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z = sen x 
∆z= ddx
fffffffsenx
LLLLL
MMMMM∆x= cos x dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= cosx∆x 
 
j) trigonométrica: z = cos x 
∆z= ddx
fffffffcos x
LLLLL
MMMMM∆x= @senx dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= senx∆x 
 
k) trigonométrica: z = tg x 
∆z= ddx
ffffffftgx
LLLLL
MMMMM∆x= sec2 x dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=sec2 x∆x 
 
OBS: a tabela geral de derivadas pode ser obtida no site. 
 
GUIDG.COM 7 
 
4A– Medida de Tempo de Reação humana: Com o auxilio de uma régua de 300 milímetros (30 cm) medimos 
sete vezes o tempo de reação humana, sendo estes valores relativamente próximos. 
 
 
Um estudante (a) segura a régua pela extremidade (30 cm) 
enquanto o outro (b) fica atento para pegar a régua quando 
(a) soltar, mas sem avisar. De todas as tentativas, montamos 
uma tabela com sete medidas próximas que utilizaremos 
nos exercícios. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 1 yi mm
` a
 
120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 
 
Subentendemos que você já tenha visto e estudado os Conceitos básicos da teoria de erros, caso contrário 
será impossível resolver os exercícios abaixo. 
 
A partir da tabela 1, seguindo os conceitos e regras da teoria, determine: 
a) A média ou valor mais provável: y
fff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
yi . 
b) Monte uma tabela com o desvio de cada medida: ∆yi = yi@y
fffLLL MMM. 
c) Monte outra tabela com o quadrado do desvio de cada medida: ∆yi
b c2
. 
d) O desvio médio: ∆y
ffffffff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
∆yi
LLL MMM. 
e) O desvio padrão: σ y = 1
n@1
ffffffffffffffffX
i = 1
n
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
. 
f) Informe o resultado da medida nos formatos: 
 
(1) y. = y
fff
F ∆y
ffffffff
 ; (2) y. = y
fff
Fσ y ; (3) y. = y
fff
F erroescala ; (4) y. = y
fff
F erro
aleatório 
 
 
Resolução: 
 
a) Basta somarmos todos os valores da tabela 1 e dividir pelo número de medidas. 
y
fff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
yi
h
j
i
k
=
877,5
7
fffffffffffffffff
= 125, 3ff571429Q arredondando: yffff= 125,4 mm
 
 
b) Pegamos cada medida da tabela 1 e subtraímos da medida obtida na letra a. Esses valores são os desvios 
das medidas. Colocamos em módulo, pois procuramos sempre pelo maior desvio. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 2 
∆yi = yi@y
fffLLL MMM ∆yi mm` a 5,4 5,1 3,1 14,6 4,6 13,4 8,9 
 
c) Pegamos a tabela 2 e elevamos cada desvio ao quadrado. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 3 ∆yi
b c2
mm2 29,16 26,01 9,61 213,16 21,16 179,56 79,21 
 
d) Para o desvio médio, somamos todos os valores da tabela 2 e dividimos pelo número de medidas. Ou seja, é a 
média aritmética dos desvios. 
∆y
ffffffff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
∆yi
LLL MMM
h
j
i
k
=
55,1
7
fffffffffffff
= 7, 8ff71428571Q arredondando: ∆yfffffffff= 7,9 mm
 
e) Para obter o desvio padrão, somamos os quadrados dos desvios, dividimos pelo número de medidas menos 
uma unidade, e tiramos a raiz quadrada desse valor. 
GUIDG.COM 8 
 
σ y =
1
7@1
ffffffffffffffffX
i = 1
7
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
1
6
fffX
i = 1
7
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
557,87
6
fffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9, 6ff42527331mmQ arredondando:σ y = 9,6 mm 
 
f) Este passo apesar de simples também é importante, é a apresentação final das medidas: 
(1) y. = 125,4F 7,9
b c
mm 
(2) y. = 125,4F 9,6
b c
mm 
(3) O erro de escala é considerado como a metade da menor medida. Para a régua milimetrada o erro é 
de 0,5mm então: y. = 125,4F 0,5
b c
mm 
(4) Exclusivamente para o curso de MEF da UDESC Joinville, foi adotado o erro aleatório como sendo 
igual ao desvio padrão, portanto: y. = 125,4F 9,6
b c
mm 
 
4B – Ainda com base no exercício anterior (4A), resolva: 
a) Sabendo que a equação que se aplica a este caso (olhe para a figura do exercício 4A) é: 
y = y0 + v0 t +
1
2
fffgt2b c, obtenha a fórmula para o cálculo do tempo de reação (isto é, uma fórmula com a variável 
tempo “t” isolada). 
 
b) Usando a fórmula obtida na letra a, monte uma quarta tabela com o tempo de reação para cada medida da 
tabela 1 do exercício 4A. Considere g = 980,66cmAs@ 2 . 
c) Com base na tabela obtida na letra b, determine o valor mais provável do tempo de reação. t
ff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
ti 
d) A partir da fórmula obtida na letra a, obtenha a equação do erro indeterminado para o tempo de reação ∆ t
ff
. 
 
e) Calcular o erro propagado (para o valor mais provável do tempo de reação) a partir da fórmula obtida na letra d. 
Considere ∆y =erroescala . 
 
f) Informe o resultado da medida indireta do tempo de reação no formato adequado. 
 
 
Resoluções: 
 
a) Como y0 e v0 t (espaço e velocidade) são iguais à zero no instante em que o estudante (a) da figura solta a 
régua, podemos escrever a equação como: 
 
y = 0 + 0 + 12
fffgt2b c= 12fffgt2
b c
Q então isolamos a variavel t2 e tirando a raiz quadrada dos dois lados temos
a fórmula para calcular o tempo de reação: t = 2yg
ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
b) Para criar a tabela 4 precisamos de algumas informações, acompanhe abaixo: 
Note que g esta em cmAs@ 2 , temos duas opções: passamos g para milímetros ou passamos as medidas para 
centímetros. Desta vez pegaremos o caminho mais curto, passaremos g para milímetros: 
 
1cm = 10mm
g = 980,66cmAs@ 2 = 980,66cm
s2
fffffffffffffffffffffffffffffff10mm
1cm
ffffffffffffffffff
= 9806,6mmAs@ 2 
 
Agora vamos determinar a unidade que acompanhará as medidas: Realizando as operações, no final a unidade 
que sobra é o segundo, e indicamos por s, veja por que: 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q y e g são dados em mm Q t = 2y mm
` a
g mm
` a
s@ 2
fffffffffffffffffffffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2y
gs@ 2
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2ys2
g
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww s` a
 
Veja que sobrou somente o tempo em segundos, fora da raiz ( pois s2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= s), e esta é a unidade final, note 
também que g tem 5 algarismos significativos mas yi tem quatro, então nossos resultados também devem ter 4 
GUIDG.COM 9 
 
algarismos significativos, fazemos isso utilizando os critérios de arredondamento. Agora pegamos a tabela 1 e a 
partir dos valores calculamos o tempo de reação para cada medida, sendo g = 9806,6mmAs@ 2 . 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 1 yi mm
` a
 
120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 4 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
ti s
` a
 
0,1564 0,1631 0,1619 0,1690 0,1628 0,1511 0,1541 
 
c) Basta somar todos os valores da tabela 4 e dividir pelo número de medidas, depois arredondamos e colocamos 
o resultado em notação científica: 
t
ff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
ti =
1,1184
7
fffffffffffffffffffff
= 0,159 7fff71428 s` a Q arredondando: 0,1598 s` a= 1,598B10@ 1 s
 
 
d) Como g é uma constante, a derivada se faz dessa forma: 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2ygfffffff
f g12fffff
Q chamamos 2yg
fffffffde u, e aplicamos a definição da equação do erro indeterminado:
 
∆t = ∂t∂y
ffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y = dtdyfffffffA dudyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y = ddyfffffff2ygfffffff
f g12fffff
A
d
dy
fffffff2y
g
ffffffff g
LLLLLLLL
MMMMMMMM∆y =
1
2
fff2y