Construções Fundamentais

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Cap´ıtulo 1
CONSTRUC¸O˜ES
FUNDAMENTAIS
Sa˜o construc¸o˜es simples que sera˜o necessa´rias em desenhos mais complexos e
elaborados. Sa˜o exemplos de construc¸o˜es fundamentais: ponto me´dio, mediatriz,
bissetriz de um aˆngulo, trac¸ar paralela ou perpendicular, dividir um segmento em
partes iguais, desenhar aˆngulos de 30◦, construir um pol´ıgono regular, etc.
• PONTO ME´DIO.
1. Problema: Dado um segmento (ou dois pontos distintos) encontrar
o ponto me´dio dele (ou um ponto alinhado com os dois e a igual
distaˆncia deles).
2. Construc¸a˜o: Se sa˜o dados 2 pontos, ligue-os formando um segmento.
Com a ponta seca do compasso em um dos extremos e abertura
maior que a metade (por que?) dele, trace um c´ırculo. Repita o pro-
cedimento para o outro ve´rtice, mantendo a abertura do compasso.
Os dois c´ırculos cortam-se em dois pontos. Ligando esses pontos com
o uso da re´gua e la´pis obtemos o ponto me´dio procurado.
3. Justificativa: Repare que os extremos do segmento e os dois pontos de
intersec¸a˜o dos c´ırculos formam um losango, cujas diagonais cortam-se
ao meio ...
4. Figura: O desenho a seguir (Figura 1.1) foi executado no GEOGEBRA.
O raio do c´ırculo foi o tamanho do segmento dado, para poder ser
reobtido.
• MEDIATRIZES
1
Figura 1.1:
A mesma construc¸a˜o acima. A u´nica diferenc¸a e´ que procuramos o seg-
mento (ou a reta) que passa pelo ponto me´dio.
• PERPENDICULARES
1. Problema: Levantar uma perpendicular a um segmento ou uma reta,
passando por um ponto P dado ou por um ponto qualquer. O ponto
pode estar em qualquer lugar.
2. Construc¸a˜o 1-Ponto na reta: Se P na˜o for um ponto extremo, com
o compasso e abertura apropriada determine dois pontos A e B que
tem P como ponto me´dio. Novamente com o compasso e abertura
apropriada, ponta seca em A e depois B, determine os dois pontos
(C e D) de intersec¸a˜o dos c´ırculos. Os quatro pontos sa˜o ve´rtice de
um losango e o problema esta´ resolvido, bastando trac¸ar a reta CD.
Se P for um extremo do segmento e for via´vel estender o segmento,
fac¸a isso e enta˜o reca´ımos na soluc¸a˜o ja´ dada .
Se for invia´vel estender o segmento (na˜o ha´ papel ou e´ proibido esten-
der) fac¸a o que segue: Escolha um ponto Q auxiliar fora do segmento
e a` distaˆncia razoa´vel de P (5 cm!). Com o compasso trace o c´ırculo
com centro Q e raio QP ou a parte dele que for poss´ıvel. Esse c´ırculo
corta o segmento ou seu prolongamento (*) num ponto R. Trace o
diaˆmetro por R. Se S e´ o extremo desse diaˆmetro enta˜o a reta por P
e S e´ a perpendicular procurada. Observac¸a˜o (*) Se na˜o for poss´ıvel
prolongar escolha outro ponto Q para que o c´ırculo corte o segmento.
3. Justificativa: No primeiro caso obtemos um losango e esta´ justificado.
No segundo caso, veja que o ponto P e´ ve´rtice de um aˆngulo inscrito
num semi-c´ırculo, logo mede 90◦.
4. Figura (Figura 1.2) Desenho das situac¸o˜es:
Figura 1.2:
5. Construc¸a˜o 2-Ponto P fora da reta: Com o compasso vamos obter
dois pontos no segmento (ou prolongamento dele). Com a mesma
abertura e ponta seca em cada um destes pontos completamos o
losango.
6. Justificativa: Ja´ feita.
7. Figura: Ver abaixo (Figura 1.3):
Figura 1.3:
• TRANSPORTE DE AˆNGULOS
1. Problema: Desenhar um aˆngulo igual a um aˆngulo dado, em outro
local.
2. Construc¸a˜o: Marque o novo ve´rtice e trace um dos lados do aˆngulo.
Com o compasso trace arcos cortando os dois lados do aˆngulo dado e
o primeiro lado do aˆngulo que ja´ temos. Com o compasso “copie” o
arco compreendido entre os lados do aˆngulo. Transporte essa medida
para o novo.(Figura 1.4) aˆngulo. Trace o segundo lado.
3. Justificativa: Os dois aˆngulos ( original e copia) sa˜o aˆngulos centrais
e “enxergam” arcos iguais, logo sa˜o iguais.
4. Figura: Figura 1.4
Figura 1.4:
• PARALELAS
1. Problema: Desenhar uma reta paralela a` uma reta r dada, passando
por um ponto P dado.
2. Construc¸a˜o 1 Marque Q na reta r. Desenhe PQ. Com o compasso
marque R e S ve´rtice de um losango de lado PQ. A justificativa e´
o´bvia.
3. Construc¸a˜o 2 Marque Q na reta r. Com o compasso e abertura PQ
e ponta seca em Q determine R em r. Com a mesma abertura trace
o c´ırculo de centro P. Marque o arco QS igual ao arco PR. Trace a
reta PR.
4. Figura: Figura 1.5
Figura 1.5:
5. Construc¸a˜o 3 Marque Q na reta r. Marque R na reta r. Transporte
o aˆngulo R̂QP com novo ve´rtice R. Transporte QP a partir de R
obtendo S. Trace a reta por P e S.
6. Justificativa Na construc¸a˜o procuramos desenhar um paralelogramo,
que tem lados opostos paralelos.
7. Figura:
8. Construc¸a˜o 4: Trace primeiro a perpendicular s a r por P. Depois trace
a perpendicular a s, por P.
• BISSETRIZ
1. Problema: Desenhar a bissetriz de um aˆngulo, ou seja, dividir um
aˆngulo dado em dois aˆngulos iguais.
2. Construc¸a˜o: Com a ponta seca do compasso trac¸amos um arco cor-
tando os dois lados do aˆngulo. O problema agora reside em dividir o
arco entre os lados em duas partes iguais. Com o compasso (mudando
a abertura ou na˜o) , ponta seca em um extremo do arco e depois
no outro, encontramos um ponto. Ligando esse ponto ao ve´rtice do
aˆngulo teremos trac¸ado a bissetriz.(Fig 1.6)
3. Justificativa: Ja´ feita na exposic¸a˜o dos passos para a construc¸a˜o.
4. Figura:
Figura 1.6:
• CONSTRUC¸A˜O DE AˆNGULOS COM MEDIDAS DADAS
Sa˜o muitos os aˆngulos que podemos construir. Comec¸ando com o aˆngulo
de 60◦ podemos obter, trac¸ando bissetrizes, 30◦, 15◦, 7, 5◦ = 7◦ 30′, 3◦ 45′
etc.
Somando aˆngulos podemos obter 67, 5◦, 37, 5◦, 22, 5◦, 45◦ = 30+15, 75◦,
105◦ = 90 + 15, etc...
Subtraindo aˆngulos podemos obter, entre outros, 82, 5◦, 52, 5◦ e assim por
diante.
Antes de prosseguir, construa todos os aˆngulos αi com medidas αi =
i.(3◦ 45‘), com i = 1, 2, 3, ...47,
• DIVISA˜O DE SEGMENTOS EM PARTES IGUAIS
1. Problema: Temos um segmento fixo e precisamos dividi-lo em 2, 3,
4, etc, partes iguais.
2. Justificativa: A figura a seguir e´ constitu´ıda por um feixe de paralelas
cortadas por duas transversais. Numa das transversais ( a que esta´
abaixo) marcamos segmentos iguais AC = CC1 = . . . = C5C6.
Ligue C6 a B e trace paralelas pelos outros pontos.(Fig 1.7) A teoria
diz que na outra transversal os segmentos tambe´m sera˜o iguais, o que
resolve o problema..
Figura 1.7:
• DIVISA˜O DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS
1. Problema: Dividir um segmento dado em partes proporcionais a seg-
mentos dados.
2. Construc¸a˜o: A partir de um ve´rtice qualquer marque o segmento a
ser dividido.. A partir do mesmo ve´rtice, em outra semi-reta marque
sucessivamente os segmentos dados. Ligue a extremidade do u´ltimo
segmento a` extremidade do segmento dado. Pelos pontos obtidos
trace paralelas. (Fig 1.8)
3. Figura: Na figura a seguir os pontos esta˜o numerados na ordem em
foram obtidos.
4. Justificativa: Teorema Linear de Tales.
• SOMA E DIFERENC¸A DE SEGMENTOS
Figura 1.8:
1. Problema: Dados dois ou mais segmentos obter a soma deles ou dados
dois segmentos obter a diferenc¸a deles.
2. Construc¸a˜o: No caso da soma, transportar cada um dos segmentos
sobre uma reta, de modo consecutivo. No caso da diferenc¸a, trans-
porte o maior sobre uma reta, a partir de algum ponto. Em seguida,
transporte o menor segmento, a partir do extremo do primeiro e em
sentido contra´rio.
Essa construc¸a˜o e´ extremamente fa´cil e a justificativa e´ o´bvia.
• QUARTA PROPORCIONAL
Chamamos de quarta proporcional apo´s a, b e c ao nu´mero q de modo que
a
b
= c
q
ou seja, q = b.c
a
. Para determinar a quarta proporcional referida fac¸a
como acima, marcando a e c numa semi-reta e b na outra, obtendo q.
• TERCEIRA PROPORCIONAL ou ME´DIA GEOME´TRICA
Chamamos de terceira proporcional entre a e b ao nu´mero x de modo que
a
x
= x
b
ou seja, x2 = a.b.
1. Construc¸a˜o: Sobre uma reta marque consecutivamente os segmentos
a e b. Pelo ponto comum deles levante uma perpendicular, Desenhe
o c´ırculo de diaˆmetro a + b. A me´dia geome´trica sera´ o segmento
x = PQ da figura a seguir.(Fig 1.9)
2. Figura:
• SEGMENTOS DO TIPO a.
√
n
Figura 1.9:
1.Problema: Dado um segmento de medida a, obter os segmentos
a
√
2, a.
√
3, . . . a.
√
n onde n e´ um nu´mero natural.
2. Justificativa: Se constru´ımos o triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles de catetos
iguais a a enta˜o sua hipotenusa sera´ a.
√
2.
Se constru´ımos o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e a
√
2 sua hipotenusa
medira´ a.
√
3.
Se constru´ımos o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a.
√
2 e a.
√
3 veremos
que sua hipotenusa medira´ a.
√
5.
3. Figura: Como exemplo vamos obter o segmento a
√
7 a partir do
segmento a.(Fig 1.10)
• ME´DIA E EXTREMA RAZA˜O
1. Pesquisa na Internet Este tema e´ muito importante para os arquitetos.
Consulte as pa´ginas e v´ıdeos a seguir para se inteirar do assunto:
desenhodearquitetura.blogspot.com/.../o-numero-de-ourophi-0618034.html
www.slideshare.net/.../phi-e-o-mundo-hoje
goldennumber.net/architecture.htm
Ao final produza um texto de aproximadamente 10 linhas sintetizando
o assunto.
2. A Questa˜o: Para os gregos, um ponto divide um segmento em me´dia
e extrema raza˜o ou na raza˜o a´urea quando a raza˜o entre o segmento
todo e a parte maior fosse igual a raza˜o entre a parte maior e a menor.
Figura 1.10:
Essa raza˜o foi denominada Φ. Elegeram como ideal de beleza coisas
que estivessem na raza˜o Φ.
3. Resoluc¸a˜o: Na figura a seguir, suponha a seja a medida do segmento
e que x seja o segmento maior. Enta˜o o segmento menor tera´ medida
a− x.(Fig 1.11)
Figura 1.11:
A partir da figura teremos: a
x
= x
a−x = Φ. Da primeira igualdade
tiramos a(a − x) = x2 ou seja, x2 + ax − a2 = 0 uma equac¸a˜o do
segundo grau cujas ra´ızes sa˜o:
x1 = a.
−1 −
√
5
2
e
x2 = a.
−1 +
√
5
2
. A primeira e´ negativa e deve ser abandonada por na˜o convir ao
problema. Resta enta˜o
x = a.
−1 +
√
5
2
que da´
x
a
=
−1 +
√
5
2
ou
φ =
a
x
=
2
−1 +
√
5
=
1 +
√
5
2
∼= 1, 6180339
O inverso deste nu´mero e´ ∼= 0, 617917507 que tambe´m e´ chamado Φ
por algumas pessoas, como vimos nas pa´ginas da internet.
4. Construc¸a˜o: Desenhe as semi-retas r e s, com a mesma origem A
e perpendiculares. Sobre r marque o segmento de medida a de ex-
tremos A e B. A seguir determine o ponto me´dio de a , e, com o
compasso marque essa medida sobre s, com extremos A e C. Desenhe
a hipotenusa BC do triaˆngulo e sobre ela, com o compasso, aplique
o segmento a
2
, com extremos C e D. A raza˜o entre AB e CD e´ Φ.
5. Justificativa: A hipotenusa acima referida tem medida igual a a.
√
5
2
retirando-se a
2
resta a.−1+
√
5
2
. Preferimos esta construc¸a˜o pois a mesma
se presta bem a construir o deca´gono e o penta´gono, que sera˜o vistos
a seguir.(Fig 1.12)
6. Figura:
• ARCO CAPAZ
1. O Problema: Se α e´ um aˆngulo inscrito num c´ırculo, enta˜o um arco
fica determinado pela seguinte propriedade: qualquer aˆngulo inscrito
nesse arco tera´ a medida α. Dizemos tambe´m que o ponto P “enx-
erga” o segmento AB sob aˆngulo α.(Fig 1.13)
Figura 1.12:
2. Figura:
Para tentar encontrar o arco que contem todos os pontos que enx-
ergam AB sob aˆngulo α, tem os uma coisa conhecida: o segmento
AB e´ uma corda do circulo, logo o centro dele esta´ na mediatriz de
AB. Temos ainda dois pontos que esta˜o no c´ırculo: A e B, e o aˆngulo
de segmento de ve´rtice A (ou B) tambe´m mede α. Um dos lados do
aˆngulo de segmento e´ tangente ao c´ırculo em A, logo seu centro esta´
na perpendicular a esse lado passando por A. Pronto! Achamos o
centro do c´ırculo e consequentemente o “arco capaz“ do aˆngulo α.
3. Construc¸a˜o: Sa˜o dados: o segmento AB e o aˆngulo α.
Trace uma semi-reta e sobre ela transporte AB. Trace a mediatriz de
AB .
Transporte o aˆngulo α de modo que seu ve´rtice seja A, que um lado
contenha AB e que o outro fique no semi-plano que na˜o contenha o
centro procurado.(Fig 1.14)
Como exerc´ıcio, desenhe um triaˆngulo no qual a = 12 cm, b = 6 cm e
com Aˆ = 30◦.
A figura (Fig 1.15) e´ a soluc¸a˜o.
Figura 1.13:
Figura 1.14:
Figura 1.15: