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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-1 AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS ((22001111)) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-2 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-3 EEXXEEMMPPLLOOSS PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS CCAAPP 22 Mecânica dos Fluidos PUCRS C-4 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. [ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-5 Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. kNN s m kgxw mgw 093,8ou 25,809381,9825 2 == = [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. Massa específica 33 90067,899 917,0 825 m kg m kg V m ≅===ρ Peso específico 323 8,882581,967,899 m N s m x m kg g === ργ Também poderia ser determinada como 33 8,8825 917,0 25,8093 m N m N V w ===γ densidade )4()4( 22 caOH fluido caOH fluido d oo γ γ ρ ρ == 90,089967,0 1000 67,899 )4(2 ≅=== caOH fluido d o ρ ρ [3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. Peso específico 3 34,7833 6 100047 m Nx V W ===γ Massa específica 3 51,798 81,9 34,7833 m kg g === γ ρ mm xs s mkg mm Ns s m m N g 3 2 2 3 2 2 3 . . ==== γ ρ Densidade 80,0 1000 51,798 0 2 40 === CaH óleod ρ ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-6 [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 3 23,5 294287 10003,441 m kg x x RT P ===ρ As unidades são: ( ) 32 2 .. .. m kg xKmmN KkgN Kx kgK Nm m N RT P == ==ρ O peso de ar contido no tanque é igual a NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= −ρ Conferindo as unidades: ( ) N s mkg m s m m kg gW == =∀= 2 3 23 . ρ [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. s m x kg ms s kgm x kg msN x m kg m Ns x 2 6 2 66 3 2 3 1088,5 .. 1088,5 .. 1088,5 850 105 −−− − = ==== ρ µ ν [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . SoluçãoEm termos de coluna de água: águade 95.50 81.91000 10500 3 m g p h = × × == ρ Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −13 6 103 3. kg m . mercúriode 75.3 81.9106.13 10500 3 3 mh = ×× × = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-7 [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: ghpp ρ+= 0 Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos kPa m kg xghpatm 43,79 m N 79430,79x0,598m s m x9,81100054,13 223 ==== ρ Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a pressão absoluta como. kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= [9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. atmabs pPp man += em kgf/cm2 2abs 321 cm kgf p =+= Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. • Pressão em Pascal. kPaxx m kgf N x cm kgf p 3,29410081,90,3 100 1 81,90,3 2 2 2 2abs === • Coluna de água águade colunade 30 81.91000 103,294 3 02 m g p h H = × × == ρ • Coluna de mercúrio considerando d=13,6. mercúriocolunade 2,2 81,910006,13 103,294 3 m xg p h Hg = × × == ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-8 [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. O número de Reynolds é definido como µ ρ ν VDVD == ou Re a massa específica do fluido é determina em função da densidade 330 910100091,0 2 m kg m kg xd H === ρρ 156 38,0 910025,06,2 Re ≅== xxVD µ ρ Conferindo as unidades ( ) aladimension-1 ... Re 22 3 2 3 2 3 = ==== s m mkg s m kg m s m sN m x m kg xmx s m m Ns m kg xmx s m VD µ ρ • O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s 2 ≅ 11,77 kN b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ c) γ = ρ g 3 23 /37,1281,91261 mkN s m x m kg ≅=γ d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1 1000 1261 3 3 == m kg m kg d Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-9 [14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx Kxkg J xc 273552874,1 +− = c ≅ 296 m/s b) M = V / c s m s m s m s h x km m x h km M 296 236 296 3600 1 1 1000 850 ≅= M ≅ 0,8 [admensional] M > 0,3 � Fluido Compressível c) M ≅ 0,8 M < 1 � Subsônico [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. ).( PerfeitoGásEq TxR p =ρ absAR manatmabs TxR pp TxR p + ==ρ ( ) ( ) 3 2 2 2 5,08 323 . 287 . 471330 27350287 370000101330 m kg Kx Kxkg s mkg sm kg Kx Kxkg J PaPa =⇒= + + = ρρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-10 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a densidade deste líquido. 2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42,10C. ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: ST CT + = 2/3 µ As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por: = T B D expµ Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: D T B ln 1 ln +=µ Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq. original. 6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume do tanque. (V=1,52m3) 8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6) 9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. 11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativade pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-11 13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. (h=760mmHg) 15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: Pmam=21,1kPa) 20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N). Mecânica dos Fluidos PUCRS C-12 EEXXEEMMPPLLOOSS LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE ((CCAAPP 22)) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-13 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. • Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? • Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? • Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. (1) (2) (3) dy du µτ = y x y V=2,5m/s h=100mm 0 U=0,3m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-14 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: = b y b U dy du 2 cos 2 max pipi Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-15 Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido énula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) τ=0. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-16 Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2byaV += achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos ( ) 2 22 2505,2 250 1,0 5,20 yV y aV b −= −= − = − = O gradiente de velocidade é dada por: y dy du 500−= Tensão de cisalhamento em y=0 : 0x500x08,0x10 3- === dy du µτ Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 2 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10 m N dy du −=== µτ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 21 FFF += 2 2 5 3 N.s/m06473,010615,7850 === − s m x m kg ρνµ 1 1 y u A dy du AAF µµτ ≡== 2 2 y u AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. N m s m x m sN xmx y u AF 62,0 0125,0 15,0 . 06473,04,022 2 2 == = µ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-17 Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 s 105,6 1000 )65,0( 4 Pax cP sPa cP −==µ 1 cP = Pa s /1000 )/(105,6 1000 )/( )65,0( 4 mskgx cP mskg cP −==µ (b) A viscosidade dinâmica s m x m kg x ms kg x 2 3 3 4 1039,7 100088,0 105,6 − − === ρ µ ν O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: bmyyu +=)( Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: y d U yu =)( O gradiente é dado por: ctes x d U dy du ==== −11000 3,0 10003,0 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Pa m N sms kg x d U dy du y yx 65,065,0 1 1000105,6 2 4 0 == == = − = µµτ • A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no sentido positivo dos x Mecânica dos Fluidos PUCRS C-18 Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal τ µ= du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, y h V h yV dy du 22 3 20 2 3 −= −= a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, Paou m N m x s m xx m Ns h V h h V hy 691 691 005,0 1 6,0392,1 3 )( 3 222 = ==−−= −= µµτ esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-19 Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y dy ydU = A tensão de cisalhamento é dada por: y u ∂ ∂ = µτ 2 3 0016,0)2,0(4102 )( m N xxx dy ydU === − µτ Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). y u DL dy du AAF µpiµτ === ( ) s cm s m xxx xx DL Fy u 87,20287,0 5,832,02,0 00005,098,9100 ==== piµpi Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: = b y b U dy du 2 cos 2 max pipi Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Pa sxPax xx x x x x b U dy du dy du mmy mmy 0257,0 068,1428.108,1 707106,01000 0,72 0,9 0,72 5,3 cos 2 5 max 5,3 5,3 = = = == = − = = pi µ pipi µµτ µτ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-20 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchidocom óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s [4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =& onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30 = sm kg . 29,0µ R: 72,5 W. [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: −= 2 max 2 1)( h y uyu onde umax representa a velocidade máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-21 [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2) −= 2 1 2 3 )( h yV yu [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. R: (a) 0,01 Pa.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW Mecânica dos Fluidos PUCRS C-22 EEXXEEMMPPLLOOSS MMAANNOOMMEETTRRIIAA (( CCAAPP 33 )) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-23 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a densidade do fluido igual a 8,5. B de acimalíquidode colunada Pressão = P(B) ) (/5,12 ) (/12508 5,181,910006,8 2 2 2 2 kPaoumkN PaoumN xxx hgd ghp águamercurio B = = = = = ρ ρ Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Determinar: a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. p gh ghA = −ρ ρman 2 1 a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-24 [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. pC = pD pC = pA + ρg hA pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m 2 ou Pa ( 0,55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. • Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. • Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. Desta forma utilizando pressões relativas: ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+ ( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ Resolvendo: ( ) ( ) 626mm0,626my 133416y83562,6 y 1334169810196206,2413230000 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000 == = =+++ =+−+−+ yxxxxxxx Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. VillarAlé C-25 [ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: A pressão absoluta no ponto A; PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 5 m ≅ 49 kPa PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 5 m = 33,354 kPa ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m 3 = 680 kg/m 3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa Mecânica dos Fluidos PUCRS C-26 [ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: a) a massa específica do azeite de oliva; b) a densidade do azeite de oliva. Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg olivaaz HgHgOHOHóleoóleoATMF olivaaz hg hghghgPP . . . ...... 22 ρρρ ρ −−−− = ( ) ( ) ( )[ ]{ } m s m Pa oa 9,2.81,9 4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300 2 . ++−− =ρ 3 2 2 . /1370 9,2.81,9 . 38982 mkg m s m sm kg olivaaz ≅≅ρ 3 34 4 /890000189,0 mkg m kg xxdd Càáguaóleoóleo Càágua óleo óleo ===⇒= ° ° ρρ ρ ρ b) 37,1 /1000 /1370 .3 3 4 . . =⇒== ° olivaaz Càágua olivaaz olivaaz d mkg mkg d ρ ρ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-27 [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. kPaPP PghghghP BA BtetraHgóleoA 28,37 321 −=− =−++ ρρρ Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. ( ) kPa x PP Pgg x gx x gP BA BaaaaA 52 1000 81,9)7503696,13360( 1000 750 1000 360 6,13 1000 360 1000 ≈ +− =− =− − − − + ρρρρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-28 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio 13,6. [ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina- água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa específica da água: 1000 kg/m3; Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. R: 22cm Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-29 [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-30 [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: 8,0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-31 EEXXEEMMPPLLOOSS CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS ((CCaapp.. 44 )) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-32 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) [ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 2. Regime permanente ou não permanente ? 3. Determinar o ponto de estagnação 4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r [ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r [ 7 ] Considere um escoamento em regimepermanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( ) += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. [ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-33 Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7. Regime permanente ou não permanente ? 8. Determinar o ponto de estagnação 9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu Desta forma jviuyxV ˆˆ),( += r Resposta: Escoamento bidimensional (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( += r Tomando a derivada parcial no tempo: 0 ),( = ∂ ∂ t yxV r Resposta: Regime permanente (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 625,0 8,0 5,0 08,05,0 −= − = =+= x xu 875,1 8,0 5,1 08,05,1 == =−= y yv Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m ( ) jiV jiV jxixV ˆ)9,0(ˆ)1,2( ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0( ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0 −+= −++= −++= r r r Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+= r (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-34 Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r Solução: Será fluido incompressível se: 0=•∇ V r ou 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Será fluido compressível 0≠•∇ V r ou 0≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u 0 2 4 4 32 = −= = w xyv yxu Derivando 0 8 8 3 3 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w xy y v xy x u e somando obtemos 088 33 =−= ∂ ∂ + ∂ ∂ xyxy y v x u Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 8,0 8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w y v x u 008,08,0 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (c) Determine a aceleração local da partícula. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-35 Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) (1) Determinar o vetor da aceleração total. z V w y V v x V u t V Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == rrrrr r observamos que é regime permanente: 0= ∂ ∂ t V r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 ˆ8,0 ˆ8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z V j y V i x V r r r ( ) 0 ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1( ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0 = ∂ ∂ +−=−−= ∂ ∂ +=+= ∂ ∂ z V w jyjy y V v ixix x V u r r r jyix Dt VD ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) ji Dt VD ji Dt VD jxix Dt VD ˆ)72,0(ˆ)68,1( ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0( ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0( += +−++= +−++= r r r Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( += r (3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+== r Resposta: 2/83,1)0,3,2( smap = Mecânica dos Fluidos PUCRS C-36 Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r Rotacional 0 2 1 ≠∇= Vx r r ω Irrotacional k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v ( ) ( )kw jxv yxu ˆ10 ˆ)3( 12 4 3 = = = ( ) ( ) ( ) 01212 2 1 2 1 000 2 1 2 1 00 2 1 33 =−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = =−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = −= xx y u x v x w z u z z y y x ω ω ω ω ω Resposta: Irrotacional Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r ( ) ( )2 2 12 )44( 6 zw zxv yxu = −−= = ( ) 240 2 1 2 1 −=−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = x x z v y w ω ω ( ) 000 2 1 2 1 =−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = y y x w z u ω ω ( ) ( )22 3264 2 1 2 1 xx y u x v z z +−=−−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω ω Resposta: Rotacional 0=xω 0=yω 0=zω 0=ω r 0≠xω 0=yω 0≠zω 0≠ω r Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-37 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( ) += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. a) Unidimensional ( ) i L x uutzyxV ˆ 2 1,,, 0 +== → t V z V w y V v x V u Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == →→→→→ → ... Como 0 t V = ∂ ∂ → , então, o escoamento é em Regime Permanente; + = += ∂ ∂ == →→ → L x L u L u L x u x V u Dt VD ap 2 1. .2.2 . 2 1. 2 00 0 (aceleração da partícula do fluido) b) ( ) ( ) + = + == → → mm sm L x L u Dt VD ap 3,0 0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2/60 smap = → (aceleração na entrada do bocal) ( ) ( ) + = + == → → m m m sm L x L u Dt VD ap 3,0 3,0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2 p s/m180a = → (aceleração na saída do bocal) c) ( ) s m m m s m L x uuV 9 3,0 3,0.2 1.3 2 10 = += +== → (velocidade na saída do bocal)c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. ( ) i L x uutzyxV ˆ 2 1,,, 0 +== → ( ) + = ∂ ∂ =⇒= → → → → L x L u x V ua Dt VD tzyxa pp 2 1. .2 .,,, 2 0 0= ∂ ∂ → t V Mecânica dos Fluidos PUCRS C-38 Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (b) Determine a aceleração local da partícula. (c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) smV kjiV kjiV kzxjxyzizyV /3,28 ˆ24ˆ12ˆ9 ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3 ˆ3ˆ2ˆ 3222 3222 = ++= ++= ++= r r r (2) Aceleração local da partícula. (b) z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr Resposta : Aceleração local da partícula: 0= ∂ ∂ t V r (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível z w y v x u V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ r 0320 32 ≠++=∇ xxzV r Por tanto se trata de fluido compressível. (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 0)22( 2 1 2 1 )92( 2 1 2 1 )40( 2 1 2 1 22 22 =−= ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−= ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−= ∂ ∂ − ∂ ∂ yzzyz y u x v zxzy x w z u xyz z v y w Resposta: Escoamento rotacional Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-39 Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kwjvV ˆˆ += r (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV = r Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( += r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr )()( ConvectivapLocalpp aaa rrr += Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0= ∂ ∂ t V r z V w y V v x V u Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrr 0= ∂ ∂ x V u r (escoamento bidimensional com u=0) kyzzyjyzy y V v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−= ∂ ∂ r kyzy z V w ˆ)3)(3( 22= ∂ ∂ r ( ) ( ) kzykyzzyjzyy Dt VD ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+= r ( ) ( )kyzzyjzyy Dt VD ˆ243ˆ123 2425 +++= r Mecânica dos Fluidos PUCRS C-40 ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ z w y v x u V r 0= ∂ ∂ x u 23y y v −= ∂ ∂ 23y z w = ∂ ∂ Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 033 22 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ yy z w y v V r (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( += r P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v i z v y w ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v yz y w 6= ∂ ∂ 4−= ∂ ∂ z v Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ω v ixz ˆ)46( 2 1 −=ω v Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-41 Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-42 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: k j i xzytxttzyxV ˆˆ 2 ˆ 32),,,( +−= r . Determinar: (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji tyxztV ˆ2ˆˆ3 ++= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji zxxyzzyV ˆ 3 ˆ 2 ˆ 22 32 ++= r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k z j i etaytaxV ˆ2ˆ23ˆ 2 2 +−= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k y zx j y zx i y zx V ˆ 3ˆ2ˆ 2 223 2 3 −−= r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. [6] Dado o campo de velocidades k ji zzxyxV ˆ2ˆˆ 2 12)44(6 +−−= r Determine o campo de velocidades angular ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= (d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv −= Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-43 EEXXEEMMPPLLOOSS CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA (( CCaapp.. 55 )) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-44 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidadeentrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-45 Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes, porem dependentes do tempo. (2) Escoamento uniforme na seção (1). Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. ( ) 0=∫+∫ ∀ sc AdVvcdt rr ρρ ∂ ∂ • Como ∀=∀∫ vc d 0=∫+∀ sc AdV t rr ρρ ∂ ∂ • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). ∫=∫ 1Asc AdVAdV rrrr ρρ • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). • Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 111 1 AVAdV A ρρ =∫ rr ( ) 0111 =+∀ ∂ ∂ AV t ρρ • Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: ( ) 111 AV t ρρ −= ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ −= ∂ ∂ 111 AV t ρ ρ ( ) ( ) ( ) s m kg m m x x s m x m kg t /48,2 05,0 10001000 65 1000 311 13,6 33 2 3 −= −= ∂ ∂ ρ • Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). Mecânica dos Fluidos PUCRS C-46 Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. Solução: A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. ∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr & ρρρ 222111 A u R uR um RRR R RR R rr rdr R r rdr R r um drr R r um pirdrdA R R R R 224 2 442 1 42 1 42 1 :integral a Resolvendo 12 )2(1 2 : tubodo seçãoda áreade elemento o doConsideran max2max 2 max 222242 0 242 0 2 0 2 max 0 2 max ρpiρpiρ piρ piρ == = = −= −= −= − −= −= = ∫ ∫ ∫ & & & Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 2 maxuu = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-47 Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 Fluxo de massa em (3): s kg m 603 =& (+) Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s Velocidade em (1) s m iV ˆ0,31 = r Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 0 4331 =+++= ∫∫∫∫∫ AAAAsc AdVAdVAdVAdVAdV rrrrrrrrrr ρρρρρ Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 1 1 1111 1 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 222 2 22 2 mAVAVAdV AA & rr =±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção ∫∫ === 3 33333 3 AA mAVAVAdV & rr ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 4 4 4444 4 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 04321 =+++=∫ mmmmAdV sc &&&& rr ρ skgmx s m x m kg AVm /6002,00,31000 2 3111 −==−= ρ& (-) entrando no v.c. skgm /603 =& (+) saindo do v.c. skg s m x m kg QAVm /3003,01000 3 34444 −===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& s kg m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. Para determinar a velocidade em (2): 222 AVm ρ=& sm xA m V /6,0 05,01000 30 2 2 2 === ρ & na forma vetorial: s m jV ˆ6,02 −= r (aponta em sentido negativo do eixo y) Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-48 Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. resres A VAVA A QQ t dh mmd t 221121 21 0 + = + = ∂ =−−∀ ∂ ∂ &&ρ ( ) ( ) sm xx A VDVD t dh res /0172,0 18,0 6,0075,09,0025,0 44 22 2 2 21 2 1 = + = + = ∂ pipi 021 =−− mm dt dh Ares &&ρ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-49 QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO (( CCaapp..55 )) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-50 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. [2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-51 [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jatocomo sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-52 Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVt FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF = A quantidade de movimento na direção - x: Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-53 { } 11 11 1 AVuAdVuAdVu AdVuAdVV AA Axsc ρρρ ρρ −=−= = ∫∫ ∫∫ rrrr rrrrr O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. Nmx s m x m kg x s m AVu 225001,015100015 2 311 −=−=− ρ NAdVuR A x 2250 1 −== ∫ rr ρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. Na forma vetorial NiFs ˆ2250−= r Método simplificado No método simplificado : ( )12 uuQFx −= ρ ( )12 uumFx −= & A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. skgmx s m x m kg Aum /15001,0151000 2 311 === ρ& (+) saindo do v.c. A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) N s m x s kg umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x. Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-54 Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVt FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −= A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−= ∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Igualando os termos: Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-55 111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) smiV /ˆ1,6= r e desta forma u1=6,1m/s. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 Nmx s m x m kg x s m AVuRx 98,1800051,01,610001,6 2 3111 === ρ Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) ∫= 2 222 A sy AdVvF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF = Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6= r e desta forma: v2=6,1m/s. { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) Nmx s m x m kg x s m AVv 98,18000511,01,610001,6 2 3222 ==ρ NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: s kg mx s m x m kg Aum 11,300051,01,61000 2 311 === ρ& ( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= & ( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === & Mecânica dos Fluidos PUCRS C-56 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVt FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa xrsx RApF −= 11 A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 111 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−= ∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Nmx s m x m kg x s m AVu 1600113,00,410000,4 2 3111 ==ρ 11111 AVuApR rx ρ+= ( ) ( ) NNxR AVuApR x rx 15161600113,01000120 11111 =+= += ρ s kg mx s m x m kg AVm 28,4500283,0161000 2 322 === ρ& Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) ∫=+ 2 222 A Bysy AdVvFF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: =+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) (+) Nmx s m x m kg x s m AVv 72400283,016100016 2 3222 −=−=ρ NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-57 Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. No método simplificado: Equações utilizadas: ( )12 uumFx −=∑ & ( )12 vvmFy −=∑ & O fluxo de massa pode ser determinado como: s kg s m x
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