GUIA UNI 1 Tópicos Integradores II - Engenharia Civil

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UNIDADE I
TÓPICOS INTEGRADORES II
ENGENHARIA CIVIL
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Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD 
 
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Júnior, Elias Arcanjo da Silva. 
Tópicos Integradores II – Engenharia Civil : Unidade 1 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
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Grupo Ser Educacional
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CEP: 50100-160, Recife - PE
PABX: (81) 3413-4611
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Sumário
GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL ..................................................... 4
oPErAÇÕES VEToriAiS ............................................................................................. 5
ADiÇÃo DE VETorES .................................................................................................. 5
regra da construção de polígonos .................................................................................................. 6
Subtração de vetores ........................................................................................................................ 7
Propriedades das operações Vetoriais ........................................................................................... 7
LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS ................................................................... 8
EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo .............................................. 18
Diagrama de Corpo Livre (DCL) ........................................................................................................ 18
Vetores cartesianos tridimensionais ............................................................................................... 20
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TóPiCoS iNTEGrADorES ii
uNiDADE i
PArA iNÍCio DE CoNVErSA
Olá, aluno(a),
Seja bem-vindo(a) à nossa disciplina de Tópicos Integradores II.
Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia. 
Conto com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao 
final da nossa disciplina, você terá total domínio do assunto estudado.
oriENTAÇÕES DA DiSCiPLiNA
Você terá, ao longo do guia, vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado. Caso queira fazer 
alguma pesquisa, utilize a nossa Biblioteca Virtual, esta é uma maneira de agregar novos conhecimentos.
Assista às videoaula, elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas.
Ao final da nossa unidade, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e responda as atividades.
Caso tenha alguma dúvida não perca tempo e pergunte ao seu tutor.
Preparado(a)?
Em nossa I unidade vamos estudar os seguintes tópicos:
•	 Grandezas Vetores e escalares;
•	 Vetor;
•	 Operações vetoriais; 
•	 Equilíbrio de um ponto material no plano;
•	 Vetores cartesianos tridimensionais.
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GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL 
Grandeza Escalar
Grandezas escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente 
especificada por sua intensidade e sua unidade. 
São grandezas escalares: massa, tempo, comprimento, etc.
Grandeza Vetorial 
Grandeza vetorial é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, um sentido uma direção e sua 
unidade de medida para sua completa descrição.
São grandezas vetoriais: velocidade, força, momento, etc.
Vetor
Para a representação de uma grandeza vetorial utilizamos os vetores. O vetor é um ente matemática 
caracterizado por possuir um módulo (intensidade), uma direção e um sentido. Graficamente, um vetor 
é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra em negrito ou por uma letra 
sobre o qual colocamos uma seta.
O uso dos vetores nos auxilia nas operações matemáticas com grandezas vetoriais.
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oPErAÇÕES VEToriAiS 
Multiplicação de um vetor por um escalar.
Meu(inha) caro(a), se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é alterada por essa 
quantidade. Se o escalar for um número positivo maior que 1, o vetor será ampliado. Se o escalar for 
positivo entre 0 e 1 a intensidade será reduzida. Quando multiplicado por um escalar negativo, além da 
mudança da intensidade ele também mudará o sentido do vetor.
FiCA A DiCA
A multiplicação de um escalar por um vetor, não haverá alteração na direção do vetor.
ADiÇÃo DE VETorES 
Frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais. Note que para se 
somar escalares, primeiro devemos verificar se eles têm a mesma unidade e então simplesmente somamos 
os números. Quando somamos vetores, devemos considerar tanto a magnitude quanto a orientação de 
cada quantidade vetorial. Para a soma de vetores podemos utilizar a regra do paralelogramo ou a regra 
da construção de polígonos. 
regra do paralelogramo 
Caro(a) estudante, para ilustrar a regra do paralelogramo na adição de vetores, os vetores A e B, figura 
abaixo, são somados para formar um vetor resultante R = A + B usando o seguinte procedimento:
1º Desenho os vetores com suas origens em um mesmo ponto, mantendo suas intensidades, sentidos e 
direções originais.
2º A partir da extremidade de A desenhe uma linha paralela ao vetor B e na sequência desenhe uma 
nova linha a partir da extremidade de B paralela ao vetor A. Essas duas linhas se cruzam e formam um 
paralelogramo.
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3º A diagonal desse paralelogramo, com mesma origem dos vetores A e B e extremidade no vértice 
oposto, represente o vetor resultante R = A + B. 
regra da construção de polígonos 
A regra da construção de polígonos é muito útil quando devemos somar mais de dois vetores. Para somar 
os vetores A, B e C usando a Regra da construção de polígonos devemos usar o seguinte procedimento:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor B, também mantendo suas características iniciais e na sequência desenho o vetor C, mantendo seu 
módulo, sua direção e seu sentido.
2º O vetor com a origem na origem do primeiro vetor e sua extremidade na extremidade do último vetor 
é o vetor resultante R = A + B + C.
GuArDE ESSA iDEiA!
Fique atento(a), pois a regra da construção de polígonos é chamada de construção de triângulos quando a 
soma é apenas de dois vetores. Você também pode usar a lei do paralelogramo para somar mais de dois 
vetores, para isso você soma os dois primeiros vetores e a resultante deles você soma com o terceiro, e a 
resultante deles soma com o quarto e assim por diante. 
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Subtração de vetores 
Para subtração de vetores podemos usar a lei do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos, 
para isso você deve transforma a operação de subtração em uma operação de soma de vetores. Assim o 
vetor diferença D = A – B deve ser escrito como D = A + (-B). O vetor -B é o vetor oposto ao vetor 
B, ou seja, o vetor com mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto a B. Procedimento para calcular 
a diferença entre dois vetores utilizando a regra da construção de polígonos:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor -B, que tem o mesmo módulo e mesma direção do vetor B, mas o sentido é o oposto ao de B. 
2º O vetor com a origem no início do primeiro vetor e sua extremidade no fim do segundo vetor é o vetor 
resultante D = A + (-B), ou seja, o vetor D = A – B. 
Propriedades das operações Vetoriais 
Comutativa: A ordem em que os vetores são somados não altera a soma, ou seja,
+ .
Associativa: A soma dos vetores não é alterada pela associação dos vetores de diferentes formas, ou 
seja,
GuArDE ESSA iDEiA!
Agora que já sabemos representar graficamenteo vetor soma e o vetor diferença, estamos prontos para 
determinar o módulo, a direção e o sentido desses vetores resultantes. Para isso usamos a lei dos senos, 
a lei dos cossenos, a lei do paralelogramo e o fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
igual a 180º.
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LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS 
A lei dos senos e dos cossenos são duas relações matemáticas que nos permite relacionar os ângulos 
internos dos triângulos com as medidas dos seus lados.
Lei dos senos: Em um triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do 
ângulo interno oposto a esse lado é constante, ou seja,
Lei dos cossenos: O quadrado da medida e um dos lados, de triângulo qualquer, é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo 
entre eles, nominalmente, 
Lei do paralelogramo: Determinando o módulo do vetor resultante 
O quadrado da medida da diagonal, de um paralelogramo qualquer, é igual à soma dos quadrados dos 
dois lados adjacentes, mais o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, 
nominalmente, 
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Notação vetorial cartesiana
Ângulo diretor
 
É possível representar um vetor em termos de vetores cartesianos unitários e . Eles são chamados de 
vetores unitários porque possuem módulo 1 e são usados para determinar as direções cartesianas x e y, 
respectivamente.
Assim, podemos notar o vetor A como um vetor cartesiano da forma
onde Ax e Ay são as componentes ortogonais do vetor , ou seja, são as projeções do vetor nos eixos x e 
y, respectivamente. Como essas componentes formam um triângulo retângulo, podemos determinar suas 
intensidades a partir das razões trigonométricas do triângulo retângulo da seguinte forma:
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PALAVrAS Do ProFESSor
Meu(inha) caro(a) aluno, no intuito de “simplificar” seu estudo, alguns alunos decoram algumas fórmulas 
sem entender o seu real significado, que resulta em erros na resolução de problemas. Um bom exemplo 
é decorar que a Ax = Acosθ e Ay = Asenθ, onde na realidade ele precisa entender que a componente 
do vetor A na direção do cateto adjacente do ângulo diretor é igual ao módulo de A vezes o cosseno do 
ângulo diretor e a componente do vetor A que está da direção do cateto oposto ao vetor diretor é igual ao 
módulo de A vezes o seno do ângulo diretor. 
Triângulo diretor 
A direção de um vetor pode ser dada através de seu triângulo diretor. 
 Nesse caso, o vetor A pode ser escrito na 
 forma cartesiana do seguinte modo:
 
Onde as componentes ortogonais do vetor A são obtidas das razões de proporcionalidade entre os lados 
correspondentes dos triângulos semelhantes abc e AxAyA.
Se você ficou com alguma dúvida na representação dos vetores cartesianos a partir do seu triângulo 
diretor assista a webconferência da UNIDADE I. 
VoCê SABiA?
Você sabia que a notação cartesiana dos vetores é muito útil no estudo da estática de corpos rígidos? 
Pois é, a representação das forças e dos momentos que atuam no corpo por meio de vetores cartesianos 
facilita a análise analítica dos problemas, ou seja, a determinação da intensidade, direção e sentido da 
força resultante, em especial quando temos um número muito grande de forças.
???
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Resultante de Forças Coplanares 
 Para determinar a resultante de forças coplanares é preciso 
 decompor cada força em suas componentes x e y; depois, 
 as respectivas componentes são somadas usando-se 
 álgebra escalar,ou seja,
Módulo e Direção do Vetor resultante
Para determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante usamos as seguintes equações:
Módulo do vetor resultante: FR = 
A direção e o sentido do vetor resultante: 
PrATiCANDo
Agora que você aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até aqui, recomendo que acompanhe 
a resolução dos exemplos a seguir, para que você aprenda realmente não terá outra opção a não ser 
praticar. 
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Exercícios resolvidos 
1º) Determine a intensidade da força F e a intensidade da força resultante de Fr se estiver direcionada ao 
longo do eixo y positivo. 
Solução 
Utilizando a regra dos paralelogramos traçamos uma reta com início na extremidade do vetor F e paralela 
ao vetor força de intensidade 200 N e na sequência desenhamos uma nova reta com origem na extremidade 
do vetor com intensidade de 200 N e paralela ao vetor F. A interseção das retas estará sobre o eixo y, 
pois o problema afirma que a resultante das forças está sobre esse eixo. Com o paralelogramo formado, 
encontramos os ângulos internos e utilizamos a lei dos senos para determinar a intensidade do vetor 
resultante e do vetor F.
Se você observar apenas o lado direito do paralelogramo verá um triângulo com os ângulos de 45° e 30°. 
Como a soma dos internos é igual a 180°, o terceiro ângulo será de θ = 75°.
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Aplicando a lei dos senos para determinar o módulo de F, temos:
Aplicando novamente a lei dos senos para determinar a intensidade de da força resultante, temos:
2º) O anel mostrado na figura está submetido a duas forças F1 e F2. Se for necessário que a força resultante 
tenha intensidade de 1 kN e seja orientada verticalmente para baixo, determine (a) a intensidade de F1 e 
F2, desde que θ = 30°, e (b) as intensidades de F1 e F2, se F2 for mínima. 
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Solução 
Letra a: Utilizando a regra da construção de triangulo, você deve desenhar o vetor F1 com sua origem na 
extremidade do vetor F2, mantendo módulo direção e sentido. O vetor resultante tem origem no início 
do vetor F2 e sua extremidade a fim do vetor F1. Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, 
o ângulo entre F2 e F1 é 130°. Já que a intensidade do vetor resultante é 1 kN podemos determinar as 
intensidades de F1 e F2 usando a lei dos senos.
e
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Letra b: Observando a figura ao lado você pode concluir que a força F2 será mínima se o ângulo entre F1 
e F2 for igual a 90°. E usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo, temos:
3º) Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura. Expresse cada 
força como um vetor cartesiano.
 
Solução. Na figura b temos o desenho das componentes do vetor F1 nas direções x e y. A componente F1x 
pode ser deslocada verticalmente para cima para formar um triângulo retângulo, regra da construção de 
triângulos, no intuito de ser usada a definição de seno e de cosseno na determinação das intensidades 
das componentes de F1. 
Como F1y é cateto adjacente ao ângulo de 30°, você pode escrever que:
F1y = F1 x cos 30° = 200 N x cos 30° = 173,2 N.
Já F1x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, assim o podemos escrever que:
F1x = - F1 x sen 30° = - 200 N x sen 30° = - 100 N.
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Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente horizontal de 
F1 aponta no sentido negativo do eixo x.
E o vetor F1 em coordenadas cartesianas é:
F1 = (-100i + 173,2j) N
Para determinar as componentes de F2 iremos usar a semelhança de triângulos. Agora F2x pode ser 
deslocado de maneira a forma um triangulo retângulo semelhante ao triangulo diretor 5, 12, 15.
.
 
.
Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente vertical de F2 
aponta no sentido negativo do eixo y.
Já o vetor F2 em coordenadas cartesianas é:
F2 = (240i - 100j) N
4º) A ponta de uma lança O na figura (a) está submetida a três forças coplanares e correntes. Determine 
a intensidade e a direção da força resultante.
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Solução
Cada força deve ser decomposta em suas componentes x e y (figura b). 
F1x = - 400 NF1Y = 0
F2x = 250 N x sen 45° = 176,8 NF2x = 250 N x cos 45° = 176,8 N 
F3x = -(4/5) x 200 N = - 160 NF3x = (3/5) x 200 N = 120 N 
 
Somando as componentes x, temos:
FRx = - 400 N + 176,8 N– 160 N = -383,2 N
O sinal negativo indica que a resultante na direção x atua para a esquerda. E somando as componentes 
y, temos:
FRy = 0 + 178,8 N + 120 N = 296,8 N
A força resultante, figura (c), tem intensidade:
 FR = 
FR = 485 N
A direção do vetor resultante é dada por:
Esse ângulo é medido com relação ao eixo negativo de x no sentido horário. É comum a direção do ângulo 
ser determinado com relação ao semieixo x positivo no sentido anti-horário. Nesse caso θ = 180° - 37,8° 
= 142,2°. 
Espero que estes exercícios ajudem você a entender melhor esse conteúdo. 
Vamos para mais informações? 
Então, lembre-se que o seu tutor aguarda sua sinalização para ajudar no que for preciso.
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EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo 
VoCê SABiA?
Meu(inha) querido(a) estudante, você sabia que a primeira lei de Newton afirma que um corpo está em 
repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se as resultantes que atuam sobre ela são nulas?
Ufa, quanta informação devemos ter, não é? 
Um ponto material encontra-se em equilíbrio desde que esteja em repouso ou tenha velocidade 
constante.
Assim, para que que um ponto material esteja em equilíbrio a força resultante sobre ele deve ser igual a 
zero, ou seja,
 .
GuArDE ESSA iDEiA!
É imprescindível que você tenha perfeita clareza sobre a construção do diagrama de corpo livre de um 
ponto material. Então observe as dicas que seguem.
Diagrama de Corpo Livre (DCL) 
Para aplicar a equação de equilíbrio devem-se considerar todas as forças conhecidas e desconhecidas 
que atuam sobre o ponto material. Para tanto, você deve desenhar o diagrama de corpo livre (esboço que 
mostra o ponto material “livre” de seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele).
Procedimento para desenhar o diagrama de corpo livre:
1) Desenhe o contorno do ponto material;
2) Represente com o auxílio de um vetor todas as forças;
3) Identifique todas as forças.
Para sua melhor compreensão, fique atento(a) aos exemplos!
???
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ExEmPLo
1°) Determine as trações nos cabos BA e BC necessárias para sustentar o cilindro de 60 kg na Figura.
Solução:
Como o sistema está em equilíbrio a tração na corda BD é igual ao peso do cilindro, ou seja,
TBD = mg = 60 x 9,81 = 588,6 N.
Já as forças nos cabos BA e BC podem ser determinadas aplicando-se a condição de equilíbrio no anel 
B. O diagrama de corpo livre do anel B nos permite determinar as direções das forças TA e TC através do 
triângulo diretor e do ângulo diretor, respectivamente.
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Aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo x, temos:
Tc(cos 45°) – (4/5)TA= 0
0,7071Tc –0,8TA= 0
TA= 0,8838TC
E aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo y, temos:
 
Tc(sen 45°) + (3/5)TA – 588,6 = 0
0,7071Tc + 0,6TA = 588,6
Resolvendo o sistema de equações acima:
0,7071TC + 0,6(0,8838TC) = 588,6
1,24TC = 588, 6
TC = 475,66 N = 476 N
e
TA = 420 N
Observação: A precisão desses resultados depende da precisão dos dados, isto é, medições de geometria 
e de cargas. Por isso é indicado na engenharia que os dados medidos tenham pelo menos três algarismos 
significativos.
 
Vetores cartesianos tridimensionais 
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas tridimensionais, são 
simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. Desta forma, um 
vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares.
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Representação cartesiana de um vetor tridimensional
Na maioria dos problemas de estática as direções das forças que atuam nas estruturas não são conhecidas. 
Para determinar a direção de uma força é preciso conhecer a posição de dois pontos pelos quais passa a 
linha de ação dessa força. 
 
Na figura ao lado temos uma força F sendo aplicada ao longo de uma corda localizada entre os pontos 
A e B. Se as coordenadas cartesianas desses pontos são conhecidas a representação cartesiana de F é 
dada por
onde é um vetor unitário na direção do vetor posição que tem origem no ponto A e extremidade 
no ponto B. 
Se as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são (xA, yA, zA) e (xB, yB, zB), respectivamente; o vetor 
F na forma cartesiana pode ser determinado por
 .
23
GuArDE ESSA iDEiA!
A maneira mais fácil de definir as componentes de um vetor posição é determinar a distância de a direção 
que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor.
A direção de um vetor no R3
A direção de um vetor A, é definida pelos ângulos diretos alfa (a), beta (b) e gama (g), ver figura. Alfa é o 
ângulo que o vetor A faz com a direção x, beta o ângulo do vetor A com a direção y e gama a o ângulo do 
vetor A com a direção z. 
Para determinar o valor dos ângulos diretores primeiro temos que determinar os cossenos diretores de A 
a partir das componentes ortogonais do vetor A e do seu módulo, da seguinte forma:
 
Assim, podemos encontrar os ângulos diretos pelo inverso do cosseno. Sendo
24
ExEmPLoS
1°) O homem mostrado na Figura puxa a corda com uma força de 350 N. Represente essa força, que atua 
sobre o suporte A, como um vetor cartesiano e determine sua direção. 
Solução:
A representação da força F aplicada pelo homem sobre a corda pode ser obtida a partir da equação , onde 
= 350 N, o módulo da força, e é o vetor unitário ao longo corda e sua direção é determinada pelo vetor , 
que se estende de A a B.
Para determinar você deve subtrair as coordenadas do ponto B pelas coordenas do ponto A, ou seja,
 = ( xB, yB, zB ) - ( xA, yA, zA) = ( 6, -4, 3) – (0, 0, 15) = ( 6, -4, -12).
Em coordenadas cartesianas = 6 - 4 -12
Agora com o vetor você pode determinar o vetor unitário que determina a direção e o sentido de F: 
 
25
Como F tem a intensidade de 350 N e direção determinada por 
 
 
A direção da força é determinada pelos ângulos diretores que são medidos entre o vetor força F (ou 
o vetor ) e os eixos coordenados de um sistema de coordenadas com origem em A. A partir das 
componentes do vetor :
Nota: Nesse caso, foi usado o vetor rAB para determinar os ângulos diretores, e não o vetor F, porque 
conhecíamos as suas componentes e o seu módulo.
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FiQuE ATENTo!
Observação1: Os ângulos fazem sentido quando comparamos os resultados com os ângulos desenhados 
na figura acima.
Observação2: Se você observou com atenção o problema anterior, percebeu que a componente x do vetor 
unitário é igual ao cos a, a componente y ao cos b e a componente z ao cos g. Assim, dessa forma 
podemos calcular os ângulos diretores da seguinte forma:
 
Observação3: Como o vetor û é unitário podemos escrever a seguinte relação para os cossenos 
diretores:
cos² a + cos² b + cos² g = 1
2°) Determine a força desenvolvida em cada cabo usado para suportar a caixa de 400 N mostrada na 
Figura.
Solução: 
Como você pode observar esse é um problema de equilíbrio estático, onde a força resultante que atua no 
nó A é igual a zero. Mas antes de você resolver essa equação é necessário escrever cada uma das forças 
que atuam no nó A na forma cartesiana. Com o auxílio das coordenadas dos pontos A (0, 0, 0), B (-1,5 m, 
-2 m, 4 m) e C (-1,5 m, 2 m, 4 m) podemos escrever:
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E para que o sistema esteja em equilíbrio:
 
Igualando a zeros as respectivas componentes i, j e k:
 −0,318FB−0,318FC+FB=0 (I) 
 −0,424FB+0,424FC=0 (II) 
 0,848FB+0,848FC−400=0 (III) 
Resolvendo a equação II encontramos que: 
FB = FC
Substituindo esse resultado na equação II, encontramos:
FB = FC = 236 N
E substituindo os valores de FB e FC na equação I, obtemos:
FD = 150 
28
PALAVrAS Do ProFESSor
Então, prezado(a) aluno (a), chegamos ao final da nossa I unidade! 
Espero ter colaborado para seu aprendizado! Caso tenha alguma dúvida, sugiro querefaça a leitura do 
guia de estudos.
Faça também pesquisas e exercícios para fixar o que estudamos nesta I unidade. 
Não deixe de acessar o AVA e responder as atividades e os fóruns avaliativos.
Caso tenha dúvidas pergunte ao seu tutor. Ele está à sua disposição.
Bom estudo e até o nosso próximo encontro! 
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