Atualizada - Cálculo Avançado (UniFatecie)

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Cálculo
Avançado
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 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP 
 
S586c Silva, Arthur Ernandes Torres da 
 Cálculo avançado / Arthur Ernandes Torres da Silva. 
 Paranavaí: EduFatecie, 2022. 
 156 p.: il. Color. 
 
 
 
1. Cálculos numéricos. 2. Cálculo diferencial. 
2. Equações diferenciais. I. Centro Universitário Unifatecie. 
II. Núcleo de Educação a Distância. III. Título. 
 
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livro foram obtidas a partir 
do site Shutterstock.
AUTOR
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM).
● Professor Formador UniFatecie.
● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí. 
Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria condensa-
da, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células eletrolíticas. 
Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos cursos de 
Engenharia Civil, Engenharia de Produção e Arquitetura, já foi professor das disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral. 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Neste material 
foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos e comentários para facilitar os 
estudos do material de Cálculo Avançado.
Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos tópicos os 
quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da ementa é trazer se-
gurança em diversos ramos da Matemática teórica para aqueles que optarem pela carreira 
acadêmica, assim como para aqueles que atuaram diretamente no mercado de trabalho.
Na unidade I começaremos a nossa jornada pelo conceito de funções de mais de 
uma variável, e seguindo a mesma análise feita em cálculo diferencial e integral, iremos 
estudar as derivadas e integrais dessas funções que dependem de mais de uma variável, 
o que irá nos levar as derivadas parciais e as integrais múltiplas.
Já na unidade II vamos ampliar nossos conhecimentos sobre os assuntos abor-
dados na unidade I. O ponto inicial será tratar de funções vetoriais e campos vetoriais e, 
posteriormente, vamos aprender alguns teoremas que são os alicerces do cálculo, em seu 
mais alto nível, que são: Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema do Divergente.
Depois, na unidade III vamos tratar especificamente de outro tópico, as sequências 
e séries. Vamos analisar seus termos de convergência e divergência, bem como as séries 
de potências, que são as séries de Taylor e Maclaurin. Junto nesse módulo ainda iremos 
estudar alguns assuntos do cálculo numérico, como a matemática da interpolação e as 
integrais numéricas.
Por fim, a unidade IV será dedicada exclusivamente às equações diferenciais. 
Vamos aprender a encontrar soluções de equações diferenciais ordinárias, classificá-las e 
estudar posteriormente as equações diferenciais parciais.
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
UNIDADE II ................................................................................................... 50
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
UNIDADE III .................................................................................................. 87
Cálculo Numérico
UNIDADE IV ................................................................................................ 124
Equações Diferenciais
3
Plano de Estudo:
● Funções de Várias Variáveis;
● Derivadas Parciais;
● Integrais Duplas;
● Integrais Triplas.
Objetivos da Aprendizagem:
● Aprender como resolver e interpretar funções de várias variáveis;
● Estudar derivadas parciais;
● Compreender o formalismo das integrais múltiplas.
UNIDADE I
Derivadas e Integrais de Funções
de Várias Variáveis
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
4UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, o primeiro assunto abordado será funções de 
várias variáveis, não sendo este um conteúdo muito diferente do que já foi estudado nos 
tópicos de funções de uma variável. Saber lidar com funções de mais de uma variável 
amplia os casos de estudo e aplicações em qualquer ramo das ciências exatas.
Ademais, vamos dar sequência aos estudos de cálculo diferencial e integral. Como 
um dos alicerces principais do curso são as funções de várias variáveis, as derivadas não 
serão mais simples, mas sim derivadas parciais. Já as integrais simples passarão a ser in-
tegrais duplas ou triplas. O processo para resolvê-las é análogo ao que foi visto no primeiro 
curso de cálculo. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na 
sua formação acadêmica.
Bons estudos!
5UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Em diversas áreas das ciências exatas e engenharias, muitas situações precisam 
ser caracterizadas por funções. Por exemplo, na física médica, os profissionais analisam 
a taxa de decaimento radioativo com o tempo e a função que os orienta. É algo do tipo: ξ 
= ξ (t), em que ξ representa a radiação de uma determinada amostra que tem sua quan-
tidade alterada com o tempo. Na física, o movimentoem queda livre é caracterizado por 
duas funções: espaço S(t) , velocidade v(t) , ambas em função do tempo. Na matemática 
básica, quando aprendemos a calcular a área de uma circunferência dada por A(r) = πr 2, 
a área é uma função do raio da circunferência.
Assim sendo, diversas grandezas são representadas por funções, as quais pos-
suem uma variável responsável por descrever a evolução da função. Porém, se quisermos 
ampliar nossa área de conhecimento e aplicações, é necessário estudarmos problemas 
que envolvam mais de uma variável. Isto pode ser exemplificado pela temperatura na 
superfície da Terra em um determinado ponto de longitude (x) e latitude (y), a qual é dada 
por T (x, y). Ou ainda, o volume de um cilindro de raio r e altura h, que é matematicamente 
descrito como V(r, h) = πr 2h.
1.1 Funções De Duas Variáveis
Desta forma, vamos definir uma função de duas variáveis como sendo uma regra 
que associa a cada par ordenado de números reais (x , y) de um conjunto D com um único 
valor real, denotado por f (x , y). Em que o conjunto D é o domínio da função f e a imagem 
são os possíveis valores que a função pode assumir dentro do conjunto dos reais . Para 
melhor entender o que isso significa, vamos fazer alguns exemplos:
6UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 01
Dada a função
Calcule o valor de f (3,1) e encontre o domínio da função.
Resposta:
Primeiramente, para encontrar o valor da imagem, ou seja, da função quando o par 
ordenado for (3,1), basta substituir os valores na função:
Portanto:
 f (3,1) = 1
Agora, para determinarmos o domínio, basta pensarmos em determinados números 
quando essa função fornece um número não real. Ou seja, não existe uma raiz quadrada 
negativa, logo:
Isolando as variáveis:
Assim, o domínio da função é dado por . Isso significa que o par ordenado pertence 
ao conjunto de números reais, com a condição de que x2 + y2 deve ser maior ou igual a 9. 
Caso a soma x2 + y2 forneça qualquer número menor que 9, então a função resultará em 
uma raiz negativa, o que não faz parte do conjunto dos números reais.
Ex. 02
Calcule o valor da função , quando f (2,4) e encontre o domínio da função.
Resposta:
Para calcular o valor da função nos pontos dados, vamos substituir:
7UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Portanto:
 f (2,4) = 4
Para determinar o domínio, vamos partir da condição de qual valor substituído na 
função a torna indeterminada. No caso da variável y, qualquer valor pode ser atribuído, porém 
para a variável x não. Note que não existe divisão por zero, dessa forma x -1 ≠ 0. Portanto:
x ≠ 1
Então, o domínio da função é dado por: . Ou seja, o único valor 
que não está no domínio da função é x = 1, o que nos levaria a um resultado indeterminado. 
Além disso, note que x pode ser menor do que 1. Isso só acarretará em um resultado negativo, 
que ainda está dentro do grupo dos números reais.
Ex. 03
Dada a função:
Calcule f (5,3) e determine o seu domínio.
Resposta:
Inicialmente fazemos:
8UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Portanto:
f (5,3) = 3
No que tange ao domínio, veremos quais restrições existem nessa função para que 
os valores de sua imagem estejam dentro do conjunto dos reais. No numerador, a raiz não 
pode ser negativa, logo:
x + y + 1 ≥ 0
x + y ≥ 1
Já a segunda restrição vem do denominador, que não pode ser nulo:
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4
Portanto, o domínio é .
Ex. 04
Partindo de
Calcule f (-3,4) = 3 e encontre o domínio da função
Resposta:
Portanto:
f (-3,4) = 5
Para encontrar o domínio, nota-se que temos uma raiz quadrada e dentro dela 
dois termos quadráticos. Não importa o valor das coordenadas x e y, sempre resultará em 
valores reais maiores ou iguais a zero. Logo: .
Dessa forma, ficou claro que o domínio é a região em que a função está bem 
definida em um plano xy. Ademais, devemos nos ater às restrições, as quais de forma 
genérica podem ser escritas como:
1) Frações devem ter seu denominador diferente de zero.
2) Raiz quadrada não pode ser negativa, ou seja, o argumento deve ser maior ou 
igual a zero.
3) Em funções logarítmicas, o argumento deve ser maior do que zero.
9UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex.05
Calcule o valor da função quando x = 1 e y = 0 . Além disso, determine seu domínio. 
Resposta:
Portanto:
f (1,0) = -3
Sobre o domínio, a única restrição é que o denominador não seja nulo. Portanto:
y - x ≠ 0
y ≠ x
Assim: .
Ex. 06
Partindo da função
Determine o seu domínio.
Resposta:
Sabemos que, no caso da função logarítmica, o argumento deve ser maior do que 
zero. Logo:
Assim: .
Ex. 07
Dada a função
10UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Calcule o seu domínio.
Resposta:
Neste caso, temos duas restrições. No numerador, a raiz deve resultar em um valor 
real, logo, seu argumento deve ser maior ou igual a zero.
y - x ≥ 0
y ≥ x
Além disso, no denominador temos duas restrições, uma referente aos valores que 
a função ln pode assumir, outra relacionada à fração matemática. Com relação à primeira, 
temos:
x + 1 > 0
Então:
x > -1
Além disso, sabemos que ln(1) = 0 e, como não pode ter zero no denominador, então:
x + 1 ≠ 1
Logo:
x ≠ 0
Assim, o domínio da função é: .
1.2 Funções De Três Variáveis
Até agora, vimos casos de funções de duas variáveis, porém, qual seria a diferença 
se fossem três variáveis? Por definição, a função de três variáveis é uma regra que está 
associada a cada tripla ordenada (x, y, z) em um domínio que esteja contido nos reais , 
um único número real, denotado pelo valor de f (x, y, z). Como exemplo, suponha casos 
com duas variáveis que variam com o tempo. A temperatura em um ponto da superfície 
terrestre, em uma determinada longitude x e latitude y e em um tempo t, é dada por: T(x,y,t). 
O procedimento para encontrar o domínio é o mesmo feito para duas variáveis.
Ex. 08
Calcule o valor da função quando f (1,2,1) e encontre seu domínio.
Resposta:
Inicialmente, substituímos os valores das variáveis:
11UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Portanto:
f (1,2,1) = 5
Tem-se que a restrição do domínio é que o denominador não seja igual a zero, logo:
z2 ≠ 0
Ou seja,
z ≠ 0
Dessa forma, o domínio fica dado por: .
Ex. 09
Seja a função
h (x,y,z) = ln (x2+y2+z2)
Calcule o domínio da função.
Resposta:
Como o argumento da função logarítmica deve ser maior do que zero, então:
x2 + y2 + z2 > 0
Logo, . 
Ex. 10
Dada a função
Determine o domínio da função.
Resposta:
Nesse caso, não há raiz quadrada, frações ou funções logarítmicas, então o domí-
nio é escrito como: .
12UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
2. DERIVADAS PARCIAIS
Assim como foi estudado em cálculo diferencial e integral, as derivadas são fun-
damentais para descrever diversos fenômenos físicos e químicos, cujo são aplicações 
das engenharias em todas as áreas. Além disso, ainda neste curso, o último capítulo irá 
introduzir as equações diferenciais, assunto este que reúne todo formalismo aprendido 
durante os estudos de derivadas.
Quando o foco eram as funções de uma variável, a derivada de uma função era 
representada como:
Esta operação também é conhecida como derivada total da função em relação 
a sua variável. Atente-se: essa notação representa o operador derivada em relação à 
variável , é o operador derivada, que deriva a função da sua escolha em relação à 
variável tempo t . Ou seja, é possível derivar uma função em termos de qualquervariável 
de interesse. No entanto, quando a função escolhida não depende da variável em questão, 
ao derivar, o resultado será zero.
Ademais, algumas regras de diferenciação foram estudadas, tal como a regra do produto, 
do quociente, da regra de cadeia, da derivada implícita, e algumas funções bem caracterizadas, 
como a função exponencial, variedades de funções trigonométricas e a logarítmica.
13UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Como isso se relaciona com as funções de mais de uma variável que vimos an-
teriormente? O próximo passo, agora, será derivar as funções que dependem de duas 
variáveis ou mais, essas operações serão conhecidas como derivadas parciais.
2.1 Notação para derivadas parciais
Existem várias formas de expressar matematicamente as derivadas parciais. 
Exemplo: Suponha uma função z = f (x, y). A mecânica do processo consiste basicamente 
em manter uma variável fixa e derivar em relação a outra:
A primeira linha representa as derivadas parciais em relação à primeira variável x; 
já a segunda linha, as possíveis notações de derivadas parciais em relação a variável y. 
Vamos fazer um exemplo para compreender essa regra.
Ex. 01
Dada a função
f (x, y) = x3 + y4
Calcule fx e fy .
Resposta:
Para calcular fx fazemos:
Note que o zero no final representa a derivada de y em relação a x.
O cálculo de fy é semelhante:
Mais uma vez, o valor nulo surge devido à derivada de x em relação à variável y.
Basicamente, o procedimento feito foi:
1) Para encontrar fx , tratamos y como um constante e derivamos f ( x, y) em relação à x.
2) Para encontrar , tratamos fy como um constante e derivamos f ( x, y) em relação à y.
Vamos a mais alguns exemplos.
14UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 02
Partindo da função
f (x,y) = x6 - 3x4 + 8y -12
Determine fx e fy.
Resposta:
Note que, nesse exemplo, o número −12 na função é uma constante e, como tal, 
tem derivada nula em relação a qualquer parâmetro.
Ex. 03
Encontre fx e fy da função
f (x,y) = x8 + x2y3 + y5
Resposta:
Ex. 04
Faça a derivada parcial da função abaixo em relação a cada variável parcialmente
g(x,y) = 9xy - x4y2 + x2y7
Resposta:
Assim como temos as funções de duas variáveis, podemos derivar também as 
funções de três variáveis. Veja o exemplo.
Ex.05
Derive a função parcialmente em relação às suas variáveis.
15UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
2.2 Derivadas de ordem superior
Se uma função f for de duas variáveis, em alguns casos, quando não resulta em 
um valor constante, as derivadas parciais fx e fy também são funções de duas derivadas, 
podendo ser derivadas de novo: ( fx )x , ( fx )y ,( fy )y , ( fy )x . Essas operações são denominadas 
derivadas parciais de segunda ordem e, dependendo do caso, podem ter de terceira, quarta 
ou qualquer outra ordem superior. Nesse curso, vamos dar ênfase às de segunda ordem. 
Supondo que z = f (x, y), as formas de notação encontradas na literatura são:
Ex. 06
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função
f (x,y) = x3 + x2 y3 - 2y2
Resposta:
Agora vamos derivar parcialmente em relação a cada variável:
16UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 07
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f (x,y) = x3 y5 + 2x4 y
Resposta:
Agora vamos derivar parcialmente em relação a cada variável:
Ex. 08
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f (x,y) = 3xy4 + x3 y2
Resposta:
Agora vamos derivar parcialmente em relação a cada variável:
17UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
2.3 Derivadas direcionais e o vetor gradiente
Imagine que no topo de uma montanha existe uma nascente de um rio que desce 
todo o monte e segue em direção ao vale no solo. A questão seria: o curso da água é alea-
tório? Ou ela escolhe um caminho bem definido? A resposta será explicada nessa seção. 
Entretanto, já dando um “spoiler”, a água escolhe o caminho que tem a mesma direção do 
vetor gradiente em todas as superfícies de nível da montanha.
Este é apenas um exemplo da importância das derivadas direcionais e vetor gra-
diente em nosso dia a dia. Já uma das aplicações mais corriqueiras se dá na distribuição 
de calor em superfícies geográficas amplas, cujo são analisadas por meteorológicos, para 
preverem alterações de temperatura, e pela ciência, quando uma superfície recebe uma 
quantidade de calor, o qual passa a ser distribuído na superfície do objeto ou amostra, 
fenômeno esse batizado como gradiente de temperatura.
Portanto, o assunto que será abordado agora tem grande importância, tanto para as 
aplicações nas engenharias, quanto para a compreensão de futuros teoremas que vamos 
estudar, os quais fazem uso exaustivo dessa notação.
2.3.1 Derivada Direcional
Até o momento, estudamos as derivadas parciais, em que fixamos uma variável e 
a derivada da função de duas variáveis era feita em termos da outra variável. Ou seja, se 
uma função f (x,y) for derivada parcialmente em x, o resultado nos mostra a sua variação 
na direção da primeira coordenada; se derivarmos em parcialmente em relação à y, então 
vamos obter a variação da função na segunda coordenada. Porém, e se quiséssemos 
saber a variação em uma outra direção que não fosse as coordenadas do plano cartesiano? 
Uma direção aleatória, por exemplo?
Para isso, precisaríamos de uma orientação, ou seja, de um vetor unitário que 
aponta na direção escolhida. Mas não é qualquer vetor, e sim um versor! A definição de 
versor é um vetor unitário, ou seja, de módulo igual a 1 (obs.: não terá importância o seu 
sentido). Assim, o que vamos fazer agora será escolher um par de pontos e, com isso, ca-
racterizar um vetor. Caso ele não seja unitário, vamos fazer um procedimento da geometria 
analítica para torná-lo unitário e, em seguida, multiplicar pelas derivadas parciais da função 
nesse ponto. Vamos à primeira definição:
Se a função f (x,y) possuir derivadas em x e y, então f (x,y) tem derivada direcional 
na direção de qualquer vetor u = <a,b>. Essa derivada é calculada da seguinte forma: 
18UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Veja o exemplo:
Ex. 09
Qual o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2+y2 no ponto P (2,2) na 
direção do vetor ?
Resposta:
Inicialmente, vamos fazer fx e fy : 
Agora vamos aplicar as derivadas parciais nos pontos dados (2,2): 
O próximo passo é fazer o produto escalar da derivada parcial em x pela componente 
x do vetor u e o produto escalar da derivada parcial em y pela componente y do vetor u. 
Note que o resultado é um número.
Ex. 10
Calcule o valor da derivada direcional da função f (x,y) = 3x4+2y5 no ponto P(3,3) na 
direção do vetor .
Resposta:
Inicialmente vamos fazer fx e fy e aplicar nas coordenadas dadas: 
Agora, vamos pegar esse resultado, que é um vetor, e multiplicá-lo pelo vetor dado 
no enunciado. No entanto, o vetor u =(−1,1) não é unitário, mas como sabemos disso? 
Tirando o módulo dele:
19UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Como |u|≠1, ele não é um vetor unitário. Logo, para torná-lo unitário, vamos fazer o 
seguinte procedimento: dividir o vetor pelo seu módulo. Isso nos fornecerá um novo vetor, 
o qual chamaremos de v :
Vamos, agora encontrar a derivada direcional, que nada mais é do que o produto 
escalar das derivadas parciais em cada ponto pelo vetor unitário v :
Nesses dois últimos exemplos, foi possível observar que a derivada direcional pode 
ser escrita como o produto escalar de dois vetores:
O primeiro vetor do produto escalar é uma grandeza fundamental na matemática, 
chamada de gradiente da função f (x,y), ou grad f, ou . Esse símbolo que é um delta de 
ponta cabeça se chama nabla; na literatura, é conhecido como operador “del”. Portanto:
Se f (x,y) é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorialdefinida por
Por isso, é feito o produto escalar das derivadas parciais com o vetor unitário, pois 
são dois vetores. Vamos a alguns exemplos:
20UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 11
Dada a função f (x, y) = 9 + x2 + y2 calcule a derivada direcional no ponto (2,2) na 
direção do vetor .
Resposta:
Vamos primeiramente calcular o gradiente da função:
Agora, aplicar nas coordenadas:
Feito isso, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto pelo 
vetor unitário u.
Veja que, neste caso, o vetor u já tem módulo igual a 1, logo não precisamos 
modificá-lo. Por fim:
Ex. 12
Calcule a derivada direcional da função f (x,y) = x5 + sen(y) no ponto (1,2) na direção 
do vetor .
Resposta:
21UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Veja que, nesse exercício, usamos a derivada da função seno, a qual é igual a cosseno.
Portanto, nestes exemplos, fica claro que a derivada direcional da função f (x,y) 
é máxima na direção do gradiente da função, ou seja, da direção de . Em outras 
palavras, o vetor fornecido pelo gradiente da função indica a direção de maior crescimento 
ou decrescimento da função. Retornando ao exemplo da montanha, quando a água desce 
o monte, ela escolhe o caminho mais rápido no qual ela varia de maneira mais rápida em 
relação a qualquer outro caminho.
A derivada direcional é encontrada pelo mesmo procedimento para funções de 
mais de duas variáveis. Vamos fazer um exemplo de três variáveis.
Ex. 13
Seja a função f (x,y,z)= x2+ y3+ z4 , calcule sua derivada direcional no ponto (1,2,1) 
na direção do vetor .
Resposta:
Até aqui, aprendemos qual o valor da derivada em uma dada direção que tem maior 
variação, porém, como calcular o módulo dessa variação? Vamos generalizar tudo o que 
vimos até agora com a seguinte definição:
Suponha que uma função f (x,y) seja diferenciável de duas ou três variáveis. O valor 
máximo da derivada direcional Du f(x,y) é dado pelo módulo do gradiente, ou seja, por e ocorre 
quando u tem a mesma direção que o vetor gradiente .
22UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 14
Dada a função f (x,y,z)= xy2z3, calcule a derivada direcional e o módulo de sua varia-
ção no ponto (1,1,1) na direção do vetor u =(1,1,1).
Resposta:
Para calcular o módulo da variação:
Logo, o módulo da taxa de variação da derivada direcional é de √14 .
Ex. 15
Partindo da função f (x,y) = 2x2 - y2 + 3x - y calcule o módulo da sua taxa variacional 
no ponto (1,−2).
Resposta:
Para calcular o módulo da variação:
23UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
3. INTEGRAIS DUPLAS
Neste capítulo, iremos continuar trabalhando as integrais, as quais foram intro-
duzidas em cálculo diferencial e integral. Antes, a função de uma variável era integrada 
em um intervalo entre dois pontos e o resultado era uma área. Foram várias aplicações 
que envolviam integrais, como, por exemplo, na física, em especial na cinemática, cujo 
abordamos a relação entre a função horária do espaço, da velocidade e a aceleração da 
seguinte forma:
Ou seja, a integral da aceleração nos fornece a expressão da velocidade em função 
do tempo, e pela mesma lógica, a integral da velocidade nos concede a função horária 
das posições. Um detalhe extremamente rico nas integrais é o Teorema Fundamental do 
Cálculo, o qual, basicamente, estabelece uma relação entre derivadas e integrais em que, 
quando derivamos uma função, ou seja f(x) →f ′(x), basta integrar a derivada para retornar 
à função original, também denominada primitiva da função f '(x) dx → F(x) .
24UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
O estudo das integrais duplas segue a mesma linha de raciocínio, porém, agora, 
quando integrarmos uma função de duas variáveis, vamos obter o volume. Em outras 
palavras, quando uma superfície estiver sobre o plano xy, vamos juntar ela com o plano, 
formando um retângulo, porém são pequenos paralelepípedos que, quando somados, 
fornecerão o volume em questão.
3.1 Integrais Iteradas
Vamos resolver as integrais duplas quase do mesmo jeito que as integrais simples. 
Para isso, vamos manter fixa uma das integrais junto com seu diferencial e integrar a outra, 
como era o caso das derivadas parciais. Veja os exemplos:
Ex. 01
Calcule a integral dupla definida
Resposta:
Vamos resolver esse problema de dentro para fora, ou seja, primeiro fazer a integral 
em x, pois, seguindo a ordem dos diferenciais do exercício, dx vem primeiro.
Distribuindo os limites de integração temos:
Note que o segundo termo dentro dos colchetes é igual a zero, restando apenas o primeiro.
Agora integramos em relação a y :
25UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Fazendo o MMC:
Portanto:
Vamos a algumas observações. Primeiro, a letra “I” se refere apenas à integral, não 
tem relevância alguma para as contas, apenas uma forma de retomar o desenvolvimento 
chamando a integral. Além disso, o problema se torna simples quando fixamos uma das va-
riáveis; é como se fizéssemos duas integrais simples. Contudo, a ordem altera o resultado. 
Caso queira integrar primeiro em termos da variável y, o certo a se fazer é:
Ou seja, ao inverter a ordem do diferencial, devemos inverter também a ordem das 
integrais. O erro aparece quando trocamos os diferenciais, mas não a ordem das integrais. 
Veja a diferença:
Observe que o resultado não é o mesmo. Vamos fazer mais alguns exemplos:
26UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 02
Resolva a integral dupla:
Resposta:
Distribuindo os limites de integração, temos:
O segundo termo dentro dos colchetes é igual a zero, restando apenas o primeiro.
Agora integramos em relação à y:
Ex. 03
Determine o resultado da integral dupla
Resposta:
27UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Agora integramos em relação a y:
Até o momento, estamos trabalhando com integrais definidas, ou seja, que pos-
suem intervalo inferior e superior de integração em cada uma das integrais. O resultado é 
um número, mas por outro lado, quando realizamos as integrações sem limites numéricos, 
o resultado obtido será uma expressão algébrica. Vamos ver alguns exemplos:
Ex. 04
Calcule a integral a seguir:
Resposta:
Note que, a resolução do problema é relativamente mais simples, uma vez que não 
temos que realizar uma substituição numérica. Ademais, a constante adicionada no final do 
resultado vem do processo de integração indefinida.
Ex. 05
Determine o resultado da integral
Resposta:
Lembre-se que a integral da função exponencial do tipo ex é ela mesma, assim 
como a sua derivada. Já a outra parte é uma integral trigonométrica simples, abordada em 
detalhes no curso de cálculo diferencial e integral.
28UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 06
Resolva a integral dupla
Resposta:
Obs: sen(x)= -cos(x)+C
3.2 Cálculo de volume usando integral dupla
Como já foi mencionado, a integral dupla é nada mais do que um somatório de n 
partes iguais, esses pedaços são pequenos retângulos e, quando juntos, formam o volume 
que buscamos. Partindo deste princípio, vamos calcular o volume em termos das dimen-
sões desses retângulos. Veja a definição:
Se a função f (x,y) for contínua no retângulo R = { (x, y)/ a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }, então
Vamos entender esse novo conceito através de alguns exemplos:
Ex. 07
Calcule a integral dupla
No retângulo R = {(x,y) / -3 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1} .
Resposta:
Agora integramos em relação à y:
29UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Agora integramos em relação à x:
Ex. 08
Calcule o volume sólido delimitado acima pelo plano z = 4 - x - y e abaixo pelo retân-
gulo R = [0,1] × [0,2] .
Resposta:
A priori, vamos analisar duas coisas: i) a função que vamos integrar é f (x,y)= 4 - 
x - y; ii) oretângulo R =[0,1]×[0,2] indica os limites de integração; de modo que o primeiro 
colchete refere-se aos limites da coordenada x e o segundo aos limites da coordenada y. 
Ou seja, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Agora vamos integrar:
Ex. 09
Encontre o resultado da integral dupla
No retângulo R = {(x,y)/ 0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤2}.
Resposta:
30UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Agora integramos em relação a y:
Ex. 10
Calcule a integral dupla
No retângulo R = {(x,y)/ 0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1}.
Resposta:
Agora integramos em relação a y :
3.2 Integrais duplas em coordenadas polares
A partir de agora, iremos entrar em um novo cenário do cálculo de integrais, aquele 
em que devemos mudar o sistema de coordenadas, mas o que isso significa? Veremos 
neste curso alguns espaços, em que podemos redefinir a função para facilitar as contas. 
O primeiro refere-se às coordenadas polares e, na sequência, estudaremos as integrais 
triplas, coordenadas esféricas e cilíndricas. Bem, então, vamos lá!
Suponha que precisemos calcular a integral dupla em uma das regiões como está 
ilustrada nas figuras:
31UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Nesse novo espaço de coordenadas, vamos fazer a seguinte transformação (x, 
y)→(r, ) através da equivalência
Além disso, o elemento de área de integral, ou seja, o diferencial dA é reescrito da 
forma dA = r dr dθ. Portanto:
A interpretação do parâmetro r é o raio da circunferência (ou segmento da mesma). 
Já a variável θ é o ângulo em que a região descreve no plano, podendo variar qualquer 
ângulo 0 ≤ θ ≤ 2π.
Ex. 11
Calcule o valor da integral da região que corresponde a um segmento de raio inicial 
igual a 4 até 7 nos dois primeiros quadrantes do plano.
Resposta:
32UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 12
Calcule a integral de superfície de uma região do semi plano limitada pelos círculos 
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Resposta:
Veja que foi feita a substituição de x = r.cos (θ) e y = r.sen(θ) , além de substituir o 
elemento de área . Portanto:
Integrando em relação a coordenada dr :
Vamos recordar uma relação da trigonometria básica:
Dessa forma:
Sabemos sen(0) = 0, sen(π) = 0 que e assim por diante, a cada múltiplo de π. 
Então, os termos nos parênteses da direita são todos nulos, sobrando apenas, no primeiro 
parênteses, .
Ex. 13
Determine a integral em que a região é um disco com centro na origem de raio igual a 3.
Resposta:
33UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Como os integrandos estão multiplicando, podemos fazer:
A primeira integral é solucionada pelo método de substituição:
Como a primeira integral resulta em zero e está multiplicando a segunda, então o 
resultado é nulo também. Assim:
I = 0
Ex. 14
Calcule a integral da região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências 
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 .
Resposta:
34UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
4. INTEGRAIS TRIPLAS
Até o momento, em nossa jornada do cálculo diferencial e integral, estudamos 
funções de uma variável, como derivá-la e métodos de integrar a mesma. Neste curso, 
começamos com as funções de duas variáveis, aprendemos as derivadas parciais e formas 
diferentes de realizarmos as integrais duplas. Agora, para fecharmos as integrais básicas, 
iremos aprender a integrar funções de três variáveis.
A ideia da integral é intuitiva. As integrais simples nos levam de uma dimensão 
para duas dimensões. Em outras palavras, integrando a região abaixo da curva, somando 
vários retângulos com largura Δ x, tornando-os bem pequenos e somando os n retângulos, 
encontramos a área. Matematicamente:
Em que o somatório é denominado soma de Riemann.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
35UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Partindo agora para uma função de duas variáveis, ao integrarmos f (x, y), em 
poucas palavras, saímos de um espaço 2D para um 3D, ou seja, integramos uma super-
fície e o resultado é o volume. O volume do sólido S que corresponde à região que está 
abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R. O formalismo da integral dupla em termos 
do somatório é dado por:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Nesse caso, é feita a somatória de diversos retângulos e, quanto menor for suas 
dimensões, mais próximo de um resultado ideal vamos obter.
Dando continuidade, a lógica é que a integral tripla nos leve de um espaço 3D para 
um 4D. Contudo, não podemos descrever fisicamente um espaço com quatro dimensões 
espaciais. Dessa forma, para que utilizaremos as integrais triplas? Em nosso curso, as 
utilizaremos para calcular o volume de sólidos tridimensionais, e umas das aplicações será 
a massa de um sólido, quando sua densidade não é constante; mas deixaremos essa 
análise para o fim desta seção. Vamos então à definição formal da integral tripla:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
36UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
4.1 Integrais triplas iteradas
O cálculo das integrais triplas iteradas é o mesmo feito para as integrais duplas, a 
única diferença é que temos mais uma integral para resolver. O que antes o elemento de área 
era dado por dA = dx dy no novo cenário, usaremos dV = dx dy dz. Vamos a alguns exemplos:
Ex. 01
Calcule o valor da integral a seguir
Resposta:
Ex. 02
Calcule a integral tripla iterada
Resposta:
37UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 03
Resolva a integral tripla
Resposta:
Vamos nos atentar a algo muito importante: Quando escrevemos a integral dupla 
ou mesmo tripla, a ordem dos diferenciais, se for alterada, deve alterar os limites da integral 
a qual cada uma representa. A seguir, uma demonstração:
Caso a ordem de integração seja alterada, o diferencial deve ser alterado da mesma 
forma, caso contrário, o resultado estará errado.
Ex. 04
Resolva a integral abaixo
Resposta:
38UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Uma outra forma de abordar as integrais triplas é, quando são dadas as dimensões 
geométricas do paralelogramo. Se a função f (x,y,z) é contínua em uma caixa retangular 
A=[a,b] ×[c,d] ×[e,f], logo:
Veja alguns exercícios resolvidos
Ex. 05
Calcule a integral tripla
Em que é a caixa retangular dada por
Resposta:
Note que os intervalos das dimensões do retângulo são nada mais do que os limites 
de integração:
Ex. 06
Calcule a integral tripla de f (x,y,z) = xz sobre a região Ψ = {(x,y,z)/ 0≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤2}
Resposta:
39UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Ex. 07
Determine o resultado da integral tripla sobre o espaço D = [0,1]×[0,1]×[0,4] na função 
Resposta:
 I = 68
O próximo tipo de integrais triplas que vamos resolver são aquelas que não estão 
bem limitadas por regiões do tipo cúbica, como foi feito nos exemplos 5, 6 e 7. Agora, são 
integrais de sólidos, os quais são limitados por planos no espaço. A diferença se dará nos 
intervalos de integração, ou seja, não serão mais pontos, mas sim outras funções. Contudo, 
o resultado final deve ser ainda um valor numérico. Veja alguns casos.
Ex. 08
Calcule o valor da integral tripla 
Resposta:
Ex. 09
Determine o resultado da integral tripla
40UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Resposta:
Ex. 10
Calcule a integral iterada
Resposta:
4.2 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
Quando estudamos integração por coordenadas polares na seção anterior, apren-
demos que f (x,y)→f (r, ) e então, nesse caso, o elemento de área dA = dx dy = r dr dθ.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
41UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Porém, agora, suponhaque essa figura geométrica se estenda também para o eixo 
z, como se fosse uma altura, transformando uma circunferência em um cilindro:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Assim sendo, a única diferença agora é que vamos utilizar outro elemento de vo-
lume que não seja dV = dx dy dz . Em coordenadas polares dx dy = r dr dθ, então, agora em 
coordenadas cilíndricas: dV = r dr dθ dz . De forma resumida, a diferença é que englobamos 
no problema uma nova dimensão e isso acrescenta uma integral com diferencial dz.
A mudança de coordenadas cartesianos para cilíndricas exige uma análise minu-
ciosa do problema, então não se surpreenda com o excesso de informações.
Ex. 11
Um sólido Ω está contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do 
parabolóide z = 1-x2-y2. Sabendo que a função calcule o volume do 
sólido.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
42UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Resposta:
Vamos definir os intervalos de integração da variável z, r e . Primeiro, o sólido tem 
uma base circular fechada, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2π. Foi dado no enunciado, que o cilindro tem 
equação x2 + y2 = 1, assim, lembre-se das coordenadas polares r2 = x2 + y2, ou seja, o raio vai 
de zero até um. Por fim, o exercício pede para calcularmos o volume do topo do cilindro até 
a ponta da semicircunferência. Então, 1- r2 ≤ z ≤ 4. Agora vamos montar a integral tripla e 
resolvê-la.
A partir das coordenadas polares, . Reescrevendo a 
integral:
Ex. 12
Calcule a integral iterada
Note que essa integral tripla remete a um cone sobre um plano de raio igual a 2.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
43UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Resposta:
A primeira integral na coordenada z significa que a sua dimensão varia da sombra 
do cone no chão, que é uma circunferência de raio igual a dois até o plano que corta o cone 
em z = 2. Por isso, dz, uma vez que . Já a segunda integral, na coordenada 
y, está mostrando que vai do raio r = −2 até o raio r = 2. Por isso, dz, note que o limite 
de integração é o raio da circunferência: r2 = x2 + y2, se r=2→4 = x2 +y2→y2 = 4-x2 →y=√(4-x2). 
Contudo, o semicírculo de raio r = -2 corresponde ao raio “negativo”, ou seja, y=-√(4-x2) . 
Nos resta agora a integral mais intuitiva, na coordenada x, que nada mais é do que o raio 
do sólido, indo de -2 → 2. Assim, vamos escrever os intervalos:
4.3 Integrais triplas em coordenadas esféricas
Para encerrar nossos estudos de integrais triplas e suas mudanças de variáveis, 
vamos agora analisar as coordenadas esféricas. Sólidos de forma arredondada tem uma 
interpretação melhor quando mudamos as coordenadas de (x,y,z)→(ρ,θ,ϕ). Antes, para 
integrar um sólido, era necessário dividir o mesmo em pequenos cubos e fazer a soma de 
todos eles (coordenadas cartesianas). Agora, vamos dividir o sólido em pequenas cunhas 
esféricas. Matematicamente, o elemento de volume passa a ser:
O elemento de volume é oriundo do determinante da matriz Jacobiana, quando 
mudamos as variáveis de coordenadas cartesianas para esféricas. Em outras palavras:
Contudo, não vamos nos aprofundar em algumas definições. Caso você queira se 
aventurar, comece fazendo a mudanças de coordenadas:
44UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
E calcule o determinante da matriz:
Com o determinante da matriz, encontramos a Jacobiana: J =|det(A)|. O resultado que 
você deve encontrar será J(ρ,θ,ϕ) = ρ2 sen(ϕ), o que promove a mudança de coordenadas.
Ex. 13
Considere um sólido distribuído em uma terna ordenada com as dimensões: 
W={(ρ,θ,ϕ) ∈ /0≤ρ≤2,0≤θ≤π,0≤ϕ≤π}. Calcule a integral da função f(x,y,z) = x2+y2+z2 em 
coordenadas esféricas.
Resposta:
Ex. 14
Calcule
Em que D é uma bola de raio igual a 2:
Resposta:
Utilizando a mudança de coordenadas de cartesianas para esféricas:
45UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
Agora iremos fazer algumas observações. Uma das formas de resolver a integral 
em ρ é quando fazemos u = ρ3→ du = 3ρ2dρ, ou seja, uma substituição simples. Além 
disso, estamos integrando o volume total de uma esfera. Isso nos revela até qual valor os 
parâmetros θ e ϕ alcançam. Em outras palavras, 0 ≤ θ ≤ 2π, que é todo espaço de rotação 
e 0 ≤ ϕ ≤ 2π, cujo é quando vamos do ponto mais inferior da esfera até o mais extremo 
superior. Dessa forma, dimensionamos a esfera, como se estivéssemos desenhando a 
mesma com um compasso, de modo que θ é a rotação e ϕ funciona como se fosse a 
“altura”, sobrando ρ para dizer o seu tamanho em relação ao centro do sistema.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
46UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
SAIBA MAIS
Umas das aplicações mais corriqueiras das integrais múltiplas, em especial, a integral 
tripla, é o cálculo da massa e densidade de um corpo, a qual não é uniforme e varia com 
a posição. Suponha que a densidade seja dada por: ρ(x,y,z). Sabemos da física que 
Portanto, podemos escrever da seguinte forma:
Em que a região de integração E é o próprio volume do corpo.
Outra aplicação também é o centro de massa de um corpo. Sabemos da física que a po-
sição média de todos os corpos maciços que compõem um sistema é dada pelo centro de 
massa. Por exemplo, uma esfera com densidade uniforme, seu centro de massa fica no 
centro da esfera. Assim, pensando em um sistema de três coordenadas, o centro de mas-
sa pode ser decomposto em cada uma das coordenadas por meio de uma integral tripla:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
47UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
REFLITA
Para qualquer área das ciências exatas, seja nas engenharias, física, química ou mate-
mática, para a pesquisa assim como para o ensino, o conhecimento relativo às integrais 
múltiplas e as derivadas parciais é fundamental. 
Isso porque boa parte dos teoremas que são construídos de um formalismo matemático 
moderno são provenientes de integrais duplas, triplas e operadores que envolvem a 
matemática de derivadas parciais como Teorema de Green, Stokes, do Divergente, bem 
como cálculos na mecânica dos fluídos, transferência de calor e massa, eletromagne-
tismo e estática.
Fonte: O autor (2021).
48UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, nesta unidade, foi possível estudar e abordar uma série de tópicos 
do cálculo. Começamos nossos estudos definindo as funções de mais de uma variável e, na 
sequência, verificamos as operações matemáticas que podiam ser feitas. A primeira delas 
refere-se às derivadas parciais, que servem como alicerce para os próximos capítulos, no 
entendimento de outros processos como gradiente, divergente e rotacional de uma função.
Além disso, introduzimos as integrais múltiplas, ou seja, as integrais duplas de 
forma iterada, e uma mudança de coordenadas, das cartesianas para as polares. Posterior-
mente, nas integrais triplas, além de estudarmos as iteradas, vimos também as mudanças 
de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. 
Até a próxima!
49UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Cálculo Numérico
Autores: Leonidas Conceição Barroso, Magali Maria de Araujo 
Barroso, Frederico Ferreira Campos Filho, Marcio Luiz Bunite de 
Carvalho, Miriam Lourenço Maia.
Editora: Harbra - Didático/ Paradidático.
Sinopse: Sua utilização tem por pré-requisitos um semestre de 
Cálculo e um de uma disciplina introdutória de Álgebra Linear, 
não sendo essencial, embora desejável, que os alunos tenhamum conhecimento básico de uma linguagem de programação de 
computador.A obra é um texto introdutório de Cálculo Numérico 
para alunos do ciclo básico dos cursos de Engenharia, Estatística, 
Física, Química, Ciências da Computação, Geologia e Matemática.
FILME / VÍDEO
Título: Aplicações de Integral - Massa e Centro de Massa
Ano: 2019.
Sinopse: Neste vídeo, é apresentado o exemplo de uma barra não 
homogênea de densidade linear e tem como objetivo calcular o 
centro de massa do sistema. Tal problema aparece com frequência 
principalmente em sistemas estáticos e deve ser bem conhecido 
por qualquer aluno de exatas, pois é uma das aplicações múltiplas.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=2IQUaD5LQow.
50
Plano de Estudo:
● Operações em Campos Vetoriais;
● Teorema de Green;
● Teorema de Stokes;
● Teorema do Divergente.
Objetivos da Aprendizagem:
● Compreender a matemática de campos vetoriais, gradiente, 
divergente e rotacional, além de aprender as integrais de linha;
● Aplicar os conhecimentos de integrais de linhas para regiões do espaço 2D;
● Estudar dois dos maiores teoremas do cálculo baseados 
nos conceitos divergente e rotacional.
UNIDADE II
Teoremas Fundamentais do 
Cálculo Diferencial e Integral
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
51UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 51UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, o primeiro assunto abordado será funções de 
várias variáveis, não é muito diferente do que já foi estudado nos tópicos de funções de 
uma variável. Saber lidar com funções de mais de uma variável amplia os casos de estudo 
e aplicações em qualquer ramo das ciências exatas.
Ademais, vamos dar sequência aos estudos de cálculo diferencial e integral. Como 
um dos alicerces principais do curso são funções de várias variáveis, as derivadas não 
serão mais simples, mas sim derivadas parciais. Já as integrais simples, passarão a ser in-
tegrais duplas ou triplas. O processo para resolvê-las é análogo ao que foi visto no primeiro 
curso de cálculo. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na 
sua formação acadêmica.
Bons estudos!
52UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 52UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
1. OPERAÇÕES EM CAMPOS VETORIAIS 
Para iniciarmos os estudos de campos vetoriais, vamos primeiramente entender a 
diferença entre uma grandeza física vetorial e uma escalar. Quando você está em algum 
local sem relógio ou celular e pergunta para seu amigo: “que horas são agora?”. Provavel-
mente a resposta será um número, mas não faz sentido dizer, por exemplo, que são “dez 
para as quatro da tarde na vertical para baixo”, ou mesmo responder “são 16h na horizontal 
para esquerda”. Agora, imagine um dia quente e você está assistindo o jornal, a apresenta-
dora fala da previsão do tempo e comenta ao vivo “hoje a previsão é de 38 graus Celsius”. 
Contudo, não faz sentido ela falar que são 38 graus Celsius na horizontal no sentido positivo 
da coordenada das abcissas. Como último exemplo, suponha que você esteja na academia 
e seu treinador lhe diga “faça o exercício com dois halteres de 10 kg”. Certamente, ele não 
falará se são 10 quilogramas para cima, para baixo, para direita, esquerda ou qualquer 
coisa. Ou seja, tempo, temperatura e massa são grandezas que basta dizer seu valor, seu 
número, seu módulo. Essas grandezas são batizadas de escalares.
Por outro lado, quando você está viajando por uma rodovia desconhecida com o 
auxílio de um GPS, corriqueiramente escuta “vire à direita e permaneça por 100 metros… 
reduza a velocidade para 60 km/h… radar à frente...”. Veja que a orientação de velocidade 
precisa de uma direção (horizontal ou vertical) e um sentido (direita ou esquerda/leste ou 
oeste/para cima ou para baixo). Outro exemplo é a força. Para analisar um sistema que 
sofre ou causa uma força, não basta dizer apenas seu módulo, pois assim parece que a 
informação está incompleta, e então surge a necessidade de se especificar a direção e o 
sentido. Essas grandezas, então, são denominadas de vetoriais.
53UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 53UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Na disciplina de física, estudamos diversos campos vetoriais. Na física mecânica, 
lidamos com o campo gravitacional. Segundo a relatividade, qualquer coisa que tenha massa 
deforma o tecido do espaço tempo, e isso gera uma força de atração para corpos a qualquer 
distância. Essa atração gravitacional é descrita pela lei da gravitação universal de Newton, 
mas podemos ver uma outra manifestação dela, quando calculamos o peso de um corpo:
Veja que o peso (P) e a aceleração da gravidade (g) têm uma seta em cima, sim-
bolizando que são grandezas vetoriais. Por outro lado, a massa m, que é escalar, não 
possui essa simbologia. Ademais, repare que uma grandeza vetorial, multiplicada por um 
escalar, gera outro vetor. Outra aplicação na física são os campos magnético ( ) e elétrico 
( ). Além disso, há outras formas de encontrarmos campos vetoriais em nosso dia a dia, 
quando escutamos que uma frente de onda térmica está se movendo no oceano, ou ainda 
quando se fala sobre o fluxo de ar contornando as asas de um avião.
Vamos definir campo vetorial como uma função que associa a cada ponto do espa-
ço um vetor, ou seja, um plano cheio de vetores.
Uma função escalar de três variáveis é dada por:
f (x,y,z) = x+y+z
Ao substituir cada coordenada por 1:
f (1,1,1) = 1+1+1 = 3
Ou seja, a imagem é um número, um escalar. Agora, por outro lado, uma função 
vetorial é dada por:
E fazemos o mesmo, trocando cada ponto pelo valor unitário:
Dessa vez, o resultado é um vetor, e não um número.
1.1 Campo Gradiente
Suponha uma função de três variáveis f (x,y,z). Vimos que seu gradiente é dado por:
Assim, o campo gradiente é um campo vetorial. Porém, ele nos revela algo ainda 
mais importante. Toda vez que um campo vetorial A for o gradiente de uma função escalar, 
ou seja, se , então o campo A é denominado campo vetorial conservativo.
54UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 54UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
1.2 Integrais de Linhas
Vamos estudar agora um novo tipo de integral, porém, em vez de se integrada em 
um intervalo arbitrário [a,b], será feita sobre uma curva C. Essas integrais serão chamadas 
de integrais de linha. Suponha que estejamos fazendo a integral de uma função de duas 
variáveis ao longo de uma curva:
A interpretação matemática é que, somando vários retângulos de largura muito 
pequena ds ao longo de uma curva, obteremos a soma de vários retângulos e, conse-
quentemente, a área desejada. Porém, se essa curva for parametrizada, ou seja, quando 
escrevemos x = xt(t) e y = yt(t) e , reescrevemos f (x,y) → f (r(t)), em que r(t)=(x(t), y(t)) é 
um vetor, com o parâmetro t delimitado entre os pontos a ≤ t ≤ b . Com isso, transformamos 
uma integral de linhas em duas variáveis em uma integral de uma só variável.
Ex. 01
Calcule a integral de linha da seguinte função f (x,y) = x.y na curva C, a qual abrange 
o primeiro quarto da circunferência x2 + y2 = 1.
Resposta:
Para resolver esse problema, primeiro vamos parametrizar a função. Nesse caso, 
como se trata de uma semicircunferência, a parametrização das variáveis é dada por:
x = cos(t)
y = sen(t)
Dessa forma, temos nosso vetor r(t)= < x(t) , y(t) > = < cos(t), sen(t) >.
Contudo, qual seria a interpretação desse vetor? É o nosso deslocamento ao longo 
da curva parametrizada. Além disso, sabemos que a derivada do deslocamento é nossa 
velocidade, ou seja:
Nesse sentido, o diferencial da nossa integral é o módulo da derivada do vetor r(t) 
vezes dt, o que nos leva a uma mudança de variável para t. 
O próximo passo será calcular |r′(t)|.
55UNIDADEI Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 55UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Logo:
A integral que vamos calcular será:
Note que o limite da integral é de zero a π/2 pois estamos falando do primeiro 
quarto da circunferência no plano cartesiano. Para solucionar essa integral, vamos fazer 
substituição simples:
Ex. 02
Calcule a integral de linha da função f(x,y) = x+y, sendo a curva C o segmento de 
reta que vai do ponto A (1,1) até o ponto B (4,5).
Resposta:
Primeiramente vamos começar calculando o vetor que une esses dois pontos:
O próximo passo será parametrizar a reta, mas como fazer isso? Veja:
Para isso, a parametrização da primeira coordenada x inicial com o x do vetor u vezes 
a variável t . O mesmo é feito para a segunda coordenada. Para provar que essa parametriza-
ção está correta, basta substituir t = 0, que nos leva do ponto inicial ao ponto final t = 1.
Portanto, necessariamente, 0 ≤ t ≤ 1. Com isso, deixamos a função de duas variá-
veis em função de uma única só. Agora vamos determinar o diferencial fazendo a derivada 
do vetor r(t)=< x(t), y(t)> e elaborar a integral.
56UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 56UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Logo:
A integral que vamos calcular será:
Em alguns casos, podemos também encontrar as curvas já parametrizadas.
Ex. 03
Calcule a integral de linha da função f (x,y) = x.y em que C é a curva parametrizada com:
No intervalo de 0 ≤ t ≤ 1.
Resposta:
Começamos calculando o vetor r (t) e sua derivada.
Logo:
A integral que vamos calcular será:
As integrais de linha podem ser feitas também sobre campos vetoriais. A diferença 
agora está na multiplicação do integrando pelo diferencial, uma vez que, teremos: F(r). dr, 
ou seja, é a multiplicação de dois vetores. Para fazer isso, devemos multiplicar cada direção 
separadamente. Observe o exemplo:
57UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 57UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Contudo, î.î = ĵ .ĵ =1. Então, F(r).dr = t3+ 4t2. Isso é muito bom, pois, nesse caso, não 
será necessário retirar o módulo do vetor r(t). Vamos para um exemplo:
Ex. 04
Calcule a integral de linha, em que F(x,y,z) = x î + xy ĵ+ xyz k̂̂, onde
Resposta:
Vamos escrever a integral:
Logo:
A integral que vamos calcular será:
1.3 Divergente de uma função
Vamos aprender uma operação matemática muito corriqueira em campos vetoriais 
denominada de divergente de uma função. Até agora, vimos o gradiente, o qual era dado 
pelo operador “del” aplicado em uma função:
Uma vez que o operador diferencial vetorial é dado por:
Veja que podemos considerar o operador como um vetor, uma vez que ele é es-
crito em termos dos vetores unitários î, ĵ e k̂. Portanto, quando tivermos um campo vetorial 
F (x,y,z), podemos fazer duas operações, o produto escalar e o produto vetorial. Vamos 
começar pela primeira.
O produto escalar, ou também conhecido na literatura como produto interno, é re-
presentado por um pontinho, como se fosse uma multiplicação. Para realizar essa operação 
matemática, basta você multiplicar isoladamente vetores que dependem da coordenada î 
com ela mesma e fazer o mesmo processo com as outras duas coordenadas. Veja o exemplo:
58UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 58UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
O produto escalar é:
Observe que o produto interno de vetores unitários iguais resulta em um. Ademais, 
veja que o produto interno sempre resulta em um número, pois, no fim, não há vetores no 
resultado. Voltando para o estudo do divergente, vamos considerar um campo vetorial do 
tipo F = (x,y,z) = Pî + Qĵ + Rk ̂ . O produto escalar do operador del com essa função é dado por:
Ou seja, o resultado é a soma de algumas derivadas, podendo resultar em um nú-
mero ou em uma expressão algébrica. Portanto, podemos tirar outra conclusão importante: 
O divergente de um campo vetorial é um campo escalar. Vamos ver alguns exemplos:
Ex. 05
Dada a função F =(x,y,z)= xyz i ̂+ xyz j + xyz k̂ calcule o seu divergente.
Resposta:
Ex. 06
Partindo da função F = (x,y,z) = 3x3 y4z î + y√z ĵ + y9 x k̂, determine o divergente de F (x,y,z).
Resposta:
59UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 59UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 07
Calcule o divergente da função vetorial F = (x,y,z) = 2x2 y î + xy2 ĵ + xyz k̂.
Resposta:
Até o momento, aprendemos a calcular o divergente de uma função vetorial. Contudo, 
qual é o seu significado? Basicamente, podemos pensar que o divergente de um campo vetorial 
dado por F (x,y,z), quando calculado em um ponto P, mede a quantidade que essa grandeza sai 
do ponto. Na física, você já deve ter estudado o conceito de campo elétrico E . Fisicamente, as 
linhas de campo elétrico saem de cargas positivas e entram em cargas negativas.
Fonte: NEWTON, V. B; DOCA, R. H; BISCUOLA, G. J. Tópicos de física: volume 3, São Paulo Saraiva, 2012.
Em outras palavras, quando as linhas de campo elétrico saem do centro de um 
ponto (que, nesse caso, é a carga positiva), dizemos que seu divergente é positivo (não 
está vinculado o nome positivo à carga elétrica, mas sim ao sentido; neste exemplo, foi 
apenas uma coincidência). Por outro lado, nas cargas negativas, como as linhas de campo 
elétrico convergem para um ponto, é dito que o divergente é negativo. 
Na literatura, você pode encontrar o divergente em outra nomenclatura:
E o campo vetorial de outro forma:
60UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 60UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Vamos para mais alguns exemplos:
Ex. 08
Calcule div F (x,y,z), em que F(x,y,z)= < x2 z, xyz , zy2 z2 >.
Resposta:
Ex. 09
Dada F (x,y,z) = < sen(xyz), xy2 ez, x2 ln(y)z3 >, calcule F.
Resposta:
Ex. 10
Calcule div F (x,y,z), em que F (x,y,z) = < x5 yz, y, 4x2 z4 >.
Resposta:
61UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 61UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 11
Dada F (x,y,z) = < cos(x2), xz, x3 y3 > , calcule F .
Resposta:
Ex. 12
Calcule o divergente da função vetorial F = (x,y,z) = √x i ̂- y2ez ĵ + ex z k̂.
Resposta:
Ex. 13
Calcule div F (x,y,z), em que F(x,y,z)= <ln(x), ln(y2), ln(z3)>.
Resposta:
Ex. 14
Dada F (x,y,z)= < ex²,ey³, ,ez4 >, calcule F .
Resposta:
62UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 62UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 15
Calcule div F (x,y,z), em que F(x,y,z) = < x,y,z >.
Resposta:
1.4 Rotacional de uma função
Como foi mencionado na seção anterior, o operador del e a função vetorial podem 
fazer um produto interno ou também o produto vetorial. Diferentemente do produto escalar, 
em que apenas multiplicamos os número ou parâmetros da mesma coordenada, dessa vez, 
será diferente. Isso porque o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor também.
Vamos considerar a mesma função vetorial do caso anterior: F = (x,y,z) = Pî + Qĵ + Rk̂ . 
O rotacional dessa função é definido pelo determinante da matriz:
O trabalho agora será calcular o determinante da matriz. Vamos fazer alguns exemplos:
Ex. 16
Calcule o rotacional da função F=(x,y,z) = xyz î + xyz ĵ + xyz k̂.
Resposta:
63UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 63UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Vamos analisar esse exemplo. Primeiro, a operação de determinar a matriz fica 
ao seu critério sobre como resolver, o cuidado que você deve ter é na hora de colocar o 
sinal negativo. Depois disso, é só resolver a derivada em cada coordenada e somar cada 
elemento de mesma coordenada, nesse caso resultou em zero.
A frente, ainda nesta unidade, estudamos os campos conservativos. Indaga-se 
então como podemosenvolver o conceito de rotacional? Lembre-se de que, quando um 
campo vetorial f(x,y,z) é conservativo, podemos escrever outro campo em termos do seu 
gradiente, ou seja, F = f (x,y,z). Vamos calcular então o rotacional desse novo campo F.
Mas 
Então, a matriz fica da seguinte forma:
64UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 64UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Podemos reescrever em termos da segunda derivada:
Lembre-se de que:
Portanto, somando todos os termos:
Com isso, provamos um teorema muito importante: Se F for um campo conservativo, 
logo seu rotacional será igual a zero. Então, a partir de agora, vamos calcular o rotacional 
de várias funções e, dependendo do seu resultado, será possível determinar se o campo é 
conservativo ou não.
Ex. 17
Determine o rotacional de F = (x,y,z) = 2x2 y î + xz ĵ + x k̂.
Resposta:
Portanto, o campo vetorial F = (x,y,z) = 2x2 y î + xz ĵ + y2 k̂ não é conservativo.
65UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 65UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 18
Calcule o rotacional do campo F = (x,y,z) = y2 z3 î + 2xyz3 ĵ + 3xy2z2 k̂.
Resposta:
Assim, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo.
Ex. 19
Dada a função vetorial F =(x,y,z) = y2 z3 î+2xyz3 ĵ+3xy2 z2 k̂, calcule o seu rotacional.
Resposta:
66UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 66UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 20
Calcule o rotacional do campo F = (x,y,z) = ez ex î + 2ey j ̂+ ey ez k̂.
Resposta:
1.5 A matemática do operador 
Para encerrar nossos estudos sobre a aplicação do operador del em funções esca-
lares e vetoriais,primeiro vamos resumir o que foi visto até aqui e depois mostrar um pouco 
mais da extensão do seu poder.
Nas disciplinas de álgebra e geometria analítica, estudamos com mais afinco como 
tratar um vetor. Suponha então um vetor F (x,y,z). Existem três operações básicas vetoriais:
1) Multiplicar por um escalar a, assim obtendo aF, que também é um vetor.
O intuito de multiplicar por um escalar é imaginar o vetor como uma trena que você 
encontra no seu dia a dia. A trena é o vetor F. Ela pode aumentar ou diminuir de tamanho 
e isso é definido pelo quanto aumentamos ou diminuímos; para isso, multiplicamos por um 
número a.
2) Produto escalar com outro vetor D(x,y,z), então obtemos FD, que é um escalar 
(um número).
3) Produto vetorial com outro vetor D(x,y,z), então obtemos F × D , resultando em 
outro vetor.
Fazendo um paralelo com o vetor :
1) Aplicando o vetor em uma função escalar G, obtemos G (gradiente de G), 
que é um vetor.
2) Fazendo o produto escalar de com uma função vetorial T, chamado de diver-
gente, resulta em um escalar T.
67UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 67UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
3) O produto vetorial de com uma função vetorial T, chamado de rotacional, ×T 
, resulta em um vetor.
Seguindo essa lógica, temos três componentes: 
Vamos fazer operações de segunda ordem agora, veja:
1) O gradiente ( F) é um vetor, logo, podemos tirar seu divergente e rotacional 
(o gradiente de um gradiente não existe, uma vez que só aplicamos gradiente em uma 
função escalar, e o próprio gradiente é um vetor, então não podemos fazer o gradiente de 
um vetor).
I. Divergente do gradiente: .( F). Esse caso é muito conhecido na literatura como 
o Laplaciano de uma função:
II. Rotacional do gradiente: ×( F)
2) O divergente ( .F) é uma grandeza escalar e, como tal, podemos fazer apenas o 
seu gradiente, uma vez que divergente e rotacional só se aplicam em funções vetoriais. Logo:
III. Gradiente do divergente: ( .F)
3) Por fim, o rotacional ( × F) é uma grandeza vetorial e, como tal, podemos aplicar 
o divergente e o rotacional nele. Contudo, não podemos aplicar o gradiente, pois trata-se 
de um vetor.
IV. Divergente do rotacional: .( F)
V. Rotacional do rotacional: ( F)
68UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 68UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
2. TEOREMA DE GREEN
Neste capítulo, vamos iniciar o estudo de um dos teoremas mais conhecidos do 
cálculo, o teorema de Green. Basicamente, ele consiste em facilitar um pouco as contas. 
Quando estudamos integrais de linha, tínhamos que, praticamente em todos os casos, pa-
rametrizar a curva para então resolver a integral. Muitas vezes era uma integral complicada 
de se resolver. Nesse viés, veio o teorema de Green. Vamos para a sua definição.
● Seja C uma curva fechada e contínua no plano do eixo das coordenadas; 
● Seja D a região delimitada pela curva C ;
● Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínua sobre uma região 
aberta que contenha D;
Então:
Dessa forma, podemos ver que o teorema de Green estabelece uma relação entre 
a integral de linha ao longo de uma curva com uma integral de superfície sobre uma região 
que está dentro dessa curva. Ademais, essa curva deve ser orientada, por isso, vamos 
definir como sentido positivo o anti-horário. Outro ponto relevante também é que o teorema 
de Green será utilizado estritamente para funções no domínio do 2, ou seja, em duas 
dimensões. Vamos resolver alguns exemplos:
69UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 69UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 01
Calcule a integral de linha sobre a região D delimitada por uma curva fechada.
Sobre a curva delimitada pelo triângulo da figura abaixo.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Usando o teorema de Green, temos:
O próximo passo agora é definir um lado fixo; neste caso, vamos definir a orienta-
ção na coordenada 𝑦 como fixa. Olhe atentamente na figura. Caso você pudesse desenhar
nela, a área do triângulo começa na reta na diagonal para cima e tem sua altura até o ponto 
y = 2, como se você à delimitasse onde y começa e onde termina. Mas a variável x vai do 
ponto inicial ao final, ou seja, de 0 a 1. É importante destacar isso, pois não podemos deixar 
as duas variáveis com limites de integração em forma de função, se não o resultado não 
será um número.
Ex. 02
Calcule a integral de linha
Em que C é a curva triangular da imagem abaixo:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
70UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 70UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Resposta:
Utilizando o teorema de Green:
Ex. 03
Determine a integral de linha
Limitada pela curva C do triângulo abaixo:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Usando o teorema de Green:
71UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 71UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 04
Calcule a integral de linha:
Em que C é o círculo x2 + y2 = 4
Resposta:
Nesse caso, vamos aplicar no teorema de Green as coordenadas polares. Lembre-
-se de que dA = r dr dθ
Ex. 05
Calcule a integral de linha:
Em que C é o círculo com centro na origem e de raio igual a 4.
Resposta:
O mesmo procedimento será feito aqui, utilizando coordenadas polares.
72UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 72UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
3. TEOREMA DE STOKES
O teorema de Stokes é uma generalização do teorema de Green, uma vez que 
antes utilizamos o teorema de Green para uma região do plano cartesiano, ou seja, no 
domínio 
2
. Agora, com o teorema de Stokes, podemos calcular a superfície distribuída 
em qualquer região do espaço. Vamos a sua definição:
Seja S uma superfície orientada, suave por partes, cuja fronteira é formada por 
uma curva C fechada, simples, suave por partes, com orientaçãopositiva. Seja F um campo 
vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de 3 
que contém S. Então:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
73UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 73UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Na maioria dos casos, a parametrização de uma curva distribuída no espaço torna 
as integrais de difícil resolução, pois o vetor normal unitário em vários casos não é trivial de 
ser calculado. Então, orientando a curva no sentido horário, podemos determinar o valor 
da integral de linha em torno da superfície, calculando o componente normal rotacional do 
campo vetorial que atravessa a superfície.
Para auxiliar, podemos trocar n.dS pelo produto vetorial entre a componente para-
métrica rx × ry dx dy. Ou seja:
Em que:
Vamos fazer alguns exemplos:
Ex. 01
Dado o campo vetorial F = (x,y,z)= xy î + z ĵ, calcule a integral de linha na superfície 
delimitada pelo triângulo da figura abaixo usando o teorema de Stokes.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Da figura, temos que z = 1 - x - y , logo: r = < x, y,1 - x -y > . Vamos agora então derivar 
o vetor da curva parametrizada.
74UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 74UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Agora, vamos fazer dois produtos vetoriais. O primeiro é o rotacional do campo, 
dado por × F , e rx × ry o segundo :
Retornando a integral, temos:
Note que, agora, temos uma integral dupla sobre uma região triangular do tipo:
75UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 75UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Pela figura, podemos ver que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 - x. Assim:
Ex. 02
Dado o campo vetorial H = y2 i ̂+ 3x ĵ + 8z k̂, calcule a integral de linha na superfície 
delimitada pelo plano y + z =2 com o cilindro x2 + y2 = 5 pelo teorema de Stokes.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Vamos resolver o problema tratando a integral dupla em coordenadas polares, ou 
seja, dS = r dr dθ . O rotacional do campo é dado por:
76UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 76UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Contudo, aprendemos em coordenadas polares que y = r sen(θ). Ademais, olhando 
para a figura 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ r ≤ 5, pois o cilindro tem raio igual a x2+y2 = 5. Assim, a integral 
fica da forma:
Ex. 03
Dado o campo vetorial G = (x-y2) î+( y-z2) ĵ+(z-x2) k̂ calcule a integral de linha na 
superfície delimitada pelo triângulo da figura abaixo usando o teorema de Stokes.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Da figura, temos que z = 1-x-y, logo: r = <x,y,1-x-y> , vamos agora então derivar o 
vetor da curva parametrizada.
Agora, vamos fazer dois produtos vetoriais. O primeiro é o rotacional do campo, 
dado por × F , e o segundo rx × ry:
Calculando agora o equivalente ao vetor normal:
77UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 77UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Retornando a integral, temos:
Porém, veja que temos o parâmetro z que não pode ser integrado; nesse caso, 
retornamos a substituição z = 1 - x - y. Logo:
Dessa vez, como não estamos integrando nenhuma variável, podemos pensar que:
Uma vez que a integral dupla “sozinha” resulta na área que buscamos na figura
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Nesse exercício, caso queira fazer como o exemplo 01, cujo integramos em cada 
variável, o resultado deve ser o mesmo. Dessa vez, já partimos do pressuposto que a 
integral dupla resulta na área em questão.
78UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 78UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
4. TEOREMA DO DIVERGENTE
O Teorema do Divergente, é também conhecido na literatura como Teorema de 
Gauss, em homenagem ao cientista que descobriu esse teorema. É um dos teoremas mais 
famosos do cálculo, visto que tem vasta aplicação em diversas áreas das ciências exatas. 
O teorema consiste em transformar uma integral de superfície complicada (ou seja, uma 
integral dupla) em uma integral de volume simples (uma integral tripla).
Antes, era necessário parametrizar as curvas em toda superfície. Com o auxílio 
desse novo teorema, sabendo calcular o divergente do campo vetorial e integrar esse re-
sultado em um volume, utilizando coordenadas esféricas ou cilíndricas, obtemos o mesmo 
resultado. Vamos a definição:
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada posi-
tivamente (para fora). Seja F = P î + Q ĵ + R k̂ um campo vetorial cujas funções componentes 
tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então:
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
79UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 79UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 01
Calcule a integral de fluxo para o campo vetorial F = 2x i ̂+ 3y ĵ + 5z k̂ por meio da 
superfície S dada lateralmente pelo parabolóide z = x2+y2 e acima do plano z =1.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Caso fossemos utilizar o método anterior, ou seja, calcular a integral de superfície 
com a função parametrizada, o primeiro passo seria dividir o cálculo em duas partes, em 
que uma o vetor normal estaria no parabolóide e a outra no disco posicionado em z =1. Con-
tudo, o objetivo agora é resolver o problema pelo teorema do Divergente. Vamos começar 
calculando o divergente do campo vetorial.
Para realizarmos a integral tripla, vamos resolvê-las por meio de coordenadas cilín-
dricas. Lembre-se de que o elemento de volume é dV=r dz dr dθ, então vamos determinar 
cada parâmetro: Pela figura, tiramos que x2+ y2 ≤ z ≤ 1, a componente angular 0 ≤ θ ≤ 2π e a 
radial é o raio do parabolóide 0 ≤ r ≤ 1. Portanto:
Veja que, na integral em z, os limites de integração começam em r2, pois x2 + y2 = r2. 
Agora o passo a passo já é conhecido.
80UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 80UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 02
Calcule a integral de fluxo sobre a superfície delimitada pelo cilindro parabólico 
de equação z = 2 - x2 e o plano y = 1- z, em , onde o campo vetorial é G = (-xy + e sen(y2)) î + 
(-3y2 - z4) ĵ + 8zy k̂.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.
Resposta:
Vamos começar calculando o divergente do campo vetorial.
Neste caso, não precisaremos de transformações de coordenadas, mas fique à 
vontade se desejar usar. Então, vamos escrever o resultado da forma de uma integral tripla 
com ,-2 ≤ x ≤ 2, 02 ≤ z ≤ 2-x2 e 0 ≤ y ≤ 1- z. . Assim:
81UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 81UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Ex. 03
Calcule o fluxo do campo vetorial H = z4 î + ex ĵ-3y k̂ sobre a superfície esférica 
x2+y2+z2 = 4.
Resposta:
Vamos começar calculando o divergente do campo vetorial.
82UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 82UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
Vamos utilizar coordenadas esféricas agora:
83UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 83UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
SAIBA MAIS
Umas das aplicações mais conhecidas do teorema de Stokes e do Divergente são nas 
quatro equações de Maxwell. Através delas, podemos chegar nas equações da óptica 
também, deixando claro que o estudo dos raios luminosos é oriundo do eletromagnetis-
mo. As quatro equações são: 
i) Lei de Gauss, que explica como o campoelétrico diverge ou converge para uma su-
perfície imaginária, denominada gaussiana, a qual por meio dela podemos calcular o 
valor do campo ou da carga interna a essa superfície. 
ii) A lei de Gauss para o magnetismo que tem um resultado fantástico, já que, de forma 
resumida, prova que não é possível encontrar na natureza monopolos magnéticos. 
iii) A lei de Faraday que deixa claro que a variação de fluxo de campo magnético em 
uma espira condutora gera campo elétrico (consequentemente, uma corrente induzida).
iv) A lei de Ampère que afirma o ponto de vista contrário, onde a variação de campo elé-
trico no espaço gera campo elétrico (a qual mais tarde foi complementada por Maxwell 
ao resolver o problema do capacitor). Todas essas equações podem ser transformadas 
da forma integral para a diferencial, utilizando os teoremas vistos nesta unidade. Vamos 
aos resultados. Na esquerda, na forma integral; e, na direita, na forma diferencial:
Fonte: O Autor (2021).
84UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 84UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
REFLITA
Com o assunto apresentado aqui, você será capaz de entender teoremas e axiomas 
refinados em quaisquer livros de ciências exatas. Compreender o gradiente de uma 
função, divergente e rotacional de um campo não é intuitivo. Porém, as aplicações não 
exigiram muito mais do que isso. Portanto, sempre que necessário, recorra aos concei-
tos dessa unidade para lhe auxiliar ao longo de sua jornada acadêmica.
Fonte: O autor (2021).
85UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 85UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, na segunda unidade do curso, estudamos os teoremas que são 
fundamentais no cálculo diferencial e integral. Em qualquer área das ciências exatas, como, 
por exemplo, mecânica, eletromagnetismo, hidrostática, termodinâmica e óptica, os concei-
tos de campos vetoriais, assim como o gradiente, divergente e rotacional desses campos, 
nos levam a diversas aplicações.
Além disso, o teorema de Green, Stokes e Divergente podem ser complexos por 
determinado ponto de vista, mas saiba que são alguns dos conteúdos mais refinados em 
todo o curso de cálculo durante a formação acadêmica.
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. 
Até a próxima!
86UNIDADE I Derivadas e Integrais de Funções de Várias Variáveis 86UNIDADE II Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Os seguidores de Maxwell
Autor: Bruce J. hunt.
Editora: UFMG.
Sinopse: James Clerk Maxwell publicou seu livro sobre eletro-
magnetismo, Treatise on Electricity and Magnetism, em 1873 e 
faleceu em 1879. Nesse período, sua teoria não era compreendida 
nem sequer aceita amplamente. Coube sobretudo a três cientistas 
ingleses, denominados por J.Hunt de seguidores de Maxwell, e um 
alemão, a tarefa de desenvolver e estabelecer o que hoje conhe-
cemos como a “teoria de Maxwell”, representada por suas quatro 
equações do campo eletromagnético. Esta obra conta como isso 
aconteceu.
FILME / VÍDEO
Título: Gradiente, Divergente e Rotacional
Ano: 2019.
Sinopse: Neste vídeo, são apresentadas diversas aplicações de 
gradiente, divergente e rotacional. Ao incidir uma fonte de calor em 
uma amostra, ela se espalha seguindo uma distribuição, caracte-
rizada matematicamente pelo gradiente de temperatura. As linhas 
de campo elétrico divergem de um ponto, ou convergem para um 
ponto. Frentes de ondas térmicas e correntes marítimas podem 
ser descritas por rotacionais de funções.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=9QcDXw64cG8&t=1s.
87
Plano de Estudo:
● Interpolação;
● Introdução à Sequências;
● Séries, métodos de convergência e séries de potências;
● Integrais numéricas.
Objetivos da Aprendizagem:
● Conhecer a matemática de interpolação;
● Compreender a matemática fundamental das sequências e dos diversos tipos 
de séries, bem como determinar se são convergentes ou divergentes;
● Aprimorar os estudos de integrais, resolvendo os mesmos problemas visto 
em Cálculo Diferencial e Integral através de um novo ponto de vista.
UNIDADE III
Cálculo Numérico
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
88UNIDADE III Cálculo Numérico
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, vamos começar estudando a interpolação, 
uma técnica matemática valiosa para o esboço de gráficos. Ademais, vamos estudar se-
quências e séries, que têm uma grande aplicabilidade para as ciências, em especial para 
a engenharia. 
A segunda parte da unidade é dedicada às integrais numéricas, que, resumida-
mente, é uma nova abordagem de resolução das integrais simples estudadas em cálculo 
diferencial e integral.
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso em 
sua formação acadêmica.
Bons estudos!
89UNIDADE III Cálculo Numérico
1. INTERPOLAÇÃO
Suponha que, durante um determinado experimento, como resultado, encontramos 
alguns dados e que tais números possam ser interpretados como pontos em um plano 
cartesiano. Nas ciências exatas, é de grande importância saber a curva característica de 
um comportamento. Por exemplo, para desenhar um segmento de reta, basta localizarmos 
dois pontos e ligá-los; por outro lado, outras funções não lineares como as de segundo grau 
têm o desenho de uma parábola. Entretanto, imagine que tenhamos que ligar três pontos e 
não sabemos o tipo de curva que possa uni-los, qual seria a curva certa para isso?
Lagrange encontrou uma maneira de resolver esse problema ao interpolar os pon-
tos do plano cartesiano. Em outras palavras, o método da interpolação de Lagrange fornece 
um polinômio que caracteriza uma curva a qual passa por todos os pontos desejados. Para 
entender esse processo, veja o seguinte exemplo:
Suponha que os pontos encontrados são: . Lembre-se de que , portanto, podemos 
montar a seguinte tabela:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
 Primeiramente, vamos nomear cada um desses termos da tabela:
x0 x1 x2
x -1 0 2
f (x) 4 1 -1
f (x0) f(x1) f(x2)
90UNIDADE III Cálculo Numérico
Na segunda coluna, cujo indica os primeiros termos, foram colocados o índice zero e 
assim sucessivamente para as demais. O polinômio de Lagrange é escrito da seguinte forma:
P(x) = f(x0 ). L0 (x) + f(x1 ).L1 (x) + f(x2 ). L2 (x)
Em que P(x) é o polinômio que queremos encontrar responsável por interligar (ou se 
preferir, interpolar) os três pontos. Já L0(x) é a função de Lagrange, que matematicamente 
para cada posição ela assumirá um valor diferente. Veja:
Observe que, em destaque rosa, estes sempre se repetem no numerador. Por outro 
lado, o que está enfatizado em verde remete ao índice da função de Lagrange que sempre 
está no numerador sendo subtraído. Então, vamos substituir os valores da tabela em cada 
função de Lagrange:
Retornando a equação geral do Polinômio:
91UNIDADE III Cálculo Numérico
Para simplificar essa função, podemos multiplicar o primeiro termo no numerador e 
no denominador por 2 e o segundo fator por 3. Assim, todos eles ficam com 6 no denominador:
Observe que durante os cálculos foi nomeado o polinômio como P2(x), mas porque 
o prefixo 2? No método de interpolação de Lagrange, quando o cálculo é efetuado com 3 
pontos, o polinômio é de grau 2, quando feito com 4 pontos, o polinômio é de grau 3, e assim 
por diante. Portanto, tal qual neste exemplo, há três pontos, o polinômio é escrito como P2(x).
Uma forma de verificar se os cálculos foram feitos corretamente, é que depois que 
foi encontrado o polinômio, ao substituir os valores de x0, x1 e x2, o resultado deve ser f(x0), 
f(x1) e f(x2). Veja:
xi P2(x) f(xi)
-1 4
0 1
2 -1
Graficamente, a curva desse polinômio passa pelos pontos indicados na tabela. Mas, 
suponha que hipoteticamente, desejemos calcular essa função em x = 3/5. Como , ou 
seja, um valor que está entre -1 e 2, então esse polinômio passa por esse valor de x ehaverá 
um valor correspondente para . Vamos fazer mais um exemplo:
Ex. 01
Suponha os seguintes pontos (1;0),(2;1),(3;4). Encontre a função polinomial que 
interpola essas 3 posições no plano cartesiano.
Resolução:
92UNIDADE III Cálculo Numérico
 Primeiramente, vamos nomear cada um desses termos da tabela:
x0 x1 x2
x 1 2 3
f(x) 0 1 4
f(x0) f(x1) f(x2)
Agora, vamos calcular as funções de Lagrange, como são apenas 3 pontos, teremos 
L0(x), L1(x), e L2(x):
Retornando a equação geral do Polinômio:
O primeiro termo é igual a zero, já o segundo podemos multiplicar por 2 no nume-
rador e denominador.
Para verificar se está tudo certo, vamos retornar os valores de x e verificar se 
retornam os valores respectivos da função nesses pontos.
x1 P2(x) f (xi)
1 (1)2 - 2(1) + 1 0
2 (2)2 - 2(2) + 1 1
3 (3)2 - 2(3) + 1 4
Dessa forma, o polinômio passou pelo teste de verificação. Qualquer valor entre x = 1 
e x = 3 pode ser incluso para obter um resultado que é caracterizado pela curva. Observe 
que são três pontos no plano, logo é um polinômio de grau 2. Vamos à um terceiro exemplo:
93UNIDADE III Cálculo Numérico
Ex. 02
Suponha os seguintes pontos (2;-18),(4;28),(6;106). Encontre a função polinomial 
que interpola essas 3 posições no plano cartesiano.
Resolução:
 Primeiramente, vamos nomear cada um desses termos da tabela:
x0 x1 x2
x 2 4 6
f(x) -18 28 106
f (x0) f (x1) f (x2)
Agora, vamos calcular as funções de Lagrange, como são apenas 3 pontos, tere-
mos L0 (x), L1 (x) e L2 (x) :
Retornando a equação geral do Polinômio:
Para verificar se está tudo certo, vamos retornar os valores de e verificar se retor-
nam os valores respectivos da função nesses pontos.
x1 P2(x) f (xi)
2 4(2)2-2-32 -18
4 4(4)2-4-32 28
6 4(6)2-6-32 106
A tabela acima comprova a eficácia do polinômio, pois para cada , ela responde 
com o valor inicial de f(x). Um polinômio de grau dois, o qual varre qualquer valor entre x=2 
e x=6.
94UNIDADE III Cálculo Numérico
2. INTRODUÇÃO À SEQUÊNCIAS
Uma sequência pode ser representada como uma lista de número em uma ordem 
bem definida, tal qual o exemplo:
a1,a2,a3,a4,…an,…
O termo inicial da sequência a1 é o primeiro termo, a2 o segundo termo e, nesse 
caso, a sequência vai até o n-ésimo termo an em diante.
Uma sequência numérica também pode ser definida em termos de sua lei. Veja o 
seguinte exemplo:
Sendo n qualquer inteiro positivo. Fica evidente que a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6 e assim 
sucessivamente, além disso, o enésimo termo 2n é o termo geral, ou seja, fornece qualquer 
termo da sequência quando escolhido um valor apropriado de n. Exemplo: Qual o valor do 
oitavo termo da sequência? Note que, para encontrar a8, basta substituir no termo geral n=8 
e assim obtemos que a8 = 16. Veja outro exemplo:
Neste exemplo, temos uma sequência de números ímpares. Uma forma de repre-
sentar o termo geral é fazendo um comparativo com a série de números pares. No entanto, 
dessa vez, devemos somar um fato de 1 para que a sequência forneça os termos ímpares. 
Assim a0 = 1, a1 = 3 , a2 = 5 e assim sucessivamente. 
95UNIDADE III Cálculo Numérico
Devemos nos atentar em alguns detalhes do formalismo matemático. Em sequên-
cias podemos definir a partir de qual número inteiro positivo a sequência deve começar.
{2n}n≥3
Nessa expressão da sequência par está sendo evidenciado que sua contagem 
deve começar do valor de n maior ou igual ao número 3. Ou seja, nessa sequência não será 
incluído os termos a1 e a2. 
Ex. 01
Represente os 5 primeiros termos da sequência 
Resolução
Portanto: 
Ex. 02
Represente os 4 primeiros termos da sequência 
Resolução:
96UNIDADE III Cálculo Numérico
Portanto: {0,1,√2,√3}
Agora, iremos determinar se uma sequência numérica converge ou diverge. Para 
isso basta tomar o limite do termo geral quando n → ∞ . Ou seja, a medida que o valor 
de n aumenta e o resultado dos termos evoluem junto a1 < a2 < a3 < a4… então a sequência 
diverge. Um bom exemplo é a sequência par:
Por outro lado, vamos supor a seguinte sequência: . Veja 
que quando n → ∞ a sequência converge para o valor de 1. Para facilitar a visualização 
basta fazer , pois . Sendo assim, podemos usar a seguinte definição:
Existe também, uma outra análise para saber se a sequência é divergente. Caso 
o resultado do (an) oscile entre mais e menos, então ela também pode ser considerada 
divergente. 
Graficamente, torna-se mais trivial saber se uma sequência numérica de resultados 
é convergente ou divergente tratando o termo geral da sequência como uma função. Em 
outras palavras, na sequência ímpar fazemos an=2n+1→f(n)=2n+1. Vamos ver alguns 
exemplos:
Ex. 03
Determine se a sequência é convergente ou divergente:
Resolução:
Como esse resultado não tem significado, então vamos aplicar a regra de L’Hospi-
tal, ou seja, derivando o argumento do limite e então aplicar o valor de n→∞.
97UNIDADE III Cálculo Numérico
Observe que foi feita a derivada e como argumento resultou em uma constante, 
o limite de uma constante é a própria constante . Assim, a sequência é convergente.
Ex. 04
Encontre o limite da sequência e determine se é convergente ou divergente:
Resolução:
Portanto, a sequência é convergente.
Ex. 05
Determine se a sequência é convergente ou divergente.
Resolução:
Neste caso, novamente, utilizaremos a regra de L’Hospital: derivando o numerador 
e o denominador em relação a n obtemos:
Veja que o limite de uma constante é a própria constante, ou seja, . 
Portanto, a série converge.
98UNIDADE III Cálculo Numérico
3. SÉRIES, MÉTODOS DE CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE POTÊNCIAS
As sequências são representadas por um termo geral, em outras referências podem 
ser chamadas também de lei da sequência. No entanto, se somarmos todos os termos de 
uma sequência a partir de um valor inicial n = 1 até um valor muito grande, teremos:
O símbolo Σ (sigma maiúsculo do alfabeto grego) representa, matematicamente, 
a somatória de vários termos. Além disto, podemos representar uma soma pelo resultado 
final de parcialmente ou todos os termos, dada por Sn. Fazendo somas parciais temos:
Caso a sequência {Sn } seja convergente e o Sn = S existir como um número real, 
então a série Σ an é dita convergente. Caso contrário é considerada divergente.
Dentre os vários tipos de séries, uma das mais encontradas na literatura do cálculo 
são as séries geométricas. Observe o seguinte exemplo:
2 + 4 + 8 + 16+⋯
a1+ a2+ a3+ a4
99UNIDADE III Cálculo Numérico
Note que essa série tem um padrão, ela dobra de tamanho, isso pode ser consta-
tado quando dividimos um termo pelo seu antecessor. Ou seja:
Sendo a razão da série dada por e, que nesse caso, r = 2. Portanto, quando uma 
série possui uma razão, essa será batizada de razão geométrica. Através desse dado, 
podemos determinar se a série é convergente ou divergente.
Enunciado: Seja uma série geométrica dada por: Σ an= a1+a2+a3… , então:
Ex. 01
Determine se a série é geométrica, se for, verifique se é convergente ou divergente:
Veja que a razão é calculada fazendo: , ou também . 
Como |r|<1, então a série é convergente. Agora, para calcular o valor da soma, utili-
zamos a equação: 
Portanto, a série é convergente e sua soma vale 1.
Ex. 02
Dada a série
Determine se ela é geométrica e, caso seja, verifique se é convergente ou divergente.
Resolução:
Fazendo , ou também 
100UNIDADE III Cálculo Numérico
Podemos ver que a série não é geométrica e por isso, não podemos aplicar o teorema. 
O exemplo anterior mostra que, somente em alguns casos é possível determinar a 
convergência de uma série. No entanto, existe uma forma de encontrar sem a necessidade 
de achar o valor da soma Sn , esse novo axioma é conhecido como teste do divergente.
Enunciado: 
Ex. 03
Aplicandoo teste do divergente, verifique se a série converge ou diverge:
a)
Aplicando o limite:
Com esse resultado, devemos aplicar L’Hospital:
Portanto, a série diverge.
b) 
Dessa forma nada podemos afirmar.
3.1 Teste da Integral
an
Fazendo an→ f(n), então podemos integrar e com isso determinar a natureza da 
série:
Em que L é um número.
101UNIDADE III Cálculo Numérico
Ex. 04
Verifique se a série é divergente ou convergente pelo teste da integral
Resolução:
Aplicando a integral com os limites da somatória:
Como é zero, então:
Note que a integral resultou em um número. Isso comprova que a série é convergente.
Ex. 05
Verifique se a série é convergente ou divergente pelo teste da integral
 ne-n2
 )
Resolução:
Inicialmente identificamos a função f (n):
Aplicando a integral com os limites da somatória:
Observe que essa integral é calculada usando o método da substituição:
102UNIDADE III Cálculo Numérico
Portanto:
Então a integral fica:
Retornando com a substituição:
Observe que , pois temos um sendo dividido por algo muito 
grande. O que resta é a segunda parte:
Lembrando que e ≈ 2,71, ou seja é um número. Portanto a série é convergente.
Ex. 06
Determine se a série é convergente ou divergente utilizando o teste da integral.
Resolução:
Inicialmente identificamos a função f (n):
Aplicando a integral com os limites da somatória:
Podemos fazer uma substituição simples para resolver:
Deste modo:
103UNIDADE III Cálculo Numérico
Substituindo de volta, teremos:
Lembrando que ln ln |∞| = ∞, dessa forma: 
ln ln |∞| - ln ln |2| ∞ -ln ln (2) = ∞
Como o resultado da integral resultou em infinito, a série é divergente.
3.2 Séries Alternadas
No estudo de séries feito até agora, os termos an são positivos, permitindo verificar 
com facilidade a convergência ou divergência de uma série. Nesta nova seção, vamos 
lidar com termos os quais não são necessariamente positivos, impondo nas séries um 
comportamento de alternância de sinal.
Deste modo, uma série alternada é aquela cujos os termos alternam o sinal entre 
si, ou seja, termos positivos e negativos. Veja os exemplos:
Note que em ambas as séries existe um fator em comum:
Portanto, fica evidente que o termo (-1)n é o responsável pela alternância do sinal 
da série. Para determinar se a série é convergente vamos utilizar o seguinte teorema:
Enunciado: 
Assumindo que an > 0. Para a série ser convergente ela deve satisfazer as duas condições
104UNIDADE III Cálculo Numérico
Vamos ver alguns exemplos:
Ex. 07
Nesse caso an → n4
Logo:
(n4 ) = (∞)4 = ∞
Ou seja, como não satisfaz a primeira condição, então a série é divergente.
Ex. 08
Nesse caso 
Assim:
Agora que a primeira condição foi cumprida, vamos testar a segunda:
Podemos ver que a segunda condição é satisfeita também, pois uma vez que o 
numerador aumenta, o resultado se torna cada vez menor.
Ex. 09
Inicialmente identificamos : 
Portanto:
105UNIDADE III Cálculo Numérico
Vamos aplicar L’Hospital:
Como a primeira condição não foi contemplada, ou seja, , não será 
preciso testar a segunda parte e já podemos concluir que a série é divergente.
3.3 Teste da Razão
O teste da razão consiste em fazer 
Esse teorema é corriqueiramente utilizado em séries matemáticas quando o termo an 
for de natureza fatorial ou elevada a uma determinada potência. Vamos fazer alguns exemplos:
Ex. 10
Nesse caso 
Portanto o limite será:
Note que no numerador surge , pois , logo . Assim:
Lembrando que (n+1)! = (n+1).n!, então:
106UNIDADE III Cálculo Numérico
Portanto, como o limite resulta em um número menor do que 1, a série é convergente.
Ex. 11
Utilizando o teste da razão vamos verificar se a série é convergente ou divergente 
Comparando, o termo , assim, vamos agora calcular o limite:
Observe que, para encontrar an+1, basta adicionar onda há a variável n a soma de 
uma unidade. Reagrupando os termos teremos:
Veja que (-1)n do numerador e do denominador foram simplificados, restando ape-
nas (-1)1, porém, devido a presença da função módulo, o resultado permanece positivo.
Realizando a divisão dentro dos parênteses, obtemos:
Fazendo o limite quando n →∞, a fração tende a zero e sobra apenas dessa forma:
Concluindo então que a série é convergente. 
3.4 Teste da Raiz
Além do teste da razão, visto anteriormente, outra forma de analisar a convergência 
de uma série é aplicando o limite na raiz enésima do termo an. 
107UNIDADE III Cálculo Numérico
Enunciado: 
Vamos ver um exemplo desse teorema:
Ex. 12
Teste a convergência da série usando o teorema da raiz.
Resolução:
Inicialmente vamos determinar o termo an
Usando o teste da raiz:
Simplificando a raiz enésima com o expoente n, teremos então:
Nesse caso utilizaremos L’Hospital:
Portanto, como a série é convergente.
108UNIDADE III Cálculo Numérico
3.5 Séries de Potências
Uma série de potências tem a seguinte forma:
Sendo x uma variável e as constantes cn's são os coeficientes da série. Uma série de 
potências pode convergir para um determinado valor x ou divergir do mesmo. Usualmente a 
série de potências pode ser escrita de forma que está centralizada em torno de um valor a.
É denominada série de potências em (x-a) ou série de potências centrada em a. 
Além disso, essas séries podem ser derivadas ou integradas, ou seja, fazendo a derivação 
e a integração termo a termo.
Vamos supor que uma função f possa ser representada por uma série de potências:
Ao fazer x = a, todos os termos se anulam, com exceção do primeiro, mostrando 
então que a função está centralizada em . Nesse caso
f (a) = c0
Derivando ambos os lados da equação, teremos: 
Fazendo x = a sobrará apenas 
 
f '(a) = c1
Vamos determinar agora a segunda derivada da função:
Substituindo x = a
f'' (a) = 2c2
109UNIDADE III Cálculo Numérico
Vamos derivar apenas mais uma vez a função:
E quando x = a teremos:
f ''' (a) = 2.3.c3 = 6c3
Se continuarmos nessa mesma lógica, vamos chegar no seguinte resultado:
Portanto, o coeficiente enésimo da série de potências pode ser dado em função da 
derivada enésima dividido por n! :
Quando substituída a função pelo termo an da série geométrica an xn teremos a 
série de Taylor:
Existe um caso particular quando a = 0. Nessa situação a série de Taylor torna-se 
série de MacLaurin.
Com o auxílio das séries de potência, podemos expandir as expressões matemá-
ticas, centralizadas em torno de um número ou não, e considerar contribuições de várias 
ordens. Nas calculadoras quando é executado com resultado de uma função, ela expande 
o resultado em n ordens. No entanto, como a contribuição se torna ínfima após a segunda 
expansão, a calculadora arredonda o resultado. Ou seja, caso em um exercício de enge-
nharia você calcule em sua calculadora o valor de e1,5 ela fará a seguinte conta:
110UNIDADE III Cálculo Numérico
Como é possível ver, à medida que expandimos mais a série, os termos de ordem 
n maiores contribuem cada vez menos para o resultado final. Portanto, surge o conceito de 
truncamento de uma série. No caso do exemplo do número e1,5, se for calculado na opção 
da calculadora, ela fornecerá o número e1,5 = 4,48. Por outro lado, “trunque” a expansão feita 
anteriormente até o quinto termo e some na calculadora.
1 +1,5 + 1,13 + 0,63 + 0,21 = 4,47
Assim, um valor muito próximo, porém como foi ignorado os termos de ordem su-
perior a 5, o resultado não é idêntico, isso porque a quantidade que falta, ou seja, um valor 
de 0,01 é o que as expansões superiores fornecem em conjunto. Quanto mais termos, mais 
preciso é o resultado. Vamos fazer um comparativo entre a série de Taylor e MacLaurin:
Ex. 13
Faça a expansão da função cos (x) em torno de a = π usando série de Taylor:
Resolução:
Portanto:
Ex. 14
Faça a expansão da função cos (x) usando série de MacLaurin:
111UNIDADEIII Cálculo Numérico
Lembre que na série de MacLaurin a = 0
112UNIDADE III Cálculo Numérico
4. INTEGRAIS NUMÉRICAS 
Parte do conteúdo visto na disciplina de cálculo foram integrais. Das formas mais 
variadas, as integrais podem ser simples, duplas ou mesmo triplas. Já seus métodos de 
resolução são diversos, desde as substituições simples, até por frações parciais substitui-
ções trigonométricas, transformações polares e cilíndricas. Ademais, grandes teoremas do 
cálculo como o de Stokes e do Divergente são baseados em integrais. Sejam elas definidas, 
com limites de integração, ou as indefinidas, o objetivo é buscar a função primitiva em 
relação aquela em que estamos integrando, a No entanto, e se ao invés de nos atermos à 
qual seria o melhor método para buscas a função primitiva, já pudéssemos pular essa etapa 
e, diretamente buscar seu valor numérico.
Como você já deve saber, a finalidade de resolver uma integral definida, é calcular 
a área abaixo da curva. Porém, o que fazer quando não sabemos integrar a função para 
aplicar os limites de integração? Ou mesmo que saibamos chegar na função primitiva, como 
aplicar os limites se for muito complicado? A resposta vem através das integrais numéricas. 
O seu método é similar às soma de Riemann, quando abaixo da curva era preenchida com 
vários retângulos e à medida que esse número de retângulos tendesse ao infinito, a soma 
de todos eles resultava na integral.
Seguindo essa mesma linha de raciocínio, vamos pegar uma função qualquer e 
aproximar a área delimitada pela curva com trapézios. Deste modo, a regra que utilizaremos 
será chamada de Regra do Trapézio.
113UNIDADE III Cálculo Numérico
FIGURA 1: REGRA DO TRAPÉZIO SIMPLES
Fonte: BARUDE, Daniela, Cálculo numérico, São Paulo - Pearson Education do Brasil - 2015
Já é conhecido pelo teorema fundamental do cálculo que 
Contudo, sabendo que a área de um trapézio é dada por:
Sendo h a altura do trapézio. No desenho acima você pode imaginar o trapézio de 
lado e ver que na realidade, a altura, é a variação de pontos no eixo x. Portanto, h =∆x , essa 
grandeza também é conhecida como o alcance do intervalo.
Concluímos então que esse método é nada mais do que assumir que a área abaixo 
da curva é a mesma de um trapézio, cuja a altura é a variação dos pontos nas abcissas, 
a base menor f (x0) e a base maior f(x1). Vamos fazer alguns exemplos e em seguida 
resolver a integral como foi aprendido em cálculo diferencial e integral I, na qual foi usado o 
teorema fundamental do cálculo. Para verificar o resultado vamos analisar o erro absoluto 
e encontrar o erro relativo e, a partir deste, calcular a porcentagem de validade do método 
numérico e o tradicional já visto.
114UNIDADE III Cálculo Numérico
Ex. 01
Usando a regra dos trapézios na forma simples, determina o valor da integral:
Resolução:
Veja que a altura do trapézio é dada por: 
h = ∆x = 1,2-1 = 0,2
Sabendo que a regra simples é escrita como:
Vamos calcular o valor separadamente da função em cada ponto:
Portanto:
Hipoteticamente, se a integral fosse calculada da forma tradicional:
O erro absoluto é dado por:
Eabs = |0,42733-0,4249| = 0,00243
Já o erro relativo é:
115UNIDADE III Cálculo Numérico
Multiplicando por :
ER = 0,571%
Veja que o erro da aproximação feita pela regra do trapézio simples forneceu um 
valor com apenas , o que é ótimo, pois todo resultado numérico quando oferece um erro 
menor que , é uma boa aproximação.
Vamos à mais um exercício:
Ex. 02
Utilizando a regra dos trapézios simples, calcule a integral:
Resolução:
A altura do trapézio é dada por: 
h = ∆x = 1,5 - 1,2 = 0,3
Sabendo que a regra simples é escrita como:
O valor separadamente da função em cada ponto:
Portanto:
Através do método tradicional:
Para resolver essa integral utilizamos substituição por partes, para não prolongar a 
resolução, vamos direto ao resultado:
I = 0,122377
Vamos calcular os erros:
Logo, o erro da integral numérica em relação ao valor real é de 1,32 %.
116UNIDADE III Cálculo Numérico
Ex. 03
Calcule a integral:
Resolução
Inicialmente determinamos a altura do trapézio:
h = x2 - x1 = 2,6 -2,4 = 0,2
Agora, o valor da função nos intervalos:
Portanto:
Fazendo a integral direto, obtemos:
Vamos calcular os erros:
Logo, o erro da integral numérica em relação ao valor real é de 1%.
Até aqui foi visto a regra dos trapézios na sua forma simples. Esse nome é dado pois 
a área da curva é aproximada para apenas um único trapézio. No entanto, assim como na 
soma de Riemann, quanto mais figuras abaixo da curva em um intervalo menor, mais apro-
ximado torna-se o valor do resultado real. Para isso vamos aumentar o número de trapézios.
117UNIDADE III Cálculo Numérico
FIGURA 2: MÉTODO DE NEWTON-COTES, OU REGRA DO TRAPÉZIO
Fonte: FRANCO, Neide Bertoldi, Cálculo Numérico, São Paulo Pearson Prentice Hall, 2006.
Quanto maior o número de trapézios, melhor é a aproximação feita.
Vamos calcular uma aproximação com dois trapézios:
Contudo, sabendo que a área de um trapézio é dada por:
Portanto a integral fica:
A equação geral para dois trapézios é:
Agora, seguindo a mesma lógica, vamos calcular com 3 trapézios:
Contudo, sabendo que a área de um trapézio é dada por:
118UNIDADE III Cálculo Numérico
Portanto a integral fica:
A equação geral para três trapézios é:
Observe que, conforme aumenta o número de trapézios abaixo da curva, os valores 
de y que estão no interior do intervalo, ou se preferir, aqueles que fazem divisão com seus 
vizinhos, são multiplicados por 2. Uma forma de interpretar isso é imaginar que quando um 
termina, o começo do seguinte é o fim do ponto anterior. Seguindo essa mesma ideia e 
assumindo que o ponto inicial é x0 e o final xf :
 .
 .
Sendo o alcance do intervalo h dado por:
Um subciclo é basicamente um trapézio, portanto, quando for pedido para calcular 
a integral considerando 6 subciclos, é o mesmo que utilizar 6 áreas do trapézio na aproxi-
mação. Ademais, a partir desse ponto em que será usado mais de um trapézio, a regra do 
trapézio será chamada de composta.
119UNIDADE III Cálculo Numérico
Ex. 04
Calcule a integral usando dois subciclos:
Resolução:
Com dois subciclos a amplitude do intervalo passa ser:
Nesse caso a forma geral da integral é dada por:
O cálculo das funções em cada ponto é dado por:
Então: 
Veja então, a comprovação, uma vez que nesse exemplo foi calculado a mesma 
integral no último exemplo do método simples e agora, com a aproximação de 2 trapézios, 
temos um número mais próximo do real. Mostrando que conforme aumentamos o número 
de subciclos, mais preciso se torna o resultado.
Ex. 05
Usando quatro subciclos, calcule o valor da integral:
Resolução:
Nesse caso, a amplitude de intervalo é:
120UNIDADE III Cálculo Numérico
E a fórmula geral da integral é:
Fazendo a mesma conta como já conhecemos:
Vamos calcular os erros:
Logo, o erro da integral numérica em relação ao valor real é de 0,8 %. Ou seja, um 
valor bem aceitável.
Ex. 06
Calcule a seguinte integral pelo método numérico usando 3 subciclos e com 6 subciclos.
Resolução:
Usando três intervalos, a amplitude do intervalo é:
Já a solução para a integral é:
Fazendo a mesma conta para 6 subciclos:
121UNIDADE III Cálculo Numérico
E a equação da integral é dada por:
SAIBA MAIS
No estudo de máquinas térmicas, é usualmente calculado a entropia do sistema, uma 
grandeza física responsável por determinar o grau de desordem de um sistema. Para 
considerar um sistema formado por várias partículas, a solução provém da aplicabilida-
de das séries de Taylor.
Outra grande aplicação no cotidiano é qualquer movimento retardado de móveis. Supo-
nha que um barco esteja navegando, e subtamente, por algum motivo, ele desliga os 
motores. Para determinar a sua velocidade terminal, a expressão matemática da veloci-
dade é expandida em série de Taylor.
Dentre todas as sequências, podemos destacar a sequência de Fibonacci, responsável 
pordescrever muitos sistemas da natureza. Essa sequência descreve desde a reprodu-
ção de animais, até a simetria do corpo humano e formação de massas de tempestades 
Fonte: O autor (2021).
REFLITA
O cálculo e física formam os alicerces da engenharia, seja no uso dos instrumentos 
como na carreira acadêmica, é fundamental entender com clareza como juntar as peças 
do quebra cabeça e formar a imagem desejada. 
Fonte: O autor (2021).
122UNIDADE III Cálculo Numérico
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, Na primeira parte estudamos a interpolação, que nada mais é do 
que aproximar um conjunto de dados numéricos e construir um polinômio que satisfaça 
essa distribuição.
Na sequência, introduzimos o conceito de sequências e com isso foi possível apren-
der o formalismo matemático das séries. Posteriormente as séries de Taylor e MacLaurin 
são o ponto mais importante da unidade, uma vez que elas são a base de muitas equações 
de aproximação e softwares matemáticos.
No quarto capítulo o estudo foi direcionado às integrais numéricas, porém a sua 
solução parte de um princípio similar a soma de Riemann, porém, ao invés de retângulos, é 
utilizado trapézios. O objetivo dessa técnica é buscar um valor numérico de uma sequência 
de trapézios que corresponde a área abaixo da curva. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. Até 
a próxima!
123UNIDADE III Cálculo Numérico
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Elementos de Sequências e Séries Infinitas
Autor: Lucas Rodrigues Duarte.
Editora: Simplíssimo.
Sinopse: Este livro tem como proposta apresentar os elementos 
de sequência e série para um curso introdutório de cálculo diferen-
cial e integral. Nesta obra, no primeiro capítulo, são apresentados 
os conceitos elementares de sequência infinita e sequências 
convergentes. A partir da segunda unidade, o conceito de série 
infinitas é introduzido e destacando alguns dos principais testes 
de convergência. Nas últimas unidades abrangem os conceitos de 
Série de Potência, Taylor e Maclaurin.
FILME / VÍDEO
Título: Sequência de Fibonacci
Ano: 2018.
Sinopse: A sequência de Fibonacci é uma das mais conhecidas 
e belas sequências da ciência. Pois sua explicação matemática 
está atrelada a inúmeros fenômenos e estados da matéria, desde 
o desenrolar de plantas em volta do tronco, no formato das pétalas 
de rosas e conchas, até no movimento das estrelas. Além disso, 
existe uma grande aplicabilidade na análise do mercado financeiro, 
tratada como uma técnica para leitura de preço.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=eVbOxWVC_GY.
124
Plano de Estudo:
● Introdução às Equações Diferenciais;
● Método de Separação de Variáveis;
● Equações Diferenciais Lineares;
● Equações Diferenciais Parciais.
Objetivos da Aprendizagem:
● Introduzir as equações diferenciais, explicitando a diferença entre equações diferen-
ciais ordinárias (EDO’s) e uma equações diferenciais parciais (EDP’s);
● Estudar um método prático de resolver uma EDO, 
conhecido como separação de variáveis;
● Compreender o que é uma EDO linear e exata;
● Distinguir uma EDP de uma EDP, exemplificando as duas
 classes de equações diferenciais.
UNIDADE IV
Equações Diferenciais
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
125UNIDADE IV Equações Diferenciais
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), nessa unidade final vamos direcionar nossos estudos a um 
dos tópicos mais relevantes em todo o cálculo, as equações diferenciais. Sua importância 
é tão considerável como as integrais, uma vez que qualquer sistema físico pode ser repre-
sentado por uma equação diferencial, seja ela ordinária ou parcial. Portanto, o objetivo da 
unidade IV é aprender como solucionar uma equação diferencial e como classificá-las.
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na 
sua formação acadêmica.
Bons estudos!
126UNIDADE IV Equações Diferenciais
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
O estudo de equações diferenciais constitui uma parte muito importante do cálculo. 
Além disso, um número bastante apreciável de fenômenos físicos é descrito de alguma 
forma e por algum tipo de equação diferencial, e, assim, é extremamente útil conhecer 
alguns métodos de resolução dessas equações bem como interpretar fisicamente o que 
elas significam. Vejamos primeiramente algumas definições relevantes:
1º Uma equação diferencial é, basicamente, uma equação que envolve as derivadas 
de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma ou mais variáveis independentes.
Para entendermos melhor o que isso diz, suponha a equação da reta: f(x)=y=ax+b, 
nesse caso a variável independente é a e a dependente, é a y, que representa a função 
linear. Alguns exemplos a seguir de equações diferenciais:
A equações diferenciais acima nos conduz a outra definição importante:
127UNIDADE IV Equações Diferenciais
2º Uma equação diferencial será classificada como ordinária quando uma ou mais 
variáveis dependentes forem derivadas em relação a uma única variável independente.
Veja que nos três exemplos de equações diferenciais, sempre a derivada de toda a 
equação é em relação à uma única derivada. Então o que seria uma derivada não ordinária?
Nesse caso, há uma outra forma de classificá-las:
3º Uma equação diferencial que envolve derivadas parciais de uma ou mais variá-
veis dependentes em relação a mais de uma variável independente é chamada de equação 
diferencial parcial.
Comparando os cinco exemplos de equações diferenciais apresentados, podemos 
classificá-las através do grau de cada uma:
A derivada de maior ordem numa equação diferencial define a ordem da equação 
diferencial. Assim, a primeira equação é de segunda ordem, ao passo que a segunda ex-
pressão é de quarta ordem, a terceira equação é de ordem três, a quarta equação de ordem 
um e a última apresentada é de segunda ordem.
Observe com muita atenção, a ordem de uma equação diferencial não é a mesma 
coisa que o seu grau. O grau de uma equação diferencial é a potência a que se acha ele-
vada a derivada de ordem mais alta. Por exemplo, na quinta equação diferencial, embora 
seja uma equação diferencial de segunda ordem, ela é de grau três!
Ao longo do nosso curso de cálculo numérico, explicitamos bastante a diferença 
entre equações lineares e as não lineares, geralmente as não lineares são produto de 
funções ou funções que se comportam diferente de uma reta. Isso se aplica também às 
equações diferenciais.
Se uma equação diferencial for tal que seus termos não aparecem funções 
transcendentais como ln[y(x)], ou produtos entre as variáveis dependentes, entre 
variáveis dependentes e suas derivadas e entre variáveis dependentes e as derivadas, 
como: .Então a equação diferencial é uma equação 
diferencial linear.
128UNIDADE IV Equações Diferenciais
A descrição quantitativa de um experimento é feita através de uma ou mais equa-
ções. Para uma boa parte dos sistemas físicos conhecidos até o momento, a equação ou 
equações que descrevem os fenômenos, pelo menos de forma aproximada, são equações 
diferenciais. Sendo assim, é muito importante conhecer métodos de resolução dessas 
equações diferencias, mesmo que uma solução exata não possa ser obtida. Deve-se pro-
curar soluções aproximadas, ou mesmo soluções numéricas. Pode ocorrer também que 
nenhum tipo de solução seja obtido, por falta de fundamentos físicos, matemáticos ou am-
bos, impedindo a resolução da equação. Nesse caso, é preciso analisar a própria equação 
diferencial, para tentar extrair dela o maior número possível de informações físicas, mesmo 
sem resolvê-las. Alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais são:
1) Movimento de projéteis, planetas e satélites;
2) Estudo do decaimento radioativo de núcleos instáveis;
3) Propagação do calor através de uma barra;
4) Estudo de todos os tipos de ondas;
5) Crescimento populacional;
6) Estudo de reações químicas;
Além do uso em diversos problemas físicos e de outras disciplinas abordadasem 
engenharia civil como mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e etc. Antes de come-
çarmos os estudos dessa unidade, vamos separá-los em dois grandes grupos: A equações 
diferenciais ordinárias (EDO’s) e as equações diferenciais parciais (EDP’s):
TABELA 1: COMPARAÇÃO ENTRE EDO’S E EDP’S
Equação Diferencial Ordinária (EDO) Equação Diferencial Parcial (EDP)
Nesse caso a função incógnita 
depende apenas de uma variável 
independente. 
A função incógnita depende de mais 
de uma variável.
Fonte: O Autor (2021).
129UNIDADE IV Equações Diferenciais
Note que a notação pode ser representada por y'(x), o prefixo “linha” designa 
a derivada.
Um dos principais objetivos das EDO’s será determinar as soluções das equações 
assim como verificar se outras funções são soluções da equação diferencial. Então, vamos 
verificar as soluções:
Ex. 01
Verifique se y1 (x) = Ce3x e y2 (x) = Ccos(x) são soluções da equação diferencial y' 
(x)-3y(x)=0. (Onde C, é uma constante qualquer)
Resolução:
A equação diferencial que queremos testar é:
Vamos fazer:
Substituindo:
Veja que a igualdade é satisfeita. Agora vamos testar para y2 (x):
Substituindo:
Portanto, a segunda função não é solução da EDO.
Ex. 02
Verifique se a função y(x)=2e-x + xe-x é solução da EDO: y''+ 2y' + y = 0
Resolução:
Como é uma EDO de ordem dois, vamos derivar duas vezes a função teste:
Deste modo:
y''+ 2y' + y = 0 → xe-x + 2.(e-x - xe-x ) + 2e-x + xe-x 
Veja que todos os termos se anulam. Deste modo, a função dada é a solução da 
equação diferencial.
130UNIDADE IV Equações Diferenciais
Ex. 03
Dada a função y(x) = e -x/2 , verifique se é solução da EDO: 2y' + y = 0
Resolução:
Derivando a função teste:
Portanto:
Logo, a função dada é a solução da equação diferencial.
131UNIDADE IV Equações Diferenciais
2. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Nesta primeira forma de resolver as equações diferenciais será, em específico, nas 
equações de primeira ordem. A ideia do método é simples: Suponha a seguinte equação 
diferencial:
Vamos passar o dx para o lado direito da igualdade “multiplicando” e a variável para 
a esquerda fazendo o mesmo. Ficando da seguinte forma:
y dy = x dx
Veja que, literalmente, separamos as variáveis, por isso o método ganha esse 
nome. Agora, iremos “aplicar” a integral em ambos os lados (veja que o diferencial e já 
está na equação):
 y dy = x dx
Outra observação relevante é que quando efetuamos uma integral indefinida, de 
modo que é esse exemplo, no fim, devemos adicionar uma constante C2 . Contudo, uma 
constante C1 somando de um lado e outra constante C2 somando do outro, nós podemos 
passar tudo para um lado e escrever em termos de uma única constante C.
132UNIDADE IV Equações Diferenciais
 Observe que elas não são iguais para se cancelarem e não é relevante saber 
C2 - C1 ou vice versa, apenas nos interessa que há uma constante somando na equação. 
Dando continuidade, vamos isolar a variável dependente. 
Um número multiplicando uma constante, ainda é uma constante, logo 2.C ainda é 
C. Passando em forma de raiz:
Essa é a solução da equação diferencial. Vamos fazer mais alguns exemplos.
Ex. 01
Resolva a EDO através do método de separação de variáveis:
Resolução:
Inicialmente vamos separar as variáveis:
Aplicando integral em ambos os lados:
Para isolar a variável y, o próximo passo é anular a função ln, para isso, vamos 
aplicar exponencial em ambos os lados da igualdade:
Sabendo da propriedade da exponencial: e a+b = e a. e b
Como eC é um número elevado a outro número, então o resultado também é um 
número, ou seja, uma constante. Portanto a solução é:
133UNIDADE IV Equações Diferenciais
Ex. 02
Encontre a solução para a EDO abaixo usando variáveis separáveis.
Resolução:
Vamos separar as variáveis:
Integrando em ambos os lados:
Ex. 03
Calcule a solução da equação diferencial usando separação de variáveis:
Resolução:
Separando as variáveis:
dy = 3x2 dx
Integrando em ambos os lados:
 dy = 3x2 dx
Vamos fazer agora alguns exemplos com condições de contorno. Em outras pa-
lavras, a ideia desse novo artifício é que depois de encontrar a solução geral, sempre o 
resultado fica em termos de uma constante. Utilizando a condição contorno, aplicamos na 
expressão encontrada e encontramos o valor da constante, depois disso, retornamos o 
valor da constante na solução geral. Veja alguns exemplos:
134UNIDADE IV Equações Diferenciais
Ex. 04
Resolva a EDO e determine o valor da constante usando a condição de contorno.
Resolução:
Aplicando integral em ambos os lados:
A primeira integral podemos calcular através de uma substituição simples de u e du. 
O resultado fica:
O último termo pode ser reescrito como outra constante. Aplicando exponencial em 
ambos os lados
Contudo, como temos do enunciado y(0)=3, aplicamos y=3 e x=0, para encontrar 
o valor da constante C.
Assim, a solução geral agora é dada por:
135UNIDADE IV Equações Diferenciais
Ex. 05
Calcule a EDO levando em consideração a seguinte condição de contorno:
Resolução:
Portanto:
Aplicando a condição de contorno :
Dessa forma, a solução para a EDO é:
Ex. 2.6
A velocidade de uma partícula é dada em função do tempo em segundos.
v(t) = 2t2 + 10t + 10
Encontre a expressão geral de S(t) que caracteriza o movimento do móvel, sabendo 
que em 2 segundos a partícula estava na posição de 40 metros.
Resolução:
136UNIDADE IV Equações Diferenciais
Vamos iniciar relembrando que:
Isolando cada variável:
Aplicando as condições de contorno s(2) = 40:
Portanto, a solução da equação diferencial é dada por:
137UNIDADE IV Equações Diferenciais
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Se for possível escrever uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem na forma
Então esta equação diferencial será uma equação linear. Vamos entender isso com 
um exemplo:
Suponha a seguinte equação:
Dividindo tudo por x2 :
Compare os termos da equação genérica:
138UNIDADE IV Equações Diferenciais
Para resolver uma equação diferencial linear vamos utilizar a fórmula de Lagrange:
Sendo:
Vamos a alguns exemplos.
Ex. 01
Resolva a equação linear
Resolução:
Inicialmente vamos identificar as funções P(x) e Q(x):
Note que o termo multiplicativo de y é -1. Então, vamos determinar ξ:
Aplicando na fórmula de Lagrange:
Ex. 02
Encontre a solução para a seguinte equação diferencial linear
139UNIDADE IV Equações Diferenciais
Resolução:
Primeiramente vamos determinar as funções P(x) e Q(x):
Vamos determinar ξ:
ξ = P(x)dx = - 2xdx = -x2
Retornando a expressão de Lagrange:
Podemos ver que é trivial a resolução da equação em colchetes. Assim sendo, 
utilizaremos o método de integração por partes. O resultado final é:
Ex. 03
Resolva a equação diferencial linear
Resolução:
Separando P(x) e Q(x):
140UNIDADE IV Equações Diferenciais
O valor de ξ é:
 ξ =
Substituindo na fórmula de Lagrange:
Portanto:
Ex. 04
Resolva a equação diferencial linear pelo método de Lagrange
xy' + 4y = x6
Resolução:
Vamos deixar a equação da forma genérica linear
Comparando as duas equações podemos ver que
O valor de ξ é:
Portanto:
141UNIDADE IV Equações Diferenciais
Ex. 05
Resolva a equação diferencial linear
Resolução:
Veja que:
Calculando o parâmetro ξ:
Substituindo todos os termos da expressão de Lagrange:
142UNIDADE IV Equações Diferenciais
3.1 Equação Diferencial Exata
Uma função é classificada como diferencial exata quando satisfaz o seguinte teste: 
Suponha uma função que depende de duas variáveis seja igual a uma constante C.
F(x,y) = C
Vamos derivar parcialmente em relação a cada variável:
Portanto:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Quando e somente quando 
A equação diferencial será classificada como exata. Isso pode ser reescrito da 
seguinte forma:
Depois que fizermos essa comparação para verificar se a equação diferencial é 
exata, vamos determinar a sua solução. Existe um passo a passo para resolvê-la. Vamos 
entenderfazendo um exemplo.
143UNIDADE IV Equações Diferenciais
Verifique se a equação diferencial é exata e encontre sua solução:
2xy dx +(1 + x2 )dy=0
O primeiro termo e o segundo termo são chamados de:
Vamos verificar se a função é exata fazendo:
Portanto a equação é exata! Vamos calcular sua solução:
F(x,y) = 2xy dx
Em f(y) é uma constante que depende de y. Porém, como calculamos essa cons-
tante? Derivamos a função em relação a y, comparamos este resultado com o primeiro 
anteriormente no começo que chamamos de N(x,y) e integramos:
Porém, . Assim:
Portanto, retornando à função:
F(x,y) = yx2+(y+C)
144UNIDADE IV Equações Diferenciais
Lembrando que a primeira definição foi que essa função deveria ser igual a uma 
constante F (x,y) = C, vamos chamá-la de C1. Assim:
A solução para a EDO exata é:
yx2 + y + K = 0
Com K = C - C1.
Ex. 06
Determine se a equação diferencial é exata e encontre a sua solução
Resolução:
Multiplicando todos os termos por dx:
O primeiro termo e o segundo termo são chamados de:
Vamos verificar se a função é exata fazendo:
Portanto a equação é exata! Vamos calcular sua solução:
Para encontrar a constante f(y) derivamos F (x,y) em relação a y e igualamos com N (x,y):
145UNIDADE IV Equações Diferenciais
Integrando em relação a y :
f(y) = - y2 + C
Retornando a função F (x,y):
Como, por definição F(x,y) = C1
Portanto, a solução é:
Com K = C - C1
Ex. 07
Verifique se a equação diferencial é exata e calcule a solução
Resolução:
Para verificar se é exata:
Agora comprovado a validade da equação, vamos determinar sua solução:
146UNIDADE IV Equações Diferenciais
Para encontrar f (y), fazemos:
Integrando em relação a y:
f (y) = -y2 + C
Portanto, a solução é:
F(x,y) = 2x + exy - y2 + C
Lembrando que 
2x + exy - y2 + C = C1
2x+exy - y2 + C - C1 = 0
A solução é:
2x + exy-y2+K = 0
Com K = C - C1
147UNIDADE IV Equações Diferenciais
4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Uma EDP é uma equação cuja incógnita é uma função de duas ou mais variáveis e 
que envolve derivadas parciais em relação à função em questão. Suas notações são diversas:
Algumas equações diferenciais parciais são simples de resolver, pois seguem os 
casos das equações diferenciais ordinárias. Como por exemplo:
Pode ser solucionada fazendo
∂z = x + x2 + 2y∂x
Integrando em ambos os lados:
∂z = (x + x2 + 2y) ∂x
Onde φ(y) é uma função que depende no máximo de y (pode ser uma constante) 
e que pode ser determinada se houver alguma condição auxiliar. Vamos a outro problema.
Ex. 01
Encontre a solução para a seguinte equação diferencial:
148UNIDADE IV Equações Diferenciais
Resolução:
Integrando em ambos os lados:
Integrando mais uma vez:
Portanto:
Sendo as funções α(x) e β(t) precisam de condições adicionais para serem en-
contradas.
Ex. 02
Verifique se a função satisfaz a equação
Resolução:
Vamos começar resolvendo a primeira derivada parcial:
149UNIDADE IV Equações Diferenciais
Substituindo de volta na função: 
Esse resultado é exatamente igual a função do enunciado. Portanto, a equação 
dada satisfaz a EDP.
Ex. 03
Encontre a função F(x,y) que satisfaça:
Resolução:
Inicialmente vamos integrar a primeira equação em relação a x.
Agora, nessa última equação, vamos derivar em relação a y:
Comparando agora com a expressão do enunciado:
150UNIDADE IV Equações Diferenciais
Integrando em relação a y :
φ (y) = - 5y2 + C
Substituindo de volta na expressão encontrada:
Vamos usar as condições de contorno para calcular o valor da constante:
Assim, a solução para a EDP é dada por:
151UNIDADE IV Equações Diferenciais
SAIBA MAIS
Uma pesquisa feita por professores da Universidade do Sul de Santa Catarina mos-
tra a aplicabilidade das equações diferenciais na área de resistência dos materiais. A 
experiência está apresentada através de um problema prático e clássico: cálculo de 
deformação de vigas. A Tabela mostra exemplos comumente discutidos na disciplina de 
Resistência dos Materiais.
TABELA: EXEMPLO DE FLEXÕES DE VIGAS
Fonte: FLEMMING, D. M.; LUZ. E. F.; WAGNER, R. equações diferenciais na engenharia civil: uma pro-
posta didática. Disponível em: abenge.org.br. Acesso em 10 out.2021.
Além disso, diversos problemas como em mecânica ou na física elétrica para resolver 
circuitos compostos por resistores, capacitores e indutores (também conhecidos como 
circuitos RLC), exigem um conhecimento básico de equações diferenciais.
Fonte: FLEMMING, D. M.; LUZ. E. F.; WAGNER, R. equações diferenciais na engenharia civil: uma pro-
posta didática. Disponível em: abenge.org.br. Acesso em 10 out.2021. 
152UNIDADE IV Equações Diferenciais
REFLITA
O estudo de equações diferenciais constitui uma parte muito relevante da Matemática. 
Além disso, um número apreciável de fenômenos físicos é descrito de alguma forma 
por algum tipo de equação diferencial e, assim, é extremamente útil conhecer alguns 
métodos de resolução dessas equações bem como interpretar fisicamente o que elas 
significam. 
Fonte: Kleber Daum Machado, 1999.
153UNIDADE IV Equações Diferenciais
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, nessa última unidade foi apresentado às equações diferenciais. 
Divididas em dois grandes grupos, as EDO’s e as EDP’s . A sua utilidade é vasta e ex-
tremamente relevante, pois em diversas áreas da física e engenharia, como fenômenos 
de transporte, mecânica dos fluidos e qualquer outro ramo da ciência, os fenômenos são 
descritos por equações diferenciais.
Portanto, concentramos nosso estudo em como resolver uma equação diferencial e 
como classificá-las. Por fim, abordamos brevemente as EDP’s, a qual exigiria uma ementa 
específica para estudar com maior profundidade, o que foge do escopo deste curso, pois seu 
formalismo matemático é ligeiramente mais complexo. Contudo, foi possível esclarecer a dife-
rença entre esses dois grupos de equações diferenciais e entender a aplicação de cada um.
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. Até 
a próxima!
154UNIDADE IV Equações Diferenciais
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Equações Diferenciais Aplicadas à Física
Autor: Kleber Daum Machado.
Editora: UEPG.
Sinopse: O livro resume, ao mesmo tempo, a teoria e um grande 
número de aplicações das equações diferenciais em problemas 
físicos essenciais, apresentando, de forma rigorosa, para físicos, 
matemáticos e engenheiros a formulação da resolução das equa-
ções diferenciais que descrevem cada problema.
FILME / VÍDEO
Título: Mecânica dos Fluidos – Aula 11 – Equação de Bernoulli
Ano: 2017.
Sinopse: Neste vídeo é apresentado uma das equações mais 
conhecidas da mecânica dos fluidos, a equação de Bernoulli. De 
maneira resumida, ela é uma aplicação das equações diferenciais 
para determinar a distribuição de pressão e velocidade de um 
fluido em um sistema de tubulação ou de vasos comunicantes.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=UuMZvwW-0rM.
155
REFERÊNCIAS
BARUDE, D. Cálculo numérico, São Paulo - Pearson Education do Brasil - 2015.
BOYCE, W; BRANNAN, J. Equações Diferenciais: Uma Introdução a Métodos Modernos e 
Suas Aplicações, Rio de Janeiro LTC, 2013.
BRONSON, R; COSTA, G. Equações Diferenciais – Coleção Schaum, Porto Alegre Ed. 
Bookman, 2008.
CAMPOS, F.F. Algoritmos Numéricos, Rio de Janeiro LTC, 2018.
FLEMMING, D; LUZ, E; WAGNER, R. Equações Diferenciais na Engenharia Civil: Uma 
Proposta Didática, Santa Catarina, Disponível em: https://abenge.org.br. Acesso em 10 
out.2021.
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico, São Paulo Pearson Prentice Hall, 2006.
GONÇALVES, M. B; FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis,
Integrais Múltiplas, Integrais Curvilíneas e de Superfície, São Paulo Pearson, 2007
STEWART, J. Cálculo: Volume 2, São Paulo Cengage Learning, 2016.Disponível em: https://
omatematico.com/. Acesso em 11 out.2021.
THOMAS, G. B. Cálculo: Volume 2, São Paulo Pearson Education, 2009
ZILL, D. Equações diferenciaiscom aplicações em modelagem, São Paulo Cengage Lear-
ning, 2016. Disponível em: https://omatematico.com/. Acesso em 10 out.2021.
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CONCLUSÃO GERAL
Prezado(a) aluno(a),
Neste material, busquei trazer para você os principais tópicos do Cálculo Avançado. 
Nossa jornada começa nas funções de mais de uma variável, como encontrar seu domínio 
e interpretá-las. Depois, aprendemos as derivadas parciais, o que a derivada direcional, a 
matemática do operador nabla, as integrais iteradas duplas e triplas, bem como as suas 
substituições de variáveis, em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Aprendemos a diferença entre uma função escalar e uma vetorial, bem como o 
campo vetorial que esta última caracteriza. Na sequência, os teoremas de Green, Stokes e 
Divergente veem a tona para costurar todos os pontos aprendidos até o momento desde o 
início do cálculo diferencial e integral.
Após isso, nos dedicamos a calcular numericamente um polinômio utilizando as 
relações de Lagrange para caracterizar um conjunto de pontos distribuídos no plano car-
tesiano e como ajustar essas curvas. Essa técnica é muito poderosa, pois é através dela 
que diversos softwares matemáticos ajustam curvas gráficas. Além disso, aprendemos as 
integrais numéricas, as quais devem oferecer o mesmo resultado das integrais simples 
estudadas em cálculo diferencial integral, porém através de um procedimento numérico, 
o método dos trapézios, semelhante a soma de Riemann, mas ao invés de calcularmos 
a área abaixo da curva somando retângulos, utilizamos trapézios. Ela é extremamente 
proveitosa quando a integral é complexa de se resolver.
Finalizamos o curso aprendendo as equações diferencias. Um formalismo matemá-
tico extremamente rico em aplicações, desde na mecânica, termodinâmica, física elétrica, 
mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e transferência de calor e massa. Para 
compreender o assunto, aprendemos a diferença entre equações diferenciais ordinárias 
e as equações diferenciais parciais. Vimos como determinar a solução de uma equação 
diferencial e como classificá-la da forma correta.
A partir de agora acreditamos que você já está preparado para seguir em frente 
desenvolvendo ainda mais suas habilidades em cálculo, para compreender diversas áreas 
da física e engenharia. 
Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!
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	UNIDADE I
	Derivadas e Integrais de Funções
	de Várias Variáveis
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	Teoremas Fundamentais do 
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	Cálculo Numérico
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