Cinemática de Galileu

Prévia do material em texto

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 1/60
Cinemática de Galileu
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
Descrição Apresentação de conceitos da Cinemática: velocidade, aceleração,
movimento retilíneo uniforme (MRU), movimento retilíneo
uniformemente variado (MRUV), movimento circular uniforme (MCU) e
movimento circular uniformemente variado (MCUV).
Propósito Compreender como os conceitos da Cinemática podem ser aplicados
em situações cotidianas.
Preparação Para lidar com a Mecânica, ramo da Física relacionado ao estudo dos
movimentos, será necessário ter em mãos uma calculadora científica.
Caso não possua uma, baixe um aplicativo em seu celular, ou utilize a
calculadora do seu computador na opção calculadora científica.
Objetivos
Módulo 1
Galileu e o movimento
Aplicar os conceitos de posição, velocidade,
aceleração e tempo à resolução de
problemas.
Módulo 2
Grandezas do movimento:
velocidade e aceleração
Interpretar os gráficos das funções horárias.
Módulo 3
Movimentos retilíneos:
uniforme e uniformemente
Módulo 4
Movimento em trajetória
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 2/60
variado
Identificar os movimentos retilíneos e suas
funções horárias
circular
Descrever os movimentos circulares e suas
funções horárias
Introdução
A Mecânica Clássica é o ramo da Física que se dedica ao estudo dos
movimentos. O estudo da Mecânica Clássica se inicia na Cinemática.
Assim, tudo que se encontra nos mundos macroscópico e
microscópico ao nosso redor se movimenta de acordo com os
princípios da Mecânica Clássica, desde um pequeno grão de areia
sendo carregado pelo vento até o movimento de planetas, cometas,
asteroides e estrelas. Tudo isso se movimenta de acordo com os
princípios da Cinemática, os quais são facilmente explicados e
demonstrados pelas Leis de Newton.
É por meio da Cinemática que aprendemos os conceitos básicos de
posição, espaço, tempo, velocidade e aceleração. Veremos que, com
esses conceitos, é possível construir gráficos simples, mas de grande
ajuda para a análise do movimento de corpos.
Apresentaremos as Leis de Newton e suas análises para
compreender o que rege tais movimentos e para que possamos
reconhecer os conceitos envolvidos no movimento de um corpo ou
partícula. Em seguida, daremos continuidade ao estudo de
quantidade de movimento, impulso e energia mecânica por meio das
colisões. Veremos que esses três conceitos são aplicações diretas
das Leis de Newton e, consequentemente, da Cinemática,
inicialmente desenvolvida por Galileu Galilei.
Assista ao vídeo a seguir, em que abordaremos as principais teorias
de Galileu apresentadas neste tema.
Galileu Galilei
Galileu Galilei (1564-1642) foi um
físico, matemático, astrônomo e
filósofo que revolucionou a
Astronomia com as leis
matemáticas que descrevem o
movimento dos corpos terrestres.

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 3/60
1 - Galileu e o movimento
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os conceitos de posição, velocidade, aceleração e
tempo à resolução de problemas.
Vamos começar!
Posição, distância e tempo
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de posição, distância e tempo.
O que é a Cinemática?
A Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento de corpos ou
partículas, sem referência à massa ou à atuação de forças, ou seja, a Cinemática
não se preocupa com as causas naturais que induziram tal movimento. Um
corpo em movimento é aquele que apresenta velocidade e, em alguns casos,
aceleração.
Mas você sabe o que são velocidade e aceleração?

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 4/60
Para poder responder a essa pergunta, primeiro teremos que apresentar
conceitos que antecedem a velocidade e a aceleração.
Posição (S)
Posição unidimensional
Você provavelmente já deve ter ouvido falar que dois ou mais corpos não podem
ocupar o mesmo lugar. A esse local que um corpo ou uma partícula ocupa no
espaço damos o nome de posição, a qual é representada na Física pela letra S.
Para introduzir esse conceito, vamos simplificar o nosso espaço e considerá-lo
unidimensional (que tem apenas uma dimensão ou é considerado sob uma
única dimensão). Para tal, vamos utilizar uma régua, conforme disposto na
imagem a seguir. Essa régua é graduada de 0 a 7 e sua unidade de medida é o
metro. Observe, nas imagens, onde se encontram os pontos amarelo, vermelho,
roxo e verde.
Unidimensional
Posição de um corpo em espaço ou plano unidimensional.
Shutterstock.com
Shutterstock.com
Espaço unidimensional com escala em metros.
A partir dessas observações, determinaremos o local ocupado por esses pontos,
ou seja, a sua posição.
Toda grandeza na Física possui unidade de medida. No caso da posição, o
Sistema Internacional de Unidades (SI) define que a unidade de medida-padrão é
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 5/60
o metro (m). Assim, qualquer outra unidade de medida, como centímetro,
milímetro, decímetro etc., deve ser convertida para metro.
No caso da régua apresentada na imagem, a unidade de medida já se encontra
em metro, facilitando nossa análise da posição dos pontos amarelo (Samarelo),
vermelho (Svermelho), roxo (Sroxo) e verde (Sverde).
Podemos observar que o ponto amarelo se encontra sobre a coordenada 1 da
nossa régua, logo, dizemos que o ponto amarelo está na posição , ou
simplesmente, . De forma análoga aos outros pontos, temos:
 e . Podemos descrever também
suas posições utilizando como artifício a tabela 1:
Corpo Posição (m) *
Amarelo 1
Vermelho 7
Roxo 4
Verde 3
Tabela: Coordenadas de posição dos corpos.
Posição bidimensional
Agora, vamos para um plano bidimensional, em que a posição de um corpo é
descrita em duas coordenadas. Estamos lidando com um plano cartesiano de
eixos e , no qual ambos os eixos medem a unidade de distância, que é
representada pelo metro.
Para entender melhor, imagine que você está observando, de cima, um tabuleiro
de batalha naval, em que a posição é dada por duas coordenadas; na vertical,
temos os números de 1 a 10 e, na horizontal, temos as letras de a . No plano
cartesiano, vamos observar os pontos: amarelo, vermelho, roxo e verde.
Shutterstock.com
1m
Samarelo  = 1m
Svermelho  = 7m1Sroxo  = 4m Sverde  = 3m
x y
A L
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 6/60
Shutterstock.com
Observe que, para cada ponto, existem duas coordenadas, uma em e a outra
em . Como foi dito anteriormente, tanto como se encontram em metros.
Assim, a posição desses pontos pode ser representada de três modos: notação
vetorial, forma escalar ou tabela. Vamos conhecer cada um deles.
Notação escalar
Observe:
Neste modo, temos a notação escalar, na qual a coordenada sempre antecede
a coordenada em . Por sua vez, a unidade de medida aparece fora do
parêntese.
Forma vetorial
Observe a notação a seguir:
Já aqui, temos a forma vetorial de representação, por meio da qual
representamos as coordenadas em função dos vetores unitários, sendo o vetor
unitário de e j o vetor unitário de :
x
y x y
Samarelo  = (B, 2)m;Svermelho  = (J, 9)m;Sroxo  = (L, 10)m;Sverde  = (E, 4)m
x
y
→
Samarelo  = (Bi + 2j)m;
→
Svermelho  = (J + 9j)m; Sroxo  = (Li + 10j)m;
→
Sverde  = (Ei + 4j)m
i
x y
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 7/60
Forma de representação de um vetor posição.
Forma vetorial
Neste modo, temos o registro em tabela, assim como fizemos na anteriormente.
Corpo X(m) Y(m)
Amarelo B 2
Vermelho J 9
Roxo L 10
Verde E 4
Tabela: Coordenadas da posição de um corpo em um espaço bidimensional.
Posição tridimensionalAgora, veremos como se descreve a posição de um corpo no espaço
tridimensional, em que de fato vivemos. Aqui, a posição do corpo é descrita em
função dos três eixos: , ou seja, trabalharemos com coordenadas
referentes à largura, à profundidade e a altura de determinado espaço. A imagem
a seguir demonstra quatro pontos vistos anteriormente (amarelo, vermelho, roxo
e verde) em coordenadas tridimensionais:
x, y, z
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 8/60
Shutterstock.com
Shutterstock.com
Representação tridimensional do posicionamento de quatro corpos.
Na imagem, os três eixos também possuem unidade de medida em metros, e a
representação da posição em função das coordenadas é semelhante à
representação feita no espaço bidimensional. A partir dos três modos já
apresentados (notação escalar, forma vetorial e tabela), veja a seguir como
ficam representados estes pontos.
Notação escalar
Forma vetorial
Tabela
Corpo X(m) Y(m)
Amarelo 3 2
Vermelho 0 0
Roxo 5 0
Verde 0 0
Tabela: Coordenadas da posição de um corpo em um espaço tridimensional.
Samarelo  = (3, 2, 1)m;Svermelho  = (0, 0, 0)m;Sroxo  = (5, 0, 0)m;Sverde  = (0, 0, 7)m
→
Samarelo  = (3i + 2j + 1k)m;
→
Svermelho  = (0i + 0j + 0k)m;
→
Sroxo  = (5i + 0j + 0k)m;
→
Sverde  = (0i + 0j
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 9/60
É importante salientar que o registro em tabela não é utilizado comumente. Em
geral, as posições são representadas ou por notação escalar ou pela forma
vetorial, preferindo-se a última. Todavia, registrar as coordenadas em uma tabela
facilita muito o trabalho de visualização, análise e exposição dos dados, uma vez
que garante a organização dos elementos. A tabela costuma ser utilizada para
organizar dados coletados em experimentos físicos.
Espaço (Δ )
Na Física Clássica, quando nos referimos a espaço, estamos falando de espaço
percorrido. Essa grandeza aparece quando há o deslocamento de um corpo, ou
seja, quando ele se desloca de uma posição para outra. Chamamos a posição
inicial de (lê-se "S com índice zero", ou simplesmente "S zero"). A posição final
é definida somente como . Então, o espaço é definido como a variação da
posição do corpo e é calculado da seguinte maneira:
Assim como a posição, o espaço pode ser determinado tanto de forma escalar
quanto de forma vetorial.
Para fixar esse conceito, vamos analisar o movimento de um caramujo,
considerando que ele está posicionado sobre um sistema de coordenadas
unidimensional, como aquele apresentado na imagem da régua, que vimos
anteriormente, cuja unidade está em centímetros.
O caramujo é inicialmente visto na posição e vagarosamente se locomove
em direção à origem (posição ) até o ponto . Podemos definir o
espaço percorrido por esse caramujo, considerando a equação (1), como mostra
a seguir:
Ao observar o percurso do caramujo na imagem a seguir, podemos ver que, de
fato, o espaço entre os pontos e é de , e não . Todavia,
o sinal negativo indica que o caramujo se deslocou no sentido negativo do eixo
coordenado, ou seja, em direção ao ponto que marca .
→
S
S0
S
Δ
→
S =
→
S −
→
S0
17cm
0cm 6cm
Δ
→
S =
→
S −
→
S0
ΔS = 6 − 17
ΔS = −11cm
6cm 17cm 11cm −11cm
0cm
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 10/60
Percurso do caramujo.
Agora, vamos considerar o mesmo caramujo se locomovendo em um plano
bidimensional, de maneira que sua posição inicial se dá em e ele se
desloca até o ponto . Qual seria a distância percorrida pelo caramujo
nesse caso?
O deslocamento é dado pela equação (1), porém não há um
deslocamento unidimensional, mas bidimensional, porque temos o
deslocamento no eixo , como indica o vetor unitário , e um
deslocamento do eixo , como indica o vetor unitário j. Ou seja, ao
contrário da situação anterior, dessa vez temos um deslocamento
vetorial:
Assim, o que calculamos aqui para o caramujo foi o vetor deslocamento.
A representação correta é:
Para determinar o módulo desse deslocamento e descobrir o espaço
percorrido, é necessário realizar o seguinte cálculo:
Isso significa que, ao mudar sua posição de para
, o caramujo percorreu uma distância de .
Podemos concluir que a distância percorrida é igual ao módulo do vetor
deslocamento.
Uma forma interessante de vermos na vida prática com funciona o vertor
deslocamento é o sistema de posicionamento global, conhecido como GPS, que
utiliza exatamente este vetor para determinar a distância entre dois pontos,
porém, em vez de utilizar sistemas cartesianos, utiliza coordenadas de longitude
e latitude.
7i + 3j
−7i − 3j
Resposta 
x i
y
Δ
→
S = −7i − 3j − (7i + 3j) = −7i − 3j − 7i − 3j
Δ
→
S = (−14i − 6j)m
Δ →S = (−14i − 6j)m
ΔS = √(−14)2 + (−6)2 = 15, 23m
→
S0 = 7i + 3j
→
S = −7i − 3j 15, 23m
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 11/60
Tempo (∆t)
Tempo é uma grandeza física associada a um sequenciamento correto,
mediante a ordem de ocorrência de eventos naturais. O tempo não corresponde
a horários, mas à diferença de horários observados entre o início e o fim de um
evento.
Imagine que você saiu da sua casa às para dar uma caminhada e retornou
às . Temos um horário inicial um horário final . O
tempo decorrido entre e é determinado na equação (2):
Eq. 2
Todavia, é muito complexo e nada usual fazer contas com os horários do modo
como foram apresentados, por isso, escrevemos os horários em formas
decimais, ou seja:
Ou seja, ambos os resultados se referem a meia hora.Apesar de o exemplo ter
sido solucionado em horas, o SI adota o segundo (s) como unidade de medida
de tempo. Sabemos que uma hora possui um total de 3600 segundos, então,
para converter o tempo de hora para segundos, devemos multiplicar o valor
encontrado por 3600. Retornando ao exemplo citado anteriormente, um tempo
de meia hora possui 1800 segundos, como mostra o cálculo a seguir:
Velocidade (v)
Define-se a velocidade de um corpo como a razão entre o espaço percorrido e
tempo gasto para percorrê-lo. Em outras palavras, é a taxa, em relação ao tempo,
com a qual um corpo altera a sua posição.
Veja a equação (3):
Eq. 3
Apesar de a definição de velocidade ser sempre a razão de espaço por tempo,
existem duas formas de representação da velocidade: a velocidade escalar e a
velocidade vetorial.
17h
17h30 t0 = 17h t = 17h30
t0 t
Δt = t − t0Δt = 17h30 − 17h = 0h30
Δt = 17, 5 − 17 = 0, 5h
Δt = 0, 5×3600 = 1800s
v =
ΔS
Δt
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 12/60
Velocidade escalar
A velocidade escalar, também chamada de velocidade escalar média ou
velocidade média, leva em consideração somente a posição inicial, o ponto final
e o tempo total gasto durante o percurso.
Em geral, é por meio da velocidade média que uma empresa de viagens estima o
tempo total de um trajeto, isso porque diversas coisas podem ocorrer durante o
caminho, como uma blitz policial, um engarrafamento decorrente de algum
acidente ou incidente, paradas para ir ao banheiro etc. Vamos ilustrar, a seguir,
como esses acontecimentos podem inferir na velocidade.
Vamos ver um exemplo?
Considere um carro que sai do Rio de
Janeiro em direção a São Paulo.
Após percorrer 35 minutos, o
motorista para em um posto de
combustíveis para abastecer, por 25
minutos. Em seguida, ele retoma a
viagem, levando mais 6 horas de
viagem.
Se a distância entre as duas cidades é de 433km, qual a velocidade média da
viagem?
A velocidade média leva em conta a razão entre a distância total
percorrida e o tempo total gasto. Consideramos, inclusive, o tempo em
que o carro permaneceu parado, abastecendo:
Agora é necessário também determinar a distância total percorrida, que
é:
Como a velocidade média é a razão desse espaço totalpelo tempo total,
temos:
Ao substituir os valores, obtemos:
Esse resultado mostra que, se o carro tivesse percorrido o trajeto Rio de
Janeiro - São Paulo à velocidade de sem parar, ele também
Resposta 
Δttotal  = 35min + 25min + 6h = 7h
ΔStotal  = 433km
vm =
ΔStotal 
Δttotal 
vm =
433km
7h
= 61, 86
km
h
61, 86km/h
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 13/60
teria levado para percorrer os .
É importante considerarmos que,
apesar de o resultado da velocidade
ser estritamente conhecido e utilizado,
o Sl determina que a velocidade deve
ser expressa em unidades de metros
por segundo , ou seja, é
necessário fazer uma transformação
para que as unidades do sl sejam
alcançadas:
Para converter um valor de velocidade
de para , divide-se a
velocidade pelo fator 3,6.
Para passar de para ,
multiplica-se a velocidade pelo fator
3,6
Conversão de unidade de velocidade de km/h para
m/s e vice-versa.
Velocidade vetorial
A velocidade vetorial se calcula, matematicamente, da mesma forma que a
velocidade média. Todavia, em vez de utilizar valores escalares para realizar os
cálculos, utilizam-se valores vetoriais e obtém-se como resposta: direção,
módulo e sentido.
Os valores vetoriais são muito utilizados em aviação, navegações e laboratórios
para análise de movimento de partículas. Vamos utilizar o último para ilustrar o
cálculo vetorial, considerando o ponto material livre para se movimentar.
Esse ponto possui um e \overrightarrow Se locomove até o
ponto . Esse trajeto é percorrido em 10 segundos. Portanto,
a sua velocidade vetorial é:
Um gráfico nos ajuda a visualizar melhor esse resultado:
Vetor deslocamento.
7h 433km
(m/s)
km/h m/s
m/s km/h
→
S0 = (7i + 12j)m
S = (−7i + 11j)m
→v =
Δ →S
Δt
=
−7i + 11j − (7i + 12j)
10
=
−14i − j
10
= (−1, 4i − 0, 1j)m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 14/60
A imagem anterior mostra os pontos e . A seta preta representa o vetor
deslocamento. Note que se trata de um movimento bidimensional, ou seja, há
deslocamento tanto na vertical quanto na horizontal.
O resultado obtido de demonstra que o ponto
material se locomove no sentido negativo do eixo a uma velocidade de
 e no sentido negativo do eixo com uma velocidade de , ou
seja, o ponto material se locomove para a esquerda com velocidade de 
e para baixo com velocidade de .
É possivel determinar também o módulo vetorial, que é a velocidade com a qual
um móvel se locomove de para :
Aceleração 
Define-se aceleração como a variação da velocidade em função do tempo.
Assim como na velocidade, existe a aceleração escalar e a vetorial.
No caso da aceleração escalar, referimo-nos à aceleração escalar média:
Eq. 5
No caso da aceleração vetorial, temos:
Eq. 6
Em ambos os casos, a aceleração se resume à variação da velocidade, seja em
aumento ou em redução. Assim, se há mudança de velocidade, há aceleração.
Teoria na prática
Para fixar, considere um carro se deslocando com velocidade constante de
72km/h, quando o motorista avista um semáforo com a luz amarela acesa. O
motorista sabe que leva 3 segundos para a luz amarela se apagar e acender a
luz vermelha. Diante desse contexto:
S0 S
→v = (−1, 4i + 0, 1j)m/s
x
1, 4m/s y 0, 1m/s
1, 4m/s
0, 1m/s
S S0
|v| = √(−1, 4)2 + (0, 1)2 = 1, 40m/s
(a)
−→
am =
Δv
Δt
→a =
Δ→v
Δt
_black
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 15/60
Qual é a aceleração que deve ser imposta ao carro para que ele pare quando a
luz vermelha acender?
Aceleração
A unidade internacional de medida da aceleração é o metro por
segundo ao quadrado (m/s2).
Mão na massa
Questão 1
Um móvel parte do ponto 0=i- J - k para o ponto P = 12i - 6J -3K.
A unidade de medida dos pontos é o metro. Diante disso, o módulo da
distãncia percorrida por este móvel é igual a :
Mostrar solução

→
P
A 11,98m
B 12,25m
C 13,00m
D 15,05m
E 16,0m
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 16/60
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um automóvel está se locomovendo em linha reta. Ele percorre em .
Sua velocidade de deslocamento é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Determinamos a velocidade de acordo com a equação:
Temos que e , assim:
40m 5s
A 8m/s
B 6m/s
C 4m/s
D 2m/s
E 1m/s
v =
ΔS
Δt
ΔS = 40m Δt = 5
v =
40
5
= 8m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 17/60
Questão 3
Um automóvel está se locomovendo com uma velocidade de 40m/s quando
aplica uma aceleração de 2m/s2, por 4s. A sua velocidade após 4 s é igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Uma pedra está suspensa por um fio quando, de repente, o fio arrebenta e ela
cai de certa altura, atingindo o solo com velocidade de .
Sabendo que a aceleração atuante sobre a pedra é de , o tempo de
queda é igual a:
A 44,0m/s
B 46,5m/s
C 48,0m/s
D 49,5m/s
E 51,0m/s
10m/s
9, 8m/s2
A 0,96s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 18/60
Parabéns! A alternativa D está correta.
Temos que a aceleração é dada por:
Substituindo:
Questão 5
Um ciclista se locomovendo com uma velocidade constante de 10m/s,
quando realiza um movimento acelerado de 2m/s2, por 6 s. Sua velocidade ao
fim da aceleração será igual a :
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
B 0,98s
C 1,00s
D 1,02s
E 1,05s
a =
Δv
Δt
=
v − v0
Δt
9, 8 =
10 − 0
Δt
∴ Δt =
10
9, 8
= 1, 02s
A 22,0m/s
B 30,0m/s
C 38,0m/s
D 46,0m/s
E 51,0m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 19/60
Questão 6
Considere uma bola sendo arremessada para cima com velocidade inicial de
. Sabe-se que a única aceleração agindo sobre a bola é a aceleração
gravitacional de . No ponto mais alto do trajeto, a bola possui
velocidade zero.
Assim, o tempo de subida da bola até o ponto mais alto é de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Substituindo os valores do enunciado, temos:
Para entender o resultado, é necessário refletir que a aceleração da gravidade
faz as coisas caírem, logo, aponta para baixo, e o corpo está subindo, ou seja,
28m/s
10m/s2
A 2,8s
B 3,3s
C 4,0s
D 4,5s
E 5,0s
a =
v − v0
Δt
−10 =
0 − 28
Δt
∴ Δt =
−28
−10
= 2, 8s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 20/60
está em sentido oposto ao da aceleração da gravidade. Por isso,
consideramos a aceleração gravitacional negativa.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma partícula é vista em determinado ponto com a seguinte velocidade:
. Essa mesma particula é observada depois em outro
ponto do espaço com velocidade . Considerando as unidades
de medida do Sl, a opção que representa a aceleração vetorial e o seu
módulo, respectivamente, é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para determinar a aceleração vetorial, devemos utilizar a equação (6), logo:
Para determinar o módulo da aceleração que atuou no corpo, temos:
Questão 2
v0 = 2i − 30j + k
−→
30s
→
v = i − j − k
A (0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
B (- 0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
C (- 0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,86m/s
D (0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,86m/s
E (0,03i - 0,97j + 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
→a =
Δ→v
Δ→t
=
i − j − k − (2i − 30j + k)
30
=
−i − 29j − 2k
30
= (−0, 03i − 0, 97j − 0, 07k)
m
s2
|→a| = √(−0, 03)2 + (−0, 97)2 − (0, 07)2 = 0, 97
m
s2
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html#21/60
2. Um móvel se desloca da posição à posição em . Ao chegar
nessa posição, ele fica inerte por e, em seguida, retoma o seu movimento
e se desloca até a posição em . Assim, podemos afirmar que a
velocidade média desse móvel é de:
Parabéns! A alternativa C está correta.
A velocidade média é dada pela razão entre o espaço total percorrido pelo
tempo total gasto, assim:
2 - Grandezas do movimento: velocidade e aceleração
Ao �nal deste módulo, você será capaz de interpretar os grá�cos das funções horárias.
4m 18m 20s
2h
30m 45s
A 0,1m/s
B 0,4m/s
C 0,004m/s
D 0,001m/s
E 0,04m/s
vm =
ΔStotal 
Δttotal 
ΔStotal  = (18 − 4) + (30 − 18) = 26m
Δttotal  = 20 + 7200 + 45 = 7265s
vm =
26
7265
= 0, 004m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 22/60
Vamos começar!
De�nindo velocidade e aceleração
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de velocidade e aceleração.
Velocidade
Vamos observar um gráfico de posição por tempo , como mostra a
imagem a seguir.
Gráfico S(t) x t.
Na imagem anterior, temos a posição como o eixo das ordenadas (eixo -
vertical) e o tempo, como o eixo das abscissas (eixo - horizontal).
Nesse gráfico, em que a reta corta o eixo , definimos a posição inicial e a
velocidade é medida calculando-se a inclinação da reta, ou seja, a velocidade é
igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal:
Eq. 7

(S(t) × t)
y
x
y S0
v = tg(θ)
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 23/60
Para determinar a velocidade em função do gráfico, devemos escolher dois
pontos pertencentes à reta.
Note, na imagem anterior, que temos dois pontos destacados, o primeiro é o
 e o segundo ó o . Se você observar com atenção,
verá que entre esses pontos é possível fechar um triângulo retângulo, como
mostra a próxima imagem :
Determinação da velocidade a partir de um gráfico S(t) x t.
Ao fechar o triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo possui comprimento
de e o comprimento do cateto adjacente ao ângulo possui
comprimento de . Então, para determinar a tangente do ângulo, fazemos:
Eq. 8
Porém, como descrito em (7), . Logo:
Eq. 9
A velocidade é retirada da inclinação da reta existente no gráfico posição por
tempo. Esse gráfico representa a posição de um móvel em um movimento
retilíneo uniforme (MRU).
Análise do movimento na prática
Uma das maneiras de se analisar o movimento de um móvel é montando um
gráfico de sua posição em função do tempo. Assim, é possível determinar como
o móvel se comportou durante todo o trajeto. Vamos observar o gráfico abaixo:
P1 = (t1,S1) P2 = (t2,S2)
S2 − S1
t2 − t1
tg(θ) =
S2 − S1
t2 − t1
v = tg(θ)
v =
S2 − S1
t2 − t1
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 24/60
Percursao da lebre.
Esse gráfico corresponde ao deslocamento de uma lebre. Os observadores
registraram que a lebre saiu de sua toca, no marco zero, e percorreu em
, depois ficou parada no mesmo local por , observando a região ao seu
redor.
A seguir, ela percorreu mais em quando algo a assustou, fazendo-a
retornar para a toca em . Por meio desse gráfico, é possivel determinar a
velocidade média de deslocamento da lebre da sua toca até o ponto e a
velocidade média de seu retorno da seguinte maneira:
A lebre percorre em , como mostra o gráfico, então, a sua
velocidade média é de:
O tempo que a lebre ficou parada foi considerado, isso porque a
velocidade média considera o espaço total percorrido e o tempo total
gasto.
A lebre percorre 200m em 15s. Assim:
100m
30s 55s
100m 15s
15s
200m
Saída da toca 
200m 100s
vm =
ΔS
Δt
=
200
100
= 2, 00m/s
Retorno para a toca 
vm =
ΔS
Δt
=
200
15
= 13, 33m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 25/60
Aceleração
A aceleração pode ser obtida determinando a inclinação da curva de um gráfico
de velocidade por tempo (v (t) × t), como mostra a imagem a seguir:
Determinação da aceleração em um gráfico v(t) x t.
De forma análoga ao cálculo da velocidade no gráfico , o cálculo da
aceleração segue os mesmos passos, assim, definimos a aceleração como:
Eq. 10
Teoria na prática
Considere que você é o responsável por uma empresa de transportes, que
transporta cargas especiais. Sua empresa foi contratada para carregar uma
grande manilha, de 10m de diâmetro e 10m de comprimento. Para isso, você
precisa de um caminhão especial, com carros batedores na proteção e um
motorista, especializado e experiente. Devido à complexidade de deslocamento
da carga, tal deslocamento deve ser realizado entre 22:00 h às 6:00 h, com o
mínimo de trânsito possível.
O trajeto a ser percorrido por esse caminhão é de 600km, saindo do estado de
São Paulo e chegando ao Estado do Rio de Janeiro. Devido ao grande peso
dessa manilha, esse trajeto deve ser realizado a uma velocidade constante de
S(t) × t
a =
v2 − v1
t2 − t1
_black
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 26/60
40km/h. Considerando que a carga saiu da São Paulo no sábado, em qual dia e
horário a manilha chegará ao seu destino?
Mão na massa
Questão 1
Considere o gráfico:
Podemos afirmar que o instante em que o móvel se encontra no ponto de
retorno é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Mostrar solução

A 15s
B 17s
C 13s
D -13s
E 14s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 27/60
Questão 2
É correto afirmar que o coeficiente angular do gráfico de um móvel
com velocidade constante nos permite descobrir
Parabéns! A alternativa A está correta.
Vimos que a velocidade é o coeficiente angular da reta gerada pelo gráfico S x
t de um móvel que se locomove com velocidade constante.
Questão 3
Considere o gráfico:
O gráfico corresponde ao trajeto de um automóvel, que começou sua viagem
no quilômetro 4. O eixo t está em horas. Podemos afirmar que a velocidade
desenvolvida por esse automóvel durante seu trajeto é de:
S × t
A a velocidade.
B a aceleração.
C o ponto de retorno.
D o instante do ponto de retorno.
E o espeço percorrido.
A 1,5km/h
B 2,0km/h
C 2,5km/h
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 28/60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Considere o gráfico:
Considerando a aceleração do móvel como e que os eixos estão
no SI, sua velocidade inicial tem módulo igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Determinamos a aceleração como:
D 3,0km/h
E 1,5km/h
−16m/s2
A 128m/s
B 125m/s
C 230m/s
D 110m/s
E 100m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 29/60
A semirreta tem fim no ponto , ou seja, velocidade e tempo ,
assim:
Questão 5
No gráfico abaixo, os eixos coordenados estão no S.I. e que a aceleração do
móvel é de -2m/s2. Supondo que possamos descrever o espaço percorrido
pelo móvel como sendo S = A + V0t, onde A é a área abaixo da curva, o
espaço percorrido pelo móvel durante o seu deslocamento é de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
a =
v − v0
t − t0
(8, 0) 0m/s 8s
−16 =
0 − v0
8 − 0
∴ v0 = 128m/s
A 192m
B 195m
C 198m
D 200m
E 210m
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 30/60
O gráfico posição por tempo, de um móvel é dado por :
Assinale a opção que apresenta corretamente a função que representa este
gráfico:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja que os pontos de interseção são (0,4) e (4/3, 0). Sendo assim, para x=0,
temos y=4e, para y=0, temos x=4/3, o que nos gera uma função afim do tipo:
S(t)=4-3t
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O gráfico a seguir demonstra a variação de velocidade de uma partícula em
função do tempo. Considerando este gráfico, responda:
A S(t) = 4 - 3t
B S(t) = 4 - (4/3)t
C S(t) = 4 + (3/4)t
D S(t) = 4 - (3/4)t
E S(t) = 4 + 3t
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 31/60
O módulo da aceleração é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos os seguintes pontos: e . Então, a aceleração é:
Questão 2
Ainda considerando o gráfico anterior, determine a equação que descreve a
variação da velocidade:
A 13
15 m/s2
B 15
13 m/s2
C 12
13 m/s2
D 11
14 m/s2
E 11
15 m/s2
(15, 0) (0, −13)
a =
0 − (−13)
15 − 0
=
13
15
m/s2
A v(t) = 13t + 13
15
B v(t) = 13t − 13
15
C v(t) = 13
15 t + 13
D v(t) = 13
15 t − 13
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 32/60
Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico descreve uma reta. Logo, temos uma função afim, que é uma
função do tipo: (f(x)=a x+b). Porém, como estamos falando de velocidade e
tempo, vamos escrever essa função da seguinte maneira:
A aceleração vale , que é a inclinação da reta e foi calculada no item
anterior, e o , que é a velocidade inicial correspondente ao ponto em que a
reta toca o eixo y, que nesse caso é o eixo v, assim:
3 - Movimentos retilíneos: uniforme e uniformemente variado
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os movimentos retilíneos e suas funções
horárias.
Vamos começar!
MRU e MRUV
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de movimentos retilíneos.
E v(t) = 13t − 13
v(t) = at + v0
13
15 m/s2
v0
v(t) =
13
15
t − 13

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 33/60
Cinemática à velocidade constante
Movimento retilíneo uniforme (MRU)
Como já diz o nome, o movimento retilíneo uniforme (MRU) ocorre com o corpo
se locomovendo em linha reta, à velocidade constante, por isso o termo:
uniforme.
Pode ser representado por meio de uma função afim:
Eq. 11
Onde:
S(t) = Posição final do móvel em função do tempo
S0 = Posição inicial do móvel
v = velocidade
t = tempo
Essa função também é conhecida
como função horária do MRU. Nela
temos o t como variável e a posição
final do móvel como objeto de estudo.
Ela é utilizada para prever a posição
de um móvel, ao decorrer do tempo,
quando esse se locomove com uma
velocidade constante.
Essa função pode ser utilizada, por
exemplo. para determinar a posição
de um veículo viajando em uma
rodovia, quando ele possui uma
velocidade constante.
Que tal vermos um exemplo?
Vamos considerar que um caminhão foi visto em uma rodovia no quilômetro 38 ,
trafegando a uma velocidade constante de . Então, vamos determinar
quais serão suas posições nos instantes:
A - 25min;
S(t) = S0 + v ⋅ t
90km/h
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 34/60
B - 1h e 10min;
C - 2h e 55min;
D - 6h
Antes de atentar aos intervalos de tempo pedidos, temos que montar a nossa
função horária. Note que o caminhão é primeiramente visto no quilômetro 38 ,
então temos como posição inicial: e como velocidade:
. Assim, temos a função horária do caminhão e a velocidade
constante como:
Onde as unidades de medida são: e .
Agora, como o espaço está em quilômetros e o tempo em horas e, por sua vez, a
velocidade em , temos que passar todos os tempos expostos das
alternativas de (a) a (d) para horas.
Conversão do tempo para horas:
A) 25min
1h ------ 60min
xh ------- 25min
Podemos dizer que: 
B) 1h e 10min
Em (b) temos parte do horário em horas, e a outra parte em minutos.
Podemos escrever o tempo da seguinte maneira: 
Como se trata de uma soma, nos preocupamos em converter apenas a
parte do tempo que está em minutos para horas e somamos Vamos
observar como isso ocorre na prática:
Somando , temos:
Então, podemos dizer que: 
C) 2h e 55min
S0 = 38km
v = 90km/h
S(t) = 38 + 90t
km h
km/h
x =
1
4
h
Δt1 = 1
4
h
1h + 10 min
1h
1h - 60 min
xh - 10 min
x =
1
6
h
1h
1h +
1
6
h =
7
6
h
Δt2 = 7
6
h
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 35/60
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia,
utilizando a função horária que definimos no início:
D) 6h
Não precisamos fazer conversão alguma, uma vez que o tempo já está
em horas.
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia, utilizando a
função horária que definimos no início:
Vejamos:
A)
= 60,5km
B)
= 143km
C)
= 300,5km
D)
Δt4 = 6h
S(6) = 38 + 90(6)
= 578km
A função horária também é muito utilizada para estimativas do tempo entre uma
posição e outra. Vamos olhar para o mundo de observação laboratorial da Física
e considerar um elétron, que se move à velocidade constante em um campo
elétrico sob a função horária , em relação a um eixo
coordenado que identifica a sua posição para um observador e, então,
determinar o tempo que leva para que esse elétron passe pela origem do eixo
coordenado, ou seja, pela posição . Substituindo 0 no lugar de da
função horária, temos:
S(t) = 38 + 90t
 Então: Δt4 = 6h
S(t) = 38 + 90t
Δt1 =
1
4
h
S( 1
4
) = 38 + 90( 1
4
)
Δt2 =
7
6
h
S( 7
6
) = 38 + 90( 7
6
)
Δt3 =
35
12
h
S( 35
12
) = 38 + 90( 35
12
)
S(t) = 40 − 30t
S(t) = 0 S(t)
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 36/60
Atenção!
Muitas vezes, na Ciência e na Engenharia, trabalharemos com números não
inteiros. Portanto, é ideal utilizar os números em forma de frações, não em sua
forma decimal. Isso porque, ao realizar as divisões propostas pelas frações,
podemos ter números irracionais ou até mesmo dízimas periódicas, o que
demandará sucessivos arredondamentos a cada cálculo feito e aumentará a
imprecisão do cálculo. Dessa maneira, trabalhe com os números em forma de
fração até o fim do cálculo e, só no fim, realize a divisão proposta pela fração.
Apesar de compreender os cálculos feitos até aqui, você deve estar se
perguntando:
Como é possível garantir que um carro, uma moto, um caminhão ou até mesmo
uma partícula mantenha a velocidade constante para que possamos aplicar a
equação horária do MRU?
Resposta
Se o sistema observado não for feito em laboratório sob um controle rigoroso,
fatalmente o corpo que se desloca não manterá a velocidade constante.
Então, para que serve essa teoria?
Você se lembra do conceito de velocidade média? Essa teoria pode ser aplicada
para encontrar a posição de um móvel, por meio do conhecimento da sua
velocidade média e, com isso, você consegue descrever toda a sua trajetória em
função do tempo.
Cinemática à velocidade variável
Movimento retilíneo uniformemente
variado (MRUV)
O MRUV é o movimento, em linha reta, que apresenta mudança de velocidade, ou
seja, existe aceleração. Porém, a aceleração é constante. Diante disso, a
equação horária que descreve o movimento é:
Onde:
0 = 40 − 30t
30t = 40
t =
40
30
t =
4
3
s
S(t) = S0 + v0 ⋅ t + a
t2
2
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 37/60
S(t) = Posição final
S0 = Posição inicial
v0 = velocidade inicial
t = tempo
a = aceleração
Observe que a função do MRUV apresenta a posição em função do tempo,
considerando a velocidade inicial do móvel, e isso ocorre porque essa velocidade
irá variar para mais ou para menos, o que dependerá da aceleração imposta ao
corpo.
Uma vez que exista aceleração, é possível também expressar a velocidade de
um móvel em MRUV em função do tempo:
Eq. 13
A função apresentada na função (13) demonstra que a velocidade muda de
maneira diretamente proporcional como passar do tempo quando o movimento
é acelerado.
É possível que, em uma observação de deslocamento, você tenha a informação
de espaço, velocidade ou aceleração, embora não possua a informação do
tempo.
Então, o que fazer?
Devemos utilizar a equação descoberta por Evangelista Torricelli que relaciona
as velocidades final e inicial de um móvel, com a aceleração (a) e o
espaço por ele percorrido , sem que haja a informação do tempo. Veja:
Evangelista Torricelli
Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um
físico e matemático italiano, mais
conhecido pela invenção do barômetro e
por descobertas na área de óptica.
Teoria na prática
Considere que um automóvel parte do repouso do quilômetro 10 de
uma rodovia e chega ao quilômetro 13 com uma velocidade de .
Sabendo que o carro está em constante aceleração, em quanto tempo esse
automóvel irá do quilômetro 10 até 0 quilômetro 13 ?
v(t) = v0 + at
(v) (v0)
(ΔS)
v2 = v2
0 + 2 ⋅ a ⋅ ΔS
_black
(v = 0)
120km/h
Mostrar solução
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 38/60
Grá�cos do MRU e do MRUV e as
suas classi�cações
Tanto o MRU como o MRUV apresentam gráficos e classificam seus movimentos
de acordo com estes gráficos. Vamos conhecer tais classificações?
Grá�cos do MRU
Movimento progressivo e movimento retrógrado
O MRU descreve a trajetória de um móvel, quando esse se move com velocidade
constante, podendo a velocidade atribuída ao móvel ser positiva ou negativa.
Mas o que são os movimentos progressivo e retrógrado?
Movimento progressivo
É aquele em que o móvel
caminha no mesmo sentido
da orientação da trajetória.
Os espaços crescem no
decorrer do tempo e sua
velocidade escalar é
positiva (v > 0). Dizemos
que um corpo está em
movimento progressivo
quando um corpo se move
em velocidade constante
positiva.
Movimento retrógrado
É aquele que ocorre quando
o móvel caminha contra a
orientação da trajetória. Os
espaços decrescem no
decorrer do tempo e sua
velocidade escalar é
negativa (v < 0). Dizemos
que um corpo está em
movimento retrógrado
quando se move em
velocidade constante
negativa.
Constante negativa
Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade
serve apenas para indicar o sentido do movimento e apontar se
ele é progressivo ou retrógrado.
As imagens a seguir demonstram o comportamento gráfico de ambos os tipos
de movimento.

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 39/60
Movimento progressivo, quando a velocidade é
positiva.
Movimento retrógrado, quando a velocidade é
negativa.
Grá�cos do MRUV
Movimento acelerado e movimento retardado
No MRUV, temos a presença da aceleração, o que gera a variação da velocidade
e, com isso, dois tipos de movimento:
Quando a aceleração de um móvel é positiva, chamamos o movimento de
acelerado.
Quando a aceleração é negativa, chamamos o movimento de retardado.
Movimento acelerado 
Movimento retardado 
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 40/60
O gráfico da posição do móvel em um MRUV é descrito por uma parábola, uma
vez que a posição é descrita por uma função do segundo grau, como
mostra a função (12). Nas imagens a seguir, estão dispostos os gráficos de
movimento acelerado e movimento retardado:
Função (12)
Gráfico da posição em função do tempo (S(t) × t)
do MRUV: movimento acelerado.
Gráfico da posição em função do tempo (S(t) × t)
do MRUV: movimento retardado.
Ambos os gráficos demonstram as raizes da função quadrática, obtidas quando
a posição . Os pontos de vértice dessa função são chamados de ponto
de retorno. Nesse ponto, a velocidade do móvel é zero, assim, o móvel para e
muda o sentido de seu movimento.
Para verificar, de modo rápido e eficaz, se um movimento é acelerado ou
retardado, usamos o gráfico de velocidade por tempo ( ). As próximas
imagens ilustram os dois gráficos:
Gráfico v(t) X t com movimento acelerado. Gráfico v(t) X t com movimento retardado.
Em nenhum dos gráficos feitos até o momento, tanto de quanto de ,
existe menção ao lado negativo de . Isso porque não existe tempo negativo. Por
isso, resultados de tempo negativo devem ser prontamente descartados.
MRU e MRUV
S(t)
S(t) = S0 + v0 ⋅ t + a
t2
2
S(t) = 0
v(t) × t
S(t) v(t)
t
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 41/60
Revisitação através do cálculo diferencial
e integral
Vimos até aqui como calcular a velocidade por meio da variação da posição em
relação ao tempo e como calcular a aceleração mediante a variação da
velocidade em relação ao tempo. Surgem, então, duas perguntas:
O que fazer quando a variação
de posição ou velocidade for
tão pequena que a faz tender
a zero?
Qual é a relação do cálculo
diferencial integral com a
Cinemática?
Vamos descobrir isso juntos a partir de algumas etapas que veremos a seguir.
1 - De�nir a derivada
No caso em que a variação de posição é muito pequena, teremos:
Eq. 15
Essa é a definição de derivada. Chegamos à conclusão de que a velocidade é a
derivada da posição em função do tempo. Logo, escrevemos da seguinte forma:
Eq. 16
2 - Veri�car a veracidade desta informação
Agora precisamos verificar a veracidade dessa informação. Lembra-se das
funções horárias do MRUV descritas em (12) e (13)? Ao derivar (12), devemos
obter (13). Vamos tentar?
Derivando, temos:
Eq. 17
v = lim
x→0
Δx
Δt
v = lim
x→0
Δx
Δt
=
dx
dt
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
dS(t)
dt
=
dS0
dt
+
d
dt
(v0t) +
d
dt
(at2)
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 42/60
3 - Reescrever a derivada
No lado direito de (17), temos primeiramente a derivada da posição inicial, que,
por ser uma constante, é zero. A derivada de e a derivada
de . Assim, reescrevemos (17) como:
Eq. 18
Da mesma forma como está descrita em (13).
4 - Encontrar a aceleração
Para encontrar a aceleração, basta derivar em função do tempo as funções (13)
ou (18), já que elas são idênticas. Você encontrará que .
Agora vamos ver o caminho inverso. Vamos partir da aceleração e chegar na
equação da posição.
5 - Equação da posição
Considere que seu corpo de inicio em repouso é submetido a uma aceleração
constante , e você quer a equação que descreva o seu movimento. Para isso,
vamos integrar o corpo, de um ponto inicial a um ponto final, como demonstrado
abaixo:
Integrando em relação ao tempo, temos:
Eq. 19
Ao realizar a integração, temos:
Eq. 20
Reescrevendo (20), temos:
Eq. 21
A função encontrada em (21) é idêntica à função encontrada em (18). Para achar
a posição, devemos integrar (21) também de um tempo a um tempo .
d
dt (v0t) = v0
dt
dt = v0
d
dt (at
2) = a d
dt (t
2) = 2at
v(t) = v0 + at
a = a
a
a(t) = a
∫
v
v0
dv
dt
dt = ∫
t
0
adt
Δv = at
v(t) = v0 + at
t0 = 0 t
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 43/60
Assim:
Eq. 22 Eq. 23
Logo, temos:
Eq. 24
Com simples passos de integração foi possível, por meio da constante da
aceleração, descrever a função horária do MRUV.
Você deve estar se perguntando por que o tempo inicial foi considerado como
zero, e não como . Só começamos a contar o tempo a partir do momento em
que você observa o início do fenômeno físico. Antes de o fenômeno ocorrer,
você não está marcando o tempo; por isso, tudo começa do zero.
Vamos ver um exemplo?Imagine que
você será o marcador do tempo de um
corredor de 100m rasos que quer bater
o recorde mundial. Você só irá
disparar o cronômetro quando for
dado o sinal para ele começar a correr.
Então, qual é o tempo inicial do
cronômetro?
A resposta é: zero.
A função horária do MRU é uma particularidade da função horária do MRUV. Se
considerarmos a aceleração igual a zero em (24), obrigatoriamenteteremos a
função descrita em (11).
Mão na massa
Questão 1
Um automóvel se move em uma estrada de acordo com a função S(t) = 5t + 2,
onde as unidades estão em km e h. Assim, podemos afirmar que a posição
inicial e a velocidade do automóvel são respectivamente:
∫
S
S0
dS
dt
dt = ∫
t
0
[v0 + at]dt Δx = v0t +
at2
2
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
t0
Resposta 

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 44/60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um ciclista se move de acordo com a função .
Diante desse contexto, podemos afirmar que:
A 2km e 5km
B 5km e 2km
C 2km e 2,5km
D 5km e 0,4km
E 3km e 0,1km
v(t) = 15 − 0, 03t
A
O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de
um S0 = 15m.
B
O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de
um v0 = 15m/s.
C
O ciclista se move com um movimento acelerado, partindo de
um S0 = 15m.
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 45/60
Parabéns! A alternativa B está correta.
A equação apresentada no enunciado descreve a mudança de velocidade em
função da aceleração:
Onde e . Como a aceleração é negativa, o
movimento é retardado.
Questão 3
Um móvel está se movendo com velocidade de 40cm/s. Quando
bruscamente imprime uma aceleração, percorrendo 3cm em um movimento
retardado, até parar. Assinale a opção que representa a aceleração executada
por este móvel:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
D
O ciclista se move com um movimento acelerado, partindo de
um v0 = 15m/s.
E
O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de
um a = 15m/s2.
v(t) = v0 + at
v0 = 15m/s a = −0, 03m/s2
A -266,67cm/s2
B 266,67cm/s2
C -300cm/s2
D 300cm/s2
E -299,57 cm/s2
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 46/60
Questão 4
Uma bola é abandonada de uma altura de .
Sabendo que a aceleração gravitacional local é de , assinale a opção
que representa o tempo de queda:
Parabéns! A alternativa E está correta.
A bola inicialmente está parada, portanto a velocidade é nula. Entretanto, ela
cai. Isso ocorre devido à ação gravitacional, pois temos a aceleração
gravitacional agindo. Logo, esse é um MRUV:
50cm
10m/s2
A 0,19s
B 0,30s
C 0,28s
D 0,25s
E 0,32s
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
S(t) − S0 = 0t +
10t2
2
H(t) = 5t2
0, 5 = 5t2
t = 0, 32s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 47/60
A altura foi definida como sendo o espaço entre a posição inicial e a posição
final da bola.
Questão 5
Considere a equação da posição de um móvel igual a: S(t) = 5 – 58t + 3t2
com unidades no S.I..
A velocidade deste móvel no instante t = 37s é igual a
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
Um automóvel está se locomovendo de acordo com a função da velocidade
, com unidades no SI.
A função que define a sua posição em função do tempo é a:
A 158m/s
B 162m/s
C 164m/s
D 168m/s
E 170m/s
v(t) = 0, 02
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 48/60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para descobrir a equação da posição do automóvel, temos que integrar a
função da velocidade:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um móvel parte do repouso e, após percorrer , atinge a velocidade de
. A sua velocidade após da sua partida é de:
A 0, 01 (t2 − t2
0)
B 0, 02 (t2 − t2
0)
C 0,01(t - t0)
D 0,02(t - t0)
E 0,02t²/2
S(t) = ∫
t
t0
0, 02tdt
S(t) =
0, 02t2
2
t
t0
S(t) = 0, 01 (t2 − t2
0)∣450m
162km/h 15s
A 340m/s
B 33,5m/s
C 45m/s
D 33,75m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 49/60
Parabéns! A alternativa D está correta.
Primeiramente, devemos encontrar a aceleração desse móvel. Como não
temos a informação do tempo que leva para o móvel chegar à posição ,
precisamos utilizar a equação de Torricelli. Porém, antes devemos fazer a
conversão da velocidade para unidades do Sl:
Aplicando a equação de Torricelli:
Para encontrar a velocidade após 15 s da partida, precisamos escrever a
função da velocidade:
Questão 2
Considerando a função da velocidade e a equação de Torricelli, a alternativa
que descreve corretamente a aceleração em função de ∆S, v0 e t é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos:
E 32,25m/s
450m
v =
162Km/h
3, 6
= 45m/s
v2 = v2
0 + 2aΔS
452 = 0 + 2a ⋅ 450
a = 2, 25m/s2
v(t) = v0 + at
v(t) = 2, 25t
v(15) = 2, 25 ⋅ 15
v(15) = 33, 75m/s
A a =
2(ΔS−v0t)
t2
B a =
2(v0t−ΔS)
t2
C a =
2(ΔS−v0t)
t
D a =
(ΔS−v0t)
t
E a =
(ΔS+v0t)
t
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 50/60
v(t) = v0 + at (I)
v2 = v20 + 2a ∆S (II)
Tanto v(t) como v são as velocidades finais, portanto, podemos substituir (I)
em (II):
(v0 + at)2 = v2
0 + 2a ∆S
v20 + 2v0at + a2t2 = v2
0 + 2a ∆S
Reorganizando algebricamente, temos:
4 - Movimento em trajetória circular
Ao �nal deste módulo, você será capaz de descrever os movimentos circulares e suas funções
horárias.
Vamos começar!
MCU e MCUV
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de movimentos curvilíneos.
a =
2 (ΔS − v0t)
t2

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 51/60
Movimento circular uniforme (MCU)
Um MCU ocorre, como o próprio nome indica, quando a trajetória de um móvel
descreve uma circunferência e mantém o módulo de sua velocidade constante.
Em nosso cotidiano, observamos diversos exemplos de movimentos circulares
uniformes, como o girar das hélices de ventiladores e a locomoção do ponteiro
dos segundos de um relógio, por exemplo.
No movimento retilíneo, a velocidade
era definida como a variação do
espaço percorrido em função do
tempo. No MCU, a lógica continua a
mesma, porém, agora nos referiremos
à posição angular.
A velocidade será calculada a partir da
variação dessa posição angular em
função do tempo, por isso, a
chamamos de velocidade angular.
Observe, na próxima imagem, que o
trajeto percorrido pelo móvel está
disposto em vermelho. Trata-se de um
caso em que um móvel está se
deslocando de para em trajetória
curvilinea.
Essa curva possui um centro, e a
distância da curva até o centro é dada
pelo raio.
Representação de um movimento circular de um
móvel partindo do ponto A em direção ao ponto B .
No caso de um movimento circular, utilizamos como espaço a variação angular
medida, tendo como referencial o centro da circunferência. A posição angular é
expressa pela letra e a velocidade, expressa pela letra . A imagem a seguir
ilustra essa situação.
A B
θ ω
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 52/60
Movimento circular.
A unidade de medida no Sl da posição angular é o radiano (rad) e a unidade de
medida no Sl da velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s).
Portanto, analogamente ao M.R.U., temos:
Eq. 25
Como se trata de um movimento uniforme, analogamente à equação horária do
MRU, a equação horária do MCU é:
Eq. 26
θ(t) = θ0+ωt
Assim como no MRU, o gráfico de sua função é descrito por uma reta, crescente
ou decrescente. Existe também outra relação para a determinação da velocidade
angular, que é dada pela razão entre a velocidade linear do móvel e o raio da
trajetória:
Eq. 27
Apesar de ser outra maneira de encontrar a velocidade angular, a unidade de
medida também é o .
Movimento circular
uniformemente variado (MCUV)
De forma análoga ao MRUV, o MCUV é o movimento curvilíneo que apresenta
aceleração angular (α). Portanto,temos a posição angular e a velocidade angular
expressas da seguinte forma:
Eq. 28
Velocidade angular.
Eq. 29
Posição angilar.
Os gráficos gerados por ambas as funções descritas em (28) e (29) são
idênticos aos gerados pelas equações do MRUV. A aceleração angular pode ser
determinada das seguintes formas:
ω =
θ − θ0
t − t0
ω =
v
r
rad/s
θ(t) = θ0 + ω0t +
at2
2
ω(t) = ω0 + αt
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 53/60
Eq. 30 Eq. 31
A unidade da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2).
Como todas as equações até agora têm sido análogas às equações do
movimento retilíneo, a equação de Torricelli também se aplica ao movimento
circular. Veja:
Eq. 32
Teoria na prática
Um automóvel se locomove com velocidade de quando entra em uma
curva de raio igual a . Verificando que não conseguiria fazer a curva, o
condutor do automóvel aciona o freio, com uma aceleração de .
Responda:
1. Qual a velocidade com a qual o automóvel entra na curva?
2. Qual a aceleração angular imposta ao veículo?
3. Se o deslocamento angular foi de , qual a função horária do movimento?
Mão na massa
Questão 1
Um móvel se desloca de acordo com a função Θ(t) =1 + 6t. Assim, podemos
afirmar que a sua posição angular inicial no S.I. é de:
α =
ω − ω0
t − t0
α =
a
r
ω2 = ω2
0 + 2aΔθ
_black
144km/h
12km
−0, 72m/s2
90∘
Mostrar solução

A 1rad
B 6rad
C 1°/6 rad
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 54/60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um móvel se desloca de acordo com a função . Sua posição
após é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 3
Um móvel gira preso por uma corda de comprimento 45cm com frequência
de 45Hz. A velocidade linear de deslocamento desse móvel é igual a:
D 1°
E 2°
θ(t) = 1 + 6t
t = 1/6s
A 2rad
B 1rad
C 0,5rad
D 0,25rad
E 0,15rad
θ( 1
6
) = 1 + 6 ⋅
1
6
= 2rad
A 100,36m/s
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 55/60
Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Um móvel se locomove de acordo com a função:
, e as unidades estão em radianos e
segundos. Sua posição quando é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
B 114,16m/s
C 125,39m/s
D 127,17m/s
E 132,19m/s
θ(t) = π
2 + 10−2
3 t − 3 × 10−4t2
t = 40s
A 3,14rad
B 2,96rad
C 1,92rad
D 1,52rad
E 0,96rad
θ(40) =
π
2
+
10−2
3
40 − 3 × 10−4(40)2 = 1, 92rad
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 56/60
Questão 5
Considerando que um móvel se locomove sobre a função θ(t) = π/2 + 10-2/3t
– 3 x 10-4 t2, com unidades no S.I.
Sua velocidade angular em 4 segundos é igual a:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
Considere um carro realizando uma curva à velocidade de . A curva
tem variação angular de e o móvel a percorre em 30s. Diante dessas
informações, o raio dessa curva em metros é igual a:
A 3,33 x 10-2rad/s
B 9,33 x 10-4rad/s
C 3,33 x 10-4rad/s
D 9,33 x 10-2rad/s
E 6,66 x 10-4rad/s
60km/h
45∘
A 626,75m
B 600,98m
C 601,37m
D
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 57/60
Parabéns! A alternativa D está correta.
O primeiro passo é colocar a variação angular em radianos:
πrad ________ 180°
Δθ __________ 45°
Em seguida, precisamos determinar a velocidade angular:
E converter a velocidade de para :
Então, para descobrir o raio da curva:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um móvel descreve uma trajetória circular com raio de , de acordo com a
função horária: . A função que descreve a
velocidade angular é:
636,75ml
E 715,22m
Δθ =
π
4
rad
ω =
Δθ
Δt
=
π
30
=
π
120
rad/s
km/h m/s
v =
60
3.6
= 16, 67m/s
ω =
v
r
ε
120
=
16, 67
r
r = 636, 75m
15m
θ(t) = −13 + 15 − 0, 5t2
A ω(t) = 15 + t
B ω(t) = 15 - t
C ω(t) = 15 - 0,5t
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 58/60
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para encontrar a função da velocidade angular, vamos derivar a função
horária em função do tempo:
Questão 2
Uma partícula gira em torno de um ponto material de acordo com a função
. A função horária que descreve a posição angular é de:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para encontrar a posição angular, que nesse caso é a função horária,
devemos integrar a função .
A constante é somada devido ao fato de estarmos lidando com uma
integral indefinida.
D ω(t) = 15 + 0,5t
E ω(t) = -15 + 0,5t
dθ(t)
dt
=
d
dt
(−13) +
d
dt
(15t) −
d
dt
(0, 5t2)
ω(t) = 15 − t
ω(t) = − 3
2
t
A θ(t) = − 3
2
t2 + Ct
B θ(t) = − 3
4
t2 + Ct
C θ(t) = − 3
4
t2 + C
D θ(t) = − 3
2
t2 + C
E θ(T ) = 3/2t2 − C
ω(t)
∫ ω(t) = ∫ −
3
2
t
θ(t) = −
3
4
t2 + C
C
13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 59/60
Considerações �nais
Neste tema, apresentamos os conceitos da Cinemática, tanto para um
movimento retilíneo quanto para um movimento curvilíneo, e conhecemos todas
as equações que regem o movimento mecânico, verificando suas relações.
Dentre elas, verificamos que o MRU é um caso particular do MRUV e que o MCU
é um caso particular do MCUV.
Vimos também que é possível utilizar o cálculo diferencial e o integral para
determinar a velocidade e a aceleração de um corpo em determinado instante de
tempo. Esses conceitos apresentados são de suma importância e você
perceberá que eles o acompanharão, não só ao decorrer de todo o curso, mas
também por toda a sua vida como profissional.
Podcast
Antes de encerrarmos, ouça este podcast, onde o professor gabriel Burlandy
aborda os principais assuntos tratados até aqui.
Explore +
Existem diversas aplicações das teorias cinemáticas, entre elas: queda livre,
lançamento vertical, lançamento horizontal e lançamento oblíquo. Uma boa
fonte de informação sobre a aplicação das equações da Cinemática se encontra
no artigo científico Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise
qualitativa, publicado por Freire et al. em 2016.
Os conceitos da Cinemática são essenciais para o entendimento do mundo ao
nosso redor. Podemos notar esses conceitos até mesmo nos esportes. Para
compreender melhor, explore mais sobre esse conceito, lendo o artigo científico
A utilização do futebol americano como instrumento auxiliar no ensino de
Cinemática, escrito por Rodrigo Dias Pereira e Lucas Amaral Fantecele.

13/10/23, 12:03 Cinemática de Galileu
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00078/index.html# 60/60
Referências
FREIRE, W. H. C. et al. Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise
qualitativa. In: Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 1, p. 1-5, mar. 2016.
FapUNIFESP (SciELO).
CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. FÍSICA. 9. ed., v. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2016.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed., v. 1. Rio
de Janeiro: LTC, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1, 6. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2014.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo
completo em formato PDF.
Download material
O que você achou do conteúdo?
Relatar problema
javascript:CriaPDF()