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Leandro Pessi Orige
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mkN kN kN 56,46 73,58 0 10 863,0 062,0 1612 126 00 10 32 48 0 R R R 22 9 8 7 ⋅ − =⋅ − − −−+ − = − As reações de apoio estão ilustradas na Figura 3-86. Recomenda-se verificar o equilíbrio da estrutura, aplicando-se as 3 equações de equilíbrio da estática. 5,64 kN 46,56 kN.m ⋅ 37,26 kN 58,73 kN 26,36 kN 32 kN 40 kN.m ⋅ 24 kN/m 2,19 kN.m 5,64 kN 46,56 kN.m ⋅ 37,26 kN 58,73 kN 26,36 kN 32 kN 40 kN.m ⋅ 24 kN/m 2,19 kN.m Figura 3-86 Reações de apoio no pórtico. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 153 4. PROCESSO DE CROSS Baseado no método dos deslocamentos Equação de equilíbrio de forças em torno dos nós O Processo de Cross ou da Distribuição de Momentos consiste em obter os esforços nas barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó (o aplicado mais os de engastamento perfeito das barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras. Este processo foi proposto por Hardy Cross, em 1932, no artigo intitulado Analysis of Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado no Proceedings of Americal Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos principalmente para o cálculo de sistemas de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a rotações, o método foi generalizado para os sistemas de nós deslocavéis, ou seja, que podem sofrem translações. 4.1. PRINCÍPIOS DO PROCESSO O processo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido. Segundo Cross, a idéia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas resume-se em simples operações aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três problemas: a determinação dos momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração. Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 154 desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga. Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. Para um estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de um nó, a solução é aproximada (Processo Iterativo). 4.2. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados em tabelas na bibliografia indicada. A Tabela 4-1 apresenta a expressão de alguns momentos de engastamento em função do carregamento e do tipo de vinculação das barras. Tabela 4-1: Momentos de engastamento perfeito A BA B A BA B q l A B q l q l A B 12 2qlM A += 12 2qlM B −= 8 2qlM A += B l A ba P B l A ba P 2 2 l PabM A += 2 2 l bPaM B −= ( )bl l PabM A ++= 22 B l A ba M B l A ba M −−= l b l bMM A 32 −−= l a l aMM B 32 −+= 13 2 2 2 l bMM A B q l A B q l A ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 155 4.3. RIGIDEZ DAS BARRAS E COEFICIENTES DE TRANSMISSÃO A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento aplicado nesse nó capaz de provocar um giro unitário neste nó. 4.3.1. Barra bi-engastada A rigidez da barra bi-engastada (Figura 4-1b) é dado por l EIk 4= , (4.1) o qual equivale ao momento que surge no nó A devido ao giro unitário desse mesmo nó. O giro unitário do nó A produz o aparecimento de um momento no nó B de mesmo sentido da rotação em A (Figura 4-1b). Desta forma, o coeficiente de transmissão de um momento de um nó para outro nó engastado, supondo a barra com inércia constante, é definido como sendo a relação 2 1== A B AB M Mt , (4.2) sendo MB e MA os momentos nas extremidades B e A da barra, devido ao giro unitário na extremidade A. A B l A B l ϕ=1 l EI4 l EI2 ϕ=1 l EI4 l EI2 (a) Viga (b) Momentos devidos ao giro unitário em A Figura 4-1: Viga bi-engastada 4.3.2. Viga engastada-rotulada A BA B ϕ=1 l EI3 ϕ=1 l EI3 (a) Viga (b) Momento devido ao giro unitário em A Figura 4-2: Viga engastada-rotulada ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 156 4.4. CONVENÇÃO DE SINAIS Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado positivo o momento que atua no nó no sentido horário (mantendo a convenção de esforço positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário). (+) +ql 2/12 -ql2/12 -ql 2/12+ql2/12 q (a) No nó e na barra (b) Momentos de engastamento perfeito Figura 4-3: Convenção de momentos positivos 4.5. COEFICIENTES DE DISTRIBUIÇÃO Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na Figura 4-4. O único grau de liberdade da estrutura é a rotação (ϕ) do nó A. M 3 21 D C B A Figura 4-4: Pórtico plano indeslocável Devido à atuação do binário M (Figura 4-5a), as barras irão se deformar e os esforços internos nas extremidades das mesmas serão proporcional à rigidez das mesmas e à rotação sofrida pelo nó A (Figura 4-5b). ϕ ϕ ϕ M D A k1ϕ k3ϕ D k2ϕ A (a) (b) Figura 4-5: Pórtico sujeito a um binário M ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 157 No nó, estes momentos atuam com o sentido inverso pois representam os esforços das barras sobre o nó (Figura 4-6). Para que haja equilíbrio deve-se ter 0=∑ AM . 0321 =−++ Mkkk ϕϕϕ ou ( ) Mkkk =⋅++ ϕ321 . (4.3) ou Mki =∑ ϕ . (4.4) M k3ϕ k2ϕ k1ϕ M k3ϕ k2ϕ k1ϕ M k3ϕ k2ϕ k1ϕ M k3ϕ k2ϕ k1ϕ Figura 4-6: Momentos atuando no nó A da Figura 4-5b. Como M e ki são conhecidos, logo obtém-se o valor da rotação φ em A. ∑= ik Mϕ . (4.5) Os momentos nas extremidades dos elementos são determinados por ∑== ik MkkM 111 ϕ , (4.6) ∑== ik MkkM 222 ϕ e (4.7) ∑== ik MkkM 333 ϕ .
