MODULO 1

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<p>27/04/23, 19:29 Ead.br CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Autor: Me. Talita Druziani Marchiori Revisor: Raimundo Almeida INICIAR Introdução 1/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a princípio, sem ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período, matemáticos puderam provar, por meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral são o inverso um do outro. O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo integral originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a área de um quadrado equivalente a uma dada figura geométrica. Porém, hoje, sabemos que as aplicabilidades dessas teorias estendem-se a áreas variadas do conhecimento, como física, química, engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de você, estudante, já ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais definições e propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso, estudaremos o conceito de integração por frações parciais. Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos abordar todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar exemplos e exercícios em outras bibliografias para completar a sua revisão e aprofundar o seu conhecimento. Esperamos que o seu aprendizado seja produtivo.</p><p>Uma Breve Revisão Sobre as Derivadas de Funções Reais de uma Variável Real 8 Fonte: luckybusiness / 123RF. Neste tópico, relembraremos as principais definições e propriedades das derivadas de funções reais de uma variável No que segue, representaremos por f(x) uma função real de uma variável real, definida sobre um subconjunto X dos números reais. Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f'(x) é a nova função que, em um determinado ponto o valor da derivada é definido por</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br se limite existir. Assim, se limite existe para a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a função f derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números do intervalo. Exemplo 1.1: Solução: pela definição que acabamos de enunciar, . h h->0 h Como: = 2x h segue que: =2x Portanto, Usando a notação tradicional y=f(x) para indicar que a variável independente é a variável dependente, então são consideradas notações alternativas quando consideramos a derivada de f em relação a</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br reflita Reflita Em muitos problemas de cálculo que envolvem curvas, precisamos calcular a reta tangente em um certo ponto da curva. Contudo, a reta tangente a uma curva y=f(x) em um ponto é a reta que passa por P e tem a inclinação desde que esse limite exista. Isto é, a inclinação da reta tangente à curva no ponto é O mesmo que a derivada de f em a Com isso, se usarmos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma equação da reta tangente à curva no ponto como: Logo, reflita sobre esse processo. O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua definição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras. REGRA DA POTÊNCIA: considerando que né um número real qualquer, então: 5/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que C é uma constante e uma função derivável, podemos dizer que: REGRA DA SOMA: considerando que então: REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com g(x) # 0, então: REGRA DO QUOCIENTE: considerando que feg forem deriváveis, então: REGRA DA CADEIA: se g for derivável em e f for derivável em g(x), então, a função composta h - fog definida por h(x) f(g(x)), será derivável em e h' será dada pelo produto: Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções: dx d cotg dx Exemplos 1.2: derive: b) c) d) h(x)</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Solução: a) Pelas regras da constante e da potência: 10 b) Pela regra do produto, temos: = c) Pela regra do quociente: -2x2 6x + 2 d) Pela regra da cadeia, considerando f(x) temos que: = Como f também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a derivada de existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f". Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde in é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fn Por exemplo, temos que = 30x - 2, se f(x) = f'(x) : 32x3 + 15x2 2x. praticar Vamos Praticar Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Logo, dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com base na teoria que acabamos de revisar neste tópico, assinale a alternativa correta. a) Com a definição de derivada de uma função, concluímos que f'(x) 3x - 1, se 2 c) A derivada de t (x) = 0,5 é dada pela função t (x) 0,5. 7/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Temos que g (4) = - 1, uma vez que g (x) = 1/x, onde h (4) = 32 e h (4) = 4. Se f(x) = 2x3 = 4x + 8/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Problemas de Otimização Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou seja, requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os problemas de otimização são uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial. 623 NO2 A= 13% RH=W NH3 Figura 1.1: Quadro. Fonte: Jozef Polc / 123RF. Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e definições já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem- nos técnicas para determinar os valores extremos de uma função. 9/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em C e se f'(c) existir, então, f'(c) 0. O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de f nos números C, em que f'(c) = 0 ou onde f'(c) não existe. Chamamos os valores C tais que f'(c) 0 ou f'(c) não existe de número crítico de Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a,b], temos um método para determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em [a,b]. Primeiramente, encontramos os valores de f nos números críticos de f em (a,b). Depois, encontramos os valores de f nas extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor de máximo e o menor valor é o valor de mínimo. Exemplo 1.3: o valor máximo de [-2, 2. Solução: observe que f é contínua no intervalo [-2, 3x2 + 2x 1. Como f' (x) existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores x para os quais f (x) Mas em que concluímos que os números críticos de f são f = - 1, f(-1) Portanto, o valor máximo f em [-2, 2. O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número crítico. Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada. Teorema 1.2: considere que C seja um número crítico de uma função contínua f. Dessa forma, podemos afirmar que: a) caso o sinal de f' mude de positivo para negativo em C, dizemos que f tem um máximo local em C. b) caso o sinal de f' mude de negativo para positivo em C, dizemos que f tem um mínimo local em C. c) se f' não mudar de sinal em C, então, f não tem máximo ou mínimo locais em C. Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função f (x) = 1.</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Solução: note que (x) 3x2 12x + 9 e f(x) = 0 3, = 1. Ademais, se (1, f 0; se < 0; e se > 3, f (x) > 0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, (') 5 é um valor de máximo local de 1 é um valor de mínimo local de f. O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada. Teorema 1.3: suponha que f" seja contínua nas proximidades dos valores de a) se f'(c) = f"(c) > 0, então, f tem um mínimo local em C. b) se f'(c) f"(c) < 0, então, f tem um máximo local em C. Exemplo 1.5: sendo f (x) 4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os máximos e mínimos locais de Solução: temos que f (x) 4x3 + 4x2 12x2 + 8x 8. Então, os pontos críticos de f (valores onde f(x) 0) são Contudo, f Logo, f possui um valor de mínimo local em f um valor de máximo local em f (0) = 0 e um mínimo local em Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização. Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função L (x) = - 0,02x2 + 300x - 200000, em que X representa número de unidades produzidas. Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo? Solução: observe que, como a L (x) - 0, 04x + 300, teremos ou seja, = 7500 é o número crítico de L. Contudo, L (x) <0, 7500 e L (x) > 0, x < 7500. Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, a empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro seja máximo. Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 de volume. O material utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro quadrado e material utilizado para os lados custa R$ 1,50 para cada centímetro quadrado. Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo? Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada e C(x) custo total do material, a área da base será x2 Adotando Y como a profundidade (em centímetros), o volume da caixa será x2y 200 onde Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e, para os lados, é 4xy. Com isso, = 3 (2x2) + 1,5 (4xy) ou, equivalentemente, 11/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br 12000 , em que: 12000 12000 , : 12x + x3 Assim, C'(x) não existe = 0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos números críticos serão os valores de tais que 0, ou seja, : 10. Por outro lado, C (10) > 0 então, pelo Teste da Derivada Segunda, x = 10 é um mínimo local de C. Com isso, o custo total do material será mínimo, quando o lado da base quadrada for 10 cm, a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 praticar Vamos Praticar Na economia, se unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a receita total será R(x) xp(x), sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a função custo é o valor gasto para a produção de x unidades. Se x unidades forem vendidas, então, o lucro total será - então, L será chamada função lucro. Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por R(x) = + 2000x e C(x) = 800x + 500000, respectivamente. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta. a) O lucro desta empresa será máximo para x = 1200. b) O lucro desta empresa será máximo para 800. c) O lucro desta empresa será máximo para d) O lucro desta empresa será máximo para 60. e) O lucro desta empresa será máximo para = 12/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Uma Breve Revisão Sobre as Integrais de Funções Reais de uma Variável Real Uma função F (x) é chamada antiderivada da função f (x) se seja qualquer pertencente ao domínio de Como a derivada de uma constante é zero, a antiderivada de uma função não é única. Por exemplo, F (x) =x2 e H (x) : x2 + 10 são antiderivadas da função f (x) 2x, uma vez Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f (x) utilizando o símbolo: que é chamado integral indefinida de f(x), em que F é uma antiderivada de Para qualquer função derivável F' (x) dx + C . Da ligação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral por meio das antiderivadas, podemos listar propriedades para integração indefinida resultante de propriedades existentes para as derivadas. REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, k dx kx + C. REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n n+1 REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer ln x + C. 13/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: + g (x) dx dx + dx. Exemplo 1.8: calcule: dx. Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante, 3 = 3 ln + b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da constante e da potência, temos: = dx - 8 + 2x + C. Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para resolvê-las. Um destes é o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos uma substituição para simplificar o integrando f (x) e expressar toda a integral em termos de U e du : udx. Com isso, a integral deve estar dx = du na forma. Se possível, calcule essa integral, determinando uma antiderivada de g(u). Para finalizar, substituímos U por obtendo uma (x), de modo que f (x) dx G(u(x)) + C. Por exemplo, podemos calcular a integral indefinida dx pelo método da substituição. Denotando U : 5x + 3, temos du : dx + C. Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a<x<b. Julgue que este intervalo tenha sido dividido em partes iguais de largura e seja um n número qualquer pertencente ao intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, ... n. A soma:</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br é conhecida como soma de Riemann. Dessa forma, a integral definida de f(x) no intervalo a<x<b representada pelo símbolo b dx a é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n caso limite exista. A integral definida dx é um número. Se a > b, temos que dx se a : temos que (x) dx=0. Como, para as integrais indefinidas, existem regras de integração que nos auxiliam a determinar as integrais definidas, suponha que f e g são funções contínuas, sendo válida a: REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k b b k dx. a REGRA DO INTERVALO: para qualquer dx = dx. Exemplo 1.9: sendo dx = temos que f (x) dx 5. Solução: primeiramente, devemos escrever: 10 8 10 dx dx + dx. 008 Então: 15/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br 10 dx = 17 - 12 5. 8 Saiba mais Sabemos, por meio de historiadores, que Cálculo Integral teve origem a vários séculos com problemas de quadratura. Com o passar dos anos, muitos matemáticos contribuíram para crescimento e aperfeiçoamento desta teoria. Com esses avanços, hoje, existem aplicabilidades do Cálculo Integral em diversas áreas, como física, engenharias, biologia, dentre outras. Uma das aplicações do cálculo integral mais conhecida é cálculo de Clique para conhecer um pouco da história do cálculo diferencial. ACESSAR Para finalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois relaciona o conceito de integral definida ao conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo diferencial e o cálculo integral. Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em [a,b], então, a função g definida por dt é contínua em [a,b] e derivável em Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em [a,b], então: b f a em que F é qualquer primitiva de isto é, uma função tal que F=f. 16/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Exemplo 1.10: calcule: Solução: a) Note que F (x) ex é uma antiderivada de f(x) então, pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, ex dx = b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos: 8 2x + 1 dx Praticar Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do nosso meio profissional. Com base na teoria sobre integrais indefinidas e definidas revisadas neste tópico, assinale a alternativa correta. - 2x dx + C. x dx = sen + C. = 1 17/26</p><p>Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 2 2 A A (a+b) (a+b) 79 29 N10 ABC N10 (2,0) ABC a TAN TAN dr Figura 1.2 Fórmulas Fonte: Pakpong 123RF. Uma função f(x) é denominada função racional, se f (x) = R(x) em que R (x) e Q (x) são polinômios. Se o grau de R é menor que o grau de R, f é chamada de função racional própria; f(x) é denominada função racional imprópria, se o grau de R é maior ou igual que o grau de Q. Se uma função f (x) = Q(x) é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P por Q até o resto R(x) ser obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q. Com isso,</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br podemos reescrever f(x) como a soma de um polinômio S (x) e uma função racional própria R(x) ou Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos decompô-la em frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos o denominador Q como produto de fatores lineares e quadráticos, em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são irredutíveis. Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica. Exemplo 1.12: determine: dx. dx. Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a função f é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo denominador. Observe que 2x3 ou seja, o polinômio Q (x) pode ser decomposto em fatores lineares e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos: + . A2 + b2 an + bn Então, - 1 A1 A2 A3 2x = Com isso, temos que: - = (2A1 + A2 + 2A3) x2 + (3A1 + 2A2 - A3) - 2A1 em que a igualdade de polinômios é: A1 1/2, A2 1/5 e A3 - 1/10. Portanto, 19/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br 2x - b)Temos que: x2 . - - ou seja, o polinômio 2(x) decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o fator + bi repete vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de p frações parciais da forma: Então, A1 em que: x3 - 1 A1 - + A2 (x - - + Se x = 0, A2 = 1/8; se = 2, = 7/4. Para determinar A1, e B2, substituímos os valores já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo A1 = 3/16, B1 = -3/16 e 5/4. Com isso, - c) Neste caso, = em que o fator x2 + 3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio é decomposto por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é repetido. Todo fator quadrático irredutível ax2 + bx + C terá uma fração parcial da forma:</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br ax2 + bx + C Então, A Bx + C - + x2 + 3 Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A=1,B= C x3 x2 + +1 1 2 : x + C. Também podemos decompor Q (x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas com alguns fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2 + bx + C for um fator quadrático irredutível que se repete p vezes, o fator (ax2 + bx + possui p frações parciais da forma A1x + + + + 2 Por exemplo, temos: + A3x + 2 3 Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como multiplicação de fatores lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos. Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do denominador continha fatores quadráticos irredutíveis, sem repetição. Acabamos de observar, acima, outra forma de fatorar um polinômio, como multiplicação de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais, exposta nos exemplos acima, vem do teorema de frações parciais. praticar</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br Vamos Praticar Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir: dx Agora, assinale a alternativa correta. a) A função é uma função racional própria. b) A função é uma função racional imprópria e - d) Temos e) Temos 22/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br indicações Material Complementar FILME Uma mente brilhante Ano: 2001 Comentário: o filme conta a história de um matemático que, mesmo doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia, por sua Teoria dos Jogos. TRAILER 23/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br LIVRO Cálculo James Stewart Editora: Cengage Learning ISBN: 8522112584 Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e integral que relembramos nesta unidade. Você poderá conferir muitos exemplos resolvidos, o que contribuirá com seus estudos. 24/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br conclusão Conclusão Nesta unidade, pudemos revisar as definições e propriedades do cálculo diferencial e do cálculo integral, que já havíamos aprendido em outro momento do curso. Também aprendemos um novo método de integração, a integração por frações parciais. Por meio do Teorema Fundamental do Cálculo, relembramos que cálculo diferencial e integral estão interligados, pois um desfaz que o outro faz. Como perceberam, não foi possível explorar toda a teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é vasta. Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos exemplos e exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação. Sugerimos que pesquise sobre outras aplicações do cálculo diferencial e integral, que não comentamos na unidade, pois isso motivará os seus estudos. Agradecemos toda a dedicação e até uma próxima oportunidade! referências Referências Bibliográficas GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001. L. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994. STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006. 25/26</p><p>27/04/23, 19:29 Ead.br 26/26</p>