Vetores e Espaços Vetoriais

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DEFINIÇÃO
O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.
PROPÓSITO
Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano e
no espaço.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
 
Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas
 
Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço
 
Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto
 
Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
 Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.
INTRODUÇÃO
Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um elemento que requer
na sua concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e sentido).
Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h, falta a
informação de direção e sentido que ele está se encaminhando, para que se tenha um dado completo do
problema.
Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos vetores,
atendendo a algumas operações básicas, irá definir o espaço vetorial.
 
Fonte:Pixabay
Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e, posteriormente, aplicar
estes conceitos na resolução de alguns problemas
ESPAÇO VETORIAL
O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da
adição e de multiplicação por um número real.
SEJAM U E V ELEMENTOS DE V, NÃO VAZIO. ASSIM, V SERÁ UM
ESPAÇO VETORIAL, SE E SOMENTE SE:
Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação
por real, pois ao operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um outro elemento do mesmo
conjunto.
Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de matrizes de
n linhas e m colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões (Rn).
Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o espaço
vetorial Rn. Este espaço vetorial será composto por elementos de n-dimensões reais, isto é
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A partir de n > 3
as representações geométricas não são mais possíveis.
Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R2 e R3,
respectivamente.
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto não vazio.
Seja um número real k = 2.
Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v.
Rn ={(x1,x2, … ,xn)∈ Rn,  i = 1,2, … ,n},  n ≥ 1
R2 ={(x, y)∈ R2;  x e y reais}
R3 ={(x, y, z)∈ R3;  x, y e z reais}
Mas v (4, 10) ≠(𝑥,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C.
Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C não é espaço
vetorial.
Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto C.
Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2+3, 5+5) = (5, 10) não pertencerá a C.
2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique se o conjunto
C é um espaço vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
Seja o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais.
Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento demonstrando que pelo menos um elemento existe
no conjunto m, portanto ele não é vazio.
Vamos supor k real.
Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este número.
Assim .
Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M demostrando que a
operação de multiplicação por real é fechada no conjunto M.
Sejam e dois elementos de M e p = m + n.
Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:
Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando também que a
operação da adição é fechada para o conjunto M.
Desta forma, verifica-se que o conjunto M é um espaço vetorial.
VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS
Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.
GRANDEZA ESCALAR
A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor (magnitude, módulo, valor ou
amplitude). A temperatura de uma sala ou a massa de um objeto são exemplos de grandezas escalares.
m =[ x y
z w
]
m =[ 1 1
1 1
]
n  =  k.m  =[ kx ky
kz kw
]
m =[ x y
z w
] n =[ a b
d c
]
p = m + n =[x + a y + b
z + d w + c
]

GRANDEZA VETORIAL
A grandeza vetorial, denominada de vetor, é um ente matemático que, para ser definido completamente,
necessita, além da sua magnitude (módulo, valor ou amplitude), da definição da direção e do sentido. A
velocidade de um carro ou a força atuante em um objeto são exemplos de grandeza vetorial.
O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento) do
espaço vetorial Rn, definido no item anterior. O vetor será representado pelos seus componentes.
 ATENÇÃO
Assim sendo, um vetor de Rn será definido por n componentes reais, representado por (x1, x2, ..., xn). Cada
componente real xi representa um tamanho da projeção do vetor na i-ésima dimensão. A combinação das n-
componentes do vetor irá definir a orientação deste, dentro do espaço vetorial Rn.
Para nosso caso particular do R2 e R3 podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um
segmento de reta orientado.
Seja o seguimento orientado de reta , no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta que
apresenta um sentido definido.
O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou ponto final. Este
segmento orientado é definido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.
SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS, DIREÇÕES E SENTIDOS IGUAIS
SERÃO SEGMENTOS EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES.
 
Fonte:Autor
(
−−→
AB)
 IMPORTANTE!
O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim, vetor será
representado geometricamente por um segmento orientado que apresenta um módulo, uma direção e um
sentido determinado.
O vetor será representado por vetor ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu
sentido, vetor .
Dessa forma, os vetores e são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma direção,
mas sentidos opostos.
OPERAÇÕES BÁSICAS
Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas operações básicas
contidas no espaço vetorial:
1- IGUALDADE ENTRE VETORES
Sejam vetores do Rn.
Assim , para todo i = 1, 2, ..., n
2 - ADIÇÃO ENTRE VETORES
Sejam e dois vetores pertencentes ao Rn.
Se , para todo i = 1, 2, ...,
n
w também pertence ao Rn.
−−→
AB :  
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Direção :  Reta Δ
Sentido :  A para B
Módulo :  Medida de ̄ ¯̄¯̄¯AB
→
v
−−→
AB
−−→
AB
−−→
BA
→
u  (x1,  x2,  . . . ,  xn) e →v  (y1,  y2,  . . . ,  yn)
→
u =
→
v   ⇔  x1  =  y1 ,  x2  =  y2,  . . . . ,  xn  =  yn
→
u ( x1,  x2,  . . . ,  xn) →v ( y1,  y2,  . . . ,  yn)
→
w   =  
→
u +
→
v   ⇒  (w1,  w2,  . . . ,  wn)  =  (x1 + y1,  x2 + y2,  . . . . ,  xn + yn)3 - MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja vetor do Rn e k um número real.
Se , para todo i = 1, 2, ..., n
w também pertence ao Rn.
Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k:
Associativa na Adição: 
Comutativa: 
Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): 
Existência do Elemento Oposto na Adição: 
Distributiva por Vetor: 
Distributiva por Escalar: 
Associativa na Multiplicação por Real: 
Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 
 IMPORTANTE!
Para realizar a subtração de dois vetores - , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao
vetor 
EXEMPLO
1. Determine o valor de b e d para que os vetores ( 4, b + d, 0, 1) e ( 4 , 5 , 0, b – d) sejam iguais.
SOLUÇÃO
Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.
→
u   =  (x1,  x2,  . . . ,  xn) 
→
w   =  k 
→
u ⇒  (w1,  w2,  . . . ,  wn)  =  (kx1,  kx2,  . . . ,  kxn)
→
w +
→
u   +  
→
v =  
→
w   +  (→u   +  →v )  =  (→w + →u )  +  →v
→
u   +  
→
v =  
→
v   +  
→
u
→
u   +  0 =
→
u
→
u   +  (−→u )  =  0
→
k (→u + →v )  =  k→u   +  k→v
(k + h)→u   =  k→u   +  h→u
(kh)→u   =  k(h→u )  =  h(k→u )
1
→
u =
→
u
→
u
→
v
→
v
→
u
→
u
→
v
Assim: 
Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d
Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 – 1 = 4 → d = 2
Então, b = 1 + d = 1+ 2 = 3
 ATENÇÃO!
Este exercício só foi possível porque o primeiro componente, que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram iguais
nos dois vetores. Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria impossível.
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor (100, b, 300).
Um segundo avião apresenta uma velocidade, em km/h, dada por (50+a, 80, 300). Determine o valor de a
+ b para que os aviões tenham a mesma velocidade.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
{ b + d = 5
b − d = 1
→
v 1
→
v 2
MÃO NA MASSA
1. UM CONJUNTO B É UM ESPAÇO VETORIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO
ESTÁ CORRETA EM RELAÇÃO AO CONJUNTO B.
A) Tem pelo menos um elemento.
B) É fechado em relação à operação de adição.
C) Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.
D) Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
2. SEJAM OS VETORES E . DETERMINE O
VALOR DE 
A) (–4, 1, 2, 7, -1)
B) (4, 2, 1, 6, 0)
C) (2, 3, 2, -1, 1)
D) (0, 2, 7, 1, 1)
3. A FORÇA AGE EM UM OBJETO. ESTE OBJETO DE MASSA
(M) DE 1KG ADQUIRE UMA ACELERAÇÃO IGUAL À . SABENDO
QUE , DETERMINE O VALOR DE X E Y RESPECTIVAMENTE.
→
u (2,  3,  0,   − 1,  1) →v (−1,  2,  1,  3,  0)
→
w   =  2
→
v   −  
→
u
→
F   =  (10,  x  +  y) 
→
a   =  (2x  −  y,  5)
→
F   =  m
→
a
A) 5 e 0
B) 0 e 5
C) 10 e 15
D) 2 e 4
4. SEJAM OS VETORES , COM A E B NÚMEROS
REAIS. DETERMINE A E B RESPECTIVAMENTE, SABENDO QUE 
A) 0 e 0
B) -1 e 1
C) 1 e -1
D) 0 e 1
5. QUATRO VETORES DO 
, COM
A E B REAIS, SATISFAZEM A SEGUINTE EQUAÇÃO: .
DETERMINE O VALOR DE A + B + C.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
6. SEJAM OS VETORES , COM A, B E C
NÚMEROS REAIS. DETERMINE A SOMA DE A + B + C, SABENDO QUE O VETOR 
 É EQUIVALENTE AO VETOR (2, 3, 3).
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
→
u (a,  b),  →v (b,  a) e →w (2 − 2b,  0)
3(→u + →v ) + →w = 0
R3,  
→
u ( a ,  a + b ,  a − c),  
→
v ( 1 ,  c ,   − b),  
→
w  ( 1 ,  0 ,  2c + b) e 
→
m( b ,  8,  5)
→
u − 3
→
v = 2
→
w +  
→
m
→
u (a,  b,  c),  →v (b,  a,  c) e →w (2b,  0,  b + c)
→
m =  2
→
u + 3
→
v − 2
→
w
GABARITO
1. Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao
conjunto B.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial
Se o conjunto B é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que
atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real.
Assim, a letra A, B e D são verdadeiras
Em relação à letra C , u - v é uma operação de multiplicar um elemento por –1 e depois somar dois elementos
do conjunto, logo, obrigatoriamente, este resultado pertence ao conjunto B. Esta afirmativa é verdadeira.
2. Sejam os vetores e . Determine o valor de 
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Assim,
 
 
 
 
Portanto,
3. A força age em um objeto. Este objeto de massa (m) de 1kg adquire uma
aceleração igual à . Sabendo que , determine o valor de x e y
respectivamente.
A alternativa "A " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
→
u (2,  3,  0,   − 1,  1) →v (−1,  2,  1,  3,  0) →w   =  2→v   −  →u
→
w (x , y , z ,m ,n) = 2→v −  →u =  ( –  1. 2,  2. 2,  1. 2,  3. 2,  0. 2) –  ( 2,  3,  0,  –  1,  1)
x = −2 − 2 = −4
y = 4 − 3 = 1
z = 2 − 0 = 2
m = 6 − (−1) = 7
n = 0 − 1 = −1
→
w (−4,  1,  2,  7,   − 1)
→
F   =  (10,  x  +  y) 
→
a   =  (2x  −  y,  5)
→
F   =  m
→
a
4. Sejam os vetores , com a e b números reais. Determine a e b
respectivamente, sabendo que 
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas:
Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):
Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem
 
5. Quatro vetores do ,
com a e b reais, satisfazem a seguinte equação: . Determine o valor de a + b + c.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
6. Sejam os vetores , com a, b e c números reais.
Determine a soma de a + b + c, sabendo que o vetor é equivalente ao vetor (2, 3,
3).
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
→
u (a,  b),  →v (b,  a) e →w (2 − 2b,  0)
3(→u + →v ) + →w = 0
3(→u +  →v )+→w = 0 → 3→u + 3→v + →w = 0
{ 3a + 3b +(2 − 2b)= 0
3b + 3a + 0 = 0 
  →  { 3a + b + 2 = 0
3b =   − 3a 
→  { 3a + b =   − 2 
b =   − a 
3a –  a  =  – 2   →  a  =  – 1 
b  =  –  a  →  b  =  1
R3,  
→
u ( a ,  a + b ,  a − c),  
→
v ( 1 ,  c ,   − b),  
→
w  ( 1 ,  0 ,  2c + b) e 
→
m( b ,  8,  5)
→
u − 3
→
v = 2
→
w +  
→
m
→
u (a,  b,  c),  →v (b,  a,  c) e →w (2b,  0,  b + c)
→
m =  2
→
u + 3
→
v − 2
→
w
Usando as propriedades vistas, se o vetor é equivalente ao vetor (2, 3, 3), eles terão as mesmas
coordenadas.
Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor 
Igualando ao vetor (2, 3, 3)
Multiplicando a primeira equação por 2: 4a−2b=4, somando a segunda equação
Substituindo na terceira equação 
Assim,
a + b + c = 2
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O VETOR E O VETOR .
DETERMINE O VALOR DE 2A – B, ONDE A E B SÃO NÚMEROS REAIS, PARA QUE 
.
A) 175
B) 215
C) 375
D) 470
2. SEJAM OS VETORES U, V E W ELEMENTOS DO ESPAÇO VETORIAL R4. SABE-SE
QUE 2U – 3V + W É EQUIVALENTE AO ELEMENTO NULO. DEFINIMOS U(0, 1, A, B + C),
V(1, B, 2, B – C) E W(3 , – 13A, 8C, 0), COM A, B E C NÚMEROS REAIS. DETERMINE O
VALOR DE A + B + C.
A) 1
→
m
→
m =  2
→
u + 3
→
v − 2
→
w
=  
⎧⎪
⎨
⎪⎩
2a + 3b − 2(2b)= 2a + 3b − 4b = 2a − b
2b + 3a − 2.0 = 2b + 3a
2c + 3c − 2(b + c)= 2c + 3c − 2b − 2c = 3c − 2b
⎧⎪
⎨
⎪⎩
2a − b = 2
2b + 3a = 3
3c − 2b = 3
→  
4a + 3a = 4 + 3 → 7a = 7 → a = 1 e b = 2a − 2 = 2 − 2 = 0
3c = 3 + 2b = 3 + 0 = 3 → c = 1
 
→
m1(150,  a + b, 100)  
→
m2(150,  450,  a − b)
 
→
m1 =  
→
m2
B) 3
C) 5
D) impossível 2u - 3v + w = 0
GABARITO
1. Seja o vetor e o vetor . Determine o valor de 2a – b,
onde a e b são números reais, para que .
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim a + b = 450 e a – b = 100
Somando as duas equações 2a = 550 → a = 275
Então, b = 450 – a = 450 – 275 = 175
Assim, 2a – b = 2.275 – 175 = 375
2. Sejam os vetores u, v e w elementos do espaço vetorialR4. Sabe-se que 2u – 3v + w é equivalente ao
elemento nulo. Definimos u(0, 1, a, b + c), v(1, b, 2, b – c) e w(3 , – 13a, 8c, 0), com a, b e c números reais.
Determine o valor de a + b + c.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim:
 (ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta seria impossível) 
 
 
Substituindo a quarta equação na segunda se tem:
Mas na terceira equação:
 
→
m1(150,  a + b, 100)  →m2(150,  450,  a − b)
 
→
m1 =  
→
m2
 
→
m1 =  
→
m2
→
v 1  =
→
v 2 
2u –  3v  +  w  =  0 
2. 0–  3. 1  +  3  =  0  →  0  =  0  
2. 1 –  3. b  −  13a  =  0   →  3b  +  13 a  =  2
  2. a –  3. 2  +  8c  =  0  →  2a  +  8c  =  6
  2. (b + c) –  3. (b –  c)  +  0  =  0  →  2b  +  2c –  3b  +  3c  =  0  →  5c –  b  =  0  →  b  =  5c
3. 5c  +  13 a  =  2    →  15c  +  13a  =  2
2a  =  6 –  8c  →  a  =  3 –  4c
Substituindo na anterior:
Se
E
Portanto
 Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço.
INTRODUÇÃO
NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA, UTILIZA-SE UMA INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA, ALÉM DO CÁLCULO ANALÍTICO. ASSIM, PARA SE TRABALHAR NO PLANO
OU NO ESPAÇO, USA-SE OS ESPAÇOS VETORIAIS R2 E R3.
Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma representação
por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem definidos. Dessa forma, será
apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação e referência para nossos estudos.
Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária, portanto, a
definição de vetores unitários que terão este objetivo.
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de
reta. Desse modo, torna-se necessário definir direções e sentidos, isto é, definir referências. Estas referências
15c  +  13(3 –  4c)  =  2   →  15 c  + 39 –  52 c  =  2  →  37 c  =  37  →  c  =  1
c  =  1  →  a  =  3 –  4. 1  =  3 –  4   =   –  1 
b  = 5c  =  5. 1  =  5
a  +  b  +  c  =   –  1  +  5  +  1  =  5 
devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido. Por isso, vamos adotar o sistema cartesiano para
referenciarmos o espaço vetorial R2 e R3.
No caso do R3, serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para referenciar as três
dimensões. Qualquer direção/sentido no espaço pode ser definida por três direções ortogonais. A origem do
sistema será definida no cruzamento dos eixos, ponto 0. O eixo x é denominado de abscissa, o eixo y de
ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada eixo define o sentido positivo de cada direção de referência.
 
Fonte:Autor
No caso do R2, serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para referenciar as
suas duas dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais.
 ATENÇÃO
Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a representação
de um ponto nestas regiões. Um ponto P do R3 será representado por 3 componentes, que denominaremos de
coordenadas. Cada coordenada representa as distâncias que o ponto tem em relação aos três planos que
definem o espaço.
Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano YZ, Y a distância
de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY.
Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.
Na figura ao lado estão representados os pontos
P (1, 2, 2), Q (–1, –2, 1), R (1 , 2, –2) e S (1, –2, –2).
A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0)..
 
Fonte:Autor
O R2 é um caso particular do R3, assim, os pontos no R2 apresentam apenas valores para abscissa e
ordenada, ou seja, P(X,Y).
Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos
que definem o sistema de coordenadas. Veja a figura, o vetor projetado na direção do eixo x apresenta um
tamanho vx, na direção do eixo y apresenta um tamanho vy e na direção do eixo z um tamanho vz.
 
Fonte:Autor
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada
será negativo. Portanto, o vetor terá coordenadas (vx, vy , vz) , em que vx, vy e vz são número reais. No caso
do R2, caso particular do R3, o vetor não terá a componente vz.
Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja, 
Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores (3, 1), (−1, 1) e (1, −3).
→
v
→
v
→
v =
⎛
⎜
⎝
vx
vy
vz
⎞
⎟
⎠
→
v
→
w
→
u
 
Fonte:Autor
Podemos observar que os segmentos e apresentam o mesmo módulo, mesma direção e mesmo
sentido, sendo representações, portanto, do mesmo vetor . Por isso, terão as mesmas coordenadas (3, 1).
 IMPORTANTE!
A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as
coordenadas dos seus pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade.
Assim, 
Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0, 0, 0), a coordenada do vetor será igual à
coordenada de sua extremidade.
Logo, 
HERMANN GRASSMANN (1809-1877)
Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear.
EXEMPLO
1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(-1, 2) e R(1, -1)
−−→
OP
−−→
AB
→
v
−−→
AB  =  B  −  A
−−→
OP   =  P   −  O  =  P
javascript:void(0)
SOLUÇÃO
 
Fonte:Autor
2. Represente no sistema cartesiano os vetores:
a) (1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2);
b) (0, -2) com ponto inicial no ponto (1, 0);
c) (1, -1) com ponto inicial no ponto (-1, 2).
SOLUÇÃO
 
Fonte:Autor
3. Determine as coordenadas do vetor que tem origem no ponto A(2, 3, -1) e extremidade no ponto B(0, 2,
1). Determine também o vetor = - .
SOLUÇÃO
→
v
→
w
→
u
→
u
→
v
→
u
Usando a notação de Grassmann:
Como = - poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real:
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA. O MÓDULO DO
VETOR SERÁ REPRESENTADO POR OU .
Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor será dado pelo
tamanho do segmento OP, assim .
 
Fonte:Autor
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a componente z do
vetor , isto é, vz tem-se que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
→
u =
−−→
AB = B − A =( 0 − 2 ,  2 − 3 ,  1 −(−1))= (−2,   − 1,  2)
→
v = −
→
u =
−−→
BA = A − B =( 2 − 0 ,  3 − 2 ,   − 1 − 1)= (2,  1,   − 2)
→
v
→
u
→
v = −
→
u =
−−→
BA = A − B =( 2 − 0 ,  3 − 2 ,   − 1 − 1)= (2,  1,   − 2)
→
v ∣∣
→
v ∣∣ v
∣
∣
→
v ∣∣  =  ̄
¯̄¯̄¯OP
→
v
|v|2  =  ̄ ¯̄¯̄¯PO
2
  =  ̄ ¯̄¯̄¯PQ
2
  +  ̄ ¯̄¯̄¯OQ 
2
=  v2z   +  ̄ ¯̄¯̄¯OQ
2
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O tamanho de OR será a componente x do vetor , isto é, vx e o tamanho de QR será igual ao tamanho de
OS que é a componente y do vetor , isto é, vy.
Desta forma:
Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor:
EXEMPLO
Determine o módulo dos vetores :
SOLUÇÃO
SAIBA MAIS
Seja um triângulo ABC
¯̄¯̄¯̄OQ 
2
=  ̄ ¯̄¯̄¯QR
2
  +  ̄ ¯̄¯̄¯OR
2
→
v
→
v
  ̄ ¯̄¯̄¯OQ
2
  =   ̄ ¯̄¯̄¯QR
2
   +   ̄ ¯̄¯̄¯OR
2
  =  vy
2  +  vz
2
∣
∣
→
v ∣∣
2
  =  vz2  +  ̄ ¯̄¯̄¯OQ
2
  =  vz2  +  vy2  +  vz2
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y  +  v2z
→
u (0 ,   − 3 ,  4)  e →v (−2,  1 ,  √3)
∣
∣
→
u ∣∣= √u2z+ u2y + u2z = √0
2 + (−3)
2
+ 42 = √9 + 16 = √25 = 5
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y + v2z = √(−2)
2 + 12 + (√3)
3
= √4 + 1 + 3 = √8 = 2√2
 
Fonte:Autor
Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menordo que a soma
dos outros dois lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um triângulo
formado.
Se e , então AC será a soma dos dois vetores: 
Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores e . Usando o mesmo
teorema da Geometria, obtemos , que é denominada de Desigualdade Triangular.
Desta desigualdade podemos definir outras:
a) Se substituirmos por -
Então
b) Se substituirmos o vetor por -
OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO
→
u   =  
−−→
AB
→
v   =  
−−→
BC
→
u +
→
v =
−−→
AC
∣
∣
→
u ∣∣,  
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u ∣∣+
∣
∣
→
v ∣∣
→
v
→
v
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u ∣∣+
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u ∣∣+
∣
∣−
→
v ∣∣
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u ∣∣+
∣
∣
→
v ∣∣
→
u
→
u
→
v
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u ∣∣+
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u −
→
v +
→
v ∣∣≤
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣  +
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u ∣∣≤
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣+
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣≥
∣
∣
→
u ∣∣−
∣
∣
→
v ∣∣
Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-las para o caso
do R2 e R3. Assim, temos:
MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja , onde k é o número real.
Então: 
 
Fonte:Autor
A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo sentido e
de tamanho alterado para k vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja negativo, o vetor altera também o
sentido. Se , o novo vetor aumenta em relação ao anterior, porém, se , ocorre uma redução do
tamanho.
ADIÇÃO ENTRE VETORES
Seja
Então 
Se , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor 
Então 
Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela regra
do paralelogramo.
→
u  (xu, yu, zu) e 
→
w  (xw, yw, zw)  =  
−→
ku
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xw = kxu
yw = kyu
zw = kzu
,  k real
|k|> 1 |k|< 1
→
u  (xu, yu, zu),  
→
v  (xv, yv, zv) e 
→
w  (xw, yw, zw)  =  
→
u   +  
→
v
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xw = xu + xv
yw = yu + yv
zw = zu + zv
→
w  (xw, yw, zw)  =  
→
u   −  
→
v
→
v
→
u
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xw = xu − xv
yw = yu − yv
zw = zu − zv
 
Fonte:Autor
Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, , e da diferença
dos vetores, .
e
EXEMPLO
1. Determine o módulo do vetor , sendo (1 ,2 , −1) e (0 ,1 ,3).
SOLUÇÃO
Assim,
VERSOR DE UM VETOR
ÀS VEZES TORNA-SE NECESSÁRIO DEFINIR-SE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA
DETERMINADA DIREÇÃO E SENTIDO. ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO POR VERSOR.
→
u +
→
v =  
−−→
QS
→
u −
→
v =  
−−→
RP
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
− 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣cos (π − α)
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
+ 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣cos   α
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
− 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣cosα
→
w   =  2
→
u   +  
→
v
→
u
→
v
→
w = 2
→
u +
→
v = (2. 1  +  0,  2. 2  +  1,  2(−1)  +  3)  =  (2,  5,  1)
∣
∣
→
w ∣∣= √w2z + w2y + w2z   = √ 2
2 + 52 + 12  =  √4  + 25  + 1  =  √30
Um vetor pode ser representado pela forma = , isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que define
a sua direção e sentido.
Por exemplo, imagine que eu queira um vetor que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor , mas
que tenha módulo k. Se eu definir estaria errado, pois , e o módulo de só seria k se
o módulo de fosse unitário.
Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor , com notação ou
, que é denominado de versor: 
Como
é uma constante positiva, terá a mesma direção e sentido do que , mas com módulo 
Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que , pois . Agora, sim, ele
teria a mesma direção e sentido do que , que são os mesmos do que e módulo k.
 ATENÇÃO!
Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e
sentidos do sistema cartesiano. Desse modo, a direção de x é definida pelo vetor , a direção de
y por e a direção de z por . No caso do plano, haveria os vetores 
.
Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos considerar um
vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais.
Seja , vamos definir os vetores , e , assim, 
Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários
EXEMPLO
1. Determine o versor do vetor (3, 0, -4):
 
SOLUÇÃO
→
v
→
v ∣∣
→
v ∣∣v̂
→
w
→
v
→
w = k 
→
v ∣∣
→
w ∣∣= k 
∣
∣
→
v ∣∣
→
w
→
v
→
v
→
v '
v̂
v̂ =
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
∣
∣
→
v ∣∣
v̂
→
v |v̂|= = 1
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
→
w = kv̂ ∣∣
→
w ∣∣= k|v̂|= k
v̂
→
v
x̂ = (1,  0,  0)
ŷ = (0,  1,  0) ẑ = (0,  0,  1)
x̂ = (1,  0) e ŷ   =  (0,  1)
→
v  (xv, yv, zv)
→
v x(xv,  0, 0) →v y(0, yv, 0) →v z(0,  0,  zv)
→
v =
→
v x +
→
v y +
→
v z
→
v = vxx̂ + vyŷ + vzẑ
→
u
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa de de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s2. A direção e o sentido do
movimento são definidos pelo vetor unitário . A força que gera o movimento tem vetor
representado por , com a real. Determine o valor de a e b.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
∣
∣
→
u ∣∣= √u2z+ u2y + u2z = √32 + 02 + (−4)
2 = √9 + 16 = √25 = 5
û = = (3,0, −4)=( , 0, − )
→
u
∣
∣
→
u ∣∣
1
5
3
5
4
5
2√2kg
( , − )√2
2
√2
2
→
F (a,  b)
MÃO NA MASSA
1. O VETOR TEM ORIGEM NO PONTO D (4, 6, -2) E EXTREMIDADE NO PONTO C (2,
0, 1). DETERMINE O VETOR = - .
A) (-2, -6, 3))
B) (0, 6, 3)
C) (2, 6, -3)
D) (6, 1, -3)
2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR (2, 4, - 5).
A) 
B) 45
C) 1
D) 
3. SEJA O VERSOR DO VETOR 
(3, 0. −4). DETERMINE AS COORDENADAS DO VETOR .
A)
B)
C)
D)
→
u
→
v
→
u
3√5
5√3
û
→
u
û
(3,  0,   − 4)
( ,   ,   )3
5
1
5
4
5
( ,  0,   − )3
5
4
5
(− ,  0,   )3
5
4
5
4. DETERMINE O VETOR QUE TEM MÓDULO 6 E TEM A MESMA DIREÇÃO E
SENTIDO DO VETOR .
A) 
B) 
C) 
D) 
5. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE POR . SABE-SE QUE O MÓDULO
DE VALE 5 E O MÓDULO DE VALE 12. OS DOIS VETORES SÃO ORTOGONAIS.
A) 12
B) 15
C) 13
D) 10
6. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE POR . SABE-SE QUE O MÓDULO
DE VALE 3 , O MÓDULO VALE 4 E O ÂNGULO FORMADO POR ELES VALE 60°.
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. O vetor tem origem no ponto D (4, 6, -2) e extremidade no ponto C (2, 0, 1). Determine o vetor = -
.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.
→
w
→
u   =  2x̂  −  ŷ   +  ẑ
(−2√6,  √6,   − √6)
(2√6,  √6,   − √6)
(−2√6,  √6,  √6)
(2√6,   − √6,  √6)
→
v
→
u
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
√15
√13
√17
√11
→
u
→
v
→
u
 
Outra forma de fazer é que como
2. Determine o módulo do vetor (2, 4, - 5).
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
3. Seja o versor do vetor
(3, 0. −4). Determine as coordenadas do vetor .
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
4. Determine o vetor que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor
.
A alternativa "D " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.
→
u =
−−→
DC = C − D = (2 − 4,  0 –  6,  1 –  (–  2)) = (  − 2,   − 6 ,  3)  →  →v = −→u = ( 2 ,  6 ,   − 3)
→
v = −
→
u =  
−−→
CD = D − C = (4 − 2,  6 − 0,   − 2 − 1) = (2 ,  6 , −3)
Se  
→
v (2, 4, −5)
∣
∣
∣
→
v
∣
∣
∣
= √(22 + 44 + (−5)2 = √4 + 16 + 25 = √45 = 3√5
û
→
u
û
→
w
→
u   =  2x̂  −  ŷ   +  ẑ
→
u = 2x̂  − ŷ +  ẑ   =  (2,  – 1,  1)
∣
∣
∣
→
u  
∣
∣
∣
= √u2z   +  u2y  +  u2z = √22  +  (−1)2 + 12  =  √4 + 1 + 1  =  √6
û = = (2,   − 1 , 1)=( , − , )
→
u
∣
∣
→
u ∣∣
1
√6
2
√6
1
√6
1
√6
5. Determine o módulo da diferença de por . Sabe-se que o módulo de vale 5 e o módulo de 
vale 12. Os dois vetores são ortogonais.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
6. Determine o módulo dadiferença de por . Sabe-se que o módulo de vale 3 , o módulo vale
4 e o ângulo formado por eles vale 60°.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Usando a Lei dos cossenos
Assim, 
Assim, 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR QUE TEM ORIGEM NO PONTO A(–2, 4, 1) E
EXTREMIDADE NA ORIGEM DOS EIXOS.
A) 
B) 
C) 
→
w = 6û = 6( , − , )=(2√6, −√6, √6)2
√6
1
√6
1
√6
→
v
→
u
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
+ 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣co s α  =  3
2 + 42 + 2.3. 4co s 60° = 9 + 16 + 24.0,5 = 37
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣= √37
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
− 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣co s α  =  3
2 + 42 − 2.3. 4co s 60° = 9 + 16 − 24.0,5 = 13
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣= √13
→
u
21
√21
3
D) 
2. O VETOR (0, 2A, 2B), COM A E B REAIS POSITIVOS, TEM MÓDULO 10 E
APRESENTA A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO QUE O VETOR . DETERMINE O
VALOR DE (A + B), SABENDO QUE O VETOR (0, 𝑝, 4) TÊM MÓDULO 5.
A) 1
B) 7
C) 9
D) 11
GABARITO
1. Determine o módulo do vetor que tem origem no ponto A(–2, 4, 1) e extremidade na origem dos
eixos.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor.
2. O vetor (0, 2a, 2b), com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma direção e sentido
do que o vetor . Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor (0, 𝑝, 4) têm módulo 5.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.
, mas como a e b são positivos, 2a = 6 e 2b = 8, então a = 3 e b
= 4.
Assim, a + b = 7
√3
→
w
→
v
→
v
→
u
→
u =
−−→
AO = O − A = (2 ,   − 4 ,   − 1)  
∣
∣
→
u ∣∣= √u2z+ u2y + u2z = √(2)
2
+ (−4)2 + (−1)2 = √4 + 16 + 1 = √21
→
w
→
v
→
v
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y + v2z = √0
2 + p2 + 42 = √p2 + 16 = 5
p2 + 16 = 25 → p2 = 9 → p = ±3
v̂ = = (0,  p,  4)= (0,   ± 3,  4) 
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
5
1
5
→
w = 10v̂ =   (0,   ± 3,  4)= (0,   ± 6,  8) 10
5
 Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.
INTRODUÇÃO
A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em compensação,
definimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais:
PRODUTO ESCALAR

PRODUTO VETORIAL

PRODUTO MISTO
Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.
PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO
Sejam os vetores e do R3.
Define-se o produto escalar entre e como:
COMO FOI OBSERVADO, O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM ESCALAR,
ISTO É, UM NÚMERO QUE PODE SER POSITIVO, NEGATIVO OU ZERO. O PRODUTO
ESCALAR PODE SER DEFINIDO PARA VETORES DO RN. PARA N > 3, ESTA OPERAÇÃO SERÁ
DENOMINADA APENAS DE PRODUTO INTERNO.
→
u  (xu, yu, zu) →v  (xv, yv, zv)
→
u
→
v
→
u .
→
v = xuxv + yuyv + zuzv
O produto escalar apresenta algumas propriedades:
COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA
, onde k é real
 IMPORTANTE!
Repare que 
Assim, 
EXEMPLO
1. Dados os vetores (2, 2) e (– 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores e - .
SOLUÇÃO
PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO
Sejam os vetores e do R3. Considere que o ângulo entre e vale .
Define-se o produto vetorial entre e , com notação X , tal que:
| x | 
direção X ortogonal a e a 
sentido: regra da mão direita
COMO O NOME INFORMA, O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM VETOR QUE TEM
DIREÇÃO PERPENDICULAR AOS DOIS VETORES INICIAIS, SENDO, PORTANTO, UM VETOR
PERPENDICULAR AO PLANO FORMADO PELOS VETORES E .
→
u ⋅
→
v =  
→
v ⋅
→
u
k(→u ⋅ →v ) =  (k→u ⋅ →v )  =  (→u ⋅ k→v ) →
u ⋅ (→v + →w ) = →u ⋅ →v + →u ⋅ →w
→
u ⋅
→
u = xuxu + yuyu = x2u + y2u = ∣∣
→
u ∣∣
2
∣
∣
→
u ∣∣= √x
2
u + y
2
u  =  
√→u ⋅ →u
→
u
→
v 3
→
u
→
v
3
→
u .(−→v )=(3)(−1)(→u . →v )=(−3)[2.  (−1)+2.3]=(−3)[−2 + 6]= −12 
→
u (xu, yu, zu)  →u (xu, yu, zu)  →u →v α
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v =∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣ sen ∝
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
 
Fonte:ShutterStock
A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor x .
 
Fonte:ShutterStock
Na regra da mão direita, o dedo indicador fica na direção/sentido do primeiro vetor do produto e o dedo médio
do segundo vetor. Assim, x será apontado para baixo, diferente de x .
O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é definido para o R3.
 IMPORTANTE!
→
u
→
v
→
v
→
u
→
u
→
v
O vetor x x . Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão direita,
mudando a ordem de e , terão sentidos contrários.
O produto vetorial apresenta algumas propriedades
a) Multiplicação por real: k ( x ) = (k x ) = ( x k ), onde k é real
b) Distributiva pelo produto vetorial: x ( + ) = x + x 
c) Se , isto é, se é paralelo a : x 
d) x = 0
e) x = ( x )
 
Seja = x , ao se resolver analiticamente a busca do vetor que atende às definições de produto
vetorial, obtêm-se que:
 DICA
O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante:
 x 
EXEMPLO
1. Determine o vetor x , sabendo que ( 1, 2, −1) e (0, 1, −2)
SOLUÇÃO
Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais prático: x =
→
u
→
v ≠
→
v
→
u
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
u
→
w
→
v = k
→
u
→
v
→
u
→
u
→
v = 0
→
u
→
u
→
u
→
v
→
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
w
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xw = yuzv − zuyv
yw = zuxv − xuzv
zw = xuyv − yuxv
→
u
→
v =
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
1 2 −1
0 1 −2
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
= 2.(−2)x̂ + 0.(−1)ŷ + 1.1 ẑ − 1.(−1)x̂ − 1.(−2)ŷ − 0.2 ẑ   =   − 3x̂ + 2ŷ + ẑ   =  
⎛
⎜
⎝
−3,  2,  1
⎞
⎟
⎠
PRODUTO MISTO
Sejam os vetores do R3.
O produto misto, cuja notação é , é definido através de uma combinação entre produto escalar e
produto vetorial.
[ , , ] = ( x ) . = . ( x )
 ATENÇÃO!
O produto misto só é definido no R3, e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como resultado um
escalar.
Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada pelo
cálculo do seguinte determinante:
 = 
 IMPORTANTE!
Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois. Em outras
palavras, os três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço. Assim, três vetores serão coplanares,
isto é, pertencerão ao mesmo plano, se e somente se, 
O produto misto apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real (k): 
b) 
c) 
EXEMPLO
→
u (xu, yu, zu),  →v  (xv, yv, zv),  →w  (xw, yw, zw)
[→u  ,  →v  ,  →w ]
→
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
w
[→u  ,  →v  ,  →w ]
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
xu yu zu
xv yv zv
xw yw zw
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
[→u  ,  →v  ,  →w ]= 0
k[→u  ,  →v  ,  →w ]=[k→u  ,  →v  ,  →w ]=[→u  ,  k→v  ,  →w ]=[→u  ,  →v  ,  k→w ]
[→u  ,  →v  ,  →w ]=[→w  ,  →u  ,  →v ]=[→v  ,  →w  ,  →u ]
[→u  ,  →v  ,  →w ]= −[→u  ,  →w  ,  →v ]= −[→v  ,  →u  ,  →w ]= −[→w  ,  →v  ,  →u ]
1. Dados os vetores (0, 2, –5 ), (1, –1, 2) e (2, 0, –1 ). Determine o produto misto entre os vetores 
, e , nesta ordem.
SOLUÇÃO
TEORIA NA PRÁTICA
Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores (a, 1, –1), (0,
2, 1) e (1, 0, 2 ). Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos formem um plano.
Determine o valor de a, real, para que isso ocorra.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
→
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
w
[→u  ,  →v  ,  →w ]=
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
xu yu zu
xv yv zv
xw yw zw
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
=
∣
∣ 
∣
∣
0 2 −5
1 −1 2
2 0 −1
∣
∣ 
∣
∣
=
= 0. (−1). (−1) + (−5). 1. 0  +  2. 2. 2 –  0. 0. 2 –  (– 1). 1. 2 –  (– 5). ( – 1). 2  =  8  +  2 –  10  =  0 
→
u
→
v
→
w
MÃO NA MASSA
1. SEJAM (1, 2, –3) E (2, –2, 4). DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE E 
:
A) -14
B) 70
C) -84
D) 84
2. DETERMINEO MÓDULO DO VETOR + , SABENDO QUE QUE (0, 12 , –5) E 
(0 , –4, 3).
A) 
B) 
C) 144
D) 68
3. DETERMINE O VALOR DE 2 X (-4 ). SENDO (1, –1, 0) E (2, 2, 1):
A) (8, 8, -32)
B) (-8, -8, 32)
C) (24, 24, -32)
→
u
→
v 2
→
u
−3
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
√68
√78
→
u
→
v
→
u
→
v
D) (8, -12, -32)
4. DADOS OS VETORES , DETERMINE O
PRODUTO MISTO ENTRE OS VETORES , NESTA ORDEM:
A) 2
B) -4
C) -2
D) 4
5. SEJAM OS VETORES . DETERMINE O
VALOR DE , SABENDO QUE O PRODUTO MISTO VALE O PRODUTO
ESCALAR SOMADO A 6.
A) 
B) -3
C) 3
D) 
6. SEJAM OS VETORES E . SABE-SE QUE VALE DUAS
VEZES O PRODUTO VETORIAL DE COM . DETERMINE O MÓDULO DO VETOR 
:
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. Sejam (1, 2, –3) e (2, –2, 4). Determine o produto escalar entre e :
A alternativa "D " está correta.
→
u (1,  2,  3),  →v (1,  1,  0) e →w (2,  1,   − 1)
→
u ,  
→
v  e 
→
w
→
u (k,  k,  k),  →v (2,  2,  1) e →w (2,   − 1,  2)
k [→u ,  →w ,  →v ]
→
u ⋅
→
v
3
4
1
2
→
u (1,  2,  1) →v (2,  1,  1) →w
→
u
→
v
→
w
√11
2√11
2√13
√13
→
u
→
v 2
→
u −3
→
v
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim, 
2. Determine o módulo do vetor + , sabendo que que (0, 12 , –5) e (0 , –4, 3).
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
3. Determine o valor de 2 x (-4 ). Sendo (1, –1, 0) e (2, 2, 1):
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
2 x (-4 ) = 2 . (-4) x = (-8) ( x )
 x = 
(-8) ( x ) = 
4. Dados os vetores , determine o produto misto entre os
vetores , nesta ordem:
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
2
→
u .(−3→v )= 2.(−3)→u . →v   =  6→u   ⋅  →v
→
u .
→
v = 1.2 + 2.(−2)+(−3). 4 = 2 − 4 − 12 = −14
2
→
u ⋅(−3→v )=  →u ⋅ →v   = (−6) ⋅ (−14) = 84
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u +
→
v =(0 + 0,12 − 4. −5 + 3)= (0,8, −2)
(→u + →v ).(→u + →v )= 0.0 + 8.8 +(−2).(−2)= 64 + 4 = 68
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣= √(
→
u +
→
v ).(→u + →v ) = √68
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
=
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
1 −1 0
2 2 1
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
=(−1). 1 x̂ + 2.0 ŷ + 1.2 ẑ − 0.2 x̂ − 1.1 ŷ − 2.(−1) ẑ
=  x̂ − ŷ + 4 ẑ
→
u
→
v ((−8).(−1.  (−8).(−1).  (−9). 4)= (8,  8,   − 32)
→
u (1,  2,  3),  →v (1,  1,  0) e →w (2,  1,   − 1)
→
u ,  
→
v  e 
→
w
5. Sejam os vetores . Determine o valor de , sabendo que
o produto misto vale o produto escalar somado a 6.
A alternativa "B " está correta.
 
Assim, 
6. Sejam os vetores e . Sabe-se que vale duas vezes o produto vetorial de 
 com . Determine o módulo do vetor :
A alternativa "B " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SENDO , E , DETERMINE O PRODUTO
ESCALAR ENTRE O VETOR E O VETOR :
A) 4
B) 6
C) 10
D) 8
→
u (k,  k,  k),  →v (2,  2,  1) e →w (2,   − 1,  2) k
[→u ,  →w ,  →v ] →u ⋅ →v
[→u ,  →w ,  →v  ]=
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
xu yu zu
xw yw zw
xv yv zv
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
=
∣
∣ 
∣
∣
k k k
2 −1 2
2 2 1
∣
∣ 
∣
∣
[→u ,  →v ,  →w ]= k.(−1). 1 + 2.2. k + 2.2. k − 1.2. k − 2.2. k − 2.(−1)k = 3k
→
u ⋅
→
v = k. 2 + k. 2 + k. 1 =  5k
3k  =  5k  + 6  → 2k =   − 6  → k =   − 3
→
u (1,  2,  1) →v (2,  1,  1) →w
→
u
→
v
→
w
→
u (1,  3,   − 2) →v (2,  0,  2) →w (1,  1,  1)
2
→
u   +  
→
v
→
w
2. SENDO E , DETERMINE O VALOR DE A+B SABENDO
QUE :
A) -2
B) -4
C) 2
D) 4
GABARITO
1. Sendo , e , determine o produto escalar entre o vetor 
 e o vetor :
A alternativa "D " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim 2.2 + 4 = 8
2. Sendo e , determine o valor de a+b sabendo que 
:
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
Assim
→
u (b,  a,   − 1) →v (2,  0,  2)
→
u   ×
→
v = (2,  4,   − 2)
→
u (1,  3,   − 2) →v (2,  0,  2) →w (1,  1,  1)
2
→
u   +  
→
v
→
w
(2→u + →v ). →w = 2→u . →w + →v.→w
→
u .
→
w = 1.1 + 3.1 +(−2). 1 = 1 + 3 − 2 = 2
→
v .
→
w = 2.1 + 0.1 + 2.1 = 2 + 0 + 2 = 4
→
u (b,  a,   − 1) →v (2,  0,  2)
→
u   ×
→
v = (2,  4,   − 2)
→
u x
→
v =
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
b a −1
2 0 2
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
= 2. a x̂ + 2.(−1)ŷ + 0. b ẑ − 0.(−1)x̂ − 2. bŷ − 2. aẑ
= 2ax̂ +(−2 − 2b)ŷ − 2aẑ
(2a,  – 2 –  2b,   – 2a)  =  ( 2,  4,   − 2)
2a  =  2  → a = 1 ,   –  2 –  2 b  =  4  →  2b  =  – 6  →  b  =  – 3 e – 2a  =  – 2  →  a  =  1
a  +  b  =  1 –  3  =   –  2 
 Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
INTRODUÇÃO
O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER ALGUMAS
APLICAÇÕES PRÁTICAS, POR EXEMPLO, A VERIFICAÇÃO SE OS VETORES SÃO
PARALELOS OU ORTOGONAIS.
Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.
ÂNGULO ENTRE VETORES
O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas.
 
Fonte:Autor
No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos vetores
é através desta solução:
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
+ 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣co s α
ou
No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar.
Pode ser provado que 
Assim, 
Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação
dada:
a) Se se tem , então 
b) Se se tem , então 
c) Se se tem , então 
EXEMPLO
1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores (2, 2) e (-1, 3):
SOLUÇÃO
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO
Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um
vetor sobre o outro. Sejam dois vetores e que formam um ângulo α entre si. A projeção de sobre 
será denominada de 
cos ∝=
∣
∣
→
u +
→
v ∣∣
2
−( ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
)
2 ∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
∣
∣
→
u −
→
v ∣∣
2
= ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
− 2∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣co s α
cos ∝=
( ∣∣
→
u ∣∣
2
+ ∣∣
→
v ∣∣
2
)− ∣∣
→
u +
→
v ∣∣
2
2 ∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
→
u .
→
v =∣∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣co s ∝
cos ∝=
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
0 ≤ α < 900 cos  α  >  0 
→
u .
→
v > 0
α = 900 cos  α  =  0 
→
u .
→
v = 0
900 < α ≤ 1800 cos  α  <  0 
→
u .
→
v < 0
→
u
→
v
→
u .
→
v = 2.  (−1)+2.3 = −2 + 6 = 4 
∣
∣
→
u ∣∣= √u2z+ u2y = √2
2 + 22 = √4 + 4 = 2√2
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y = √(−1)
2 + 32 = √1 + 9 = √10
cos ∝= = = = =
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
4
2√2.√10
2
√20
2
2√5
√5
5
→
u
→
v
→
u
→
v
→
P uv
 
Fonte:Autor
Mas 
EXEMPLO
1. Determine a projeção do vetor (1, 1, 1) sobre o vetor (3, 0, −4):
SOLUÇÃO
Assim,
CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E
ORTOGONALIDADE
∣
∣
∣
→
P UV
∣
∣
∣
=∣∣
→
u ∣∣co s ∝ e
→
P UV =
∣
∣
∣
→
P UV
∣
∣
∣
 
∧
v
co s α =
→
u .
→
v
|u | | v |
→
P UV =∣∣
→
u ∣∣co s α 
∧
v =∣∣
→
u ∣∣ ( ) 
∧
v = (→u . →v )
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
∧
v
∣
∣
→
v ∣∣
→
u
→
v
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y + v2z = √3
2 + 02 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
v̂ = = (3 ,0, −4)=( , 0, − )
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
5
3
5
4
5
→
u .
→
v = 1 .3 +1.  0 + 1.(−4)= 3 − 4 =   − 1,  
→
P UV =(→u . →v ) =(− , 0, )
∧
v
| v |
3
5
4
5
A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim: 
Desse modo, se dois vetores e são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de , então 
sendo esta a condição de ortogonalidade.
Se dois vetores e são paralelos entre si, então = k , com k real.
Como já visto, neste caso x = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo.
Outra opção é que se = k , k real, usando as propriedades básicas do vetor:
 IMPORTANTE!
As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do Rn. Assim, dois
vetores em Rn serão ortogonais se seu produto interno for zeroe serão paralelos se suas coordenadas forem
proporcionais.
EXEMPLO
1. Determine o valor de b para que os vetores (2, b, 0) e (–1, 1, 3) sejam ortogonais.
SOLUÇÃO
Para serem ortogonais,
2. Determine o valor de a e b para que os vetores (2, b, a) e (–1, 1, 3) sejam paralelos.
SOLUÇÃO
Se u e v são paralelos, então
Assim,
b = -2 e a = (-3) . 2 = -6
TEORIA NA PRÁTICA
cos ∝=
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
→
u
→
v 90o
→
u .
→
v = 0
→
u
→
v
→
v
→
u
→
u
→
v
→
v
→
u
= = = k
xv
xu
yv
yu
zv
zu
→
u
→
v
→
u .
→
v = 2.  (−1)+b. 1 + 0.3 = −2 + b 
→
u .
→
v = 0 → −2 + b = 0 → b = 2
→
u
→
v
= = → = =
xv
xu
yv
yu
zv
zu
−1
2
1
b
3
a
O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito de uma força
sobre um deslocamento, logo, , em que é a força aplicada ao objeto e o vetor deslocamento
feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de uma força (2, −2, 2)N. Com a aplicação desta
força, a caixa se desloca do ponto A(– 1, 0, 2) até o ponto B (3, 0, 1). Determine o trabalho provocado por esta
força na caixa durante este deslocamento.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES E :
w =
→
F .
→
d
→
F
→
d
→
F
→
u  (1,  1, 1) →v  ( ,   ,  0)12
1
2
A) 
B) 
C) 
D) 
2. DETERMINE K + P PARA QUE OS VETORES 
SEJAM PARALELOS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -2
3. DETERMINE K PARA QUE OS VETORES SEJAM
ORTOGONAIS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -2
4. DETERMINE O MÓDULO DA PROJEÇÃO DO VETOR SOBRE O VETOR 
:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
arc cos
√3
2
arc cos
√2
2
arc cos
√6
3
arc cos
√2
3
→
u (3,  k,  p + 1) e →v (1,  2,   − 2)
→
u (3,  k,  k + 1) e →v (1,  2,   − 1)
→
u (4,  0,  2)
→
v (2,  1,   − 1)
5. DOIS VETORES, , SÃO ORTOGONAIS ENTRE SI. SABE QUE E
QUE VALE 5. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE A, SABENDO QUE 
, COM A E B REAIS.
A) 
B) 
C) 
D) 
6. O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 𝑒 VALE 45°. O MÓDULO DO VETOR 
VALE . QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR ENTRE E O VERSOR DO VETOR 
?
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
GABARITO
1. Determine o ângulo formado pelos vetores e :
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
2. Determine k + p para que os vetores sejam paralelos:
A alternativa "C " está correta.
→
k  e 
→
h  
→
k (2,  1,  2)
∣
∣
∣
→
k  - 
→
h
∣
∣
∣
→
h(a,  0,  b)
±2√3
±√2
±2√2
±√3
→
u
→
v
→
u
√2
→
u
→
v
→
u  (1,  1, 1) →v  ( ,   ,  0)1
2
1
2
→
u (3,  k,  p + 1) e →v (1,  2,   − 2)
 
Se u e v são paralelos, então 
Assim, 
Então, 
3. Determine k para que os vetores sejam ortogonais:
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
4. Determine o módulo da projeção do vetor sobre o vetor :
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
assim, 
O módulo do vetor vale 
5. Dois vetores, , são ortogonais entre si. Sabe que e que vale 5.
Determine o valor da constante a, sabendo que , com a e b reais.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores.
Se os vetores são ortogonais então 
Assim, 
= = → = =
xv
xu
yv
yu
zv
zu
1
3
2
k
−2
p+1
k  =  2. 3  =  6   e p  +  1  =  (– 2). 3  =  –  6  →  p  =   –  7 
k  +  p  =  6 –  7  =  – 1  
→
u (3,  k,  k + 1) e →v (1,  2,   − 1)
→
u (4,  0,  2) →v (2,  1,   − 1)
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y + v2z = √2
2 + 12 + (−1)2 = √4 + 1 + 1 = √6
v̂ = = (2,1, −1)=( , , − )
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
√6
√6
3
√6
6
√6
6
→
u .
→
v = 4.2 + 0.1 + 2.(−1)= 6 
→
P UV =(
→
u .
→
v ) =(2√6, √6, −√6)
∧
v
| v |
√(2√6)
2
+ (√6)
2
+ (−√6)
2
  =  √24 + 6 + 6 = √36  =  6
→
k  e 
→
h  
→
k (2,  1,  2) ∣∣
∣
→
k  - 
→
h
∣
∣
∣
→
h(a,  0,  b)
→
k ⋅  
→
h   =  0
2. a  +  1. 0  +  2. b  =  0  → 2a + 2b = 0  → a = −b
Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras 
Assim, 
Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor 
Assim, 
Dando o mesmo resultado.
6. O ângulo entre dois vetores 𝑒 vale 45°. O módulo do vetor vale . Quanto vale o produto
escalar entre e o versor do vetor ?
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
Mas 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
= √22 + 12 + 22 = √4 + 1 + 4 = √9 = 3
∣
∣
∣
→
h
∣
∣
∣
= √52 − 32 = 4
∣
∣
∣
→
h
∣
∣
∣
= √a2 + 02 + b2 = 4 → a2 + b2 = 16 → a2 + (−a)2 = 16 → a2 = 8 → a = ±2√2
→
k −
→
h = (2 − a,  1,  2 − b)
∣
∣
∣
→
k −
→
h
∣
∣
∣
= √(2 − a)2 + 1 + (2 − b)2 = 5 → (2 − a)2 + 1 + (2 − b)2 = 25
(2 − a)2 + (2 − b)2 = 24 → (2 − a)2 + (2 − (−a))2 = 24
4 − 4a + a2 + 4 + 4a + a2 = 24 → 8 + 2a2 = 24 → 2a2 = 16 → a = ±2√2
→
u
→
v
→
u √2
→
u
→
v
cos ∝= = co s 450 = →   = . √2 = 1
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
√2
2
→
u .
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
√2
2
→
u . v̂ =
→
u .( )= = 1
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
→
u .
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES 
 E .
A) 
B) 
C) 
D) 
2. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE OS VETORES 
E ( 1, 1, 1) SEJAM ORTOGONAIS.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
GABARITO
1. Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores e .
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
2. Determine o valor da constante k para que os vetores e ( 1, 1, 1) sejam ortogonais.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a condição de ortogonalidade .
→
u (1,  3,   − 2) →v (2,  0,  2)
−
√7
14
√7
14
−
√3
14
√37
14
→
u (1,  k,   − 2)
→
v
→
u (1,  3,   − 2) →v (2,  0,  2)
→
u .
→
v = 1.2 + 3.0 +(−2). 2 = 2 − 4 =   − 2 
∣
∣
→
u ∣∣= √u2z+ u2y + u2z = √1
2 + 32 + (−2)2 = √1 + 9 + 4 = √14
∣
∣
→
v ∣∣= √v2z+ v2y + v2z = √2
2 + 02 + 22 = √4 + 0 + 4 = √8
cos ∝= = = = −
→
u .
→
v
∣
∣
→
u ∣∣
∣
∣
→
v ∣∣
−2
√14√8
−2
4√7
√7
14
→
u (1,  k,   − 2) →v
Para serem ortogonais
CONCLUSÃO
AVALIAÇÃO DO TEMA:
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-180.
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.
PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube.
Publicado em: 8 mar. 2019
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária
da UFMJ, 2012. p. 132-208.
→
u .
→
v = 1.1 + k. 1 +(−2). 1 = 1 + k − 2 = k − 1 
→
u .
→
v = 0  → k − 1 = 0  → k = 1
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