livro 1 capitulo XXI

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30. Determine o ponto de inflexão da função f(x) = x^3 - 3x^2. 
A) x = 1 
B) x = 0 
C) x = 2 
D) x = -1 
**Resposta: A) x = 1** 
A segunda derivada f''(x) = 6x - 6. Igualando a zero temos x = 1. 
 
31. Qual é a derivada da função f(x) = ln(5x)? 
A) 1/x 
B) 5/x 
C) 1/(5x) 
D) 5/5x 
**Resposta: C) 1/(5x)** 
Usamos a regra da cadeia: f'(x) = (1/(5x))*5 = 1/x. 
 
32. Calcule a integral definida ∫[0, 1] (x^3) dx. 
A) 1/4 
B) 1/5 
C) 1/6 
D) 1/2 
**Resposta: B) 1/4** 
Integrando, obtemos (1/4)x^4. Avaliando de 0 a 1 resulta em (1/4)(1) - (1/4)(0) = 1/4. 
 
33. A função f(x) = x^4 - 4x^2 + 2 é crescente em: 
A) (-∞, -1) ∪ (1, ∞) 
B) (-1, 1) 
C) (0, 2) 
D) Todos os reais 
**Resposta: D) Todos os reais** 
Analisamos f'(x) e encontramos que f'(x) > 0 em todo o intervalo real. 
 
34. Determine a derivada de f(x) = arctan(x). 
A) 1/(1 + x^2) 
B) 1/(1 - x^2) 
C) x/(1 + x^2) 
D) 1/x 
**Resposta: A) 1/(1 + x^2)** 
Este é um resultado conhecido da derivada da função inversa. 
 
35. Qual é o limite: lim(x→∞) (2x^2)/(3x^2 + 1)? 
A) 2/3 
B) 0 
C) 1 
D) Não existe 
**Resposta: A) 2/3** 
Dividimos todos os termos por x^2, levando a lim(x→∞) (2)/(3 + 0) = 2/3. 
 
36. Encontre a primitiva de f(x) = 5sin(x). 
A) 5cos(x) + C 
B) -5cos(x) + C 
C) sin(5x) + C 
D) -sin(5) + C 
**Resposta: B) -5cos(x) + C** 
A integral de sin(x) é -cos(x). Logo, temos -5cos(x) + C. 
 
37. Qual é o resultado da integral definida ∫[0, π] (sin(x)) dx? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 2 
**Resposta: C) 2** 
A integral de sin(x) de 0 a π é [-cos(x)]_0^π = [-(-1 - 1)] = 2. 
 
38. A derivada da função f(x) = e^(2x) * x² é: 
A) e^(2x)(4x + 2) 
B) e^(2x)(2x^2) 
C) 2e^(2x)x^2 
D) 2x²e^(x) 
**Resposta: B) e^(2x)(2x^2 + 4x)** 
Aplicamos a regra do produto. 
 
39. Encontre o valor do limite: lim(x→3) [(x^2 - 9)/(x - 3)]. 
A) 6 
B) 9 
C) 3 
D) 0 
**Resposta: A) 6** 
Fatorando, obtemos (x - 3)(x + 3)/(x - 3) = lim(x→3)(x + 3) = 6. 
 
40. Determine o máximo da função f(x) = -x^2 + 2x + 1. 
A) 3 
B) 4 
C) 1 
D) 2 
**Resposta: B) 4** 
O máximo ocorre em x = -b/(2a). Portanto, x = -2/(-2) = 1. Avaliando f(1), temos f(1) = 4. 
 
41. Encontre a integral definida ∫[0,1] (1 - x^2) dx. 
A) 1/3 
B) 1/2 
C) 1/6 
D) 1/5 
**Resposta: B) 1/2** 
Integral resulta em [x - (1/3)x^3]_0^1 = (1 - 1/3) = 2/3. 
 
42. O que é a derivada do logaritmo natural ln(x)? 
A) 1/x 
B) 1/(2x) 
C) x 
D) e^(-x) 
**Resposta: A) 1/x** 
Este é um resultado fundamental em cálculo. 
 
43. O limite: lim(x→∞) (sin(x)/x) é igual a: 
A) 0 
B) Não existe 
C) 1 
D) -1 
**Resposta: A) 0** 
Comportamento do seno é limitado, enquanto x tende ao infinito. 
 
44. O que é a integral definida ∫[0, 2] (x^3 - 2x) dx? 
A) -2 
B) 0 
C) 1 
D) 2 
**Resposta: B) 0** 
Calculando, obtemos resultados que se cancelam. 
 
45. Encontre a derivada da função h(x) = x^3 * e^x. 
A) 3x²e^x 
B) e^x(x² + 3x) 
C) x²e^x + 3xe^x