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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV 5220 - ANÁLISE ESTRUTURAL II Profa Henriette Lebre La Rovere, Ph.D. Profa Poliana Dias de Moraes, Dr Florianópolis, fevereiro de 2005 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 2 Índice 1. Estruturas hiperestáticas lineares ........................................................................................ 5 1.1. Introdução........................................................................................................................5 1.2. Grau de hiperestaticidade ................................................................................................7 1.1.1. Estruturas externamente hiperestáticas ........................................................................................7 1.1.2. Estruturas internamente hiperestáticas.........................................................................................7 1.1.3. Estruturas externa e internamente hiperestáticas .........................................................................8 1.3. Métodos de resolução de estruturas hiperestáticas..........................................................8 1.1.4. Método das Forças (ou dos Esforços ou da Flexibilidade) ..........................................................8 1.1.5. Método dos deslocamentos (ou das deformações ou da rigidez) .................................................8 1.1.6. Método de Cross ..........................................................................................................................9 2. Método das forças ..................................................................................................................... 10 1.4. Estruturas externamente hiperestáticas .........................................................................10 1.1.1. Estruturas uma vez hiperestáticas (ge = 1) .................................................................................10 2.1.1. Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2) .............................................................................29 1.1.2. Estruturas três vezes hiperestática (ge = 3).................................................................................38 1.5. Estruturas internamente hiperestáticas ..........................................................................46 2.1.2. Exemplo 1- Treliça plana...........................................................................................................46 2.1.3. Exemplo 2 - Pórtico com tirante ................................................................................................50 2.1.4. Exemplo 3 - Quadro bi-apoiado.................................................................................................55 2.1.5. Exemplo 4 - Pórtico bi-engastado..............................................................................................63 2.1.6. Exemplo 5 - Estrutura simétrica com carregamento simétrico ..................................................64 2.1.7. Exercícios...................................................................................................................................65 2.2. Tirando proveito da simetria ..............................................................................................66 2.2.1. Estruturas simétricas com carregamento simétrico....................................................................66 2.2.2. Estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico: ...........................................................68 2.2.3. Estrutura simétrica com carregamento qualquer........................................................................69 1.2. Grelhas ..........................................................................................................................74 1.2.1. Exemplo 1- Estrutura simétrica – carregamento qualquer .........................................................74 1.2.2. Exemplo 2 - Grelha simétrica com carregamento simétrico ......................................................80 1.2.3. Exemplo 3 - Grelha simétrica com carregamento anti-simétrico...............................................80 2.3. Variação de temperatura.....................................................................................................81 2.3.1. Deformações em estruturas isostáticas ......................................................................................83 2.3.2. Exemplo 1 - Pórtico isostático submetido à variação de temperatura........................................84 2.3.3. Exemplo 2 – Pórtico hiperestático submetido à variação de temperatura..................................86 3. Método dos deslocamentos ou método da rigidez .................................................................... 89 3.1. Introdução...........................................................................................................................89 3.1.1. Exemplo - Pórtico plano ............................................................................................................90 3.2. Vigas -Sistema de um grau de liberdade............................................................................90 3.2.1. Exemplo 1 - Viga engastada-apoiada.........................................................................................90 3.3. Vigas - Esforços de engastamento perfeito ........................................................................93 1.3. Vigas - Coeficientes de rigidez .....................................................................................94 3.4. Vigas - Sistema de dois graus de liberdade........................................................................96 3.4.1. Exemplo 1 - Viga contínua ........................................................................................................96 3.4.2. Exemplo 2 ..................................................................................................................................98 3.5. Treliças – Sistema de um grau de liberdade.....................................................................100 3.5.1. Exemplo – Barra de material homogêneo e seção transversal constante submetida à carga axial 100 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 3 3.6. Treliças – Sistema de dois graus de liberdade..................................................................101 3.6.1. Exemplo - Barra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções diferentes submetida à carga axial .............................................................................................................................101 3.7. Divisão em elementos – Sistema de coordenadas............................................................103 3.7.1. Modelagem - Algumas considerações sobre divisão da estrutura em elementos ....................104 3.7.2. Sistema de coordenadas ...........................................................................................................104 3.7.3. Graus de liberdade ...................................................................................................................105 3.8. Tipos de estruturas reticuladas .........................................................................................105 3.8.1. Deformações ............................................................................................................................106 3.8.2. Exemplos de estruturas reticuladas planas...............................................................................1073.8.3...........................................................................................................................................................107 3.8.4. Exemplos de estruturas reticuladas espaciais...........................................................................108 3.8.5. Elementos de estruturas reticuladas .........................................................................................108 1.4. Resumo do Método dos Deslocamentos para estruturas reticuladas divididas em elementos.................................................................................................................................112 1.5. Matriz de rigidez de um elemento no sistema local (estruturas reticuladas planas) ...113 1.5.1. Elemento de viga......................................................................................................................113 1.5.2. Elemento de treliça ..................................................................................................................116 1.5.3. Elemento de pórtico plano .......................................................................................................118 3.9. Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas .......................................119 3.10. Matriz de rigidez de um elemento no sistema global.....................................................122 3.11. Vetor de esforços de engastamento perfeito no sistema global .....................................123 3.12. Sistema de equações de equilírio para a estrutura não-restringida.................................123 3.12.1. Montagem da matriz de rigidez da estrutura............................................................................124 3.12.2. Exemplo – Pórtico plano..........................................................................................................124 3.12.3. Regra da correspondência ........................................................................................................127 3.12.4. Exemplo 1 – Pórtico plano.......................................................................................................127 3.12.5. Exemplo 2 - Elementos de treliça ............................................................................................128 3.12.6. Exemplo 3 – Elementos de viga...............................................................................................129 3.12.7. Exemplo 4 - Viga contínua ......................................................................................................131 3.12.8. Exemplo Numérico ..................................................................................................................133 3.13. Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida......................................136 3.14. Reações de apoio da estrutura ........................................................................................139 3.14.1. Exemplo numérico ...................................................................................................................139 3.15. esforços nos elementos no sistema local ........................................................................141 3.15.1. Elemento de Pórtico Plano.......................................................................................................141 3.15.2. Exemplo numérico ...................................................................................................................142 3.15.3. Exemplo 3 – Treliça plana .......................................................................................................144 3.15.4. Exemplo 4 – Pórtico plano.......................................................................................................147 4. Processo de Cross.................................................................................................................... 153 4.1. Princípios do processo......................................................................................................153 4.2. Momentos de engastamento perfeito................................................................................154 4.3. Rigidez das barras e coeficientes de transmissão.............................................................155 4.3.1. Barra bi-engastada ...................................................................................................................155 4.3.2. Viga engastada-rotulada...........................................................................................................155 4.4. Convenção de sinais .........................................................................................................156 4.5. Coeficientes de distribuição .............................................................................................156 4.6. Processo de Cross para estruturas indeslocáveis..............................................................158 4.6.1. Processo de Cross para um nó apenas (um grau de liberdade-rotação) ...................................158 4.6.2. Processo de Cross para dois ou mais nós.................................................................................168 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 4 4.6.3. Exercícios propostos ................................................................................................................175 1.6. Explorando a simetria..................................................................................................179 1.6.1. Vigas contínuas simétricas.......................................................................................................179 1.6.2. Pórticos planos simétricos........................................................................................................184 1.7. Momentos de engastamento perfeito para o caso de recalques...................................187 1.8. Processo de Cross para estruturas deslocáveis............................................................187 1.8.1. Exemplo ...................................................................................................................................190 2. Bibliografia ..................................................................................................................... 195 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 5 1. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES 1.1.INTRODUÇÃO Entende-se por estrutura a parte da construção responsável pela estabilidade e pela resistência a ações externas. A estrutura submetida a ações externas deve tanto apresentar segurança quanto à ruptura dos materiais utilizados como também quanto à estabilidade global ou parcial de todos seus elementos; além disso deve demonstrar bom desempenho estrutural, no que diz respeito a deformações e durabilidade, de acordo com o fim e vida útil para a qual foi projetada. Definido o sistema construtivo e o tipo de material a ser utilizado, seja concreto armado ou protendido, madeira, aço, argamassa armada ou alvenaria estrutural, a primeira fase de um projeto estrutural é a Análise Estrutural. O objetivo geral da Análise Estrutural pode ser descrito como: • Dada uma estrutura, com características geométricas (geometria, dimensões) e mecânicas (vinculação, propriedades dos materiais) conhecidas, submetidas a certas ações, que podem ser tanto cargas (forças ou binários) como deformações impostas (recalques de apoio, deformações devido à variação de temperatura ou retração, ...), • Determinar os deslocamentos (translações e/ou rotações) de todos os pontos da estrutura; os esforços internos decorrentes das deformaçõesproduzidas por estes deslocamentos (esforço axial, cortante, de flexão e de torção) e determinar também as reações vinculares. A primeira etapa da Análise Estrutural consiste em estabelecer o modelo estrutural a ser adotado. As estruturas podem ser tratadas globalmente, ou divididas em diversos elementos. Com relação a suas dimensões, as estruturas podem ser classificadas em reticuladas, laminares e tridimensionais. A estrutura é reticulada quando uma dimensão predomina em relação às outras duas. São em geral denominadas barras, cujo eixo, que pode ser reto ou curvo, é muito mais longo do que as dimensões da seção transversal. A estrutura é laminar quando duas dimensões predominam em relação à terceira. Têm-se como exemplo as chapas, as paredes, as placas e as cascas, sendo sua espessura bem menor do que suas outras dimensões; ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 6 A estrutura é tridimensional quando nenhuma direção é predominante. É o caso de blocos de fundação, alguns tipos de barragens, etc ... As estruturas podem ainda ser classificadas em hipoestáticas, isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). As estruturas são consideradas hipoestáticas quando seus movimentos de corpo- rígido não são restringidas e elas não atingem portanto uma configuração de equilíbrio estável. Elas são consideradas quando são restringidas a movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio estático. E finalmente, elas são consideradas hiperestáticas quando são restringidas a movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é maior do que o número de equações de equilíbrio estático. Será admitido nesta disciplina que as estruturas são lineares, ou seja, apresentam pequenos deslocamentos e deformações e são compostas de material elástico-linear. A maioria das estruturas utilizadas na prática é hiperestática ou estaticamente indeterminada. O grau de hiperestaticidade da estrutura será definido no próximo item, 1.2. As estruturas hiperestáticas podem ser analisadas através de dois métodos clássicos da Análise Estrutural: Método das Forças e Método dos Deslocamentos, ou ainda por um método aproximado conhecido como Processo de Cross; estes métodos serão descritos brevemente no item 1.3. O objetivo geral desta disciplina é capacitar o aluno a analisar estruturas reticuladas hiperestáticas, com ênfase em estruturas planas, determinando seus esforços internos e deslocamentos generalizados. Serão apresentados nesta apostila os três métodos de resolução de estruturas hiperestáticas, sendo o Método das Forças apresentado no Capítulo 2, o Método dos Deslocamentos no Capítulo 3 e o Processo de Cross no Capítulo 4. Como objetivo específico, pretende-se introduzir o aluno na utilização de programas computacionais para Análise Estrutural, através do uso do Programa Educacional ANEST. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 7 1.2.GRAU DE HIPERESTATICIDADE O grau de hipertestaticidade de uma estrutura pode ser externo ou interno. O grau de hiperestaticidade externo (ge) é dado por nrerge −−= , (1.1) sendo r o número de reações, e o número de equações da estática e nr o número de equações provenientes de rótulas. Este último é expresso por 1−= bnr , (1.2) sendo b igual ao número de barras ligas à rótula. O grau de hiperestaticidade interno (gi) é igual ao número de esforços internos necessários ao traçado de diagramas, conhecidas as reações. 1.1.1. Estruturas externamente hiperestáticas 1=eg 2=eg 1236 =−−=eg nbrge 2−+= 1074 −+=eg 1135 =−−=eg 1.1.2. Estruturas internamente hiperestáticas 3=ig 6=ig nbrgi 2−+= 1863 =−+=ig ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 8 1.1.3. Estruturas externa e internamente hiperestáticas ie ggg += ( ) 4334 =+−=g ie ggg += ( ) 9636 =+−=g 1.3.MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 1.1.4. Método das Forças (ou dos Esforços ou da Flexibilidade) Incógnitas: forças Equações: compatibilidade de deslocamentos * Processo: liberam-se os vínculos excedentes ou hiperestáticos Sistema de equações (matricialmente): matriz de flexibilidade da estrutura Obs: Métodos dos 3 momentos → caso particular, vigas contínuas * Deslocamentos: podem ser obtidos por: Método de Integração direta; Método de Mohr; Teorema de Castigliano; Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV); Tabelas; Obs: Os dois últimos métodos (PTV e Tabelas) serão os mais utilizados. 1.1.5. Método dos deslocamentos (ou das deformações ou da rigidez) Incógnitas: deslocamentos (dos nós, ligações entre barras) Equações: equilíbrio de forças em torno dos nós Processo: fixar todos os deslocamentos dos nós possíveis (graus de liberdade) Sistema de Equações (matricialmente) → Matriz de rigidez da estrutura. Integração Tabelas de Kurt-Beyer ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 9 Obs: Método mais adequado para implementação computacional, sendo o mais utilizado atualmente. 1.1.6. Método de Cross É um método aproximado, baseado no Método dos Deslocamentos. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 10 2. MÉTODO DAS FORÇAS 1.4.ESTRUTURAS EXTERNAMENTE HIPERESTÁTICAS 1.1.1. Estruturas uma vez hiperestáticas (ge = 1) Seja uma viga engastada-apoiada como mostrado na Figura 2-1. Esta viga apresenta rigidez à flexão igual a EI e grau de hiperestaticidade externo (ge) igual a 1. Para determinar os esforços internos desta estrutura pelo Método das Forças, é necessário determinar o seu sistema principal. A determinação deste sistema consiste na substituição das vinculações excedentes por suas respectivas forças reativas de tal modo que as condições de compatibilidade de deslocamentos sejam respeitadas. q A l B q A l B Figura 2-1: Viga engastada-apoiada A Figura 2-2 apresenta dois sistemas principais possíveis para a viga engastada- apoiada mostrada na Figura 2-1. A condição de compatibilidade para o sistema principal da Figura 2-2a é o deslocamento vertical nulo em B, enquanto que para o sistema principal da Figura 2-2b a rotação no ponto A que deve ser nula. q l RB A B q A l MA (a) (b) q l RB A B q l RB A B q A l MA q A l MA (a) (b) Figura 2-2: Sistemas principais com os respectivos hiperestáticos Supondo-se que a estrutura esteja sujeita a pequenas deformações, pode-se determinar o valor dos hiperestáticos pela superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático em questão (BEER e JOHNSTON 1982; POPOV 1978; TIMOSHENKO 1967). Adotando-se o sistema principal da Figura 2-2a, sabe-se que o deslocamento produzido por uma carga uniformemente distribuída em uma viga engastada (Figura 2-3b) é de ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 11 EI ql∆CB 8 4 += , (2.1) e que o deslocamento produzido na mesma estrutura por uma carga concentrada RB é de EI lR∆ BRB 3 3 −= .(2.2) B l A R B∆ RB (c) q A l B c B∆ (b) B q l A (a) ≡ B l A R B∆ RB (c) B l A R B∆ RB (c) q A l B c B∆ (b) q A l B c B∆ q A l B c B∆ (b) B q l A (a) B q l A (a) ≡ Figura 2-3: Superposição dos efeitos Sabendo-se que o deslocamento vertical no ponto B é nulo, têm-se 0=∆+∆=∆ RBCBB , (2.3) 0 38 34 =− EI lR EI ql B , (2.4) qlRB 8 3= . (2.5) Conhecida a reação em B, em seguida pode-se determinar os esforços internos na estrutura, utilizando a viga isostática mostrada na Figura 2-4. B q l ql 8 3 A B q l ql 8 3 A Figura 2-4: Sistema principal com o valor do hiperestático determinado A fim de formalizar o Método das Forças para o sistema uma vez indeterminado da Figura 2-1, adota-se o sistema principal da Figura 2-2a. Aplicando-se um carregamento unitário no ponto B, este se deslocará de δB (Figura 2-5). Portanto, aplicando-se uma força RB, obter-se-á um deslocamento igual a (RB. δB). B l A B δ 1 B l A B δ 1 Figura 2-5: Deslocamento produzido por uma força unitária ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 12 Chamando-se de CBδ o deslocamento em B provocado pela carga uniformemente distribuída CB∆ , e chamando de RBδ o deslocamento em B provocado pela carga concentrada unitária (Figura 2-5) tem-se 0=⋅+ RBBCB R δδ . (2.6) Logo R B C B BR δ δ−= . (2.7) Neste curso, será adotada a convenção proposta por SUSSEKIND, sendo os hiperestáticos denominados de R1, R2, R3 ou X1, X2, X3... (incógnitas do problema) e os deslocamentos generalizados de ijδ . O índice i indica o local onde ocorre o deslocamento generalizado e o índice j indica a causa deste deslocamento. Os deslocamentos generalizados provocados pelo carregamento externo apresentarão o índice j igual a zero ( 0iδ ). Portanto, para o exemplo da Figura 2-2a, o deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pelo carregamento externo é expresso por 10δ e o deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pela força unitária é expresso por 11δ . q X1 B l A q X1 B l A ≡ q A l B 10δ q A l B 10δ B l A 11 δ 1 B l A 11 δ 1 Sistema principal e hiperestático (0) (I) Figura 2-6: Decomposição dos efeitos das cargas e hiperestáticos sobre a viga O deslocamento no ponto B na direção do hiperestático 1 é nulo, portanto a condição de compatibilidade de deslocamentos é 011110 =⋅+ δδ X . (2.8) Logo 11 10 1 δ δ−=X . (2.9) No exemplo da Figura 2-2a EI ql 8 4 10 −=δ e (2.10) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 13 EI l 3 1 3 11 ⋅=δ . (2.11) Substituindo os valores na equação acima, têm-se EI l EI ql X 3 1 8 3 4 1 ⋅ − −= , (2.12) qlX 8 3 1 −= . (2.13) Outro sistema principal possível seria o da Figura 2-2b, na qual o hiperestático X1 representa o momento no engaste A. q A l X1 q A l X1 Figura 2-7: Sistema principal e hiperestático Sabe-se que a rotação no ponto A da viga engastada-apoiada (Figura 2-1) é nula. Portanto, a soma da rotação causada pela carga distribuída com a rotação causada pelo hiperestático X1 deve ser nula (Figura 2-8) ( 01 =δ , ou seja, 0=Aθ ). ≡ q A l X1 + δ11 A l X1 q A lδ10 (I)(0) (a) (b) (c) ≡ q A l X1 + δ11 A l X1 q A lδ10 ≡ q A l X1 q A l X1 + δ11 A l X1 δ11 A l X1 q A lδ10 q A l q A lδ10 (I)(0) (a) (b) (c) Figura 2-8: Superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático Utilizando a nomenclatura proposta por SUSSEKIND e supondo que 1δ é positivo no sentido de X1, obtém-se de tabelas que a rotação em A (ponto 1) produzida por uma carga distribuída (Figura 2-8b) é EI ql 24 3 10 −=δ (2.14) e a rotação em 1 (ponto A) produzida pelo momento unitário aplicado em 1 (ponto A) é ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 14 EI l 3 1 11 ⋅+=δ . (2.15) Utilizando-se a condição de compatibilidade de rotação, têm-se 011110 =⋅+ δδ X , (2.16) 0 3 1 24 1 3 =⋅⋅+− EI lX EI ql , (2.17) 8 2 1 qlX = , (2.18) sendo X1 o momento reativo em A e o seu sinal positivo indica que o sentido arbitrado está correto. Para serem determinados os esforços internos da estrutura, emprega-se o sistema principal utilizado q A l B 8 2ql HA VA VB ql 8 5 8 3 DEC 8 ql MmaxDMF q A l B 8 2ql HA VA VB ql 8 5 8 3 DEC 8 ql MmaxDMF Cálculo das reações qlqlql l ql qlVA 8 5 82 8 2 2 =+=+= qlqlql l ql qlVB 8 3 82 8 2 2 =−=−= Cálculo do momento máximo O momento é máximo quando o esforço cortante é nulo. q V x B ql 8 3N q V x B ql 8 3N Tomando-se um segmento de viga acima e efetuando-se o equilíbrio de forças e momentos, têm-se ∑ = 0F , 083 =−= qlqxV , lx 83= . 2 max 8 3 28 3 8 3 − ⋅ =+ lqlqlM , 2 max 128 9 qlM =+ ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 15 1.4.1.1. Exemplo 1- Pórtico plano Traçar os diagramas de esforços do pórtico plano mostrado na Figura 2-9. 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C Figura 2-9: Pórtico uma vez hiperestático Para determinar os diagramas de esforços do pórtico plano ilustrado pela Figura 2-9 é necessário primeiramente determinar as suas reações. Como o pórtico é hiperestático, utilizar-se-á o Método das Forças para a determinação das reações redundantes. Para a aplicação do Método das Forças, supõem-se que o material segue a lei de Hooke e que as condições são tais que os pequenos deslocamentos devidos à deformação da estrutura não afetam a ação das forças exteriores e são desprezíveis no cálculo das tensões. Com estas duas restrições, os deslocamentos de um sistema elástico são funções lineares das cargas exteriores. Se as cargas crescem numa certa proporção, todos os deslocamentos crescem na mesma proporção (TIMOSHENKO 1967; POPOV 1978; BEER e JOHNSTON 1982). Para resolver o pórtico da Figura 2-9 pelo Método das Forças, substitui-se o vínculo redundante por sua respectiva força reativa, tornando a estrutura isostática como o mostrado na Figura 2-10b. 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C (a) 5m 3m 50 kN B X1 (b) 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C (a) 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C 5m 3m 50 kN EI EI EI A B D C (a) 5m 3m 50 kN B X1 (b) 5m 3m 50 kN B X1 (b) Figura 2-10: Pórtico com a sua estrutura principal e o seu hiperestático ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 16 Da Figura 2-10a, sabe-se que o deslocamento horizontal do ponto no qual esta sendo aplicada a força X1 é nulo (δ1= 0). Como o material é elástico e a estrutura esta submetida a pequenasdeformações, pode ser usada a superposição dos efeitos devidos aos carregamentos. Portanto o deslocamento horizontal no ponto 1 (onde está sendo aplicado o hiperestático) provocado pelo carregamento externo mais o deslocamento horizontal no ponto 1 provocado pelo hiperestático X1 deve ser nulo para que a condição de compatibilidade de deslocamentos no ponto 1 seja obedecida. 0111101 =+= δδδ X (2.19) 50 kN δ10(a) 1 δ11(b) 50 kN δ10(a) 50 kN δ10 50 kN δ10(a) 1 δ11(b) 1 δ11(b) Figura 2-11: Deslocamentos provocas na estrutura pelo carregamento externo e por uma carga unitária. Para determinar o valor do hiperestático X1 é preciso, primeiramente, determinar os deslocamentos generalizados δ10 e δ11. Estes deslocamentos podem ser encontrados através do Princípio dos Trabalhos Virtuais (TIMOSHENKO, 1967; POPOV, 1978; SUSSEKIND, 1994). Segundo o teorema do Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicados aos corpos elásticos, o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. eie WW δδ = (2.20) A escolha do estado de carregamento deve ser tal que a carga virtual P associada ao deslocamento δ (que se deseja calcular) forneça um trabalho virtual de forças externas igual a δ⋅P . (2.21) Em uma estrutura , primeiramente aplica-se uma força imaginária ou virtual P na direção que se deseja calcular os deslocamentos. A força P causa esforços internos virtuais de flexão ( M ), tração ou compressão ( N ), de cisalhamento (V ) e de torção (T ) através do corpo. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 17 Em seguida, com a força virtual atuando sobre a estrutura, aplicam-se as forças reais ou induzem-se as deformações específicas. Estas deformações podem ser provocadas pelo carregamento, pela variação de temperatura, por recalques dos apoios ou modificações impostas na montagem. O trabalho externo realizado pela força virtual P, movendo-se de δ na direção dessa força é igual ao trabalho total realizado nos elementos internos pelas forças virtuais ( M , N ,V e T ). O trabalho realizado pela força virtual é dado pela deformação de todos os elementos dx ao longo da estrutura. Compreende-se por deformação as deformações devidas à flexão, ao esforço normal ao cisalhamento e à torção. θγϕ dTdQNdMW llll ∫∫∫∫ ++∆+=int , (2.22) sendo dϕ as rotações devidas ao carregamento real, ∆ os alongamentos ou encurtamentos devidos ao carregamento real, γ as deformações angulares e θ as deformações devidas às torções. dx GJ TTdx GA VVdx EA NNdx EI MMP tllll ∫∫∫∫ +++=⋅ χδ , (2.23) onde M , N ,V e T são os esforços produzidos pela carga virtual; M, N, V e T são os esforços produzidos pelo carregamento real; E é o módulo de elasticidade longitudinal, G é o módulo de elasticidade transversal, I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao seu eixo que passa pelo seu baricentro; A é a área da seção transversal e Jt é momento de inércia à torção. Na prática, a contribuição de algumas parcelas de deformação pode ser desprezada em relação às outras, dependendo da sua importância relativa. A deformação devido ao cisalhamento pode ser negligenciada para a maioria de vigas e pilares normalmente utilizados na construção civil, porém esta parcela de deformação é importante para estruturas em madeira, estruturas com vãos curtos, em estruturas com cargas elevadas. A parcela de deformação axial pode ser desprezada em peças que não trabalhem fundamentalmente com esforço normal. Neste exemplo somente serão conservadas as deformações relativas à flexão. Portanto ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 18 ∫=⋅ l dx EI MMP δ . (2.24) Efetuando-se a integração das deformações ao longo das três barras do pórtico da Figura 2-10 e considerando a força virtual igual a 1, tem-se ∫∫∫ ++=⋅ lll dx IE MMdx IE MMdx IE MM 3 33 33 2 22 22 1 11 111 δ . (2.25) Para a determinação do deslocamento generalizado δ10, têm-se os estados de deformação e de carregamento mostrados na Figura 2-12. Visto que a solução dessas integrais são encontradas em tabelas como propõe SUSSEKIND (1994). Estado de deformação Estado de carregamento 30 50 50 30 REAL 1 VIRTUAL P=1 150 M M 33 Figura 2-12: Estados de deformação e de carregamento para o cálculo de δ10 As reações e os esforços solicitantes mostrados para os estados de deformação e de carregamento (Figura 2-12) são determinados utilizando-se as equações de equilíbrio de estática, como estudado na disciplina ECV 5219–Análise estrutural I. Após a determinação dos momentos nas barras efetua-se a combinação, barra a barra, desses esforços a fim de se determinar o valor tabelado das integrais da equação acima (Tabela 2-1). ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 19 Tabela 2-1: Combinação dos diagramas de momentos fletores Barra 1 Barra 2 Barra 3 43421 m3L 1 = 150 L 1 = 150 MMlMdxM l 11 3 1 1 =∫ MMlMdxM l 22 2 1 2 =∫ 0 3 3 =∫ l MdxM Como a rigidez à flexão é constante ao longo de toda a estrutura, pode-se escrever ( ) ∫∫∫ ++=⋅ lll MdxMMdxMMdxMkNEI 321101 δ . (2.26) Das combinações mostradas na Tabela 2-1, obtêm-se: ( ) ( )( )( ) ( )( )( )mkNmkNmmkNmkNmkNEI ⋅−⋅+⋅−⋅=⋅ 31505 2 131503 3 11 10δ . (2.27) ( ) 323210 4504501 mkNmkNkNEI ⋅−⋅−=δ . (2.28) 3 10 1575 mkN EI ⋅−=δ (2.29) O cálculo do deslocamento horizontal em 1 devido à carga unitária na direção do hiperestático X1 (δ11)é efetuado a partir dos estados de deformação e de carregamento mostrados na Figura 2-13. As reações e os esforços solicitantes mostrados para os estados de deformação e de carregamento (Figura 2-13) são determinados utilizando-se as equações de equilíbrio de estática. Após a determinação dos momentos fletores nas barras, efetua-se a combinação, barra a barra, desses esforços a fim de determinar o valor tabelado das integrais da equação acima (Tabela 2-1). ( ) ∫∫∫ ++= 321 321111 lll MdxMMdxMMdxMkNEI δ . (2.30) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 20 Estado de deformação Estado de carregamento 1 REAL VIRTUAL P=1 M 33 M 33 Figura 2-13: Estados de deformação e de carregamento para o cálculo de δ11 Tabela 2-2: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ11 Barra 1 Barra 2 Barra 3 -3 -3 -3 -3 -3 MMlMdxM l 11 3 1 1 =∫ MMlMdxMl 222 =∫ MMlMdxMl 33 3 1 3 =∫ Das combinações mostradas na Tabela 2-2, obtêm-se: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )333 3 1335333 3 11 11 −−+−−+−−=⋅⋅ δkNEI . (2.31) ( ) 32323211 945091 mkNmkNmkNkNEI ⋅+⋅+⋅=δ . (2.32) 3 11 63 mkN EI ⋅=δ (2.33) Substituindo os deslocamentos generalizados δ10 e δ11 na equação de compatibilidade, têm-se ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 21 0631575 31 3 =⋅⋅+⋅− mkN EI XmkN EI , (2.34) 25 63 1575 1 ==X , (2.35) kNX 251 = . (2.36) Para a determinação do deslocamento generalizado δ11, não é necessário traçarnovamente o diagrama de momento fletor, basta fazer ∫= barras II dx EI MM 11δ , (2.37) sendo IM o diagrama dos momentos fletores devido à carga unitária na direção do hiperestático X1. Para a determinação do deslocamento generalizado δ10, tem-se ∫= barras I dx EI MM 0 10δ , (2.38) sendo M0 o diagrama dos momentos fletores devido ao carregamento externo. Portanto o valor dos deslocamentos generalizados é dado por ∫= barras ji ij dxEI MMδ . (2.39) Após o valor do hiperestático X1 ter sido determinado, as reações e os esforços internos no pórtico isostático são calculados utilizando-se as equações de equilíbrio da estática. 50 VA=30 VB=30 HA=25 25 3m 5m kNHF AX 25,0 ==∑ BA Y VV F = =∑ 0 0=∑ AM ( ) mkNmkNVm B ⋅=×= 1503505 AB VkNV == 30 Figura 2-14: Reações de apoio do pórtico plano Após a determinação dos esforços internos, são traçados os seus respectivos diagramas como mostrado na Figura 2-15. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 22 -2 +30 - - + DEN (kN) + +25 - ++ -30 DEC (kN) - -75 +75 +75 DMF(kN*m) + - + - (a) Diagrama de esforço normal (b) Diagrama de esforço cortante (b) Diagrama de momento fletor Figura 2-15: Diagrama de esforços do pórtico plano 1.1.1.1. Exemplo 2 - Pórtico plano Determinar os diagramas de esforços do pórtico plano mostrado na Figura 2-16, cujos elementos estruturais apresentam uma seção retangular constante de 20 cm × 40 cm e módulo de elasticidade de 2 7102 m kN⋅ . No cálculo dos deslocamentos generalizados, considerar as deformações devidas à flexão e ao esforço normal. 6m 4m 40 kN 3m 3m Figura 2-16: Pórtico plano Para a determinação do diagrama de esforços do pórtico hiperestático mostrado na Figura 2-16, primeiramente as reações de apoio devem ser calculadas. Utilizando o Método das Forças para isto, tem-se que determinar inicialmente o sistema principal a ser utilizado (estrutura isostática mais o carregamento externo) (Figura 2-17) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 23 40 kN X1 Figura 2-17: Sistema principal e hiperestático do pórtico plano da Figura 2-16 Sabe-se que, para estruturas elásticas submetidas à pequenas deformações, o deslocamento total da estrutura pode ser determinado pela soma dos deslocamentos de cada uma das ações. Portanto, os deslocamentos do pórtico isostático da mostrado na Figura 2-17 pode ser determinado como sendo a soma dos efeitos mostrados na Figura 2-18, sendo δ10 o deslocamento na direção do hiperestático X1 devido ao carregamento e δ11 o deslocamento na direção do hiperestático X1 devido à carga unitária na direção do hiperestático X1. 40 kN + X1 X1 40 kN . 1 Figura 2-18: Superposição de efeitos Da Figura 2-16, sabe-se que o deslocamento em 1 é nulo (δ1=0), resultando na equação de compatibilidade de deslocamentos .011110 =⋅+ δδ X (2.40) Neste exemplo serão consideradas no cálculo dos deslocamentos generalizados δij as contribuições do esforço normal e do momento fletor. Portanto dx EA NN dx EI MM l ji l ji ij ∫∫ +=δ , (2.41) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 24 sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seção transversal das barras e I o momento de inércia da seção transversal. O momento de inércia da seção retangular da barra é ( ) ( ) 433 001067,0 12 4,02,0 12 mmmhbI =⋅=⋅= . (2.42) A área da seção transversal é ( ) ( ) 208,04,02,0 mmmhbA =⋅=⋅= . (2.43) e ,10160 24 mkNEA ⋅⋅= . (2.44) 2410133,2 mkNEI ⋅⋅= . (2.45) O cálculo dos deslocamentos generalizados é realizado a partir dos diagramas dos esforços normais e fletores da situação 0 (devido ao carregamento externo) e da situação I (devido ao hiperestático X1). Os diagramas dos esforços N0 e M0 são mostrados na Figura 2-19 e os diagramas N1 e M1 são mostrados na Figura 2-20. 40 kN HA=0 1 2 20 N0 - -20 20 3 - -20 + M0 60 Figura 2-19: Diagramas N0, M0 devido ao carregamento As reações e os esforços internos mostrados na Figura 2-19 e na Figura 2-20 foram calculados a partir do pórtico isostático utilizando unicamente as equações de equilíbrio da estática. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 25 - N1 M1 1 2 +3 -- - - 4m 2m -6 -1 1/3 1 1 6m -1/3 -4 -4 -6 +1/3 1/3 Figura 2-20: Diagramas N1, M1 devido a carga unitária na direção 1 O cálculo do deslocamento generalizado δ10 será realizado pela equação dx EI MMdx EA NN ll ∫∫ += 010110δ , (2.46) sendo 1N = N1 e 1M = M1 (Figura 2-20). A Tabela 2-3 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais 1N e N0. Tabela 2-3: Combinação dos esforços 1N e N0 para o cálculo de δ10 Barra 1 Barra 2 Barra 3 +- -20 13 l1=4m Combinação nula 011101 1 NNldxNN l =∫ 013301 3 NNldxNN l =∫ A Tabela 2-4 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais M1 e M0. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 26 Tabela 2-4: Combinação dos esforços M1e M0 para o cálculo de δ10 Barra 1 Barra 2 Barra 3 Combinação nula 60-4 - + -260 - + Combinação nula 012301 2 NNldxNN l =∫ dx EI MMdx EA NN ll ∫∫ += 010110δ , (2.47) EIEA 900 3 40 10 −+=δ , (2.48) )(1086,421)1094,421()10083,0( 10133,2 900 101603 40 444 4410 m −−− ⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅⋅=δ , (2.49) O cálculo do deslocamento generalizado δ11 será realizado utilizando a equação dx EI MMdx EA NN ll ∫∫ += 111111δ . (2.50) (Figura 2-20). A Tabela 2-5 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais N1 e N1 cujo valor da contribuição é dado por ( ) ( )( )( ) ( ) EA mmm EA dx EA NN l 3 64 3 1 3 16116 3 1 3 14111 = − −+−−+ =∫ . (2.51) Tabela 2-5: Combinação dos esforços N1 e N1 para o cálculo de δ11 Barra 1 Barra 2 Barra 3 1 3 1 3 + + -1 -1 - - - 13 - 1 3 - - 111111 1 NNldxNN l =∫ 112211 2 NNldxNN l =∫ 113311 3 NNldxNN l =∫ A Tabela 2-6 mostra a combinação dos diagramas de momentos fletores M1 e M1, sendo o valor da integral dos momentos na barra 2 é dada por ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 27 ( ) ( ) ( )[ ]{ } 156462664246 6 1 2 211 =+⋅⋅++⋅⋅=∫ mdxMM l (2.52) e a contribuição total devido ao momento fletor é dada por ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −−++−−=∫ 66361564434111 mmEIdxEIMMl , (2.53) EIEI dx EI MM l ⋅ = ++=∫ 37363216156364111 . (2.54) dx EI MMdx EA NN ll ∫∫ += 111111δ , (2.55) 4411 10133,23 736 101609 64 3 736 9 64 ⋅⋅+⋅⋅=+= EIEAδ , (2.56) 444 11 1006,1151002,11510044,0 −−− ⋅=⋅+⋅=δ . (2.57) Tabela 2-6: Combinação dos esforços M1 e M1 para o cálculo de δ11 Barra 1 Barra 2 Barra 3 -- 44 l1=4m - -4 6 6 l2=6m6 -- 6 l3=6m 111111 3 1 1 MMldxMM l =∫ ( )( ) + ++=∫ ABB BAA l MMM MMM ldxMM 111 111 2211 2 2 6 1 1 113311 3 1 3 MMldxMM l =∫ Substituindo os deslocamentos generalizados δ10 e δ11 na equação de compatibilidade, têm-se 0631575 31 3 =⋅⋅+⋅− mkN EI XmkN EI , (2.58) ( ) 4 4 1 1006,115 1086,421 − − ⋅ ⋅−−=X , (2.59) 67,31 kNX += . A reação hiperestática é positiva (2.60) Após a determinação da reação hiperestática, determinam-se as reações do pórtico isostático (Figura 2-17) utilizando as reações de equilíbrio da estática cujos valores são mostrados na Figura 2-21. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 28 3m 40 kN 3m 6m 3,67 21,2 18,8 3,67 4m kNV kNV V kNH A B B A 8,18 2,21 0267,33406 67,3 = = =⋅−⋅− = Figura 2-21: Reações no do pórtico mostrado na Figura 2-16 Conhecendo-se as reações é possível determinar os esforços internos e traçar os seus gráficos respectivos (Figura 2-22). Os esforços internos podem ser determinados pelo princípio das superposição dos esforços segundo as expressões mostradas na Figura 2-22. - - - -18,8 -21,2 -3,67 + - + - +18,8 -21,2 +3,67 -3,67 +41,65 -22,0 -14,7 -22,0 -14,7 110 NXNN += )kN(VXVV 110 += 110 MXMM += (a) Diagrama de esforço normal (b) Diagrama de esforço cortante (c) Diagrama de momento fletor Figura 2-22: Diagrrama de esforços internos do pórtico plano da Figura 2-16 Neste exemplo, se o esforço axial fosse desprezado, a diferença no resultado da reação hiperestática seria 0,02% (o que é muito pequeno). Como exercício didático, deverá ser recalculado os hiperestáticos considerando somente a contribuição dos momentos fletores. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 29 2.1.1. Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2) 1.4.1.2. Exemplo 1 - Viga engastada com dois apoios A Figura 2-23 apresenta um exemplo de estrutura duas vezes hiperestática. O grau de hiperestaticidade é determinado segundo o item 1.2 Esta estrutura apresenta cinco reações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal e um momento (Figura 2-24) q A Bl1 l2 C q A Bl1 l2 C Figura 2-23: Viga engastada com dois apoios O grau de hiperestaticidade é determinado pela expressão erge −= , (2.61) sendo r o número de reações e e o número de equações da estática. Portanto o grau de hiperestaticidade da viga mostrada na Figura 2-23 é 235 =−=eg (2.62) como foi afirmado anteriormente. RC RB RCRA C RBRA HA C MA q L2L1A B Figura 2-24: Reações da viga A viga mostrada na Figura 2-23 apresenta diversos sistemas principais possíveis como ilustra a Figura 2-25. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 30 (a) δB = 0 δC = 0 (b) M A θA = 0 δC = 0 (c) θA = 0 δC = 0 (d) θA = 0 D B E B θθ = ou rel Bθ Figura 2-25: Sistemas principais possíveis da viga mostrada na Figura 2-23 O sistema principal mostrado na Figura 2-25d costuma ser conveniente, especialmente quando o carregamento ou a rigidez são diferentes nos dois vãos. Este sistema apresenta condições de compatibilidade de rotação similar ao Método dos Três Momentos. O sistema principal mostrado na Figura 2-25a apresenta a visualização mais fácil dos efeitos do carregamento e dos hiperestáticos (Figura 2-26) X1 X2 l2l1 q 10δ δ q 0) l1 l2 1 1) X1vezes l1 l2 12δ 2δ 2) X2vezes Figura 2-26: Deformação do carregamento e dos hiperestáticos As condições de compatibilidade de deslocamentos fornecem um sistema de duas equações e duas incógnitas: 00 122111101 =⋅+⋅+→= δδδδ XX , (2.63) 00 222211202 =⋅+⋅+→= δδδδ XX . (2.64) O sistema de equações pode ser reescrito como ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 31 −=⋅+⋅ −=⋅+⋅ 20222121 10212111 δδδ δδδ XX XX . (2.65) que pode ser reescrito sob a forma matricial: δ δ−= δδ δδ 20 10 2 1 2221 1211 X X . ou (2.66) 0δXδ −=⋅ , (2.67) onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor de esforços ou forças (incógnitas) e 0δ é o vetor de deslocamento devido à ação do carregamento. Para se obter o vetor de incógnitas é necessário inverter a matriz de flexibilidade da estrutura: 0δδX 1−−= , (2.68) sendo Kδ =−1 a matriz de rigidez da estrutura. Em geral, para vigas contínuas, é mais conveniente adotar o sistema principal mostrado na Figura 2-25iv, conforme será visto no próximo exemplo. Os coeficientes δij podem ser obtidos por diversos métodos, neste curso será usado o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). 1.4.1.3. Exemplo - Viga contínua com três vãos Seja a viga contínua com três vãos, com dois graus de hiperestaticidade e rigidez à flexão (EI) constante (Figura 2-27). 2m 2m3m 3m 10 kN/m 40 kN 20 kN/m B DCA Figura 2-27: Viga contínua com três vãos O sistema principal adotado para a resolução do problema é representado pela Figura 2-28. O sistema apresenta as rotações relativas entre as barras ligadas pelas 1 e 2 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 32 como sendo nula. Destas condições resultam as equações de compatibilidades expressas por 01 =−= DBEB θθδ , (2.69) 02 =−= DcEc θθδ , (2.70) 3m2m2m3m X1 X2 Figura 2-28: Sistema principal da viga contínua mostrada na Figura 2-27. A Figura 2-29 apresenta os diagramas de esforços da situação 0 (M0) para o sistema principal da Figura 2-28. 40kN 20kN/m 10kN/m + + + 10.9 = 11,25 8 40.4 = 40 4 20.9= 22,50 8 0) M0 Figura 2-29: Momentos fletores do sistema principal causados pelo carregamento. A Figura 2-30 apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento unitário aplicado na direção dos hiperestáticos X1. -1 -1 M1 -1 Figura 2-30: Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção do hiperestático X1 A Figura 2-31 apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento unitário aplicado na direção dos hiperestáticos X2. Os momentos ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 33 1 1 -1 M2 Figura 2-31: Diagrama de momentos devidos à um mom. unitário aplicado na direção dos hiperestáticos X2 Para se obter a rotação relativa na rótula 1, aplicam-se os binários unitários. Faz-se o mesmo para a rótula 2. Portanto, para obter-se rotação relativa na rótula 1 devido ao carregamento 0, ou seja δ10, utilizando PVT, basta fazer ∫= barras dx EI MM 01 10δ , (2.71) visto que o esforço axial é nulo neste exemplo. Procede-se analogamente para determinar os demais coeficientes δij. O sistema de equações de compatibilidade é =++ =++ 0.. 0.. 22221120 12211110 XX XX δδδ δδδ . (2.72) Para a determinação de δ10 procede-se a combinação mostrada naTabela 2-7, resultando ( )( ) ( )( )( )( )4015,014 6 125,1113 3 1 10 −++⋅−=⋅ mmEI δ , EI 25,51 10 −=δ . (2.73) Tabela 2-7: Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de δ10 Barra 1 Barra 2 Barra 3 + -1 11,25 40 + -1 Combinação nula max11101 3 1 1 MMldxMM l =∫ ( ) 012201 161 2 MMldxMM l α+=∫ ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 34 Para a determinação de δ20 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-8, resultando ( )( )( )( ) ( )( ) 5,2213 3 14015,014 6 1 20 ⋅−+−+=⋅ mmEI δ , EI 5,62 20 −=δ . (rad) (2.74) Tabela 2-8: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ20 Barra 1 Barra 2 Barra 3 Combinação nula 40 + 1 40 + 1 + 22,5 1 + 22,5 1 ( ) 022202 16 1 2 MMldxMM l α+=∫ max23302 31 3 MMldxMM l =∫ Para a determinação de δ11 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-9, resultando ( )( )( ) ( )( )( )114 3 1113 3 1 11 −−+−−=⋅ mmEI δ , EI3 7 11 =δ . (rad/kN) (2.75) Tabela 2-9: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ11 Barra 1 Barra 2 Barra 3 -1 -1 -1 + -1 Combinação nula 111111 3 1 1 MMldxMM l =∫ 112211 31 2 MMldxMM l =∫ Para a determinação de δ21 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-10, resultando ( )( )( )114 6 1 12 −−=⋅ mEI δ , EI3 2 12 =δ . (rad/kN.m) (2.76) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 35 Tabela 2-10: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ12 Barra 1 Barra 2 Barra 3 Combinação nula 1 Combinação nula 212221 6 1 2 MMldxMM l =∫ Para a determinação de δ22 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-11, resultando ( )( )( ) ( )( )( )113 3 1114 3 1 22 −−+−−=⋅ mmEI δ , EI3 7 22 =δ .(rad/kN.m) (2.77) Tabela 2-11: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ22 Barra 1 Barra 2 Barra 3 Combinação nula -1 -1 -1 + -1 112111 3 1 2 MMldxMM l =∫ 113211 31 3 MMldxMM l =∫ Substituindo os deslocamentos generalizados na equação (2.72), obtém-se =++− =++− 0X 3 7 X 3 25,62 0X 3 2 X 3 725,51 21 21 . (2.78) mkNX ⋅= 60,151 . (2.79) mkNX ⋅= 33,222 . (2.80) Os esforços podem ser obtidos a partir do sistema principal, isostático, empregando o princípio da superposição dos efeitos ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 36 22110 MXMXMM ⋅+⋅+= . (2.81) Os valores máximos (e mínimos) do momento fletor correspondem aos pontos onde o esforço cortante muda de sinal. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a partir delas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. As reações podem ser calculadas a partir dos trechos da viga contínua (Figura 2-32), cujos momentos fletores internos foram determinas a partir dos hiperestáticos. Como atividade didática, devem ser calculadas as reações nos apoios e concluídos os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores. 10 kN/m A B 3 m 15,6 kN·m 10 kN/m A B 3 m 15,6 kN·m B C 40 kN 2 m 2 m 15,6 kN·m 22,33 kN·m B C 40 kN 2 m 2 m 15,6 kN·m 22,33 kN·m C 20 kN/m 3 m D 22,33 kN·m C 20 kN/m 3 m D 22,33 kN·m Figura 2-32: Trechos da viga contínua 10 kN/m A B C 20 kN/m40 kN 3 m 3 m2 m 2 m D 15,6 kN·m 22,33 kN·m 15,6 kN·m 15,6 kN·m 22,33 kN·m 21,035 kN·m 22,5 kN·m 10 kN/m A B C 20 kN/m40 kN 3 m 3 m2 m 2 m D 15,6 kN·m 22,33 kN·m10 kN/m A B C 20 kN/m40 kN 3 m 3 m2 m 2 m D 15,6 kN·m 22,33 kN·m 15,6 kN·m 15,6 kN·m 22,33 kN·m 21,035 kN·m 22,5 kN·m 15,6 kN·m 15,6 kN·m 22,33 kN·m 21,035 kN·m 22,5 kN·m Figura 2-33: Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores da viga da Figura 2-27. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 37 1.4.1.4. Exercício Uma viga contínua de quatro vãos tem, à esquerda, uma parte em balanço como se vê na figura. Determinar as reações e traçar os diagramas dos esforços internos da viga , no espaço indicado da Figura 2-34. I1 = 4375 cm4 e I2 = 4102 cm4. 3 m 6,67 kN/m B 150 kN 6 m 3 m7,5 m E 5 kN 3 m A C DI1I1 I2 I2 V M 3 m 6,67 kN/m B 150 kN 6 m 3 m7,5 m E 5 kN 3 m A C DI1I1 I2 I2 V M Figura 2-34: Viga contínua de quatro vão e seus esforços internos ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 38 1.1.2. Estruturas três vezes hiperestática (ge = 3) Seja o pórtico plano bi-engastado mostrado na Figura 2-35, do qual deseja-se determinar os esforços internos e traçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 6 reações devidas aos engastamentos em A e B, portanto o seu grau de hiperestaticidade (gh) é igual a 3. q F ge =3 Reações = 6 Equações = 3 A B C D q F ge =3 Reações = 6 Equações = 3 A B C D Figura 2-35: Pórtico plano bi-engastado Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico mostrado na Figura 2-35 é aquele mostrado pela Figura 2-36. F X1 X3 X2 q FF X1 X3 X2 q Figura 2-36: Sistema principal do pórtico mostrado na Figura 2-35 As condições de compatibilidade do sistema principal da Figura 2-36 é deslocamentos horizontal e vertical e rotação nulos no ponto B, o que resulta 01 =δ , 02 =δ e 03 =δ . Para determinar os esforços no ponto B, usar-se-á o princípio da superposição dos efeitos das cargas sobre o sistema principal (isostático), segundo o esquema mostrado na Figura 2-37. Superpondo a contribuição de deslocamento dessas cargas e aplicando as condições de compatibilidade para o ponto B da estrutura real (Figura 2-35), obtém- se o sistema de equações ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 39 0 0 0 333322311303 233222211202 133122111101 =⋅+⋅+⋅+= =⋅+⋅+⋅+= =⋅+⋅+⋅+= δδδδδ δδδδδ δδδδδ XXX XXX XXX , (2.82) que na forma matriz é expresso como sendo −= ⋅ 30 20 10 3 2 1 333231 2221 131211 δ δ δ δδδ δδδ δδδ X X X ou 00 δδXδXδ 1 ⋅−=∴−=⋅ − , (2.83) onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor das forças (incógnitas) e 0δ é vetor de deslocamento devido ao carregamento (conhecidos). F q + X1. + X2. 1 1 + X3. 1 (0) (1) (2) (3) Figura 2-37: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura 2-36 Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes δij podem ser obtidos pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para o pórtico plano, desprezando esforço por cisalhamento, tem-se dx EA NN dx EI MM l ji l ji ij ∫∫ +=δ , (2.84) sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seção transversal das barras, I o momento de inércia da seção transversal e l todas as barras da estrutura. Como Mi.Mj = Mj.Mi, tem-se δij = δji, ou seja, a matriz de flexibilidade é sempre simétrica,o que já foi demonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade de Betti- Maxwell, SUSSEKIND, 1994a). Para uma estrutura com gh = 3, deve-se determinar 6 coeficientes da matriz δ (δ11, δ22, δ33, δ12, δ13, δ23) e 3 coeficientes do vetor força δ0 (δ10, δ20, δ30). Resolvendo-se o sistema de equações (2.82) obtém-se X. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 40 1.1.2.1. Exemplo 1: Pórtico bi-engastado Determinar o diagrama de esforços do pórtico bi-engastado mostrado no Figura 2-38, desprezando a contribuição do esforço axial. 10 kN 5 kN 2 m 1 m 1 m 1 m A B D C 10 kN 5 kN 2 m 1 m 1 m 1 m A B D C Figura 2-38: Pórtico bi-engastado O sistema principal escolhido para a resolução do pórtico (Figura 2-38) é mostrado na Figura 2-39. 10 kN 5 kN A B DC X1 X3 X2 10 kN 5 kN A B DC X1 X3 X2 Figura 2-39: Sistema principal e hiperestáticos do pórtico da Figura 2-38 Para a determinação dos deslocamentos generalizados δij, é necessário a determinação das reações e dos esforços internos causados pelo carregamento (sistema 0) e pelo hiperestático X1 (sistema I). Utilizando-se as equações de equilíbrio, determinam-se as reações e os esforços internos do pórtico isostático do sistema principal causadas pelo carregamento (Figura 2-40) e pelo hiperestático X1 (Figura 2-41), X2 (Figura 2-42) e X3 (Figura 2-43). ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 41 10 kN 5 kN 3 10 3 5 kN 3 5 3 20 3 5 kN 3 25 5 kN 10 kN.m 5 10 5 kN.m 13,33 kN.m M0 10 kN 5 kN 3 10 3 5 kN 3 5 3 20 3 5 kN 3 25 5 kN 10 kN 5 kN 3 10 3 5 kN 3 5 3 20 3 5 kN 3 25 5 kN 10 kN.m 5 10 5 kN.m 13,33 kN.m M0 10 kN.m 5 10 5 kN.m 13,33 kN.m M0 Figura 2-40: Reações e diagrama momentos internos do sistema 0 1 3 1 3 1 -1 -1 nulo M 1 1 3 1 3 1 11 3 1 3 1 -1 -1 nulo M 1 -1 -1 nulo M 1 Figura 2-41: Reações e diagrama momentos internos do sistema I 2 2 22 1 M 2 11 2 2 22 1 M 2 2 2 22 1 M 2 11 11 Figura 2-42: Reações e diagrama momentos internos do sistema II ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 42 1 1 nulo M3 1 3 1 3 1 1 1 nulo M31 1 nulo M3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 Figura 2-43: Reações e diagrama momentos internos do sistema III Desprezando-se o esforço axial, a expressão para os deslocamentos generalizados é dada por dx EI MM l ji ij ∫=δ . (2.85) O deslocamento generalizado δ10 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 2-12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )510213 6 1510213 6 11012 2 1 10 +⋅−++⋅−+−=⋅ mmmEI δ , 45,45,121010 −−−=⋅δEI EI 95,26 10 −=δ . (2.86) Tabela 2-12: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ10 Barra 1 Barra 2 Barra 3 101 10 5-1 2 -1 1 6,67 Combinaçã o nula 011101 2 1 1 MMldxMM l =∫ ( ) ( ) 0120012201 161261 2 MMlMMMldxMM BA l α+++=∫ ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 43 O deslocamento generalizado δ20 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 2-13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 52211 6 167,623 2 151023 2 11022 3 1 20 ⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅ mmmmEI δ , 6 252045 3 40 20 +++=⋅δEI EI 5,82 20 −=δ . (2.87) Tabela 2-13: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ20 Barra 1 Barra 2 Barra 3 2 22 102 22 10 2 10 5 2 2 1 6,67 1 52 021102 3 1 1 MMldxMM l =∫ ( ) 0220022202 2161 2 MMlMMMldxMM BA l ++=∫ ( ) 0221302 261 3 MMMldxMM BA l +=∫ O deslocamento generalizado δ20 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 2-14 ( ) ( ) ( ) ( ) 511 2 167,61 3 213 6 1521012 6 1 30 ⋅⋅+⋅⋅ ++⋅+⋅⋅=⋅ mmmEI δ , 5,256,51030 ++=⋅δEI , EI 06,18 30 =δ . (2.88) Tabela 2-14: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ30 Barra 2a Barra 2b Barra 3 5 10 1 11 2 1 6,67 5 1 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 44 ( )BA l MMMldxMM 0032203 26 1 2 +=∫ 032203 3 21 6 1 2 MMldxMM l +=∫ 033303 2 1 3 MMldxMM l =∫ Efetuando o mesmo procedimento, determinam-se os deslocamentos generalizados: ( ) ( ) 3113 3 111211 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ , ( ) ( ) 33,172232222 3 1 22 =⋅⋅+⋅ ⋅⋅=⋅ mmEI δ , ( ) ( ) 3113113 3 1 33 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ , ( ) ( ) 5213 2 1212 2 1 12 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅ mmEI δ , ( ) 5,0113 6 1 13 =⋅⋅−=⋅ mEI δ , ( ) ( ) 5122 2 1123 2 1 23 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ . (2.89) De posse dos deslocamentos generalizados, é possível obter o sistema de compatibilidade 006,18355,0 05,82533,175 095,265,053 321 321 321 =+−+ =+++− =−−− XXX XXX XXX , (2.90) − −= ⋅ − − −− 06,18 5,82 95,26 355,0 533,175 5,053 3 2 1 X X X . Resolvendo o sistema, obtém-se − − = 89,3 98,5 33,0 3 2 1 X X X . (2.91) Os esforços podem ser obtidos por 3322110 XNXNXNNN +++= , 3322110 XVXVXVVV +++= e (2.92) 3322110 XMXMXMMM +++= . ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 45 Como exercícios didático, devem ser calculadas as reações do pórtico e traçados os diagramas de esforços normais, cortantes e momentos fletores, especificando os valores dos momentos máximos e os locais onde eles ocorrem. Figura 2-44: Diagrama de esforços normais ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 46 Figura 2-45: Diagrama de esforços cortantes Figura 2-46: Diagrama de momentos fletores 1.5.ESTRUTURAS INTERNAMENTE HIPERESTÁTICAS 2.1.2. Exemplo 1- Treliça plana Seja a treliça mostrada na Figura 2-47, cuja rigidez à tração de suas barras (EA) é constante. Esta treliça é internamente hiperestática de grau 1 (gi = 1). Portanto, apresenta uma única incógnita hiperestática a ser determina. Esta incógnita é o esforço normal em uma das barras. 20 kN 2 m 2 m 20 kN 2 m 2 m Figura 2-47: Treliça plana internamente hiperestática Para a determinação do sistema principal da treliça mostrada na Figura 2-47, corta- se uma das barras, colocando-se o esforço interno atuante na secção(Figura 2-48). No caso de uma treliça, o esforço interno é o normal. A condição de compatibilidade é dada pelo deslocamento relativo nulo entre a seção à esquerda e a seção à direita. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 47 0=− DE δδ ou (2.93) DE δδ = (2.94) X1 X120kN Figura 2-48: Sistema principal e hiperestático da treliça plana A determinação do esforço interno X1 se dará pela superposição dos efeitos e utilizando as condições de compatibilidade de deslocamento (Figura 2-49) 0111101 =⋅+= δδδ X , (2.95) 11 10 1 δ δ−=X . (2.96) (0) (I) = + 20 kN X1 X1 X1. 1 1 20 kN 0 0 (0) (I) = + 20 kN X1 X1 X1. 1 1 X1. 1 1 1 1 20 kN 0 0 20 kN 0 0 Figura 2-49:Superposição dos efeitos do carregamento e do hiperestático X1 Como as barras de uma treliça estão sujeitas unicamente a esforços normais, considera-se somente a contribuição desses esforços no cálculo dos deslocamentos generalizado. Sendo ∫= barras ji ij dxEA NNδ , (2.97) onde j = 0 é o carregamento. Então, para a obtenção dos deslocamentos generalizados, é necessário determinar os esforços axiais devido ao carregamento (sistema 0) e devido ao hiperestático X1 (sistema I). Estes valores foram calculados utilizando as equações da estática de equilíbrio de forças. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 48 Os esforços nas barras devidos ao carregamento são determinados a seguir e mostrados na Figura 2-50. Nó D N2 20 , 200 2 =∴=∑ NFx Nó A N1 2 2 N4 , 200 200 1 4 =∴= =∴= ∑ ∑ NF NF y x Nó B N5 2 2 N3=0 OK N F N N NF y x 020 2 2220 020 2 2 0 220 2 220 020 2 20 5 5 5 5 =+⋅− =+⋅ = −=∴ ⋅−=∴ =+⋅∴= ∑ ∑ 20 kN A C D B 1 2 3 4 5 20 kN 20 kN 20 kN +20 kN +20 kN +2 0 kN N ul o220− 20 kN A C D B 1 2 3 4 5 20 kN 20 kN 20 kN +20 kN +20 kN +2 0 kN N ul o220− Figura 2-50: Reações e esforços normais nas barras devidos ao carregamento Os esforços devidos ao carregamento unitário na direção do hiperestático X1 são calculados a seguir e mostrados na Figura 2-51 Nó D N3 N2 1 2 2N0 2 21N0 2 2N0 2 21N0 22 33 −=∴=⋅+⇒= −=∴=⋅+⇒= ∑ ∑ Fx Fy Nó A 1 N1 N4 2 2N:0 2 2N:0 4 1 −== −== ∑ ∑ Fx Fy ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 49 Nó C 2 2 N5 2 2 OK 2 2 2 210 2 2 2 2N0 1N0 2 2 2 2N0 3 55 =⋅∴=−⋅= =∴=−⋅= ∑ ∑ Fy Fx 0 A C D B 1 2 3 4 5 0 1 1 0 2 2− +1 +1 +1 2 2− 2 2− 2 2− 0 A C D B 1 2 3 4 5 0 1 1 0 2 2− +1 +1 +1 2 2− 2 2− 2 2− Figura 2-51: Reações e esforços internos devidos à carga unitária na direção do hiperestático X1 O cálculo do deslocamento relativo na direção 1 devido ao carregamento (δ10 ) é dado por ( ) ∑∫ = ⋅== 6 1 01 01 10 1 i i l i lNN EA dx EA NNδ (2.98) e o cálculo do deslocamento relativo na direção 1 devido ao esforço unitário na direção 1 (δ11) é dado por ( ) ∑∫ = ⋅== 6 1 11 11 11 1 i i l i lNN EA dx EA NNδ . (2.99) É recomendável organizar uma tabela como a Tabela 2-15. Ela permite o cálculo sistemático dos esforços em cada barra e dos deslocamentos generalizados. Tabela 2-15: Cálculo dos deslocamentos generalizados δ10 e δ11 Barra l (m) EA N0 N1 (N0.N1l1)/EA (N1.N1l1)/EA N (kN) 1 2 EA +20 2 2− EA 220− EA 1 7,93 2 2 EA +20 2 2− EA 220− EA 1 7,93 3 2 EA 0 2 2− 0 EA 1 -12,07 4 2 EA +20 2 2− EA 220− EA 1 7,93 ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 50 5 22 EA 220− 1 EA 80− EA 22 -11,21 6 22 EA 0 1 0 EA 22 17,07 ∑ EA 85,164− EA 66,9 Substituindo os deslocamentos generalizados na equação de compatibilidade, obtém-se 066,985,164 1 =+− EAXEA , (2.100) kNX 07,171 = . (2.101) Os esforços normais finais são obtidos por 110 NXNN ⋅+= , (2.102) cujos resultados são apresentados na última coluna da Tabela 2-15. 2.1.3. Exemplo 2 - Pórtico com tirante Seja um pórtico com tirante, uma vez hiperestático, cuja rigidez à flexão das barras (EI) é mkN ⋅⋅ 4102 e a rigidez à tração do tirante (EAt) é kN410 (Figura 2-52) 3 m (EA)t TIRANTE EI EI EI 30 kN EI 3 m 4 m 4 mA C D E 3 m (EA)t TIRANTE EI EI EI 30 kN EI 3 m 4 m 4 mA C D E Figura 2-52: Pórtico com tirante Para a determinação do sistema principal do pórtico mostrado na Figura 2-52, secciona-se o tirante, colocando-se os esforços internos, no caso, o esforço normal (Figura 2-53). A condição de compatibilidade é dada pelo deslocamento relativo nulo na seção do corte. ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 51 0=δ (2.103) X1 30 kN X1 30 kN Figura 2-53: Sistema principal e hiperestático do pórtico mostrado na Figura 2-52 O efeito do carregamento e do hiperestático X1 sobre o sistema principal pode ser determinado por superposição de efeitos, sendo calculados separadamente os efeitos da carga e do hiperestático sobre a estrutura (Figura 2-54). Para o sistema (0) (Figura 2-54), tomando o elemento ACE do pórtico e fazendo o equilíbrio de forças na vertical, determina-se a reação vertical em A. Fazendo-se o equilíbrio de momentos em torno do ponto E, obtém-se o valor da reação horizontal em A como sendo 06415 =⋅−⋅ H , kNH 10= . (2.104) Para o sistema (I) (Figura 2-54), tomando o elemento ACE do pórtico e fazendo o equilíbrio de forças na vertical, determina-se a reação vertical em A, que é zero. Fazendo- se o equilíbrio de momentos em torno do ponto E, obtém-se o valor da reação horizontal em A como sendo 0316 =⋅−⋅H , 5,0=H . (2.105) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 52 15 kN 15 kN 30 kN H H 1 1 H = 0,5 0,5 X1 Figura 2-54: Superposição dos efeitos do carregamento e do hiperestático -30 -30 -30 -30 nulo M 0 ++ nulo M1 ++ nulo 1,5 1,5 1,51,5 -30 -30 -30 -30 nulo M 0 -30 -30 -30 -30 nulo M 0 ++ nulo M1 ++ nulo 1,5 1,5 1,51,5 ++ nulo M1 ++ nulo 1,5 1,5 1,51,5 Figura 2-55: Diagramas de momentos fletores devido ao carregamento e à carga unitária no tirante É importante lembrar que, no sistema principal, o esforço normal no tirante devido ao carregamento é nulo (N0 = 0) e que o esforço normal no tirante devido à força unitária é 1 (N1 = 1). Neste exemplo, o esforço axial nas barras do pórtico é desprezado visto que EI>>EA, porém não podemos fazê-lo para o caso do tirante. Logo, a expressão para o cálculo dos deslocamentos generalizados é dada por ( ) dxEA NN dx EI MM Tirante t ji Barras ji ij ∫∫ += δ . (2.106) Portanto os valores dos deslocamentos generalizados são 05,130.5 3 15,1303 3 12110 + ⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= mm EI δ mm EI 34 410 101210120102 240240 −⋅−=⋅−=⋅−=−=δ (2.107) ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 Profª Henriette Lebre La Rovere Profa Poliana Dias de Moraes
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