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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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Como exercício, o aluno deverá traçar os gráficos de esforços normais e esforços 
cortantes (Figura 4-36 e Figura 4-37), localizando, com as distâncias, os pontos de esforços 
nulos e conseqüentemente os pontos de momentos fletores máximos. Os valores dos 
momentos máximos devem ser calculados e especifícados na Figura 4-35. 
48,87
29,46
13,48
13,48
30
60
30
48,87
29,46
13,48
13,48
30
60
30
 
Figura 4-35: Diagrama final dos momentos fletores do pórtico indeslocável 
 
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Figura 4-36: Diagrama de esforços normais 
 
 
Figura 4-37: Diagramas de esforços cortantes 
 
Para estruturas com mais de 2 nós, aplica-se o mesmo procedimento. Inicia-se pelo 
nó mais desequilibrado e passa-se para os demais, sempre na mesma seqüência como 
ilustrado na Figura 4-38 Ver SUSSEKIND (1994), Vol. 3 – 4 Ex II.1, página 198. 
 
3º
2º
1º2º
2º1º
ou
3º
2º
1º2º
2º1º
3º
2º
1º2º
2º1º
ou
 
Figura 4-38: Seqüência de distribuição de momentos 
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4.6.3. Exercícios propostos 
4.6.3.1. Exercícios 1 
Determine as reações e os diagramas de esforços normais e cisalhantes e de 
momentos fletores do pórtico plano indicado na Figura 4-39 (os gráficos devem ser feitos 
em escala). A tabela para efetuar o Processo de Cross necessita ser completada com os 
coeficientes de distribuição e os momentos de engastamento perfeito. As barras do pórtico 
têm rigidez à flexão constante. 
A D
B C
E
EI
EI
EI
EI
6 m
6 m
4 m
10 kN/m
30 kN
1
2 4
3
A D
B C
E
EI
EI
EI
EI
6 m
6 m
4 m
10 kN/m
30 kN
1
2 4
3
 
Figura 4-39 
 
t = 0,5t = 0,5
 
 
t = 0,5t = 0,5
 
t = 0 ,5
t = 0 ,5
t = 0 ,5
t = 0 ,5
 
 Nó A Nó B Nó C Nó E Nó D 
 Barra 1 Barra 1 Barra 2 Barra 2 Barra 3 Barra 4 Barra 4 Barra 3 
Coef. distr. 
Mom. eng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.6.3.2. Exercício 2 
Determine as reações e os diagramas de esforços normais e cisalhantes e de 
momentos fletores do pórtico plano indicado na Figura 4-40 (os gráficos devem ser feitos 
em escala). A tabela para efetuar o Processo de Cross necessita ser completada com os 
coeficientes de distribuição e os momentos de engastamento perfeito. A rigidez flexão dos 
pilares é o dobro das vigas. 
A D
B C
E
2EI
EI
2EI
EI
6 m
6 m
4 m
10 kN/m
30 kN
1
2 4
3
A D
B C
E
2EI
EI
2EI
EI
6 m
6 m
4 m
10 kN/m
30 kN
1
2 4
3
 
Figura 4-40 
 
t = 0,5t = 0,5
 
 
t = 0,5t = 0,5
 
t = 0,5
t = 0,5
t = 0,5
t = 0,5
 
 Nó A Nó B Nó C Nó E Nó D 
 Barra 1 Barra 1 Barra 2 Barra 2 Barra 3 Barra 4 Barra 4 Barra 3 
Coef. distr. 
Mom. eng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.6.3.3. Exercício 3 
Uma viga contínua de 3 três vãos iguais (Figura 4-41), dos quais um é submetido a 
uma carga concentrada e outro a uma carga distribuída. O seu módulo de elasticidade é E e 
a inércia da seção transversal é I. Pede-se resolver a estrutura pelo processo de Cross, 
traçar em escala os diagramas de momento fletor e cortante e determinar o valor das 
reações de apoio. 
4,0 m 4,0 m
A
8,0 m
B C D
10,0 kN/m10,0 kN
8,0 m4,0 m 4,0 m
A
8,0 m
B C D
10,0 kN/m10,0 kN
8,0 m
 
Figura 4-41: Viga contínua de 3 vãos 
Resposta parcial : 
Nó A Nó B Nó C Nó D Nós 
AB BA BC CB CD DC Barras 
 3/7 4/7 4/7 3/7 Coef. Dist 
 -15 +80 MEP 
 +6,43 +8,57→ +4,29 
 -24,09 ←-48,17 -36,12 
 +10,32 +13,77→ +6,89 
 -1,97 ←-3,94 -2,95 
 +0,84 +1,13→ +0,57 
 ←-0,33 -0,24 
0 +2,59 -2,59 -40,69 +40,69 0 
 
 
 
4.6.3.4. Exercício 4 
Uma viga contínua de 3 três vãos iguais (Figura 4-42) tem módulo de elasticidade 
E e inércia da seção transversal I. Pede-se resolver a estrutura pelo processo de Cross, 
traçar em escala os diagramas de momento fletor e cortante e determinar o valor das 
reações de apoio. 
D
5,0 kN/m
4,0 m
A
4,0 m
B C
4,0 m
D
5,0 kN/m
4,0 m
A
4,0 m
B C
4,0 m
5,0 kN/m
4,0 m
A
4,0 m
B C
4,0 m
 
Figura 4-42: Viga contínua com 3 vãos 
 
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Resposta parcial: Observar que o carregamento e a estrutura podem ser 
considerados é simétricos, portanto os momentos fletores nos nós B e C devem ser iguais. 
A precisão dos resultados vai depender do número de iterações efetuadas. 
 
Nó A Nó B Nó C Nó D Nós 
AB BA BC CB CD DC Barras 
 3/7 4/7 4/7 3/7 Coef. Dist 
 -10 +6,66 -6,66 +10 MEP 
 +1,43 +1,91→ +0,95 
 -1,23 ←-2,45 -1,84 
 +0,53 +0,70 
0 -8,04 +8,04 -8,16 +8,16 0 
 
 
 
4.6.3.5. Exercício 5 
Uma viga contínua de 3 três vãos iguais (Figura 4-43) tem módulo de elasticidade 
E e inércia da seção transversal I. Pede-se resolver a estrutura pelo processo de Cross, 
traçar em escala os diagramas de momento fletor e cortante e determinar o valor das 
reações de apoio. 
1,5 m
4,0 m4,0 m
A
4,0 m
B C
D
20,0 kN 10,0 kN
4,0 m
1,5 m
4,0 m4,0 m
A
4,0 m
B C
D
20,0 kN 10,0 kN
4,0 m
 
Figura 4-43 
Resposta parcial: 
Nó A Nó B Nó C Nó D Nós 
AB BA BC CB CD DC Barras 
 3/5 2/5 2/5 3/5 Coef. 
Dist 
 -15 +10 -10 MEP 
 +3,0 +2,0→ +1,0 
 +1,84 ←+3,6 +5,4 
 -1,08 +-0,72→ 
 -13,08 +13,08 -5,4 +5,4 
 
 
 
 
4.6.3.6. Exercício 6 
As vigas contínuas a seguir (Figura 4-44, Figura 4-45 e Figura 4-46) têm módulo 
de elasticidade E e inércia da seção transversal I. Pede-se para resolver as estruturas pelo 
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processo de Cross, traçar em escala os seus respectivos diagramas de momento fletor e 
cortante e determinar o valor de suas reações de apoio. 
5,0 kN/m
4,0 m
A
4,0 m
B C D
5,0 kN/m
5,0 kN
4,0 m
5,0 kN/m
4,0 m
A
4,0 m
B C D
5,0 kN/m
5,0 kN
4,0 m
 
Figura 4-44 
 
 
A
6,0 kN/m
6,0 m 3,0 m
B C D
6,0 kN/m
6,0 m
A
6,0 kN/m
6,0 m 3,0 m
B C D
6,0 kN/m
6,0 m
6,0 kN/m
6,0 m 3,0 m
B C D
6,0 kN/m
6,0 m6,0 m 3,0 m
B C D
6,0 kN/m
6,0 m
 
Figura 4-45 
 
 
2,0 m
3,0 m3,0 m
A
6,0 m
B C D
6,0 m
5,0 kN
3,0 kN/m 3,0 kN/m
E
2,0 m
3,0 m3,0 m
A
6,0 m
B C D
6,0 m
5,0 kN
3,0 kN/m 3,0 kN/m
E
 
Figura 4-46 
 
 
 
1.6. EXPLORANDO A SIMETRIA 
1.6.1. Vigas contínuas simétricas 
1.6.1.1. Eixo de simetria passando por um apoio – Carregamento simétrico 
Seja a viga contínua com carregamento simétrico mostrada na Figura 4-47. Como o 
esforço axial não está sendo considerado, a estrutura pode ser considerada simétrica. 
Lembrando que M e N são simétricos e V anti-simétrico, para carregamento