dia a dia da matematica M

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**27.** Encontre a integral \( \int_1^2 (2x^3 + 3x^2) \, dx \). 
A) 7.5 
B) 6 
C) 5 
D) 4 
Resposta: A) 7.5 
Explicação: Realizamos a integral: 
\[ \int (2x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{1}{2} x^4 + x^3 + C \] 
Por fim: 
\[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + 2^3 - (4 + 8) = 12 - 4 = 8 \] 
 
**28.** Qual é a integral de uma função constante \( c \)? 
A) \( cx + C \) 
B) \( \frac{c}{x} + C \) 
C) \( c^2 + C \) 
D) \( c + C \) 
Resposta: A) \( cx + C \) 
Explicação: A integral de uma constante \( c \) é dada pela multiplicação da constante pela 
variável de integração, ou seja, \( \int c \, dx = cx + C \). 
 
**29.** O que significa uma função ser Lipschitz contínua? 
A) A função é integralmente contínua 
B) A função tem uma derivada em todos os pontos 
C) Existe uma constante \( L \) tal que \( |f(x) - f(y)| \leq L |x - y| \) 
D) A função tem um limite finito 
Resposta: C) Existe uma constante \( L \) tal que \( |f(x) - f(y)| \leq L |x - y| \) 
Explicação: Uma função é Lipschitz contínua se a diferença nos valores da função for limitada 
por uma constante multiplicada pela diferença nas entradas. Isso garante que a função não 
oscile muito rapidamente. 
 
**30.** Calcule a série de Taylor de \( e^x \) em \( x = 0 \). 
A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} \) 
C) \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \) 
D) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{n!} \) 
Resposta: A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
Explicação: A série de Taylor para a função exponencial em torno de \( x=0 \) se expande como 
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \), que é a forma padrão para \( e^x \). 
 
**31.** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
A) 1 
B) 0 
C) \( \infty \) 
D) -1 
Resposta: A) 1 
Explicação: Este é um resultado fundamental em cálculo; usando limites, verificamos que \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). 
 
**32.** Qual é a condição de Cauchy para a convergência de séries? 
A) O termo geral deve ir para zero 
B) A soma dos limites deve ser finita 
C) A soma parcial deve ser limitada 
D) Todas as opções anteriores 
Resposta: D) Todas as opções anteriores 
Explicação: Para uma série convergir, os termos devem ir para zero, a soma dos limites deve ser 
finita e as somas parciais devem ser limitadas. 
 
**33.** Como podemos definir a integral indefinida? 
A) Como a área sob a curva 
B) Como o limite de uma soma de Riemann 
C) Como a operação inversa da derivação 
D) Todas as opções anteriores 
Resposta: D) Todas as opções anteriores 
Explicação: A integral indefinida é considerada a operação inversa da derivação, pode ser vista 
como a área sob a curva e pode ser aproximada pelo limite de somas de Riemann. 
 
**34.** O que é um máximo relativo para uma função \( f(x) \)? 
A) O maior valor da função 
B) O menor valor da função 
C) Um ponto onde a função é maior que todos os seus vizinhos 
D) Um ponto onde a função é menor que todos os seus vizinhos 
Resposta: C) Um ponto onde a função é maior que todos os seus vizinhos 
Explicação: Um máximo relativo ocorre em um ponto onde os valores da função são maiores 
que os valores próximos, não necessariamente o maior valor possível. 
 
**35.** Determine a derivada de \( f(x) = x^4 - x^2 + 2x + 1 \). 
A) \( 4x^3 - 2x + 2 \) 
B) \( 3x^2 + 2 \) 
C) \( 4x^3 - 2x + 2 \) 
D) \( 2x^2 - 2 \) 
Resposta: A) \( 4x^3 - 2x + 2 \) 
Explicação: A derivada da função é dada por: 
\[ f'(x) = 4x^3 - 2x + 2 \] 
 
**36.** A integral de \( |x| \) em \( [-1, 1] \) é: 
A) 2 
B) 1 
C) 0 
D) 3 
Resposta: A) 2 
Explicação: A integral precisa ser dividido nos intervalos onde a função muda de sinal: 
\[ \int_{-1}^0 (-x) \, dx + \int_0^1 x \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + 
\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 0 + 0 = 1 + 1 = 2 \] 
 
**37.** Qual é a condição para um teste de convergência de séries envolver o teste da raiz? 
A) Todos os termos devem ser positivos 
B) Os termos devem ser negativos 
C) Deve haver um limite superior 
D) Deve haver um limite inferior 
Resposta: A) Todos os termos devem ser positivos 
Explicação: O teste da raiz só pode ser utilizado se todos os termos de uma série são positivos, 
permitindo a correta aplicação do limite. 
 
**38.** O que representa a integral \( \int f'(x) \, dx \)? 
A) \( f(x) + C \) 
B) \( f(x) \) 
C) 0 
D) A derivada da função 
Resposta: A) \( f(x) + C \) 
Explicação: Esta é a regra da integral, onde a integral de uma derivada é igual à própria função 
mais uma constante de integração. 
 
**39.** O que é o teorema fundamental do cálculo? 
A) Relaciona a derivada e a integral 
B) Define a área sob uma curva 
C) Fornece condições de continuidade 
D) Relaciona limites e somas 
Resposta: A) Relaciona a derivada e a integral 
Explicação: O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral de uma função em um 
intervalo pode ser avaliada através de sua antiderivada. 
 
**40.** Como a função \( h(x) = \sqrt{x} \) se comporta sob a transformação \( h(x) \to 2h(x) 
\)? 
A) A amplitude é reduzida pela metade 
B) A função se inverte 
C) A amplitude é dobrada 
D) Não há alteração na função