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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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novamente o diagrama de momento fletor, basta fazer 
∫=
barras
II dx
EI
MM
11δ , 
(2.37)
sendo IM o diagrama dos momentos fletores devido à carga unitária na direção do 
hiperestático X1. 
Para a determinação do deslocamento generalizado δ10, tem-se 
∫=
barras
I dx
EI
MM 0
10δ , 
(2.38)
sendo M0 o diagrama dos momentos fletores devido ao carregamento externo. 
Portanto o valor dos deslocamentos generalizados é dado por 
∫=
barras
ji
ij dxEI
MMδ . 
(2.39)
Após o valor do hiperestático X1 ter sido determinado, as reações e os esforços 
internos no pórtico isostático são calculados utilizando-se as equações de equilíbrio da 
estática. 
50
VA=30 VB=30
HA=25 25
3m
5m kNHF AX 25,0 ==∑ 
 
BA
Y
VV
F
=
=∑ 0 
0=∑ AM ( ) mkNmkNVm B ⋅=×= 1503505 
AB VkNV == 30 
Figura 2-14: Reações de apoio do pórtico plano 
Após a determinação dos esforços internos, são traçados os seus respectivos 
diagramas como mostrado na Figura 2-15. 
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22
-2
+30 
- 
 
- 
 
 
+ 
DEN (kN) 
+
+25
-
++ -30
DEC (kN)
-
-75
+75
+75
DMF(kN*m) 
+
-
+ 
- 
(a) Diagrama de esforço normal (b) Diagrama de esforço cortante (b) Diagrama de momento fletor 
Figura 2-15: Diagrama de esforços do pórtico plano 
 
1.1.1.1. Exemplo 2 - Pórtico plano 
Determinar os diagramas de esforços do pórtico plano mostrado na Figura 2-16, 
cujos elementos estruturais apresentam uma seção retangular constante de 20 cm × 40 cm e 
módulo de elasticidade de 2
7102
m
kN⋅ . No cálculo dos deslocamentos generalizados, 
considerar as deformações devidas à flexão e ao esforço normal. 
6m
4m
40 kN
3m 3m
 
Figura 2-16: Pórtico plano 
Para a determinação do diagrama de esforços do pórtico hiperestático mostrado na 
Figura 2-16, primeiramente as reações de apoio devem ser calculadas. Utilizando o Método 
das Forças para isto, tem-se que determinar inicialmente o sistema principal a ser utilizado 
(estrutura isostática mais o carregamento externo) (Figura 2-17) 
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23
40 kN
X1
 
Figura 2-17: Sistema principal e hiperestático do pórtico plano da Figura 2-16 
Sabe-se que, para estruturas elásticas submetidas à pequenas deformações, o 
deslocamento total da estrutura pode ser determinado pela soma dos deslocamentos de 
cada uma das ações. Portanto, os deslocamentos do pórtico isostático da mostrado na 
Figura 2-17 pode ser determinado como sendo a soma dos efeitos mostrados na Figura 
2-18, sendo δ10 o deslocamento na direção do hiperestático X1 devido ao carregamento e 
δ11 o deslocamento na direção do hiperestático X1 devido à carga unitária na direção do 
hiperestático X1. 
 
40 kN
+ X1 
X1
40 kN
.
1
 
Figura 2-18: Superposição de efeitos 
Da Figura 2-16, sabe-se que o deslocamento em 1 é nulo (δ1=0), resultando na 
equação de compatibilidade de deslocamentos 
.011110 =⋅+ δδ X (2.40)
Neste exemplo serão consideradas no cálculo dos deslocamentos generalizados δij 
as contribuições do esforço normal e do momento fletor. Portanto 
dx
EA
NN
dx
EI
MM
l
ji
l
ji
ij ∫∫ +=δ , (2.41)
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sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seção transversal das barras e I o 
momento de inércia da seção transversal. 
O momento de inércia da seção retangular da barra é 
( ) ( ) 433 001067,0
12
4,02,0
12
mmmhbI =⋅=⋅= . 
(2.42)
A área da seção transversal é 
( ) ( ) 208,04,02,0 mmmhbA =⋅=⋅= . (2.43)
e 
,10160 24 mkNEA ⋅⋅= . (2.44)
2410133,2 mkNEI ⋅⋅= . (2.45)
O cálculo dos deslocamentos generalizados é realizado a partir dos diagramas dos 
esforços normais e fletores da situação 0 (devido ao carregamento externo) e da situação I 
(devido ao hiperestático X1). Os diagramas dos esforços N0 e M0 são mostrados na Figura 
2-19 e os diagramas N1 e M1 são mostrados na Figura 2-20. 
40 kN
HA=0
1
2
20
N0
-
-20
20
3 -
-20
+
M0
60
 
Figura 2-19: Diagramas N0, M0 devido ao carregamento 
As reações e os esforços internos mostrados na Figura 2-19 e na Figura 2-20 foram 
calculados a partir do pórtico isostático utilizando unicamente as equações de equilíbrio da 
estática. 
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25
-
N1 M1
1
2
+3
-- -
-
4m
2m
-6
-1
1/3
1
1
6m
-1/3
-4
-4 -6
+1/3
1/3 
Figura 2-20: Diagramas N1, M1 devido a carga unitária na direção 1 
O cálculo do deslocamento generalizado δ10 será realizado pela equação 
dx
EI
MMdx
EA
NN
ll
∫∫ += 010110δ , (2.46)
sendo 1N = N1 e 1M = M1 (Figura 2-20). 
A Tabela 2-3 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais 1N e N0. 
 
 
 
 
Tabela 2-3: Combinação dos esforços 1N e N0 para o cálculo de δ10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
+-
-20 13
l1=4m 
 
 
Combinação 
nula 
 
 
011101
1
NNldxNN
l
=∫ 013301
3
NNldxNN
l
=∫ 
 
A Tabela 2-4 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais M1 e M0. 
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Tabela 2-4: Combinação dos esforços M1e M0 para o cálculo de δ10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
 
Combinação 
nula 
60-4
-
+
 
-260
-
+
 
 
 
Combinação 
nula 
 
012301
2
NNldxNN
l
=∫ 
 
dx
EI
MMdx
EA
NN
ll
∫∫ += 010110δ , (2.47)
EIEA
900
3
40
10 −+=δ , (2.48)
)(1086,421)1094,421()10083,0(
10133,2
900
101603
40 444
4410 m
−−− ⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅⋅=δ , 
(2.49)
O cálculo do deslocamento generalizado δ11 será realizado utilizando a equação 
dx
EI
MMdx
EA
NN
ll
∫∫ += 111111δ . (2.50)
(Figura 2-20). 
 
A Tabela 2-5 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais N1 e N1 cujo 
valor da contribuição é dado por 
( ) ( )( )( ) ( )
EA
mmm
EA
dx
EA
NN
l 3
64
3
1
3
16116
3
1
3
14111 =

 

−

−+−−+



=∫ . (2.51)
Tabela 2-5: Combinação dos esforços N1 e N1 para o cálculo de δ11 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
1
3
1
3
+ +
 
 
-1
-1
-
-
 
- 13 - 
1
3
- -
 
111111
1
NNldxNN
l
=∫ 112211
2
NNldxNN
l
=∫ 113311
3
NNldxNN
l
=∫ 
A Tabela 2-6 mostra a combinação dos diagramas de momentos fletores M1 e M1, 
sendo o valor da integral dos momentos na barra 2 é dada por 
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( ) ( ) ( )[ ]{ } 156462664246
6
1
2
211 =+⋅⋅++⋅⋅=∫ mdxMM
l
 
(2.52)
e a contribuição total devido ao momento fletor é dada por 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )

 −−++−−=∫ 66361564434111 mmEIdxEIMMl , 
(2.53)
EIEI
dx
EI
MM
l ⋅
=

 ++=∫ 37363216156364111 . 
(2.54)
 
dx
EI
MMdx
EA
NN
ll
∫∫ += 111111δ , (2.55)
4411 10133,23
736
101609
64
3
736
9
64
⋅⋅+⋅⋅=+= EIEAδ , 
(2.56)
444
11 1006,1151002,11510044,0
−−− ⋅=⋅+⋅=δ . (2.57)
 
Tabela 2-6: Combinação dos esforços M1 e M1 para o cálculo de δ11 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
--
44
l1=4m 
-
-4
6
6
l2=6m