2- Descomplica- Matemática Diferencial Aplicada- Conceitos e definições de Funções

Prévia do material em texto

D
Conceitos e definições
de Funções
efinição
Uma função é uma correlação onde elementos de um
conjunto se associam com elementos de outro
conjunto. Por exemplo, considerando uma situação
em que os valores de um conjunto específico são sempre
multiplicados por dois, isso estabelece uma regra ou padrão.
Matematicamente, essa regra pode ser expressa como  .
Podemos representar uma função de forma genérica como:
 
 
Fonte: autoria própria
Ou seja, cada função associa os elementos do conjunto A a
elementos do conjunto B, de modo que cada elemento 
corresponde um único .
Domínio, Contradomínio e Imagem
Fonte: autoria própria
No contexto de uma função, identificamos o conjunto A como o
domínio da função, que também é conhecido como conjunto de
partida, e o conjunto B como o contradomínio da função, ou
conjunto de chegada. De maneira simplificada, o domínio abrange
todos os valores possíveis para a variável x, enquanto o
contradomínio inclui os elementos que podem ser correspondentes
aos elementos do domínio.
Por outro lado, a imagem da função consiste nos elementos de B
que estão efetivamente ligados aos elementos de A. É importante
destacar que a imagem da função nem sempre é idêntica ao
contradomínio.
Exemplo: 
Considere uma função   de A  em B, em que   e 
, seguindo a regra  .
●   Determinando o conjunto do domínio.
Os valores de entrada para essa função são os elementos do
conjunto  .
●   Determinando o conjunto imagem.
Neste exemplo, observamos uma função legítima, pois cada
elemento de A se conecta a um único elemento de B. Conforme
discutido, no domínio (A) encontram-se os valores de x.
Ao aplicar a regra da função na lei de formação, obtemos os
seguintes resultados:
 
Assim, o conjunto imagem, representando os resultados dessas
operações, é  .  É importante notar que esse conjunto
imagem é sempre um subconjunto do conjunto contradomínio.
Operações
Assim como podemos fazer operações entre números, podemos
fazê-las entre funções. Ou seja, podemos somar, subtrair, dividir e
multiplicar funções. Para realizar as operações com funções,
precisamos considerar os domínios das funções para que a operação
faça sentido matematicamente. Isto significa que os valores precisam
pertencer, ao mesmo tempo, no domínio de todas as funções que
estão sendo consideradas no cálculo.
Vamos então considerar duas funções f e g. Para ambas as funções,
vamos considerar um elemento x que esteja no domínio de f e g.
Neste caso, podemos calcular:
●   
 ●        
●   
 ●    , para 
Exemplo:
Para   e  , temos:
 
Graficamente, temos:
Fonte: autoria própria
Para   e   temos:
 
Graficamente, temos:
Fonte: autoria própria
Para   e  ,temos:
 
Graficamente, temos:
Fonte: autoria própria
Para   e  , temos:
 
Graficamente, temos:
Fonte: autoria própria
Função Afim
Uma função afim, também conhecida como função polinomial do
primeiro grau, é definida como uma função    que mapeia os
elementos de   em  , seguindo a regra:
 
 Aqui, a e b representam números reais, com a condição de que .
Estes números são os coeficientes numéricos da função, onde a é
referido como o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.
Exemplo: Na função definida por , obtemos   e  .
Vejamos outros exemplos:
●    
 
●    
 
●    
 
●    
 
●    
 Função Linear
Um caso especial da função afim ocorre quando o coeficiente linear
b = 0. Nesta situação, a função afim se transforma em uma função
linear, expressa como  , ,é chamada de função linear. Um
exemplo clássico de função linear é a função:
Onde
  e 
Taxa de Variação
Uma função afim se caracteriza por sua taxa de variação constante.
Para entender como essa taxa influencia os valores das variáveis x e
y, e seus coeficientes, vamos analisar um exemplo prático.
Considere uma empresa que segmenta seus custos em fixos e
variáveis. Custos como aluguel, tributos, impostos e salários são
fixos. Por outro lado, despesas com matéria-prima, comissões e
fretes são variáveis. Imaginemos que esta empresa tem um custo fixo
mensal de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 30,00 por cada
unidade produzida.
Para representar o custo total mensal da empresa em função da
produção, usamos a função f(x) = 30x + 5000, onde f(x) representa o
custo total e x a quantidade produzida. Mesmo sem produzir nada, a
empresa tem um gasto inicial de R$ 5.000,00. Cada unidade adicional
produzida acrescenta R$ 30,00 ao custo total.
Vamos refletir sobre como o custo total muda à medida que aumenta
a produção. Para isso, criaremos uma tabela de valores,
incrementando x de uma unidade em cada linha, observando o
impacto no custo total f(x).
Fonte: autoria própria
Ao analisar os valores y na função , observamos que
um acréscimo de 1 unidade em x resulta em um aumento de 30
unidades em y. Portanto, y cresce constantemente a uma taxa de 30
unidades para cada incremento unitário em x. Esta constatação nos
permite entender que a taxa de variação constante da função afim
está diretamente ligada ao coeficiente numérico a. Em outras
palavras, o coeficiente a, neste caso, 30, simboliza a taxa de variação
da função.
Para calcular essa taxa de variação de uma função afim,
consideramos a relação entre a mudança das ordenadas (y) e a
mudança das abscissas (x) em dois pontos quaisquer que pertencem
à função. Assim, a variação, ou taxa de variação, da função afim é
expressa pela fórmula.
 
onde   representa a diferença ou a variação.
Dados dois pontos pontos A (xa, ya) e B(xb, yb), obtemos   
e  .
É importante saber:
→ Se  , temos uma função afim crescente.
→ Se  , temos uma função afim decrescente.
Representação Gráfica
Após explorar as propriedades e as relações entre as variáveis x e y
na função afim, é importante entender como essa função se
manifesta visualmente em um plano cartesiano. O gráfico de uma
função, que é a representação visual dos seus pontos no plano,
revela a relação entre x e y. No caso da função afim , com
 , o gráfico se apresenta como uma linha inclinada, não sendo
paralela a nenhum dos eixos do plano cartesiano.
Para traçar o gráfico de uma função afim, necessitamos identificar ao
menos dois pontos que pertençam à função. A escolha desses
pontos é facilitada ao selecionar aqueles de cálculo mais simples. Por
exemplo, para esboçar o gráfico da função , podemos
selecionar dois pontos cujas coordenadas x e y sejam fáceis de
calcular.
Fonte: autoria própria
Agora, podemos, através dos pontos A e B, desenhar o gráfico da
função :
Fonte: autoria própria
Aprenderemos abaixo algumas maneiras de facilitar a representação
gráfica de uma função afim.
Coeficiente angular no gráfico
Para uma função afim definida como , onde , o
coeficiente angular da função é representado pela expressão .
Esse coeficiente é crucial para entender a inclinação da reta que
representa a função no plano cartesiano. Graficamente, ao escolher
dois pontos arbitrários pertencentes à função afim, podemos
determinar este coeficiente angular observando as mudanças nos
valores de y em relação às mudanças correspondentes nos valores
de x.
Fonte: autoria própria
Note que, no triângulo retângulo ABC, temos os catetos 
 e . Pela relação de tangente, temos:
O coeficiente angular de uma função afim, designado como a na
expressão , também pode ser interpretado como a
tangente do ângulo formado pela reta da função com o eixo x,
considerando um movimento no sentido anti-horário. Este ângulo,
portanto, representa a inclinação da reta no plano cartesiano e é uma
medida fundamental para compreender o comportamento da função
afim.
Coeficiente linear no gráfico
Em uma função do tipo , onde , o termo b é conhecido
como coeficiente linear. Este coeficiente representa o valor de y
quando . Ao calcular , obtemos que
 
 Isso significa que o coeficiente linear é a coordenada y do ponto (0,b)
no plano cartesiano. Este ponto específico é onde a reta,
representativa da função afim, cruza o eixo vertical (eixo das
ordenadas), também chamado de eixo 0y.
Fonte: autoria própriaRaiz ou zero da função
Para entender um aspecto crucial do gráfico de uma função afim, é
essencial focar no conceito de raiz ou zero da função. Considere uma
função afim expressa como . A raiz desta função é
identificada pelo valor de x que resulta em . Matematicamente,
isso significa resolver a equação  para encontrar x. A raiz,
denotada como , cumpre a condição de que . Em termos
gráficos, no plano cartesiano, a raiz da função corresponde à
coordenada horizontal do ponto , situado no eixo das abscissas
(eixo 0x).
Fonte: autoria própria
Função Quadrática: Lei de formação e coeficientes
Chama-se de função quadrática, ou função polinomial do 2º grau,
toda função f de R em R dada pela lei de formação:
em que a, b e c são números reais e .
Exemplo: Na função definida por , obtemos a = 1, b = 2
e c =3.
Vejamos outros exemplos:
1. 
2. 
3. 
O gráfico de um função quadrática tem o formato de uma parábola.
Observe os exemplos abaixo de duas parábolas.
Fonte: autoria própria
Interseção com o eixo 
 As soluções de uma função quadrática, conhecidas como raízes, são
obtidas ao se resolver a equação . Em termos práticos, isto se
traduz na resolução da equação . Para encontrar essas
raízes, geralmente recorremos à fórmula de Bhaskara, uma
ferramenta matemática eficaz, ou às relações de soma e produto,
que também são métodos úteis para essa finalidade.
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
A fórmula de Bhaskara é uma fórmula que nos permite resolver
equações completas e incompletas do segundo grau a partir dos
coeficientes numéricos da equação. Ela se encontra abaixo:
 
De forma simplificada, ela pode ser escrita como:
Discriminante
O discriminante da equação, representado por , nos informa
também quantas são as raízes que nos satisfazem:
1.   Se , teremos duas raízes reais distintas.
2.   Se , teremos duas raízes reais idênticas.
3.   Se , teremos nenhuma raiz real.
Exemplo: 
 Logo, as soluções dessa equação são -1 e 3.
Exemplo: 
   (spoiler: como , teremos duas raízes
idênticas!)
Logo, as soluções dessa equação são idênticas e iguais a .
Exemplo:    
Como , o conjunto solução dessa equação é vazio , já que 
Utilizando as relações de soma e produto das raízes:
Esse é um método útil para resolvermos equações do segundo grau
mentalmente. Recomenda-se utilizar esse método quando o
coeficiente  é igual a 1. Ele se baseia nas seguintes relações:
1.    O produto das raízes de uma equação do segundo grau
equivale ao valor da razão .
2.   A soma das raízes de uma equação do segundo grau equivale
ao valor da razão .
Exemplo:   
Como o produto das raízes equivale a , o produto das raízes dessa
equação vale  .
Como a soma das raízes equivale a , a soma das raízes dessa
equação vale .
Você consegue pensar em dois números que multiplicados resultam
em 6 e somados resultam em 5?
Esses números são 2 e 3. Afinal,  e . Logo, as soluções
dessa equação são 2 e 3.
Interseção com o eixo 
O coeficiente c, em uma equação quadrática, indica a posição em
que a curva da parábola cruza o eixo vertical do gráfico, conhecido
como eixo das ordenadas ou eixo . Essa intersecção ocorre porque
ao avaliar a função no ponto zero, ou seja, , a equação se
simplifica para
 Portanto, o coeficiente c determina o ponto vertical (0,c) no gráfico
cartesiano, marcando onde a parábola encontra o eixo 0y. 
Fonte: autoria própria
Quando uma parábola cruza a origem do gráfico, isso indica que o
coeficiente c de sua equação quadrática é igual a zero. Em termos
práticos, isso significa que a função  se reduz a 
 quando . Como exemplo, a função  é uma
representação gráfica disso, onde a parábola passa diretamente pela
origem, evidenciando que o coeficiente c, que determina o ponto de
intersecção no eixo das ordenadas, é nulo.
Fonte: autoria própria
Construção de uma parábola
Para construir uma parábola, uma função do tipo , no
plano cartesiano, vamos fazer uso da seguinte afirmação:
“Três pontos não colineares no plano cartesiano determinam uma
única parábola”.
Ou seja, basta sabermos pelo menos três pontos que pertencem ao
gráfico de nossa função do segundo grau que podemos traçar seu
gráfico. Porém, caso você queira deixar seu gráfico mais “preciso”,
pode utilizar mais pontos para isso! Observe o exemplo abaixo, em
que usamos 5 pontos para construir o gráfico de uma parábola.
           
Fonte: autoria própria
Primeiro, construímos uma tabela, em que do lado esquerdo,
escolhemos cinco valores quaisquer de x. Do lado direito, os valores
de . Assim, assinalamos no plano cartesiano esses cinco pontos e
os ligamos para formar uma parábola.
Vértice de uma parábola
É o ponto de inflexão da parábola. Isto é, o ponto que está bem “no
meio” da parábola, no limite em que ela deixa de ser crescente para
ser decrescente ou vice-versa. Assim, ele determina uma simetria
entre os dois lados (o direito e o esquerdo) da parábola. Observe:
Fonte: autoria própria
No exemplo acima, o ponto  é o vértice da parábola. 
Propriedade de simetria: o vértice determina um eixo vertical de
simetria da parábola. Isso significa que pontos que estão a uma
mesma altura y estão a uma mesma distância do eixo de simetria.
Fonte: autoria própria
Determinando as coordenadas do vértice: as coordenadas do
vértice , como em qualquer ponto do plano cartesiano, são duas:  (x
do vértice) e  (y do vértice). Essas coordenadas podem ser
calculadas a partir dos coeficientes a, b e c da função quadrática.
          
 Exemplo: para a função , temos que:
               
Logo, seu vértice é o ponto .
Outras formas de determinar as coordenadas do vértice são:
 ●    , em que  e   são as raízes da função. Como sobre
o vértice passa um eixo vertical de simetria da parábola, a
coordenada  é calculável pela média aritmética das raízes da
função.
●     . Como para todo x da função há um y
correspondente, temos que o valor de  resulta na coordenada
 .
Máximos e mínimos de uma função quadrática
Podemos classificar o vértice a partir da concavidade da parábola.
→ Se a > 0, o vértice V é chamado de ponto mínimo da função.
→ Se a < 0, o vértice V é chamado de ponto máximo da função.
Esse conceito de ponto máximo ou mínimo de uma parábola pode
ser aplicado em situações cujo objetivo é saber o valor máximo ou
mínimo em uma relação. É importante ressaltar que uma parábola
não pode ter ponto máximo e mínimo ao mesmo tempo. Se ela
possui ponto máximo, então certamente não terá ponto mínimo. Da
mesma maneira que, se tiver ponto mínimo, não terá, então, ponto
máximo.
Note que, em problemas de máximo e mínimo, o  é o valor que
temos que ter para atingir o valor máximo ou mínimo. Já o  é o valor
máximo ou o mínimo propriamente dito.
Exemplo: Considere a função  , em que f fornece o lucro
de uma empresa, em milhares, a partir das x unidades vendidas de
seu produto.
a) Qual o número de peças que devem ser vendidas para
atingirmos o lucro máximo?
Aqui, o número de peças que devem ser vendidas para atingirmos o
lucro máximo é dado pelo  :
 
Ou seja, ocorre quando vendemos 6 peças.
a) Qual o lucro máximo obtido por essa empresa?
Já o lucro máximo é obtido por :
 
 Ou seja, é igual a R$36.000,00 reais (36 milhares de reais).
Função Modular
A função modular é a função que possui uma variável dentro do
módulo. Para o cálculo do valor numérico da função modular, utiliza-
se as definições de módulo. Podemos representar uma função
modular com f(x) = |x|, lembrando que o módulo de um número
sempre gera resultados positivos.
Para a construção do gráfico da função modular, para uma função
f(x) = |x|, existem duas possibilidades. Ou f(x) = x, se x ≥ 0, ou f(x) = –
x, se x < 0.
Fonte: autoria própria
Função Polinomial e Radical
Uma função é dita como função polinomial quando sua lei de
formação é um polinômio. Uma função do primeiro grau e uma
função do segundo grau são exemplos de função polinomial.
A lei geral de formação de uma função polinomial é:
f(x) = an.xn + an–1.xn–1 + … + … a2.x2 + a1.x +a0
Uma função polinomial é classificada pelo seu maior grau. Uma
função como f(x) = x é chamada de primeiro grau, pois o maior grau
de x é 1. Uma função f(x) = x3 é chamada de terceiro grau, pois o
maior grau de x é 3. E, assim por diante.
Por exemplo:
●   f(x) = 2x + 3 é uma função polinomial de primeiro grau.
●   g(x) = 3x2 + 2x + 5 é uma função polinomial de segundo grau.
●   h(x) = x3 – 3x2 + 2x + 5 é uma função de terceiro grau.
●   i(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 2x + 5 é uma função de quarto grau.
…
●   k(x) = 2xn – xn-1 – 3x2 + 2x + 5 é uma função de enésimo grau.
A função raiz ou função radical é uma função que pode ser
representada como  . Neste caso, o valor de n precisa ser
sempre um número natural.
Se considerarmos o conjunto dos números reais para x, x pode ser
positivo ou negativo. Neste caso, quando x é positivo, n pode ser par
ou ímpar. Agora, quando x é negativo, n só pode ser ímpar, pois para
o conjunto dos números reais, não se calcula a raiz de índice par para
um valor de x negativo.
A função racional é positiva e crescente e, conforme o valor de n vai
aumentando, o crescimento da função vai diminuindo.
Fonte: autoria própria.
Conteúdo Bônus
O tema de função afim é tão importante que separamos um material
extra para você se preparar.
Nome do conteúdo: Unidade 5: Função Afim
Plataforma: Khan Academy
Referência Bibliográfica
FERNANDES, D. B. Matemática Diferencial. São Paulo: Pearson
Prentice Hall. 2014.
FLEMMING, D. M; Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2006.
Ir para exercício
f(x) = 2x
f : A → B
x ↦ y = f(x)
x ∈ A
y ∈ B
f A = {0,1,2,3} B =
{−1,0,1,2,3,4,5} f(x) = x+ 1
A = {0,1,2,3}
f(0) = 0 + 1 = 1
f(1) = 0 + 1 = 1
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
Im = 1,2,3,4
f(x) + g(x)
f(x) − g(x)
f(x) × g(x)
f(x) ÷ g(x) g(x) = 0
f(x) = x g(x) = 2
f(x) + g(x) = x+ 2
f(x) = x g(x) = 2,
f(x) − g(x) = x− 2
f(x) = x g(x) = 2
f(x) × g(x) = 2x
f(x) = x g(x) = 2
f(x) ÷ g(x) = 
2
x
f
R R
f(x) = ax+ b
a = 0
f(x) = x+ 2 a = 1 b = 2
f(x) = 8x− 1
a = 8
b = −1
f(x) = −3x+ 4
a = −3
b = 4
f(x) = 10x
a = 10
b = 0
f(x) = −
2
x
5
a = 
2
1
b = −5
f(x) = −0,3 + x2
a = 2
b = −0,3
f(x) = ax a ∈ R
f(x) = 10x
a = 10 b = 10
f(x) = 30x+ 5000
a = 
Δx
Δy
Δ
Δx = x −b x a
Δy = y −b y a
a > 0
a < 0
f(x) = ax+ b
a = 0
f(x) = x+ 2
f(x) = a+ 2
f(x) = ax+ b a = 0
a = 
∆x
∆y
AC = ∆x = x −b
x a BC = ∆y = y −b y a
tan(θ) = =
Δx
Δy
a
f(x) = ax+ b
f(x) = ax+ b a = 0
x = 0 f(0)
f(0) = a(0) + b = b → f(0) = b
f(x) = ax+ b
y = 0
ax+ b = 0
x 1 f(x ) =1 0
(x ,0)1
f(x) = ax +2 bx+ c
a = 0
f(x) = x +2 2x+ 3
f(x) = −3x +2
 x+
6
5
1{a = −3 b =  c =
6
5
1
f(x) = −x −2 4{a = −1 b = 0 c = −4
f(x) = +
2
3x2
7x{a =  b =
2
3
7 c = 0
x
f(x) = 0
ax +2 bx+ c = 0
x = 
2a
−b± b − 4ac2
x = , Δ =
2a
−b± Δ
b −2 4ac
Δ
Δ
Δ
Δ
x −2 2x− 3 = 0{a = 1b = −2c = −3
Δ = (−2) −2 4 ⋅ 1 ⋅ (−3) = 4 + 12 = 16
x = =
2 ⋅ 1
−(−2) ± 61
 
2
2 ± 4
x =′
 =
2
2 + 4
3;x =′′
 =
2
2 − 4
−1
4x −2 4x+ 1 = 0{a = 4b = −4c = 1
Δ = (−4) −2 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 16 − 16 = 0 Δ = 0
x = =
2 ⋅ 4
−(−4) ± 0
 
8
4 ± 0
x =′
 =
8
4 + 0
 ;x =
2
1 ′′
 =
8
4 − 0
 
2
1
 
2
1
x +2 x+ 2 = 0 {a = 1 b = 1 c = 2
Δ = 1 −2 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 − 8 = −7
Δ < 0 (S =∅)
 ∈−7 / R.
a
 
a
c
− 
a
b
x −2 5x+ 6 = 0 {a = 1 b = −5 c = 6
 
a
c
 =
1
6
6
− 
a
b
− =
1
(−5)
5
2 ⋅ 3 = 6 2 + 3 = 5
y
0y
f(0)
f(0) = a(0) +2 b(0) + c = c ⇒ f(0) = c
f(x) = ax +2 bx+ c f(x) =
ax +2 bx c = 0 f(x) = x2
f(x) = ax +2 bx+ c
f : R → R f(x) = x −2 2
f(x)
(0;−1)
x v
y v
x =v − 
2a
b
y =v f(x ) =v − 
4a
Δ
f(x) = 2x −2 4x+ 5
x =v − =
2a
b
− =
2 ⋅ 2
−4
 =
4
4
1 y =v − =
4a
Δ
− =
4 ⋅ 2
((−4) − 4 ⋅ 2 ⋅ 5)2
− =
8
(16 − 40)
− =
8
−24
3
(1,3)
x =v 
2
x + x 1 2
x 1 x 2
x v
y =v f(x )v
f(x )v
y v
x v
y v
f(x) = −x +2 12x
x v
x =v − =
2a
b
− =
2(−1)
12
6
y v
y =v f(x ) =v f(6) = −6 +2 12 ⋅ 6 = −36 + 72 = 36
f(x) = =n x x 
n
1