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Analise Elementos Finitos
José Afonso Ferreira Cruz
8 de abril de 2024
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Passo a Passo da Implementação e Resultados
1. Definição dos Elementos da Estrutura: A matriz elementNodes define a conecti-
vidade dos elementos na estrutura. Cada sublista representa um elemento e os nós
que o compõem. Neste caso, a estrutura consiste em três elementos conectando os
nós [1, 2], [2, 3] e [2, 4].
2. Determinação do Número de Elementos e Nós: numberElements e numberNodes
armazenam, respectivamente, o total de elementos e o total de nós na estrutura.
Esses valores são essenciais para definir o tamanho de outras estruturas de dados
no código, como matrizes de rigidez e vetores de deslocamento e força.
3. Inicialização das Matrizes e Vetores: O código inicializa três estruturas principais
- displacements (deslocamentos nos nós), force (forças aplicadas nos nós), e
stiffness (matriz de rigidez global da estrutura). Estas são inicializadas com ze-
ros e terão seus valores atualizados conforme o código progride.
4. Aplicação da Carga: Uma força de 10 unidades é aplicada no nó 2 (force[1] =
10.0), representando a carga externa sobre a estrutura.
5. Cálculo da Matriz de Rigidez: O laço de repetição percorre cada elemento, calcu-
lando e acumulando a contribuição de cada um para a matriz de rigidez global da
estrutura. A matriz de rigidez para cada elemento é uma matriz 2x2 com valores [[1,
-1], [-1, 1]], representando a interação entre os nós do elemento.
6. Aplicação das Condições de Contorno: As condições de contorno são aplicadas
especificando os graus de liberdade (DoF) prescritos, ou seja, os nós onde os des-
locamentos são conhecidos ou restritos. Neste caso, os nós 1, 3 e 4 são fixados
(prescribedDof = np.array([1, 3, 4]) - 1).
7. Solução do Sistema de Equações: Com a matriz de rigidez global e o vetor de
forças definidos, o sistema de equações é resolvido para os graus de liberdade ativos
(activeDof). Isso resulta nos deslocamentos nos nós livres da estrutura.
8. Cálculo e Exibição dos Deslocamentos e Reações: Finalmente, o código calcula e
exibe os deslocamentos nos nós e as reações nos apoios. As reações são calculadas
multiplicando-se a matriz de rigidez global pelos deslocamentos obtidos.
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Resultados Interpretados
• Deslocamentos: O nó 2 apresenta um deslocamento de 3.33333333 unidades. Isso
indica a resposta do nó à força aplicada, considerando as condições de contorno (nós
fixos).
• Reações: As reações nos nós 1, 3 e 4 são de -3.3333333333333335 unidades cada.
Estas reações são iguais em magnitude mas opostas em direção à força aplicada,
indicando o equilíbrio da estrutura.
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Questão 2.1
Figura 1: Problema 2.1
Analisando o problema já sabemos que as condições de contorno estão nos nós
[1,3,7] pois eles são os nós fixos e dessa forma já sabemos o que esperar na saída desse
problema, ou seja, nossas reações estarão nesses 3 nós.
Como já temos o código dado anteriormente, precisamos definir entre quais nós
estão os elementos. Dessa forma vamos assumir as seguintes condições:
Numeração de malha
Nós: 7 nós no total
Elementos: 6 elementos, com a seguinte configuração:
• Elemento 1: Nó 1 → Nó 2
• Elemento 2: Nó 3 → Nó 4
• Elemento 3: Nó 4 → Nó 5
• Elemento 4: Nó 5 → Nó 6
• Elemento 5: Nó 2 → Nó 6
• elemento 6: Nó 6 → Nó 7
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Deslocamentos nos nós:
• Nó 1: 0.00
• Nó 2: 1.07
• Nó 3: 0.00
• Nó 4: 0.71
• Nó 5: 1.07
• Nó 6: 1.07
• Nó 7: 0.00
Reações nos graus de liberdade prescritos:
• Nó 1: -32.14 N
• Nó 3: -7.14 N
• Nó 7: -10.71 N
Vejamos os resultados detalhadamente:
• Nó 1: Deslocamento zero indica que ele está fixo, sem movimento.
• Nó 2: Um deslocamento de 1.07 indica que ele se moveu ligeiramente. Este nó está
conectado à mola 3k, e o movimento aqui é resistido por essa mola mais rígida.
• Nó 3: Deslocamento zero, outro ponto fixo.
• Nó 4: Deslocamento de 0.71, ligeiramente menor que o nó 2 pois o deslocamento no
nó 5 é o mesmo que o nó 2.
• Nó 5: Um deslocamento de 1.07 mostra que este nó, junto com o nó dois podem ser
simplificados para uma coisa só, ou seja n2 = n6 = n5
• Nó 6: Mesmo deslocamento do nó 5 e 2
• Nó 7: Deslocamento zero, mantido fixo e sem movimento.
As reações nos graus de liberdade prescritos são as forças que as molas exercem
nos nós fixos em resposta à deformação provocada pela força externa:
• Nó 1: A reação de −32.14N representa a força que a mola 3k exerce sobre o suporte
após ser esticada pelo movimento dos nós 2 e 4.
• Nó 3: A reação de −7.14N é um pouco mais complexa, pois este nó está entre duas
molas (k e 2k) e a força resultante é uma combinação das tensões em ambas.
• Nó 7: A reação de −10.71N é a soma das forças de todas as molas que se opõem à
força externa de 50N.
A soma dessas forças de reação deve ser igual e oposta à força externa aplicada
(50N), de acordo com a lei da física de ação e reação (Terceira Lei de Newton). Isso é
consistente com o princípio de equilíbrio estático.
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Questão 2.5
Figura 2: Problema 2.5
Para a figura (a)
Anteriormente separamos as conexões, aqui definiremos a barra inteira como um
nó, facilitando assim os calculo. Dessa forma:
• Elemento 1: Nó 1 → Nó 2
• Elemento 2: Nó 3 → Nó 4
• Elemento 3: Nó 1 → Nó 4
• Elemento 4: Nó 1 → Nó 5
Assumindo as rigidez todas constantes e as forças como F1 = 10 F2 = 20 F3 = 40
Deslocamentos nos nós:
• Nó 1 : U1= 2.33
• Nó 2: 0.00
• Nó 3: 0.00
• Nó 4 : U3= 2.67
• Nó 5 : U2= 4.33
Reações nos graus de liberdade prescritos:
• Nó 2: -23.33 N
• Nó 3: -26.67N
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Para a figura (b)
• Elemento 1: Nó 3 → Nó 5
• Elemento 2: Nó 2 → Nó 3
• Elemento 3: Nó 3 → Nó 4
• Elemento 4: Nó 4 → Nó 5
• Elemento 5 : Nó 1 → Nó 2
• Elemento 6 : Nó 2 → Nó 4
Assumindo as rigidez todas constantes e as forças como F1 = 10 F2 = 20 F3 = 30 F4 = 40
Deslocamentos nos nós:
• Nó 1 : 0.00
• Nó 2: U1 = 10.00
• Nó 3: U2 = 14.37
• Nó 4 : U3 =14.62
• Nó 5: U4 =16.50
Reações nos graus de liberdade prescritos:
• Nó 1: -100 N
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Figura 3: Exercicio 3
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Descrição do problema
Vamos analisar uma estrutura composta por 4 nós e 5 elementos onde a configura-
ção de ligação é feita seguindo a Figura (3):
• Elemento 1: Nó 1 → Nó 2
• Elemento 2: Nó 2 → Nó 4
• Elemento 3: Nó 2 → Nó 3
• Elemento 4: Nó 1 → Nó 4
• Elemento 5 : Nó 3 → Nó 4
Cargas aplicadas e condições de contorno
• Carga aplicada: Carga aplicada no valor de 10kN no Nó 2 na direção do nó 4.
• Condições de contorno: O nó 1 é fixo, representando uma parede fixa ou algo do
tipo.
Cargas aplicadas e condições de contorno
• Modulo de elasticidade (k): 10 MPa (considerado constante para todos os elemen-
tos).
• Área da Seção Transversal (A):0.001m2 (também considerada constante para todos
os elementos).
• Tamanho dos elementos:
– Elemento1 : 2m
– Elemento2 : 5m
– Elemento3 : 3m
– Elemento4 : 7m
– Elemento5 : 2m
A rigidez de cada elemento é calculada como E·A
L
, mas para simplificar e focar na
estrutura da matriz de rigidez global, vamos considerar apenas a contribuição unitária de
cada elemento, como feito no código inicial.
Implementando o problema chegamos aos seguintes resultados:
Deslocamentos nos nós:
• Nó 1: 0.00
• Nó 2: 1.65 m
• Nó 3: 1.39 m
• Nó 4: 1.22 m
Reações nos graus de liberdade prescritos:
• Nó 1: -10.00 kN
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Naturalmente devido a aplicação da nossa força estar sendo no Nó 2, o desloca-
mento nele é maior, e os outros respondem a essa força. Sendo que o Nó 4 é o que menos
desloca visto que até a força chegar nele ela já passou por 3 elementos de mola (1,3,5).
Fazendo sentido ele se deslocar menos.
É Valido ressaltar que o modulo de elasticidade escolhido foi arbitrário, e inicial-
mente havia sido escolhido o modulo de elasticidade do aço, porem usando ele teríamos
poucos deslocamentos se não aplicássemos uma força extremamente alta.
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