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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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1612
126
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32
48
0
R
R
R
22
9
8
7
⋅





−
=⋅



−
−








−−+






−
=






−
 
As reações de apoio estão ilustradas na Figura 3-86. Recomenda-se verificar o 
equilíbrio da estrutura, aplicando-se as 3 equações de equilíbrio da estática. 
5,64 kN
46,56 kN.m
⋅
37,26 kN
58,73 kN
26,36 kN
32 kN
40 kN.m
⋅ 24 kN/m
2,19 kN.m
5,64 kN
46,56 kN.m
⋅
37,26 kN
58,73 kN
26,36 kN
32 kN
40 kN.m
⋅ 24 kN/m
2,19 kN.m
 
Figura 3-86 Reações de apoio no pórtico. 
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4. PROCESSO DE CROSS 
Baseado no método dos deslocamentos 
Equação de equilíbrio de forças em torno dos nós 
O Processo de Cross ou da Distribuição de Momentos consiste em obter os esforços 
nas barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó (o aplicado mais os de 
engastamento perfeito das barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras. 
Este processo foi proposto por Hardy Cross, em 1932, no artigo intitulado Analysis of 
Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado no Proceedings of 
Americal Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos principalmente para o 
cálculo de sistemas de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a rotações, o 
método foi generalizado para os sistemas de nós deslocavéis, ou seja, que podem sofrem 
translações. 
 
4.1. PRINCÍPIOS DO PROCESSO 
O processo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de 
resolução por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que 
os nós da estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da 
aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em 
seguida, o nó liberado é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são 
repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais rotações. Isto significa que o 
estado de equilíbrio foi atingido. 
Segundo Cross, a idéia principal do processo de resolução de estruturas 
hiperestáticas resume-se em simples operações aritméticas, o que não é inteiramente 
verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três 
problemas: a determinação dos momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cada 
viga e do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração. 
Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser 
imaginado que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de 
engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. 
Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito 
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desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez. Multiplica-se 
o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga. 
Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos 
transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os 
momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento 
verdadeiro. Para um estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de um nó, 
a solução é aproximada (Processo Iterativo). 
 
4.2. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO 
Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados 
em tabelas na bibliografia indicada. A Tabela 4-1 apresenta a expressão de alguns 
momentos de engastamento em função do carregamento e do tipo de vinculação das barras. 
 
Tabela 4-1: Momentos de engastamento perfeito 
 A BA B A BA B
q
l
A B
q
l
q
l
A B
 
12
2qlM A += 12
2qlM B −= 8
2qlM A += 
B
l
A
ba
P
B
l
A
ba
P
2
2
l
PabM A += 
2
2
l
bPaM B −= 
( )bl
l
PabM A ++= 22 
B
l
A
ba
M
B
l
A
ba
M
 


 −−=
l
b
l
bMM A
32 


 −−=
l
a
l
aMM B
32 



 −+= 13
2 2
2
l
bMM A 
B
q
l
A B
q
l
A
 
 
 
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4.3. RIGIDEZ DAS BARRAS E COEFICIENTES DE TRANSMISSÃO 
A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento aplicado nesse nó capaz de 
provocar um giro unitário neste nó. 
4.3.1. Barra bi-engastada 
A rigidez da barra bi-engastada (Figura 4-1b) é dado por 
l
EIk 4= , (4.1)
o qual equivale ao momento que surge no nó A devido ao giro unitário desse mesmo nó. 
O giro unitário do nó A produz o aparecimento de um momento no nó B de mesmo 
sentido da rotação em A (Figura 4-1b). Desta forma, o coeficiente de transmissão de um 
momento de um nó para outro nó engastado, supondo a barra com inércia constante, é 
definido como sendo a relação 
2
1==
A
B
AB M
Mt , 
(4.2)
sendo MB e MA os momentos nas extremidades B e A da barra, devido ao giro unitário na 
extremidade A. 
 
A B
l
A B
l
 
ϕ=1
l
EI4
l
EI2
ϕ=1
l
EI4
l
EI2
 
(a) Viga (b) Momentos devidos ao giro unitário em A 
Figura 4-1: Viga bi-engastada 
 
4.3.2. Viga engastada-rotulada 
 
A BA B
 
ϕ=1
l
EI3
ϕ=1
l
EI3
 
(a) Viga (b) Momento devido ao giro unitário em A 
Figura 4-2: Viga engastada-rotulada
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4.4. CONVENÇÃO DE SINAIS 
Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será 
considerado positivo o momento que atua no nó no sentido horário (mantendo a convenção 
de esforço positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário). 
(+) 
 +ql
2/12 -ql2/12 -ql
2/12+ql2/12
q
(a) No nó e na barra (b) Momentos de engastamento perfeito 
Figura 4-3: Convenção de momentos positivos 
 
4.5. COEFICIENTES DE DISTRIBUIÇÃO 
Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na Figura 4-4. O único grau de 
liberdade da estrutura é a rotação (ϕ) do nó A. 
M
3
21
D 
C B 
A 
 
Figura 4-4: Pórtico plano indeslocável 
Devido à atuação do binário M (Figura 4-5a), as barras irão se deformar e os 
esforços internos nas extremidades das mesmas serão proporcional à rigidez das mesmas e 
à rotação sofrida pelo nó A (Figura 4-5b). 
 
ϕ ϕ
ϕ 
M
D A 
k1ϕ 
k3ϕ D 
k2ϕ 
A 
 
(a) (b) 
Figura 4-5: Pórtico sujeito a um binário M 
 
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No nó, estes momentos atuam com o sentido inverso pois representam os esforços 
das barras sobre o nó (Figura 4-6). Para que haja equilíbrio deve-se ter 0=∑ AM . 
0321 =−++ Mkkk ϕϕϕ ou 
( ) Mkkk =⋅++ ϕ321 . (4.3)
ou 
Mki =∑ ϕ . (4.4)
M
k3ϕ
k2ϕ
k1ϕ
M
k3ϕ
k2ϕ
k1ϕ
M
k3ϕ
k2ϕ
k1ϕ
M
k3ϕ
k2ϕ
k1ϕ
 
Figura 4-6: Momentos atuando no nó A da Figura 4-5b. 
 
Como M e ki são conhecidos, logo obtém-se o valor da rotação φ em A. 
∑= ik
Mϕ . (4.5)
Os momentos nas extremidades dos elementos são determinados por 
∑== ik
MkkM 111 ϕ , (4.6)
∑== ik
MkkM 222 ϕ e (4.7)
∑== ik
MkkM 333 ϕ .