FMA_404_Lista_de_Exercicios_IV_1

Prévia do material em texto

FMA-404 Lista de Exerćıcios IV 1
Lista de Exerćıcios IV
① Uma part́ıcula de massa m está limitada a mover-se entre duas esferas
concêntricas impenetráveis de raios r = a e r = b. Não nenhum outro
potencial. Encontre a energia e a função de onda normalizada para o
estado fundamental da part́ıcula.
② (a) Para um oscilador harmônico simples com Ĥ = (p̂2/m + kx̂2)/2,
obtenha a energia do estado fundamental sabendo que nesse estado
o produto das incertezas ∆x ∆p é mı́nimo.
(b) A função de onda do estado onde o mı́nimo do “prinćıpio da in-
certeza” acontece é uma função gaussiana exp(−αx2). Faça uso
desse fato para encontar α, sem precisar resolver nenhuma equação
diferencial.
(c) Utilizando os operadores de abaixamento e de levantamento (â e
â†), sem precisar resolver nenhuma equação diferencial, escreva a
função de onda (não normalizada) do primeiro estado excitado do
oscilador harmônico.
(d) Para um oscilador harmônico tridimensional, escreva, em coorde-
nadas esféricas, as funções de onda do primeiro estado excitado
degenerado que é um autoestado de lz.
❸ Em t = 0 o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
ψ(r, 0) =
1√
10
(
2 |100〉+ |210〉 +
√
2 |211〉 +
√
3 |21 − 1〉
)
,
na base |n lm〉. Ignore o spin.
(a) Qual o valor esperado da energia desse sistema?
(b) Qual a probabilidade de encontrar o sistema com l = 1, m = +1
como função do tempo?
(c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron dentro de um raio de
10−10 cm do próton (em t=0)? Uma boa aproximação é aceitável
aqui.
(d) Como essa função de onda evolui no tempo? Isto é, como é ψ(r, t)?
Primeiro Semestre – 2005
FMA-404 Lista de Exerćıcios IV 2
(e) Suponha que uma medida é feita que mostra que L = 1 e Lz = +1.
Descreva a função de onda imediatamente após essa medida.
④ Duas part́ıculas de massa M se atraem através do potencial
V (r) = −g
2
d
e
−
r
d ,
onde d = h̄/mc com mc2 = 140 MeV e Mc2 = 940 MeV.
(a) Mostre que para l = 0 a equação de Schrödinger radial para esse
sistema se reduz à equação diferencial de Bessel
d2
dx2
Jρ(x) +
1
x
d
dx
Jρ(x) +
(
1 − ρ2
x2
)
Jρ(x) = 0
fazendo a mudança de variável x = α exp(−βr) para uma escolha
adequada de α e β.
(b) Suponha que esse sistema tenha apenas um estado ligado com
energia de ligação de 2,2 MeV; avalie g2/h̄c numericamente e diga
qual a sua unidade. Veja a figura contendo curvas de ńıveis de Jρ
no plano x− ρ.
(c) Qual deveria ser o valor mı́nimo de g2/h̄c para que o sistema tivesse
dois estados ligados com l = 0 (d e M continuam os mesmos).
⑤ Usando a expansão de uma onda plana em harmônicos esféricos
eik·r = 4π
∞
∑
l=0
l
∑
m=−l
iljl(kr) [Ylm(α, β)]∗ Ylm(θ, φ),
junto com a representação do δ(r − r′) em coordenadas esféricas
δ(r − r′) =
(
1
2π
)3 ∫ 2π
0
∫ π
0
∫ ∞
0
eik·(r−r′) k2 dk sinα dα dβ,
Primeiro Semestre – 2005
FMA-404 Lista de Exerćıcios IV 3
(a) Obtenha a condição de ortonormalidade
δ(r− r′) =
2
π
∑
l
∑
m
[Ylm(θ′, φ′)]∗ Ylm(θ, φ)
∫ ∞
0
jl(kr)jl(kr
′)k2dk,
onde as coordenadas esférica de k, r e r′ são, respectivamente,
(k, α, β), (r, θ, φ) e (r′, θ′, φ′).
(b) Mostre que, se k · r = kz, então
eikz = eikr cos θ =
∞
∑
l=0
(2l + 1) il jl(kr)Pl(cos θ).
Essa expressão será importante para a teoria de espalhamento.
⑥ Um elétron está em movimento em um campo magnético uniforme
B = (0, 0, B) de forma que sua hamiltoniana é dada por
Ĥ =
1
2m
(
p̂ − e
c
Â
)2
,
onde  é o operador potencial vetor.
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para o
elétron.
(b) Mostre que podemos encontrar para o sistema autoestados si-
multâneos de Ĥ , p̂x e p̂z.
(c) Suponha que esses autoestados possam ser escritos como φ =
ei(kxx+kzz)f(y). Encontre os ńıveis de energia e as autofunções
do sistema. Os ńıveis de energia desse sistema são chamados de
ńıveis de Landau.
Primeiro Semestre – 2005