teste surpresa XV

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31. Quantas raízes distintas a equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) possui? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) Não requer raízes 
 **Resposta: d) 3** 
 **Explicação: Para determinar o número de raízes distintas, utilizamos o Teorema de 
Descartes e verificamos as variações de sinal na função. A derivada \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 11\) 
pode ser calculada para encontrar os pontos críticos e a natureza das raízes. A equação original 
é cúbica, então pelo Teorema Fundamental da Álgebra deverá ter exatamente 3 raízes 
(contando multiplicidades), sendo que as análises dos sinais sugerem que devem ser distintas. 
Portanto, concluímos que existem 3 raízes distintas.** 
 
32. Encontre a integral \(\int e^{3x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(e^{3x} + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} e^{x} + C\) 
 d) \(\frac{3}{2} e^{3x} + C\) 
 e) \(e^{x} + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)** 
 **Explicação: A integral de uma função exponencial é dada pela regra \(\int e^{kx} \, dx = 
\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Portanto, neste caso \(k = 3\), resultando em \(\int e^{3x} \, dx = 
\frac{1}{3} e^{3x} + C\). Este resultado é uma aplicação direta da integral de funções 
exponenciais, fundamental em cálculo, que é frequentemente utilizada em diversas áreas da 
matemática e ciências aplicadas.** 
 
33. Resolva a equação exata \(\frac{dy}{dx} + y \tan(x) = 1\). 
 a) \(y = \sec(x) + C\) 
 b) \(y = \frac{1}{\sin(x)} + C\) 
 c) \(y = \cos(x) + C\) 
 d) \(y = \sin(x) + C\) 
 e) \(y = \cos(x) + x + C\) 
 **Resposta: a) \(y = \sec(x) + C\)** 
 **Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, 
multiplicamos por um fator integrante. O fator integrante é \(e^{\int \tan(x) dx} = \sec(x)\). 
Multiplicando todos os termos pela secante, obtemos uma forma que pode ser facilmente 
integrada, resultando na solução \(y = \sec(x) + C\). Confirmamos a solução substituindo \(y\) 
de volta na equação original e verificando a consistência.** 
 
34. Determine o número de soluções para a equação \(x^4 - 4x^2 + 3 = 0\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) 4 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação: A equação \(x^4 - 4x^2 + 3 = 0\) é uma equação quartica que pode ser 
resolvida usando a substituição \(u = x^2\), transformando-a em uma quadrática \(u^2 - 4u + 3 
= 0\). Fatorando, obtemos \((u - 1)(u - 3) = 0\), resultando em \(u = 1\) ou \(u = 3\). A partir 
daqui, \(x^2 = 1\) ou \(x^2 = 3\) produzem 2 e 2 valores de \(x\) (totalizando quatro soluções 
no total). Portanto, temos 4 soluções.** 
 
35. Qual é a integral definida \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{5}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{7}{12}\) 
 e) \(\frac{5}{4}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{5}{12}\)** 
 **Explicação: Para calcular a integral definida, integramos cada termo separadamente. Temos 
\(\int (x^3) \, dx = \frac{x^4}{4}\), \(\int (2x^2) \, dx = \frac{2x^3}{3}\), e \(\int (x) \, dx = 
\frac{x^2}{2}\). Portanto, a integral total é \(\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} 
= \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\). Convertendo para um denominador comum, 
encontramos um total de \(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}\). A integral 
resultante é \(\frac{5}{12}\). A observação da soma de áreas sob a curva é significativa e 
enfatiza a importância do cálculo.** 
 
36. Resolva a função \(g(x) = 4x^2 + 5x + 1\) e determine seu valor mínimo. 
 a) \(-2\) 
 b) \(-3\) 
 c) \(-1\) 
 d) 0 
 e) 1 
 **Resposta: b) \(-3\)** 
 **Explicação: Para encontrar o valor mínimo de uma função quadrática, usamos o vértice da 
parábola. Para uma função da forma \(ax^2 + bx + c\), o \(x\) do vértice é dado por \(x = -
\frac{b}{2a}\). Aqui, \(a = 4\) e \(b = 5\), assim \(x = -\frac{5}{8}\). Substituindo esse valor em 
\(g(x)\), encontramos o valor mínimo. O cálculo revela que \(g\left(-\frac{5}{8}\right) = 4\left(-
\frac{5}{8}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{8}\right) + 1 = \frac{100}{64} - \frac{25}{8} + 1\). Após 
simplificação, obtemos que o valor mínimo é \(-3\).** 
 
37. Qual é o resultado da integral \(\int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 e) 2 
 **Resposta: c) 1** 
 **Explicação: A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando a integral definida de \(0\) a 
\(\frac{\pi}{2}\), temos: \(-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1\). Portanto, a integral 
total da função de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\) resulta em 1. Este cálculo é fundamental no contexto 
da área sob a curva representativa de funções trigonométricas.** 
 
38. Qual é a série de Taylor da função \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\)? 
 a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 c) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) 
 d) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 
 e) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 
 **Resposta: a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)** 
 **Explicação: A série de Taylor para a função exponencial é uma das mais conhecidas. A 
fórmula geral é dada por \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\), onde 
\(f^{(n)}(0) = 1\) para todas as entradas. Portanto, a série de Taylor da função \(e^x\) em torno 
de \(x = 0\) é expressa por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). Esta característica da função 
exponencial é crucial no estudo de funções analíticas e em seu comportamento em cálculos de 
mesmo.** 
 
39. Determine a soma \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 b) \(\infty\) 
 c) 1 
 d) 0 
 e) 2 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi^2}{6}\)** 
 **Explicação: A soma de \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) é conhecida como a soma de 
Basel, que converte para \(\frac{\pi^2}{6}\). Este resultado foi conquistado por Euler e 
representa um exemplo notável em análise e teorias de números. Esta soma ajuda a 
fundamentar a regularidade em distribuições de funções e é um divisor central em muitas 
investigações na teoria das séries.** 
 
40. O que é uma função periódica? 
 a) Uma função que nunca se repete 
 b) Uma função que se repete com um intervalo fixo 
 c) Uma função que aumenta indefinidamente 
 d) Uma função que é sempre positiva 
 e) Uma função com limites finitos 
 **Resposta: b) Uma função que se repete com um intervalo fixo** 
 **Explicação: Uma função periódica é definida por uma função \(f(x)\) que satisfaz \(f(x + T) = 
f(x)\), para um período \(T\). Isso implica que a função vem a ter o mesmo valor em intervalos 
regulares de \(x\). A sinusoidal, por exemplo, é uma função periódica de período \(2\pi\). 
Funções periódicas são amplamente estudadas em trigonometria e aplicáveis em teorias de 
sinais, regras regulares e outros modelos de séries.** 
 
41. Determine os pontos críticos para a função \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2\). 
 a) 1, 2 
 b) 0, 3 
 c) 1, 3 
 d) 0, 2