67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

A
3,0 m
14,4 kN·m
B
A
12 kN/m
A
B
A
12 kN/m
A
3,0 m
14,4 kN·m
 
18 kN
B C
1,5 m 3,0 m
14,4 kN·m
18 kN
B C
18 kN
B C
1,5 m 3,0 m
14,4 kN·m
 
8,22
8,4 8,4
2,13
3
4,14
18 18
↑=↓
↑↑
 
8,2
2,3 2,3
2,15
2,3
5,4
4,14
6
5,4
5,1x18 12
5,4
3x18
↑=
=
↓
↑==↑
 
kNRA 2,13= kNRB 0,38= kNRC 8,2= ∑ = kNFy 54 
Figura 4-16: Reações da viga contínua 
O diagrama de momentos fletores da viga contínua é ilustrado na Figura 4-17. O 
Aluno deve traçar o diagrama de esforços cortantes no espaço indicado desta mesma 
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163
figura, especificando a posição dos esforços cortantes nulos e calculando os valores dos 
momentos positivos máximos. 
A C
B
A C
B
18
2
=
l
Pab
5,13
8
2
=ql
8,4 kN⋅m
14,4 kN⋅m
A C
B
A C
B
18
2
=
l
Pab
5,13
8
2
=ql
8,4 kN⋅m
14,4 kN⋅m
 
Figura 4-17: Diagramas finais de momentos fletores e esforços cortantes 
 
 
4.6.1.3. Exemplo 3 – Viga contínua com engaste 
Seja a viga mostrada na Figura 4-18, cuja rigidez à flexão (EI) é constante. 
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
 
Figura 4-18: Viga contínua com engaste 
 
Para resolver esta estrutura pelo Processo de Cross, inicialmente, fixam-se os nós 
deslocáveis. Neste caso, fixa-se o nó B (Figura 4-19) e determinam-se os momentos de 
engastamento perfeito em cada barra (Figura 4-20). 
 
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2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
 
Figura 4-19: Viga com o giro do nó B restringido 
 
2,0 m
40 kN
BA
2,0 m
20 kN·m 20 kN·m
2,0 m
40 kN
BA
2,0 m
20 kN·m 20 kN·m
B
10 kN/m
C
8,0 m
2
80 kN·m
B
10 kN/m
C
8,0 m
2
80 kN·m
Figura 4-20: Momentos de engastamento perfeito 
Após os momentos engastamento perfeito terem sido determinados, passa-se a 
determinação das rigidezes das barras. A partir delas serão calculados os coeficientes de 
distribuição (βi) e de transmissão (usar EI=8). 
 8
4
844
1
1 l
EIk =⋅== 
 3
8
833
2
2 l
EIk =⋅== 
∑
=
=
2
1
11
i
ik 
 
 7270
11
8
1 ,β == 
 ,β 2730
11
3
2 == 
5,01 =t e 02 =t . 
De posse dos momentos de engastamento perfeito, do coeficiente de transmissão e 
de distribuição, passa-se ao equilíbrio do nó B e a transmissão dos momentos para as 
outras extremidades da barra. 
B
A C
B
A C
 
Figura 4-21: Momentos de engastamento perfeito 
A diferença dos momentos aplicados no nó é 60+=∆ BM , portanto a parcela que 
cabe a cada barra é 62,43600,7271 −=⋅−=M e 38,16600,273 2 −=⋅−=M (Figura 4-22). 
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tBC = 0
0,727 0,273
tBA = 0,5 →←
tBC = 0
0,727 0,273
tBA = 0,5 →←
 
+20 -20 +80 
-21,81 ← -43,62 -16,38 → 0 
-1,81 -63,62 +63,62 
40 kN
BA
40 kN
BA
 
B
10 kN/m
CB
10 kN/m
C
 
Figura 4-22: Equilíbrio do nó B e transmissão dos momentos 
Efetuado o equilíbrio do nó B, obtêm-se os momentos no engaste A e no apoio B. 
Dessa forma, as reações nos apoios podem ser determinadas utilizando as equações de 
equilíbrio da estática e o diagrama de momentos pode ser traçado pendurando-se na linha 
de fechamento o diagrama de momentos das cargas atuantes nos tramos (Figura 4-23), 
considerando estes tramos vigas isostática. O aluno deve completar a Figura 4-23, 
indicando o valor dos momentos positivos nos tramos e traçando o diagrama de esforços 
cortantes no espaço indicado. 
A C
A C
40
1
=
l
Pab
( ) 80
8
2
2 =lq
1,81 kN·m
63,62 kN·m
A CA C
A C
40
1
=
l
Pab
( ) 80
8
2
2 =lq
1,81 kN·m
63,62 kN·m
 
Figura 4-23: Diagramas finais de momentos fletores e de esforços cortantes 
 
 
 
 
 
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4.6.1.4. Viga contínua com balanço e momento aplicado no nó 
Seja a viga mostrada na Figura 4-24, cuja rigidez à flexão (EI) é constante. 
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
1,0 m
30 kN
20 kN·m
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
1,0 m
30 kN
20 kN·m
 
Figura 4-24: Viga contínua em balanço 
 
Para resolver esta estrutura pelo Processo de Cross, fixam-se os nós deslocáveis 
(Figura 4-25). Neste caso, fixa-se o nó B e determinam-se os momentos de engastamento 
perfeito em cada barra (Figura 4-26). O balanço pode ser substituido por um sistema 
equivalente composto por uma força e um momento aplicado no apoio C (Figura 4-25). 
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
30 kN20 kN·m
30 kN·m
2,0 m
40 kN
B
A
10 kN/m
C
8,0 m2,0 m
1 2
30 kN20 kN·m
30 kN·m
 
Figura 4-25: Viga contínua equivalente 
 
2,0 m
40 kN
BA
2,0 m
20 kN·m 20 kN·m
2,0 m
40 kN
BA
2,0 m
20 kN·m 20 kN·m
B
10 kN/m
C
8,0 m
2
80 kN·m
B
10 kN/m
C
8,0 m
2
80 kN·m
B C
8,0 m
15 kN·m 30 kN·m
B C
8,0 m
15 kN·m 30 kN·m
(a) Barra 1 (b) Barra 2 (c) Barra 2 
Figura 4-26: Momentos de engastamento perfeito nas barras 
O momento do balanço (em C) de 30 kN.m deve ser transmitido para a outra 
extremidade da barra BC ( mkNmkN ⋅=⋅⋅ 15305,0 ) (Figura 4-27b). 
C B nó nó 
30 30 30 80 20 20 20 
BarraBarra Barra 
20
8020
15
20
8020
15 
(a) Momentos nas extremidades das barras e nos nós (b) Momentos totais no nó B 
Figura 4-27: Momentos nas extremidades das barras e nos nós 
Nó B não está equilibrado (Figura 4-27b), sendo o momento desequilibrante dado 
por 
6515208020 +=−−++=∆ BM . 
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Para que haja equilíbrio, deve-se somar os momentos devido ao fato do nó ser deslocável e 
girar, causando esforços nas barras 1 e 2. O equilíbrio do nó é efetuado pela distribuição da 
parcela desequilibrante (∆MB) (Figura 4-28) 
 
tBC = 0
0,727 0,273
tBA = 0,5 →←
+20 kN·m tBC = 0
0,727 0,273
tBA = 0,5 →←
tBC = 0
0,727 0,273
tBA = 0,5 →←
+20 kN·m
 
+20 -20 +80 
 -15 
-23,63 ← -47,26 -17,74 → 0 
-3,63 -67,26 +47,26 
40 kN
BA
40 kN
BA
 
B
10 kN/m
CB
10 kN/m
C
 
Figura 4-28: Equilíbrio do nó B e transmissão dos momentos 
26,4765727,0- 11 −=⋅−=∆⋅= BMM β e 
-17,7465-0,273M- B22 =⋅=∆⋅= βM . 
O momento total na extremidade da barra (1) é 
26,6728,4720 −=−− 
e na barra (2) é 
26,4774,178015 +=−+− . 
A descontinuidade entre os esforços nas barras é devida ao momento aplicado (Figura 4-24). 
O nó C não deve ser equilibrado, pois, a priori, ele já está equilibrado. Não há 
momento externo aplicado no nó (M=0) e os esforços na barra à direita é à esquerda são 
conhecidos, iguais em módulo e de sentidos opostos. O apoio C está livre para girar, não 
surge nenhum esforço nas barras devido à rotação do apoio (é diferente do apoio B, que é 
um apoio interno e não está livre para girar). No entanto o esforço na barra (2) na 
extremidade direita devido ao balanço deve ser transmitido