Z.
d) A covariância da diferença é a diferença das covariâncias: Cov(X−Y, Z) = Cov(X, Z)−
Cov(Y, Z) para qualquer variável aleatória Z.
e) A covariância de uma constante é zero: Cov(c, X) = 0 para qualquer constante c.
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f) Se X e Y são independentes, então sua covariância é zero: Cov(X, Y) = 0 .
4) Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias não negativas. Julgue as afirmativas como ver-
dadeiro ou falso.
a) (cov(X, Y))2 ≤ var(X)var(Y).
b) Se Z = X + Y, então, corr(Z, X) = corr(Y, X).
c) Se X, Y e Z são independentes e a, b, c e d são constantes, então:
Var(aX + bY + c + d + Z) = a2Var(X) + b2Var(Y) + Var(Z).
d) Cov(X, aY + bZ) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).
5) Suponha que X e Y sejam duas variáveis aleatórias com E[X] = 2, E[Y] = 3, Var(X) = 4,
Var(Y) = 9 e Cov(X,Y) = -3. Use essas informações para calcular:
a) E(2X + Y)
b) Var(3X - Y)
c) Cov(X, Y - 2)
d) Cov(2X - Y, X + Y)
6) Enuncie e prove a Lei das Expectativas Iteradas
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7) Sobre estimadores da Variância Populacional, mostre que:
a) σ̂2 = 1
n ∑n
i=1(Xi − X̄)2 é um estimador viesado de σ2. Ele é assintoticamente viesado?
É consistente?
b) σ̂2 = 1
n−1 ∑n
i=1(Xi − X̄)2 é um estimador não viesado de σ2. Ele é assintoticamente
viesado? É consistente?
8) (Adaptado -ANPEC) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média
µ e variância σ2. Considere duas amostras aleatórias independentes de X. Cada uma
das amostras tem tamanho n1 e n2, e possuem médias X̄1 e X̄2. Podemos usar dois
estimadores para a média populacional, µ̃ = 1
2(X̄1 + X̄2) e µ̂ = n1X̄1+n2X̄2
n1+n2
.
Julgue as seguintes afirmativas a respeito dos estimadores:
a) µ̃ é um estimador não-viesado para a média populacional.
b) µ̂ é um estimador não-viesado para a média populacional.
c) µ̃ possui menor variância que µ̂.
d) µ̃ é um estimador mais eficiente, isto é, possui menor erro quadrático médio que µ̂.
e) µ̃ é um estimador consistente para a média populacional.
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2 Fundamentos de Econometria
9) Considere o seguinte modelo: Yi = β0 + β1Xi + ui. Utilizando o método de MQO,
derive os estimadores de β0 e β1.
10) Em que condições o estimador de mı́nimos quadrados ordinários do exercı́cio anterior
é não viesado? Dito de outra forma, que hipótese precisa ser violada para o estimador
de OLS ser viesado? Porque quando fazemos regressões com dados observacionais
(quase) sempre incorremos nesse problema? Cite duas ou três regressões onde esse
problema ocorre e explique intuitivamente porque essa hipótese é violada em cada
um dos casos.
11) Considere que um economista estimou a seguinte regressão:
y = β0 + β1x1 + u [1]
Contudo, há uma variável x2 que é correlacionada com x1 que foi omitida do modelo.
Tal que o modelo correto seria:
y = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + v [2]
Nesse caso, β̂1 é viesado? Em que condições?
12) A equação seguinte descreve o preço mediano das residências de uma comunidade
em termos da quantidade de poluição (oxn, de óxido nitroso) e do número médio de
cômodos nas residências da comunidade (comods):
log(preco) = β0 + β1log(oxn) + β2comods + ε
a) Quais são os prováveis sinais de β1 e β2? Qual é a interpretação de β1? Explique.
b) Por que oxn [ou, mais precisamente, log(oxn)] e comods deveriam ser negativa-
mente correlacionados? Se esse é o caso, a regressão simples de log(preço) sobre
log(oxn) produz um estimador viesado para cima ou para baixo de β1?
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13) Até os anos 1990, as eleições no Brasil eram realizadas exclusivamente com cédulas de
papel. Nas eleições de 1998, o governo adotou a urna eletrônica que conhecemos hoje
em alguns municı́pios, especificamente naqueles com um maior número de eleitores.
Isso é, nas eleições de 1998 temos municı́pios que utilizaram urna eletronica e mu-
nicı́pios que não utilizaram urna eletrônica.
Suponha que, utilizando dados das eleições de 1998, você deseja estimar se a adoção
da urna eletrônica teve efeito sobre o percentual de votos válidos dos eleitores. De
posse de uma amostra de N municı́pios com informações sobre o percentual de vo-
tos válidos Validosi e uma variável dummy UrnaEletrici que assume o valor 1 para os
municı́pios que utilizaram a urna eletrônica em 1998 e 0 caso contrário, você estima a
seguinte regressão:
Validosi = β0 + β1UrnaEletrici + ui
Responda as questões abaixo:
a) Sob que hipóteses o estimador β̂1 é um estimador não viesado para β1? Demonstre
seus cálculos detalhadamente e explicite suas hipóteses.
b) Essas hipóteses parecem razoáveis nesse contexto? Justifique.
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