MATEMATICA

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RESUMO MATEMÁTICA 
CONCURSO DE ADMISSÃO 
FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO DE SARGENTOS 2021-2022 
Exame Intelectual (EI) no dia 12 de julho de 2020 
Autor: Marcelo Henrique Alves Espindola 
Contato: (33)9 9936-7803 
 
A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz de agrupar elementos. 
Dessa forma, os elementos (que podem ser qualquer coisa: números, 
pessoas, frutas) são indicados por letra minúscula e definidos como um dos 
componentes do conjunto. 
Exemplo: o elemento “a” ou a pessoa “x” 
Assim, enquanto os elementos do conjunto são indicados pela letra minúscula, 
os conjuntos, são representados por letras maiúsculas e, normalmente, dentro 
de chaves ({ }). 
Além disso, os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula, por 
exemplo: 
A = {a,e,i,o,u} 
 
Diagrama de Euler-Venn 
No modelo de Diagrama de Euler-Venn (Diagrama de Venn), os conjuntos são 
representados graficamente: 
O diagrama de Venn, também conhecido como diagrama de 
Venn-Euler, é uma maneira de representar graficamente um 
conjunto, para isso utilizamos uma linha fechada que não possui 
auto-intersecção e representamos os elementos do conjunto no 
interior dessa linha. A ideia do diagrama é facilitar o 
entendimento nas operações básicas de conjuntos, como: 
relação inclusão e pertinência, união e intersecção, diferença 
e conjunto complementar. 
Leia também: Operações entre números inteiros: conheça as 
propriedades 
Representações do diagrama de Venn 
Como apresentado, o diagrama de Venn consiste em uma linha 
fechada (que não se entrelaça) na qual “colocamos” os 
elementos do conjunto em questão, logo, 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-entre-numeros-inteiros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-entre-numeros-inteiros.htm
podemos representar um ou vários conjuntos de maneira 
simultânea. Veja os exemplos: 
• Conjunto único 
Podemos representá-lo utilizando uma única linha fechada, por 
exemplo, vamos representar o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}: 
 
• Entre dois conjuntos 
Devemos fazer dois gráficos como o da representação do 
conjunto único. Entretanto, das operações com conjuntos 
sabemos que: dado dois conjuntos, eles podem ter intersecção 
ou não. Caso os dois conjuntos não possuam intersecção, eles 
recebem o nome de conjuntos disjuntos. 
Exemplo 1 
Represente, utilizando o diagrama de Venn, os conjuntos A = 
{a, b, c, d, e, f} e B = {d, e f, g, h, i}. 
Observe que a intersecção é a parte do diagrama que pertence 
aos dois conjuntos, assim como na definição. 
A ∩ B = {d, e, f} 
 
Exemplo 2 
Represente os conjuntos C = {a, b, c, d}e D = {e, f, g, h}. 
Observe que a intersecção desses conjuntos é vazia, pois não 
possui nenhum elemento que pertença simultaneamente a 
ambos, ou seja: 
C ∩ D = { } 
 
• Entre três conjuntos 
A ideia por trás da representação utilizando o diagrama de Venn 
para três conjuntos é semelhante à da representação entre dois 
conjuntos. Nesse sentido, os conjuntos podem ser disjuntos um 
a um, isto é, não possuem nenhuma intersecção; ou podem ser 
disjuntos dois a dois, ou seja, somente dois deles possuem 
intersecção; ou todos possuem intersecção. 
Exemplo 
Representação, utilizando o diagrama de Venn, dos conjuntos A 
= {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} e C = {d, e, c, h}. 
 
 
 
Relação de Pertinência 
A relação de pertinência é um conceito muito importante na "Teoria dos 
Conjuntos". 
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado 
conjunto, por exemplo: 
D = {w,x,y,z} 
Logo, 
w e D (w pertence ao conjunto D) 
j ɇ D (j não pertence ao conjunto D) 
 
Relação de Inclusão 
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está 
contido (Ȼ) ou se um conjunto contém o outro (Ɔ), por exemplo: 
A = {a,e,i,o,u} 
B = {a,e,i,o,u,m,n,o} 
C = {p,q,r,s,t} 
Logo, 
A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos de A estão em B) 
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os elementos do conjuntos 
são diferentes) 
B Ɔ A (B contém A, donde os elementos de A estão em B) 
Conjunto Vazio 
O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por 
duas chaves { } ou pelo símbolo Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) 
em todos os conjuntos. 
 
União, Intersecção e Diferença entre 
Conjuntos 
A união dos conjuntos, representada pela letra (U), corresponde a união dos 
elementos de dois conjuntos, por exemplo: 
A = {a,e,i,o,u} 
B = {1,2,3,4} 
Logo, 
AB = {a,e,i,o,u,1,2,3,4} 
 
A intersecção dos conjuntos, representada pelo símbolo (∩), corresponde 
aos elementos em comum de dois conjuntos, por exemplo: 
C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d} 
Logo, 
CD = {b, c, d} 
 
A diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de elementos que estão 
no primeiro conjunto, e não aparecem no segundo, por exemplo: 
A = {a, b, c, d, e} - B={b, c, d} 
Logo, 
A-B = {a,e} 
 
Igualdade dos Conjuntos 
Na igualdade dos conjuntos, os elementos de dois conjuntos são idênticos, 
por exemplo nos conjuntos A e B: 
A = {1,2,3,4,5} 
B = {3,5,4,1,2} 
Logo, 
A = B (A igual a B). 
 
Conjuntos Numéricos 
são formados pelos: 
 Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
 Números Inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} 
 Números Racionais: Q = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5,6...} 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
 Números Irracionais: I = {..., √2, √3, √7, 3, 141592…} 
 Números Reais (R): N (números naturais) + Z (números inteiros) + Q (números 
racionais) + I (números irracionais) 
 
União de Conjuntos 
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos 
dados, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os 
elementos dos outros conjuntos. 
Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma 
única vez no conjunto união. 
Para representar a união usamos o símbolo U. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto 
união (A U B). 
Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos 
dados. Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos 
dois conjuntos uma única vez. 
Assim, o conjunto união será: 
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u} 
Intersecção de Conjuntos 
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos 
conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o 
conjunto intersecção ( ). 
Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntos dados que, neste 
caso, são os elementos a e e, assim o conjunto intersecção ficará: 
 = {a, e} 
Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos 
que a intersecção entre eles é um conjunto vazio. 
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø 
 
Diferença de Conjuntos 
A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que 
não aparecem no outro conjunto. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A - B (lê-se A 
menos B). 
 
Conjunto Complementar 
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é 
determinado pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A. 
Este conjunto pode ser representado por 
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A ( ), a diferença 
A - B é igual ao complemento de B. 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto 
diferença entre eles. 
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos 
pertencem ao conjunto A e que também aparecem ao conjunto B. 
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e fpertencem a ambos os 
conjuntos. Assim, vamos retirar esses elementos do resultado. Logo, o 
conjunto diferença de A menos B sera dado por: 
 
A – B = {a, b, c} 
Propriedades da União e da Intersecção 
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas: 
Propriedade comutativa 
 
 
Propriedade associativa 
 
 
Propriedade distributiva 
 
 
Se A está contido em B ( ): 
 
 
 
 
Leis de Morgan 
Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se: 
1.º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares: 
 
2.º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares: 
 
Veja também: Diagrama de Venn 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
1. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são 
iguais. Então podemos afirmar que: 
a) a = 0 e y = 5 
b) x + y = 7 
c) x = 0 e y = 1 
d) x + 2y = 7 
e) x = y 
 
2. (UFU-MG) Sejam A, B e C conjuntos de números inteiros, tais que A tem 8 
elementos, B tem 4 elementos, C tem 7 elementos e A U B U C tem 16 
elementos. Então, o número máximo de elementos que o conjunto D = (A ∩ B) 
U (B ∩ C) pode ter é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
3. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8, 9}: 
I. Ø ∈ U e n (U) = 10 
II. Ø ⊂ U e n (U) = 10 
III. 5 ∈ U e {5} C U 
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira (s): 
a) apenas I e III. 
b) apenas II e IV 
c) apenas II e III. 
d) apenas IV. 
e) todas as afirmações. 
 
Conjunto vazio 
O conjunto vazio possui essa denominação justamente por não possuir 
elementos e pode ser representado por { } ou Ø. 
Conjunto universo 
O conjunto universo é a junção de todos os elementos que estão sendo 
trabalhados em uma situação e é representado pela letra U. 
Exemplo: 
https://www.todamateria.com.br/diagrama-de-venn/
Se possuímos o conjunto A= {2, 4, 6, 8} e o conjunto B= {1, 3, 5, 7, 9}, nesse 
caso teremos o conjunto universo U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Conjunto unitário 
Possuímos também o conjunto unitário que é definido por possuir apenas um 
elemento. Não faz diferença o tipo de elemento que esse conjunto possua, seja 
um número, dia da semana ou animal de estimação, sempre existirá apenas 
um elemento dentro desse conjunto. 
 
Conjunto finito 
O conjunto finito é outro conjunto que se destaca pela quantidade de seus 
elementos. O conjunto finito é aquele que podemos contar o número de 
elementos que ele possui. 
Por exemplo, o conjunto de vogais V= {a, e, i, o, u} possui 5 elementos. Dessa 
forma, o conjunto unitário é também um conjunto finito. 
 
Conjunto dos números infinitos 
Por outro lado, existe também o conjunto dos números infinitos que, ao 
contrário do conjunto dos finitos, são aqueles que não podemos contar o 
número de elementos que possuem. 
A forma de representar um conjunto infinito é por extensão. Assim é necessário 
apenas representar os primeiros elementos do conjunto e usar as reticências, 
ou seja, os três pontos, para representar que os elementos continuam. 
Representação dos conjuntos 
Os conjuntos devem ser representados de acordo com algumas condições. Por 
exemplo: 
1) Conjunto I dos números ímpares menores do que 12. 
I= {1, 3, 5, 7, 9, 11} 
Desse modo, podemos representar a condição de existência desse conjunto 
através da propriedade de seus elementos. 
I = {x/x é ímpar e 0 < x < 12} 
Lê-se: X tal que X é ímpar e X e maior do que 0 e menor do que 12. 
2) Conjunto P de números primos menores do que 15. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13} 
A condição de existência da propriedade dos elementos do conjunto P é: 
P = {x/x é primo e 0 < x < 15} 
Lê-se: X tal que X é primo e maior do que 0 e menor do que 15. 
 
Divisibilidade por 2 
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por 
exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2. 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 3. 
Exemplo: 
 360 (3+6+0=9) → é divisível. 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um 
número divisível por 4. 
Exemplo: 
 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível. 
Divisibilidade por 5 
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Exemplo: 
 2.654.820 → é divisível. 
Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplo: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/valor_absoluto
https://pt.wikipedia.org/wiki/algarismo
 414 → divisível por 6, pois 
o par → divisível por 2 
o 4+1+4=9 → divisível por 3. 
Divisibilidade por 7 
A divisibilidade por também pode ser verificada da seguinte maneira: 
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. 
Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, Como 39 não é divisível por 7 
o número 453 também não é. 
Outro exemplo: → Separando e teremos Como é divisível 
por o número também é. 
Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três 
algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso 
porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. 
Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 
56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7). 
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um 
número múltiplo de 8. 
Exemplo: 
 24512 → é divisível. 
Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 9. 
Exemplo: 
 927 (9+2+7=18) → é divisível. 
Divisibilidade por 10 
Um número é divisível por 10 quando termina em zero. 
Exemplo: 
 154.870 → é divisível 
A divisibilidade por 11 
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o 
número 154. 
 Separe o último algarismo 
15 e 4 
 Subtraía o segundo do primeiro, ou seja, 
15 - 4 = 11. 
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é. 
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, 
que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é. 
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores. 
Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11. 
Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2. 
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e 
os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 
forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma 
ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F 
Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 
703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 
7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6. 
Dois exemplos com números grandes: 
 46116860184273879013074457345618258601230584300921369395018
44674407370955160 → , portanto é divisível. 
 
 46116860184273879033074457345618258602230584300921369395118
44674407370955161 → , portanto não é divisível. 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por quando seus últimos n algarismos forem 0 ou 
divisíveis por 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos for divisível por 
Números primos 
Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois 
divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior 
que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, 
os números 0 e 1 não são primos nem compostos. 
Decomposição em fatores primos (fatoração) 
 
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro 
positivo pode ser escrito como o produtode vários números primos 
(chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um 
número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição 
em fatores primos (fatoração). 
Exemplos: 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) 
entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o maior número 
inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, A definição 
abrange qualquer número de termos. 
Exemplo: 
 
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras 
equivalentes: 
Seja o máximo divisor comum entre e também e o resultado da divisão de 
ambos por respectivamente. 
Então, o seguinte se verifica: 
 
Pode-se calcular o MDC de duas formas: 
 Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das 
divisões sucessivas) 
 Fatoração disjunta 
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, 
multiplicar os fatores comuns de menor expoente. 
Exemplo 
 
24 | 2 
12 | 2 
6 | 2 
3 | 3 
1 | 2³ • 3 
 
40 | 2 
20 | 2 
10 | 2 
5 | 5 
1 | 2³ • 5 
 
Com efeito, 
MDC = 2³ = 8 
https://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Conjuntos/N%C3%BAmeros_inteiros
https://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Conjuntos/N%C3%BAmeros_inteiros
https://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1tica_elementar/Equa%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1
 
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das 
divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números. 
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura: 
 
 A | B | R1 | R2 | R... 
 R1 | R2 | R... | 0 
onde, 
A = um dos números 
B = o outro número 
 = quociente da divisão 
 = resto da divisão (em seguida, ele torna-se 
o divisor de B) 
E assim em diante. 
 
O último resto (antes do 0) será o MDC. 
Exemplo 
 3 3 
 80 | 24 | 8 ← MDC (8) 
 8 | 0 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em 
comum) entre dois números e vulgarmente abreviada como é o 
menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. 
Pode-se calcular o MMC de duas formas: 
 Fatoração conjunta 
 Fatoração disjunta 
 
Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente: 
Exemplo 
 
 
24, 40 | 2 
12, 20 | 2 
https://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Conjuntos/N%C3%BAmeros_inteiros
6, 10 | 2 + 
3, 5 | 3 
1, 5 | 5 
1, 1 | 120 
 
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se 
a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não 
comuns. 
Exemplo 
 
24 | 2 
12 | 2 
6 | 2 x 
3 | 3 
1 | 2³ • 3 
 
40 | 2 
20 | 2 x 
10 | 2 
5 | 5 
1 | 2³ • 5 
 
Com efeito, 
23 • 3 • 5 
8 • 3 • 5 
120, 
Operações com números racionais 
Adição e Subtração 
Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas 
algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do 
outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. 
Exemplo 1: Qual é a soma: 
 
Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 
 
Multiplicação e divisão 
Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por 
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos 
exemplos abaixo: 
 
Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
Potenciação e radiciação 
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o 
exemplo abaixo: 
 
 
Conjuntos Numéricos 
O primeiro conjunto que surgiu foi o dos números naturais, em 
razão da necessidade da humanidade em contar, esses são os 
números positivos: de zero ao infinito. Veja a representação: N= { 
0,1, 2, 3, …}. 
Efetuar operações dentro do conjunto dos números naturais quer 
dizer que o resultando dessa operação deve ser um número 
natural. 
Veja: 3+ 20= 23 então, 23 N (23 pertence ao conjunto dos 
números naturais). 
Do mesmo modo nas demais operações: 
Subtração 35 – 7 = 28 N 
Multiplicação 8 * 5 = 45 N 
Divisão 80 /10 = 8 N 
Se fosse 70 – 100= -30 ∉ N (não pertence ao conjunto dos 
números naturais). 
Com o tempo houve a necessidade de ampliar as representações 
das quantidades, assim surgiu o conjunto dos números inteiros, 
sendo o conjunto dos números naturais mais seu oposto, que são 
os negativos. 
Z = {… -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
A adição com números inteiros: -80 + (-20)= -100 Z 
subtração 90 - (15) = 75 Z 
multiplicação (-8) *(6) = 48 Z 
Divisão -70/10= -7 Z. Caso tivesse -70/4= 17,5 ∉ Z 
Estendendo os conjuntos numéricos temos os números 
racionais, que são aqueles que podem ser representados pela 
razão a/b, onde a Z e b Z. 
Q = { ...-½, 0, ½ …} 
 
Adição 0,5 + 0,5 = 1 Q 
Subtração 4/3 – 2/3= 2/3 Q 
Multiplicação 7/2 * 4= 14 Q 
Divisão 30,5/1000= 0,0305 Q. 
Por outro lado, √2 * 2 = 2,82... ∉ Q 
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Já o Conjunto dos números Irracionais é formado por aqueles 
números que não podem ser representados na forma de fração, 
como : , √2, √3… 
Veja as operações: 
Adição √3 + √2 =3,146... I 
Subtração √7 – = -0,494... I 
Multiplicação *2= 6,26... I 
Divisão / 3= 1,046... I. 
E, finalmente, o conjunto dos números Reais, que é o 
agrupamento dos Racionais e Irracionais R= {Q + I}, como mostra 
o diagrama dos conjuntos. 
Adição dentro do conjunto dos números Reais, - ½ + ½ = 0 R 
Subtração 3,16 – 1,12= 2,2 R 
Multiplicação √2 * √2 = R 
Divisão 1/7= 0,428... R 
TERVALOS REAIS 
Aprenda sobre Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números 
Inteiros, Conjunto dos Números Racionais, Conjunto dos Números Reais, Interv 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
Para obtermos o conjunto dos números naturais, começamos por zero e 
acrescentamos sempre uma unidade para encontrar os outros elementos. 
IN = { 0,1,2,3,4,5, … } 
. 
O conjunto dos números naturais é infinito por isso utilizamos as reticências. 
Quando utilizamos o asterisco(*), estamos excluindo o zero do conjunto, ou seja: 
IN* = { 1,2,3,4,5,6,7, …} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Para obtermos o conjunto dos números inteiros basta utilizar os sinais – e + nos 
elementos do conjunto dos naturais, obtendo, respectivamente, um inteiro positivo 
e um inteiro negativo. A estes elementos acrescentamos o zero e temos o conjunto 
dos números inteiros. 
Z= { …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… } 
Atenção! 
• Números inteiros não nulos 
Z*= {…, -3,-2, -1,1,2,3,…} 
• Números inteiros não positivos 
 
 
Z- = {…, -3,-2, -1,0} 
• Números inteiros negativos 
Z-*= {…, -3,-2, -1} 
Graficamente podemos representar o conjunto dos inteiros da seguinte forma: 
 
O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Os números que podem ser expressos sob a forma sendo m e n números 
inteiros e são chamados de números racionais.O conjunto dos racionais 
pode ser representado por: 
Q = { x/x = , com m Z, n Z e n 0 } 
Podemos afirmar que o conjunto dos racionais é formado por números 
fracionários, decimais exatos, dízimas periódicas e inteiros: 
OBSERVAÇÃO 
• Todo racional possui um oposto e um simétrico. 
• Entre dois números racionais distintos sempre existe um outro número racional. 
• O conjunto dos números naturais e dos inteiros são subconjuntos de Q. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR) 
O conjunto dos números reais é a reunião dos racionais com os irracionais. 
 
Representando graficamente: 
 
Números irracionais são números que possuem uma representaçãoinfinita e 
não periódica: 
Ex. : 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS: As dízimas periódicas são números racionais, pois 
podem ser colocados em forma de fração, denominada fração geratriz. 
INTERVALOS 
O subconjunto dos números reais, determinado por desigualdades é chamado de 
intervalo. 
Assim, podemos ter intervalos como: 
1) Intervalo aberto: 
 
Os extremos a e b não pertencem ao intervalo. 
Outras maneiras de representar esse intervalo são: 
] a, b [ 
{x IR /a < x < b} 
https://www.proenem.com.br/enem/
2) Intervalo fechado: 
 
Os extremos a e b pertencem ao intervalo. 
Outras maneiras de representar esse intervalo são: 
[ a, b ] 
{ x IR / a ≤ x ≤ b } 
3) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (ou simplesmente intervalo 
semiaberto à direita): 
 
Apenas o extremo a pertence ao intervalo. 
Outras maneiras de representar esse intervalo são: 
[ a, b [ 
{ x IR / a ≤ x < b } 
4) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou simplesmente intervalo 
semiaberto à esquerda) 
 
Apenas o extremo b pertence ao intervalo. 
Outras maneiras de representar esse intervalo são: 
] a, b] 
{ x IR / a < x ≤ b} 
https://www.proenem.com.br/enem/
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OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
INTERSECÇÃO 
Se A = {x IR / 2 < x ≤ 6} e B = {x IR / 4 ≤ x < 8}, determine a A B. 
Logo A B = {x IR / 4 ≤ x ≤ 6 } 
UNIÃO 
Se A= {x IR / 2 < x ≤ 6 } e B= { x IR / 4 ≤ x < 8 }, determine A B. 
 
A B = { x IR / 2 < x < 8 } 
Regra de três 
A regra de três é a ferramenta usada para descobrir uma das 
medidas de uma proporção. Ela também é válida para quando 
essa proporção é obtida por meio de grandezas. 
Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, 
monte a proporção entre as medidas observadas e utilize a 
propriedade fundamental das proporções para encontrar a 
medida procurada. 
Exemplo: Um automóvel a 50 km/h percorre 100 km. Se esse 
automóvel estivesse a 75 km/h, teria percorrido quantos 
quilômetros no mesmo período de tempo? 
 50 = 75 
100 x 
50x = 75·100 
50x = 7500 
x = 7500 
 50 
x = 150 km. 
Além disso, quando 
as grandezas forem inversamente proporcionais, será 
necessário inverter uma das frações da proporção formada por 
elas antes de aplicar a propriedade fundamental das 
proporções. 
Exemplo: Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e 
gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo 
automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h? 
Montando a proporção, teremos: 
50 = 2 
75 x 
Aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve 
diminuir, portanto, 
as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo 
uma das frações, teremos: 
50 = x 
75 2 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
75x = 50·2 
75x = 100 
x = 100 
 75 
x = 1,33 
Isso significa que o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos. 
(1,33 h está na base decimal, por isso precisa ser convertido 
para horas, o que também pode ser feito por regra de três). 
Como calcular porcentagens? 
No âmbito da matemática, o cálculo de uma percentagem é feito, por norma, 
através da regra de 3 simples. 
Por exemplo, para determinar o valor de 30% de 200, é preciso ter em mente 
que 100% é sempre igual ao total das unidades, ou seja, 200. 
O valor de unidades referentes a 30% é desconhecido, sendo este número "x" 
a resposta obtida com a Regra de 3. 
100% = 200 | 30% = X 
X/30 = 200/100 
100X = 200.30 
100X = 6000 
X = 6000/100 
X = 60. 
Assim, 30% de 200 é 60. 
 
Números complexos 
Os números complexos constituem a expansão do conjunto dos números 
reais e foram criados para resolver equações com raiz quadrada de um 
número negativo. 
 
 
 
O conjunto dos números complexos foi criado com o intuito de 
resolver equações que envolvem raízes de números negativos. Como 
exemplo, se utilizarmos a fórmula de Bháskara na equação x2 – 6x + 10 
= 0, teremos: 
Δ = b2 – 4·a·c 
Δ = (– 6)2 – 4·1·10 
Δ = 36 – 40 
Δ = – 4 
Como bem sabemos, é impossível que uma equação do segundo 
grau que tem Δ negativo possua solução real. Entretanto, considerando o 
conjunto dos números complexos, podemos solucionar essa equação. 
Na realidade, foi justamente por isso que foi criado esse conjunto. Assim, 
substituindo os valores do exemplo acima na fórmula de Bháskara, 
teremos: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-1.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tres-passos-para-resolver-uma-equacao-segundo-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tres-passos-para-resolver-uma-equacao-segundo-grau.htm
x = – b ± √∆ 
 2a 
x = – (– 6) ± √(–4) 
 2 
x = 6 ± √(–4) 
 2 
Observe que não é possível encontrar √(– 4) dentro do conjunto 
dos números reais, pois 2·2 = 4 e (– 2)(– 2) = 4. A sugestão do 
matemático italiano Rafael Bombelli foi considerar que √(–4) = √(–1·4) = 
2√– 1 é uma forma de solucionar essa equação. E, após isso, deve-se 
trocar √–1 por i. Portanto, as soluções dessa equação seriam: 
x’ = 3 + 2i 
x’’ = 3 – 2i 
Esse tipo de número foi chamado de número complexo. 
 
Forma algébrica 
Os números complexos podem ser apresentados de algumas maneiras 
distintas. A mais comum delas é a forma algébrica, que é usada para 
apresentar as soluções desse tipo de equação. Essa forma é definida da 
seguinte maneira: O número Z é um número complexo se: 
Z = a + bi, 
Em que a e b são números reais e i = √–1. 
Os números complexos são divididos em duas partes: a é 
a parte real do número e b é a sua parte imaginária. Observe que é 
possível obter todo o conjunto dos números reais fazendo uso apenas da 
parte real de Z. Isso significa que o conjunto dos números complexos 
contém o conjunto dos números reais. 
 
Operações entre números complexos 
 
Como se trata de um conjunto numérico, é possível definir todas as 
operações matemáticas envolvendo números complexos. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
A adição entre números complexos deve ser feita apenas entre “termos 
semelhantes”, ou seja, parte real deve ser somada apenas à parte real, 
e parte imaginária apenas com parte imaginária. Essa mesma regra 
também é válida para a subtração. 
Já a multiplicação entre números complexos deve ser feita por meio da 
propriedade distributiva da multiplicação. Assim, dados 
os números complexos z = a + bi e y = c + di, o produto zy será: 
(a + bi)(c + di) 
ac + adi + bci + bdi2 
ac + adi + bci – bd (pois i = √–1) 
ac – bd + (ad + bc)i 
A divisão entre números complexos, em sua forma algébrica, é feita 
multiplicando divisor e dividendo pelo conjugado do dividendo. 
 
Forma polar 
Os números complexos podem ser escritos de outras maneiras que não 
a forma algébrica. A forma polar envolve os conceitos 
da trigonometria, e o número complexo z, em sua forma polar ou 
trigonométrica, é definido como: 
z = p(cosθ + isenθ) 
Para compreender os elementos presentes nessa forma, é preciso 
conhecer algumas informações. 
1 – Todo número complexo representa um vetor no plano de Argand-
Gauss (plano cartesiano em que o eixo x é o eixo real e o eixo y é o eixo 
imaginário). Veja na imagem a seguir o número complexo z = a + bi. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/forma-trigonometrica-ou-polar-um-numero-complexo.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/trigonometria.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/vetores.htmhttps://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/plano-argandgauss.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/plano-argandgauss.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/plano-argandgauss.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
O ângulo formado entre o eixo real (eixo x) e 
o vetor do número complexo z é θ e o comprimento desse vetor é p. 
 
Plano de Argand-Gauss 
A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P 
no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte 
real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto 
no eixo vertical, denominado eixo imaginário. 
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos 
de imagem ou afixo de z. Observe a representação da 
interpretação geométrica dos números complexos: 
 
 
Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como 
plano de Argand-Gauss. 
 
Com base no plano representado vamos calcular a distância p 
(letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta 
aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa 
forma temos: 
 
O mód 
ulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser 
representado por |z|. 
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do 
segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado 
por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as 
seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos: 
 
 
Exemplo 
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i. 
 
Módulo 
a = 1 e b = 2 
 
 
Argumento 
Ө = Arg(z) 
 
 Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2. 
Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z 
= 1 + 2i. 
 
2.16 EQUAÇÕES BINÔMIAS E TRINÔMIAS 
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma abaixo, é 
chamada equação binômia: 
 
Para resolve-la, isolamos xn no primeiro membro e aplicamos a 
segunda fórmula de De Moivre: 
 
Essa equação admite n raízes enésimas de . 
Outro tipo muito comum de equação que envolve números complexos 
é o que se pode reduzir à chamada equação trinômia: 
 
Para solucionála, fazemos uma mudança de variável, , obtendo 
uma equação do 2º grau: 
 
cujas soluções são y’ e y”. 
Retornamos então nas equações iniciais, pois y’ = xn e y” = xn. 
Resolvendo-as, temos as raízes da equação inicial. 
Exemplo: 
Em C, encontre as raízes da equação . 
Resolução: 
 
Vamos procurar as raízes cúbicas de 8i: 
 
Portanto: 
 
Como n = 3, k = 0, k = 1, k = 2, e , temos: 
 
Logo, o conjunto solução da 
equação é . 
 
2) Funções: 
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, 
estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os 
elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do 
outro grupo, através dessa lei. Por exemplo, vamos considerar o conjunto 
A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir 
representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formação y 
= x². 
 
 
Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 
9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser 
representada com a utilização de diagramas de flechas, relacionando 
cada elemento do conjunto A com os elementos do conjunto B. Observe: 
 
No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os 
elementos de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então 
podemos dizer que essa relação é uma função. Dessa forma o domínio é 
dado pelos elementos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do 
conjunto B. 
Definição de domínio e imagem Toda função f(x) pode ser 
representada num sistema cartesiano de eixos por um conjunto de 
pontos (definidos pelas coordenadas - abscissas x e ordenadas y), 
originados pela lei de associação específica daquela função. Esse 
conjunto de pontos pode ou não gerar uma curva característica 
possível de ser definida algebricamente, como uma reta, uma 
parábola, etc. O domínio é o conjunto dos valores possíveis das 
abscissas (x), ou seja, a região do universo em que a função pode ser 
definida. A imagem é o conjunto dos valores das ordenadas (y) 
resultantes da aplicação da função f(x), ou seja, da lei de associação 
mencionada. Por exemplo, 
 
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de 
um conjunto A, chamado domínio, a um único elemento de um 
conjunto B, chamado contradomínio. Uma função pode ser 
classificada como injetora, sobrejetora ou ser ambos ao 
mesmo tempo. Quando ela é classificada como injetora e 
sobrejetora ao mesmo tempo, passa a ser chamada bijetora. 
Conceito de função injetora 
Uma função injetora, também chamada de função injetiva, é 
aquela em que cada elemento da imagem está ligado a um único 
elemento do domínio. O diagrama a seguir ilustra o 
comportamento da função f(x) = 2x, em que o domínio é 
o conjunto dos naturais menores que 4, e o contradomínio é o 
conjunto dos naturais menores que 9. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-conjunto.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/dominio-contradominio-imagem.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/dominio-contradominio-imagem.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
 
Observe que nenhuma das flechas liga um elemento 
do conjunto B a dois elementos do conjunto A. Isso é possível 
nas funções, como é o caso da função f(x) = x2, na qual f(2) = 
f(– 2) = 4, ou seja, em que há elementos de B relacionados a 
dois elementos distintos em A. Logo, a função f(x) = 2x, 
no domínio e contradomínio definidos, é injetora. 
Vale ressaltar que uma função pode ter dois elementos distintos 
de A ligados a um único elemento de B, mas o contrário não é 
possível pela definição de função. 
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Portanto, o conceito mais fundamental de função injetora é: 
qualquer elemento que pertence à imagem de uma função 
injetora está relacionado a um único elemento de seu domínio. 
Definição formal 
Uma função f, definida: 
f: A → B 
f(x) = y 
A função f é injetora se, e somente se, elementos distintos de 
B estão relacionados a elementos distintos de A. 
Algebricamente, dados a e b pertencentes ao conjunto A: 
 
Algumas funções podem ser ou não injetoras dependendo 
do contradomínio definido para elas. A função f(x) = x2, por 
exemplo, não é injetora quando o seu contradomínio é o 
conjunto dos números reais, entretanto, se definirmos o 
contradomínio dessa função como o conjunto dos reais não 
negativos, ela passa a ser injetora. 
Exemplo 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
A função f(x) = x é injetora independentemente do 
seu domínio e contradomínio. Essa função é injetora porque é 
a função identidade. Qualquer que seja o valor de x, o 
resultado obtido após a aplicação da função sobre ele será o 
próprio x. Portanto, cada elemento da imagem estará ligado a 
um único elemento do domínio. 
Em geral, funções do primeiro grau são injetoras, e as funções 
do segundo não. 
 
 
Estas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:A B. 
Função sobrejetora 
Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem 
for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar 
elementos no conjunto B sem receber flechas. Exemplo: 
 
Função injetora 
A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, 
ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode 
haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Exemplo: 
 
Por exemplo, a função f:IR IR definida por f(x)=3x é injetora, pois se x1 x2 então 
3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2). 
Função bijetora 
Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por 
exemplo, a função f: IRIR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo 
anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora. 
Já a função f: IN IN definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} 
e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm 
imagens distintas. Então essa função não é bijetora. 
Resumindo, observe os diagramas abaixo: 
 
 Essa função é sobrejetora, pois não sobra 
elemento em B. 
 Essa função não é injetora, pois existem dois 
elementos com mesma imagem. 
 Essa função não é bijetora, pois não é injetora. 
 
 Essa função é injetora, pois elementos de B são 
“flechados” só uma vez. 
 Essa função não é sobrejetora, pois existem 
elementos sobrando em B. 
 Essa função não é bijetora, pois não é 
sobrejetora. 
 
 Essa função é injetora, pois elementos de B são 
“flechados” só uma vez. 
 Essa função é sobrejetora, pois não existem 
elementos sobrando em B. 
 A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. 
 
Função Par 
 
Estudaremos a forma pela qual se constitui a função f(x) = x² – 
1, representada no gráfico cartesiano. Note que na função, 
temos: 
f(1) = 0; f(–1) = 0 e f(2) = 3 e f(–2) = 3. 
 
f(–1) = (–1)² – 1 = 1 – 1 = 0 
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 
 
f(–2) = (–2)² –1 = 4 – 1 = 3 
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 
 
 
 
 
 
Observe pelo gráfico que existe uma simetria em relação ao 
eixo y. As imagens dos domínios x = – 1 e x = 1 são 
correspondentes com y = 0 e os domínios x = –2 e x = 2 formam 
pares ordenados com a mesma imagem y = 3. Para valores 
simétricos do domínio, a imagem assume o mesmo valor. A 
esse tipo de ocorrência damos a classificação de função par. 
 
Uma função f é considerada par quando f(–x) = f(x), qualquer 
que seja o valor de x Є D(f). 
 
 
Função ímpar 
 
Analisaremos a função f(x) = 2x, de acordo com o gráfico. 
Nessa função, temos que: f(–2) = – 4; f(2) = 4. 
 
f(–2) = 2 * (–2) = – 4 
 
f(2) = 2 * 2 = 4 
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Observe o gráfico e visualize que existe uma simetria em 
relação ao ponto das origens. No eixo das abcissas (x), temos 
os pontos simétricos (2;0) e (–2;0), e no eixo das ordenadas 
(y), temos os pontos simétricos (0;4) e (0;–4). Nessa situação, 
a função é classificada como ímpar. 
 
Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x), 
qualquer que seja o valor de x Є D(f). 
 
As funções periódicas são aquelas nas quais os valores da função 
(f(x) = y) se repetem para determinados valores da variável x, ou 
seja, para cada período determinado pelos valores de x, iremos 
obter valores repetidos para a função. 
Vejamos um exemplo para melhor compreender essa definição: 
 
Façamos uma tabela com alguns valores para a variável x, 
relacionando o valor da função para cada valor de x. 
x 0 1 2 3 4 5 
f(x) 1 -1 1 -1 1 -1 
Note que f(x)= 1 ocorre somente quando o valor da variável x é 
par. 
Note que f(x)= –1 ocorre somente quando o valor da variável x é 
impar. 
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Ou seja, esta é uma função periódica, na qual temos dois períodos 
diferentes, um no qual o valor da função é 1 (f(x)= 1) e outro no 
qual a função é –1 (f(x)= –1). 
Note também que quando x varia duas unidades, o valor da função 
se repete, ou seja: f(x)= f(x+2)= f(x+4)= f(x+6)... Dessa forma, 
podemos afirmar que o período dessa função é 2. 
Sendo assim, podemos definir as funções periódicas da seguinte 
maneira: 
“Uma função é denominada periódica caso exista um número 
real p > 0, tal que: f(x)=f(x+p). Com isso, o menor valor de p, 
que satisfaça essa igualdade, é chamado de período da função 
f”. 
Sendo assim, caso ocorra: f(x)= f(x+1,5)= f(x+3)= f(x+4,5), trata-se 
de uma função periódica cujo período p = 1,5. 
Nas funções trigonométricas, temos exemplos de funções 
periódicas como, por exemplo, a função seno, função cosseno, 
função tangente. 
Exemplo: 
y = cos x 
 
Veja que o valor 1 se repete em um período p = 2π, e que o 
valor y = 0 se repete em um período p = π. 
 
Por Gabriel Alessandro de Oliveira 
Graduado em Matemática 
Equipe Brasil Escola 
Funções periódicas (Seno e 
cosseno) 
 
 
Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. 
Consideremos os conjuntos: 
A={-2,-1,0,1,2} 
B={-2,1,4,7,10} 
C={3,0,15,48,99} 
E as funções: 
f:A B definida por f(x)=3x+4 
g:B C definida por g(y)=y2-1 
 
 
Como nos mostra o diagrama acima, para todo x A temos um único y B tal 
que y=3x+4, e para todo y B existe um único z C tal que z=y2-1. Então, 
concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x)=z ou 
h(x)=9x2+24x+15, pois: 
h(x)=z h(x)= y2-1 
E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1 h(x)= 9x2+24x+15. 
A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por g 
o f (lemos “g composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns 
exercícios para entender melhor a ideia de função composta. 
Exercícios resolvidos 
1) Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)]. 
Resolução: 
f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1 
g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2 
2) Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x). 
Resolução: 
Como f(x)=5x, então f[g(x)]= 5.g(x). 
Porém, f[g(x)]=3x+2, logo: 
5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5 
3) Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)]. 
Resolução: g(3)=3.3-4=5 f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26. 
 
Par ordenado 
É um par de elementos (x ; y) onde a ordem é importante, de modo 
que o par ordenado (x ; y) é considerado diferente do par ordenado (y 
; x). 
Plano Cartesiano 
Sobre um plano, podemos adotar dois eixos perpendiculares OX e 
OY, de origem comum O, de modo que a cada ponto do plano 
podemos associar um par ordenado de números reais. Por exemplo, 
na figura abaixo, o ponto P pode ser representado pelo par ordenado 
(3 ; 15) onde 3 é a abscissa e 15 é a ordenada do ponto: 
 
Relação 
Dados dois conjuntos A e B, uma relação de A em B é um conjunto 
de pares ordenados (x ; y) onde x A e y B. 
Exemplo 
Considerando os conjuntos A e B abaixo podemos considerar as 
seguintes relações de A em B: 
 
R1 = { (1 ; 7) ; (2 ; 5) ; (2 ; 7) ; (3 ; 6)} 
R2 = { (2 ; 7) ; (2 ; 8) ; (3 ; 5)} 
Uma relação pode ser representada por um diagrama de flechas. Para 
as relações de exemplo acima podemos fazer os seguintes 
diagramas: 
 
As flechas unem o primeiro ao segundo elemento de cada par 
ordenado. 
O segundo elemento do par ordenado é chamado de imagem do 
primeiro. Assim, em relação ao par ordenado (1 ; 7), pertencente à 
relação R1, dizemos que 7 é imagem de 1. 
Função 
Uma relação f de A em B é chamada de função de A em B se, e 
somente se forem satisfeitas as condições: 
1ª) Todos os elementos de A possuem imagem; 
2ª) Cada elemento de A tem uma única imagem. 
Exemplos 
Consideremos as relações f, g e h representadas pelos 
diagramas de flechas: 
 
A relação de f não é função pois o número 1 (pertencente a A) 
não possui imagem. 
A relação g não é função pois o elemento a possui duas 
imagens: 4 e 8. 
A relação h é uma função de A em B pois cada elemento de A 
possui uma única imagem. Observe que no conjunto B pode 
haver elementos que não são imagens (17 e 20). Observe 
também que podemos ter dois elementos com a mesma 
imagem (9 e 11). 
Domínio e Conjunto Imagem 
Dada uma função de A em B, o conjunto A é chamado domínio (D(f)) 
da função. O conjunto de todas imagens é chamado conjunto 
imagem (I(f)) da função. Por exemplo, para a função f esquematizada 
a seguir temos: 
 
A = D(f) = domínio de f = {1; 2; 3} 
I(f) = conjunto imagem de f = {7; 8} 
 
 
Para compreender o zero de uma função do 1º grau é necessário 
relembrar dois conceitos importantes: Função do 1º Grau e Equação do 
1º Grau. 
Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
Portanto, o zero de uma função do 1º grau é dado pela expressão: 
 
Logo, o zero da função é dado pelo valor de x que faz com que a funçãoassuma o valor zero. Encontrar este valor de x é muito fácil, pois basta 
resolver a equação do 1º grau. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/definicao-equacao-1-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/definicao-equacao-1-grau.htm
Entretanto, devemos nos atentar para a representação geométrica do zero 
da função, para que possamos compreender como traçar o gráfico de 
forma correta. 
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Veja os pontos marcados sobre o eixo x, note que esses pontos não 
possuem nenhum deslocamento vertical, ou seja, sua coordenada em 
relação ao eixo f(x) é nula, é zero. Portanto, quando se encontra a raiz de 
uma função do 1º grau, ou o zero de uma função do 1º grau, determina-se 
em qual ponto a reta estará cortando o eixo x. 
Encontre o zero da seguinte função: f(x) = 2x-4. 
 
 
 
Note que o valor do coeficiente (a) é positivo, portanto esta é uma função 
crescente. Conhecendo o zero da função podemos esboçar o gráfico desta 
função. 
 
Função constante 
Uma função constante é caracterizada por apresentar uma lei de 
formação f(x) = c, na qual c é um número real. 
 
 
 
A função constante diferencia-se das funções do 1° grau por não poder 
ser caracterizada como crescente ou decrescente, sendo, por isso, 
constante. Podemos afirmar que uma função constante é definida pela 
seguinte fórmula: 
f(x) = c, c 
A representação da relação estabelecida por uma função constante por 
meio do diagrama de flechas assemelha-se com a representação da 
imagem a seguir, pois, independentemente dos valores pertences ao 
domínio, a imagem é sempre composta por um único elemento. 
 
Representação da função constante através do diagrama de flechas 
O gráfico da função constante também apresenta uma particularidade em 
relação às demais funções. Ele é sempre uma reta paralela ou 
coincidente ao eixo x. Vejamos alguns exemplos de funções constantes 
e seus respectivos gráficos: 
Exemplo 1: f(x) = 2 
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o 
eixo y no ponto (0, 2). 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/definicao-funcao.htm
 
Representação da função constante f(x) = 2 
Exemplo 2: f(x) = 0 
O gráfico da função f(x) = 0 é uma reta coincidente ao eixo x que 
intercepta o eixo y na origem. 
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Representação da função constante f(x) = 0 
Exemplo 3: f(x) = – 2x – 8 
 x + 4 
Colocando o –2 em evidência no numerador da função, podemos 
simplificar a função da seguinte forma: 
f(x) = – 2x – 8 
 x + 4 
f(x) = – 2.(x + 4) 
 x + 4 
f(x) = – 2 
Portanto, f(x) é uma função constante cujo gráfico é uma reta paralela ao 
eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, – 2). 
 
Representação da função constante f(x) = (– 2x – 8)/(x + 4) 
Exemplo 4: 
Apesar de o gráfico dessa função ser formado por retas paralelas ao 
eixo x, essa NÃO é uma função constante, pois f(x) apresenta três 
valores distintos. 
 
Nesse caso, temos uma função que NÃO é constante 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é 
aumentado. A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que 
x é aumentado. 
 
 
 
Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único 
elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, 
essas funções assemelham-se a equações que relacionam os 
elementos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. 
Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos 
ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso 
contrário, a função é decrescente. 
Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. 
Observe: 
Funções crescentes 
Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber 
isso, observe a tabela a seguir: 
 
Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. 
Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função 
dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em 
quatro unidades. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teoria-dos-conjuntos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-entre-conjuntos-numericos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/definicao-equacao-1-grau.htm
Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por 
essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o 
gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, 
quanto mais à direita, mais alta a reta fica. 
 
Também é possível dizer que uma função é crescente quando, 
diminuindo-se os valores de x, os valores de y diminuem também. 
Exemplo: 
Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente. 
Se x = 0 
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1 
Se x = 1 
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8 
Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, 
a função é crescente. 
Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico 
é uma reta. Em uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes 
e decrescentes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, ela será 
em toda a sua extensão. 
Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para 
garantir que toda a reta seja crescente. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm
Função decrescente 
Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui 
sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é 
a seguinte: y = – 3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir: 
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Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de 
y diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente. 
Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se 
uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da 
análise do seu gráfico. Observe o gráfico decrescente da função acima: 
 
Exemplo: 
Mostre que a função y = – x é decrescente. 
Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y 
diminui. Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe: 
Se x = 0, 
y = – x = – 0 = 0 
Se x = 1, 
y = – x = – 1 
Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai 
uma unidade; logo, a função é decrescente. 
Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos 
Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau 
é crescente ou decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta 
observar o valor do coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é 
proveniente da forma geral da função do primeiro grau: 
y = ax + b 
“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para 
identificar se funções do primeiro grau são crescentes ou não é a 
seguinte: 
Se a > 0, a função é crescente; 
Se a < 0, a função é decrescente. 
Vamos determinar se as funções a seguir 
são crescentes ou decrescentes. 
a) y = 2x 
Crescente, pois a = 2 > 0. 
b) y = – x 
Decrescente, pois a = – 1 < 0. 
c) y = – 4x + 7 
Decrescente, pois a = – 4 < 0. 
d) y = 4x – 7 
Crescente, pois a = 4 > 0. 
Quando uma função não é crescente nem decrescente, ou seja, quando 
a = 0, ela é uma função constante. Sempre que aumentamos ou 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-constante.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-constante.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-constante.htm
diminuímos o valor de x, y permanece constante. O gráfico de um exemplo 
de funçãoconstante é o seguinte: 
y = 2 
 
 
 
 
Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma delas está associada à um 
subdomínio D1, D2, D3, ... Dn e a união destes n subconjuntos forma o domínio D da função 
original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D. Vamos ver alguns exemplos de 
funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos. 
Gráfico das funções inversas 
O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e . Com esse 
propósito, será desejável usar x como a variável independente para ambas as 
funções, o que significa estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = 
(x). 
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à 
afirmativa que a = (b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico 
de y = (x). 
Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um 
ponto no gráfico de . Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no 
gráfico de produz um ponto no gráfico de f . Contudo, o efeito geométrico 
de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a 
reta y = x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y = (x) são um do outro 
em relação a esta reta (figura 2). Resumindo, temos o seguinte resultado. 
 Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = (x) são reflexões um do outro em 
relação a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela 
reta. 
 
Funções crescentes ou decrescentes têm inversas 
Se o gráfico da função f for sempre crescente ou sempre decrescente sobre o 
domínio de f, então este gráfico pode ser cortado, no máximo, uma vez por 
qualquer reta horizontal e, conseqüentemente, a função f deve ter uma inversa. 
Uma forma de dizer se o gráfico de uma função é crescente ou decrescente em 
um intervalo é pelo exame das inclinações de suas retas tangentes. O gráfico 
de f deve ser crescente em qualquer intervalo, onde f'(x)>0 (uma vez que as 
retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer 
intervalo onde f'(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação 
negativa). Essas observações sugerem o seguinte teorema. 
 
 Se o domínio de f for um intervalo no qual f' (x)>0 ou no qual f'(x)<0, então a função f tem 
uma inversa. 
Exemplo 
O gráfico de f(x) = é sempre crescente em , uma vez que 
 
para todo x. Contudo, não há maneira fácil de resolver a equação y 
= para x em termos de y; mesmo sabendo que f tem uma inversa, não 
podemos produzir uma fórmula para ela. 
OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade 
de achar uma fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é 
necessário que se desenvolvam formas de achar propriedades de funções, as 
quais não têm fórmula explícita para se trabalhar com elas. 
 
Função Linear 
MATEMÁTICA 
A função linear é um tipo especial de função do 1° grau cuja lei de 
formação é do tipo f(x) = a.x (a é real e diferente de zero). 
 
Uma função do 1° grau ou função afim é definida pela lei de 
formação f(x) = a.x + b, na qual a e b são reais e a ≠ 0. Mas entre a 
vasta gama de funções do 1° grau, existe um tipo particular de 
grande importância: a função linear. 
A função linear é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de 
formação é do tipo f(x) = a.x, com a real e diferente de zero. 
Observe que toda função que não possui valor para o 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tipos-de-funcao.htm
coeficiente b é classificada como função linear e, por 
consequência, é também uma função afim. 
Vejamos alguns exemplos de função linear e seus 
respectivos gráficos: 
Exemplo 1: f(x) = 2x 
Essa é uma função linear que pode ser classificada 
como crescente, uma vez que a = 2 > 0. Podemos visualizar seu 
gráfico na imagem a seguir: 
 
Gráfico da função f(x) = 2x 
Exemplo 2: f(x) = – x 
 2 
Essa é uma função linear decrescente, pois a = – ½ < 0. Observe 
seu gráfico na figura a seguir: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-crescente-funcao-decrescente.htm
 
Gráfico da função f(x) = – x/2 
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Exemplo 3: f(x) = 3x 
Essa é uma função linear classificada como crescente, já que a = 3 
> 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir: 
 
Gráfico da função f(x) = 3x 
Exemplo 4: f(x) = – x 
Essa é uma função linear decrescente. Ela é assim classificada 
porque a = – 1 < 0. Veja seu gráfico: 
 
Gráfico da função f(x) = – x 
Observe que em todos os exemplos anteriores os gráficos 
apresentam algo em comum. Esta é uma característica muito 
importante do gráfico da função linear: a reta sempre intercepta 
os eixos x e y na origem das coordenadas (0,0). 
Exemplo 5: f(x) = x 
Temos aqui uma função linear crescente, pois a = 1 > 0. Mas além 
de ser uma função linear f(x) = x, é também uma função 
identidade — que é do tipo f(x) = a.x, com a = 1. Veja a seguir 
como é o gráfico da função identidade: 
 
 
É chamada função afim toda função polinomial do primeiro grau. 
Formalmente escrevemos que: 
Uma função f:R→R é uma função afim quando existem dois números 
reais a e b tais que satisfaçam a seguinte 
condição, ∀x∈R e b≠0 temos: 
y=f(x)=ax+b 
Onde: 
 a é o coeficiente angular do gráfico de f 
 b é o coeficiente linear, ou o ponto de intersecção com o eixo y 
 x é a variável independente. 
 
https://www.infoescola.com/matematica/funcao-polinomial/
Podemos determinar o valor de a pela tangente do ângulo α formado 
pela interseção do gráfico da função com o eixo x, ou seja: 
tgα=a 
Basicamente, o gráfico de uma função afim será sempre uma reta. Os 
fatores que vão determinar a sua posição no plano são os coeficientes 
linear e angular, particulares de cada função. Vamos apresentar alguns 
problemas que envolvem funções afim: 
Exemplo 1) Supondo que você é um vendedor, cujo salário mensal é 
de R$ 2.000,00. Porém, a cada produto vendido você ganha uma 
comissão de 5%, ou 0,05 vezes o valor do produto. A função que 
descreverá, em função do valor vendido durante o mês é do tipo afim, 
e será descrita pela lei: 
f(x) = 0,05x + 2000 
 
Existem ainda alguns casos particulares das funções afim. Estes são: 
Função identidade 
Seja uma função f:R→R definida por f(x) = x. Então, neste caso se a 
= 1 e b = 0, o gráfico de uma função identidade é chamada de bissetriz 
https://www.infoescola.com/matematica/funcao-identidade/
dos quadrantes impares, que passam pelo 1º e 3º quadrante e na 
origem do eixo cartesiano (0, 0). 
 
Função constante 
Uma função f:R→R é dita constante quando f(x) = b, logo a = 0. Seu 
gráfico será sempre uma reta paralela ao eixo x e que intercepta o eixo 
y num ponto b. 
Por exemplo, seja a função f(x) = 2, o seu gráfico será: 
 
Função linear 
Uma função f:R→R é dita constante quando f(x) = ax, logo b = 0. Seu 
gráfico será sempre uma reta paralela que intercepta a origem do eixo 
cartesiano. Por exemplo, a função f(x) = 2x terá a sua representação 
gráfica dada por: 
 
Translação da função identidade 
Se tomarmos a função identidade e acrescentarmos à ela um 
coeficiente linear e mantendo o seu coeficiente angular igual a 1, 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2018/05/img_5b02cc445ae10.png
ocorrerá a translação da reta. A função será definida por f(x) = x+b 
sendo a = 1 e b≠0. Por exemplo, f(x)= x-3: 
 
Características das Funções Afim 
 Uma função afim é crescente se a > 0; 
 Uma função afim é decrescente se a < 0; 
Função quadrática ou função do 2º grau 
Definição 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer 
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e 
c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: 
 f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é 
uma curva chamada parábola. 
Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: 
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor 
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
 
0 0 
1 2 
2 6 
 
Observação: 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos 
sempre que: 
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores 
pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A 
lei de formação que intitula uma determinada função, possui três 
características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas 
características podem ser representadas por um diagrama de 
flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. 
Observe: 
 
Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) 
e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas: 
 
 
 
A B 
x f(X) 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
5 6 
 
Nessa situação, temos que: 
 
Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. 
(1, 2, 3, 4, 5) 
 
Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto 
B. 
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 
 
Imagem: representada pelos elementos do contradomínio 
(conjunto B) que possuem correspondência com o domínio 
(conjunto A). 
(2, 3, 4, 5, 6) 
 
 
O conjunto domínio possui algumas características especiais que 
definem ou não uma função. Observe: 
 
 
Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir 
representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não 
ocorra, a lei de formação não pode ser uma função. 
 
Função 
 
 
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 
Não é uma função 
 
 
 Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens. 
 
Não é função 
 
 
 
 
Um elemento do domínio não pode possuir duas imagens distintas. 
 
Não é Função 
 
 
 Restam elementos no conjunto domínio, que não foram 
associados ao conjunto imagem. 
 A Função Linear é uma função f : ℝ→ℝ definida como f(x) = a.x, sendo 
a um número real e diferente de zero. Esta função é um caso particular 
da função afim f(x) = a.x + b, quando b = 0. 
 O número a que acompanha o x da função, é chamado de coeficiente. 
Quando seu valor for igual a 1, a função linear será também chamada de 
função identidade. 
 Exemplo 
 Em uma loja são vendidos relógios, cujo preço de venda é igual a R$ 
40,00. O valor da receita total da venda desses relógios é obtida 
multiplicando-se o preço de cada unidade pela quantidade vendida. 
Considerando x a quantidade vendida, determine: 
 a) uma função que represente a situação descrita. 
b) o tipo de função encontrada. 
c) o valor da receita quando forem vendidos 350 relógios. 
 Solução 
 a) O valor da receita total em função da quantidade vendida pode ser 
representada por: f(x) = 40.x 
b) A função encontrada é uma função do 1º grau, sendo o valor de b = 0. 
Desta forma, é uma função linear. 
c) Para encontrar a receita correspondente a venda de 350 relógios, 
basta substituir este valor na expressão encontrada. Assim: 
 f(x) = 40 . 350 = 14 000 
 Portanto, ao vender 350 relógios, a receita bruta da loja será igual a R$ 
14 000,00. 
 Gráfico da Função Linear 
 O gráfico da função linear é uma reta, que passa pela origem, ou seja, 
pelo ponto (0,0). O coeficiente a da função, corresponde a inclinação 
desta reta. 
 Abaixo, representamos a função f(x) = 1/2 x, g(x) = x (função identidade) 
e h(x) = 2x. Note que quanto maior o valor do a, maior é a inclinação da 
reta. 
 
 Veja também: Equação da Reta 
 Função Crescente e Decrescente 
 As funções lineares serão crescentes quando ao aumentarmos o valor 
do x, o valor da função também aumenta. Por outro lado, serão 
decrescentes quando aumentado o x a função diminuirá. 
 Para sabermos se uma função linear é crescente ou decrescente, basta 
identificar o sinal do coeficiente. Se a for positivo, a função será 
crescente, se for negativo será decrescente. 
 Abaixo, apresentamos o gráfico da função f(x) = 3/2.x e g(x) = - 3/2.x: 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/equacao-da-reta/
 
 
Exercícios Resolvidos 
 1. (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um 
desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: 
 a) f(x) = x - 3 
b) f(x) = 0,97x 
c) f(x) = 1,3x 
d) f(x) = -3x 
e) f(x) = 1,03x 
 
 
 2.(Fatec) Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, onde f(x) 
representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, 
na Copiadora Reprodux. 
 
 De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa Copiadora 
por 
 a) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50. 
b) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65. 
c) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50. 
d) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00 
e) 75 cópias de um mesmo original é R$8,00. 
 
 Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1° Grau 
Dada uma função afim definida por , com e , 
temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o 
valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, o valor de x que 
torna y = 0. 
 
Vamos analisar o gráfico da função que temos ao lado: 
Podemos notar que no ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o 
valor de x, que neste caso é 3, anulando a função, ou seja, cuja ordenada (y) é 
igual a zero. Então x = 3 é a raiz da função. 
Toda função na forma possui uma única raiz. 
 
 
Determinando a Raiz de uma Função 
Polinomial do 1° Grau 
Vamos determinar algebricamente a raiz da função que vimos 
acima. 
Para que um valor x seja raiz da função, é preciso que tenhamos f(x) = 0. 
Vamos realizar tal substituição na lei de formação da função: 
 
Note que obtivemos uma equação do primeiro grau, portanto para 
determinarmos o valor de x basta que a solucionemos: 
 
Como já era de se esperar, para y = 0 temos que x = 3, o que nos leva ao 
ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, como vimos destacado no gráfico 
anterior. 
Resumindo, para determinarmos a raiz de uma função afim basta substituirmos 
o f(x) ou y da regra de associação da função, por 0 e solucionarmos a equação 
do primeiro grau encontrada, obtendo assim a raiz da função. 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, ela 
é crescente ou decrescente para qualquer elemento do seu domínio, mas como 
isto não acontece para todas as funções, o conceito de função crescente e 
de função decrescente é aplicado a intervalos do domínio da função. 
 
Função Crescente 
Uma função é crescente em um dado intervalo [x1, x2] do seu domínio quando 
tivermos a seguinte implicação: 
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrau.aspx
 
 
Ou: 
 
Podemos ver no gráfico ao lado que quando aumentamos o valor de x, o valor 
de f(x), isto é, o valor de y também aumenta. 
O ponto (x1, y1) está abaixo do ponto (x2, y2), o que indica que a função está 
crescendo. 
 
 
Função Decrescente 
Uma função é decrescente em um dado intervalo [x1, x2] do seu domínio 
quando tivermos a implicação a seguir: 
 
 
Ou: 
 
Como percebemos no gráfico ao lado, quando aumentamos o valor de x, o valor 
de f(x), ou seja, o valor de y pelo contrario diminui. 
Neste caso o ponto (x1, y1) está acima do ponto (x2, y2), indicando que a função 
está decrescendo. 
Vimos acima que podemos identificar se uma função afim é crescente ou 
descrente através do seu gráfico, mas e se não tivermos o gráfico da função? 
 
 
Coeficiente Angular de uma Função 
Polinomial do 1° Grau 
Em qualquer função afim definidapor , com e , 
assim identificamos a e b: 
a: Coeficiente angular 
b: Coeficiente linear 
Quando estudamos as funções lineares vimos que é o valor do coeficiente b, 
o coeficiente linear, que determina a ordenada (y) do ponto com abscissa (x) 
igual a zero. 
Agora vamos ver que através do coeficiente angular podemos determinar se 
uma função afim é crescente ou decrescente. 
O coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. É a 
tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas na direção 
positiva. Em nosso caso a reta é a do gráfico da função. 
Quando a > 0 a função é crescente, pois ao aumentarmos o valor de x, o valor 
de y também aumenta. 
Quando a < 0 a função é decrescente, já que ao aumentarmos o valor de x, o 
valor de y diminui. 
Como já estudamos, por definição em uma função afim temos que , pois 
sabemos que quando temos uma função constante cuja reta no gráfico 
é paralela ao eixo das abscissas, não sendo portanto nem crescente, 
nem decrescente. 
 
No gráfico vimos que a função é crescente. 
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLinear.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfim.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoConstante.aspx
Poderíamos chegar à mesma conclusão simplesmente analisando o 
seu coeficiente angular, como a = 3 temos que a > 0, logo a função é 
crescente. 
 
 
Estudo do Sinal de uma Função Afim 
Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central 
desta página. 
Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é 
que identificar para quais valores de x temos f(x) com 
valor negativo, nulo ou positivo. 
 
Vamos voltar ao gráfico da função e analisá-lo deste outro 
ponto de vista. 
Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos que f(x) < 0, pois 
estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas. 
Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. 
Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico 
que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. 
 
 
Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de 
uma Função Afim 
Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer 
previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida 
por , terá a seguinte raiz: 
 
 
 
Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0) 
 
Como supracitado o fato de uma função afim ser crescente ou decrescente 
depende do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então 
para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este: 
Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz. 
Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já que f(x) < 0 e 
estamos analisando a situação quando a > 0. 
Continuando a análise do gráfico vemos que para valores de x maiores que a 
raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a. 
Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto 
é, a função é nula. 
 
 
Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0) 
 
Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos 
através deste outro gráfico: 
Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira 
oposta ao que tínhamos quando a > 0. 
Para valores de x menores que a raiz podemos observar que f(x) > 0, possuindo 
a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero. 
Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a 
função o mesmo sinal de a. 
Lembrando que a raiz da função é , para uma melhor 
compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na 
seguinte tabela: 
 
 
a < 0 a > 0 
f(x) < 0 
 
f(x) = 0 
 
f(x) > 0 
 
 
 
Vamos novamente estudar o sinal da função , mas agora a partir 
do resumido por esta tabela. 
Como a = 3 e portanto a > 0, vamos utilizar os dados a última coluna, além 
disto já vimos anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3. 
Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz pelo seu valor 3 e eliminando 
a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é 
positivo: 
 
 
a > 0 
f(x) < 0 
 
f(x) = 0 
 
f(x) > 0 
 
 
 
Concluindo o estudo da função , partir da tabela temos que: 
A função é negativa para . 
A função é nula para . 
A função é positiva para . 
 
Máximos e Mínimos de uma 
função: teste da primeira 
derivada 
 
Grosseiramente podemos dizer que os pontos de Máximos 
e Mínimos de uma função são os pontos de picos e de depressões 
da função. Veja o gráfico: 
 
Observando o gráfico podemos identificar que os 
pontos f(a) e f(b) são pontos de máximo local e f(0) é ponto de 
mínimo local. 
Ainda mais, podemos dizer que o ponto f(b) é um máximo absoluto 
e f(0) é ponto de mínimo absoluto, pois f(b) é o maior valor 
de f e f(0) é o menor valor de f : 
 . 
Mas como encontrar estes pontos em uma função 
qualquer que não se conheça o gráfico? 
Observamos que nos pontos de máximos e de mínimos de uma 
função com intervalos infinitos encontram-se os pontos críticos 
(pontos de inflexão). 
Assim, quando derivamos e igualamos a zero, encontram-se estes 
pontos, , para retomar como se encontram os pontos 
críticos clique aqui. 
Cuidado: nem todo ponto de inflexão é um ponto de máximo ou 
mínimo, sempre faça o estudo do sinal da função antes e depois dos 
pontos encontrados, pois o sinal deve mudar. 
Veja o exemplo da função para o domínio , na 
qual e onde encontramos , porém esta 
função é monótona crescente (sempre crescente), não havendo troca 
de sinal em 0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos. 
Obs: quando temos uma função f continua em um intervalo 
fechado, [a,b], então tem-se pontos de máximos ou mínimos locais 
em a e b, mas não necessariamente máximos ou mínimos absolutos. 
 
Inequação Produto e Inequação Quociente 
Inequação Produto 
 
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os 
valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela 
inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. 
Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)*( – 3x 
+ 12) > 0. 
 
Vamos estabelecer as seguintes funções: y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 
12. 
 
Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 
crescente e a < 0 decrescente). 
http://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de-derivadas/estudo-do-sinal-da-funcao/
 
y1 = 2x + 6 
2x + 6 = 0 
2x = – 6 
x = –3 
 
y2 = – 3x + 12 
–3x + 12 = 0 
–3x = –12 
x = 4 
 
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)*(– 3x + 12) > 0. 
Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os 
possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo. 
 
Através do esquema que demonstra os sinais da inequação 
produto y1*y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos 
valores de x: 
x Є R / –3 < x < 4 
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Inequação quociente 
 
Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos 
recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos 
a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou 
menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da 
seguinte inequação quociente: 
 
 
 
Resolver as funções y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1, determinando a raiz da 
função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 
decrescente). 
 
y1 = x + 1 
x + 1 = 0 
x = –1 
 
 
 
 
y2 = 2x – 1 
2x – 1 = 0 
2x = 1 
x = 1/2 
 
 
 
 
Com base no jogo de sinal concluímos que x assume os seguintes 
valores na inequação quociente: 
 
x Є R / –1 ≤ x < 1/2 
 
Função modular 
Por José Roberto Lessa 
Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018) 
Vamos relembrar o conceito de módulo (ou valor absoluto) de um número real: 
O módulo de um número real r é representadopor |r| onde: 
|r| = r se r ≥ 0 
|r| = -r se r < 0 
E também, algumas propriedades envolvendo os módulos de números reais, algumas 
delas são: 
|x|≥0∀x∈R 
|x|=0⇒x=0 
|x|≥x∀x∈R 
https://www.infoescola.com/autor/jose-roberto-lessa/3372/
https://www.infoescola.com/matematica/modulo/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
|x|≥|−x|∀x∈R 
|x2|=|x|2=x2 
|x+y|≤|x|+|y| 
|x−y|≥|x|−|y| 
|x⋅y|=|x|⋅|y| 
|xy|=|x||y| 
||x|−|y||≤|x−y| 
Função modular 
Agora, definimos uma função modular como: 
Seja uma função f:R→R e dada por f(x) = |x| então: 
f(x)={x,−x, se x≥0 se x<0 
Uma alusão interessante para as funções modulares é que podemos imaginar que o 
eixo x é um espelho para o gráfico das funções. Tudo que está abaixo da origem 
do plano cartesiano no eixo y, ou seja, valores negativos de y, não assumirá valores. 
Vejamos abaixo o exemplo de duas funções: 
f(x) = x 
https://www.infoescola.com/matematica/plano-cartesiano/
 
 
f(x) = |x| 
 
Exemplo 1) Seja a função f:R→R definida por f(x)=|x2−6x+5|, o seu gráfico é 
dado por: 
 
Exemplo 2) Seja a função f:R→R definida por f(x)=|senx|, o seu gráfico é dado 
por: 
 
Exemplo 3) Agora a função f:R→R definida por f(x)=|x−1|+|x−3|. Para construir 
este gráfico devemos considerar primeiro a solução da equação modular na qual ela é 
definida. Para isso é necessário atribuir algumas condições eliminando os módulos das 
funções segundo as propriedades apresentadas. Veja abaixo: 
1) Se x≥3={|x−1|=x−1|x−3|=x−3 
https://www.infoescola.com/matematica/equacao-modular/
Então podemos dizer que: 
f(x) = (x-1) + (x-3) = x-1 + x - 3 = 2x-4 
2) Se 1≤x<3={|x−1|=x−1|x−3|=−(x−3)=−x+3 
Logo: 
f(x) = (x-1) + (-x+3) = x-1-x+3 = 2 
3) Se x<1={|x−1|=−(x−1)=−x+1|x−3|=−(x−3)=−x+3 
Então: 
f(x) = (-x+1) + (-x+3) = -x+1-x+3 = -2x+4 
4) Concluindo que a nossa função terá como condições: 
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪2x−4,2,−2x+4, se x≥3 se 1≤x<3 se 
x<1 
O seu gráfico então será dado por: 
 
Exemplo 4) Vamos determinar o gráfico de f(x)=|x−1|+2. Eliminando os módulos 
segundo as propriedades, temos que: 
f(x)={x+1,−x+3, se x≥1 se x<1 
O seu gráfico será dado por: 
 
 
A função modular mais simples é a função f(x) = ?x?. Assim, f x = | x | 
= { x , se x ≥ 0 - x , se x < 0 ou seja, a função é uma reta 
decrescente (a bissetriz dos quadrantes pares) até x = 0 e uma reta 
crescente (a bissetriz dos quadrantes ímpares) após esse ponto. E o 
gráfico dessa função é: [ x ] Exemplos: 1) Construir o gráfico 
da função f x = | x - 2 | . ou seja, Assim, a função é a reta y = -x + 
2, antes do ponto x = 2, e a reta y = x - 2, após esse ponto. E o 
gráfico: Compare esse gráfico com o anterior. Para tanto, 
vamos traçar os dois no mesmo plano: O segundo gráfico 
represen... - Veja mais em 
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/funcoes-
modulares-1-construindo-o-grafico-da-funcao.htm?cmpid=copiaecola 
Equações são expressões matemáticas algébricas que possuem uma ou 
mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. 
Equação modular se enquadra neste conceito geral, mas no caso das 
modulares, as incógnitas se encontram dentro do módulo; dessa forma, 
devemos respeitar as condições do módulo de um número, que é a 
seguinte: 
 
|x| = x, se x ≥ 0 
-x, se x < 0 
 
Veja alguns exemplos de equações que são modulares: 
 
|x + 3| = 5 
 
|x| – 9 = 8 
 
– |2x| = 10 
 
3*|x|2 – 8*|x| + 5 = 0 
 
|x2 – 2x + 8| = 32 
 
 
Para uma melhor compreensão da resolução de uma equação modular, 
acompanhe as demonstrações a seguir: 
 
Exemplo 1 
|x| = 6 
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um 
número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu 
módulo, e 6 é positivo, mas o valor de x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 
6 e |–6| = 6, portanto, x = 6 ou x = –6 
 
 
Exemplo 2 
|x| = 0 
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor 
que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0. 
 
 
Exemplo 3 
|x| = –12 
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo, no caso em 
que o módulo é –12 não irá existir valor real para x, portanto, a solução 
dessa equação será conjunto vazio. 
 
Exemplo 4 
|x + 3| = 5 
 
x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2 
x + 3 = –5 → x = –5 –3 → x = – 8 
 
 
Exemplo 5 
|x + 5| = x + 5 
Condição: x + 5 ≥ 0, a equação só é possível se x + 6 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 
6. 
 
x + 5 = x + 5 → x – x = 5 – 5 → 0x = 0 (indeterminado) 
x + 5 = –(x+5) → x + 5 = –x –5 → x + x = –5 –5 → 2x = –10 → x = –5 
 
S = {x ? R / x = –5} 
 
 
 
Exemplo 6 
|x – 3| + 4x = 8 
|x – 3| = 8 – 4x 
 
Condição: x – 3 ≥ 0, se 8 – 4x ≥ 0, ou seja, –4x ≥ –8 → 4x ≤ 8 → x ≤ 2. 
 
x – 3 = 8 – 4x → x + 4x = 8 + 3 → 5x = 11 → x = 11/5 (não satisfaz a 
condição x ≤ 2) 
 
x – 3 = – (8 – 4x) → x – 3 = – 8 +4x → x – 4x = – 8 + 3 → –3x = –5 → x = 
5/3 (satisfaz a condição x ≤ 2) 
 
S = {x ? R / x = 5/3} 
O módulo de um número é igual a sua distância até zero. Sendo a 
grandeza distância sempre positiva, conclui-se que o módulo de um 
número é sempre positivo. Para encontrar o módulo de um número x, 
por exemplo, siga essa regra prática: 
 
Por exemplo: |6| = 6, pois 6 > 0. Já |– 6| = – (– 6) = 6. 
Agora que já relembramos o conceito de módulo, vamos ingressar nas 
inequações modulares. 
Inequação modular 
Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em 
módulo. Veja alguns exemplos: 
 |x| > 6 
 |x| ≤ 4 
 |x + 3| > 7 
 |4x + 1| ≥ 3 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacao-modular.jpg
Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de 
inequação: 
 |x| > a → x < – a ou x > a. 
 |x| < a → – a < x < a. 
 |x| ≤ a → – a ≤ x ≤ a. 
 |x| ≥ a → x ≤ – a ou x ≥ a. 
 |x – a| ≤ b → – b ≤ x – a ≤ b → a – b ≤ x ≤ a + b 
Resolução de inequações modulares 
Agora que você já conhece o conceito sobre inequações modulares e 
suas propriedades resolutivas, é hora de colocar a mão na massa. 
Antes de analisar as resoluções, tente resolver, utilizando as 
propriedades explanadas anteriormente, os modelos de inequações 
modulares acima. Veja as resoluções a seguir: 
|x| > 6 
x < – 6 ou x > 6 
S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6} 
|x| ≤ 4 
– 4 ≤ x ≤ 4 
S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4} 
|x + 3| > 7 
x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7 
Se x + 3 < – 7, então: 
x < – 7 – 3 
x < – 10 
Se x + 3 > 7, então: 
x > 7 – 3 
x > 4 
S = {x ∈ R | x < – 10 ou x > 4} 
|4x + 1| ≥ 3 
4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3 
Se 4x + 1 ≤ – 3, então: 
4x ≤ – 3 – 1 
4x ≤ – 4 
x ≤ – 1 
Se 4x + 1 ≥ 3, então: 
4x ≥ 3 – 1 
4x ≥ 2 
x ≥ ½ 
S = {x ∈ R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½} 
 
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é 
sempre maior que zero e diferente de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta 
em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função 
constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns 
expoentes a função não estaria definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos 
números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria 
imagem da função para esse valor. 
Exemplos: 
f(x) = 4x 
f(x) = (0,1)x 
f(x) = (⅔)x 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente. 
Gráfico da função exponencial 
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero 
é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá 
sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes 
III e IV (imagem negativa). 
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial. 
 
Função Crescente ou Decrescente 
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
Será crescente quandoa base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é 
uma função crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no 
expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados 
estão na tabela abaixo. 
 
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua 
imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função. 
 
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores 
que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na 
tabela abaixo. 
 
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os 
valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a 
função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note 
que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica. 
 
Função Logarítmica 
 
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é 
definida como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1. 
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve 
elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x. 
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são 
simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III. 
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, 
por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica. 
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
https://www.todamateria.com.br/logaritmo/
 
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce 
rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente. 
 
Equações exponenciais 
Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita a ser determinada 
comparece como expoente. 
Para resolver uma equação exponencial, você deve reduzir ambos os membros 
da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os expoentes para 
recair numa equação comum. 
Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois 
membros à mesma base. Para resolvê-las, freqüentemente é conveniente 
utilizar uma variável auxiliar. 
Aplicações 
01. Resolva a equação 5x = 125. 
Solução: 
5x = 125→ 5x = 5 3 →x = 3 
02. Resolva a equação 32x + 4.3x + 3 = 0. 
Solução: 
A expressão dada pode ser escrita na forma: 
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0 
Fazendo 3x = y, temos: 
y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3 
Como 3x= y, então 3x= 1 x = 0 ou 3x = 3 x = 1 
Portanto, S = {0,1}. 
Inequações exponenciais 
Dada uma desigualdade de potências, sendo an > am: 
1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e 
maiores que 1, é maior a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade 
é conservada) 
1.° caso: a > 1 
 
 
O que é uma equação logarítmica ? 
Equação logarítmica é uma equação onde a incógnita aparece num logaritmo. 
Exemplo: 
log3(2x + 1) = 2 
 
Como resolver uma equação logarítmica ? 
Estudaremos as equações logarítmicas que podem ser resolvidas reduzindo todos 
os termos a logarítmicos de mesma base. 
Sendo a positivo e diferente de zero, se: 
logaA = logaB então A = B 
Observação importante: 
Ao resolver uma equação logarítmica é sempre preciso verificar se as soluções 
encontradas satisfazem à condição de que todos os logaritmos sejam de números 
positivos, uma vez que não existem logaritmos de números negativos. Esta é 
denominada de condição de existência. 
Exemplos: 
 
Quando existirem na equação logarítmica logaritmos de bases diferentes, 
inicialmente reduzimos os logaritmos à mesma base. 
 
 
O que é uma inequação logarítmica ? 
Inequação logarítmica é toda inequação onde a incógnita aparece num logaritmo. 
Exemplo: 
log3(2x + 1) < 2 
 
Como resolver uma inequação logarítmica ? 
Estudaremos as inequações logarítmicas que podem ser resolvidas reduzindo todos 
os termos 
a logarítmicos de mesma base. 
Sendo a > 1, como a função é crescente 
logaA > logaB então A > B 
as desigualdades possuem o mesmo sentido 
Exemplo 
 
Sendo 0 < a < 1, como a função é decrescente 
logaA > logaB então A < B 
as desigualdades possuem o sentidos contrários 
 
Trigonometria 
 
A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes 
entre os lados e os ângulos dos triângulos. 
Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, 
biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc. 
Funções Trigonométricas 
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos 
retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e 
tangente. 
 
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois 
lados do triângulo em função de um ângulo. 
Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa: 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. 
O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções 
trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 
https://www.todamateria.com.br/circulo-trigonometrico/
 
Teoria Euclidiana 
Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da 
trigonometria são: 
Lei dos Senos 
A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o 
valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante. 
Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é 
representada pela seguinte fórmula: 
 
Lei dos Cossenos 
A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um 
dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o 
dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles. 
Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira: 
https://www.todamateria.com.br/lei-dos-senos/
https://www.todamateria.com.br/lei-dos-cossenos/
 
Lei das Tangentes 
A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos 
de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. 
Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, 
opostos a estes três lados, têm-se a expressão: 
 
 
Teorema de Pitágoras 
O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de 
Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos. 
Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° 
(ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado 
de sua hipotenusa: 
a2 = c2+ b2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
c e b: catetos 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
https://www.todamateria.com.br/pitagoras/
https://www.todamateria.com.br/pitagoras/
 
Leia também: Trigonometria no Triângulo Retângulo. 
História da Trigonometria 
A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam 
calcular o tempo, sendo também muito importante nas pesquisas sobre 
navegação. 
Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, 
foi quem introduziu a Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é 
considerado o fundador ou o Pai da Trigonometria. 
Curiosidade 
O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) 
e metrein (medidas). 
Exercícios de Vestibular sobre 
Trigonometria 
1. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 
4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é: 
a) 2√3 
b) √3/3 
c) √3/6 
d) √20/20 
e) 3√3 
Ver Resposta 
2. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° 
com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se 
verticalmente de: 
a) 6√3 m. 
b) 12 m. 
c) 13,6 m. 
d) 9√3 m. 
e) 18 m. 
 
https://www.todamateria.com.br/trigonometria-no-triangulo-retangulo/
3. (Unicamp)A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos 
ângulos agudos é o triplo do outro. 
a) Calcule os comprimentos dos catetos. 
√(2+√2)/2 e √(2-√2)/2 
b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros. 
O cateto maior vale √(2+√2)/2 
Logo, 
y2 = (2+√2)/4 = (2 + 1,41)/4 = 0,8525 
0,922 = 0,8464 e 0,932 = 0,8649 
Como 0,8525 está entre 0,8464 e 0,8649, segue-se que y, para y >0, está 
entre 0,92 e 0,93 metros, ou seja, entre 92 e 93 cm. 
 
 
Medida de um arco 
MATEMÁTICA 
As medidas de um arco podem ser dadas em graus e radianos e são 
usualmente utilizadas para definir ângulos e arcos em uma 
circunferência. 
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https://brasile
 
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PUBLICIDADE 
Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, 
marcamos dois pontos A e B, os quais dividem a circunferência em 
duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A 
e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam 
coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a 
ilustração a seguir: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm
 
Podemos notar nessa circunferência a existência do arco AB e de 
um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na 
circunferência, temos um ângulo central correspondente, ou 
seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco 
depende do valor do ângulo central. 
 
Na medição de arcos e ângulos, usamos duas unidades: o grau e 
o radiano. 
 
Medidas em grau 
 
Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 
360º. Se a dividirmos em 360 arcos, teremos arcos unitários 
medindo 1 grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é 
simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo 
uma volta completa, ou 360º. Também podemos dividir o arco de 
1 grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um 
minuto). Da mesma forma, podemos dividir o arco de 1’ em 60 
arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo). 
 
Medidas em radianos 
 
Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de 
comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a 
medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos.htm
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Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco 
for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos 
a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios 
da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. 
Portanto: 
 
Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para 
determinar o comprimento de um arco de circunferência: 
 
De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de 
arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as 
medidas dos arcos. Veja: 
 
360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 
180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785) 
 
 
medida 
em 
graus 
medida 
em 
radianos 
x α 
180 π 
 
Exemplos de conversões: 
 
a) 270º em radianos 
 
 b) 5π/12 em graus 
 
 
Círculo Trigonométrico – 
Trigonometria 
 
É aquele no qual seu centro também é centro de eixos coordenados e cujo 
raio é unitário (R = 1). 
 
 
Relações Fundamentais 
Do triângulo OBM, temos sen α = MB/OB, mas como OB = R = 1, temos 
que 
Cos α = OM/OB, mas OB = R = 1; logo 
Como OBM é retângulo, vale o Teorema de Pítágoras. Logo temos OB2 = 
OM² + MB², ou seja: 
 
 
Definimos secante de um ângulo (sec α) como o inverso do cosseno, ou seja: 
sec α = 
 
Definimos cossecante de um ângulo (cossec α ) como o inverso do seno, ou 
seja: 
cossec α = 
 
Definimos cotangente de um ângulo (cotg α) como o inverso da tangente, ou 
seja: 
cotg α = 
Relações decorrentes 
Dividindo a formula (I) por cos2α , 
temos: 
Dividindo a fórmula (I) por sen2α , 
temos: 
Quadrantes 
 
Cada um dos semiplanos situados no círculo trigono-métrico são chamados 
quadrantes. 
Os pontos A, A’ , B e B’ são chamados pontos quadran-tais (entre um 
quadrante e outro). 
 
 
Os sinais do seno e cosseno variam conforme os quadrantes da seguinte 
forma: 
 
 
Intervalo de Variação 
Por causa do raio unitário do círculo trigonométrico, tanto os valores de sen α 
quanto cos α são limitados entre -1 e 1, ou seja: 
 
 
Redução de Quadrantes 
São deduzidas fórmulas para calcular sen x, cos x, tg x e derivados, 
relacionando o ângulo x com algum elemento do 1º quadrante. 
 
 
 
(UFF) Seja x um arco do primeiro quadrante tal que sen x = 0,6. Pode-se 
afirmar que: 
 
 
Solução: Da relação sen2x + cos2x = 1 teremos que cos x = 0,8. 
Letra d) 
 
 
 
 
 
Funções Trigonométricas 
 
 
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão 
relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico. 
As principais funções trigonométricas são: 
 Função Seno 
 Função Cosseno 
 Função Tangente 
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um 
ponto da circunferência. 
 
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos 
Funções Periódicas 
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento 
periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo. 
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a 
repetição de determinado fenômeno. 
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que 
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A 
O menor valor positivo de p é chamado de período de f. 
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto 
que apresentam certos fenômenos periódicos. 
Função Seno 
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por: 
função f(x) = sen x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo 
quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto 
quadrantes, o sinal é negativo. 
 
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no 
segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente. 
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela 
está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. 
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: 
-1 < sen x < 1. 
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). 
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide: 
 
Gráfico da função seno 
Leia também: Lei dos Senos. 
Função Cosseno 
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa 
por: 
função f(x) = cos x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo 
quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro 
quadrantes, o sinal é negativo. 
https://www.todamateria.com.br/lei-dos-senos/
 
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no 
terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente. 
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela 
está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. 
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 
1]: -1 < cos x < 1. 
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada 
de cossenoide: 
 
Gráfico da função cosseno 
Leia também: Lei dos Cossenos. 
Função Tangente 
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa 
por: 
função f(x) = tg x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo 
quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto 
quadrantes, o sinal é negativo. 
https://www.todamateria.com.br/lei-dos-cossenos/
 
Além disso, afunção f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os 
quadrantes do círculo trigonométrico. 
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. 
Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. 
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o 
conjunto dos números reais. 
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). 
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide: 
 
Gráfico da função tangente 
 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
1. (UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de 21 π/5 rad é igual a: 
a) π/5 rad 
b) 7 π/5 rad 
c) π rad 
d) 9 π/5 rad 
e) 2 π rad 
 
2. (Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e 
seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale: 
a) 13 
b) 9 
c) 8 
d) – 4 
e) 10 
 
3. (UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é: 
a) 3π 
b) 2π/3 
c) 3π – 2 
d) π/3 – 2 
e) π/5 
 
As transformações trigonométricas são fórmulas ou métodos usados 
para calcular operações entre arcos feitas dentro de razões 
trigonométricas. É por meio de uma transformação trigonométrica que 
calculamos, por exemplo, o seno de 30° + 45°, e não apenas encontrando 
seus valores individuais e somando os resultados. Isso pode ser 
representado da seguinte forma: 
sen(a + b) ≠ sena + senb 
Soma e diferença de dois arcos 
As fórmulas a seguir são a maneira correta de somar ou subtrair seno, 
cosseno e tangente de dois arcos: 
1) sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa 
2) sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa 
3) cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb 
4) cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb 
5) tg(a + b) = tga + tgb 
 1 – tga·tgb 
6) tg(a – b) = tga – tgb 
 1 + tga·tgb 
Essas duas últimas fórmulas são válidas quando: 
a,b são diferentes de π + 2kπ 
 2 
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Nesse caso, k é um número inteiro qualquer. Além disso, 1 + tga·tgb ≠ 0 
para a sexta fórmula, e 1 – tga·tgb ≠ 0 para a quinta. 
Funções de arco duplo 
Essas transformações trigonométricas são obtidas diretamente das 
anteriores quando a = b. São elas: 
1) sen2a = 2sena·cosa 
2) cos2a = cos2a – sen2a 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-adicao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros.htm
3) tg2a = 2tga 
 1 – tg2a 
A transformação 2, referente ao cosseno, também possui as duas 
formas a seguir: 
cos2a = 1 – 2sen2a 
cos2a = 2cos2a – 1 
A fórmula número 3 apresenta algumas restrições: 
a ≠ π + kπ, com k inteiro 
2 
a ≠ π + kπ, com k inteiro 
4 2 
Transformação em produto 
Por meio das fórmulas a seguir, é possível escrever uma soma ou 
uma subtração entre senos ou entre cossenos na forma de produto. 
 
 
Quando estudamos as funções trigonométricas que pertencem a um 
mesmo arco, devemos usar algumas relações trigonométricas 
fundamentais. Estas, por sua vez, acabam originando outras 
expressões que serão importantes nos casos que envolvem as 
funções de um mesmo arco. 
Fundamentais 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm
 
Originadas 
As originadas são: 
 
 
O que são? 
Chamamos pelo nome de identidades trigonométricas as equações 
que envolve funções trigonométricas, desde que sejam verdadeiras 
para todos os valores das variáveis envolvidas. São utilizadas para 
simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas. 
Estas configuram-se como igualdades de funções trigonométricas, 
desde que ambos os lados da igualdade sejam válidos no domínio das 
funções que são envolvidas. 
Um exemplo de identidade trigonométrica são as relações 
trigonométricas e as relações derivadas. 
Como resolver? 
Normalmente, as identidades trigonométricas são resolvidas por meio 
da demonstração e das relações trigonométricas conhecidas. 
Ao desenvolvermos dois lados da equação trigonométrica, podemos 
realizar essa demonstração chegando a um mesmo valor nos dois 
lados. Outra forma é trabalhar somente um lado chegando ao que 
indica o outro lado da igualdade. 
Ficou um pouco confuso? Confira um exemplo abaixo para entender 
melhor. 
Tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x)) 
A primeira expressão, tg² (x) . (cos (x) – sen (x)), será chamada de 
f(x), enquanto a segunda sen (x) . (tg (x) – tg² (x)) será chamada de 
g(x). 
f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) 
f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x) 
A partir disso, podemos substituir a tg² (x) pelo quociente sem² (x) : 
cos² (x), conforme demonstrado abaixo. 
 
Com a simplificação, chegamos: 
 
Chegamos, finalmente, à: f(x) = sen (x) . tg (x) – tg² (x) . sen (x) que, 
quando colocado o termo sen (x) em evidência, fica: f(x) = sen (x) . 
(tg(x) – tg² (x)) 
Aí, finalmente, chegamos ao que dissemos no início. g(x) = sen (x) . 
(tg(x) – tg² (x)) e, portanto, podemos concluir que f(x) = g(x). 
Com isso, chegamos à conclusão de que a identidade, neste caso, é 
verdadeira. 
 
O que difere a equação e inequação trigonométrica das outras 
é que elas possuem funções trigonométricas das incógnitas. 
 
Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os 
ângulos de um triângulo retângulo. Essas relações recebem o 
nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-
tangente. 
 
►Veja alguns exemplos de quando uma equação é 
trigonométrica e quando ela não é trigonométrica. 
sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as 
incógnitas x e y possuem funções trigonométricas. 
 
x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, 
pois as funções trigonométricas não pertencem às incógnitas, 
ou seja, as incógnitas independem das funções 
trigonométricas. 
 
►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e 
quando uma inequação não é trigonométrica por que possui 
funções trigonométricas. 
 
sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função 
trigonométrica é função de uma incógnita. 
 
(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois 
função trigonométrica não é uma função da incógnita. 
Transformações trigonométricas: 
fórmulas de adição 
As transformações trigonométricas são métodos que podem ser usados 
para realizar operações entre razões trigonométricas, como as fórmulas 
de adição. 
 
 
 
As transformações trigonométricas são fórmulas que podem ser 
usadas para calcular algumas 
das operações básicas envolvendo razões trigonométricas, como o 
seno da soma de dois ângulos. 
Em trigonometria, o seno, cosseno ou tangente da soma (ou subtração) 
de dois arcos não pode ser feita com as mesmas regras dos números 
reais. Observe, por exemplo, o seno da adição entre dois ângulos de 30°: 
Sen(30° + 30°) = sen60° = √3 
 2 
Agora, se tentarmos fazer a soma separadamente, encontraremos o 
seguinte resultado: 
Sen(30° + 30°) = sen30° + sen30° = 1 + 1 = 1 
 2 2 
Cada uma das somas tem um resultado, mas apenas uma está correta e 
é a primeira, em que sen(30° + 30°) = sen60°. Para garantir a forma correta 
e possibilitar outros cálculos dentro da trigonometria, existem 
as fórmulas de adição de arcos. 
Os valores dos senos, cosseno e tangentes dos ângulos em questão 
podem ser obtidos na tabela de valores trigonométricos a seguir: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas.htmhttps://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
 
Caso os ângulos não sejam esses, uma tabela completa com as razões 
trigonométricas pode ser encontrada clicando aqui. 
Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois 
arcos 
Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu seno da soma é dado pela 
seguinte expressão: 
sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa 
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Já o seno da diferença desses dois arcos é dado pela seguinte 
expressão: 
sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa 
Exemplo: 
sen75° = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + sen30°·cos45° 
sen75° = √2·√3 + 1·√2 
 2 2 2 2 
sen75° = √(2·3) + √2 
 2 2 
sen75° = √6 + √2 
 2 
Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois 
arcos 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tabelas-razoes-trigonometricas.htm
Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu cosseno da soma é dado pela 
seguinte expressão: 
cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb 
Já o cosseno da diferença desses dois arcos é dado pela expressão: 
cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb 
Exemplo: 
Cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30° 
Cos15° = √2·√3 + √2·1 
 2 2 2 2 
Cos15° = √2√3 + √2 
 2 2 
Cos15° = √(2·3) + √2 
 2 2 
Cos15° = √6 + √2 
 2 
Fórmulas da tangente da adição e da subtração de 
dois arcos 
Dados dois arcos, a e b, sua tangente da soma é dada pela fórmula a 
seguir: 
tg(a + b) = tga + tgb 
 1 – tga·tgb 
A tangente da diferença desses dois arcos é dada pela seguinte 
expressão: 
tg(a – b) = tga – tgb 
 1 + tga·tgb 
 
Fórmulas de arco duplo 
As fórmulas de arco duplo são usadas para calcular seno, cosseno e 
tangente de um arco multiplicado por 2 ou para realizar operações com 
esse tipo de razão trigonométrica. 
 
 
 
Os arcos duplos são relações trigonométricas utilizadas para 
calcular seno, cosseno e tangente de arcos que foram multiplicados por 
2. Exemplos onde essas fórmulas podem ser usadas: sen2·30°, cos2·45° 
e tg2·15°. Observe que: 
sen30° = 1 
 2 
e que: 
sen2·30° = sen60° ≠ 1·1 
 2 2 
As técnicas utilizadas para o cálculo 
de razões trigonométricas envolvendo arcos duplos são baseadas nas 
fórmulas de adição de arcos. 
Leia também: O que são razões trigonométricas 
Seno 
Quando é necessário descobrir o seno da adição de dois arcos “a” e “b”, 
usamos a seguinte fórmula: 
sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa 
Para encontrar uma fórmula para o seno de um arco duplo, basta fazer a 
= b. Assim, substituindo “b” por “a” na fórmula acima teremos: 
sen(a + a) = sena·cosa + sena·cosa 
sen(2a) = 2·sena·cosa 
Essa é a relação usada para determinar o seno de um arco duplo. 
Por exemplo: qual o valor de sen120°? 
Sen120° = sen2·60° = 2·sen60°·cos60° 
Sen120° = 2·√3·1 
 2 2 
Sen120° = √3 
 2 
Cosseno 
Quando é necessário calcular o cosseno da soma entre os arcos “a” e 
“b”, usamos a seguinte fórmula: 
cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tabelas-razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-adicao.htm
Com o intuito de encontrar uma fórmula para o cosseno de 
um arco duplo, basta fazer b = a e substituir, por exemplo, “b” por “a” na 
fórmula acima: 
cos(a + a) = cosa·cosa – sena·sena 
cos(2a) = cos2a – sen2a 
Ainda existem outras duas formas de apresentar essa fórmula. Para 
encontrá-las, lembre-se que: 
sen2a + cos2a = 1 
sen2a = 1 – cos2a 
Substituindo esse resultado na fórmula do cosseno de um arco duplo, 
teremos: 
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cos(2a) = cos2a – sen2a 
cos(2a) = cos2a – (1 – cos2a) 
cos(2a) = cos2a – 1 + cos2a 
cos(2a) = 2cos2a – 1 
Essa é a segunda fórmula que pode ser usada para calcular o cosseno do 
arco duplo. A terceira pode ser obtida fazendo o seguinte: 
sen2a + cos2a = 1 
cos2a = 1 – sen2a 
Substituindo esse resultado na primeira fórmula obtida para o cosseno de 
um arco duplo, teremos: 
cos(2a) = cos2a – sen2a 
cos(2a) = 1 – sen2a – sen2a 
cos(2a) = 1 – 2sen2a 
Tangente 
A fórmula usada para encontrar a tangente da soma entre os arcos “a” 
e “b” é: 
tg(a + b) = tga + tgb 
 1 – tga·tgb 
Visando determinar a fórmula utilizada para encontrar a tangente de 
um arco duplo, também faremos a = b e substituiremos “b” por “a” na 
fórmula acima: 
tg(a + b) = tga + tgb 
 1 – tga·tgb 
tg(a + a) = tga + tga 
 1 – tga·tga 
tg(2a) = 2tga 
 1 – tg2a 
 
Resumo contendo as fórmulas de arco duplo 
Exemplo: (UFF-RJ/modificada) – Qual é o valor de (sen22°30’ + 
cos22°30’)2? 
Solução: Utilizando produtos notáveis, teremos: 
(sen22°30’ + cos22°30’)2 
sen2(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos2(22°30’) 
Sabendo que sen2a + cos2a = 1, teremos: 
sen2(22°30’) + 2sen22°30’cos22°30’ + cos2(22°30’) 
1 + 2sen22°30’cos22°30’ 
E sabendo que sen(2a) = 2·sena·cosa: 
1 + 2sen22°30’cos22°30’ 
1 + sen(2·22°30’) 
1 + sen45 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/formulas-arco-duplo.htm
1 + √2 
 2 
 
Funções trigonométricas do arco metade 
MATEMÁTICA 
A partir de um determinado ângulo, podemos encontrar o seno, o cosseno 
e a tangente da metade de sua medida através das funções 
trigonométricas do arco metade. 
 
O estudo da Trigonometria permite a determinação de valores 
de seno, cosseno e tangente para diversos ângulos com base 
em valores conhecidos. As fórmulas de adição de arcos são 
umas das mais utilizadas com esse objetivo: 
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a 
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a 
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b 
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b 
tg (a + b) = tg a + tg b 
 1 – tg a · tg b 
tg (a – b) = tg a – tg b 
 1 + tg a · tg b 
A partir dessas fórmulas, é simples determinar como proceder 
quando os ângulos a e b são iguais. Nesse caso, dizemos que se 
trata das funções trigonométricas do arco duplo. São elas: 
sen (2a) = 2 · sen a · cos a 
cos (2a) = cos² a – sen² a 
tg (2a) = 2 · tg a 
 1 – tg² a 
A partir dessas funções, determinaremos as funções 
trigonométricas do arco metade. Considere a 
seguinte identidade trigonométrica: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-adicao-arcos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/identidades-trigonometricas.htm
sen² a + cos² a = 1 
sen² a = 1 – cos² a 
Vamos substituir sen² a em cos (2a) = cos² a – sen² a: 
cos (2a) = cos² a – sen² a 
cos (2a) = cos² a – (1 – cos² a) 
cos (2a) = cos² a – 1 + cos² a 
cos (2a) = 2 · cos² a – 1 
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Mas estamos à procura da fórmula adequada para o arco 
metade. Para tanto, considere que é a metade do arco a, e 
onde houver 2a, utilizaremos apenas a: 
 
Isolando o cos² (a/2): 
 
 
Temos então a fórmula para o cálculo do cosseno do arco 
metade. A partir dela vamos determinar o seno de . A 
partir da identidade trigonométrica, temos: 
sen² a + cos² a = 1 
cos² a = 1 – sen² a 
Substituindo cos² a na fórmula do cosseno do arco duplo, cos 
(2a) = cos² a – sen² a, teremos:cos (2a) = cos² a – sen² a 
cos (2a) = (1 – sen² a) – sen² a 
cos (2a) = 1 – 2 · sen² a 
Novamente, vamos considerar a metade dos arcos em cos (2a) 
= 1 – 2 · sen² a. Restará então: 
 
Isolando o sen² (a/2), teremos: 
 
 
Agora que também encontramos a fórmula do seno do arco 
metade, podemos determinar a tangente de . Logo: 
 
 
 
 
Temos então determinada a fórmula para o cálculo 
da tangente do arco metade. 
 
1. Equações trigonométricas Normalmente as equações 
trigonométricas dependem de algumas identidades fundamentais e 
também de reduções básicas dos arcos ao primeiro quadrante. 
Identidades fundamentais e derivações básicas (note-se que a 
primeira delas é a equação fundamental da trigonometria): [ x ] As 
reduções básicas ao primeiro quadrante são: Para o seno: Pela 
figura acima pode-se notar que: sin(π – α) = sin α da mesma maneira: 
sin(π + α) = –sin α sin(2π – α) = –sin α Analogamente: cos(π – α) = –
cos α cos(π + α) = –cos α cos(2π + α) = cos α e tan(π – α) = –tan α 
tan(π + α) = tan α tan(2π + α) = –tan α Algoritmo de resolução Existem 
várias maneiras de se resolver... 
Análise Combinatória 
 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda 
métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com 
contagem. 
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das 
possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. 
Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio 
multiplicativo, postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo 
que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, 
resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . 
(y)”. 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de 
opções entre as escolhas que lhe são apresentadas. 
Exemplo 
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, 
estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos 
três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e 
cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: 
suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake 
de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. 
Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente 
pode escolher o seu lanche? 
Solução 
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma 
árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo: 
 
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos 
diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 
combinações possíveis. 
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para 
saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número 
de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa. 
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24 
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção. 
 
Tipos de Combinatória 
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos 
problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu 
uso torna a resolução muito trabalhosa. 
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com 
determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: 
arranjos, combinações e permutações. 
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos 
definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é 
o fatorial. 
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por 
todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de 
um número. 
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1. 
Exemplo 
O! = 1 
1! = 1 
3! = 3.2.1 = 6 
https://www.todamateria.com.br/fatorial/
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040 
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. 
Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de 
análise combinatória. 
Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da 
natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a 
seguinte expressão: 
 
Exemplo 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um 
representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo 
que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-
representante. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? 
Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado 
final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos 
(n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. 
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de 
elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador 
na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação. 
Assim a permutação é expressa pela fórmula: 
 
Exemplo 
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas 
podem se sentar em um banco com 6 lugares. 
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é 
igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação: 
 
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste 
banco. 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é 
importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p 
(p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Exemplo 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar 
uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se 
candidataram. 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos 
não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e José é equivalente 
à escolher João, José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em 
produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível 
simplificar com o fatorial de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. 
Probabilidade e Análise Combinatória 
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado 
resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos as chances de um 
número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na 
loteria. 
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de 
eventos possíveis e número de eventos favoráveis, sendo apresentada pela 
seguinte expressão: 
 
Sendo: 
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A 
n (A): número de resultados favoráveis 
n (Ω): número total de resultados possíveis 
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes 
necessitamos recorrer as fórmulas estudadas em análise combinatória. 
Exemplo 
https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, 
fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números 
sorteados? 
Talão da mega-sena 
Solução 
Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis 
e os casos possíveis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou 
seja, apostar exatamente nos seis números sorteados. 
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que 
serão sorteados, ao acaso, 6 números, não importando a ordem, de um total de 
60 números. 
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmulade combinação, conforme 
indicado abaixo: 
 
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade 
de acertarmos então será calculada como: 
 
Fatorial 
O fatorial de um número está envolvido nos estudos de análise 
combinatória, ele é representado por: n!. 
 
 
 
 
 CURTIDAS 31 
O fatorial de um número consiste em um importante mecanismo nos 
estudos envolvendo Análise Combinatória, pois a multiplicação de 
números naturais consecutivos é muito utilizada nos processos de 
contagem. Fatorial de um número consiste em multiplicar o número 
por todos os seus antecessores até o número 1. 
 
Observe a definição a seguir: 
Representamos o fatorial de um número por n! e o desenvolvimento 
por n! = n * (n – 1) * (n – 2) * (n – 3) * ... * 4 * 3 * 2 * 1 para n ≥ 2. Caso 
n = 1, temos 1! = 1 e n = 0, temos 0! = 1. 
Exemplo 1 
3! = 3 * 2 * 1 = 6 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 
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Alguns cálculos envolvendo fatorial exigem algumas técnicas de 
simplificação e fatoração. Observe as demonstrações a seguir: 
Exemplo 2 
 
Vamos calcular o valor de 12! / 8! . Nesse caso, se desenvolvermos os 
fatoriais dos números e depois efetuarmos a divisão, o método de 
resolução estará correto. Mas essa forma de resolução pode se tornar 
complexa para números elevados, por isso devemos desenvolver o 
fatorial do maior número até chegarmos ao fatorial do menor 
número, simplificando os fatoriais semelhantes. Observe: 
 
 
Exemplo 3 
 
Outra forma de resolução de fatoriais é quando ocorre a soma de 
fatoriais. Nesse caso podemos utilizar a fatoração por evidência. 
Observe: 
 
Exemplo 4 
 
Outras situações exigem técnicas de desenvolvimento dos fatoriais 
para que simplificações sejam efetuadas. Veja: 
 
 
n² + 2n + 3n + 6 
n² + 5n +6 
 
 
Exemplo 5 
 
O fatorial de um número também está associado a equações. 
Observe os cálculos: 
 
Solução = {4} 
 
 
Exemplo 6 
 
n2 – n = 42 
n2 – n – 42 = 0 
 
Desenvolvendo a equação do 2º grau temos: 
 
n’ = 7 e n” = – 6 
 
n = – 6 não convém, pois fatorial só é aplicado a números naturais. 
Portanto, S = {7}. 
Princípio aditivo da contagem 
MATEMÁTICA 
Para efetuarmos o princípio aditivo da contagem, devemos realizar a 
união dos elementos dos conjuntos. 
O princípio aditivo da contagem realiza a união dos elementos de 
dois ou mais conjuntos. Isso porque a adição (+) e a união (U) 
relacionam-se, pois em ambos os operadores há a reunião de 
elementos. O princípio aditivo tem a sua origem na teoria dos 
conjuntos, que estudam as propriedades que estabelecem as 
relações entre os próprios conjuntos e entre os elementos dos 
conjuntos. Veremos a seguir a definição para o princípio aditivo 
da contagem. 
Definição: Considerando A e B como conjuntos finitos disjuntos, ou 
seja, com a sua intersecção vazia, a união do número de elementos 
é dada por: 
n (A U B) = n (A) + n (B) 
n (A U B) → União do número de elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B; 
n (A) → Número de elementos do conjunto A; 
n (B) → Número de elementos do conjunto B. 
Para que você compreenda melhor essa definição, vamos aplicá-la 
a um exemplo: 
Exemplo: Em uma entrevista sobre qual cor se prefere entre o 
vermelho e o azul, 30 entrevistados responderam que preferem a cor 
vermelha e 50 responderam que preferem a cor azul. Calcule o 
número total de entrevistados. 
Nessa questão, temos dois conjuntos finitos, que são os seguintes: 
Conjunto A → Entrevistados que preferem a cor vermelha. 
n (A) = 30 
Conjunto B → Entrevistados que preferem a cor azul. 
n (B) = 50 
Para calcularmos a união desses dois conjuntos, devemos fazer o 
seguinte: 
n (A U B) =n (A) + n (B) = 30 + 50 = 80 
80 pessoas foram entrevistadas nessa pesquisa. 
Representando esse exemplo por meio de diagramas, temos: 
 
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Se os conjuntos não fossem disjuntos, teríamos uma intersecção, 
que é dada pelos elementos que estão presentes em mais de um 
conjunto ao mesmo tempo. Quando esse tipo de situação ocorrer, a 
definição para o princípio aditivo da contagem será a seguinte: 
Definição: Considere A e B como conjuntos finitos. O número de 
elementos dado pela união entre esses conjuntos é representado da 
seguinte forma: 
n (A U B) =n (A) + n (B) - n (A B) 
n (A U B) → União do número de elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B; 
n (A) → Número de elementos do conjunto A; 
n (B) → Número de elementos do conjunto B; 
n (A B) = Número de elementos que pertencem ao conjunto A e ao 
conjunto B. 
Veja um exemplo: 
Exemplo: Em uma entrevista sobre qual cor se prefere entre 
vermelho, azul ou ambas, obteve-se com resposta que: 20 dos 
entrevistados preferem a cor vermelha; 40 preferem a cor azul; e 10 
gostam de ambas as cores. Calcule o número total de entrevistados. 
Nesse exemplo, temos os seguintes conjuntos finitos: 
Conjunto A → Entrevistados que preferem somente a cor vermelha. 
n (A) = 20 
Conjunto B → Entrevistados que preferem a cor azul. 
n (B) = 40 
O número de elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto 
B ao mesmo tempo é dado pela intersecção: 
n (A B) = 10 
Para calcular o total de entrevistados, faça: 
n (A U B) = n (A) + n (B) - n (A B ) = 20 + 40 – 10 = 60 – 10 = 50 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Introdução. 
http://matematica-na-veia.blogspot.com/search/label/An%C3%A1lise%20combinat%C3%B3ria
 
Em primeiro lugar vamos abordar estes dois principios que juntos do conceito 
de fatorial, que já foi visto anteriormente, são os alicerces da análise 
combinatória. 
 
Principio aditivo e multiplicativo: 
 
Vamos resolver alguns exercícios como exemplo, e gradualmente serão 
abordados alguns exemplos mais complexos. 
Bom! Vamos começar com o principio aditivo. 
 
PRINCÍPIO ADITIVO - DIVIDIR PARA SOMAR 
 
Ex. 1 - Supondo que exista cinemas, e teatros em sua cidade, e que tenham 
entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro diferentes para passarem no 
próximo sábado, e que você tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento 
destes 5 que foram descritos anteriormente. Quantos são os programas que 
você pode fazer neste sábado? 
 
Vejamos então: 
 
Vamos supor agora que cada programa custe apenas 1 real, e que você só 
tenha um real. Como você tem dinheiro para apenas um evento (programa), 
então ou você assiste ao filme 1 ou ao filme 2 ou ao filme 3 ou à peça de teatro 
1 ou à peça de teatro 2. 
A idéia é prestar atenção no conetivo “ou” do problema. Ou escolhe 
F1, ou escolhe F2, ou escolhe F3, e assim por diante. 
Deste modo estamos dividindo o problema em casos. E como já citei 
anteriormente aparecerá a idéia do conetivo “ou”. 
 
Caso eu escolher ver um filme, terei 3 opções ou caso eu escolher ver uma 
peça de teatro, terei 2 opções. 
Como você pode observar os elementos de um conjunto não pertencem à 
outro, pois são distintos, logo eles são disjuntos. (A intersecção é vazia) 
 
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2009/07/o-que-e-e-como-desenvolver-um-fatorial.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2009/07/o-que-e-e-como-desenvolver-um-fatorial.html
Logo pelo principio aditivo. 
 
Se A e B são dois conjuntos disjuntos (A ∩ B = ø ) com respectivamente , f e t 
elementos, então A U B possui f+t elementos. 
A={ f|f é um filme} = {F1,F2,F3}, e 
B= { t|t é uma peça de teatro} = {T1,T2} 
Logo A U B = { F1,F2,F3,T1,T2} 
 
Assim ao todo são 3+2 = 5 programas. 
Vamos ver agora um exemplo com o principio multiplicativo. 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATICO- DECISÕES EM SEQUÊNCIA 
 
Ex. 2 – Supondo que você tenha agora dois reais, e quer assistir a um filme e 
uma peça de teatro, quantos sãoos programas que poderá fazer no sábado? 
 
Bom! Repare que diferente do primeiro exemplo, neste você tem que tomar duas 
decisões em sequência. 
 
1º decisão – escolher um filme dos três em cartaz. 
2º decisão – escolher uma peça de teatro das duas disponíveis. 
 
Vamos enumerar os casos possíveis: 
 
Aqui a idéia é prestar atenção no conetivo “e”. 
 
Filme 1 e Peça 1 
Filme 1 e Peça 2 
Filme 2 e Peça 1 
Filme 2 e Peça 2 
Filme 3 e Peça 1 
Filme 3 e Peça 2 
 
Logo você vai escolher um filme dos três em cartaz “e” escolher uma peça de 
teatro das duas disponíveis. 
 
Logo pelo principio multiplicativo. 
 
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma 
dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n 
maneiras diferentes, então o nº de maneiras de ocorrer o evento A seguido do 
evento B é m.n 
 
Logo você têm três vezes duas opções para escolher entre os programas. 
Ou seja, 3.2=6 possibilidades. 
 
Ex. 3 – Vamos ver mais um exemplo com o Principio multiplicatico. 
 
Vamos supor que você queira viajar este fim de semana, e que esteja pensando 
em ir para uma praia descansar. E no percurso até chegar a praia você tem que 
passar por uma outra cidade. 
Vamos denotar a sua cidade por A, a cidade que você vai passar antes de 
chegar a praia por B, e a praia por C. 
Supondo que existam 3 rotas diferentes até a cidade B e da cidade B até a praia 
existem 2 rotas diferentes. 
De quantas maneiras possíveis você poderá chegar a praia usando um destes 
caminhos? 
 
Acompanhe o exemplo abaixo. 
 
 
 
 
 
De A para B temos 3 rotas, logo 3 possibilidades.Ou seja ao tomar a primeira 
decisão você têm 3 opções para escolher. 
 
De B para C temos 2 rotas, logo 2 possibilidades. Ou seja após tomar a decisão 
A, você vai tomar uma 2º decisão B, onde você têm 2 possibilidades de escolha. 
 
Logo pelo principio multiplicativo, temos 3 vezes 2 possibilidades. Ou seja você 
tem 6 possibilidades diferentes de ir até a praia passando pela cidade B. 
 
Ex. 4 – Vamos misturar as coisas um pouco. 
Vejamos um exemplo onde podemos trabalhar com os dois principios. 
Supondo que você tenha que viajar, e tenha as seguintes opções observadas na 
figura abaixo. De quantas maneiras possíveis você poderá fazer a sua viagem 
escolhendo apenas um dos caminhos? 
 
 
 
 
 
E agora José!! 
Observe que temos casos diferentes. 
 
1º - De A para D passando por B. 
2º - Ir de A para D direto. 
3º - De A para D passando por C. 
 
Ué! Se temos casos diferentes vamos fazer por adição. Ou melhor vamos 
trabalhar com cada caso separadamente usando o Principio multiplicativo e logo 
após vamos somá-los. 
 
1º - De A para D passando por B. 
 
 
 
 
Tomamos a 1º decisão indo de A para B, na qual temos uma possibilidade( 1 
caminho apenas) 
Em seguida tomamos a 2º decisão indo de B para D, na qual temos também 
uma possibilidade (1 caminho apenas) 
Logo temos 1.1 = 1 possibilidade de irmos de A até D passando por B. 
 
2º - Ir de A para D direto. 
 
 
 
Aqui ficou fácil! Temos apenas uma decisão para tomar e apenas duas 
possibilidades de escolha. Logo 1.2 =2 possibilidades de ir de A até D direto. 
 
3º - De A para D passando por C. 
 
 
 
 
Do mesmo modo, temos duas possibilidades de A para C e uma possibilidade 
de C para D. O que dá 2.1 possibilidades. Ou seja temos 2 Possibilidades Para 
ir de A até D passando por C. 
 
Aplicando o Principio aditivo, temos 1+2+2 = 5 possibilidades. Ou seja 5 
maneiras possíveis de viajar da cidade A até a cidade D. 
 Análise combinatória 
Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade 
constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a 
contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e 
combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que 
vêm a ser a análise combinatória. 
Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com 
o conjunto numérico {1, 2, 3}. 
Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3} 
Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 
321} 
Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números. 
A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos: 
 Princípio fundamental da contagem 
 Fatorial 
 Permutação simples 
 Permutação com repetição 
 Arranjo simples 
 Combinação simples 
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
https://www.infoescola.com/matematica/principio-fundamental-da-contagem/
https://www.infoescola.com/matematica/fatorial/
https://www.infoescola.com/combinatoria/arranjo-simples/
https://www.infoescola.com/matematica/combinacao-simples/
Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise 
combinatória. 
Princípio fundamental da contagem 
Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. 
Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental. 
Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de 
saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer 
possuí. 
Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem. 
m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui) 
m x n = 3 x 4 = 12 
Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha. 
Fatorial 
O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto: 
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 
Exemplo: Calcule 4! 
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3) 
4! = 4 . 3. 2 . 1 
4! = 24 
Permutação simples 
Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, 
de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um 
conjunto, com a seguinte expressão: 
Pn = n! 
Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1! 
Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: 
Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição? 
Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F) 
Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, 
acompanhe: 
https://www.infoescola.com/matematica/permutacao/
n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante) 
Pn = n! 
Pn = 3 . 2 . 1! 
Pn = 6 
Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a 
posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados 
dessa eleição. 
Resultado 
1 
Resultado 
2 
Resultado 
3 
Resultado 
4 
Resultado 
5 
Resultado 
6 
VCF VFC CVF CFV FCV FVC 
Permutação com repetição 
Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, 
quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula: 
Pn(n1,n2,n3…nk)=n!n1!⋅n2!⋅n3!…nk! 
 Pn(n1,n2,n3…nk) = permutação com repetição 
 n! = total de elemetos do evento 
 n1!⋅n2!⋅n3!…nk! = Elementos repetidos do evento 
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA. 
A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1). 
 n! = 4! 
 n1! = 2! 
Pn(n1)=n!n1! 
Pn(n1)=4!2! 
Pn(n1)=4⋅3⋅2⋅1!2⋅1! 
Pn(n1)=242=12 
Anagramas da palavra CASA sem repetição 
CASA ACSA ASCA ASAC SCAA CSAA 
AASC AACS CAAS SAAC SACA ACAS 
Arranjo simples 
No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes 
agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua 
natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa 
diferenciação entre os agrupamentos. 
Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, 
devemos utilizar a fórmula a seguir: 
An,p=n!(n−p)! 
 A = Arranjo 
 n = elementos 
 p = Agrupamentos 
No arranjo a quantidade de agrupamentop, sempre deve ser menor que n, ou seja: 
p≤n 
Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que 
há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quais são as possibilidades 
de premiação? 
 Quantidade de participantes da competição: n = 4 
 Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): p = 3 
An,p=n!(n−p)! 
A4,3=4!(4−3)! 
A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1! 
A4,3=241=24 
Existem 24 possibilidades de premiação. 
Combinação simples 
Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos 
elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula: 
Cn,p=n!p!⋅(n−p)! 
 C = Combinação 
 n = Elementos. 
 p = Agrupamento 
Sendo sempre: p≤n 
Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, 
colocando 2 bolinhas em cada saquinhos 
 Total de bolinhas: n = 10 
 Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2 
Cn,p=n!p!⋅(n−p)! 
C10,2=10!2!⋅(10−2)! 
C10,2=36288002⋅(8)! 
C10,2=36288002⋅(40320) 
C10,2=362880080640=45 
Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 
combinações. 
 
FATORIAL 
Definimos como o fatorial de n (simbolizado por n!) ao produto do n primeiros 
números inteiros positivos. Caso n = 0, definiremos 0! =1. Dessa forma, teremos: 
 
Exemplo: 
 
PERMUTAÇÕES 
 
 
 
Permutar elementos significa trocá-los de posição. A maneira de calcular as 
possibilidades de fazer isso, vai depender da natureza dos elementos que a serem 
permutados. E é isso o que faremos a seguir. 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento ordenados desses 
objetos, de modo que, se denominarmos Pn o número das permutações simples 
dos n objetos, então: 
Pn = n! 
De fato, imaginemos que dispomos de n objetos distintos para serem colocados 
em fila, ocupando n posições. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para 
ocupar a 1a posição. Ocupada a 1a posição com um objeto, a 2a posição pode ser 
ocupada por qualquer um dos n – 1 objetos restantes. Daí, ocupada a 2a posição, a 
terceira posição pode ser ocupada por qualquer um dos n – 2 objetos restantes. 
Repetindo esse raciocínio até o último objeto, restará para ele a última posição da 
fila. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, teremos: n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . … . 3 . 
2 . 1 que é exatamente o mesmo que escrever n! 
Exemplo 
De quantas maneiras pode-se colocar 4 pessoas em fila? 
Resolução: 
Note que, temos 4 pessoas que podem ocupar o 1o lugar da fila. Daí, colocada a 
primeira pessoa na fila, restam 3 pessoas que podem ocupar o 2o lugar da fila. Em 
seguida, colocada a 2a pessoa, agora restam duas pessoas que podem ocupar o 
3o lugar da fila. E por fim, colocada a segunda pessoa na fila, sobra uma pessoa 
para ocupar a última posição. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos 
 
ARRANJOS 
No estudo das Permutações trabalhamos os casos em que trocamos de posição 
todos os elementos de uma sequência de objetos qualquer. Um Arranjo será, em 
geral, uma permutação de apenas uma parte dos objetos dados, onde a ordem 
dos mesmos também influencia na disposição dos elementos. Note que, quando 
temos um arranjo em que estamos interessados na troca de posição de todos os 
elementos, esse arranjo pode ser encarado como uma permutação. O que faremos 
a seguir, é analisar os diferentes tipos de arranjos. 
ARRANJOS SIMPLES 
 
 
 
Considere um conjunto com n elementos distintos. Qualquer sequência de p 
desses elementos (todos distintos) é chamada de Arranjo Simples (0 ≤ p ≤ n, com 
n e p naturais). Dizemos arranjo simples de n elementos tomados p a p, e 
simbolizamos por An ,p 
Esse arranjo simples pode ser calculado da seguinte forma: 
 
De fato, suponha que dispomos de n objetos distintos, e escolheremos p desses 
objetos para serem colocados em uma fila, com p posições. Dessa forma a fila 
terá p objetos. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 1ª 
posição. Ocupada a 1ª posição com um objeto, a 2ª posição pode ser ocupada por 
qualquer um dos n-1 objetos restantes. Daí, ocupada a 2ª posição, a terceira 
posição pode ser ocupada por qualquer um dos n-2 objetos restantes. Repetindo 
esse raciocínio até a posição de número p, teremos para ela n – p + 1objetos 
disponíveis para ocupá-la. 
Pelo Princípio Multiplicativo teremos 
 
Multiplicando e, ao mesmo tempo, dividindo o segundo membro dessa igualdade 
por (n – p)!, temos. 
 
 
É importante enfatizar que nos problemas que envolvem a ferramenta do arranjo, a 
ordem dos termos agrupados importa, uma vez que uma sequência será diferente 
de uma outra se seus respectivos termos estiverem ordenados de forma distinta. 
Exemplo: 
Considere os algarismos 1,2,3,4 e 5. Quantos números com algarismos distintos, 
superiores a 100 e inferiores a 1.000, podemos formar? 
Resolução: 
O problema solicita que encontremos todos os números com três algarismos 
distintos uma vez que, todos os números maiores que 100 e menores que 1.000 
têm três dígitos. Dessa forma, temos cinco algarismos disponíveis e usar três 
deles para formar números de três algarismos distintos. A solução do problema 
será o arranjo simples de 5 elementos tomados 3 a 3. Ou seja, 
 
 
É muito importante notar que, todos os problemas de arranjo simples poderão ser 
resolvidos usando o Princípio Multiplicativo, e é o que sempre faremos aqui. 
ARRANJOS COM REPETIÇÃO 
Considere um conjunto com n elementos distintos. Qualquer sequência de p 
desses elementos é chamada de Arranjo com repetição (0 ≤ p ≤ n, 
com n e p naturais). Note que os p elementos podem ser distintos ou não, isto 
é, pode haver elementos repetidos. Daí o nome, arranjo com repetição. 
Dizemos arranjo com repetição de n elementos tomados p a p, e simbolizamos 
por ARn, p. 
Esse arranjo com repetição pode ser calculado da seguinte forma: 
 
De fato, suponha que dispomos de n objetos distintos, e escolheremos p desses 
objetos para serem colocados em uma fila, com p posições. Dessa forma a fila 
terá p objetos. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 
1a posição. Ocupada a 1a posição com um objeto, como os objetos na fila podem 
ser repetidos, para 2a posição ainda temos n objetos disponíveis. Ocupada a 
1a posição com um objeto, como os objetos na fila podem ser repetidos, para 
2a posição ainda temos n objetos disponíveis. Repetindo esse raciocínio até a 
última posição, que é a posição de número p, como os objetos podem ser 
repetidos, ainda teremos n objetos disponíveis para essa posição. Assim, pelo 
Princípio Multiplicativo, teremos. 
 
 
 
Exemplo: 
Considere os algarismos 1,2,3,4 e 5. Quantos números, superiores a 100 e 
inferiores a 1.000, podemos formar? 
Resolução: 
O problema solicita que encontremos todos os números com três algarismos 
(distintos ou não) uma vez que, todos os números maiores que 100 e menores que 
1.000 têm três dígitos. Assim, temos 5 elementos e precisamos escolher 3 para 
formar números, onde os algarismos podem ser repetidos ou não. Dessa forma, a 
solução do problema será o arranjo com repetição de 5 elementos tomados 3 a 3. 
Ou seja, 
 
 
Note que, assim como foi feito no arranjo simples, podemos também no arranjo 
com repetição resolver qualquer problema usando o Princípio Multiplicativo, da 
seguinte forma: 
 
Como foi dito no arranjo simples, é muito importante notar que, todos os problemas 
de arranjo com repetição também poderão ser resolvidos usando o Princípio 
Multiplicativo. Dessa forma, vale ressaltar que qualquer problema de arranjo, não 
importa se for simples ou com repetição, sempre é possível se resolver usando o 
Princípio Multiplicativo. E é o que sempre faremos aqui. 
COMBINAÇÕES 
Assim como foi feito no estudo dos arranjos, iremos separar as combinações em 
dois casos. As combinações simples e as combinações com repetição (também 
chamadas de combinações completas). 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
Considere um conjunto comn elementos distintos. Qualquer subconjunto formado 
por de p desses elementos (todos distintos) é chamado de Combinação Simples (0 
≤ p ≤ n, com n e p naturais). Dizemos combinação simples de n elementos 
tomados p a p, e simbolizamos por Cn,p 
Essa combinação simples pode ser calculada da seguinte forma: 
 
De fato, considere um conjunto com n elementos distintos. Seja Cn, p é a 
quantidade de subconjuntos com p elementos distintos que podemos formar. Note 
que, em cada subconjunto formado, a ordem não importa. Se a ordem importasse, 
teríamos um arranjo simples desses elementos, que é An,p. Assim, 
 
 
 
 
É importante enfatizar que nos problemas que envolvem a ferramenta da 
combinação a ordem dos termos agrupados não importa, uma vez que um 
subconjunto A será igual a um outro subconjunto B se seus respectivos elementos 
forem os mesmos. 
Exemplo: 
Uma escola quer organizar um torneio esportivo com 10 equipes, de forma que 
cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos 
terá o torneio? 
Resolução: 
Considere E = {E1, E2, E3, … , E10} o conjunto dos times do referido torneio. Note 
que, resolver esse problema é determinar o número de subconjuntos com dois 
elementos que podemos formar, a partir dos elementos do conjunto E. Teremos, 
portanto: 
 
Logo, teremos 45 subconjuntos, ou seja, 45 jogos nesse torneio. 
Binômio de Newton 
 
Número Binomial 
https://www.proenem.com.br/enem/
Um número binomial, denotado como (np), com n e p naturais e n≥p é definido como: 
(np)=n!(n−p)!⋅p! 
Lemos (np) como “n classe p” ou “binomial de n sobre p”. O símbolo “!” é 
chamado Fatorial. 
Assim como nas frações, n é o numerador e p é o denominador. 
Binomiais complementares 
Dois números binomiais são ditos complementares quando possuem o mesmo 
numerador e a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou 
seja, (np) e (nq) são complementares se, e somente se, p+q=n. 
Quando os denominadores são iguais, os binomiais também são complementares. 
Exemplo: (53) e (52) são complementares, pois os numeradores são iguais a 5 e 3 + 2 
= 5. 
Relação de Stiffel 
A relação de Stiffel diz que a soma de dois números binomiais com o mesmo 
numerador e denominadores consecutivos é igual ao número binomial com uma unidade 
a mais no numerador e com denominador igual ao maior dos denominadores daqueles 
binomiais, ou seja: 
(np)+(np+1)=(n+1p+1) 
Triângulo de Pascal 
Os números binomiais podem ser organizados em uma tabela, de modo que um número 
binomial (np) ocupe a linha n e a coluna p formando, assim, o Triângulo de Pascal. 
(00) 
(10) (11) 
(20) (21) (22) 
(30) (31) (32) (33) 
(40) (41) (42) (32) (44) 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/fatorial/
https://www.infoescola.com/combinatoria/triangulo-de-pascal/
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 
(n0) (n1) (n2) (n3) (n4) ... (nn) 
Cada um dos elementos da coluna 0 é da forma (n0) ou seja, é igual a 1. O último 
elemento da última linha é da forma (nn), ou seja, também é igual a 1. Ao somarmos 
dois binomiais consecutivos de uma determinada linha usando a Relação de Stiffel, 
obtemos o binomial localizado imediatamente abaixo do segundo binomial. Por 
exemplo, (32)+(33)=(43). 
Desse modo, podemos montar um Triângulo de Pascal utilizando essas regras, com o 
valor de cada binômio já calculado. Assim, teremos: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
Teorema das Linhas 
A soma dos elementos de cada linha de ordem n é igual a 2n. 
Linha 0 1 Soma = 1 = 20 
Linha 1 1 1 Soma = 2 = 21 
Linha 2 1 2 1 Soma = 4 = 22 
Linha 3 1 3 3 1 Soma = 8 = 23 
Linha 4 1 4 6 4 1 Soma = 16 = 24 
Teorema das Colunas 
A soma dos números binomiais de determinada coluna, desde o primeiro 
elemento (nn) até um elemento qualquer (n+pn) é igual ao número binomial 
imediatamente abaixo e à direita deste último, ou seja, o número binomial (n+p+1n+1). 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
1 7 21 35 35 21 7 1 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 
1 + 4 + 10 + 20 = 35 
Teorema das transversais 
A soma dos números binomiais de determinada transversal, desde o elemento (n0) até 
um elemento qualquer (n+pp), obtemos o número binomial imediatamente abaixo deste 
último, ou seja, o número binomial (n+p+1p). 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
1 7 21 35 35 21 7 1 
1 + 4 + 10 + 20 = 35 
Binômio de Newton 
Observe o desenvolvimento dos seguintes produtos notáveis. 
(a+b)0=1a0b0=1 
(a+b)1=1a1b0+1a0b1=a+b 
https://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/
(a+b)2=1a2b0+2a1b1+1a0b2=a2+2ab+b2 
(a+b)3=1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3=a3+3a2b+3ab2+b3 
Os coeficientes resultantes do desenvolvimento desses binômios, que estão em 
vermelho, são os números binomiais que aparecem no Triângulo de Pascal. 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
Cada termo do desenvolvimento do produto notável (a+b)n se associa com o 
desenvolvimento de um binomial no triângulo de pascal. 
Vamos reescrever o desenvolvimento acima usando binomiais, colocando expoentes 
decrescentes para a e expoentes crescentes para b. 
(a+b)0=(00)a0b0=1 
(a+b)1=(10)a1b0+(11)a0b1=a+b 
(a+b)2=(20)a2b0+(21)a1b1+(22)a0b2=a2+2ab+b2 
(a+b)3=(30)a3b0+(31)a2b1+(32)a1b2+(33)a0b3=a3+3a2b+3ab2+b3 
Generalizando, o desenvolvimento de um produto notável (a+b)n será: 
(a+b)n=(n0)anb0+(n1)an−1b1+(n2)an−1b2+...+(nn−1)a1bn−1+(nn)a0bn 
Podemos reescrever esta expressão como um somatório: 
(a+b)n=∑p=0n(np)(an−p⋅bp) 
Essa expressão é conhecida como Fórmula do Binômio de Newton. 
Exemplo: desenvolver (a+b)2 usando a Fórmula do Binômio de Newton. 
(a+b)2=(20)(a2−0b0)+(21)(a2−1b1)+(22)(a2−2b2) 
(a+b)2=1⋅(a2⋅1)+2⋅(a1⋅b1)+1⋅(a0⋅b2) 
(a+b)2=a2+2ab+b2 
Fórmula do Termo Geral 
Como visto anteriormente, (a+b)n=∑p=0n(np)(an−p⋅bp). 
Observe que o primeiro termo (T1) será obtido fazendo p = 0. 
T1=(n0)(an−0⋅b0) 
O segundo termo (T2) será obtido quando p = 1: 
T2=(n1)(an−1⋅b1) 
Assim, para encontrar o termo enésimo termo, fazemos p = p+1: 
Tp+1=(np)(an−p⋅bp) 
Exemplo: 
Qual o coeficiente de b4no desenvolvimento de (a+b)5? 
p = 4 e n = 5. 
T4+1=(54)(a5−4⋅b4) 
T5=5!(5−4)!⋅4!⋅(a1⋅b4) 
T5=5!1!⋅4!⋅(a1⋅b4) 
T5=5⋅4!1!⋅4!⋅(a1⋅b4) 
T5=5ab4 
Assim, o coeficiente será 5. 
PROBABILIDADE: DEFINIÇÕES BÁSICAS 
Clique para aprender o que é probabilidade, experimento aleatório, espaço amostral, 
evento e ponto amostral. 
Probabilidade é o estudo das chances de um determinado resultado ocorrer em um 
experimento em que os resultados são aleatórios. Em outras palavras, quando não é 
possível prever que resultado uma experiência produzirá, pode ser possível descobrir 
qual resultado apresenta mais chances de acontecer. No experimento “lançar um dado”, 
por exemplo, a possibilidade de obter o resultado “1” é igual à de obter o resultado “6”. 
https://escolakids.uol.com.br/probabilidade.htm
A probabilidade, portanto, representa a chance de determinado evento ocorrer por meio 
de um número, que é obtido pela razão entre o número de casos favoráveis e o número 
de casos possíveis. 
Experimento aleatório 
Os experimentos aleatórios dependem da sorte para acontecer. A palavra aleatório quer 
dizer isto: qualquer dos resultados possíveis pode ser o próximo a ser obtido ou pode 
nunca ser obtido, dependendo do acaso para isso. Como exemplos de experimentos 
aleatórios, temos: 
 Lançamento de dados. No lançamento de um dado comum qualquer, os 
seis resultados possíveis têm a mesma chance de acontecer. Suponha que um 
dado foi lançado e o resultado foi 2. Se esse dado for recolhido e lançado 
novamente, é possível que qualquer resultado ocorra, até mesmo o número 2. 
Além disso, mesmo que todos os resultados tenham a mesma chance, é possível 
tirar um resultado só em todos os lançamentos ou nunca mais obter o número 2 
como resultado. 
 Escolhade uma carta em um baralho. Esse é o mesmo caso do dado, entretanto, 
com menores chances de obter uma determinada carta porque o número de 
resultados possíveis é maior. 
Espaço amostral 
Espaço amostral é o nome dado ao conjunto de resultados possíveis de um evento 
aleatório. Dentro do espaço amostral são colocados TODOS os resultados possíveis. No 
lançamento de um dado, por exemplo, o espaço amostral é composto pelos números 
naturais de 1 a 6 e possui 6 elementos. O número de elementos do espaço amostral pode 
ser obtido por algum processo de contagem. 
O espaço amostral é um conjunto representado pela letra grega Ω, e seu número de 
elementos é representado por n(Ω). 
Ponto amostral 
Um ponto amostral é um resultado possível e único de um experimento aleatório. No 
exemplo do lançamento de um dado, os pontos amostrais são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Para calcular a probabilidade de um ponto amostral (um resultado único) ocorrer, basta 
dividir 1, que é a quantidade de eventos favoráveis, ou seja, apenas 1 ponto amostral, 
pela quantidade de elementos do espaço amostral. No caso dos dados, a probabilidade 
de sair o número 2 em um lançamento é igual a 1/6. 
Evento 
Um evento, na teoria de probabilidades, é um conjunto de pontos amostrais de 
um espaço amostral, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral. 
No lançamento dos dados, podemos citar como exemplo de evento “sair um número 
par”. A probabilidade desse evento ocorrer, calculada pelo número de casos favoráveis 
https://escolakids.uol.com.br/razao-proporcao.htm
https://escolakids.uol.com.br/probabilidade.htm
dividido pelo número de casos possíveis, é a seguinte: como são 3 números pares no 
dado, a probabilidade de sair um número par é 3/6 = 1/2. 
Existem possibilidades de um evento ser vazio e de um evento conter todos os pontos 
amostrais do espaço amostral. Nesse caso, a probabilidade desse evento ocorrer será 
fixada como igual a 1, e a probabilidade do evento vazio ocorrer será zero. Qual é a 
probabilidade de o lançamento de um dado resultar em um número entre 1 e 6? 
Resposta: 100% de chances. Logo, essa probabilidade é 1. 
 
Experimento Aleatório 
O experimento aleatório está relacionado aos estudos da probabilidade, 
ele produz possíveis resultados que são chamados de espaço amostral. 
 
 
 
Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando 
repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem 
resultados imprevisíveis. O lançamento de um dado e de uma moeda são 
considerados exemplos de experimentos aleatórios, no caso dos dados 
podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento 
da moeda, dois {cara, coroa}. 
 
Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 50 bolas numeradas 
de 1 a 50, ao retirarmos uma bola não saberemos dizer qual o número 
sorteado. Essas situações envolvem resultados impossíveis de prever. 
Podemos relacionar esse tipo de experimento com situações cotidianas, 
por exemplo, não há como prever a vida útil de todos os aparelhos 
eletrônicos de um lote, pois isso dependerá das condições de uso 
impostas pelas pessoas que adquirirem o produto. Outro exemplo que 
demonstra a característica de um experimento aleatório são as previsões 
do tempo. 
 
Os experimentos aleatórios produzem possíveis resultados que são 
denominados espaços amostrais. O espaço amostral possui 
subconjuntos denominados eventos. Como já citado anteriormente, 
temos que o número possível de elementos no lançamento de um dado é 
o seu espaço amostral, isto é, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os subconjuntos, os 
possíveis eventos são {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. No caso da moeda, o 
espaço amostral são os dois possíveis resultados {cara e coroa} e os 
eventos são {(cara), (coroa)}. 
 
As cartas também são ótimos exemplos utilizados nos estudos 
probabilísticos. Temos que o espaço amostral das cartas é constituído de 
52 cartas, onde podemos ter vários eventos, dependendo da 
característica escolhida. Veja: 
 
26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas. 
13 cartas de ouro, 13 cartas de copas, 13 cartas de espadas e 13 cartas 
de paus. 
 
 
Casos Equiprováveis 
 
 
 
Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem 
probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos 
que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, 
calculamos a probabilidade de um evento ocorrer relacionando o número 
de casos favoráveis com o número de casos possíveis. 
 
Exemplo 1 
 
Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade 
de: 
 
a) ocorrer 2 no primeiro lançamento e um número impar no segundo? 
 
Precisamos que aconteça o seguinte evento: (2,1), (2,3), (2,5). Assim, 
temos que a probabilidade é de 3 chances em 36. 
 
P(E) = 3/36 = 1/12. 
 
b) a multiplicação entre os números for maior que 10? 
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,5). 
 
P(E) = 16/36 = 4/9 
 
Exemplo 2 
 
Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair 
um múltiplo de 4? 
 
Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 
16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então: 
 
P(E) =12/50 = 6/25 
 
 
Exemplo 3 
 
Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma delas é 
extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser: 
 
a) 18? 
P(E) = 1/100 
 
b) maior que 63? 
P(E) = 37/100 
 
c) formado por dois algarismos 
P(E) = 90/100 = 9/10 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Um baralho possui 52 cartas. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a 
probabilidade de ser sorteada: 
 
a) a carta com o rei de copas? 
P(E) = 1/52 
 
b) uma carta de espadas. 
O baralho é formado por quatro naipes: copas, ouro, espadas, paus. 
Dessa forma temos 13 cartas de copas, 13 cartas de ouro, 13 cartas de 
espadas e 13 cartas de paus. A probabilidade de retirar uma carta de 
espadas é dada por: 
P(E) = 13/52 = 1/4 
 
c) uma carta que não seja o 6? 
Cada número está associado a um naipe, portanto, temos quatro cartas 
com numeração 6. Então 52 – 4 = 48 
P(E) = 48/52 = 12/13 
 Probabilidade da União de dois Eventos 
MATEMÁTICA 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade 
de ocorrer A ou B é dada por: 
 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
 
 
Verificação: 
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de 
elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez 
o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes (uma 
em A e outra em B). Assim temos: 
 
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 
Dividindo por n(S) [S ≠ ] resulta 
 
 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Exemplo: 
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma 
bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou 
múltiplos de 3? 
 
 
 
A é o evento “múltiplo de 2”. 
B é o evento “múltiplo de 3”. 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 
 
Probabilidade condicional 
MATEMÁTICA 
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https://brasile
 
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Probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço 
amostral que ocorre em um evento depois que já tenha ocorrido o 
primeiro. 
 
Para melhor compreensão do que seja probabilidade condicional, 
considere um espaço amostral S finito não vazio e um evento A de 
S, se quisermos outro evento B desse espaço amostral S, essa nova 
probabilidade é indicada por P(B | A) e dizemos que é a 
probabilidade condicional de B em relação a A. 
 
Essa probabilidade condicional irá formar um novo espaço 
amostral, pois agora o espaço amostral será A e os elementos do 
evento B irão pertencer a B ∩ A. 
 
 
 
Para calcular a probabilidade P(B | A) deve-se seguir o mesmo 
raciocínio da fórmula , 
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portanto: 
P(B | A) = n(B ∩ A) ou P(B | A) = P(B ∩ A) 
 n(A)P(A) 
E para calcular a probabilidade P(B∩A) basta multiplicar as 
probabilidades de A e B: 
P(B∩A) = P(A) . P(B) 
 
Propriedades da Probabilidade 
MATEMÁTICA 
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Os cálculos probabilísticos de um evento (A) de espaço amostral 
(S) qualquer são determinados pela fórmula: 
 
P(A) = n (A) / n (S) 
 
Dependendo do espaço amostral e do seu evento, ou das 
quantidades de elementos do espaço amostral e do evento, a 
probabilidade irá obedecer algumas propriedades, veja: 
 
– Quando o evento for vazio ( ), a sua probabilidade será zero: 
P(Ø) = 0. 
 
Observação: evento Ø é o mesmo que evento impossível. 
 
 
– A probabilidade de um espaço amostral (S) será igual a um. 
P(S) = 1, pois P(S) = n(S) / n(S) = 1 
 
Observação: quando o espaço amostral coincide com o evento, 
dizemos que o espaço amostral é um evento certo. 
 
 
– O valor de uma probabilidade será maior ou igual a zero ou 
menor ou igual a 1. 
0 ≤ P(A) ≤ 1, pois o elemento vazio pertence ao evento que está 
contido em um espaço amostral, assim, o número de elementos 
vazios deve ser menor ou igual ao número de elementos do 
evento, que deve ser menor ou igual ao número de elementos de 
um espaço amostral, logo: 
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Exemplo 1 
 
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de ocorrerem 
números iguais? 
 
Vamos construir o espaço amostral do lançamento de dois dados e 
determinar os eventos em que as faces dos dados são iguais. 
 
 
 
Eventos em que as faces são iguais: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), 
(6,6)} 
 
Assim, a probabilidade surge da relação: 
 
P(A) = 6 / 36 = 1 / 6 
 
 
Exemplo 2 
 
Ao retirar uma carta de uma caixa que contém 15 cartas 
enumeradas de 1 a 15, qual a probabilidade de se obter um 
número primo? 
 
Espaço amostral 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 
 
Evento 
{2, 3, 5, 7, 11, 13} 
 
P(A) = 6/15 = 2/5 
 
Probabilidade de dois eventos sucessivos 
ou simultâneos 
 
 
 
Através da fórmula da probabilidade condicional 
 
determinamos a fórmula para o cálculo da probabilidade de dois eventos 
simultâneos, que é dada por: 
 
Note que para se obter a probabilidade de ocorrerem dois eventos 
sucessivos, que é p(A∩B), basta multiplicar a probabilidade de um deles 
ocorrer pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já 
ocorreu. 
Quando o fato de ter ocorrido o evento B não alterar a probabilidade de 
ocorrer o evento A, ou seja, quando A e B forem eventos independentes, 
a fórmula se reduz a: 
P(A∩B)=p(A)*p(B) 
Vejamos alguns exemplos de aplicação dessas fórmulas. 
 
Exemplo 1. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual 
a probabilidade de ocorrer coroa e número primo? 
 
Solução: Primeiro, vamos determinar o espaço amostral S, que é o 
conjunto com todos os possíveis resultados. Para melhor compreensão, 
iremos denominar cara de C e coroa de K. Assim, 
 
S = {(C, 1); (C; 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K; 1), (K, 2); (K, 3); (K, 4); 
(K, 5); (K, 6)}  n(S) = 12 
 
Vamos descrever os eventos A e B. 
A: ocorrer coroa 
B: ocorrer número primo 
 
É fácil ver que esses dois eventos são independentes, um pode ocorrer 
sem a interferência do outro. Dessa forma, para resolução, utilizaremos a 
fórmula: 
 
P(A∩B)=p(A)∙p(B) 
p(A) = ½, pois no lançamento de uma moeda há metade de chance de 
sair cara e metade de sair coroa. 
p(B) = 3/6 = ½, pois dos 6 possíveis resultados no lançamento de um 
dado, três deles são números primos. 
Logo, 
P(A∩B)=1/2*1/2=1/4 
 
Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e 
outras operações 
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com 
linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. As 
matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser 
construídas com “m” linhas e “n” colunas, por exemplo: 
 
matrizes de ordem 2x3 e 3x2 
Adição de Matrizes 
 
A adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do 
mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa 
operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e 
B. 
https://1.bp.blogspot.com/-Ku_2wPT2Xfc/VqJqOO44sZI/AAAAAAAADao/4IUK_dh6gjY/s1600/matrizes+de+ordem+2x3+e+3x2.jpg
 
Exemplos: 
 
1) Determine a soma das matrizes A e B: 
 
 
Resolução: 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-1sUvi3ZH7wo/VqJrQBTkOgI/AAAAAAAADaw/IHj35dmk7sE/s1600/matriz+a+e+b+exemplo+a.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-7QhP1XTB4gI/VqJrkcdAWWI/AAAAAAAADa4/3kLO0mPJcEg/s1600/soma+da+matriz+a+e+b.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-WVw9qjSXVw0/VqJsEjuEEEI/AAAAAAAADbA/UJ0_eSCEvTY/s1600/matriz+a+e+b+exemplo+b.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-7YsWu5w45S4/VqJsYVlBQRI/AAAAAAAADbI/uyK6jZ8l6ek/s1600/adi%C3%A7%C3%A3o+da+matriz+a+e+b+exemplo+b.jpg
Subtração ou diferença de matrizes 
 
A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do 
mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa 
operação nós simplesmente subtraímos os elementos correspondentes de A 
e B. 
 
Exemplos: 
 
1) Determine a diferença entre as matrizes A e B: 
 
 
Resolução: 
 
 
Resolução 
https://3.bp.blogspot.com/-LBgHiNnkdg4/VqJtx8MNF4I/AAAAAAAADbU/tb_lwl9khXA/s1600/matriz+a+e+b+exemplo+a2.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-vja30Vpduzw/VqJukKS65oI/AAAAAAAADbc/Uo4eFNFFbfg/s1600/subtra%C3%A7%C3%A3o+da+matriz+a+e+b++exeplo+a2.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-117ZStmdsZg/VqJvCTcOy4I/AAAAAAAADbk/CQz8Gs82TVE/s1600/matriz+a+e+b+exemplo+b2.jpg
 
 
Multiplicação ou Produto de Matrizes 
 
A multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito somente quando 
o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da 
segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo “mxn” e a matriz B do tipo “nxp”, 
e o produto da operação uma matriz “mxp”, que pode ser chamada AB ou de 
C. 
 
Exemplo: 
 
1) Dado A e B, determine AB: 
 
 
 
 
 
Multiplicando uma linha por uma coluna: 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-Csk_SeJ1Ol4/VqJvL9tqnXI/AAAAAAAADbs/ZsPfwZ9UulQ/s1600/diferen%C3%A7a+da+matriz+a+e+b+exemplo+b2.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-VYeDMs9mjtc/WDYLfgErQdI/AAAAAAAAD6Q/88W1_Ufqdkw0exZnpueSbSJJSi8bflMrwCLcB/s1600/multiplica%C3%A7%C3%A3o-matrizes.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-BPvt24R8oVc/WDYLsoXzwSI/AAAAAAAAD6U/QpKNqp--RF4iq7DjIpkTHaGdYlz5lUtygCLcB/s1600/multiplicando-matrizes.jpg
 
 
Inversão de matrizes quadradas 
 
A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita em matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes 2x2, 3x3 e por ai em diante. A definição dessa 
operação é dada por: 
 
A.A−1=IA.A−1=I 
 
Sendo: 
 A a matriz A; 
 A−1A−1 a inversa de A; 
 I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, que possui o mesmo 
número de linhas e colunas, onde todos os elementos da diagonal 
principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0. 
Exemplo: 
 
1) Ache a inversa da matriz abaixo: 
 
Resolução: 
 
 
Multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas de sua inversa, e igualando 
aos elementos da matriz identidade temos: 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-Vv5N6d6ViBg/VqJ2iOnNglI/AAAAAAAADcM/6RqgG43-9as/s1600/matriz+a.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-GEHrdGyMrHw/VqJ2-tJNbrI/AAAAAAAADcU/HmUikVAwDxQ/s1600/calculando+a+inversa+da+matriz+a.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-BxYJ0wDl2Xs/VqJ3Sx2WbdI/AAAAAAAADcc/zFj2U_EOBns/s1600/sistema+de+equa%C3%A7%C3%B5es.jpg
 
Resolvendo esse sistema de equações, temos: 
 
a=4, d=−7, c=3, f=−5a=4, d=−7, c=3, f=−5 
 
Logo: 
 
 
 
Transposta de uma matriz 
 
A transposta de uma matriz (também chamada de matriz transposta) é a 
troca de suas linhas por colunas. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes) 
 
O escalonamento de matrizes é um processo onde você transforma um sistema 
linear em uma matriz,para obter o valor das incógnitas desse sistema. 
 
Exemplo: 
https://2.bp.blogspot.com/-JDAqCYmgcSg/VqJ5Si2LUgI/AAAAAAAADco/X0HvD59-4aw/s1600/matriz+inversa+de+a.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-YyUIg4wiqe0/VqJ6B4P1RqI/AAAAAAAADcw/ZzouZthZDIA/s1600/transposta+de+uma+matriz.jpg
 
Transformando o sistema em matrizes: 
 
 
 
 
Para escalonarmos essa matriz, devemos primeiramente zerar o primeiro 
elemento da segunda e da terceira linha, sendo que para isso, iremos somar 
os itens da segunda e da terceira com o resultado da multiplicação do oposto 
do primeiro item - da segunda e da terceira linha -, pelos elementos da 
primeira linha. 
 
 
 
Com isso, obtemos a segunda e a terceira equação. 
 
 
 
Logo, resolvendo esse sistema de equações: 
 
−2y+1z=1⇒z=2y+1−2y+1z=1⇒z=2y+1 
 
https://3.bp.blogspot.com/-bRn3eMRytn4/VqJ7KDG_JXI/AAAAAAAADdA/zrVyLSS8g5w/s1600/sistemas+de+lineares.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-oqlw0uDwNRY/VqJ7eImz2qI/AAAAAAAADdE/Nmom0nKKjQA/s1600/transformando+o+sistema+linear+em+matriz.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-btMvMPY5KXs/VqJ7wq0jCFI/AAAAAAAADdM/OHb1I9HInf8/s1600/fazendo+o+escalonamento+da+matriz.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-0k4QaOS9KVw/VqJ8DWkmkDI/AAAAAAAADdU/4omnIAcZmr4/s1600/obtendo+as+equa%C3%A7%C3%B5es.jpg
Substituindo z na terceira equação: 
 
−19y−11(2y+1)=−52⇒−19y−22y−11=−52⇒−19y−11(2y+1)=−52⇒−19y−
22y−11=−52⇒ 
 
⇒−19y−22y−11=−52⇒−41y=−41⇒y=1⇒−19y−22y−11=−52⇒−41y=−41⇒y
=1 
 
Logo: 
 
z=2(1)+1=3z=2(1)+1=3 
 
Agora substituindo esses valores em uma das equações do sistema para 
encontrar o valor x. Nessa demonstração, eu vou substituir na primeira. 
 
x+5y+3z=16⇒x+5(1)+3(3)=16⇒x+5y+3z=16⇒x+5(1)+3(3)=16⇒ 
 
⇒x+5+9=16⇒x=2⇒x+5+9=16⇒x=2 
 
 
Propriedades de matriz 
 
Reforçando um pouco a postagem com algumas propriedades das matrizes 
= ) 
 
1)(AT)T=A; (A−1)−1=A1)(AT)T=A; (A−1)−1=A 
 
2)(AT)−1e´ o mesmo que (A−1)T2)(AT)−1e´ o mesmo que (A−1)T 
 
3)(A.B)T=BT.AT ; (A.B)−1=B−1.A−13)(A.B)T=BT.AT ; (A.B)−1=B−1.A−1 
 
4)A−1.A=I4)A−1.A=I 
 
5)A.A−1=I 
 
Matriz Inversa 
 
A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, 
que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). 
Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade 
de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). 
Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação. 
A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A) 
Mas o que é Matriz Identidade? 
A Matriz Identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são 
todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero). Ela é indicada por 
In: 
 
Propriedades da Matriz Inversa 
 Existe somente uma inversa para cada matriz 
 Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando 
os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In) 
 A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (A -1)-1 
 A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (A t) -1 = (A-1)t 
 A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (A -
1 At)-1 
 A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I 
Veja também: Matrizes 
Exemplos de Matriz Inversa 
Matriz Inversa 2x2 
 
https://www.todamateria.com.br/matriz-identidade/
https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/
Matriz Inversa 3x3 
 
Passo a Passo: Como Calcular a Matriz 
Inversa? 
Sabemos que se o produto de duas matrizes é igual a matriz identidade, essa 
matriz possui uma inversa. 
Observe que se a matriz A for inversa da matriz B, utiliza-se a notação: A-1. 
Exemplo: Encontre a inversa da matriz abaixo de ordem 3x3. 
 
Antes de mais nada, devemos lembrar que A . A-1 = I (A matriz multiplicada por 
sua inversa resultará na matriz identidade In). 
 
Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada 
coluna da segunda matriz. 
Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira 
matriz pelas colunas da segunda. 
E por fim, a terceira linha da primeira com as colunas da segunda: 
 
Fazendo a equivalência dos elementos com a matriz identidade, podemos 
descobrir os valores de: 
a = 1 
b = 0 
c = 0 
Sabendo esses valores, podemos calcular as outras incógnitas da matriz. Na 
terceira linha e primeira coluna da primeira matriz temos que a + 2d = 0. 
Portanto, vamos começar por encontrar o valor de d, pela substituição dos 
valores encontrados: 
1 + 2d = 0 
2d = -1 
d = -1/2 
Da mesma maneira, na terceira linha e segunda coluna podemos encontrar o 
valor de e: 
b + 2e = 0 
0 + 2e = 0 
2e = 0 
e = 0/2 
e = 0 
Continuando, temos na terceira linha da terceira coluna: c + 2f. Note que 
segunda a matriz identidade dessa equação não é igual a zero, mas igual a 1. 
c + 2f = 1 
0 + 2f = 1 
2f = 1 
f = ½ 
Passando para a segunda linha e a primeira coluna vamos encontrar o valor 
de g: 
a + 3d + g = 0 
1 + 3. (-1/2) + g = 0 
1 – 3/2 + g = 0 
g = -1 + 3/2 
g = ½ 
Na segunda linha e segunda coluna, podemos encontrar o valor de h: 
b + 3e + h = 1 
0 + 3 . 0 + h = 1 
h = 1 
Por fim, vamos encontrar o valor de i pela equação da segunda linha e terceira 
coluna: 
c + 3f + i = 0 
0 + 3 (1/2) + i = 0 
3/2 + i = 0 
i = 3/2 
Depois de descobertos todos os valores das incógnitas, podemos encontrar 
todos os elementos que compõem a matriz inversa de A: 
 
Veja também: Regra de Sarrus 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
1. (Cefet-MG) A matriz é inversa de 
Pode-se afirmar, corretamente, que a diferença (x-y) é igual a: 
a) -8 
b) -2 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
 
2. (U.F. Viçosa-MG) Sejam as matrizes: 
 
Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy 
é: 
a) 3/2 
b) 2/3 
c) 1/2 
d) 3/4 
e) 1/4 
 
3. (PUC-MG) A matriz inversa da matriz é igual a: 
a) 
b) 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-sarrus/
c) 
d) 
e) 
 
Propriedades dos 
determinantes 
 
 
 
 
 CURTIDAS 22 
O cálculo dos determinantes pode ser facilitado se analisarmos as 
características e propriedades de algumas matrizes. Há algumas 
propriedades que, se bem observadas, podem fazer com que 
economizemos tempo na realização desses cálculos. Vejamos quais 
são essas propriedades e como elas podem nos ajudar. 
 
Propriedade 1. 
 
Quando todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, 
o determinante da matriz é nulo. 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 2. 
 
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu 
determinante será nulo. 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 3. 
 
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, 
então seu determinante será nulo. 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 4. 
 
Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz 
forem multiplicados por um número real p qualquer, então seu 
determinante também será multiplicado por p. 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 5. 
 
Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um 
número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado 
por pm. 
 
det (p?A) = pm?det A 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 6. 
 
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua 
transposta. 
det A=det At 
 
Exemplo: 
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Propriedade 7. 
 
Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz, 
seu determinante será o oposto da matriz anterior. 
 
Exemplo: 
 
Propriedade 8. 
 
Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais 
a zero, então o determinante da matriz será o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 
Exemplo: 
 
 
Propriedade 9. 
 
O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos 
determinantes de cada uma delas. 
det (A?B) = det A ? det B 
 
Propriedade 10. 
 
Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera 
quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear 
dos elementos correspondentes de filas paralelas.Exemplo: 
 
Se somarmos os elementos da coluna 1 com o dobro dos elementos 
da coluna 2, o determinante não irá se alterar. 
 
 
Sistemas e Equações Lineares 
 
 
 
Equações Lineares 
 
As equações do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + .....+ anxn = b, são equações 
lineares, onde a1, a2, a3, ... são os coeficientes; x1, x2, x3,... as incógnitas 
e b o termo independente. 
A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação linear. Os coeficientes são 
4, –3 e 5; x, y e z as incógnitas e 31 o termo independente. 
Para x = 2, y = 4 e z = 7, temos 4*2 – 3*4 + 5*7 = 31, concluímos que o 
terno ordenado (2,4,7) é solução da equação linear 
4x – 3y + 5z = 31. 
 
Para x = 1, y = 0 e z = 3, temos 4*1 – 3*0 + 5*3 ≠ 31, concluímos que o 
terno ordenado (1,0,3) não é solução da equação linear 
4x – 3y + 5z = 31. 
 
Sistemas Lineares 
 
Dizemos que o conjunto de equações lineares forma um sistema linear. 
 
Exemplos 
 
2x + 3y = 10 
x – 5y = 2 
Sistema linear com duas equações e duas incógnitas. 
 
5x – 6y – 2z = 15 
9x – 10y + 5z = 20 
Sistema linear com duas equações e três incógnitas. 
 
x + 9y + 6z = 20 
3x – 10y – 12z = 5 
-x + y + z = 23 
Sistema linear com três equações e três incógnitas. 
 
x+ y + z + w = 36 
2x – y +2z + 9w = 40 
-5x + 3y – 5z + 5w = 16 
Sistema linear com três equações e quatro incógnitas. 
 
O sistema linear abaixo admite o terno ordenado (1, 2, 3) como solução. 
 
x + 2y – z = 2 
2x – y + z = 3 
x + y + z = 6 
 
1 + 2*2 – 3 = 2 → 1+ 4 – 3 = 2 → 2 = 2 
2*1 – 2 + 3 = 3 → 2 – 2 + 3 = 2 → 3 = 3 
1 + 2 + 3 = 6 → 6 = 6 
 
 
No entanto, ele não admite como solução o terno ordenado (1, 2, 4). 
1 + 2*2 – 4 = 2 → 1+ 4 – 4 = 2 → 1 + 0 = 2 → 1 ≠ 2 
2*1 – 2 + 4 = 3 → 2 – 2 + 4 = 2 → 0 + 4 = 3→ 4 ≠ 3 
1 + 2 + 4 = 6 → 7 ≠ 6 
 
 
 
Sequência numérica é uma sucessão finita ou 
infinita de números obedecendo uma determinada 
ordem definida antecipadamente. 
Uma sequência numérica na matemática deve ser 
representada entre parênteses e ordenada. Veja 
como são representadas nos exemplos abaixo: 
 (1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números 
naturais; 
 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos 
números primos positivos; 
 (1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números 
ímpares positivos. 
Índice do Artigo 
esconder 
 Classificação das Sequências Numéricas 
 Igualdade de Sequências Numéricas 
 Fórmula do Termo Geral 
 Lei de Recorrência 
 Progressões Aritméticas e Geométricas 
 Exercícios 
Classificação das 
Sequências Numéricas 
Podemos classificar as sequências numéricas em 
infinitas e finitas: 
 Sequência Infinita: uma sequência infinita é 
representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, 
a4, … , an, …) 
Exemplos: 
o (2, 4, 6, 8, 10, …): sequência dos 
números pares positivos; 
o (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …): sequência dos 
números naturais; 
As sequências infinitas são 
representadas com uma reticência no 
final. Os elementos são indicados pela 
letra a. Então, o elemento a1, equivale ao 
primeiro elemento, a2, ao segundo 
elemento e assim por diante. 
 Sequência Finita: uma sequência finita é 
representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, 
a4, … , an) 
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#classifica%C3%A7%C3%A3o-das-sequ%C3%AAncias-num%C3%A9ricas
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#igualdade-de-sequ%C3%AAncias-num%C3%A9ricas
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#f%C3%B3rmula-do-termo-geral
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#lei-de-recorr%C3%AAncia
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#progress%C3%B5es-aritm%C3%A9ticas-e-geom%C3%A9tricas
https://matematicabasica.net/sequencia-numerica/#exercicios
Exemplo: 
o (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9): sequência dos 
algarismos do sistema decimal de 
numeração; 
Nas sequências finitas podemos indicar o 
elemento an da sequência, pois se trata 
de uma sequência finita e sabemos 
exatamente a quantidade de elementos 
da sequência. Na sequência acima, n = 
10, portanto, an é a10 = 9. 
Então: 
o a1 = 0; 
o a2 = 1; 
o a3 = 2; 
o a4 = 3; 
o a5 = 4; 
o a6 = 5; 
o a7 = 6; 
o a8 = 7; 
o a9 = 8; 
o a10 = 9; 
Igualdade de 
Sequências Numéricas 
Duas sequências são consideradas iguais se 
apresentarem os mesmos termos e na mesma 
ordem. 
Exemplo: 
Considerem as seguintes sequências: 
 (a, b, c, d, e) 
 (2, 7, 9, 10, 20) 
As duas sequências acima poderão ser 
consideras iguais se, e somente se, a = 2, b = 7, c 
= 9, d = 10 e e = 20. 
Considerem as seguintes sequências: 
 (1, 2, 3, 4, 5) 
 (5, 4, 3, 2, 1) 
As sequências acima não são iguais, mesmo 
apresentando os mesmos números, elas possuem 
ordens diferentes. 
Fórmula do Termo 
Geral 
Cada sequência numérica possui sua lei de 
formação. A sequência (1, 7, 17, 31, …) possui a 
seguinte lei de formação: 
an = 2n2 – 1, n ∈ N* 
Essa fórmula é usada para encontrar qualquer 
termo da sequência. Por exemplo, o termo a4 = 2 . 
42 – 1 = 31 
Exemplo: 
1. a1 = 2 . 12 – 1 = 1; 
2. a2 = 2 . 22 – 1 = 7; 
3. a3 = 2 . 32 – 1 = 17; 
4. a4 = 2 . 42 – 1 = 31; 
5. E assim por diante. 
Lei de Recorrência 
A lei de recorrência de uma sequência numérica 
permite calcularmos cada termos conhecendo o 
seu antecedente: 
Exemplo: 
Considere a seguinte fórmula de recorrência an + 
1 = an – 1 para a sequência (10, 9, 8, 7, 6, …), 
sendo que o termo a1 = 10. Determine os 5 
primeiros termos. 
1. a2 = 10 – 1 = 9; 
2. a3 = 9 – 1 = 8; 
3. a4 = 8 – 1 = 7 
4. a5 = 7 – 1 = 6 
Cada sequência numérica possui sua lei de 
recorrência. 
Progressões 
Aritméticas e 
Geométricas 
As progressões geométricas e aritméticas são 
sequências numéricas bem conhecidas na 
matemática. 
A progressão aritmética (PA) é um tipo de 
sequência em que cada termo, começando a 
partir do segundo, é o termo anterior somado a 
uma constante r, a qual é chamada de razão da 
PA. 
Uma PA é definida pela seguinte expressão: 
 an + 1 = an + r 
Exemplo: 
 (1, 2, 4, 6, 8, 10, …): PA com primeiro 
termo a1 = 0 e razão r = 2. 
A progressão geométrica (PG) é um tipo de 
sequência em que cada termo, começando a 
partir do segundo, é determinado pela 
multiplicação por uma constante r, a qual é 
chamada de razão da PG. 
Uma PG é definida pela seguinte expressão: 
 an = a1 . q(n – 1) 
https://matematicabasica.net/progressao-aritmetica/
https://matematicabasica.net/pg-progressao-geometrica/
Exemplo: 
 (1, 2, 4, 8, 16, 32, …): é uma PG em que o 
primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2. 
 
Soma dos termos de uma PA 
A soma dos termos de uma PA é dada pela multiplicação da metade do 
seu número de termos pela soma do primeiro com o último termo. 
 
 
 
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue 
a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma 
constante real. Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas 
que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer tenha sempre 
o mesmo resultado. Esse resultado é chamado de razão. A soma dos 
termos de uma PA pode ser calculada de maneira fácil por meio de uma 
fórmula, que será discutida a seguir. 
O primeiro a somar termos 
Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma 
PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua 
turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar 
todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo 
recorde, e o único a acertar o resultado: 5050. 
A explicação para isso está no fato de Gauss ter percebido que a soma do 
primeiro número com o último tinha 101 como resultado e que o mesmo 
acontecia para o segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim 
por diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao final, teria 
50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual 
ao produto 50 por 100. 
O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada para demonstrar a 
fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA. 
Fórmula para a soma dos n primeirostermos de uma PA 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-racionais.htm
Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe 
que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último 
é an. 
Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte 
expressão: 
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an 
Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, 
reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo 
dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo 
fique abaixo do segundo e assim por diante. 
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an 
Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1 
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Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da 
mesma soma que Gauss fez. 
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an 
+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1 
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) 
+ (an + a1) 
Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas 
entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. 
Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe: 
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) 
Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma 
que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. 
A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma 
mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós 
duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar 
toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de 
termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida: 
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) 
2Sn = n(a1 + an) 
Sn = n(a1 + an) 
 2 
*n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, 
respectivamente. 
Exemplo 
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros 
termos. 
Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. 
Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA. 
an = a1 + (n – 1)r 
a100 = 2 + (100 – 1)2 
a100 = 2 + (99)2 
a100 = 2 + 198 
a100 = 200 
Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma 
PA, teremos: 
S100 = 100(2 + 200) 
 2 
S100 = 100(202) 
 2 
S100 = 20200 
 2 
S100 = 10100 
Soma dos termos de uma PG infinita 
A soma dos termos de uma PG infinita pode ser calculada por meio de 
uma fórmula matemática na qual dividimos o valor do primeiro termo por 
um menos a razão da PG (1 – q). 
 
 
 
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica na qual 
qualquer termo (an) é resultado do produto de seu antecessor (an – 1) com 
uma constante, chamada razão (q) da PG. É 
possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica-pg.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). 
Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira: 
 
Veja também: Soma dos termos de uma PA finita 
Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo 
dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só 
é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. 
Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero 
e 1, exceto por esses valores. 
Para testar a validade dessa fórmula, usaremos os exercícios resolvidos a 
seguir. 
Exercícios resolvidos 
Exercício 1 
Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 
10 e a razão é meio. 
A PG em questão é: 
(10, 5, 5 , … ) 
 2 
Podemos obter o próximo número dessa PG dividindo o termo que o 
antecede por 2. Logo, a razão dessa PG é ½. 
Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos: 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-finita.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.htm
 
Para resolver esse problema, usamos a divisão de frações. Para dividir 
duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda. Para mais informações a respeito desse procedimento, leia o 
texto “Multiplicação e divisão de frações", clicando aqui. 
 
Exercício 2 
Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …). 
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O primeiro termo da PG é 1. Para encontrar sua razão, basta dividir 
qualquer termo por seu antecessor. 
0,5 : 1 
Para resolver essa divisão, basta multiplicar ambos os termos por 10. 
Assim, teremos: 
5 : 10 = 0,5 
Logo, a razão dessa PG é 0,5. O cálculo da soma dos termos da PG infinita 
pode ser feito usando q = 0,5 ou escrevendo esse decimal na forma 
de fração. Optamos pelo segundo método. Observe apenas que, 
encontrando a fração irredutível, o cálculo será facilitado: 
0,5 = 5 :5 = 1 
 10:5 2 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-divisao-fracoes.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.htm
 
Substituindo o primeiro termo e a razão na fórmula da soma dos termos 
da PG infinita, teremos: 
 
Outras fórmulas e conhecimentos 
Também existe a possibilidade de usar outras fórmulas e conhecimentos 
para encontrar a soma de termos de uma PG infinita. No exercício a 
seguir, usaremos a fórmula do termo geral da PG para encontrar o valor 
do primeiro termo da PG para depois calcular a soma de seus termos. 
 
Exercício 3 
Calcule a soma dos termos da PG infinita que possui razão 1/4 (um quarto) 
e seu quarto termo é 1/16 (um dezesseis avos). 
Para resolver esse problema, precisamos descobrir o primeiro termo 
dessa PG. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral da PG: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/termo-geral-pg.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.htm
 
 
Conhecendo a razão e o primeiro termo, basta substituir esses valores 
na fórmula da soma dos termos da PG infinita: 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.htm
 
 
Progressão 
No Ensino Médio, são estudados dois tipos de progressão: aritmética 
(PA) e a geométrica (PG). 
 
 
 
A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na 
Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de 
quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. 
Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula 
matemática. 
No Ensino Médio, estudamos dois tipos de progressão, a aritmética e 
a geométrica. 
♦ Progressão Aritmética 
Na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é 
determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. 
Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula: 
an = a1 + (n – 1) . r 
an = n-ésimo termo da sequência 
a1 = primeiro termo 
n = posição do termo na sequência 
r= razão 
Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n 
primeiro termos, que é a seguinte: 
Sn= n . (a1 + an) 
 2 
Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA 
n = posiçãodo termo na sequência 
a1 = primeiro termo da sequência 
an = n-ésimo termo da sequência 
Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule 
a soma dos 20 primeiros termos. 
Dados: 
a1 = 1 
r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é 
sempre o anterior mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 … 
n = 20 
a20 = ? 
Resolução: 
an = a1 + (n – 1) . r 
a20 = 1 + (20 – 1) . 2 
a20 = 1 + (19) . 2 
a20 = 1 + 38 
a20 = 39 
O vigésimo termo da sequência é o número 39. 
Sn= n . ( a1 + an ) 
 2 
S20 = 20 . ( 1 + 39 ) 
 2 
S20 = 20 . ( 40) 
 2 
S20 = 20 . 20 
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S20 = 400 
A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400. 
♦ Progressão Geométrica 
Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como qualquer 
sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é 
dada por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a 
fórmula: 
an = a1 . qn – 1 
an = n-ésimo termo da sequência 
a1 = primeiro termo da sequência 
q = razão 
n = posição do termo da sequência 
Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros 
termos, que é dada por: 
Sn = a1 . (qn – 1) 
 q - 1 
Sn = soma dos n primeiros termos de um PG 
a1 = primeiro termo da sequência 
q = razão 
n = posição do termo na sequência 
Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 
54...) e, em seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos. 
Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, 
efetue as divisões: 
6 = 3 
2 
18 = 3 
 6 
54 = 3 
18 
Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a1 = 2 e n = 6, 
substitua os valores na fórmula: 
a6 = a1 . qn – 1 
a6 = 2 . ( 3)6 -1 
a6 = 2 . (3)5 
a6 = 2 . 243 
a6 = 486 
O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos 
seis primeiros termos da sequência. 
Sn = a1 . (qn - 1) 
 q – 1 
Sn = 2 . (36 - 1) 
 3 – 1 
Sn = 2 . (729 - 1) 
 3 – 1 
Sn = 2 . (728) 
 2 
Sn = 1456 
 2 
Sn = 728 
A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728. 
Posições relativas 
 
 
 
As figuras planas e espaciais são formadas pela intersecção de retas e 
planos pertencentes ao espaço. Dentre as posições relativas, podemos 
destacar: 
 
Posição relativa entre duas retas 
 
Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no 
espaço: 
 
Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo 
plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em 
comum. 
 
Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os 
pontos em comum. 
 
Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto 
comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano. 
 
Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem ponto em 
comum formando um ângulo de 90º. 
 
 
Retas reversas: estão presentes em planos distintos. 
 
 
Posição relativa entre reta e plano. 
 
Uma reta e um plano poderão ter as seguintes posições relativas: 
 
Reta paralela ao plano: considere uma reta t e um plano β, eles serão 
paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum. 
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Reta contida no plano: considerando uma reta t e um plano β. t está 
contido em β se todos os infinitos pontos de t pertencerem a β. 
 
 
Retas e planos secantes ou concorrentes: a reta t será concorrente ao 
plano β se possuírem um ponto em comum. 
 
 
Posição entre dois planos 
 
Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre 
si: 
 
Planos paralelos: dois planos são considerados paralelos se não 
possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α 
(alfa) for paralela a uma reta pertencente ao plano β (beta). 
 
Planos secantes: dois planos são secantes quando forem distintos e a 
intersecção entre eles formar uma reta. 
 
Planos coincidentes: planos coincidentes equivalem a um mesmo plano, 
ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro. 
 
 
Posição relativa entre planos 
A posição relativa entre planos é o estudo de como esses objetos 
interagem no espaço tridimensional: com ou sem pontos na intersecção. 
 
 
 
Planos são figuras geométricas de duas dimensões que, geralmente, 
ocupam parte do espaço tridimensional. Ao escolher dois planos quaisquer 
no espaço, é possível identificar se existe interação entre eles e o modo 
como ela acontece. Isso depende da posição relativa entre esses dois 
planos. 
O que é plano? 
O plano é uma coleção infinita de retas paralelas que 
são perpendiculares a uma única reta. Essa última existe para que 
as retas paralelas não façam qualquer ondulação. O resultado disso é 
uma superfície plana parecida, por exemplo, com a superfície de uma 
mesa ou com a parede de uma casa. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-1.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/duas-retas-paralelas-cortadas-por-uma-transversal.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
 
Construção de um plano a partir de retas paralelas 
As posições relativas entre planos são três, a saber: 
Planos coincidentes 
Caso idêntico ao de retas coincidentes. Quando dois planos equivalem 
a um único plano, ou seja, quando compartilham todos os pontos, eles são 
chamados de coincidentes. 
 
Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano 
As retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. 
O resultado disso é que elas também compartilham todos os outros 
infinitos pontos. Já os planos coincidentes são aqueles que possuem 
três pontos não colineares – que não estão em linha reta – em comum. 
Também é possível pensar nessa definição a partir de uma reta e um ponto 
fora dela, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes. Se dois planos 
compartilham uma reta e um ponto fora dela ou duas retas paralelas ou 
duas retas concorrentes, eles são coincidentes. 
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Planos secantes 
Os planos secantes, também chamados de planos concorrentes, 
equivalem às retas concorrentes. Assim, dois planos são secantes 
quando são distintos e possuem pontos em sua intersecção. Portanto, 
para que dois planos sejam secantes, é necessário que eles não sejam 
coincidentes, mas que possuam pontos em comum. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
Outro modo de definir planos secantes é o seguinte: Se a intersecção 
entre dois planos é uma reta, esses planos são secantes. Logo, os 
pontos em comum entre os dois planos não coincidentes sempre serão 
uma reta. 
 
As propriedades que envolvem os planos secantes α e β são as seguintes: 
 Se os planos α e β são perpendiculares e a reta r, pertencente ao 
plano α, é perpendicular à intersecção entre esses planos, então r 
também é perpendicular ao plano β. 
 2 – Quando um plano contém uma reta perpendicular a outro, esses 
dois planos são perpendiculares. 
Planos paralelos 
Dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. As 
propriedades dos planos paralelos são as seguintes: 
 Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, 
esses dois planos são paralelos. Para que uma reta r seja paralela 
a um plano, é necessário encontrar uma reta s nesse plano que seja 
paralela à reta r; 
 A distância entre dois planos paralelos (α e β) é igual à distância de 
ponto a plano entre um ponto pertencente a α e o plano β. 
 
Exemplo de planos que não possuem ponto em comum 
 
 
Posições relativas entre reta e plano 
As posições relativas entre reta e plano referem-se ao modo como essasfiguras podem relacionar-se no espaço. A reta é secante, contida ou 
paralela ao plano. 
 
 
 
Retas são conjuntos de pontos que formam uma figura com formato de 
linha que não faz curva. Planos são conjuntos de retas que formam uma 
superfície plana e que também não possuem distorção alguma. Entre 
essas duas figuras, quando observadas no espaço tridimensional, 
há posições relativas. 
As posições relativas podem ser analisadas entre diversas figuras 
geométricas. As mais comuns são: posição relativa entre duas retas, 
entre duas circunferências e entre reta e plano. 
Reta contida no plano 
Quando todos os pontos de uma reta pertencem a um plano, dizemos 
que essa reta está contida no plano. 
Se for possível provar que dois pontos de uma reta pertencem também a 
um plano, então toda a reta será formada por pontos desse plano. Isso é 
resultado de um dos postulados da Geometria Plana. 
 
Reta secante ao plano 
Uma reta é secante ou concorrente quando toca o plano em apenas um 
ponto. Como o plano é uma parcela ínfima do espaço tridimensional, 
podendo ser comparado com uma fatia que não possui profundidade, 
existem infinitos pontos tanto em um plano como fora dele. Essa afirmação 
é obtida em um dos axiomas provenientes da Geometria Plana, cujo texto 
diz exatamente: 
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Contidos em um plano existem infinitos pontos. Fora de um plano existem 
infinitos pontos. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-1.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-duas-circunferencias.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-duas-circunferencias.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-duas-circunferencias.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/axiomas-postulados.htm
 
Ilustração de uma reta secante ao plano: reta que o toca apenas em um ponto 
Reta paralela ao plano 
Uma reta é dita paralela a um plano quando não existe ponto em comum 
entre eles. Em outras palavras, quando a reta não toca o plano em ponto 
algum. 
A propriedade responsável pelo paralelismo entre retas e planos é a 
seguinte: 
Se uma reta s não é secante nem está contida em um plano β e, além 
disso, existe outra reta paralela a ela contida nesse mesmo plano, então, 
a reta s e o plano β são paralelos 
 
A reta s é paralela à reta r contida no plano 
 
Todas as posições relativas entre reta e plano presentes na mesma ilustração 
 
Perpendicularismo entre reta e plano 
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a 
todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e . 
 
Note que: 
 se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou 
ortogonal a toda reta de : 
 
 
 para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular 
a duas retas concorrentes, contidas em : 
 
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma 
única reta t de para que seja perpendicular ao plano: 
 
 Projeções ortogonais 
Projeções ortogonais são a imagem de uma figura geométrica ou 
objeto matemático projetada perpendicularmente em um plano. 
 
 
 
 
 CURTIDAS 0 
Projeção ortogonal é a imagem projetada sobre um plano de uma 
figura geométrica ou objeto matemático pertencentes ao espaço. 
Muitas vezes essa imagem é comparada à sombra que 
essa figura teria ao meio-dia, pois a ideia de projeção ortogonal é 
exatamente igual a essa. 
Questões envolvendo projeções de figuras geométricas são comuns 
em exames como o Enem e não costumam apresentar um alto grau 
de dificuldade. A seguir, veja os casos mais importantes 
de projeções ortogonais e um exemplo de questões do Enem sobre 
o assunto. 
Projeção do ponto sobre o plano 
A projeção ortogonal do ponto sobre o plano é o pé do segmento de 
reta perpendicular ao plano cujas extremidades são o próprio 
plano e o ponto observado. Essa projeção também é um ponto, mas 
estará no plano. 
Lembre-se de que uma reta (e, por consequência, um segmento de 
reta) concorrente a um plano no ponto A é perpendicular a ele 
quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam por A. 
Sendo assim, podemos dizer que a projeção ortogonal de um ponto 
sobre um plano é o ponto que está na outra extremidade 
da distância relativa ao ponto e ao plano. 
 
Ponto fora de um plano e sua projeção ortogonal 
Projeção da reta sobre o plano 
A projeção ortogonal da reta r sobre o plano α pode render dois 
resultados distintos. Uma reta perpendicular ao plano tem como 
projeção ortogonal apenas um ponto. Para visualizar isso, imagine a 
sombra (ao meio-dia) de uma reta na posição vertical sobre o plano. 
Se a reta r não for perpendicular a um plano α, sua projeção 
ortogonal será a intersecção entre o plano perpendicular ao plano α 
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/retas.html
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/retas.html
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.html
que contém essa reta e o próprio plano α. Essa intersecção é outra 
reta totalmente contida em α. Observe a imagem a seguir: 
 
Representação da projeção ortogonal de uma reta sobre um plano 
Projeção de um segmento de reta 
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Também existem dois casos para a projeção de segmentos de reta 
sobre o plano: 
1. O segmento de reta é ortogonal ao plano e, por isso, tem como 
projeção apenas um ponto; 
2. O segmento de reta não é ortogonal ao plano. Sua projeção é o 
segmento de reta do plano cujas extremidades são 
as projeções ortogonais das extremidades do segmento dado. 
 
Representação da projeção ortogonal do segmento de reta sobre o plano 
Projeção de uma figura 
Quando o objeto a ser projetado é uma figura, sua projeção 
ortogonal é outra figura no plano composta pelas projeções 
ortogonais de todos os pontos da figura dada. 
Projeção de pontos em movimento 
Questões envolvendo projeção ortogonal necessitam muito do uso 
da imaginação para serem resolvidas. Geralmente são colocadas 
trajetórias muito parecidas entre as alternativas de questões 
objetivas e, especialmente, são colocadas trajetórias do movimento 
em outra perspectiva. 
Observe o exercício a seguir que exemplifica a projeção 
ortogonal de um ponto em movimento. 
Exemplo – (ENEM/2014) O acesso entre os dois andares de uma 
casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), 
representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D e E sobre o 
corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em 
uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a 
mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto E. 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal sobre o piso da 
casa (plano) do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: 
 
Solução: 
Observe que o exercício fala “a figura que melhor representa”. Isso 
significa que essa figura não necessariamente está completamente 
correta. É exatamente o que acontece nesse caso, pois a figura que 
representa a projeção ortogonal do lado de fora de uma espiral é um 
círculo. A letra “c” é a que melhor representa o círculo, mesmo 
faltando uma parte dele. 
Gabarito: Letra C. 
 Prismas – Geometria 
Espacial 
Por Redação 
access_time16 maio 2017, 13h49 - Publicado em 26 fev 2012, 12h01 
https://guiadoestudante.abril.com.br/autor/da-redacao
chat_bubble_outlinemore_horiz 
Prisma de Revolução 
É o sólido formado por uma superfície prismática fechada e por dois planos 
paralelos que interceptam todas as geratrizes. 
Os polígonos congruentes determinados sobre esses planos pela superfície são 
as bases do prisma; os outros, suas faces laterais. 
Altura de um prisma é a distancia H entre suas bases.Um prisma é dito triangular, quadrangular, pentago-nal, etc … conforme suas 
bases sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc … 
Um prisma é reto ou obliquo conforme suas arestas laterais sejam 
perpendiculares ou oblíquas às bases. 
Seção reta é a seção obtida no prisma por um plano perpendicular as arestas 
laterais. 
Prisma regular é o prisma reto cujas bases são polí-gonos regulares. 
 
Áreas do Prisma 
Área lateral (SL) é a soma das áreas das faces late-rais. 
Área total (ST) é a soma da área lateral com as áreas das bases. 
 
 
https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/prismas-geometria-espacial/#respond
Volume do Prisma 
É por definição o produto da área de sua base pela altura, ou seja: 
 
 
Paralelepípedo retângulo 
É todo prisma reto cujas bases são retângulos. 
Obtemos a área, o volume e o comprimento da diago-nal desse 
paralelepípedo, de dimensões a, b e c. 
 
Da figura acima calculamos os seguintes valores: 
Área do paralelepípedo retângulo: 
 
 
Volume do paralelepípedo retângulo: 
 
 
Diagonal do paralelepípedo retângulo: 
 
Cubo 
É o paralelepípedo retângulo cujas faces todas são quadrados. 
Área total do Cubo 
É igual a seis áreas de um quadrado de lado a, ou seja: 
 
 
Volume do Cubo 
 
Diagonal do Cubo 
Como as arestas são iguais, isto é a = b = c, então a diagonal é dada por: 
 
Dica! Procure olhar as figuras espaciais nas três vistas (frontal, lateral e 
superior), e use principalmente as duas últimas que não são convencionais; 
você acaba resolvendo questões mais facilmente. 
 
 
(FUVEST) O cubo de vértices ABCDEFGH, indi-cado na figura, tem arestas 
de comprimento a. 
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do 
ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a: 
 
 
Solução: No triângulo retângulo da figura abaixo, aplicando Pitágoras, temos: 
 
 
 
 
 
 
Prisma - Figura Geométrica 
 
O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria 
espacial. 
É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos 
iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais 
(paralelogramos). 
Composição do Prisma 
 
Ilustração de um prisma e seus elementos 
Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e 
faces laterais. 
Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, 
enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não 
pertencem às bases. 
Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é 
calculada pela distância entre os planos das bases. 
Entenda mais sobre: 
 Formas Geométricas 
 Poliedro 
 Paralelogramo 
Classificação dos Prismas 
Os primas são classificados em Retos e Oblíquos: 
 Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são 
retângulos. 
 Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são 
paralelogramos. 
https://www.todamateria.com.br/formas-geometricas/
https://www.todamateria.com.br/poliedro/
https://www.todamateria.com.br/paralelogramo/
 
Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B) 
Bases do Prisma 
De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em: 
 Prisma Triangular: base formada por triângulo. 
 Prisma Quadrangular: base formada por quadrado. 
 Prisma Pentagonal: base formada por pentágono. 
 Prisma Hexagonal: base formada por hexágono. 
 Prisma Heptagonal: base formada por heptágono. 
 Prisma Octogonal: base formada por octógono. 
 
Figuras de prisma segundo suas bases 
Importante ressaltar que os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas 
bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos. 
Note que se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo; 
e, se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. 
Saiba mais sobre a Geometria Espacial. 
Fique Atento! 
Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o 
formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da 
base será um triângulo. 
Saiba mais nos artigos: 
 Área do Triângulo 
 Área do Losango 
https://www.todamateria.com.br/poligonos/
https://www.todamateria.com.br/cubo/
https://www.todamateria.com.br/paralelepipedo/
https://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/area-do-triangulo/
https://www.todamateria.com.br/area-do-losango/
Fórmulas do Prisma 
Áreas do Prisma 
Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das 
faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais 
congruentes, a fórmula da área lateral é: 
Al = n . a 
n: número de lados 
a: face lateral 
Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das 
faces laterais e as áreas das bases: 
At = Sl+ 2Sb 
Sl: Soma das áreas das faces laterais 
Sb: soma das áreas das bases 
Volume do Prisma 
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula: 
V = Ab.h 
Ab: área da base 
h: altura 
Veja também: Fórmulas de Matemática 
Exercícios Resolvidos 
1) Indique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
a) O prisma é uma figura da geometria plana 
b) Todo paralelepípedo é um prisma reto 
c) As arestas laterais de um prisma são congruentes 
d) As duas bases de um prisma são polígonos semelhantes 
e) As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos 
 
a) (F) 
b) (F) 
c) (V) 
d) (V) 
e) (V) 
2) O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma oblíquo 
quadrangular é: 
a) 6; 8; 12 
b) 2; 8; 4 
c) 2; 4; 8 
d) 4; 10; 8 
e) 4; 12; 8 
 
3) O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma reto heptagonal 
é: 
https://www.todamateria.com.br/volume-do-prisma/
https://www.todamateria.com.br/formulas-de-matematica/
a) 7; 21; 14 
b) 7; 12; 14 
c) 14; 21; 7 
d) 14; 7; 12 
e) 21; 12; 7 
 
4) Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto que 
apresenta 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos que 
medem 8 cm e 15 cm. 
Antes de mais nada, para descobrirmos a área da base, devemos lembrar 
a fórmula para encontrar a área do triângulo 
Logo, 
Ab= 8.15/2 
Ab=60 cm2 
Por conseguinte, para encontrar a área lateral e a área da base devemos 
lembrar do Teorema de Pitágoras, donde a soma dos quadrados de seus 
catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa. 
Ele é representado pela fórmula: a2=b2+c2. Assim, por meio da fórmula 
devemos encontrar a medida da hipotenusa da base: 
Logo, 
a2=82+152 
a2=64+225 
a2= 289 
a=√289 
a2=17 cm 
Área Lateral (soma das áreas dos três triângulos que formam o prisma) 
Al= 8.20+15.20+17.20 
Al= 160+300+340 
Al=800 cm2 
Área Total (soma da área lateral com o dobro da área da base) 
At=800+2.60 
At=800+120 
At=920 cm2 
Assim, as respostas do exercício são: 
Área da Base: Ab=60 cm2 
Área Lateral: Al=800 cm2 
Área Total: At=920 cm2 
 
5) (Enem-2012) 
Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas 
caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas 
planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone 
 
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Pirâmide é a união de seguimentos de reta formando um sólido 
geométrico de base poligonal. A Pirâmide é um elemento Composto 
de vértice e base, onde a última pode ser de várias formas, sendo as 
mais comuns as bases triangular, pentagonal, quadrada, 
paralelogramo ou retangular. A Pirâmide é estudada na Geometria 
espacial, onde temos como exemplo as pirâmides do Egito. 
 
Índice [esconder] 
 Elementos de uma Pirâmide 
 Cálculo do Volume da Pirâmide 
 Tronco de Pirâmide 
 Área da Pirâmide 
 Área Total da Pirâmide 
 Tiposde Pirâmide 
Elementos de uma Pirâmide 
 Base: Região plana poligonal, a Pirâmide está sustentada. 
 Arestas: Todos os lados do Polígono da Base são classificadas 
como Arestas da Base. Assim como, todos os segmentos 
formados pela distância do Vértice da Pirâmide até sua Base 
são as Arestas Laterais. 
 Altura: Distância do Vértice da Pirâmide ao plano da base. 
 Superfície Lateral: Composta de todas as faces laterais da 
Pirâmide. 
 Apótemas: Altura de Cada face da superfície lateral. 
Denominam-se de Apótema da Pirâmide e Apótema da Base. 
https://escolaeducacao.com.br/piramide/
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Elementos_de_uma_Piramide
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Calculo_do_Volume_da_Piramide
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Tronco_de_Piramide
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Area_da_Piramide
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Area_Total_da_Piramide
https://escolaeducacao.com.br/piramide/#Tipos_de_Piramide
Cálculo do Volume da Pirâmide 
 
Obs: O Volume da Pirâmide é 1/3 do Volume de um prisma com a 
mesma base e altura. 
Tronco de Pirâmide 
 
Desmembrando uma Pirâmide com um plano paralelo à base de dois 
sólidos, obtém-se uma Pirâmide menor (proporcionalmente igual a 
anterior) e um Tronco de Pirâmide. 
 
Área do Tronco da Pirâmide 
 
Volume do Tronco da Pirâmide 
 
Área da Pirâmide 
Área da Face lateral: As faces sempre terão o formato de triângulos. A 
fórmula da área lateral é a seguinte: 
 
Onde, a área da face do triângulo é igual a área de um dos triângulo 
laterais. Logo, conclui-se que a área lateral total é a soma de todas as 
áreas laterais. 
Área Total da Pirâmide 
Basta somar as áreas laterais com a área da Base, onde será 
composto algebricamente da seguinte maneira: 
 
Lembrando que A(lateral) é a soma de todas as faces laterais, por 
exemplo, se a pirâmide for quadrangular, você deve multiplicar a área 
lateral por 4. 
Tipos de Pirâmide 
 Pirâmide Triangular: A base é um triângulo, ela é formada de 
quatro faces, ou seja, três faces laterais e a face da base. 
 Pirâmide Quadrangular: A base é um quadrado, ela é formada 
de cinco faces, ou seja, quatro faces laterais e a face da base. 
 Pirâmide Pentagonal: A base é um pentágono, ela é formada de 
seis faces, ou seja, cinco faces laterais e a face da base. 
 Pirâmide Hexagonal: A base é um hexágono, ela é formada de 
sete faces: seis faces laterais e face da base. 
 
Cilindro 
 
O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e 
arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. 
 
Essa figura geométrica, que faz parte dos estudos de geometria espacial, 
apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão 
situados em planos paralelos. 
Componentes do Cilindro 
 
 Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade. 
 Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e 
inferior). 
 Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro. 
 Diretriz: corresponde à curva do plano da base. 
Classificação dos Cilindros 
Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, 
os cilindros são classificados em: 
Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está 
perpendicular ao plano da base. 
 
Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está 
oblíqua ao plano da base. 
 
O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela 
mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua 
seção meridiana corresponde a um quadrado. 
Para ampliar seus conhecimentos sobre o tema, veja outras figuras que fazem 
parte da Geometria Espacial. 
Fórmulas do Cilindro 
Segue abaixo as fórmulas para calcular as áreas e o volume do cilindro: 
Áreas do Cilindro 
Área da Base: Para calcular a área da base do cilindro, utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
Ab= π.r2 
Onde: 
Ab: área da base 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da 
superfície lateral, utiliza-se a fórmula: 
Al= 2 π.r.h 
Onde: 
Al: área lateral 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da 
superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber: 
At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h) 
Onde: 
At: área total 
Ab: área da base 
Al: área lateral 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
Veja também: Área do Cilindro 
Volume do Cilindro 
O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura 
(geratriz): 
V = Ab.h ou V = π.r2.h 
Onde: 
V: volume 
Ab: área da base 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
Veja também: Volume do Cilindro 
https://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/area-do-cilindro/
https://www.todamateria.com.br/volume-do-cilindro/
Exercícios Resolvidos 
Para compreender melhor o conceito de cilindro, confira abaixo dois exercícios, 
sendo que um deles caiu no ENEM: 
1. Uma lata em forma de cilindro equilátero tem altura de 10 cm. Calcule a área 
lateral, a área total e o volume desse cilindro. 
Ver Resposta 
2. (ENEM-2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-
las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair 
beija-flores, mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve 
sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em 
dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela 
pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de 
açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a 
de se alimentar. Isso pode até matá-la. 
Ciência Hoje das crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 
1996. 
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-
flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 
cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é 
cerca de (utilize π(pi) = 3) 
a) 20 mL. 
b) 24 mL. 
c) 100 mL. 
d) 120 mL. 
e) 600 mL. 
 
Resolução: 
Primeiramente, vamos anotar os dados que o exercício nos oferece: 
10 cm de altura 
4 cm de diâmetro (raio é 2 cm) 
π(pi) = 3 
Obs: Lembre-se que o raio é a metade do diâmetro. 
Assim, para saber a quantidade de água que devemos colocar no copo 
devemos utilizar a fórmula do volume: 
V = π.r2.h 
V = 3.22.10 
V=120 cm3 
Encontramos o volume (120 cm3) para uma parte de açúcar e cinco de 
água (ou seja, 6 partes). 
Logo, cada parte corresponde a 20 cm3 
120÷6=20 cm3 
Se temos 5 partes de água: 20.5 = 100 cm3 
Alternativa c) 100 mL 
 
Cone 
 
Cone é um sólido geométrico que faz parte dos estudos da geometria espacial. 
Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma 
extremidade num vértice (V) em comum. 
 
Além disso, o cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice 
do cone ao plano da base. 
Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer 
segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base do cone. 
Classificação dos Cones 
Os cones, dependendo da posição do eixo em relação à base, são 
classificados em: 
 Cone Reto: No cone reto, o eixo é perpendicular à base, ou seja, a altura e o centro 
da base do cone formam um ângulo de 90º, donde todas as geratrizes são 
congruentes entre si e, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se a relação: 
g²=h²+r². O cone reto é também chamado de “cone de revolução” obtido pela 
rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos. 
 Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é perpendicular à base da figura. 
Observe que o chamado “cone elíptico” possui base elíptica e pode ser reto 
ou oblíquo. 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
Para compreender melhor a classificação dos cones,observe as figuras 
abaixo: 
 
Veja também: Geometria Espacial 
Fórmulas do Cone 
Segue abaixo as fórmulas para encontrar as áreas e o volume do cone: 
Áreas do Cone 
Área da Base: Para calcular a área da base de um cone (circunferência), 
utiliza-se a seguinte fórmula: 
Ab = п.r2 
Donde: 
Ab: área da base 
п (Pi) = 3,14 
r: raio 
Área Lateral: formada pela geratriz do cone, a área lateral é calculada através 
da fórmula: 
Al = п.r.g 
Donde: 
Al: área lateral 
п (PI) = 3,14 
r: raio 
g: geratriz 
Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a 
área da base. Para isso utiliza-se a seguinte expressão: 
At = п.r (g+r) 
Donde: 
At: área total 
п = 3,14 
r: raio 
g: geratriz 
Veja também: Área do Cone 
https://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/area-do-cone/
Volume do Cone 
O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura, 
calculado pela seguinte fórmula: 
V = 1/3 п.r2. h 
Donde: 
V = volume 
п = 3,14 
r: raio 
h: altura 
Para saiba mais, leia também: 
Exercício Resolvido 
Um cone circular reto tem raio da base de 6 cm e uma altura de 8 cm. Segundo 
os dados oferecidos, calcule: 
1. a área da base 
2. a área lateral 
3. a área total 
 
Para facilitar a resolução, anotamos primeiramente os dados oferecidos 
pelo problema: 
raio (r): 6 cm 
altura (h): 8 cm 
Vale lembrar que antes de encontrarmos as áreas do cone, devemos 
encontrar o valor da geratriz, calculada pela seguinte fórmula: 
g=√r2+h2 
g=√62+8 
g=√36+64 
g=√100 
g=10 cm 
Feito o cálculo da geratriz do cone, podemos encontrar as área do cone: 
1. Assim, para calcular a área da base do cone, utilizamos a fórmula: 
Ab = π.r2 
Ab = π.62 
Ab = 36 π cm2 
2. Por conseguinte, para calcular a área lateral utilizamos a seguinte 
expressão: 
Al = π.r.g 
Al = π.6.10 
Al = 60 π cm2 
3. Por fim, a área total (soma da área lateral e da área da base) do cone é 
encontrado através da fórmula: 
At = π.r (g+r) 
At = π.6 (10+6) 
https://www.todamateria.com.br/volume-do-cone/
At = π.6 (16) 
At = 96π cm2 
Logo, a área da base é de 36 π cm2, a área lateral do cone é de 60 π cm2 e 
a área total é de 96 π cm2. 
 
A Esfera na Geometria Espacial 
 
A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de 
geometria espacial. 
A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em 
torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos 
os pontos estão equidistantes do centro (O). 
Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma 
bola de futebol, dentre outros. 
 
Componentes da Esfera 
 Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço no qual a 
distância do centro (O) é equivalente ao raio (R). 
 Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida ao girar um semicírculo em 
torno de seu eixo. 
 Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma 
semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo. 
 Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano. 
Para compreender melhor os componentes da esfera, analise as figuras 
abaixo: 
 
Fórmulas da Esfera 
Veja abaixo as fórmulas para calcular a área e o volume de uma esfera: 
Área da Esfera 
Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula: 
Ae = 4.п.r2 
Donde: 
Ae= área da esfera 
П (Pi): 3,14 
r: raio 
Volume da Esfera 
Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula: 
Ve = 4.п.r3/3 
Donde: 
Ve: volume da esfera 
П (Pi): 3,14 
r: raio 
 
Exercícios Resolvidos 
1. Qual a área da esfera de raio √3 m? 
Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a expressão: 
Ae=4.п.r2 
Ae = 4. п. (√3)2 
Ae = 12п 
Logo, a área da esfera de raio √3 m, é de 12 п. 
2. Qual o volume da esfera de raio ³√3 cm? 
Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a expressão: 
Ve = 4/3.п.r3 
Ve = 4/3.п.(³√3)3 
Ve = 4п.cm3 
Portanto, o volume da esfera de raio ³√3 cm é de 4п.cm3. 
CILINDRO E PRISMA 
Quando o cilindro circular reto está inscrito em um prisma regular, o raio da base 
do cilindro é o raio da circunferência inscrita na base do prisma, ou seja, o raio da 
https://www.todamateria.com.br/area-da-esfera/
https://www.todamateria.com.br/volume-da-esfera/
base do cilindro é o apótema da base do prisma. Veja abaixo como exemplo, um 
cilindro inscrito em um prisma hexagonal regular: 
 
Quando o prisma regular está inscrito em um cilindro circular reto. O raio da base 
do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma. Veja abaixo 
como exemplo, um cilindro circunscrito a um prisma hexagonal regular: 
 
PIRÂMIDE E CONE 
Quando uma pirâmide regular está inscrita num cone circular reto, o raio da base 
do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide. 
 
 
 
 
Quando um cone circular reto está inscrito numa pirâmide regular, o raio da base 
do cone é o apótema da base da pirâmide e a geratriz do cone é o apótema da 
pirâmide. 
 
ESFERA E CUBO 
Quando uma esfera está inscrita em um cubo, o diâmetro da esfera possui a 
mesma medida da aresta do cubo. 
 
Dessa maneira, temos que 2r = a r = a/2. 
Quando uma esfera está circunscrita ao cubo, seu diâmetro possui mesma medida 
da diagonal do cubo. 
 
Dessa maneira, temos que: 
2R = a R = a /2 
Exercícios resolvidos 
1) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 8 cm de aresta. 
Solução: 
Como a esfera está circunscrita ao cubo temos que 2R = a . 
https://www.proenem.com.br/enem/
Dessa forma, . 
Para calcular o volume dessa esfera basta aplicarmos a sua fórmula: 
 
 
 
2) Determine o volume de uma esfera inscrita num cubo de aresta 6 cm 
 
Solução: 
Como a esfera está inscrita no cubo temos que 2R = a. 
Dessa forma, 
Para calcular o volume dessa esfera basta aplicarmos a sua fórmula: 
 
 
 
ESFERA E CILINDRO 
Se uma esfera se encontra inscrita em um cilindro circular reto, temos que a altura 
desse cilindro deve ser o diâmetro da esfera, e o raio da base do cilindro possui 
mesma medida que o raio da esfera. 
 
Devemos observar ainda que este, é um cilindro equilátero e que a medida de sua 
área lateral é a mesma da área da superfície esférica (Alat.cilindro = Aesfera = 4pR2). 
Se uma esfera se encontra circunscrita em um cilindro circular reto, temos que o 
diâmetro da esfera é a diagonal da seção meridiana do cilindro. 
 
Exercício resolvido 
1) Determine o volume de uma esfera inscrita num cilindro de volume 54π cm3. 
Solução 
Note que quando uma esfera está inscrita num cilindro temos: 
 
 
Dessa forma, podemos escrever o volume do cilindro como: 
 
Calculando o volume da esfera, temos: 
 
 
ESFERA E CONE 
Se uma esferas e encontra inscrita em um cone, temos uma semelhança de 
triângulos na seção meridiana do cone. 
 
Considere a seção meridiana acima, onde A é o vértice do cone, O é o centro da 
esfera de raio r, B o centro da base do cone de raio R, e D a interseção da geratriz 
AC com a esfera. Note que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AOD, assim 
R/r = g/h – r. 
Quando uma esfera está circunscrita a um cone, notemos que o diâmetro da 
esfera que contém o vértice do cone forma um triângulo retângulo com qualquer 
dos pontos da base do cone, como mostra a figura. 
 
 
Dessa maneira, considere o triângulo retângulo VV’A, cuja altura relativa à 
hipotenusa possui a mesma medida do raio r da base do cone, e cujas projeções 
ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa possuem medida h e 2R – h. Logo, 
pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos que: 
r2 = h(2R – h). 
 
Plano cartesiano 
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é 
formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si. 
A reta horizontal é o eixo das abscissas 
(eixo x). 
A reta vertical é o eixo das ordenadas 
(eixo y). 
O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao 
par ordenado (0,0). 
 
Localização de um ponto 
Para localizar um ponto em um plano cartesiano, utilizamos a sequência 
prática: 
 O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das 
abscissas. 
 O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das 
ordenadas. 
 No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, 
determinamos o ponto procurado. Exemplo: 
Localize o ponto (4, 3). 
 
 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos é o primeiro conceito aprendido e 
um dos mais importantes dentro da geometria analítica, 
considerando que outros conceitos dessa área derivam da ideia de 
distância entre dois pontos. 
O que é distância entre dois pontos? 
A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em 
que esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos 
estão em uma reta, a distância é dada pelo módulo 
da diferença entre eles, veja: 
 
 Exemplo 
Imagine a seguinte situação, em uma viagem, quando estamos 
passando por uma rodovia, temos algumas placas que marcam o 
quilômetro ou posição em que estamos naquele instante. Em um 
instante inicial passamos pela placa km 12, em seguida passamos 
pela placa km 68. 
Para sabermos quanto andamos, é preciso considerar as duas 
placas: a do km 12 e a do km 68. Desse modo calculamos o módulo 
da diferença entre esses dois pontos para obtermos a distância 
percorrida, assim: 
|12 - 68|= 
|68 - 12| = 
56 km 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm
A rota desenvolvida por GPS é uma aplicação prática do conceito 
de distância entre dois pontos. 
Distância entre dois pontos no plano cartesiano 
Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, 
é necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das 
abscissas (x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira: 
 
Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto 
no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve 
ser dada em função dessas variações. 
 
Veja também que a distância entre os pontos é a hipotenusa do 
triângulo formado. Além disso, aplicando o teorema de Pitágoras e 
isolando o lado dab, temos: 
 
Leia também: Generalidades sobre as equações da reta 
Fórmula da distância entre dois pontos 
A distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é definida pelo 
comprimento do segmento representado por dab e tem medida 
dada por: 
 
Como calcular a distância entre dois pontos? 
Para determinar a distância entre dois pontos no plano, basta 
substituir corretamente os valores das coordenadas dos pontos na 
fórmula. Veja a seguir: 
 Exemplo 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/generalidades-sobre-as-equacoes-reta.htm
Calcular a distância entre os pontos P (-3, -11) e Q (2, 1). 
Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas 
de cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve 
acontecer com os valores das ordenadas. Assim: 
 
Exercícios resolvidos 
Questão 1 – Sabendo que a distância entre os pontos A e B é de √29 
e que o ponto A (-1, ya), pertencente ao eixo OX, e B (-1, 5), 
determine ya. 
Solução: 
Substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos: 
 
Como o ponto A pertence ao eixo X, então de fato y = 0. 
Questão 2 – (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) 
é 10. O valor de y é: 
a) -1 
b) 0 
c) 1 ou 13 
d) -1 ou 10 
e) 2 ou 12 
Solução 
Substituindo os dados do enunciado, temos: 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, segue que: 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Condição de Alinhamento de Três Pontos 
 
 
 
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma 
reta. 
 
 
 
Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a 
construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas 
coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos 
pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus 
envolvendo a matriz das coordenadas. 
 
 
Exemplo 1 
 
Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão 
alinhados. 
 
Diagonal principal 
 
2 * 7 * 1 = 14 
5 * 1 * 5 = 25 
1 * 3 * 11 = 33 
 
Diagonal secundária 
 
1 * 7 * 5 = 35 
2 * 1 * 11 = 22 
5 * 3 * 1 = 15 
 
Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária 
 
(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15) 
 
72 – 72 = 0 
 
Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz 
quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0. 
 
 
Exemplo 2 
 
Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles 
estão alinhados. 
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Diagonal principal 
 
2 * (–1) * 1 = –2 
2 * 1 * (–3) = –6 
1 * (–3) * 1 = –3 
 
Diagonal secundária 
 
1 * (–1) * (–3) = 3 
2 * 1 * 1 = 2 
2 * (–3) * 1 = –6 
 
(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6) 
– 11 – (–1) 
– 11 + 1 = – 10 
 
 
Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não 
estão alinhados. 
 
 
 
 
Equação Reduzida da Reta 
MATEMÁTICA 
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Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y 
= mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o 
coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma 
reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto 
é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso 
dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), 
obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções 
matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de 
uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo 
de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear. 
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação 
ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor 
numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y). 
 
 
Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os 
pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa 
equação há duas maneiras, observe: 
1º maneira 
Determinar o coeficiente angular da reta. 
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) 
m = (–5 – 7) / (–1 – 2) 
m = –12 / –3 
m = 4 
De acordo com o ponto P(2, 7), temos: 
y – y1 = m * (x – x1) 
y – 7 = 4 * (x – 2) 
y – 7 = 4x – 8 
y = 4x – 8 + 7 
y = 4x – 1 
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2ª maneira 
Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é 
dada por y = mx + c. 
Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos: 
P(2, 7) 
7 = m * 2 + c 
7 = 2m + c 
2m + c = 7 
 
Q(–1, –5) 
–5 = m * (–1) + c 
–5 = –m + c 
–m + c = –5 
Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) 
serão calculados por um sistema de equações. Veja: 
 
Isolando c na 2ª equação: 
–m + c = –5 
c = –5 + m 
 
Substituindo c na 1ª equação: 
2m + c = 7 
2m + (–5 + m) = 7 
2m – 5 + m = 7 
3m = 7 + 5 
3m = 12 
m = 12/3 
m = 4 
Calculando o valor de c: 
c = –5 + m 
c = –5 + 4 
c = –1 
Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 
7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1. 
 
Ponto de interseção entre duas retas 
MATEMÁTICA 
O ponto de interseção entre duas retas, ou ponto de encontro, pode 
ser obtido igualando as equações relativas a elas ou resolvendo o 
sistema formado. 
Uma reta é um conjunto de pontos que não faz curva. Em uma reta, 
existem infinitos pontos, o que também indica que a reta é infinita. 
A reta também pode ser considerada como espaço que possui 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-conjunto.htmapenas uma dimensão, ou seja, é na reta que se constroem figuras 
com uma dimensão ou menos. 
Duas retas podem encontrar-se em 0, 1 ou 2 pontos. No primeiro 
caso, elas são chamadas paralelas; no segundo, elas são 
chamadas concorrentes e o ponto de encontro entre elas é 
chamado ponto de interseção; no terceiro caso, se duas retas 
possuem dois pontos em comum, então elas obrigatoriamente 
apresentam todos os pontos em comum e são chamadas 
coincidentes. 
No caso em que duas retas têm um ponto de interseção (ou 
intersecção), sempre será possível encontrar as coordenadas desse 
ponto quando as equações dessas retas são conhecidas. 
Coordenadas do ponto de interseção 
Suponha que as retas ax + by + c = 0 e dx + ey + f = 0 encontram-se 
no ponto P(xo, yo). Note que os valores das incógnitas nesse ponto 
serão iguais para ambas as equações e que essa é justamente a 
definição de um sistema de equações com duas incógnitas e 
duas equações. Esse sistema pode ser escrito da seguinte maneira: 
 
Assim, resolvendo esse sistema, encontraremos os valores de x e y 
que o tornam verdadeiro e que, ao mesmo tempo, são 
as coordenadas do ponto de encontro entre as duas retas que o 
formam. 
Exemplo: Determine o ponto de encontro entre as retas 2x – y + 6 
= 0 e 2x + 3y – 6 = 0 
As coordenadas do ponto de interseção entre essas 
duas retas são dadas resolvendo o sistema formado: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/dimensoes-espaco.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-concorrentes.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-fundamental-reta-1.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/ponto-intersecao-entre-duas-retas.htm
 
Escolhemos o método da adição para resolver esse sistema, e isso 
não foi feito por nenhum motivo em especial. Prosseguindo na 
solução, basta resolver a equação encontrada: 
– 4y + 12 = 0 
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– 4y = – 12 (– 1) 
4y = 12 
y = 12 
 4 
y = 3 
Para finalizar, podemos substituir o valor de y em qualquer uma 
das equações: 
2x – y + 6 = 0 
2x – 3 + 6 = 0 
2x + 3 = 0 
2x = – 3 
x = – 3 
 2 
Assim, as coordenadas da interseção entre essas duas retas são: (3, 
– 3/2). 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/ponto-intersecao-entre-duas-retas.htm
Observe as duas retas e seu ponto de encontro no seguinte 
gráfico: 
 
 
Solução simplificada 
A solução anterior é dada quando as equações estão em sua forma 
geral. Se as equações forem dadas em sua forma reduzida, a solução 
pode ser feita por outro método, com cálculos mais fácies e mais 
rápidos. Também podemos escrever as equações em sua forma 
reduzida antes de fazer os cálculos para evitar a solução do sistema. 
A solução simplificada consiste em isolar uma das incógnitas 
das equações e igualar os seus resultados. Por exemplo, determine 
as coordenadas das retas de equações: x + y – 2 = 0 e 3x – y + 4 = 0. 
Isolando uma incógnita de cada uma delas: 
y = 2 – x e 
y = 4 + 3x 
Note que ambas as expressões em função de x são iguais a y. Como 
ambas são iguais ao mesmo número, então as expressões são iguais 
entre si: 
2 – x = 4 + 3x 
– x – 3x = 4 – 2 
– 4x = 2 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-reduzida-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/ponto-intersecao-entre-duas-retas.htm
x = – 2 
 4 
x = – 1 
 2 
 
Substituindo o valor de x em uma das equações, encontraremos o 
valor de y: 
y = 2 – x 
y = 2 – 1 
 2 
y = 4 – 1 
 2 
y = 3 
 2 
 
Paralelismo e Perpendicularidade entre retas 
Paralelismo: Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes 
durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum. 
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
Ângulo formado entre duas retas 
 
 
 
Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas 
oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas 
retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo 
α é tal que: 
 
 
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, 
respectivamente. 
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α 
formado entre elas é tal que: 
 
Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x 
+ 4y – 12 =0 
 
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, 
precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, 
vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s. 
 
Para a reta r, temos: 
 
x - y = 0 
y = x 
 
Portanto, mr = 1. 
Para a reta s, temos: 
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Portanto, ms = -3/4 
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a 
fórmula do ângulo entre duas retas: 
 
Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y 
= – 2x + 8. 
 
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas 
dadas. 
 
Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
mr = 3 
Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
ms = – 2 
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 
 
 
Distância entre ponto e reta 
Dados: 
- um ponto P(x1, y1) 
- uma reta r:ax + by + c = 0 
A distância entre eles (dpr) é dada por: 
 
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 
0. 
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim: 
 
Bissetrizes 
Considere as retas concorrentes: 
r: a1x + b1y + c1 = 0 
s: a2x + b2y + c2 = 0, 
Elas se interceptam em um ponto Q. 
Se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P Q, então P equidista 
de r e s: 
 
 
Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal 
negativo, obtemos a outra. Vejamos um exemplo: 
Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são: 
 
https://www.somatematica.com.br/fundam/angulos/angulos11.php
Equação de 1º grau com duas incógnitas 
As equações do 1º grau com duas incógnitas são representadas pela 
expressão ax + by = c, onde a e b são diferentes de 0 e c assume qualquer 
valor real. 
 
 
 
Toda equação do 1º grau com uma incógnita é representada pela forma 
geral ax + b = c, com a, b e c pertencentes aos números reais, sendo a ≠ 
0. 
 
As equações do 1º grau com duas incógnitas são representadas pela 
expressão ax + by = c, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c assumindo qualquer valor real. 
Nesse modelo de equação, os valores de x e y estão ligados através de 
uma relação de dependência. Observe exemplos de equações com duas 
incógnitas: 
 
10x – 2y = 0 
x – y = – 8 
7x + y = 5 
12x + 5y = – 10 
50x – 6y = 32 
8x + 11y = 12 
 
Essa relação de dependência pode ser denominada de par ordenado (x, 
y) da equação, os valores de x dependem dos valores de y e vice versa. 
Atribuindo valores a qualquer uma das incógnitas descobrimos os valores 
correlacionados a elas. Por exemplo, na equação 
3x + 7y = 5, vamos substituir o valor de y por 2: 
 
3x + 7*2 = 5 
3x + 14 = 5 
3x = 5 – 14 
3x = – 9 
x = – 9 / 3 
x = – 3 
Temos que para y = 2, x = – 3, estabelecendo o par ordenado (–3, 2). 
 
 
Exemplo 1 
 
Dada a equação 4x – 3y = 11, encontre o valor de y, quando x assumir 
valor igual a 2. 
 
Estabelecendo x = 2, temos y = – 1, constituindo o par ordenado (2, –1). 
 
A determinação do par ordenado é de grande importância para a 
construção da reta representativa da equação do 1º grau no plano 
cartesiano. Esses conceitos são muito utilizados na elaboração de gráficos 
de funções, como na GeometriaAnalítica que relaciona os estudos 
algébricos com a Geometria, sendo de extrema importância para o 
cotidiano matemático. 
 
Circunferência 
 
Circunferência é uma figura geométrica com formato circular que faz parte dos 
estudos de geometria analítica. Note que todos os pontos de uma 
circunferência são equidistantes de seu raio (r). 
Raio e Diâmetro da Circunferência 
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da 
figura a qualquer ponto localizado em sua extremidade. 
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo centro 
da figura, dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro equivale 
duas vezes o raio (2r). 
 
Equação Reduzida da Circunferência 
A equação reduzida da circunferência é utilizada para determinar os diversos 
pontos de uma circunferência, auxiliando assim, em sua construção. Ela é 
representada pela seguinte expressão: 
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 
Onde as coordenadas de A são os pontos (x,y) e de C são os pontos (a,b). 
Equação Geral da Circunferência 
A equação geral da circunferência é dada a partir do desenvolvimento da 
equação reduzida. 
x2 + y2 – 2 ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 
Área da Circunferência 
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso 
da circunferência, a fórmula da área é: 
 
Quer saber mais? Leia também o artigo: Áreas de Figuras Planas. 
Perímetro da Circunferência 
O perímetro de uma figura plana corresponde a soma de todos os lados dessa 
uma figura. 
No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da 
figura, sendo representado pela expressão: 
 
Complemente seus conhecimentos com a leitura do artigo: Perímetros de 
Figuras Planas. 
Comprimento da Circunferência 
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu 
perímetro. Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu 
comprimento. 
Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma 
fórmula do perímetro: 
C = 2 π . r 
Donde, 
https://www.todamateria.com.br/areas-de-figuras-planas/
https://www.todamateria.com.br/perimetros-de-figuras-planas/
https://www.todamateria.com.br/perimetros-de-figuras-planas/
C: comprimento 
π: constante Pi (3,14) 
r: raio 
Circunferência e Círculo 
Muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora 
utilizamos esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença. 
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou 
disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua 
área interna. 
 
Saiba mais sobre o círculo com a leitura dos artigos: 
 Área do Círculo 
 Perímetro do Círculo 
 Área e Perímetro 
Exercícios Resolvidos 
1. Calcule a área de uma circunferência que tem raio de 6 metros. 
Considere π = 3,1 
 
2. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 10 
metros? Considere π = 3,14 
 
3. Se uma circunferência possui um raio de 3,5 metros, qual será 
seu diâmetro? 
a) 5 metros 
b) 6 metros 
c) 7 metros 
d) 8 metros 
e) 9 metros 
 
 
https://www.todamateria.com.br/area-do-circulo/
https://www.todamateria.com.br/perimetro-do-circulo/
https://www.todamateria.com.br/area-e-perimetro/
4. Qual o valor do raio de uma circunferência cuja área equivale a 
379,94 m2? Considere π = 3,14 
 
5. Determine a equação geral da circunferência cujo centro possui 
as coordenadas C (2, –3) e raio r = 4. 
 
Primeiramente devemos atentar para a equação reduzida dessa 
circunferência: 
(x – 2)2 + ( y + 3 )2 = 16 
Feito isso, vamos desenvolver a equação reduzida para encontrar a 
equação geral dessa circunferência: 
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 16 = 0 
x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 
 
 
 
 
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência 
Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões 
trigonométricas. 
 
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas 
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical 
corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está 
associado aos valores dos ângulos. 
Ângulos Notáveis 
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de 
um ângulo qualquer da circunferência. 
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As 
razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente: 
Relações Trigonométricas 30° 45° 60° 
Seno 1/2 √2/2 √3/2 
Cosseno √3/2 √2/2 1/2 
Tangente √3/3 1 √3 
Veja também: Tabela Trigonométrica 
Radianos do Círculo Trigonométrico 
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou 
radiano (rad). 
 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes 
iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que 
corresponde a 1°. 
 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é 
igual ao raio da circunferência do arco que será medido. 
Figura do Círculo 
Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos 
https://www.todamateria.com.br/tabela-trigonometrica/
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e 
radianos: 
 π rad = 180° 
 2π rad = 360° 
 π/2 rad = 90° 
 π/3 rad = 60° 
 π/4 rad = 45° 
Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-
se a regra de três. 
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos? 
π rad -180° 
x – 30° 
x = 30° . π rad/180° 
x = π/6 rad 
Quadrantes do Círculo Trigonométrico 
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos 
os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a 
figura abaixo: 
 
 1.° Quadrante: 0º 
 2.° Quadrante: 90º 
 3.° Quadrante: 180º 
 4.° Quadrante: 270º 
Círculo Trigonométrico e seus Sinais 
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno 
e tangente variam. 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo. 
Para compreender melhor, veja a figura abaixo: 
 
Como Fazer o Círculo Trigonométrico? 
Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de 
coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os 
quatro quadrantes. 
 
Razões Trigonométricas 
As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um 
triângulo retângulo. 
 
Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa 
Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do 
ângulo que forma, sendo classificadas em seis maneiras: 
Seno (sen) 
 
https://www.todamateria.com.br/razoes-trigonometricas/
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
Cosseno (cos) 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
Tangente (tan) 
 
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. 
Cotangente (cot) 
 
Lê-se cosseno sobre seno. 
Cossecante (csc) 
 
Lê-se um sobre seno. 
Secante (sec) 
 
Lê-se um sobre cosseno 
 
Equação Reduzida da Reta 
Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y 
= mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o 
coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma 
reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto 
é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso 
dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), 
obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções 
matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de 
uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo 
de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear. 
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação 
ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor 
numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y). 
 
 
Vamos construir a equaçãoreduzida de uma reta de acordo com os 
pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa 
equação há duas maneiras, observe: 
1º maneira 
Determinar o coeficiente angular da reta. 
De acordo com o ponto P(2, 7), temos: 
 
2ª maneira 
Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é 
dada por y = mx + c. 
Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos: 
P(2, 7) 
 
Q(–1, –5) 
Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) 
serão calculados por um sistema de equações. Veja: 
 
Isolando c na 2ª equação: 
Substituindo c na 1ª equação: 
 
Calculando o valor de c: 
Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 
7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1. 
 
Posições relativas entre um ponto e uma 
circunferência 
MATEMÁTICA 
A geometria analítica relaciona os conceitos geométricos e os 
conceitos algébricos, ou seja, elementos geométricos passam a ser 
definidos por expressões algébricas. Portanto, faremos uma análise 
da distância entre um ponto e o centro de uma circunferência para 
verificar as posições relativas desse p 
 
Quanto à circunferência, sabe-se que todos os pontos dela distam 
igualmente do centro, essa distância igual é denominada de raio. 
Em comparação com esse raio, ou seja, com os elementos que 
pertencem à circunferência, podemos ter 3 posições a serem 
estudadas entre um ponto e uma circunferência. 
 
Para estudar essas posições relativas determinemos uma 
circunferência λ de centro C(Xc, Yc) e raio r. Analisaremos a 
posição relativa de um ponto P qualquer em relação a essa 
circunferência λ. 
 
 
• Ponto P interno à circunferência: isso implica que a distância 
do ponto P até o centro é menor do que o raio da circunferência. 
 
 
 
 
• Ponto P externo à circunferência: neste caso teremos que a 
distância do ponto P até o centro é maior do que o raio 
 
 
 
 
 
• Ponto P pertence à circunferência: por fim, temos o caso no 
qual a distância do ponto P ao centro é igual ao raio. 
 
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Portanto, quando se conhece o raio da circunferência e deseja-se 
analisar a posição relativa de um ponto a uma determinada 
circunferência, basta comparar a distância do Ponto ao centro da 
circunferência com o valor do raio, feito isso você será capaz de 
determinar as posições relativas. Com isso é necessário saber como 
se calcula a distância entre dois pontos, esse estudo você pode 
acompanhar no artigo Distância entre dois Pontos. 
 
Vejamos algumas situações para realizar esse tipo de análise 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
quanto às posições relativas entre um ponto e uma circunferência. 
“Analise as posições relativas entre os pontos dados e a 
circunferência λ: (x+1)2 + (y+1)2=9 , cujos pontos são: A(-2,2). B (-
4,1), D(1,1), E(-4,-1)” 
 
Devemos obter duas informações necessárias para realizar os 
cálculos, que são as coordenadas do Centro da circunferência e o 
raio, da equação reduzida podemos obter facilmente essas duas 
informações: C (-1, -1) e raio 3. 
Basta calcular as distâncias dos pontos até o centro e comparar 
com o raio. 
 
 
 
 
 
Vejamos a representação gráfica das posições relativas desses 
pontos em relação à circunferência. 
 
 
Veja que apenas com o conceito de distância entre pontos foi 
possível abordar vários temas da geometria analítica. A distância 
entre pontos está presente em praticamente toda a geometria 
analítica, se não, em toda ela. 
Posição relativa entre duas 
circunferências 
 
 
 
No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e 
centro da circunferência são fundamentais para conclusões de diversos 
problemas e para a determinação da equação que define essa forma 
geométrica tão importante. Em se tratando de posições relativas entre 
duas circunferências, elas podem ser: tangentes, secantes, externas, 
internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso. 
1. Circunferências tangentes. 
 
a) Tangentes externas 
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente 
um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso 
ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja 
equivalente à soma das medidas de seus raios. 
 
 
dOC = r1 + r2 
b) Tangentes internas 
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas 
um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para 
que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à 
diferença entre os dois raios. 
 
dOC = r1 - r2 
2. Circunferências externas. 
Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem 
pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância 
entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das 
medidas de seus raios. 
 
 dOC > r1 + r2 
3. Circunferências secantes. 
Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois 
pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância 
entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das 
medidas de seus raios. 
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dCO < r1 + r2 
4. Circunferências internas. 
Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem 
pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição 
para que isso ocorra é que a distância entre os centros das 
circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de 
seus raios. 
 
dOC < r1 - r2 
5. Circunferências concêntricas. 
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o 
centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula. 
 
dCO = 0 
Exemplo: Dadas as circunferências λ e σ, de equações: 
λ: x2 + y2 = 9 
σ: (x – 7)2 + y2 = 16 
Verifique a posição relativa entre elas. 
 
Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do 
centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da 
equação de cada uma podemos encontrar esses valores. 
Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = 
r2, teremos: 
 
Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos 
calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância 
entre dois pontos. 
 
 
Tangência à circunferência 
MATEMÁTICA 
Analisando o ponto em relação à circunferência, a fim de obter retas 
que tangenciam uma determinada circunferência. Para isso é 
necessário compreender os conceitos de posição relativa de um ponto 
em relação à circunferência, e conceitos da geometria analítica, 
como distância entre ponto e reta, tang 
 
No estudo sobre as circunferências, um conceito importante a ser 
estudo é o das retas tangentes a uma circunferência. Para 
realizarmos esse estudo, é necessário compreender as posições 
relativas de um ponto em relação a uma circunferência. Caso você 
não tenha estudado algo relacionado a esse tema, confira o 
artigo Posições relativas entre um ponto e uma circunferência. 
 
Observando a posição de um ponto em relação a uma 
circunferência, podemos concluir alguns fatos relacionados às retas 
tangentes. Sabe-se que existem três posições relativas de um ponto 
a uma circunferência. Para cada posição desta, podemos concluir 
algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto. 
 
• Ponto interno à circunferência: não é possível traçar uma reta 
tangente por esse ponto. 
 
• Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter 
apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência. 
 
• Ponto externo à circunferência: por esse ponto podemos traçar 
duas retas tangentes à circunferência. 
 
Portanto, para determinar a equação da reta tangente a uma 
circunferência por um determinado ponto, precisamos 
necessariamente determinar a posição relativadesse ponto. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-entre-ponto-circunferencia.htm
Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da 
circunferência. 
 
Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria 
analítica: 
 
• A menor distância de um ponto a uma reta é um segmento 
perpendicular a esta reta; 
 
• A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto 
de tangência. 
 
Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a 
distância da reta tangente ao centro deverá ser igual ao raio. 
 
Portanto, para determinar a equação da reta tangente, devemos 
analisar a posição do ponto que traçaremos à reta e com isso 
calcular a distância da reta que contém esse ponto em relação ao 
centro da circunferência. 
 
Para a melhor compreensão de todos esses conceitos, 
trabalharemos com exemplos que necessitam dessas reflexões. 
 
 
1) Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à 
circunferência dada, traçada pelo ponto P. 
 a) eq. circunferência: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0) 
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Com isso, podemos extrair as informações necessárias para o nosso 
problema: 
C(3,4), r=5. 
Devemos agora encontrar a posição relativa do ponto P (0,0): 
 
Portanto, o ponto P é o ponto de tangência. 
Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto P. 
 
Para determinarmos de fato a equação da reta, nos falta descobrir 
qual é o coeficiente angular dessa reta. Um dos fatos que vimos no 
início desse artigo foi quanto à perpendicularidade da reta 
tangente ao raio da circunferência. O ponto P é um ponto de 
tangência, então o coeficiente angular da reta que passa pelo 
ponto P e o centro deverá ser perpendicular à reta tangente. Para 
isso, temos uma relação entre coeficientes angulares 
perpendiculares. 
 
Em outras palavras, o produto dos coeficientes angulares de retas 
perpendiculares é igual a -1. 
Para determinar o coeficiente angular do segmento PC, devemos 
utilizar a seguinte expressão: 
 
Com isso, obtemos a equação da reta tangente: 
 
Uma outra forma para determinar o valor de m seria calculando a 
distância do centro à reta. Essa distância é igual ao raio. Vejamos: 
 
 
Quando o ponto for externo à circunferência, deveremos 
encontrar o ponto de tangência utilizando a distância do centro da 
circunferência até a reta tangente, pois, assim, iremos determinar 
o valor do coeficiente angular da reta tangente, que, por sua vez, 
determinará a equação da reta tangente. 
 
Inequações do 2° Grau 
MATEMÁTICA 
A resolução de inequações do 2° grau assemelha-se à de equações 
quadradas, com o diferencial do estudo do sinal da função. 
 
 
As inequações do 2° grau ou inequações 
quadráticas diferenciam-se das equações de 2° grau apenas por 
apresentarem uma desigualdade no lugar do sinal de igual das 
equações. A forma de determinar a solução das inequações 
quadráticas assemelha-se muito com o processo para identificar 
as raízes de uma equação do 2° grau. A distinção aparece na 
determinação da solução da inequação, pois é necessário analisar 
o seu sinal. 
Vejamos alguns exemplos de inequações quadráticas para 
comentarmos a respeito dos possíveis processos de resolução. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
Exemplo 1: x² + x – 2 > 0 
Da mesma forma como resolveríamos uma equação de 2° grau 
igual a x² + x – 2 = 0, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para 
resolver essa inequação: 
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 1² – 4.1.(– 2) 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
x = – b ± √Δ 
 2.a 
x = – 1 ± √9 
 2.1 
x = – 1 ± 3 
 2 
x1 = – 1 + 3 = 2 = 1 
 2 2 
x2 = – 1 – 3 = – 4 = – 2 
 2 2 
As soluções encontradas, x1 = 1 e x2 = – 2, são valores para os 
quais a inequação é igual a zero. Mas olhando atentamente, a 
inequação x² + x – 2 > 0 procura valores que sejam maiores que 
zero. Nesse caso vamos analisar a variação do sinal de x² + x – 2 > 
0, lembrando que seu gráfico é uma concavidade voltada para 
cima. Veja o estudo do sinal dessa inequação: 
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Estudo do sinal da inequação x² + x – 2 > 0 
Nesse caso, a solução é . 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/demonstracao-formula-bhaskara.htm
Exemplo 2: x² – 4x ≤ 0 
Esse exemplo oferece uma inequação incompleta. Assim como 
podemos resolver uma equação do 2° grau incompleta sem a 
utilização da fórmula de Bhaskara, resolveremos a inequação de 
forma mais simples. Primeiramente vamos colocar o x em 
evidência: 
x² – 4x = 0 
x.(x – 4) = 0 
x1 = 0 
x2 – 4 = 0 
x2 = 4 
Há duas soluções: x1 = 0 e x2 = 4. Observe que a inequação 
procura valores menores ou iguais a zero, então x1 = 0 e x2 = 
4 farão parte da solução. Veja o estudo do sinal dessa inequação: 
 
Estudo do sinal da inequação x² – 4x ≤ 0 
Dessa forma, a solução é . 
 
Elipse 
MATEMÁTICA 
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias 
do ponto 1 ao ponto 2 é a constante 2a (2a > 2c). 
O que é uma Elipse? 
 
Definição: Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c 
a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja 
soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c). 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau-incompleta.htm
Elementos da Elipse: 
 
 
F1 e F2 → são os focos 
C → Centro da elipse 
2c → distância focal 
2a → medida do eixo maior 
2b → medida do eixo menor 
c/a → excentricidade 
 
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2 
 
Equação da Elipse. 
 
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x. 
 
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, 
a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema 
cartesiano e com focos sobre o eixo x será: 
 
 
2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y. 
 
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). 
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do 
sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será: 
 
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Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos 
sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8. 
 
Solução: temos que 
2a = 12 → a =6 
2b = 8 → b = 4 
Assim, 
 
 
Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que 
um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8. 
 
Solução: temos que 
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y. 
2b = 8 → b = 4 
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos: 
a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5 
Assim, a equação reduzida da elipse será: 
 
O que é uma hipérbole? 
 
Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a 
distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do 
plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a 
constante 2a (0 < 2a < 2c). 
 
Elementos de uma Hipérbole: 
 
 
F1 e F2 → são os focos da hipérbole 
O → é o centro da hipérbole 
2c → distância focal 
2a → medida do eixo real ou transverso 
2b → medida do eixo imaginário 
c/a → excentricidade 
 
Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2 
 
Equação reduzida da hipérbole 
 
1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x. 
 
Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 
0) e F2( c , 0). 
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do 
plano cartesiano e focos sobre o eixo x será: 
 
 
2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y. 
 
 
Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c). 
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do 
plano cartesiano e focos sobre o eixo y será: 
 
 
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com 
eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0). 
 
Solução: Temos que 
2a = 6 → a = 3 
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5 
 
Da relação notável, obtemos: 
c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 –9 → b2 = 16 → b = 4 
 
Assim, a equação reduzida será dada por: 
 
 
Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérbole que 
possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário 
medindo 12. 
 
Solução: Temos que 
F2(0, 10) → c = 10 
2b = 12 → b = 6 
 
Utilizando a relação notável, obtemos: 
102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 
8. 
 
Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por: 
 
 
Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com 
equação 
 
Solução: Como a equação da hipérbole é do 
tipo temos que 
a2 = 16 e b2 =9 
 
Da relação notável obtemos 
c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5 
 
A distância focal é dada por 2c. Assim, 
2c = 2*5 =10 
Portanto, a distância focal é 10. 
 
 
O que é parábola? 
O QUE É? 
Para entender o que é parábola, deve-se saber que essa figura 
geométrica plana é o conjunto de pontos cuja distância até a reta r é 
a mesma até um ponto F. 
 
Considerando-se um ponto F e uma reta r no plano, o conjunto que 
contém todos os pontos cuja distância até F é igual à distância até 
r é chamado parábola. O ponto F é o foco da parábola e jamais 
poderá ser um dos pontos da reta r. Caso contrário, a distância 
entre F e r sempre será igual a zero. 
A seguir, um exemplo de parábola com a demonstração de seu 
ponto F e a reta r. 
 
No ensino fundamental, as parábolas são usadas apenas para 
representar geometricamente funções do segundo grau. No ensino 
médio, elas também são resultado de estudos das cônicas, 
em Geometria Analítica. 
Elementos de uma parábola 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-plano.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao-segundo-grau.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-parabola.htm
São cinco os principais elementos da parábola. Eles são figuras 
geométricas que recebem nomes especiais devido à sua função e à 
sua importância na definição das parábolas. São eles: 
a) Foco 
É o ponto F usado para a definição da parábola. 
b) Diretriz 
É a reta r, também usada na definição da parábola. Lembre-se de 
que a distância entre um ponto qualquer da parábola e a reta r tem 
a mesma distância que esse mesmo ponto e o seu foco. 
c) Parâmetro 
O parâmetro de uma parábola é a distância entre o seu foco e 
sua diretriz. Essa distância é o comprimento do segmento de reta 
que liga o foco e a diretriz, formando com ela um ângulo reto. Para 
encontrar esse valor, pode-se usar a distância entre ponto e reta. 
d) Vértice é o ponto da parábola que fica mais próximo de 
sua diretriz. Uma das propriedades desse ponto é que a 
sua distância até o foco da parábola é igual à metade 
do parâmetro. Também podemos dizer que a distância entre esse 
ponto e a diretriz da parábola é igual à metade do parâmetro. 
Seja a medida do parâmetro de uma parábola representada pela 
letra p, a medida do segmento VF será dada por: 
VF = P 
 2 
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e) Eixo de simetria 
O eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular 
à diretriz que passa pelo seu vértice. Consequentemente, essa 
reta também passa pelo foco da parábola e contém o segmento 
chamado parâmetro. 
A imagem a seguir mostra cada um dos elementos de uma parábola: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm
 
Equações reduzidas da parábola 
Existem duas equações reduzidas da parábola: 
y2 = 2px 
e 
x2 = 2py 
Essas equações são obtidas colocando o vértice de 
uma parábola na origem de um plano cartesiano. Primeiramente, 
suponha que a diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano, 
como mostra imagem a seguir. 
 
Escolhendo um ponto P(x, y) qualquer na parábola, teremos as 
seguintes hipóteses: 
1 – Coordenadas de F: como o segmento VF = p/2, então as 
coordenadas de F são (p/2, 0). Para perceber isso, note que o eixo 
x, nessa construção, é o eixo de simetria da parábola. 
2 – Coordenadas de A: o ponto A pertence à diretriz, e a distância 
de P até A é igual à distância de P até F. Assim, mudando a posição 
do ponto P, sempre teremos essa característica. As coordenadas de 
A são: (– p/2, y). 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-equacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-plano-cartesiano.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-parabola.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-parabola.htm
Isso acontece porque A sempre estará à mesma altura de P, e sua 
distância até o eixo y é a mesma que a distância de V até F, com sinal 
invertido. 
3 – A distância de P até A é igual à distância de P até F, pois essa 
é a definição da parábola. 
Diante dessas hipóteses, podemos calcular a seguinte equação, 
substituindo nela as coordenadas de cada um dos pontos P, A e F: 
 
A segunda equação da parábola tem seus cálculos e construções 
feitos de maneira análoga a esses, entretanto, apresenta a diretriz 
paralela ao eixo x. 
 
 
 
Cônicas 
MATEMÁTICA 
As cônicas são figuras geométricas planas obtidas por meio da 
intersecção de um plano com um cone duplo de revolução. São elas: 
circunferência, elipse, parábola e hipérbole. 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-parabola.htm
As figuras geométricas planas conhecidas como cônicas são 
formadas pela intersecção entre um plano e um cone duplo de 
revolução. São elas: circunferência, parábola, hipérbole e elipse. 
O cone duplo de revolução é um sólido geométrico tridimensional 
obtido por meio do giro de uma reta. A figura formada por esse giro, 
ou seja, o cone duplo de revolução, é representada a seguir: 
 
Cada um dos quatro tipos de figuras formados 
pela intersecção do plano com o cone está relacionado a um tipo 
de equação, portanto, essas figuras também podem ser definidas de 
forma algébrica. Tanto a definição de cada uma delas quanto suas 
respectivas equações serão discutidas no decorrer deste artigo. 
Circunferência 
As circunferências podem ser obtidas por meio 
da intersecção de um plano com um cone. A definição delas é: 
dado um ponto C, chamado de centro, e um comprimento r, 
chamado de raio, a circunferência é o conjunto de pontos do plano 
cuja distância até C é sempre igual a r. 
A imagem a seguir mostra um exemplo de circunferência com 
alguns de seus raios. Note que, de acordo com a definição dada, 
todos os segmentos de reta cujas extremidades são o centro e 
qualquer ponto da circunferência possuem a mesma medida. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-figuras-planas-espaciais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cone.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/parabola.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/hiperbole.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/elipse.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-funcao-equacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm
 
A equação reduzida da circunferência também pode ser obtida 
usando a distância entre dois pontos. Dados os pontos C (a, b), 
centro da circunferência, e P (x, y) ponto qualquer pertencente a 
ela, a equação reduzida da circunferência é: 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 
Elipse 
Em uma elipse, os pontos F1 e F2 são chamados de focos, e 
a distância entre eles é igual a 2c. Sua definição formal é: dados os 
pontos F1 e F2, a elipse é o conjunto de pontos P em que vale a 
seguinte expressão: 
dPF1 + dPF2 = 2a 
Isso significa que a elipse é o conjunto dos pontos 
cuja soma das distâncias até os focos é igual a uma constante. Em 
outras palavras, o ponto P pertence a uma elipse se a soma da 
distância de P até F1 com a distância de P até F2 é igual a 2a. 
A figura a seguir ilustra uma elipse com asmedidas de segmentos 
importantes encontrados nela: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm
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As elipses possuem duas equações reduzidas. A primeira delas é 
válida para o caso em que os focos dessa figura estão sobre o eixo x 
e o centro da elipse coincide com a origem de um plano cartesiano: 
 x 2+ y 2= 1 
 a2 b2 
A segunda equação reduzida é válida para os casos em que os 
vértices da elipse estão sobre o eixo y e seu centro sobre a origem 
do plano cartesiano. 
 y 2+ x2 = 1 
 a2 b2 
Parábola 
Dada uma reta r e um foco F, a parábola é a cônica na qual todos 
os seus pontos têm a distância até r igual à distância até F. 
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola com o ponto P, 
em que vale: 
dPF = dPr 
 
Toda parábola possui um eixo de simetria, que é a reta “t” na 
imagem acima. Quando esse eixo coincide com o eixo x do plano 
cartesiano e o vértice da parábola coincide com a origem do plano 
cartesiano, a equação reduzida da parábola é: 
y2 = 2px 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm
Quando o eixo de simetria está sobre o eixo y e o vértice da parábola 
coincide com a origem do plano cartesiano, a equação reduzida da 
parábola é: 
x2 = 2py 
Hipérbole 
Dados os pontos F1 e F2, chamados de focos da hipérbole, e a 
distância 2c entre eles, uma hipérbole é o conjunto de pontos do 
plano cuja diferença das distâncias até os focos é igual à constante 
2a. 
Assim, se P é um ponto da hipérbole, vale a expressão: 
|dPF1 – dPF2| = 2a 
A imagem a seguir mostra um exemplo de hipérbole e alguns 
segmentos importantes em sua formação: 
 
As equações reduzidas da hipérbole também são duas. A primeira 
é obtida quando os focos dessa figura estão sobre o eixo x e seu 
centro coincide com a origem do plano cartesiano: 
 x 2 – y 2= 1 
 a2 b2 
A segunda é obtida quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo 
y e seu centro coincide com a origem do plano cartesiano: 
 y 2 – x 2= 1 
 a2 b2 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm
O ângulo é a medida da abertura entre dois segmentos de reta. 
Desse modo, existe um número que está relacionado com cada 
abertura entre duas semirretas e, quanto maior a abertura, 
maior esse número. 
Definição formal 
Ângulo é uma medida expressa em graus que é atribuível à 
região ou conjunto de pontos situados entre duas semirretas de 
mesma origem. 
 
Geralmente os ângulos são representados por letras maiúsculas 
com acento circunflexo, por letras minúsculas ou, no caso da 
figura acima, da seguinte maneira: BÂC. 
Medindo ângulos 
As medidas atribuídas aos ângulos funcionam de forma 
diferente daquelas utilizadas para medir distâncias. Os ângulos 
têm o círculo como base. Ao aumentar um ângulo, uma das 
semirretas se deslocará, como se estivesse sobre um círculo em 
que o ponto de encontro delas é o centro. Por isso, não é 
possível utilizar uma régua para obter medidas de ângulos. 
O equipamento utilizado para tomar medidas de ângulos é 
conhecido como transferidor e está ilustrado na figura abaixo: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/segmentos-retas.htm
 
Para utilizá-lo, coloque uma das semirretas sobre a primeira 
linha do transferidor, aquela que aponta para o zero. Depois, 
coloque o ponto de encontro das semirretas no centro do 
equipamento, que geralmente vem marcado nele. Feito isso, 
o ângulo a ser medido será o número para onde a segunda 
semirreta aponta. 
 
Os ângulos notáveis 
Alguns ângulos são mais observados pelo homem na natureza. 
Foram eles que deram origem à escolha específica dos números 
utilizados para medir os ângulos. Ao ângulo conhecido como 
raso, por exemplo, que é definido quando uma semirreta é 
mantida fixa e a outra descreve um movimento de meia volta, 
foi atribuído o valor 180°. 
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Ângulo formado por meia-volta: ângulo de 180° 
Uma propriedade interessante do ângulo raso é que as 
semirretas que o formam, ao serem ligadas, podem ser vistas 
como uma única reta, ou seja, dado um ponto em uma reta, o 
ângulo formado nesse ponto é 180°. 
Acredita-se que esses valores foram escolhidos em uma época 
onde os homens acreditavam que o ano possuía 360 dias. Cada 
dia foi considerado como uma unidade de medida do ângulo 
descrito pela Terra ao redor do sol e, por isso, uma volta inteira 
seria 360°. 
Outro ângulo importante é conhecido como ângulo reto e sua 
medida é igual a 90°. Esse ângulo é muito encontrado na 
construção civil, nas “quinas” formadas por duas paredes. Sua 
importância é tão grande que existe uma ferramenta criada 
exclusivamente para ajudar a construir esse tipo de “quina” e 
para medir esse ângulo: o Esquadro. 
 
Os outros ângulos notáveis são estudados na Trigonometria e 
suas medidas são: 30°, 45° e 60°. 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-notaveis.htm
Ângulos no círculo 
Cada um dos ângulos no círculo apresenta propriedades e características 
diferentes. 
 
 
 
A relação entre ângulos e círculo é muito importante no estudo da 
geometria. Diversos assuntos ligados à astronomia possuem relações 
estreitas com ângulos no círculo ou na circunferência. Podemos ter 
ângulos com vértice no centro, no interior ou no exterior de um círculo, 
cada um apresentando características e propriedades diferentes. 
Vejamos cada um desses casos: 
 
1. Ângulo com vértice no centro da circunferência – Ângulo central. 
 
Propriedade: o ângulo central apresenta a mesma medida do arco 
formado por seus lados, ou seja: 
 
2. Ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência – Ângulo Inscrito. 
 
Propriedade: a medida do ângulo inscrito equivale à metade da medida 
do arco formado por seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60o. 
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Solução: 
 
 
3. Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico 
externo. 
 
Propriedade: o ângulo α equivale à metade da diferença entre as 
medidas dos arcos formados pelos seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo. 
 
 
4. Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico 
interno. 
 
Propriedade: o ângulo excêntrico interno possui medida igual à metade 
da soma dos arcos formados pelos seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo. 
 
Solução: 
 
 
 característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é 
que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto 
(de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria 
analítica em cima da análise da reta é possível dizer que duas 
retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares 
opostos e inversos. 
 
Considere duas retas r e s, perpendiculares no ponto C, 
representadas em um plano cartesiano. 
 
 
 
Considerando o ângulo de inclinação da reta s como sendo β, 
então o ângulo de inclinação da reta r será 90° + β. Dessa 
forma teremos: 
 
Coeficiente angular da reta s: ms = tg β 
 
Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° + β) 
 
 
 
Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar 
o coeficiente angular das duas retas, veja: 
 
tg (90° + β) = sen (90° + β) = sen90° . cos β + sen β . cos β 
 cos (90° + β) cos90° . cos β – sen 90° . sen 
β 
 
tg (90° + β) = cos β 
 -sen β 
 
tg (90° + β) = - 1 
 tg β 
Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que: 
 
ms = -1 / mr ou ms . mr = -1 
 
Dessa forma, chegamos à conclusão de que em duas retas 
perpendiculares o coeficienteangular de uma das retas será 
igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra 
 
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes 
proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são 
semelhantes. 
Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os 
ângulos de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os 
lados opostos a esses ângulos. 
Razão de Proporcionalidade 
Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o 
resultado da divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é 
chamado de razão de proporcionalidade. 
Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura 
abaixo: 
 
Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim, temos as seguintes 
proporções: 
 
Onde k é a razão de proporcionalidade. 
Leia também sobre Razão e Proporção. 
Casos de Semelhança 
Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns 
elementos. 
1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são 
congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo). 
2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são 
proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado). 
3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente 
compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado). 
Teorema Fundamental da semelhança 
Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois 
lados em pontos distintos, forma um triângulo que é semelhante ao primeiro. 
Na figura abaixo, representamos o triângulo ABC e a reta r paralela ao lado 
. 
https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
 
Observando a figura, notamos que os ângulos são congruentes, assim 
como os ângulos , pois a reta r é paralela ao lado . Assim, pelo critério 
AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes. 
Leia também sobre Teorema de Tales e Teorema de Tales - Exercícios. 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos 
retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros 
dois lados são chamados de catetos. 
No triângulo representado abaixo, o lado a é a hipotenusa e b e c são os 
catetos. 
 
Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois 
outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo: 
 
Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que 
eles são semelhantes, ou seja: 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales-exercicios/
. 
Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações: 
 
Essas relações são muito importantes e são chamadas de relações métricas no 
triângulo retângulo. 
Congruência de Triângulos 
Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são 
considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos. 
Casos de congruência de triângulos 
Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos: 
1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes. 
2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles 
também congruente. 
3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles 
congruente. 
 
 
Os pontos notáveis de um triângulo são elementos importantes na 
estrutura de formação e de caracterização dessa forma geométrica. 
Imagine você que um casal teve filhos trigêmeos idênticos e o que os 
diferencia é apenas a marca de nascença. Um deles tem sua marca na 
barriga, o outro, na perna; e o terceiro, no braço. Apesar de parecer um 
detalhe simples e pouco importante, a localização da marca de nascença 
é a única forma de diferenciar os irmãos. Você diria que ela é importante? 
Ela é de suma importância! As marcas de nascença podem representar 
uma forma particular de ponto notável nos trigêmeos. 
https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/
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Além dos elementos mais comuns trabalhados em um triângulo, temos 
outros, como a mediana, baricentro, bissetriz, incentro, ortocentro, 
mediatriz e o circuncentro. Uma ideia inicial que precisamos relembrar 
é o conceito de ponto médio. Dado um segmento de reta, o ponto médio é 
aquele que divide o segmento exatamente ao meio, originando dois 
segmentos de mesmo comprimento. No segmento de reta abaixo, o 
ponto M é o ponto médio da reta AB, e o segmento AM tem o mesmo 
comprimento que o segmento MB. 
A__________M__________B 
Em um triângulo, encontre o ponto médio de um de seus lados. Por 
exemplo, na figura abaixo, marcamos o ponto M1, que é o ponto médio do 
lado AB. Feito isso, nós traçamos uma reta desse ponto M1 até o vértice 
oposto, no caso, o C. Essa reta CM1, destacada em vermelho, é 
dita mediana relativa ao vértice C ou ao lado AB. Seguindo o mesmo 
princípio, encontramos os pontos médios dos outros lados do triângulo e 
traçamos a medida relativa a cada lado. As três medianas encontram-se 
em um ponto, que é chamado de baricentro. Na figura abaixo, ele foi 
identificado pelo ponto D. 
 
Ao traçarmos as três medianas de um triângulo, encontramos o baricentro, o ponto formado pelo encontro das 
medianas desse triângulo 
Vamos agora traçar uma reta que divida ao meio um dos ângulos do 
triângulo, por exemplo, o vértice C. Essa reta deve interceptar o lado em 
frente ao ângulo, nesse caso, o lado AB, como podemos ver no primeiro 
triângulo da figura abaixo. A reta vermelha representa a bissetriz relativa 
ao lado AB ou ao vértice C. Novamente, realizando esse procedimento em 
relação aos outros lados, vamos encontrar três bissetrizes que se 
interceptam em um ponto chamado de incentro, que na figura abaixo está 
representado pelo ponto I. 
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Ao traçarmos as bissetrizes de um triângulo, encontramos o incentro, o ponto formado pelo encontro das 
bissetrizes desse triângulo 
Podemos ainda marcar a altura referente a um dos lados do triângulo. Por 
exemplo, no primeiro triângulo da figura abaixo, saindo do vértice C, 
traçamos uma reta que intercepta o lado oposto, formando um ângulo reto 
(90°). Essa reta representa a altura relativa ao lado AB ou ao vértice C. 
Encontrando as alturas relativas a todos os lados, teremos um ponto 
formado pelo encontro dessas alturas, que é chamado de ortocentro. Em 
alguns casos, será necessário prolongar os segmentos de reta das alturas 
de tal forma que o ortocentro surgirá em um ponto externo ao triângulo. 
 
Ao traçarmos as alturas referentes a cada lado de um triângulo, encontramos o ortocentro, a intercessão desse 
triângulo 
Por fim, podemos marcar as mediatrizes de um triângulo da seguinte 
forma: selecionamos um dos lados, por exemplo, o lado AB, encontramos 
seu ponto médio, ao qual identificamos pelo ponto M1, e traçamos uma 
reta perpendicular ao lado AB, esta é a primeira mediatriz. Ao 
encontrarmos as três mediatrizes, veremos que elas interceptam-se em 
um ponto, no circuncentro, que, na figura, é representado pelo ponto E 
no terceiro triângulo. 
 
Ao traçarmos as três mediatrizes de um triângulo, encontramos o circuncentro, o ponto formado pelo encontro 
das mediatrizes desse triângulo 
Mas qual seria a importância de estudar esses pontos notáveis? Imagine 
que você agora é um arquiteto e construirá um monumento em formato 
piramidal. Se você não tiver pleno conhecimento dos pontos notáveis de 
um triângulo, poderá calcular mal o ortocentro dessa estrutura, por 
exemplo, o que poderá gerar um erro na construção, que, por sua vez, 
poderá resultar na queda desse monumento, uma vez que suas alturas 
não foram bem definidas. Vejamos um exemplo ainda mais simples: você 
deseja construir uma pequena pirâmideutilizando apenas laranjas, de 
modo que o ponto mais alto da pirâmide seja o baricentro. Se este for mal 
calculado, provavelmente as laranjas rolarão para todos os lados. 
Portanto, até mesmo em exemplos cotidianos, os pontos notáveis do 
triângulo podem ser observados. 
 
As relações métricas são equações que relacionam as medidas 
dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo 
retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer 
esses segmentos. 
Elementos do triângulo retângulo 
A figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo 
reto é Â e é cortado pela altura AD: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-triangulo.htm
 
Nesse triângulo, observe que: 
 A letra a é a medida da hipotenusa; 
 As letras b e c são as medidas dos catetos; 
 A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo; 
 A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa; 
 A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa. 
Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica 
O teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para 
todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte 
maneira: 
a2 = b2 + c2 
*a é hipotenusa, b e c são catetos. 
Exemplo: 
Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior 
mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm? 
Solução: 
A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos 
retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra 
a figura a seguir: 
 
Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar 
o teorema de Pitágoras: 
a2 = b2 + c2 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/potencias.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retangulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-diagonais-um-poligono-convexo.htm
a2 = 202 + 102 
a2 = 400 + 100 
a2 = 500 
a = √500 
a = 22,36 cm, aproximadamente. 
Segunda relação métrica 
A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das 
projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja: 
a = m + n 
Terceira relação métrica 
O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual 
ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. 
Matematicamente: 
h2 = m·n 
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Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa 
conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar 
essa relação métrica. 
Exemplo: 
Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre 
a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura? 
h2 = m·n 
h2 = 10·40 
h2 = 400 
h = √400 
h = 20 centímetros. 
Quarta relação métrica 
É usada para descobrir a medida de um cateto quando as 
medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a 
própria hipotenusa são conhecidas: 
c2 = an 
e 
b2 = an 
Perceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua 
projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c. 
Exemplo: 
Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 
centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, 
calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção. 
Solução: 
O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a 
partir de qualquer uma dessas relações métricas: c2 = am ou 
b2 = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão. 
Assim: 
c2 = a·m 
c2 = 16·4 
c2 = 64 
c = √64 
c = 8 centímetros. 
Quinta relação métrica 
O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um 
triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas 
de seus catetos. 
ah = bc 
Exemplo: 
Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem 
as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros? 
Solução: 
10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a 
hipotenusa e os outros dois são catetos. Para encontrar a área, 
é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica 
para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos 
sua área. 
a·h = b·c 
10·h = 8·6 
10·h = 48 
h = 48 
 10 
h = 4,8 centímetros. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculando-area-um-triangulo.htm
A = 10·4,8 
 2 
A = 48 
 2 
A = 24 cm2 
 
O Teorema de Pitágoras Aplicado no 
Estudo da Trigonometria 
 
 
 
Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com 
o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos 
valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma 
expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo 
(triângulo que tem um ângulo de 90°). 
 
a = hipotenusa 
b = cateto 
c = cateto 
 
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados dos catetos. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um 
quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados 
iguais). 
 
Diagonal do quadrado. 
 
O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com 
medidas iguais a 90º graus. 
 
O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) 
será feito da seguinte forma: 
 
 
 
Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A 
diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí 
que iremos calcular o valor da diagonal. 
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Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), 
teremos: 
 
Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por: 
 
d = l √2 
 
 
Altura do triângulo equilátero 
 
Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais. 
 
Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC 
teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. 
Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas 
partes iguais. 
 
Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo 
retângulo AHC. 
 
A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que 
coincide com o cateto do triângulo retângulo. 
 
 
Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por: 
 
 
Congruência e Semelhança de Triângulos 
MATEMÁTICA 
Temos que dois triângulos são congruentes: 
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a 
congruência entre os triângulos. 
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus 
elementos. 
 
Casos de congruência: 
 
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos 
formados também congruentes. 
 
 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado 
entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao 
lado, e congruência do ângulo oposto ao lado. 
 
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Através das definições de congruência de triângulos podemos 
chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar 
medidas. A esse método damos o nome de demonstração. 
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos 
lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um 
triângulo isósceles são congruentes. 
 
 
 
Duas retas distintas são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou 
seja, possuem o mesmo coeficiente angular. Além disso, a distância entre elas 
é sempre a mesma e não possuem pontos em comum. 
Retas paralelas, concorrentes e 
perpendiculares 
As retas paralelas não se cruzam. Na figura abaixo representamos as retas 
paralelas r e s. 
Retas paralelas (r // s) 
Diferente das retas paralelas, as retas concorrentes se cruzam em um único 
ponto. 
Retas concorrentes 
Se duas retas se cruzam em um único ponto e o ângulo formadoentre elas no 
cruzamento for igual a 90º as retas são chamadas de perpendiculares. 
Retas perpendiculares 
Retas paralelas cortadas por uma 
transversal 
Uma reta é transversal a uma outra se possuem apenas um ponto em comum. 
Duas retas paralelas r e s, se forem cortadas por uma reta t, transversal a 
ambas, formará ângulos como representados na imagem abaixo. 
 
Na figura, os ângulos que apresentam a mesma cor são congruentes, ou seja 
possuem mesma medida. Dois ângulos de cores diferentes são suplementares, ou 
seja, somam 180º. 
Por exemplo, os ângulos a e c apresentam mesma medida e a soma dos 
ângulos f e g é igual a 180º. 
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Os pares de ângulos recebem nomes de acordo com a posição que ocupam em 
relação as retas paralelas e a reta transversal. Sendo assim, os ângulos podem ser: 
 Correspondentes 
 Alternos 
 Colaterais 
Ângulos correspondentes 
Dois ângulos que ocupam a mesma posição nas retas retas paralelas são 
chamados de correspondentes. Eles apresentam a mesma medida (ângulos 
congruentes). 
Os pares de ângulos com a mesma cor representados abaixo são 
correspondentes. 
 
Na figura, os ângulos correspondentes são: 
 a e e 
 b e f 
 c e g 
 d e h 
Ângulos Alternos 
Os pares de ângulos que estão em lados opostos da reta transversal são 
chamados de alternos. Esses ângulos também são congruentes. 
Os ângulos alternos podem ser internos, quando estão entre as retas paralelas 
e externos, quando estão fora das retas paralelas. 
 
Na figura, os ângulos alternos internos são: 
 c e e 
 d e f 
Os ângulos alternos externos são: 
 a e g 
 b e h 
Ângulos colaterais 
São os pares de ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal. Os 
ângulos colaterais são suplementares (somam 180º).Também podem ser 
internos ou externos. 
 
Na figura, os ângulos colaterais internos são: 
 d e e 
 c e f 
Os ângulos colaterais externos são: 
 a e h 
 b e g 
Teorema de Tales 
Num mesmo plano um feixe de retas paralelas determinam, em duas retas 
transversais, segmentos de retas proporcionais. 
Exemplo 
Os pontos A, A´, B, B´, C, C´ foram obtidos pelo cruzamento das retas 
paralelas r, s e q com as retas transversais t e v. 
 
Segundo o teorema de Tales, teremos a seguinte relação: 
 
 
A bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu 
vértice, e que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma 
medida). 
Na figura abaixo, a bissetriz, indicada por uma reta em vermelho, reparte o 
ângulo AÔB ao meio. 
Assim, o ângulo AÔB fica dividido em dois outros ângulos, o AÔC e o BÔC, de 
mesmas medidas. 
https://www.todamateria.com.br/segmento-de-reta/
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/
 
Como encontrar a bissetriz? 
Para encontrar a bissetriz, basta seguir os seguintes passos utilizando o 
compasso: 
1. abra um pouco o compasso e coloque a sua ponta seca no vértice do ângulo. 
2. faça um traço de circunferência sobre as semirretas OA e OB. 
3. com o compasso aberto, coloque a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta 
OA e faça um traço de circunferência com o compasso virado para dentro do ângulo. 
4. faça o mesmo, agora com a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OB. 
5. trace uma semirreta do vértice do ângulo até o ponto de intersecção dos traços que 
acabou de fazer. A semirreta OC é a bissetriz. 
 
Bissetriz dos ângulos de um triângulo 
Os triângulos possuem ângulos internos e externos. Podemos traçar bissetrizes 
em cada um destes ângulos. O ponto de encontro das três bissetrizes internas 
de um triângulo é chamado de incentro. 
O incentro está a uma mesma distância dos três lados do triângulo. Além disso, 
quando uma circunferência está inscrita em um triângulo, este ponto representa 
o centro da circunferência. 
 
Veja também: Ângulos 
Teorema da Bissetriz Interna 
A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos 
proporcionais aos lados adjacentes. Na imagem abaixo, a bissetriz do ângulo  
divide o lado a em dois segmentos x e y. 
https://www.todamateria.com.br/angulos/
 
A partir do teorema da bissetriz interna, podemos escrever a seguinte 
proporção, considerando o triângulo ABC da imagem: 
 
Exemplo 
Encontre o valor de x indicado no triângulo da figura abaixo, sabendo 
que representa a bissetriz do ângulo A. 
 
Resolução 
Como é a bissetriz interna do triângulo, então podemos aplicar o teorema. 
Sendo assim, temos a seguinte relação: 
 
Substituindo os valores do problema, encontramos: 
 
Veja também: Ângulos Notáveis 
Teorema da Bissetriz Externa 
Os ângulos externos de um triângulo são os ângulos adjacentes aos ângulos 
internos. Para encontrar esses ângulos, traçamos um prolongamento do lado 
adjacente. 
Quando a bissetriz externa intercepta o prolongamento do lado oposto, formam 
segmentos proporcionais aos lados adjacentes, conforme figura abaixo: 
 
Considerando o triângulo ABC da figura, de acordo com o teorema da bissetriz 
externa, podemos escrever a seguinte proporção: 
 
Sendo, 
https://www.todamateria.com.br/angulos-notaveis/
x = a + y 
Exemplo 
No triângulo representado na figura abaixo, encontre o valor de x, considerando 
que a reta AD é uma bissetriz externa deste triângulo. 
 
Solução 
Sendo a reta AD uma bissetriz externa, podemos aplicar o teorema da bissetriz 
externa para encontrar o valor de x. Teremos então a seguinte proporção: 
 
Exercícios de Vestibular 
1. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC 
= 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo 
ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 
A figura abaixo representa a situação proposta no problema: 
 
Considerando o teorema da bissetriz interna, podemos encontrar a medida de 
AM através da seguinte proporção: 
 
Agora que conhecemos a medida de AM, vamos descobrir a medida de AN. 
Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras, visto que a altura divide o 
triângulo em dois triângulos retângulos. 
Desta forma, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para os triângulos ACN e 
BCN e resolver o sistema: 
 
Podemos encontrar o valor da medida de MN, fazendo: 
 
O comprimento de MN é igual a 11/30. 
 
2. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A onde AB = 21 e AC = 
20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD? 
a) 42/5 
b) 21/20 
c) 20/21 
d) 9 
e) 8 
 
Vamos começar representando o triângulo: 
 
Como o triângulo é retângulo, podemos encontrar a medida da hipotenusa BC 
aplicando o teorema de Pitágoras: 
 
Agora que conhecemos todos os lados do triângulo, podemos aplicar o 
teorema da bissetriz interna: 
 
Alternativa a: 42/5 
 
Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e 
formadas por quatro lados. Em outras palavras, essa definição 
implica as seguintes características: 
 Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não 
existem pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de 
espaço); 
 São formados por segmentos de reta que se encontram em suas 
extremidades, por isso, são figuras fechadas; 
 Possuem três classificações básicas: 
→ Outros: Não possuem lados paralelos; 
→ Trapézios: Possuem um par de lados paralelos; 
→ Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos. 
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível 
quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto 
em comum não podem ser paralelos justamente por possuírem 
ponto em comum. 
 
Exemplo de trapézio, paralelogramo e “outros” 
Paralelogramos 
Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja 
um quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa 
definição implica uma série de resultados, chamados aqui de 
propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão 
discutidas a seguir: 
1 – ângulos opostos são congruentes; 
2 – ângulos não opostos são suplementares; 
3 – Lados opostos são congruentes;4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto 
médio. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificacao-dos-poligonos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/quadrilateros-e-trapezio.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-complementares-angulos-suplementares-angulos-.htm
 
Ilustração das propriedades do paralelogramo 
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados 
opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo. 
A seguir discutiremos propriedades de 
alguns paralelogramos específicos. 
Retângulos 
Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um 
resultado direto disso é que seus lados opostos são paralelos. 
Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus lados como 
uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados 
formando o mesmo ângulo: 90°. 
 
Todo retângulo, portanto, é também um 
paralelogramo. Entretanto, nem todo paralelogramo é um 
retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro 
propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da 
seguinte: 
Todo retângulo possui diagonais congruentes. 
O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um 
paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um 
retângulo. 
Losangos 
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados 
congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, 
mas nem todo paralelogramo é um losango. 
 
Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos 
paralelogramos, além da seguinte: 
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As diagonais de um losango formam um ângulo reto. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, 
então ele é um losango. 
Quadrado 
Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados 
iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um 
quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. 
Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo 
é quadrado. 
 
A propriedade específica do quadrado é a seguinte: 
As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são 
congruentes. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um 
ângulo reto e que são congruentes, então esse paralelogramo é 
um quadrado. 
Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos 
discutidos para o losango e para o retângulo. 
Trapézios 
São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados 
opostos paralelos. 
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não 
são paralelogramos, por isso, as propriedades dos 
paralelogramos não são válidas para os trapézios. 
Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os 
trapézios retângulos e os trapézios isósceles. 
A primeira classe diz respeito àqueles que não são retângulos 
nem isósceles. Já os trapézios retângulos: 
Trapézios retângulos 
São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida 
de 90°. 
 
Trapézios isósceles 
São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem 
a mesma medida (são congruentes). 
 
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do 
corte feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte 
descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando isso 
é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao 
primeiro e um trapézio isósceles. 
 
As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as 
seguintes: 
1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. 
Quadriláteros convexos 
Existem quadriláteros convexos e não convexos. O primeiro 
grupo é formado por todos aqueles em que a reta que contém 
qualquer um de seus lados não intercepta o outro lado. Se 
existe pelo menos um lado que não possui essa característica, 
então, ele é chamado de não convexo ou côncavo. 
 
 
Polígonos 
 
Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de 
reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos 
"poly" e "gon" que significa "muitos ângulos". 
Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são 
aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não 
se cruzam e se tocam apenas nas extremidades. 
Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é 
chamado de complexo. 
 
Polígono convexo e côncavo 
A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é 
chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava. 
Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que 
une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida 
nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece. 
 
Polígonos regulares 
Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, 
possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os 
ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo. 
Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os 
ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. 
Por exemplo, o quadrado é um polígono regular. 
 
Elementos do Polígono 
 Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono. 
 Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos. 
 Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados 
consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um 
lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele. 
 Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, 
ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura. 
 
Nomenclatura dos Polígonos 
Dependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em: 
 
Soma dos ângulos de um polígono 
A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. 
Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é 
necessário aplicar a seguinte fórmula: 
 
Sendo: 
n: número de lados.do polígono 
Exemplo 
Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um icoságono convexo? 
Solução 
O icoságono convexo é um polígono que apresenta 20 lados, ou seja n = 20. 
Aplicando esse valor na fórmula, temos: 
 
Assim, a soma dos ângulos internos do icoságono é igual a 3240º. 
Número de diagonais 
Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
 
Exemplo 
Quantas diagonais apresenta um octógono convexo? 
Solução 
Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos: 
 
Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais. 
Na tabela abaixo, temos o valor da soma dos ângulos internos e o número de 
diagonais dos polígonos convexos de acordo com o número de lados: 
 
Perímetro e área dos polígonos 
O perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Assim, 
para conhecer o perímetro de um polígono, basta somar as medidas dos lados 
que o compõe. 
A área é definida como a medida da sua superfície. Para encontrar o valor da 
área de um polígono, utilizamos fórmulas de acordo com o tipo de polígono. 
Por exemplo, a área do retângulo é encontrada multiplicando-se a medida da 
largura pelo comprimento. 
Já a área do triângulo é igual a multiplicação da base pela altura e o resultado 
dividimos por 2. 
Fórmula da área do polígono a partir do perímetro 
Quando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos 
utilizar a seguinte fórmula para calcular a sua área: 
 
Sendo: 
p: semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2). 
a: apótema 
https://www.todamateria.com.br/perimetros-de-figuras-planas/
https://www.todamateria.com.br/area-do-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/area-do-triangulo/
 
Exercícios Resolvidos 
1) CEFET/RJ - 2016 
O quintal da casa de Manoel é formadopor cinco quadrados ABKL, BCDE, 
BEHK, HIJK e EFGH, de igual área e tem a forma da figura ao lado. Se BG = 
20 m, então a área do quintal é: 
 
a) 20 m2 
b) 30 m2 
c) 40 m2 
d) 50 m2 
 
O segmento BG corresponde a diagonal do retângulo BFGK. Essa diagonal 
divide o retângulo em dois triângulos retângulos, sendo igual a sua hipotenusa. 
Chamando o lado FG de x, temos que o lado BF será igual a 2x. Aplicando o 
teorema de Pitágoras, temos: 
 
Esse valor é a medida do lado de cada quadrado que forma a figura. Assim, a 
área de cada quadrado será igual a: 
A = l2 
A = 22 = 4 m2 
Como são 5 quadrados, a área total da figura será igual a: 
AT = 5 . 4 = 20 m2 
Alternativa: a) 20 m2 
 
2) Faetec/RJ - 2015 
Um polígono regular cujo perímetro mede 30 cm possui n lados, cada um deles 
medindo (n - 1) cm. Esse polígono é classificado como um: 
a) triângulo 
b) quadrado 
c) hexágono 
d) heptágono 
e) pentágono 
Sendo o polígono regular, então seus lados são congruentes, ou seja, possuem 
a mesma medida. Como o perímetro é a soma de todos os lados de um 
polígono, então temos a seguinte expressão: 
P = n. L 
Sendo a medida de cada lado igual a (n - 1), então a expressão fica: 
30 = n . (n -1) 
30 = n2 - n 
n2 - n -30 = 0 
Vamos calcular essa equação do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. 
Assim, temos: 
 
A medida do lado deve ser um valor positivo, portanto iremos desconsiderar o -
5, logo n= 6. O polígono que apresenta 6 lados é chamado de hexágono. 
Alternativa: c) hexágono 
 
 
Polígonos Regulares e Circunferência 
MATEMÁTICA 
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https://brasile
 
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O cálculo de algumas medidas de polígonos regulares, como lado e 
apótema, pode ser realizado com a ajuda de uma circunferência. 
Para eventuais cálculos o polígono deve estar inscrito na 
circunferência, onde determinaremos a medida do lado e do 
apótema em função da medida do raio. 
 
Quadrado inscrito na circunferência 
 
 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras temos as seguintes relações: 
Lado 
 
 
Apótema 
 
 
Hexágono inscrito na circunferência 
 
 
 Lado 
Observe pela figura que foram formados 6 triângulos, todos 
equiláteros. Para verificarmos essa afirmação basta lembrarmos 
que o giro completo na circunferência possui 360º, dividindo esse 
valor entre os seis triângulos criamos ângulos com vértice no 
centro da circunferência iguais a 60º. Dessa forma, os ângulos da 
base de cada triângulo também medem 60º, assim concluímos que 
são equiláteros. Nesse caso temos que a medida do raio da 
circunferência é igual à medida do lado do hexágono. 
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Apótema 
 
 
 
Para o cálculo da medida do apótema e do lado em relação a outros 
polígonos, devemos utilizar como referência as demonstrações 
realizadas, estabelecendo dependência com a medida do raio da 
circunferência. 
 
Área e Perímetro 
 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar 
as medidas de alguma figura. 
Veja abaixo o significado de cada conceito: 
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. 
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura. 
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) 
pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a 
figura, chamados de lados (l). 
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se 
vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três 
lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados. 
Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito 
de área (área da base, área da lateral, área total) e o de volume. 
O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo 
comprimento. Note que as figuras planas não possuem volume. 
Saiba mais sobre as figuras geométricas: 
 Geometria Plana 
 Geometria Espacial 
Áreas e Perímetros de Figuras Planas 
Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras 
planas. 
Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados. 
 
Que tal ler mais sobre os triângulos? Veja mais em Classificação dos 
Triângulos. 
Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são 
congruentes e os outros dois também. 
https://www.todamateria.com.br/geometria-plana/
https://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/classificacao-dos-triangulos/
https://www.todamateria.com.br/classificacao-dos-triangulos/
 
Veja também: Retângulo. 
Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados congruentes 
(possuem a mesma medida). 
 
Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada 
de circunferência. 
https://www.todamateria.com.br/retangulo/
https://www.todamateria.com.br/circunferencia/
 
Atenção! 
π: constante de valor 3,14 
r: raio (distância entre o centro e a extremidade) 
Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, onde 
uma é maior e outra menor. 
 
Veja mais sobre o Trapézio. 
Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura 
apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos. 
https://www.todamateria.com.br/trapezio/
 
Exercícios Resolvidos 
1. Calcule as áreas das figuras abaixo: 
a) Triângulo de base 5 cm e altura de 12 cm. 
A = b.h/2 
A = 5 . 12/2 
A = 60/2 
A = 30 cm2 
b) Retângulo de base 15 cm e altura de 10 cm. 
A = b.h 
A = 15 . 10 
A = 150 cm2 
c) Quadrado com lado de 19 cm. 
A = L2 
A = 192 
A = 361 cm2 
d) Círculo com diâmetro de 14 cm. 
A = π . r2 
A = π . 72 
A = 49π 
A = 49 . 3,14 
A = 153,86 cm2 
e) Trapézio com base menor de 5 cm, base maior de 20 cm e altura de 12 cm. 
A = (B + b) . h/2 
A = (20 + 5) . 12/ 
A = 25 . 12/2 
A = 300/2 
A = 150 cm2 
f) Losango com diagonal menor de 9 cm e diagonal maior de 16 cm. 
A = D.d/2 
A = 16 . 9/2 
A = 144/2 
A = 72 cm2 
 
2. Calcule os perímetros das figuras abaixo: 
a) Triângulo isósceles com dois lados de 5 cm e outro de 3 cm. 
P = 5 + 5 + 3 
P = 13 cm 
b) Retângulo de base 30 cm e altura de 18 cm. 
P = (2b+ 2h) 
P = (2.30 + 2.18) 
P = 60 + 36 
P = 96 cm 
c) Quadrado de lado 50 cm. 
P = 4.L 
P = 4. 50 
P = 200 cm 
d) Círculo com raio de 14 cm. 
P = 2 π . r 
P = 2 π . 14 
P = 28 π 
P = 87,92 cm 
 
 
e) Trapézio de base maior 27 cm, base menor de 13 cm e lados de 19 cm. 
P = B + b + L1 + L2 
P = 27 + 13 + 19 + 19 
P = 78 cm 
f) Losango com lados de 11 cm. 
P = 4.L 
P = 4 . 11 
P = 44 cm 
 
 
Fórmula de Heron 
A fórmula de Heron calcula a área de um triângulo em função das 
medidas dos seus três lados. 
 
 
 
Heron de Alexandria é o responsável por elaborar uma fórmula 
matemática que calcula a área de um triângulo em função das medidas 
dos seus três lados. A fórmula de Heron de Alexandria é muito útil nos 
casos em que não sabemos a altura do triângulo, mas temos a medida 
dos lados. 
Em um triângulo de lados medindo a, b e c podemos calcular a sua área 
utilizando a fórmula de Heron: 
 
 
Exemplo 1 
Calcule a área do triângulo a seguir: 
 
p = (9 + 7 + 14) / 2 
p = 30 / 2 
p = 15 
 
A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14) 
A = √15 * 6 * 8 * 1 
A = √720 
A = 26,83 cm2(aproximadamente) 
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Exemplo 2 
Utilizando a Fórmula de Heron, calcule a área da região com as 
seguintes medidas: 
 
26cm, 26cm e 20cm 
 
p = (26 + 26 + 20) / 2 
p = 72 / 2 
p = 36 
 
A = √36(36 – 26)(36 – 26)(36 – 20) 
A = √36 * 10 * 10 * 16 
A = √57600 
A = 240 cm2 
 
 
Semelhança de Polígonos 
Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados, 
vértices e ângulos. Dizemos que dois polígonos são semelhantes 
quando eles possuem o mesmo número de lados e se adéquam às 
seguintes condições: 
 
 Ângulos iguais. 
 Lados correspondentes proporcionais. 
 Possuem razão de semelhança igual entredois lados 
correspondentes. 
 
Durante a razão de semelhança podemos observar as seguintes 
situações: 
 
 Ampliação: razão entre os lados correspondentes maior que 1. 
 Redução: razão entre os lados correspondentes menor que 1. 
 
Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações: 
 
 
 
 
Ângulos 
A = A’ 
B = B’ 
C = C’ 
D = D’ 
E = E’ 
 
Lados 
AB = A’B’ 
BC = B’C’ 
CD = C’D’ 
DE = D’E’ 
EA = E’A’ 
 
Razão entre os lados 
 
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’ 
 
 
A semelhança entre figuras possuem diversas aplicabilidades no 
cotidiano, como na elaboração de maquetes, ampliação de fotos, 
medições de distância (teorema de Tales) entre outras questões 
envolvendo proporcionalidade na Geometria. 
 
 
Exemplo 
 
Determine o valor da medida x, sabendo que os trapézios a seguir 
são semelhantes. 
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Precisamos descobrir qual a razão entre os segmentos 
proporcionais correspondentes. 
 
7,5 / 3 = 2,5 e 5 / 2 = 2,5 
 
O coeficiente de ampliação dos trapézios equivale à constante k = 
2,5. Então: 
 
x / 5 = 2,5 
x = 2,5 * 5 
x = 12,5 
 
O valor de x corresponde a 12,5 unidades. 
 
 
Polígonos Inscritos e Circunscritos 
 
 
 
Na geometria costumamos relacionar algumas figuras, entre elas a 
circunferência e os polígonos. As duas propriedades seguintes 
pertencem a essa relação: 
 
 Qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência. 
 Qualquer polígono regular e circunscritível a uma circunferência. 
 
Temos que polígonos regulares são figuras em que todos os seus lados 
e todos os seus ângulos são congruentes, isto é, possuem medidas 
iguais. Observe alguns polígonos inscritos e circunscritos a seguir: 
 
Polígonos regulares inscritos 
 
No caso dos polígonos inscritos apresentados, observe que o vértice de 
cada polígono é tangente à circunferência. Esse ponto de tangência 
divide a circunferência em partes iguais, as quais recebem o nome de 
arco de circunferência. O triângulo inscrito divide a circunferência em 3 
arcos de comprimentos iguais, o pentágono em 5 arcos iguais e o 
octógono em 8 arcos iguais. Cada segmento de reta que forma o lado do 
polígono é considerado uma corda da circunferência. 
 
 
Polígonos regulares circunscritos 
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Polinômios 
 
 Polinômios 
1 - Definição: 
 
Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a 
e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) . 
 
Entende-se por polinômio em C à função: 
P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an , onde os números complexos ao , 
a1 , ... , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do 
polinômio e x é a variável do polinômio. 
 
Exemplo : 
P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ). 
O grau de P(x) é igual a 5 . 
Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber: 
Binômio : possuem dois termos. Exemplo : r(x) = 3x + 1 (grau 1). 
Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2). 
A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios. 
1.1 - Valor numérico do polinômio 
Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também 
um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio 
P(x) para x = m , ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo 
x por m . 
 
Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1? 
Teremos, substituindo a variável x por x = -1  p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 
+ 2 = 6  p(-1) = 6. 
1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio 
O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 . 
 
Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 . 
Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -
http://www.paulomarques.com.br/arq5-1.htm
1. 
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0 
(verifique!) . 
1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio 
Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular 
o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1). 
 
Exemplos: 
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10  S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8. 
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x? 
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1). 
IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência 
do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, 
astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade 
anterior é válida. 
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ? 
Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-
se que toda potência de expoente par é positiva). 
 
Outro exemplo: 
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ? 
Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296 
2 - Identidade de polinômios 
2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é 
aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . 
Indicamos P  0 (polinômio nulo) . 
Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que 
todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) . 
2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais . 
Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P  Q . É óbvio que se dois 
polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos 
correspondentes são iguais . 
A expressão P  Q é denominada identidade . 
Exercício resolvido: 
Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) 
, calcule o valor de P(1) - Q(2) . 
Solução: 
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) 
então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = 
Q(1) + 12 + 1 + 1  
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever : 
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1  0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-
7) = 3 + 7 = 10. 
Resp: 10 
http://www.paulomarques.com.br/arq3-2.htm
3 - Divisão de polinômios 
Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , 
significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às 
condições: 
1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia  46:6 = 7 e resto 4  46 = 6.7 + 4) . 
2) gr R(x)  gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio. 
Notas: 
1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) . 
2) se gr P  gr D então gr (P : D) = gr P - gr D . 
3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor . 
4) se gr P(x)  gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) . 
3.1 - Resto da divisão pelo binômio x - a. 
Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) . 
Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ; 
Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de 
onde se conclui que 
P(a) = R onde R é o resto da divisão . 
Consequência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é 
divisível por x - a . 
Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond 
D’Alembert (1717 - 1783) , célebre matemático francês, que teve o seu no 
nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, perto da Notre Dame de 
Paris , em cujos degraus foi encontrado abandonado quando criança! ). 
II - Equações Algébricas 
Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) 
= 0 . Portanto , as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio 
P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação . 
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau . 
Propriedades importantes : 
P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . 
Exemplo: aequação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. 
Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada 
é S = {0, 1, -1}. 
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . 
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o 
que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. 
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 
1765/1822. 
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a 
- bi também será 
raiz . 
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de 
suas raízes são os 
números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. 
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também 
raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou 
seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes. 
P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m 
é uma raiz de grau de multiplicidade k . 
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz 
décupla ou de 
multiplicidade 10 . 
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três 
raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). 
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, 
(x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de 
multiplicidade dois. 
P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula 
, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). 
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é 
igual a zero . 
P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de 
raízes nulas igual ao menor expoente da variável . 
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas . 
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas! 
P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + 
an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada : 
ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0 
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então 
podemos escrever: 
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . 
(verifique!). 
Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633). 
São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação 
algébrica . 
Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as 
seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 : 
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a . 
Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e 
x3 as raízes , temos as seguintes relações de Girard : 
x1 + x2 + x3 = - b/a 
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a 
x1.x2.x3 = - d/a 
Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as 
raízes iguais a 
x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard : 
 
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a 
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a 
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a 
x1.x2.x3.x4 = e/a 
NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a 
memorização das fórmulas 
Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir: 
1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x: 
P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 . 
Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente 
iguais a: 
Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16 
2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q 
é: 
Resp: - 400x2 
3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 
é 4, então a + b vale: 
Resp: 3 
 
4 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está 
contido em: 
a) [-2,-1) 
*b) [-1,1) 
c) [1,2) 
d) [2,3) 
e) [3,4) 
5 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é: 
Resp: 3/2 
 
Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) 
e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores 
desconhecidos da expressão. 
Exemplos 
a) 3ab + 5 
b) x3 + 4xy - 2x2y3 
c) 25x2 - 9y2 
Monômio, Binômino e Trinômio 
Os polinômios são formados por termos. A única operação entre os elementos 
de um termo é a multiplicação. 
Quando um polinômio possui apenas um termo, ele é chamado de monômio. 
Exemplos 
a) 3x 
b) 5abc 
c) x2y3z4 
Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios 
(dois termos), separados por uma operação de soma ou subtração. 
Exemplos 
a) a2 - b2 
b) 3x + y 
c) 5ab + 3cd2 
Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios (três termos), 
separados por operações de soma ou subtração. 
Exemplos 
a) x2 + 3x + 7 
b) 3ab - 4xy - 10y 
c) m3n + m2 + n4 
Grau dos Polinômios 
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. 
Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das 
letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio. 
Exemplos 
a) 2x3 + y 
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o 
grau do polinômio é 3. 
b) 4 x2y + 8x3y3 - xy4 
Vamos somar os expoentes de cada termo: 
4x2y => 2 + 1 = 3 
8x3y3 => 3 + 3 = 6 
xy4 => 1 + 4 = 5 
Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6 
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. 
Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido. 
Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios: 
Adição de Polinômios 
Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes 
(mesma parte literal). 
(- 7x3 + 5 x2y - xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy - 7y) 
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y 
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y 
Subtração de Polinômios 
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos 
parênteses. Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos 
semelhantes. 
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k) 
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k 
4x2 - 8xk + 14k 
Multiplicação de Polinômios 
Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras 
iguais, repete-se e soma-se os expoentes. 
(3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1) 
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8 
-6x3 + 13x2 - 21x +8 
Divisão de Polinômios 
 
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente 
realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de 
potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os 
expoentes. 
Fatoração de Polinômios 
Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos: 
Fator Comum em Evidência 
ax + bx = x (a + b) 
Exemplo 
4x + 20 = 4 (x + 5) 
Agrupamento 
ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) 
Exemplo 
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição) 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Exemplo 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença) 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
Exemplo 
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 
Diferença de Dois Quadrados 
(a + b) . (a - b) = a2 - b2 
Exemplo 
x2 - 25 = (x + 5) . (x - 5) 
Cubo Perfeito (Adição) 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Exemplo 
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3 
Cubo Perfeito (Diferença) 
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
Exemplo 
y3 - 9y2 + 27y - 27 = y3 - 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 - 33 = (y - 3)3 
Exercícios Resolvidos 
1) Classifique em monômios, binômios e trinômios, os polinômios abaixo: 
a) 3abcd2 
b) 3a + bc - d2 
c) 3ab - cd2 
 
a) monômio 
b) trinômio 
c) binômio 
2) Indique o grau dos polinômios: 
a) xy3 + 8xy + x2y 
b) 2x4 + 3 
c) ab + 2b + a 
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x 
 
a) grau 4 
b) grau 4 
c) grau 2 
d) grau 11 
3) Qual o valor do perímetro da figura abaixo: 
 
O perímetro da figura é encontrado somando-se todos os lados. 
2x3 + 4+ 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12 
 
 
4) Encontre a área da figura: 
 
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. 
(2x + 3) . (x+1) = 2x2 + 5x + 3 
5) Fatore os polinômios 
a) 8ab + 2a2b - 4ab2 
b) 25 + 10y + y2 
c) 9 - k2 
 
a) Como existem fatores comuns, fatorar colocando esses fatores em evidência: 2ab 
(4 + a - 2b) 
b) Trinômio quadrado perfeito: (5+y)2 
c) Diferença de dois quadrados: (3 + k) . (3 - k) 
 
Função Polinomial 
 
As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são 
representadas pela expressão: 
f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0 
onde, 
n: número inteiro positivo ou nulo 
x: variável 
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes 
an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos 
Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim 
chamamos as funções polinomiais também de polinômios. 
Valor Numérico de um Polinômio 
Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor 
numérico na variável x. 
Exemplo 
Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3? 
Substituindo o valor na variável x temos: 
2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44 
Grau dos Polinômios 
Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à variável, 
os polinômios são classificados em: 
 Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6 
 Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2 
 Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15 
 Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10 
 Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1 
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. 
Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido. 
 
Gráficos da Função Polinomial 
Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x 
na expressão p(x). 
Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos 
pertencentes ao gráfico. 
Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial. 
Veja alguns exemplos de gráficos: 
Função polinomial de grau 1 
 
Função polinomial de grau 2 
 
Função polinomial de grau 3 
 
Igualdade de Polinômios 
Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são 
todos iguais. 
Exemplo 
Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 
10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8. 
Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes 
correspondentes sejam iguais. 
Então, 
a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a 
zero) 
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5 
- c = 8 → c = - 8 
d + 4 = 7 → d = 7 - 4 → d = 3 
Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios: 
Adição 
(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7) 
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 - 7 
- 7x3 + 3x2 + 7x -3 
Subtração 
(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8) 
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8 
4x2 - 8x + 14 
Multiplicação 
(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1) 
- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8 
- 6x3 + 13x2 - 21x + 8 
Divisão 
 
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente 
realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de 
potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os 
expoentes. 
A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto. 
divisor . quociente + resto = dividendo 
Teorema do Resto 
O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o 
seguinte enunciado: 
O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a). 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
1. (FEI - SP) O resto da divisão do polinômio p (x) = x5 + x4 - x3 + x + 2 pelo 
polinômio q (x) = x - 1 é: 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
2. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b (x + 1)2 + c 
(x+2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a - b + c é: 
a) - 5 
b) - 1 
c) 1 
d) 3 
e) 7 
 
3. (UF-GO) Considere o polinômio: 
p(x) = (x - 1) (x - 3)2 (x - 5)3 (x - 7)4 (x - 9)5 (x - 11)6. 
O grau de p(x) é igual a: 
a) 6 
b) 21 
c) 36 
d) 720 
e) 1080 
 
4. (Cefet-MG) O polinômio P(x) é divisível por x - 3. Dividindo-se P(x) por x - 1, 
obtém-se o quociente Q(x) e resto 10. Nessas condições, o resto da divisão de 
Q(x) por x - 3 vale: 
a) - 5 
b) - 3 
c) 0 
d) 3 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (UF-PB) Na inauguração da praça, foram realizadas várias atividades 
recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática 
proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte 
problema: Encontrar valores para a e b, de modo que o polinômio p(x) = ax3 + 
x2 + bx + 4 seja divisível por 
q(x) = x2 - x - 2. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além 
disso, constataram que a e b satisfazem a relação: 
a) a2 + b2 = 73 
b) a2 - b2 = 33 
c) a + b = 6 
d) a2 + b = 15 
e) a - b= 12 
 
Raiz de um polinômio 
 
 
 
 
 CURTIDAS 6 
No estudo do valor numérico de um polinômio, notamos que para 
cada valor que atribuímos à variável x, encontramos um valor 
numérico para o polinômio. 
 
A raiz de um polinômio é denotada pelo valor que a variável assume 
de modo que o valor numérico do polinômio seja igual a zero. Na 
linguagem matemática, seria assim: 
 
 
 
 
 
Antes de compreendermos o conceito de raiz, vamos relembrar a 
forma geral de um polinômio de grau n. 
 
 
 
 
O termo “raiz” é visto pela primeira vez como a solução de uma 
equação, entretanto você deve lembrar que aquela equação estava 
igual a zero, sendo o zero o valor numérico da equação. 
 
As raízes polinomiais possuem grande importância para a construção 
de gráficos dos polinômios, afinal, com essas raízes podemos 
encontrar os pontos onde a função intersecta o eixo das abscissas 
(eixo x). 
 
Problemas envolvendo raízes polinomiais podem aparecer, 
normalmente, de duas maneiras. Em uma verifica-se se o valor 
informado para a variável levará ao valor numérico zero, ou seja, se 
este valor é a raiz do polinômio; e na outra maneira deverá ser 
encontrada a raiz do polinômio. 
 
Um fato importante a ser ressaltado é que a quantidade de raízes de 
um polinômio está diretamente relacionada ao grau deste polinômio. 
Por exemplo, um polinômio de grau 2 poderá ter no máximo duas 
raízes, sendo estes números complexos ou não. Por sua vez, o 
polinômio de grau 3 terá no máximo 3 raízes. 
 
Exemplos: 
 
Verifique se 1 é a raiz do polinômio: p(x)=x³+2x²-2x-1. 
 
Caso 1 seja raiz, teremos que p(1)=0. Vamos verificar se isso é 
verdade. 
 
 
 
Portanto, o valor x=1 é uma das raízes do polinômio p(x)=x³+2x²-2x-
1. Existem outras raízes, mas este é um assunto para outro artigo. 
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Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=(x-3)²+m (m ϵ R), 
determine o valor de m. 
 
Como 1 é raiz do polinômio, temos que 
 
 
 
 
 
 
Valor Numérico de um Polinômio 
 
 
 
Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é 
um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto 
dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de 
p(a) corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 
4x² – 9x temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da 
seguinte maneira: 
 
p(x) = 4x² – 9x 
p(2) = 4 * 2² – 9 * 2 
p(2) = 4 * 4 – 18 
p(2) = 16 – 18 
p(2) = –2 
 
 
Se, ao calcularmos o valor numérico de um polinômio determinarmos 
p(a) = 0, temos que esse número dado por a corresponde à raiz do 
polinômio p(x). Observe o polinômio p(x) = x² – 6x + 8 quando aplicamos 
p(2) = 0. 
 
p(2) = 2² – 6 * 2 + 8 
p(2) = 4 – 12 + 8 
p(2) = 12 – 12 
p(2) = 0 
 
Dessa forma, percebemos que o número 2 é raiz do polinômio p(x) = x² – 
6x + 8, pois temos que p(2) = 0. 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor numérico 
de p(3).p(3) = 4 * 3³ – 9 * 3² + 8 * 3 – 10 
p(3) = 4 * 27 – 9 * 9 + 24 – 10 
p(3) = 108 – 81 + 24 – 10 
p(3) = 41 
 
 
O valor de p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10 para p(3) é 41. 
 
 
Exemplo 2 
 
Determine o valor numérico de p(x) = 5x4 – 2x³ + 3x² + 10x – 6, para x = 
2. 
 
p(2) = 5 * 24 – 2 * 23 + 3 * 22 + 10 * 2 – 6 
p(2) = 5 * 16 – 2 * 8 + 3 * 4 + 20 – 6 
p(2) = 80 – 16 + 12 + 20 – 6 
p(2) = 90 
 
De acordo com o polinômio fornecido temos que p(2) = 90. 
Teorema do resto 
Vamos calcular o resto da divisão de : 
R(x) = 3 
A raiz do divisor é . 
Note que: 
Ou seja, quando B(x) é um polinômio de grau 1, o resto é igual ao valor 
numérico de P(x) quando x assume o valor da raiz de B(x). 
Para demonstrar esse fato, vamos efetuar: 
 
Note que o grau do resto é 0, pois é menor que o grau do divisor, que é 1. 
Assim, o resto é uma constante r. 
 
Efetuando , temos: 
 
Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: 
Teorema do resto 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao 
valor numérico desse polinômio para , ou seja, . 
Exemplo 
Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1: 
Resolução 
Achamos a raiz do divisor: 
x + 1= 0 x = - 1 
Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1): 
P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1 P(- 1) = - 5 = r 
Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5. 
Note que P(x) é divisível por ax + b quando r = 0, ou seja, quando . 
Daí vem o enunciado do seguinte teorema: 
Teorema de D’Alembert 
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio 1 se e 
somente se . 
O caso mais importante da divisão de um polinômio P(x) é aquele em que o 
divisor é da forma (x - ). 
Note que é a raiz do divisor. Então o resto da divisão de P(x) por (x – ) é: 
r = P( ) 
Assim: 
P(x) é divisível por (x – ) quando r = 0, ou 
seja, quando P( ) = 0. 
Exemplo 
Determine o valor de p, para que o polinômio seja 
divisível por x – 2: 
Resolução 
Para que P(x) seja divisível por x – 2 devemos ter P(2) = 0, pois 2 é a raiz do 
divisor: 
 
Assim, para que seja divisível por x – 2 devemos 
ter p = 19 
 
Teorema de D’Alembert 
 
 
 
Na matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre 
recebem o nome de seus inventores e D’Alembert foi um desses, 
matemático e físico, foi um dos oficiais na revolução Francesa 
responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e plocamava 
a paz. 
 
Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática, 
levaram o seu nome, na matemática podemos destacar no estudo dos 
polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz: 
 
Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, 
resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e 
somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x). 
 
Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x4 - 
4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i. 
 
As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, 
dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio 
P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, 
basta aplicarmos o Teorema do Resto. 
 
Para divisor igual a x – 3, a = 3. 
 
P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3 
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3 
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3 
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3 
P(3) = 9 – 12 + 3 
P(3) = -3 + 3 
P(3) = 0 
 
Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3. 
 
Para divisor igual a x – i, a = i. 
 
P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3 
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3 
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3 
P(i) = 1 – 4 + 3 
P(i) = - 3 + 3 
P(i) = 0 
 
Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i. 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 
Para efetuarmos a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x –
), podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
Vamos efetuar a divisão de por x - 2 através desse 
dispositivo. Acompanhe o roteiro para a resolução: 
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo (ordenadamente 
do termo de maior grau para o termo de menor grau, completando com zero os 
termos que não aparecem) no dispositivo: 
 
2º) Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo: 
 
3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o 
produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo 
deste: 
 
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º 
coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado 
abaixo deste, e assim sucessivamente: 
 
5º) Fazemos um traço entre o último e o penúltimo números obtidos. O último 
número é igual ao resto da divisão e os números que ficam à esquerda deste 
são os coeficientes do quociente: 
 
Portanto, . 
Exemplo 
Obtenha o quociente e o resto da divisão de x³ - 3x² + 5x - 1 por 2x - 1: 
Resolução 
Temos: 
Para aplicarmos o dispositivo de Briot-Ruffini, o coeficiente de x no divisor deve 
ser 1. Nesse caso, utilizamos o seguinte artifício: 
 
Fazemos : 
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 
Como : 
 
Portanto, e . 
 
Relações entre os coeficientes e as raízes 
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais 
dessa equação. 
Logo: 
Observe as seguintes relações: 
Soma das raízes (S) 
 
 
Produto das raízes (P) 
 
 
Como ,temos: 
 
 
 
Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns 
exemplos de aplicação dessas relações. 
 Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0. 
 
Solução 
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2. 
A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a . 
Assim: Assim: 
 Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a 
soma de suas raízes seja igual a 7. 
 
Solução 
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2. 
S= x1 + x2 = 7 
 
Logo, o valor de k é -2. 
 
Relação das Raízes da Equação de 2º Grau 
 
Em uma equação do 2º grau, as raízes resultantes das operações 
matemáticas dependem do valor do discriminante. As situações 
decorrentes são as seguintes: 
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. 
∆ = 0, a equação possui uma única raiz real. 
∆ < 0, a equação não possui raízes reais. 
Na Matemática, o discriminante da equação do 2º grau é 
representado pelo símbolo ∆ (delta). 
Quando existirem as raízes dessa equação, no formato ax² + bx + c 
= 0, elas serão calculadas de acordo com as expressões 
matemáticas: 
 
 
Existe uma relação entre a soma e o produto dessas raízes, que é 
dada pelas seguintes fórmulas: 
 
 
Por exemplo, na equação do 2º grau x² – 7x + 10 = 0 temos que os 
coeficientes valem: a = 1, b = – 7 e c = 10. 
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Com base nesses resultados podemos observar que as raízes dessa 
equação são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 * 5 = 10. 
 
Observe outro exemplo: 
Vamos determinar a soma e o produto das raízes da seguinte 
equação: x² – 4x + 3 = 0. 
 
 
As raízes da equação são 1 e 3, pois 1 + 3 = 4 e 1 * 3 = 3. 
 
O que é fatoração de polinômios? 
O QUE É? 
O que é fatoração de polinômios? É um conjunto de técnicas que se 
baseia nas propriedades da multiplicação para reescrever polinômios 
na forma de produto. 
 
Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne 
técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios ou 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-polinomio.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-monomio.htm
até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada 
no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte: 
Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto 
em um produto de números primos. 
As técnicas usadaspara fatorar polinômios – chamadas 
de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da 
multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis 
casos de fatoração de polinômios são os seguintes: 
1º caso de fatoração: fator comum em evidência 
Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se 
em cada um de seus termos. 
4x + ax 
Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque 
esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o 
processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira: 
x(4 + a) 
Observe que, aplicando a propriedade distributiva 
nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja 
outro exemplo do primeiro caso de fatoração: 
4x3 + 6x2 
4x3 + 6x2 = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x2(2x + 3) 
Para mais informações sobre esse caso de fatoração, consulte o 
texto Fatoração: Fator comum em evidência aqui. 
2° caso de fatoração: agrupamento 
Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o 
resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. 
Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns 
em evidência novamente. 
Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por 
fator comum. 
Exemplo: 
xy + 4y + 5x + 20 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-multiplicacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-multiplicacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fator-comum.htm
Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em 
evidência da seguinte maneira: 
y(x + 4) + 5(x + 4) 
Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o 
fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos: 
(x + 4)(y + 5) 
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Para mais informações e exemplos sobre esse caso de fatoração, 
consulte o texto Agrupamento clicando aqui. 
3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito 
Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. 
Observe o produto notável a seguir: 
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 
Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos 
polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um 
exemplo: 
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 
Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um 
trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento. Os 
processos para essa garantia podem ser encontrados aqui. 
4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados 
Polinômios conhecidos como diferença de dois 
quadrados possuem esta forma: 
x2 – a2 
A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da 
soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse 
polinômio: 
x2 – a2 = (x + a)(x – a) 
Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, 
leia o texto Diferença de dois quadrados aqui. 
5º caso de fatoração: diferença de dois cubos 
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + y3 pode 
ser fatorado da seguinte maneira: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/agrupamento.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-quadrados.htm
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 
Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, 
leia o texto Diferença de dois cubos aqui. 
6º caso de fatoração: Soma de dois cubos 
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – y3 pode 
ser fatorado da seguinte maneira: 
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 
 
Multiplicidade de uma raiz 
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. O 
número de vezes que uma mesma raiz aparece inidica a sua multiplicidade. 
Exemplo 1 
Na equação , notamos que: 
 
Exemplo 2 
Qual a multiplicidade da raiz 2 do polinômio ? 
Resolução 
Vejamos quantas divisões sucessivas por (x – 2) cujo resto é nulo são 
possíveis: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm
Portanto, P(x) = (x – 2)³.Q(x). Logo, 2 é uma raiz tripla ou de multiplicidade 3. 
 
Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios 
MATEMÁTICA 
 
As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o 
denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os 
exemplos: 
 
No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma 
devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os 
denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações 
com denominadores iguais. 
Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada 
polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos 
todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos 
de fatoração é de extrema importância para a determinação de 
algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc 
entre polinômios nos exemplos a seguir: 
 
 
Exemplo 1 
 
mmc entre 10x e 5x² – 15x 
 
10x = 2 * 5 * x 
 
5x² – 15x = 5x * (x – 3) 
 
mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x 
 
 
Exemplo 2 
 
mmc entre 6x e 2x³ + 10x² 
 
6x = 2 * 3 * x 
 
2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5) 
 
mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x² 
 
 
Exemplo 3 
 
mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y² 
 
x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3) 
 
x² – y² = (x + y) * (x – y) 
 
mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y) 
 
 
 
Exemplo 4 
 
mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4. 
 
 
x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4). 
 
x² + 4x + 4 = (x + 2)² 
 
mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4) 
 
Equação Polinomial 
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) 
= 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja 
alguns exemplos: 
 
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
x10 – 6x2 + 9 = 0 
 
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto 
solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, 
o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que 
o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a 
obtenção da solução. 
 
 
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 
 
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, 
admite pelo menos uma raiz complexa. 
 
Exemplo 1 
 
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da 
equação: 
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0 
 
Se 2 é raiz da equação, então temos: 
 
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0 
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1 
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8. 
 
Exemplo 2 
 
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: 
mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0. 
 
Temos que: 
 
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 
 
O valor de m é 1. 
Teorema da decomposição de um polinômio 
MATEMÁTICA 
O teorema da decomposição de um polinômio garante que todo 
polinômio de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em fatores de grau 1. 
O teorema fundamental da álgebra para equações 
polinomiais garante que “todo polinômio de grau n ≥ 1 possui 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
pelo menos uma raiz complexa”. A demonstração desse teorema 
foi feita pelo matemático Friedrich Gauss, em 1799. A partir dele, 
podemos demonstrar o teorema da decomposição de um 
polinômio, o qual garante que qualquer polinômio pode ser 
decomposto em fatores de primeiro grau. Tome o seguinte 
polinômio p(x) de grau n ≥ 1 e an ≠ 0: 
p(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1x1 + a0 
Através do teoremafundamental da álgebra, podemos afirmar que 
esse polinômio possui pelo menos uma raiz complexa u1, tal 
que p(u1) = 0. O teorema de D'Alembert para a divisão de 
polinômios afirma que, se p(u1) = 0, então p(x) é divisível por (x – 
u1), resultando em um quociente q1(x), que é um polinômio de 
grau (n – 1), o que nos leva a afirmar: 
p(x) = (x – u1) . q1(x) 
A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades: 
Se u = 1 e q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), 
então q1(x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante 
de p(x) é an, q1(x) é um polinômio constante do 
tipo q1(x) = an. Portanto, temos: 
p(x) = (x – u1) . q1(x) 
(x) = (x – u1) . an 
p(x) = an . (x – u1) 
Mas se u ≥ 2, então o polinômio q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o 
teorema fundamental da álgebra. Podemos afirmar que o 
polinômio q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a 
afirmar que q1 pode ser escrito como: 
q1(x) = (x – u2) . q2(x) 
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Mas como p(x) = (x – u1) . q1(x), podemos reescrevê-lo como: 
p(x) = (x – u1) . (x – u2) . q2(x) 
Repetindo sucessivamente esse processo, teremos: 
p(x) = an. (x – u1) . (x – u2) … (x – un) 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm
Dessa forma, podemos concluir que todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui 
exatamente n raízes complexas. 
Exemplo: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes 
sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em 
fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual 
a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida: 
Se – 1, 2, 3, – 2 e 4 são raízes do polinômio, então o produto das 
diferenças de x por cada uma dessas raízes resulta em p(x): 
p(x) = an.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4) 
Se o coeficiente dominante an = 1, temos: 
p(x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4) 
p(x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4) 
p(x) = (x² – x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4) 
p(x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4) 
p(x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12).(x – 4) 
p(x) = x5 – 6x4 + x³ + 36x² – 20x – 48 
 
Raízes complexas de uma equação 
polinomial 
As raízes complexas de uma equação polinomial ocorrem em pares em 
razão dos seus conjugados. 
 
 
 
Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias 
raízes e, dentre elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número 
complexo z é raiz de uma equação polinomial de grau n (n > 1, n ), 
então o conjugado de z é também raiz da equação. Em toda equação 
polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre 
par em razão do conjugado. 
Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar 
alguns conceitos dos números complexos. Um número complexo z é 
escrito na forma z = a + b.i e seu conjugado z é representado na forma z = 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-girard-nas-equacoes-3-4-grau.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-complexos.htm
a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações com os números 
complexos, veja alguns exemplos: 
Adição e Subtração: 
Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um 
complexo com a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só 
é operada com a parte imaginária do outro. Considere os números 
complexos z1 = a + bi e z2 = c + di: 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i 
z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i 
Multiplicação: 
Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos 
complexos: 
z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i 
Operações com Conjugados: 
 
Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo 
Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial? 
Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, 
sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação. 
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Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 
2i também é solução. Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o 
polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15: 
(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)] 
(x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i) 
(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)² 
(x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)² 
(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5 
Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a 
equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente 
resolvida através da fórmula de Bhaskara: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-numero-conjugado.htm
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 2² – 4.1.(– 3) 
Δ = 4 + 12 
Δ = 16 
x = – b ± √Δ 
 2.a 
x = – 2 ± √16 
 2.1 
x = – 2 ± 4 
 2 
x1 = – 2 + 4 
 2 
x1 = 2 
 2 
x1 = 1 
x2 = – 2 – 4 
 2 
x2 = – 6 
 2 
x2 = – 3 
Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 
0 é S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}. 
 
Teorema das raízes racionais 
MATEMÁTICA 
O Teorema das Raízes Racionais é indicado para identificar todas as 
raízes de uma equação polinomial, desde que elas existam. 
 
Considere a equação polinomial a seguir em que todos os 
coeficientes an são inteiros: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0 
O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação 
admite o número racional p/q como raiz (com p 
, q e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível por p e an é 
divisível por q. 
Observações: 
1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação 
polinomial tenha raízes, mas caso elas existam, o teorema 
permite identificar todas as raízes da equação; 
2º) Se an = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a 
equação possui apenas raízes inteiras. 
3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras 
de a0. 
Aplicação do Teorema das Raízes Racionais: 
Vamos utilizar o teorema para encontrar todas as raízes da 
equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0. 
Primeiramente, vamos identificar as possíveis raízes racionais 
dessa equação, isto é, as raízes da forma p/q. De acordo com o 
teorema, a0 é divisível por p; dessa forma, como a0 = 12, 
então os possíveis valores de p são {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. 
Analogamente, temos que an é divisível por q e an = 
2, então q pode ter os seguintes valores: {±1, ±2}. Sendo 
assim, dividindo os valores de p por q, obtemos os possíveis 
valores p/q raízes da equação: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2 , –
2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}. 
Para confirmar se os valores que encontramos são realmente a 
raiz da equação polinomial, vamos substituir cada valor no 
lugar do x da equação. Através do cálculo algébrico, se o 
polinômio resultar em zero, então o número substituído é, 
realmente, a raiz da equação. 
 
2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/demonstracoes-atraves-calculo-algebrico.htm
Para x = + ½ 
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0 
Para x = – ½ 
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4 
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Para x = + 1 
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12 
Para x = – 1 
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18 
Para x = + 3/2 
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4 
Para x = – 3/2 
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2 
Para x = + 2 
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0 
Para x = – 2 
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0 
Para x = + 3 
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150 
Para x = – 3 
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0 
Para x = + 4 
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588 
Para x = – 4 
2.(–4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108 
Para x = + 6 
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168 
Para x = – 6 
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248 
Para x = + 12 
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300 
Para x = – 12 
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500 
 
Portanto, as raízes da equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 
20x + 12 = 0 são {– 3, – 2, ½, 2}. Através do teorema da 
decomposição de um polinômio, poderíamos escrever essa 
equação como (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2) = 0. 
 
 
 
Relações de Girard 
Albert Girard, matemático belga nascido no ano de 1595, em seus estudos 
estabeleceu fórmulas matemáticas que relacionam os coeficientes e as raízes 
de uma equação algébrica. 
Considere o polinômio do 2º grau: 
P(x) = ax² + bx + c, com a 0, 
cujas raízes são . Note que: 
 
 
 
Igualando os coeficientes: 
 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm
Considere o polinômio do 3º grau P(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a 0, cujas 
raízes são . Note que: 
 
 
Igualando os coeficientes: 
 
 
 
 
 
 
Fazendo um raciocínio análogo aos anteriores, encontramos as relações para 
uma equação algébrica de um grau qualquer n: 
 
 
 
 
 
 
... 
 
 
Exemplo 
Resolva a equação , sabendo que uma raiz é igual à 
soma das outras duas ( ): 
Resolução 
Relação de Girard: 
 
Vamos dividir x³ - 10x² + 31x - 30 por (x – 5) para encontrar as outras raízes: 
 
Q(x) = x² - 5x + 6 
 
Portanto, o conjunto solução da equação é: 
S = {2, 3, 
5} 
 
Raízes nulas, complexas e racionais 
Raízes nulas 
Toda equação algébrica cujo termo independente é zero admite o 
número zero como raiz, cuja multiplicidade é igual ao menor expoente da 
incógnita. 
Essas raízes são denominadas raízes nulas. 
Exemplos: 
 
Raízes complexas 
Vamos resolver a equação algébrica x² -2x + 2 = 0: 
 
É possível demonstrar que, se um número complexo cuja parte imaginária não 
é nula é raiz de uma equação com coeficientes reais, seu conjugado também é 
raiz dessa equação. 
Consequências: 
 O número de raízes complexas de uma equação algébrica de coeficientes reais 
é necessariamente par; 
 Se uma equação algébrica de coeficientes reais for de grau ímpar, ela admitirá 
pelo menos uma raiz real. 
Raízes racionais 
Dada uma equação algébrica de coeficientes 
inteiros 
com e , se existirem raízes racionais, elas serão da forma 
, com p e q primos entre si, em que p é um divisor de e q é divisor de . 
Por exemplo, na equação temos: 
 
 Observações: 
 Nem todo número obtido é raiz da equação. Após a listagem dos candidatos a 
raízes racionais temos de fazer a verificação. 
 Essa pesquisa de raízes racionais só pode ser feita em equações de 
coeficientes inteiros. 
 Se = 1, os candidatos a raízes são os divisores de . 
 Se a soma dos coeficientes da equação for igual a zero, o número 1 será raiz 
da equação. 
Exemplo 1 
Resolva a equação . 
Resolução 
Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes 
racionais são os divisores do termo independente: 
 {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} 
Vamos fazer a verificação de alguns desses valores: 
P(-6) = 840 (- 6 não é 
raiz ) 
P(6) = 
1260 (6 não é raiz 
) 
P(1) = 0 → 1 é raiz 
P(-1) = 0 → -1 é 
raiz 
Como temos uma equação do 4º grau e conhecemos duas de suas raízes, 
aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini obtemos uma equação do 2º grau: 
 
Portanto, a equação pode ser escrita como (x - 1)(x + 
1).Q(x) = 0, com Q(x) = x² + x – 6. As soluções da equação são -1, 1 e as 
raízes de Q(x): 
 
Por conseguinte, o conjunto solução da equação é: 
S = {-3, -1, 1, 
2} 
Exemplo 2 
Resolva a equação : 
Resolução 
Colocando x em evidência, temos: 
 
Desse modo, uma raiz é 0 e as outras são soluções da 
equação . 
Note que em todos os coeficientes são inteiros. 
Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes 
racionais são os divisores do termo independente: 
{-3, -1, 1, 3} 
Fazendo a verificação: 
P(-3) = 0 → -3 é raiz P(3) = 120 
P(-1) = -8 
P(1) = 0 → 1 é 
raiz 
 Podemos escrever a equação da seguinte 
forma: 
 
Já sabemos que o quociente 
de por x é . Agora vamos 
dividir por (x + 3) e esse quociente por (x – 1) para 
obtermos Q(x): 
 
Q(x) = x² + 1 
 
Portanto, o conjunto solução da equação é: 
S = {-3, 0, 1, -i, 
i} 
enunciado do Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do 
Valor Intermédio ou ainda como Teorema de Bolzano-Cauchy é o seguinte: 
Se ff for uma função contínua num determinado intervalo [a,b][a,b], então para 
qualquer valor dd compreendido entre f(a)f(a) e f(b)f(b), existe pelo menos 
um valor cc compreendido entre aa e bb tal que f(c)=df(c)=d. Mas afinal, qual 
é o significado disto? Vou tentar explicar o que aqui foi dito recorrendo a um 
pequeno exemplo: 
 
Antes de avançar com uma explicação mais detalhada, quero salientar um 
aspeto muito importante, que muitas vez é esquecido pelos alunos, o Teorema 
de Bolzano só pode ser aplicado em funções contínuas num intervalo. Se a 
função não for contínua, o teorema não tem qualquer utilidade! Posto isto, ao 
observar a imagem anterior, verificamos que a função é contínua no 
intervalo [a,b][a,b], logo podemos afirmar que existe um objeto que se situa 
entre aa e bb, vamos dar-lhe o nome de cc, cuja imagem dd está situada 
entre f(a)f(a) e f(b)f(b). Na imagem podemos ver claramente 
que f(c)=df(c)=d. Atenção que o teorema não diz que cc é o único objeto cuja 
imagem é dd, apenas podemos afirmar que existe pelo menos um objeto, mas 
este pode não ser o único. 
E quanto ao corolário do Teorema de Bolzano? 
Este corolário é especialmente importante porque permite afirmar o seguinte: 
Se f(a)×f(b)<0f(a)×f(b)<0, então ∃c∈]a,b[:f(c)=0∃c∈]a,b[:f(c)=0, em 
linguagem corrente isto significa que se f(a)f(a) e f(b)f(b) tiverem sinais 
contrários, então a função possui pelo menos um zero no intervalo ]a,b[]a,b[. 
Reparem como isto é útil, se estiver na presença de um polinómio de quarto ou 
quinto grau, apesar de não conseguir encontrar as suas raízes recorrendo a 
métodos algébricos, posso provar que elas existem num determinado intervalo, 
desde que se verifiquem as condições do corolário do Teorema de Bolzano. Na 
imagem seguinte, consigo verificar que f(a)f(a) e f(b)f(b) têm sinais contrários, 
logo de certeza que esta função possui pelo menos um zero naquele intervalo. 
Quero salientar que, usando o corolário do teorema, não consigo calcular o 
zero nem provar que ele é único, apenas posso afirmar que ele existe. Se 
desejar, pode experimentar resolver alguns exercícios práticos onde se aplicam 
estas e outras noções. 
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Bibliografia sugerida 
a) DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. 4ª edição. 
Editora Ática, 2011. 
b) DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática.Vol. Único, 1ª, 2ª e 3ª Parte. 4ª 
edição. São Paulo: Ática, 2015 (Coleção Projeto VOAZ). 
c) GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto e GIOVANNI JR, José Ruy. 
Matemática Fundamental:Uma Nova Abordagem. Volume único. São Paulo: FTD, 2013. 
d) IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, Roberto & ALMEIDA, 
Nilze de. Matemática – Ciências e Aplicações. Volumes 1, 2 e 3. 8ª edição. São Paulo: 
Atual, 2014. 
e) IEZZI, Gelson, ET AL. Fundamentos de MatemáticaElementar. Volumes de 1 a 7 e de 
9 a 11, Atual Editora, São Paulo, 2006. b. 
 
Fonte: 
https://www.todamateria.com.br/ 
https://brasilescola.uol.com.br/ 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/ 
https://www.todamateria.com.br/
https://brasilescola.uol.com.br/
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/
	Diagrama de Euler-Venn
	Representações do diagrama de Venn
	• Conjunto único
	• Entre dois conjuntos
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	• Entre três conjuntos
	Exemplo
	Relação de Pertinência
	Relação de Inclusão
	Conjunto Vazio
	União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
	Igualdade dos Conjuntos
	Conjuntos Numéricos
	União de Conjuntos
	Intersecção de Conjuntos
	Diferença de Conjuntos
	Conjunto Complementar
	Propriedades da União e da Intersecção
	Propriedade comutativa
	Propriedade associativa
	Propriedade distributiva
	Se A está contido em B ():
	
	Leis de Morgan
	Exercícios de Vestibular com Gabarito
	Conjunto vazio
	Conjunto universo
	Conjunto unitário
	Conjunto finito
	Conjunto dos números infinitos
	Representação dos conjuntos
	Divisibilidade por 2
	Divisibilidade por 3
	Divisibilidade por 4
	Divisibilidade por 5
	Divisibilidade por 6
	Divisibilidade por 7
	Divisibilidade por 8
	Divisibilidade por 9
	Divisibilidade por 10
	A divisibilidade por 11
	Divisibilidade por
	Divisibilidade por (1)
	Números primos
	Decomposição em fatores primos (fatoração)
	Máximo Divisor Comum (MDC)
	Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
	Operações com números racionais
	Adição e Subtração
	Multiplicação e divisão
	Potenciação e radiciação
	TERVALOS REAIS
	CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
	CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
	CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
	OBSERVAÇÃO
	CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR)
	INTERVALOS
	OPERAÇÕES COM INTERVALOS
	Como calcular porcentagens?
	Números complexos
	Os números complexos constituem a expansão do conjunto dos números reais e foram criados para resolver equações com raiz quadrada de um número negativo.
	Plano de Argand-Gauss
	2.16 EQUAÇÕES BINÔMIAS E TRINÔMIAS
	Conceito de função injetora
	Definição formal
	Exemplo
	Função sobrejetora
	Função injetora
	Função bijetora
	Função constante
	Uma função constante é caracterizada por apresentar uma lei de formação f(x) = c, na qual c é um número real.
	Função crescente e decrescente
	A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é aumentado. A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.
	Gráfico das funções inversas
	Funções crescentes ou decrescentes têm inversas
	Função Linear
	MATEMÁTICA
	Função identidade
	Função constante
	Função linear
	Translação da função identidade
	Características das Funções Afim
	Função quadrática ou função do 2º grau
	Definição
	Gráfico
	 Exemplo
	 Solução
	 Gráfico da Função Linear
	 Função Crescente e Decrescente
	Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1 Grau
	Determinando a Raiz de uma Função Polinomial do 1 Grau
	Função Crescente e Decrescente
	Função Crescente
	Função Decrescente
	Coeficiente Angular de uma Função Polinomial do 1 Grau
	Estudo do Sinal de uma Função Afim
	Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim
	Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)
	Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)
	Máximos e Mínimos de uma função: teste da primeira derivada
	Inequação Produto e Inequação Quociente
	Função modular
	Função modular
	Inequação modular
	Resolução de inequações modulares
	Exemplos:
	Gráfico da função exponencial
	Função Crescente ou Decrescente
	Função Logarítmica
	Trigonometria
	Funções Trigonométricas
	Teoria Euclidiana
	Lei dos Senos
	Lei dos Cossenos
	Lei das Tangentes
	Teorema de Pitágoras
	História da Trigonometria
	Curiosidade
	Exercícios de Vestibular sobre Trigonometria
	Medida de um arco
	MATEMÁTICA
	Círculo Trigonométrico – Trigonometria
	É aquele no qual seu centro também é centro de eixos coordenados e cujo raio é unitário (R = 1).
	Funções Trigonométricas
	Funções Periódicas
	Função Seno
	Função Cosseno
	Função Tangente
	Exercícios de Vestibular com Gabarito
	Fundamentais
	Originadas
	O que são?
	Como resolver?
	Transformações trigonométricas: fórmulas de adição
	As transformações trigonométricas são métodos que podem ser usados para realizar operações entre razões trigonométricas, como as fórmulas de adição.
	Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois arcos
	Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois arcos
	Fórmulas da tangente da adição e da subtração de dois arcos
	Fórmulas de arco duplo
	As fórmulas de arco duplo são usadas para calcular seno, cosseno e tangente de um arco multiplicado por 2 ou para realizar operações com esse tipo de razão trigonométrica.
	Seno
	Cosseno
	Tangente
	Funções trigonométricas do arco metade
	MATEMÁTICA
	Análise Combinatória
	Princípio Fundamental da Contagem
	Tipos de Combinatória
	Arranjos
	Permutações
	Combinações
	Probabilidade e Análise Combinatória
	Fatorial
	Princípio aditivo da contagem
	MATEMÁTICA
	Análise combinatória
	Princípio fundamental da contagem
	Fatorial
	Permutação simples
	Permutação com repetição
	Arranjo simples
	Combinação simples
	FATORIAL
	PERMUTAÇÕES
	PERMUTAÇÕES SIMPLES
	ARRANJOS
	ARRANJOS SIMPLES
	ARRANJOS COM REPETIÇÃO
	COMBINAÇÕES
	COMBINAÇÕES SIMPLES
	Binômio de Newton
	Número Binomial
	Binomiais complementares
	Relação de Stiffel
	Triângulo de Pascal
	Teorema das Linhas
	Teorema das Colunas
	Teorema das transversais
	Binômio de Newton
	Fórmula do Termo Geral
	PROBABILIDADE: DEFINIÇÕES BÁSICAS
	Experimento Aleatório
	O experimento aleatório está relacionado aos estudos da probabilidade, ele produz possíveis resultados que são chamados de espaço amostral.
	Casos Equiprováveis
	Probabilidade da União de dois Eventos
	MATEMÁTICA
	Probabilidade condicional
	MATEMÁTICA
	Propriedades da Probabilidade
	MATEMÁTICA
	Probabilidade de dois eventos sucessivos ou simultâneos
	Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações
	Adição de Matrizes
	Subtração ou diferença de matrizes
	Multiplicação ou Produto de Matrizes
	Inversão de matrizes quadradas
	Transposta de uma matriz
	Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes)
	Propriedades de matriz
	Matriz Inversa
	Mas o que é Matriz Identidade?
	Propriedades da Matriz Inversa
	Exemplos de Matriz Inversa
	Matriz Inversa 2x2
	Matriz Inversa 3x3
	Passo a Passo: Como Calcular a Matriz Inversa?
	Exercícios de Vestibular com Gabarito
	Propriedades dos determinantes
	Sistemas e Equações Lineares
	Índice do Artigo
	Classificação das Sequências Numéricas
	Igualdade de Sequências Numéricas
	Fórmula do Termo Geral
	Lei de Recorrência
	Progressões Aritméticas e Geométricas
	Soma dos termos de uma PA
	A soma dos termos de uma PA é dada pela multiplicação da metade do seu número de termos pela soma do primeiro com o último termo.
	Soma dos termos de uma PG infinita
	A soma dos termos de uma PG infinita pode ser calculada por meio de uma fórmula matemática na qual dividimos o valor do primeiro termo por um menos a razão da PG (1 – q).
	Exercícios resolvidos
	Outras fórmulas e conhecimentos
	Progressão
	No Ensino Médio, são estudados dois tipos de progressão: aritmética (PA) e a geométrica (PG).
	Posições relativas
	Posição relativa entre planos
	A posição relativa entre planos é o estudo de como esses objetos interagem no espaço tridimensional: com ou sem pontos na intersecção.
	Posições relativas entre reta e plano
	As posições relativas entre reta e plano referem-se ao modo como essas figuras podem relacionar-se no espaço. A reta é secante, contida ou paralela ao plano.
	Perpendicularismo entre reta e plano
	Projeções ortogonais
	Prismas – Geometria Espacial
	Prisma - Figura Geométrica
	Composição do Prisma
	Classificação dos Prismas
	Bases do Prisma
	Fórmulas do Prisma
	Áreas do Prisma
	Volume do Prisma
	Exercícios Resolvidos
	Elementos de uma Pirâmide
	Cálculo do Volume da Pirâmide
	Tronco de Pirâmide
	Área da Pirâmide
	Área Total da Pirâmide
	Tipos de Pirâmide
	Cilindro
	Componentes do Cilindro
	Classificação dos Cilindros
	Fórmulas do Cilindro
	Áreas do Cilindro