teste surpresa XIV

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d) Um conjunto onde toda combinação linear é sua própria base 
 e) Um conjunto onde a multiplicação de vetores é comutativa 
 **Resposta: a) Um conjunto com operações de adição e multiplicação** 
 **Explicação: Um espaço vetorial é um conjunto \(V\) que contém elementos chamados 
vetores, e satisfaz duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. 
Para que \(V\) seja um espaço vetorial, ele precisa atender a 10 axiomas que garantem 
propriedades como associatividade, comutatividade, existência de elementos neutros e 
inversos e distributividade. Essas propriedades garantem que os espaços vetoriais podem ser 
manipulados de forma consistente sob estas operações, permitindo o estudo de suas 
dimensões, bases e transformações lineares.** 
 
21. Resolva a equação \(x^2 + 5x + 6 = 0\). 
 a) \(x = -2, -3\) 
 b) \(x = -1, -6\) 
 c) \(x = 1, 6\) 
 d) \(x = -5, -1\) 
 e) \(x = 2, 3\) 
 **Resposta: a) \(x = -2, -3\)** 
 **Explicação: Para resolver a equação quadrática \(x^2 + 5x + 6 = 0\), buscamos fatores que 
se somem a \(5\) e se multipliquem a \(6\). O fatoramento revela \((x + 2)(x + 3) = 0\). 
Portanto, as raízes da equação são \(x = -2\) e \(x = -3\), que podemos obter mais formalmente 
usando a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), onde \(a = 1\), \(b = 5\), 
e \(c = 6\).** 
 
22. Qual é o valor do determinante da matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\)? 
 a) -2 
 b) 2 
 c) 0 
 d) 4 
 e) 5 
 **Resposta: a) -2** 
 **Explicação: O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 
d \end{pmatrix}\) é calculado como \(ad - bc\). Neste caso, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\), e \(d = 
4\). Assim, o determinante é \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2\). Esse valor negativo indica que 
a matriz transforma áreas em um espaço dimensionado de forma reversa.** 
 
23. Se a sequência \(a_n = \frac{n^2 + n}{2}\), qual é o limite de \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) à 
medida que \(n\) tende ao infinito? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) Infinito 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação: Começamos calculando \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Temos \(a_{n+1} = 
\frac{(n+1)^2 + (n+1)}{2} = \frac{n^2 + 2n + 1 + n + 1}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{2}\) e \(a_n = 
\frac{n^2 + n}{2}\). Assim, \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n^2 + 3n + 2)/(2)}{(n^2 + n)/(2)} = 
\frac{n^{2} + 3n + 2}{n^{2} + n}\). Dividindo cada termo pelo \(n^2\) e tomando o limite 
quando \(n\) tende ao infinito, fica \(\frac{1 + 3/n + 2/n^2}{1 + 1/n}\), que se aproxima de \(2\) 
conforme \(n\) cresce, assim o limite é 2.** 
 
24. Qual é o valor da derivada \(\frac{dy}{dx}\) da função \(y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1\)? 
 a) \(3x^2 + 2x - 5\) 
 b) \(3x^2 - 4x + 1\) 
 c) \(3x^2 + 2x + 5\) 
 d) \(2x^2 + 3x - 5\) 
 e) \(6x^2 + 1\) 
 **Resposta: a) \(3x^2 + 2x - 5\)** 
 **Explicação: A derivada de uma função polinomial é obtida aplicando a regra da potência. 
Derivando cada termo separadamente, temos: para \(x^3\), a derivada é \(3x^2\), para 
\(2x^2\), a derivada é \(4x\), e para \(-5x\), a derivada é \(-5\). Assim, a derivada completa da 
função \(y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1\) é \(y' = 3x^2 + 4x - 5\).** 
 
25. Qual é o resultado da equação \(x^2 - 3x + 2 = 0\)? 
 a) \(x = 1, 2\) 
 b) \(x = -1, 2\) 
 c) \(x = -2, 1\) 
 d) \(x = 1, -2\) 
 e) \(x = 3, 4\) 
 **Resposta: a) \(x = 1, 2\)** 
 **Explicação: Para resolver a equação \(x^2 - 3x + 2 = 0\), procuramos fatores que se somem 
a \(-3\) e se multipliquem a \(2\). Os fatores são \((x - 1)(x - 2) = 0\), resultando em \(x = 1\) e 
\(x = 2\). Esta célula dinâmica caracterizada pela soma e produto dos fatores é um método 
comum em álgebra para determinar raízes de polinômios quadráticos.** 
 
26. Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{6x^2 - 4}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 e) Infinito 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação: Para encontrar o limite, dividimos cada termo pelo maior grau do 
denominador, \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{6 - \frac{4}{x^2}}\). Quando 
\(x\) tende ao infinito, \(\frac{5}{x^2}\) e \(\frac{4}{x^2}\) vão a 0, portanto o limite se reduz a 
\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Isso demonstra a técnica de dominância de termos em cálculo de 
limites, onde os termos de maior grau determinam o valor da função no infinito.** 
 
27. Qual é a integral definida \(\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx\)? 
 a) 12 
 b) 8 
 c) 10 
 d) 6 
 e) 4 
 **Resposta: a) 12** 
 **Explicação: Primeiramente, integramos \(3x^2\) para obter \(x^3\), e \(2x\) para obter 
\(x^2\). Isso resulta em \(\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C\). Avaliando de \(0\) a \(2\), 
temos: \((2^3 + 2^2) - (0^3 + 0^2) = (8 + 4) - 0 = 12\). Portanto, a integral definida resulta em 
12, demonstrando como a área sob a curva da função é computada graficamente dentro dos 
limites dados.** 
 
28. Identifique o tipo de série que não converge quando \(p \leq 1\) na série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\). 
 a) Série Harmônica 
 b) Série Aritmética 
 c) Série Geométrica 
 d) Série Divergente 
 e) Todas as opções não convergem 
 **Resposta: a) Série Harmônica** 
 **Explicação: A série harmônica é um caso específico em que \(p = 1\), ou seja, a série 
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\). Enquanto a série diverge, todas as séries do tipo 
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) convergem para \(p > 1\). O \(p\) aqui revela as 
limitações do comportamento de convergência e é uma parte fundamental do estudo das 
séries em matemática.** 
 
29. Qual é a equação da reta tangente à função \(f(x) = x^2\) no ponto \(x = 1\)? 
 a) \(y = 2x - 1\) 
 b) \(y = 2x + 1\) 
 c) \(y = x + 1\) 
 d) \(y = 1 + x\) 
 e) \(y = 2x + 2\) 
 **Resposta: a) \(y = 2x - 1\)** 
 **Explicação: A equação da reta tangente a uma função em um ponto dado é obtida através 
da derivada da função. Primeiramente, calculamos \(f'(x) = 2x\). Avaliando \(f'(1) = 2(1) = 2\), a 
inclinação da tangente é \(2\). O ponto na curva é \(f(1) = 1\). Portanto, a equação da reta 
tangente no ponto \((1, 1)\) torna-se \(y - 1 = 2(x - 1)\), simplificando para \(y = 2x - 1\).** 
 
30. O que afirma o Teorema de Bolzano? 
 a) Uma função contínua assume todos os valores entre dois pontos 
 b) Uma função derivável é contínua 
 c) Uma função tem um máximo local 
 d) Uma função é uma bijetiva 
 e) Todas as funções são contínuas 
 **Resposta: a) Uma função contínua assume todos os valores entre dois pontos** 
 **Explicação: O Teorema de Bolzano estabelece que em qualquer intervalo fechado \([a, b]\), 
se \(f(a)\) e \(f(b)\) têm sinais opostos, então existe pelo menos um ponto \(c \in (a, b)\) tal 
que \(f(c) = 0\). Isto garante que, se uma função é contínua, ela deve passar por todos os 
valores entre os extremos \(f(a)\) e \(f(b)\). É um resultado essencial em análise matemática, 
ligando a continuidade e a existência de raízes.**