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FUNÇÕES:
IDENTIDADE, INVERSA E COMPOSTA
DISCIPLINA: CÁLCULO
PROF. ME. BRENO CARDIM BARRETO
SALVADOR- BA
• SEJAM A E B CONJUNTOS DE NÚMERO REAIS. UMA FUNÇÃO F: A → B É UMA LEI OU REGRA QUE ASSOCIA A CADA 
ELEMENTO DE A, UM ÚNICO ELEMENTO DE B. O CONJUNTO A É CHAMADO DOMÍNIO DA FUNÇÃO, INDICADO POR 
D(F). O CONJUNTO B PODE SER CHAMADO DE CONTRADOMÍNIO OU CAMPO DE VALORES DE F . 
ESCREVE-SE : F: A → B 
X → F(X)
RELEMBRANDO...
GRÁFICOS DA FUNÇÃO: DOMÍNIO E 
IMAGEM DA FUNÇÃO
• EXEMPLO: VAMOS ENTENDER MELHOR O QUE SIGNIFICA O DOMÍNIO (D) E A IMAGEM (IM)
OBSERVANDO O GRÁFICO ABAIXO:
Quando queremos saber sobre o
domínio, devemos olhar para o eixo x e,
quando falamos em imagem, devemos
olhar pata o eixo y.
Desse modo todos os valores utilizados
sobre o eixo x representam o maior
domínio dessa função, ou seja, D=[0,4]
e todos ou valores utilizados sobre o
eixo y representam a imagem, o que
podemos concluir Im=[0,2]
GRÁFICOS DA FUNÇÃO: DOMÍNIO E 
IMAGEM DA FUNÇÃO
• UMA VEZ QUE A COORDENADA Y DE QUALQUER PONTO (X, Y) SOBRE O GRÁFICO É Y=F(X),
PODEMOS LER O VALOR F(X) COMO A ALTURA DO PONTO NO GRÁFICO ACIMA DE X.
• O GRÁFICO DE F TAMBÉM NOS PERMITE VISUALIZAR O DOMÍNIO DE F SOBRE O EIXO X E A
IMAGEM SOBRE O EIXO Y.
• ESSA FUNÇÃO É SOBREJETORA, 
POIS NÃO SOBRA ELEMENTO EM B.
• ESSA FUNÇÃO NÃO É INJETORA, 
POIS EXISTEM DOIS ELEMENTOS 
COM MESMA IMAGEM.
• ESSA FUNÇÃO NÃO É BIJETORA, 
POIS NÃO É INJETORA.
• Essa função é injetora, pois 
elementos de B são “flechados” só uma 
vez.
• Essa função não é sobrejetora, pois 
existem elementos sobrando em B.
• Essa função não é bijetora, pois não 
é sobrejetora.
• Essa função é injetora, pois 
elementos de B são “flechados” só uma 
vez.
• Essa função é sobrejetora, pois não 
existem elementos sobrando em B.
• A função é bijetora, pois é injetora e 
sobrejetora.
RELEMBRANDO...
EXEMPLO
• UMA BARRACA DE PRAIA, EM SALVADOR, VENDE PICOLÉS AO PREÇO DE R$ 1,75 A UNIDADE. PARA NÃO
PRECISAR FAZER CONTAS A TODO MOMENTO, O PROPRIETÁRIO DA BARRACA MONTOU A SEGUINTE
TABELA:
Sendo assim, é possível observar facilmente a lei de formação dessa função. O total (y) a ser pago será R$ 1,75 
multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, podemos concluir que y = 1,75.x.
FUNÇÃO DO 1º GRAU
• FORMA GERAL: ou
Onde:
a é a taxa de variação
b é a coeficiente linear ou b é o termo independente
f(x) = ax + b y = ax + b
Função linear
(Variação direta)
Diretamente 
proporcional
Função recíproca
(Variação com o inverso)
Curva hiperbólica
inversamente 
proporcional
Tipo:
y = kx
Tipo:
y = k 
x
y = ax + b
Zero ou Raiz de uma função:
É o valor de x que torna y igual a zero
ALGEBRICAMENTE
É a interseção da reta com o eixo x
(GRAFICAMENTE)
Crescimento ou decrescimento: se
a > 0 Função crescente
Função decrescentea < 0
GEOMETRICAMENTE
Função do 1º grau
Função do 1º grau
RAIZ (OU ZERO) DA FUNÇÃO
Dada a função de f: lR lR, definida: f(x) = 2x + 8, Calcule o zero da função:
Igualar a função a zero 2x + 8 = 0
2x Fazer os cálculos = - 8 
Determinado o valor de x x = - 4 
Geometricamente teremos o ponto:
- 4 x
(- 4, 0)
Estudo do sinal de uma função
se
Função crescente Função decrescente
a > 0 a < 0
+ +
--
y > 0
y = 0
y < 0
se
se
se
x > ......(raiz)
x = ......(raiz)
x < ......(raiz)
y > 0
y = 0
y < 0
se
se
se
x < ......(raiz)
x = ......(raiz)
x > ......(raiz)
raiz x x
raiz
(y > 0)
(y < 0)
(y > 0)
(y < 0)
Determinando uma função de 1º grau dado o seu gráfico
Para determinar uma função de 1º grau a partir de gráfico, basta identificar 
dois pontos.
y
x
8
4
(0, 8)
(4, 0)
Usar: y = ax + b
Substituindo
(0, 8) 8 b
(4, 0) 0 a
= a.0 + b = 8
= a.4 + 8 =
y = - 2x + 8
Substituindo
a e b, temos:
Função do 1º grau
• É UMA DAS CATEGORIAS DA FUNÇÃO AFIM [F(X) = AX + B]. OS VALORES
DO SEU DOMÍNIO SÃO OS MESMOS DA IMAGEM DO CONTRADOMÍNIO
Função Identidade
F(x) = x
2
3
4
6
2
3
4
6
A função identidade é 
também bijetora, isto é, para 
qualquer valor que seja x o 
resultado da sua função será 
ele mesmo (f(x) = x). O 
conjunto de partida, domínio, 
é igual a imagem. Caso os 
conjuntos A e B sejam 
diferentes, as suas 
respectivas funções também 
serão.
A B
• QUANDO O COEFICIENTE ANGULAR DE UMA FUNÇÃO FOR IGUAL A 1, E O LINEAR IGUAL A ZERO
(A = 1; B = 0), ELA PODE SER IDENTIFICADA DE LINEAR OU IDENTIDADE. COMO ESSAS
CATEGORIAS SÃO FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (A MAIOR POTÊNCIA DA VARIÁVEL
INDEPENDENTE X É 1), O GRÁFICO SEMPRE TERÁ UMA RETA PASSANDO PELA ORIGEM (0,0).
Gráfico da Função Identidade
No caso da identidade o gráfico é chamado 
de bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3°), 
uma vez que a reta separa o ângulo em dois de 
mesmo tamanho (45°). 
Além disso,
devido ao valor do coeficiente angular (a = 
1), a representação gráfica é crescente.
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/funcao-identidade
• É A FUNÇÃO F(X)-1, QUE FAZ EXATAMENTE O INVERSO DA FUNÇÃO F(X).
• PARA QUE UMA FUNÇÃO ADMITA UMA INVERSA, ELA PRECISA SER BIJETORA.
✓ SEJA A FUNÇÃO F: A → B ,EM QUE A É DOMÍNIO E B É CONTRADOMÍNIO, A FUNÇÃO INVERSA DE
F SERÁ A FUNÇÃO DESCRITA POR F(X)-1 : B→ A, OU SEJA, O DOMÍNIO E O CONTRADOMÍNIO
INVERTEM-SE.
Função Inversa
• A FUNÇÃO F : A → B É BIJETORA, POIS ELA É INJETORA (AFINAL, ELEMENTOS DISTINTOS EM A
ESTÃO ASSOCIADOS A ELEMENTOS DISTINTOS EM B) E TAMBÉM É SOBREJETORA, POIS NÃO
SOBRA NENHUM ELEMENTO NO CONJUNTO B, OU SEJA, O CONTRADOMÍNIO É IGUAL
AO CONJUNTO IMAGEM
Função Inversa
• COMO É DETERMINADA A LEI DE FORMAÇÃO DA INVERSA?
➢ PARA ISSO, É NECESSÁRIO INVERTER AS INCÓGNITAS, OU SEJA, TROCAR X POR Y E Y POR X, E
POSTERIORMENTE ISOLAR A INCÓGNITA Y.
➢ EXEMPLO 1: QUAL A INVERSA DA FUNÇÃO F(X) = X + 3?
RESOLUÇÃO:
SABENDO QUE F(X) = Y, ENTÃO Y = X + 3. REALIZANDO A INVERSÃO DE X E Y, VAMOS ENCONTRAR A SEGUINTE 
EQUAÇÃO:
X = Y + 3
AGORA, VAMOS ISOLAR O Y:
– 3 + X = Y
Y = X – 3
Função Inversa
➢ EXEMPLO 2: QUAL A INVERSA DA FUNÇÃO F(X) = 2X + 5?
RESOLUÇÃO:
Y = 2X + 5
X = 2Y + 5
X – 5 = 2Y
Y = X-5/2 -> Y = X/2 – 5/2
EXEMPLO 3: DETERMINE A INVERSA DA FUNÇÃO F(X) = 5X – 2.
Y = 5X -2
X = 5Y – 2
X + 2 = 5Y
Y = X/5 + 2/5
Função Inversa
• UMA FUNÇÃO COMPOSTA É AQUELA EM QUE EXISTEM DUAS FUNÇÕES F E G ONDE O DOMÍNIO
DA FUNÇÃO G É IGUAL AO CONTRADOMÍNIO DA FUNÇÃO F.
• DADAS AS FUNÇÕES F: A → B E G: B → C, A FUNÇÃO COMPOSTA DE G COM F É A FUNÇÃO H(X)
= G(F(X)), QUE TAMBÉM PODE SER REPRESENTADA COMO GOF(X) – QUE É LIDA COMO “G BOLA
F DE X”.
Função Composta
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm#
• EXEMPLO: SENDO AS FUNÇÕES F(X) = 2X + 1 E G(X) = 3X + 4, COM SEU DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO
IGUAL AOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS, DETERMINE H = GOF(X)
RESOLUÇÃO:
GOF = 3X + 4 
GOF = 3(2X + 1) + 4
GOF = 6X + 3 + 4
GOF = 6X + 7
Função Composta
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm#
• EXEMPLO: DETERMINE H = GOF(X), QUANDO F(X) = 6X – 2, E G(X) = 5X + 4
RESOLUÇÃO:
GOF = 5X + 4 
GOF = 5(6X - 2) + 4
GOF = 30X - 10 + 4
GOF = 30X – 6 
GOF = 6(5X – 1)
Função Composta
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm#
ATIVIDADE
• 1. SENDO AS FUNÇÕES F(X) = -3X + 1 E G(X) = 2X + 2, COM SEU DOMÍNIO E
CONTRADOMÍNIO IGUAL AOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS, DETERMINE H =
GOF(X);
• 2. QUAL A INVERSA DA FUNÇÃO F(X) = 3X + 2?
ATIVIDADE
• 3. DETERMINE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAU A PARTIR DE GRÁFICO ABAIXO, CONSIDERANDO OS
PARES ORDENADOS: (0,3) E (5,0)
ATIVIDADE
4. UMA FUNÇÃO É CONHECIDA COMO SOBREJETORA SE O CONJUNTO IMAGEM FOR IGUAL AO
CONJUNTO CONTRADOMÍNIO. ANALISANDO AS FUNÇÕES A SEGUIR, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A = {-1, 0, 1, 2} E B = {0, 1, 2, 3}
I) F : A → B, F(X) = X + 1 COM A = {-1, 0, 1, 2} E B = {0, 1, 2, 3}
II) G: B → A, G(X) = X COM A = {-1, 0, 1} E B = {-1, 0, 1}
A) SOMENTE I É SOBREJETORA.
B) SOMENTE II É SOBREJETORA.
C) NENHUMA É SOBREJETORA.
D) AMBASSÃO SOBREJETORAS.
OBRIGADO!