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A 3,0 m 14,4 kN·m B A 12 kN/m A B A 12 kN/m A 3,0 m 14,4 kN·m 18 kN B C 1,5 m 3,0 m 14,4 kN·m 18 kN B C 18 kN B C 1,5 m 3,0 m 14,4 kN·m 8,22 8,4 8,4 2,13 3 4,14 18 18 ↑=↓ ↑↑ 8,2 2,3 2,3 2,15 2,3 5,4 4,14 6 5,4 5,1x18 12 5,4 3x18 ↑= = ↓ ↑==↑ kNRA 2,13= kNRB 0,38= kNRC 8,2= ∑ = kNFy 54 Figura 4-16: Reações da viga contínua O diagrama de momentos fletores da viga contínua é ilustrado na Figura 4-17. O Aluno deve traçar o diagrama de esforços cortantes no espaço indicado desta mesma ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 163 figura, especificando a posição dos esforços cortantes nulos e calculando os valores dos momentos positivos máximos. A C B A C B 18 2 = l Pab 5,13 8 2 =ql 8,4 kN⋅m 14,4 kN⋅m A C B A C B 18 2 = l Pab 5,13 8 2 =ql 8,4 kN⋅m 14,4 kN⋅m Figura 4-17: Diagramas finais de momentos fletores e esforços cortantes 4.6.1.3. Exemplo 3 – Viga contínua com engaste Seja a viga mostrada na Figura 4-18, cuja rigidez à flexão (EI) é constante. 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 Figura 4-18: Viga contínua com engaste Para resolver esta estrutura pelo Processo de Cross, inicialmente, fixam-se os nós deslocáveis. Neste caso, fixa-se o nó B (Figura 4-19) e determinam-se os momentos de engastamento perfeito em cada barra (Figura 4-20). ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 164 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 Figura 4-19: Viga com o giro do nó B restringido 2,0 m 40 kN BA 2,0 m 20 kN·m 20 kN·m 2,0 m 40 kN BA 2,0 m 20 kN·m 20 kN·m B 10 kN/m C 8,0 m 2 80 kN·m B 10 kN/m C 8,0 m 2 80 kN·m Figura 4-20: Momentos de engastamento perfeito Após os momentos engastamento perfeito terem sido determinados, passa-se a determinação das rigidezes das barras. A partir delas serão calculados os coeficientes de distribuição (βi) e de transmissão (usar EI=8). 8 4 844 1 1 l EIk =⋅== 3 8 833 2 2 l EIk =⋅== ∑ = = 2 1 11 i ik 7270 11 8 1 ,β == ,β 2730 11 3 2 == 5,01 =t e 02 =t . De posse dos momentos de engastamento perfeito, do coeficiente de transmissão e de distribuição, passa-se ao equilíbrio do nó B e a transmissão dos momentos para as outras extremidades da barra. B A C B A C Figura 4-21: Momentos de engastamento perfeito A diferença dos momentos aplicados no nó é 60+=∆ BM , portanto a parcela que cabe a cada barra é 62,43600,7271 −=⋅−=M e 38,16600,273 2 −=⋅−=M (Figura 4-22). ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 165 tBC = 0 0,727 0,273 tBA = 0,5 →← tBC = 0 0,727 0,273 tBA = 0,5 →← +20 -20 +80 -21,81 ← -43,62 -16,38 → 0 -1,81 -63,62 +63,62 40 kN BA 40 kN BA B 10 kN/m CB 10 kN/m C Figura 4-22: Equilíbrio do nó B e transmissão dos momentos Efetuado o equilíbrio do nó B, obtêm-se os momentos no engaste A e no apoio B. Dessa forma, as reações nos apoios podem ser determinadas utilizando as equações de equilíbrio da estática e o diagrama de momentos pode ser traçado pendurando-se na linha de fechamento o diagrama de momentos das cargas atuantes nos tramos (Figura 4-23), considerando estes tramos vigas isostática. O aluno deve completar a Figura 4-23, indicando o valor dos momentos positivos nos tramos e traçando o diagrama de esforços cortantes no espaço indicado. A C A C 40 1 = l Pab ( ) 80 8 2 2 =lq 1,81 kN·m 63,62 kN·m A CA C A C 40 1 = l Pab ( ) 80 8 2 2 =lq 1,81 kN·m 63,62 kN·m Figura 4-23: Diagramas finais de momentos fletores e de esforços cortantes ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 166 4.6.1.4. Viga contínua com balanço e momento aplicado no nó Seja a viga mostrada na Figura 4-24, cuja rigidez à flexão (EI) é constante. 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 1,0 m 30 kN 20 kN·m 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 1,0 m 30 kN 20 kN·m Figura 4-24: Viga contínua em balanço Para resolver esta estrutura pelo Processo de Cross, fixam-se os nós deslocáveis (Figura 4-25). Neste caso, fixa-se o nó B e determinam-se os momentos de engastamento perfeito em cada barra (Figura 4-26). O balanço pode ser substituido por um sistema equivalente composto por uma força e um momento aplicado no apoio C (Figura 4-25). 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 30 kN20 kN·m 30 kN·m 2,0 m 40 kN B A 10 kN/m C 8,0 m2,0 m 1 2 30 kN20 kN·m 30 kN·m Figura 4-25: Viga contínua equivalente 2,0 m 40 kN BA 2,0 m 20 kN·m 20 kN·m 2,0 m 40 kN BA 2,0 m 20 kN·m 20 kN·m B 10 kN/m C 8,0 m 2 80 kN·m B 10 kN/m C 8,0 m 2 80 kN·m B C 8,0 m 15 kN·m 30 kN·m B C 8,0 m 15 kN·m 30 kN·m (a) Barra 1 (b) Barra 2 (c) Barra 2 Figura 4-26: Momentos de engastamento perfeito nas barras O momento do balanço (em C) de 30 kN.m deve ser transmitido para a outra extremidade da barra BC ( mkNmkN ⋅=⋅⋅ 15305,0 ) (Figura 4-27b). C B nó nó 30 30 30 80 20 20 20 BarraBarra Barra 20 8020 15 20 8020 15 (a) Momentos nas extremidades das barras e nos nós (b) Momentos totais no nó B Figura 4-27: Momentos nas extremidades das barras e nos nós Nó B não está equilibrado (Figura 4-27b), sendo o momento desequilibrante dado por 6515208020 +=−−++=∆ BM . ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 167 Para que haja equilíbrio, deve-se somar os momentos devido ao fato do nó ser deslocável e girar, causando esforços nas barras 1 e 2. O equilíbrio do nó é efetuado pela distribuição da parcela desequilibrante (∆MB) (Figura 4-28) tBC = 0 0,727 0,273 tBA = 0,5 →← +20 kN·m tBC = 0 0,727 0,273 tBA = 0,5 →← tBC = 0 0,727 0,273 tBA = 0,5 →← +20 kN·m +20 -20 +80 -15 -23,63 ← -47,26 -17,74 → 0 -3,63 -67,26 +47,26 40 kN BA 40 kN BA B 10 kN/m CB 10 kN/m C Figura 4-28: Equilíbrio do nó B e transmissão dos momentos 26,4765727,0- 11 −=⋅−=∆⋅= BMM β e -17,7465-0,273M- B22 =⋅=∆⋅= βM . O momento total na extremidade da barra (1) é 26,6728,4720 −=−− e na barra (2) é 26,4774,178015 +=−+− . A descontinuidade entre os esforços nas barras é devida ao momento aplicado (Figura 4-24). O nó C não deve ser equilibrado, pois, a priori, ele já está equilibrado. Não há momento externo aplicado no nó (M=0) e os esforços na barra à direita é à esquerda são conhecidos, iguais em módulo e de sentidos opostos. O apoio C está livre para girar, não surge nenhum esforço nas barras devido à rotação do apoio (é diferente do apoio B, que é um apoio interno e não está livre para girar). No entanto o esforço na barra (2) na extremidade direita devido ao balanço deve ser transmitido