A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
195 pág.
67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

Pré-visualização | Página 35 de 36

estrutura e a barra 
vertical CG com metade da inércia original. As demais barras não mudam (Figura 4-68). O 
diagrama de momento fletor da estrutura inteira é anti-simétrico, enquanto que o diagrama 
de esforço cortante é simétrico. Observa–se, no entanto, que o momento fletor final na 
barra vertical CG será o dobro do valor encontrado no esquema acima. 
Se houver um binário (M0) aplicado em C, deve –se dividi-lo ao meio e aplicar 
M0/2 em C no esquema simplificado da Figura 4-67. 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
186
A B C 
F 
G 
IAB IBC
IBF 
(IBC)/2
 
Figura 4-68: Estrutura equivalente do pórtico plano 
Visto que MBC = MCD (mesmo sentido) devido à anti–simetria, na estrutura real 
(Figura 4-69a) 
02 MMM CGBC =+⋅ , 
enquanto que, na estrutura simplificada (Figura 4-69a), tem-se a metade da equação acima 
22
0MMM CGBC =+ . 
 
MBC 
M0 
MCD
MCG 
MBC MCD
MCG/2
M0/2 M0/2 
MCG/2 
 
(a) Real (b) Simplificado 
Figura 4-69: Momento aplicado em um nó situado no eixo de simetria 
 
1.6.2.2. Eixo de simetria que passa por uma barra 
É análogo ao caso da viga simétrica visto na secção 1.6.1. Resolve-se a metade da 
estrutura. Para um carregamento simétrico a rigidez da barra BC é 
BC
BC
BC l
EI
k
2= e para um 
carregamento anti-simétrico é 
BC
BC
BC l
EI
k
6= . 
A DB C
E F
 
Figura 4-70: Pórtico plano com um eixo de simetria 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
187
1.7. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO PARA O CASO DE 
RECALQUES 
Em vigas bi-engastadas (Figura 4-71), os momentos de engastamento perfeito para 
o caso de recalque em um dos apoios são ∆+== 26l
EIMM BA 
l 
A BEI 
∆
 
2
6
l
EI∆
2
6
l
EI∆
A B 
 
Figura 4-71: Viga bi-engastada 
 
Em vigas engastadas-apoiadas, para o recalque B (Figura 4-72), o momento de 
engastamento perfeito é ∆+= 23l
EIM A ; para o recalque em A é ∆−= 23l
EIM A (Figura 
4-73). 
A BEI 
l 
∆
 
A B 
2
3
l
EI∆
 
Figura 4-72: Viga engastada-apoiada com recalque no apoio B 
 
 
A BEI 
∆ 
 
A B 
2
3
l
EI∆
 
Figura 4-73: Viga engastada-apoiada com recalque no apoio A 
 
1.8. PROCESSO DE CROSS PARA ESTRUTURAS 
DESLOCÁVEIS 
Serão considerados apenas pórticos planos como exemplos (Figura 4-74a). O 
esforço axial será desprezado.As deslocabilidades tratam–se apenas de translações no 
Processo de Cross. Estas deslocabilidades devem ser impedidas através de apoios do 1° 
gênero, surgindo reações de apoio (Figura 4-74b). 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
188
 B C 
q 
A 
D 
 
B 
D 
A 
R C 
 
(a) (b) 
Figura 4-74: Pórtico plano 
Aplica-se em seguida o método dos deslocamentos considerando superposição de 
efeitos. Fixa-se a estrutura e calcula–se a reação de apoio devido ao carregamento R10 e o 
diagrama de momento fletores M10 usando o processo de Cross (Figura 4-75) 
 
 B C 
A RA 
R10 
RD RD 
q 
 
Figura 4-75: Pórtico plano com deslocamento restringido 
Cross→MBA, MCD 
AB
AB
ABABA M
qllRM +−⋅=
2
2
 
 
AB
AB
ABBA
A l
qlMM
R 2
2
+−
= 
 
CDDCD lRM ⋅= 
CD
CD
D l
M
R = 
....RFX =→=∑ 100 
Após impõe-se a deslocabilidade ∆1 na direção restringida (Figura 4-76) e obtém-
se, por Cross, M1 e R1. Deve-se utilizar tabelas para obtenção de momentos para 
engastamento perfeitos nas barras devido a recalques impostos. 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
189
 1
R1 
B 
C 
D 
A 
 
Figura 4-76: Pórtico plano com deslocmanto imposto 
Como ∆1 não é conhecido, impõe-se uma deslocabilidade unitária e calculam-se os 
momentos M1 e R11 nas barras usando Cross. A reação final será 11 ∆⋅M e 111 ∆⋅R . Faz-se 
em seguida o equilíbrio de forças horizontais no nó C, usando superposição de efeitos. 
011110 =∆⋅+ RR , 
11
10
1 R
R−=∆ , 
sendo R10 é a parcela de reação devido ao carregamento externo e R11 é a parcela de reação 
devido a deslocabilidade. 
 Os momentos finais no pórtico são encontrados por superposição de efeitos: 
110 ∆⋅+= MMM . 
No caso de mais de uma deslocabilidade, procede-se analogamente (Figura 4-77): 
P1 
P2 F q 
 
 
 
 
 
 
= 
P1 
P2 R20
R10 
Mo 
 
(a) (b) 
Figura 4-77: Pórtico plano com mais de uma deslocabilidade 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
190
R21 
R11 
M1
R22 
R12 
M2
∆1 
+
∆2=1 
 
Figura 4-78: Liberação das deslocabilidades do pórtico 
As equações de equilíbrio são 
021211110 =∆+∆+ RRR 
FRRR =∆+∆+ 22212120 
ou matricialmente: 



=





+




F
0
∆
∆
.
RR
RR
R
R
2
1
2221
1211
20
10
.
 
 
Resolvendo-se o sistema de equações obtém-se ∆1 e ∆2. 
Para a determinação do momentos finais dos pórticos com mais de duas 
deslocabilidades, procede-se analogamente ao que já foi explicado, sendo os momentos 
finais do pórtico dados por 
22110 ∆+∆+= MM MM 
 
1.8.1. Exemplo 
Seja o pórtico plano da Figura 2-1, cuja rigidez à flexão é constante. 
 
30kN
2m
A
12kN/m
B
4m
2m
D
C
3m
 
Figura 4-79: Pórtico plano com nós deslocáveis 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
191
Para se resolver o pórtico mostrado na Figura 4-79, primeiramente impedem-se os 
deslocamentos por meio de apoios do primeiro tipo (nos quais vão aparecer reações). Em 
seguida fixa-se a estrutura e calcula-se a reação de apoio (R10) devido ao carregamento 
(situação 0)e o diagrama de momentos fletores (M10), usando o Processo de Cross (Figura 
4-80, Tabela 4-5). 
A
RD
RA
12kN/m
B
30kN
C
D
R10
 
Figura 4-80: Pórtico com a deslocabilidade do nó C restringida (sistema 0) 
 
Tabela 4-5: Processo de Cross para o pórtico para o sistema 0 
+0,02-17,45
15,27
+16
-0,69
-0,04
+17,45
-7,87
-0,08
-1,37
-16
-0,09
+0,17
-1,38
+3,75
+15
0,5
0,5
+0,02
+0,35
+7,5
-15
+7,5
-0,69
+0,34
-0,04
0
0,5
7,87
0,5
 
O cálculo dos esforços nas barras e reações para o sistema (0) é feito separando-se 
as barras e aplicando-se os momentos encontrados pelo Processo de Cross (Tabela 4-5), 
como ilustrado pela Figura 4-81. 
( ) ( ) 0241227,154 =⋅⋅++ mmRA 
kNRA 46,234
82,93 −=−= 
( ) 087,73 =+mRD 
kNRD 62,2−= 
Fazendo o somatório de forças na direção x 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
192
04862,246,23 10 =++−− R 
kNR 92,2110 −= 
 
RD
RA
30kN17,45
15,27
12kN/m
17,45
R10
7,87
7,87
 
Figura 4-81: Carregamentos e momentos internos atuantes nas barras do pórtico 
 
Agora, impõe-se a deslocabilidade ∆1 = 1 na direção restringida (Figura 4-82) e 
obtém-se M11 e R11 pelo Processo de Cross (sistema I) (Tabela 4-6). Os momentos devidos 
a recalques nas barras são 
)(5416 2 +===
AB
ABBA L
EI.MM 
)(4832 +==
CD
DC L
EIM 
A
B
∆1
MAB
MBA D
C
R11
∆1 MDC