Caderno_De_Exercicios (1)

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Caderno de exercícios resolvidos e comentados 
 
O presente caderno tem como objetivo apresentar de maneira clara e 
objetiva a resolução de diversos exercícios de Geometria Analítica. Esse caderno é 
mais do que simplesmente um conjunto de exercícios resolvidos. A nossa proposta 
é auxiliar o estudante na aquisição e, principalmente, na consolidação dos 
conhecimentos relacionados aos principais conteúdos da Geometria Analítica. O 
intuito desses exercícios é proporcionar ao estudante a fixação dos procedimentos 
necessários para a resolução dos problemas propostos e a fixação de operações 
relativas aos temas abordados. Antes de cada conjunto de exercícios, 
apresentaremos uma breve visão sobre os conteúdos que serão necessários para a 
resolução dos exercícios propostos. Desde já desejamos bons estudos! 
 
1. Vetores 
 
1.1 Vetores 
 
Vetor: um vetor é um segmento de reta que possui módulo, direção e sentido. 
 
Módulo: o módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 
 
22|| bav 

. 
 
 
 
 
 
 
1.2 Casos particulares de vetores 
 
Vetores paralelos: possuem a mesma direção. 
 
 
 
 
 
Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 
Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço. 
 
 
 
 
 
Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários. 
 
 
 
Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1. 
 
 
 
 
 
Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto. 
 
 
 
Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano. 
 
 
 
 
1.3 Inclinação de um vetor 
 
A inclinação de um vetor é a medida  em relação à horizontal, no sentido anti-
horário. 
 
 
 
 
||
)(sen
v
b
 
||
)(cos
v
a
 
a
b
)(tg  
 
 
A tabela a seguir apresenta os valores do seno, cosseno e tangente para os arcos 
notáveis correspondentes a 30°, 45° e 60° e será útil em muitos casos. 
 
 30° 45° 60° 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 1 3 
 
 
 
 
2. Operações envolvendo vetores 
 
2.1 Produto de um vetor por um escalar 
O produto de  por v

 é o vetor v
 , onde 0

v , 0 , R . 
 
2.2 Adição de vetores 
 
ACvu 

 ou ACBCAB  
 
 
 
 
ou 
 
ACvu 

 ou ACADAB  
 
 
 
 
2.3 Subtração de vetores 
 
vuvu

 )( 
DBvu 

 ou DBCBDC  
 
 
 
 
Observação: As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u

 e v

 
correspondem a vu

 e vu

 . 
 
 
 
 
 
 
2.4 Combinação linear de vetores 
 
Um vetor v

 é uma combinação linear dos vetores 
nvvv

,...,, 21 quando v

 é a soma 
dos múltiplos dos vetores 
nvvv

,...,, 21 : 
 
nnvvvv
   2211 , onde Rn  ,...,, 21 
 
Exercícios 
 
1. Considere os pontos A, B, C e D localizados nos vértices do quadrado abaixo. 
 
 
 
Dentre as afirmativas a seguir, determine quais são verdadeiras e quais são falsas. 
a) CDAB // 
b) ACAB // 
c) BDAC // 
d) CDAC  
e) BDAC  
f) BDCD  
 
Resolução: 
a) Como AB e CD estão sobre os lados opostos do quadrado ABCD, AB e CD 
são paralelos. Portanto a afirmação CDAB // é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
b) Os vetores AB e AC estão sobre dois lados adjacentes do quadrado ABCD. 
Logo, AB e AC não são paralelos. Portanto a afirmação ACAB // é FALSA. 
 
 
 
c) Os vetores AC e BD estão sobre dois lados paralelos do quadrado ABCD. 
Logo, AC e BD são paralelos. Portanto a afirmação BDAC // é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
d) Observe que os vetores AC e CD estão sobre lados adjacentes do quadrado 
ABCD. Logo AC e CD são ortogonais. Portanto, a afirmação CDAC  é 
VERDADEIRA. 
 
 
 
 
e) Como vimos no item (c), os vetores AC e BD estão sobre dois lados paralelos 
do quadrado ABCD. Logo, AC e BD não são ortogonais. Portanto a afirmação 
BDAC  é FALSA. 
 
 
 
 
f) Os vetores CD e BD estão sobre lados adjacentes do quadrado ABCD. Logo 
CD e BD são ortogonais. Portanto, a afirmação BDCD  é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 
 
 
 
Resolução: 
Sabemos que o módulo || v

 consiste no comprimento do vetor v

. Para calcularmos 
esse comprimento, podemos utilizar a fórmula 22|| bav 

. 
Como a=4 e b=3, vamos substituir esses valores na expressão 
22|| bav 

. 
Fazendo essa substituição, temos 
22 34|| v

 
O próximo passo é elevarmos 4 ao quadrado e também 3 ao quadrado que 
resultam, respectivamente, em 16 e 9. 
916|| v

 
 
Somando 16 e 9, temos 16+9=25 
25|| v

 
Para, finalmente, encontrarmos o valor do módulo do vetor v

, precisamos calcular 
a raiz quadrada de 25, o que é igual a 5 
5|| v

 
Portanto, o módulo de v

, representado por || v

, é igual a 5. 
 
 
3. Determine a inclinação do vetor v

. 
 
 
 
Resolução: 
Para determinarmos a inclinação do vetor v

, podemos utilizar a relação 
a
b
)(tg  
pois temos, nesse exercício, os valores de a e b. Sabemos que b é o cateto oposto 
ao ângulo  e que a é o cateto adjacente a esse ângulo. Logo, b=3 e a=4. 
Substituindo esses valores na fórmula 
a
b
)(tg  
temos 
4
3
)(tg  
Dividindo 3 por 4, o resultado é 0,75, ou seja, 
75,0)(tg  
Precisamos agora determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 0,75. Para 
isso, vamos utilizar a função inversa 1tg , também conhecida como arco tangente e 
representada por tgarc . O cálculo do arco tangente é feito facilmente com o uso de 
uma calculadora científica. Para isso, o valor de  é dado por 
75,0 tgarc 
Nesse caso, o valor de  é 36,87°. Portanto 
 87,36 
Obs.: O valor de  , com mais casas decimais, é 36,8698976... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos usar a calculadora: 
 
Para calcularmos o arco tangente, podemos utilizar uma calculadora científica. 
 
 
Nesse caso, utilizaremos as teclas e . 
 
Dependendo do modelo da calculadora, primeiro iremos fazer a divisão de b por a. 
Depois deveremos pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [tan-1]. Em 
outros modelos, primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em seguida a tecla [tan-1] 
e depois digitamos, entre parênteses, a divisão de b por a. 
 
Veja como é simples: 
 
1° Caso: [3] [  ] [4] [=] [SHIFT] [tan-1] 
 
2° Caso: [SHIFT] [tan-1] [(] [3] [ ] [4] [)] [=] 
 
Obs.: Dependendo do modelo da calculadora, vamos encontrar a tecla [2ndf] no 
lugar da tecla [SHIFT]. 
 
 
4. Determine o módulo e a inclinação do vetor v

. 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Nesse exercício temos dois itens a serem calculados: o módulo e a inclinação do 
vetor. Para calcularmos o módulo de v

, vamos utilizar a fórmula 22|| bav 

. 
É importante ressaltar que a=9 e b=5. Vamos agora substituir esses valores na 
fórmula 
22|| bav 

. 
Substituindo a por 9 e b por 5, temos 
22 59|| v

 
Ao elevarmos 9 e 5 ao quadrado, temos, respectivamente, em 81 e 25. Logo 
2581|| v

 
Efetuando a soma, temos 81+25 que é igual a 106 
106|| v

 
O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 106. Com o auxílio de uma 
calculadora, o resultado é 10,3. 
3,10|| v

 
Sendo assim, o módulo de v

 é igual a 10,3. Note que temos as componentes do 
vetor v

 e também o módulo de v

. Por isso, para calcularmos a inclinação do vetor 
v

, podemos usar uma das seguintes relações 
 
||
)(sen
v
b
 
||
)(cos
v
a
 
a
b
)(tg  
 
Vamos utilizar a relação 
a
b
)(tg  . 
Inicialmente vamos considerar o ângulo  indicado na figura a seguir 
 
 
Para que possamos calcular o valor de  , precisaremos calcular o valor de  . 
Como  180 , temos que  180 . Para calcularmos  , basta utilizarmos 
a relação 
a
b
)(tg  
Substituindo a por 9 e b por 5 na fórmula, temos 
9
5
)(tg  
Efetuando a divisão de 5 por 9, temos 0,56. Portanto 
 
 
56,0)(tg  
Vamos determinar qual é o ângulo  cuja tangente é igual a 0,56. Para isso, basta 
calcularmos o arco tangente de 0,56 
56,0 tgarc 
Com o uso de uma calculadoracientífica, chegamos à conclusão que  é igual a 
29,25°. Portanto 
 25,29 
Vamos determinar agora o valor de  . Como  180 , e  25,29 , temos 
 
 25,29180 
Logo 
 75,150 
ou seja, a inclinação do vetor v

 é igual a 150,75°. 
 
 
 
5. Determine a inclinação do vetor u

. 
 
 
 
Resolução: 
Como o vetor u

 está sobre uma reta horizontal e seu sentido é da esquerda para a 
direita, a sua inclinação é igual a zero. Para comprovarmos isso, vamos fazer os 
cálculos necessários. Sabemos que 
a
b
)(tg  
e que, nessa situação, a=7 e que b=0. 
Substituindo a e b por 7 e 0, respectivamente, temos 
7
0
)(tg  
Dividindo 0 por 7, o resultado é igual a 0 
0)(tg  
Para encontrarmos o valor de  , vamos calcular o arco tangente de 0 
0 tgarc 
Finalmente, o arco tangente de 0 é igual a 0. Logo, 0 . Portanto, a inclinação do 
vetor u

 é igual a 0. 
 
 
6. Qual é a inclinação do vetor v

? 
 
 
 
Resolução: 
A inclinação do vetor é igual a 180°. Observe que v

 está sobre uma reta horizontal 
e o sentido de v

 é da direita para a esquerda. 
 
 
7. O que é um vetor nulo? 
 
 
Resolução: 
Um vetor v

 é dito nulo quando 0|| v

. Podemos representar um vetor nulo por um 
único ponto. 
 
 
 
8. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
 
 
Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. 
a) AEAB  
b) FJEG  
c) NFNP  
d) DHIL  
e) MEMN  
f) CDAC  
d) KLIJ  
h) GCIK  
i) MN3 
j) GH2 
 
Resolução: 
a) Na figura abaixo temos a representação dos vetores AB e AE . Como ambos 
têm a mesma origem, podemos utilizar a regra do paralelogramo para 
encontrarmos a soma. Logo, AFAEAB  . 
 
 
 
 
 
b) Os vetores EG e FJ estão representados na figura abaixo. 
 
 
 
Para podermos encontrar a soma desses vetores, vamos coincidir a origem do vetor 
FJ com a extremidade do vetor EG . 
 
 
 
 
 
A soma FJEG  consiste no vetor EK . 
Uma outra alternativa é fazermos a origem do vetor EG coincidir com a 
extremidade do vetor FJ . 
 
 
 
Nesse caso a soma FJEG  é representada pelo vetor FL . 
 
 
c) A soma NFNP  pode ser obtida pela regra do paralelogramo, pois NP e NF 
têm a mesma origem. 
 
 
 
 
Nesse caso, o resultado da soma é o vetor NH . 
 
d) A figura abaixo ilustra os vetores IL e DH . 
 
 
Vamos representar o vetor DH de modo que a sua origem coincida com a 
extremidade do vetor IL . 
 
 
 
 
 
 
Fazendo isso, temos que a soma DHIL  é igual a IP . 
 
 
e) Utilizando a regra do paralelogramo, o resultado de MEMN  é o vetor MF . 
 
 
 
f) A figura a seguir apresenta os vetores AC e CD . 
 
 
 
 
 
Para calcularmos CDAC  vamos determinar o oposto do vetor CD , o que 
corresponde ao vetor CD , representado na figura abaixo. 
 
 
 
A subtração CDAC  corresponde à soma  CDAC  , o que resulta no vetor 
AB . Observe que a origem do vetor CD coincide com a extremidade do vetor 
AC . 
 
g) Inicialmente, vamos representar os vetores IJ e KL . 
 
 
 
 
 
Como KLIJ  corresponde a  KLIJ  , basta representarmos a origem do vetor 
KL coincidindo com a extremidade do vetor IJ . 
 
 
Os dois vetores têm mesma direção e módulo, mas sentidos opostos. Logo, 
0

 KLIJ . 
 
 
h) A representação dos vetores IK e GC está na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Fazendo  GCIKGCIK  , e representando o vetor GC de modo que sua 
origem coincida com a extremidade de IK , temos que IOGCIK  . 
 
 
 
 
i) O vetor MN está representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
A multiplicação do vetor MN pelo escalar 3 resulta em um vetor de mesma direção 
e sentido do que MN , as com módulo 3 vezes maior do que o módulo de MN . 
 
 
Portanto, MPMN 3 . 
 
j) A representação do vetor GH pode ser vista na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
O vetor GH2 tem direção igual à do vetor GH , mas com sentido oposto e 
módulo igual ao dobro do módulo de GH . 
 
Logo, GEGH  2 . 
 
 
9. Considere os vetores u

 e v

 representados a seguir. 
 
 e 
 
 
 
Determine a soma vu

 . 
 
Resolução: 
A soma vu

 é obtida a partir das somas das componentes dos vetores u

 e v

, ou 
seja, precisamos calcular 4+6 e 5+3, o que resulta em 10 e 8, respectivamente. A 
figura abaixo ilustra os vetores u

 e v

 e a soma vu

 . 
 
 
 
 
10. Calcule a diferença vu

 onde u

 e v

 são dados a seguir. 
 
 e 
 
 
Resolução: 
O cálculo de vu

 é dado pela soma de u

 e v

 , ou seja,  vu

 . Vamos calcular 
4-6 e 5-3. Logo, temos como resultado, um vetor cuja extremidade está em x=-2 e 
y=2. 
 
 
 
 
 
 
11. Determine o vetor r

 como combinação linear dos vetores u

 e v

 onde 
vur

32  e u

 e v

 são os vetores dados a seguir. 
 
 e 
 
Resolução: 
Vamos considerar os vetores u

2 e v

3 
 
 e 
 
Somando os vetores u

2 e v

3 , temos 
 
 
 
 
 
 
Logo, o vetor r

 é dado a seguir. 
 
 
 
 
12. Sabendo que o módulo do vetor ) ,7( w

 é igual a 12,2066, determine o 
valor de  . 
 
Resolução: 
Sabemos que 22|| baw 

 
Substituindo a por 7, b por  e || w

 por 12,2066, temos 
2272066,12  
Para obtermos o valor e  vamos, inicialmente, calcular o valor de 72 
2492066,12  
O próximo passo é elevarmos os dois membros ao quadrado para que possamos 
eliminar a raiz que está no segundo membro 
   222
492066,12  
Calculando 12,20662 e simplificando a raiz com a potência, temos 
 
 
2490011,149  
Como 149,0011 é igual a 49+ 2, podemos escrever, equivalentemente, que 49+ 2 
é igual a 149,0011 
0011,14949 2  
Subtraindo 49 dos dois membros, temos 
490011,1494949 2   
que resulta em: 
0011,1002  
Vamos agora extrair a raiz quadrada dos dois membros 
0011,1002  
Isso nos leva a 
000055,10 
Logo,  = 10. Graficamente, o vetor w

 é representado como segue 
 
 
 
13. Determine as componentes do vetor v

 sabendo que seu módulo é igual a 17 e 
sua inclinação é igual a 60°. 
 
Resolução: 
Se conhecemos o módulo do vetor e a sua inclinação, podemos utilizar as relações 
a seguir para encontrarmos as componentes a e b do vetor v

. 
||
)(sen
v
b
 
||
)(cos
v
a
 
Sabemos que  60 e que 17|| v

. Inicialmente, vamos calcular o valor de b 
||
)(sen
v
b
 
O primeiro passo é substituirmos os valores de  e de || v

 por 60° e 17, 
respectivamente 
 
 
17
)60(sen
b
 
Como 
2
3
)60(sen  , podemos escrever 
172
3 b
 
Multiplicando b por 2 e 3 por 17, temos 
3172 b 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
2
317
b 
Para obtermos o valor de b na forma decimal, basta calcularmos o valor da raiz 
quadrada de 3, multiplicarmos esse resultado por 17 e, depois, dividirmos esse 
valor por 2: 
72,14b 
 
O cálculo de a pode ser feito de forma análoga ao cálculo de b. Para isso, vamos 
utilizar a relação 
||
)(cos
v
a
 
Substituindo  por 60° e || v

 por 17 temos 
17
)60(cos
a
 
Vamos agora substituir )60(cos  por 
2
1
 
172
1 a
 
Multiplicaremos a por 2 e 17 por 1 
1x172 a 
Donde 
172 a 
Dividindo ambos os membro por 2, temos 
2
17
a 
Finalmente, dividindo 17 por 2, temos o valor de a 
5,8a 
Sendo assim, as componentes do vetor v

 são 5,8a e 72,14b . A representação 
de v

 é dada por 
 
 
 
 
 
14. Sejam )1 ,1(u

 e )2 ,3(v

. Calcule o módulo de vu

45  . 
 
Resolução: 
Para calcularmos o módulo de vu

45  , primeiro precisamos obter as componentes 
do vetor vu

45  . 
)2 ,3(4)1 ,1(545  vu

 
Vamos agora multiplicar cada componente do vetor (1, 1) por 5 e cada componente 
do vetor (3, 2) por 4 
)8 ,12()5 ,5(45  vu

 
O próximo passo é somarmos as respectivas componentes, ou seja, 5+12 e 5+8 
)31 ,17(45  vu

 
Agora que já sabemos quais são as componentes de vu

45  , vamos calcular o seu 
módulo 
22 1317|45| vu

 
Elevando 17 e 13 ao quadrado, temos 
169289|45|  vu

 
Vamos agora somar 289 com 169 
458|45|  vu

 
Para obtermos o valor de |45| vu

 , vamos calcular a raiz quadrada de 458 
4,21|45|  vu

 
Portanto, o módulo de |45| vu

 é igual a 21,4.