Equilíbrio de um ponto material

Prévia do material em texto

13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 1/47
Equilíbrio de um ponto material
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
Descrição Os conteúdos físicos relacionados ao equilíbrio de um corpo.
Propósito Apresentar os conceitos de momento e centro de massa.
Preparação Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e
uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
Objetivos
Módulo 1
Corpo e equilíbrio
Identificar o equilíbrio de um ponto material.
Módulo 2
Análise escalar do
equilíbrio
Definir o momento escalar de um corpo.
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 2/47
Módulo 3
Análise vetorial do
equilíbrio
Calcular o momento vetorial de um corpo.
Introdução
Olá! Neste vídeo, vou fazer uma breve introdução ao conteúdo que será
abordado neste tema. Vamos lá?
1 - Corpo e equilíbrio

13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 3/47
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o equilíbrio de um
ponto material.
Corpos em equilíbrio
Equilíbrio de um corpo
Entendendo o ponto de
equilíbrio
Olá! Neste vídeo, vou fazer uma breve introdução ao conteúdo que será
abordado neste módulo. Vamos lá?
Um corpo está em equilíbrio quando está livre de forças. ou quando a força
resultante atuante neste corpo é nula.
Eq. 1
Em ambos os casos, podemos obter as seguintes situações:
O corpo está parado, ou seja, com
velocidade zero.

( →FR = 0,  primeira condição de equilibrio )
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 4/47
O corpo está se movimentando
com velocidade constante, o que
garante que não há aceleração
atuando no corpo.
Porém, essas duas condições são válidas para corpos se locomovendo em
trajetória retilínea.
Equilíbrio do corpo que
rotaciona
Neste caso, temos que trabalhar com o conceito de momento angular, que é
definido pela força aplicada ao corpo, multiplicada pela distância do ponto de
apoio que sofre a rotação.
Definimos o momento (τ) como:
Eq. 2
Onde, F = Força (N) e d = Distância (m). Isso nos mostra que o momento tem
como unidade no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) o Joule (J). Note que o
momento é calculado exatamente igual ao trabalho realizado por uma força.
Então, um carro que se movimenta à velocidade constante está em equilíbrio,
devido à sua aceleração ser nula e, por sua vez, a força resultante também ser
nula.
Se tivermos também duas forças de mesmo módulo empurrando um corpo em
sentidos opostos, como mostra a imagem, podemos dizer que este corpo
também está em equilíbrio, pois a sua força resultante é nula.
τ = F ⋅ d
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 5/47
Representação de um corpo em repouso devido à força resultante nula.
Note que temos duas forças de módulo F em mesma direção e sentidos
opostos. Assim:
Eq. 3
No entanto, se agora estivermos tratando de um corpo que pode sofrer rotação,
não só a força deve ser igual, mas a distância também, pois estamos falando
que os momentos opostos devem ser iguais.
Para compreender melhor, observe a imagem abaixo. Nela existe uma barra fixa
por uma de suas extremidades, livre para sofrer rotação. Existem duas forças
atuantes nessa barra, a força peso da barra, localizada na metade de seu
comprimento, e uma força F sendo aplicada na ponta livre:
Barra livre para girar.
A figura mostra a força peso na metade da barra. A distância da força peso está
a uma distância d da ponta fixa para gerar a rotação, já a força F está a uma
distância D da ponta fixa que gera a rotação.
Para que essa barra fique em equilíbrio e não entre em rotação, nem para cima
nem para baixo, é necessário que os momentos das forças sejam iguais
(segunda condição de equilíbrio). Então, para que a barra fique parada na
horizontal, observe as duas opções de equação adequadas:
Eq. 4
Eq. 5
FR = F − F = 0
P ⋅ d = F ⋅ D
P ⋅ d − F ⋅ D = 0
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 6/47
As equações (3) e (4) só são válidas para quando a força aplicada é ortogonal à
superfície.
Vamos considerar agora a seguinte situação: um bloco de massa M preso por
uma corda que está se conectando com outras duas cordas, como mostra a
imagem a seguir:
Bloco P de massa M pendurado por um sistema de três cordas.
Na figura abaixo, temos a representação das forças atuantes no bloco de massa
M, e também em cada uma das cordas que o sustentam. Vamos assumir que a
corda cuja tração é T3 faz um ângulo Θ com a horizontal. Então, para que esse
sistema esteja em equilíbrio, é necessário que:
Eq. 6
Logo, para poder realizar essa análise é necessário decompor o vetor:
Decomposição do vetor T3.
Para que o bloco de massa M esteja em equilíbrio, é necessário termos as
seguintes condições:
→FRX
= 0 e  →FRY
= 0
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 7/47
Eq. 7
Eq. 8
Agora, observe a eq. 9.
Eq. 9
Como podemos determinar esse vetores que aparecem aqui na equação 9?
Através da condição de ângulos alternos externos, podemos escrever:
Eq. 10A
Eq. 10B
Analisando as forças no corpo de massa M, podemos afirmar que: 
Então, nossa condição de equilíbrio para esse sistema é:
Eq. 11
 Em x: T2 = T3x
−→−→
 Em y: T1 = T3y
−→−→
T1,T3x e T3y
−→−→−→
T3x = T3 cos θ
−→−→
T3Y = T3 sen θ
−→−→
T1 = →P
−→
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 8/47
Em X.
Eq. 12
Em Y.
Centro de massa (CM) ou
centro de gravidade (CG)
Qual a diferença?
O centro de massa de um corpo é um ponto hipotético, no qual consideramos
que toda a massa de um sistema físico está concentrada.
Ao aplicar forças externas em um
sistema físico, consideramos que
todas essas forças também estão
sendo aplicadas nesse ponto
hipotético.
O ponto de centro de massa também é
chamado de ponto de equilíbrio.
Um corpo fica livre de rotações quando suspenso por este ponto de equilíbrio.
Você já deve ter visto em algum lugar um brinquedo chamado de pássaro
equilibrista, como o da imagem a seguir:
T2 = T3 cos Θ
−→−→
→P = T3 sen Θ
−→
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 9/47
Pássaro equilibrista.
Esse pássaro é apoiado pelo seu bico
em qualquer ponto de apoio, e então
fica ali parado, em completo equilíbrio.
Isso porque ele é fabricado de tal
forma que o seu centro de massa seja
exatamente em seu bico.
O segredo desse pássaro é que os
fabricantes colocam contrapesos nas
pontas das suas asas, para equilibrar
o peso do resto do corpo do pássaro.
Se aplicarmos uma força exatamente no ponto de centro de massa de um
sistema físico constituído por um único corpo, como o pássaro da imagem
anterior, garantimos que esse corpo pode se movimentar sem experimentar
nenhum tipo de rotação, ou seja, possui torque zero. Porém, se o sistema físico
for constituído por mais de um corpo, o centro de massa está localizado em um
ponto onde se passa uma reta imaginária que os une.
Vamos exemplificar:
Imagine que duas bolas de massas iguais estão no espaço sideral como mostra
a imagem a seguir:
Bolas de mesma massa, no espaço sideral, separadas a uma distância d.
Essas duas bolas estão localizadas a uma distância uma da outra. Como suas
massas são iguais, o centro de massa dessas duas bolas se localiza exatamente
à metade da distância que separa as bolas, como mostra a imagem. Dessa
forma, o centro de massa está localizado a uma distância de d/2 de qualquer
uma das bolas.
Determinação do centro demassa de um sistema de
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 10/47
vários corpos
Para definir o centro de massa de um sistema onde existe mais de um corpo, é
necessário:
Vamos começar a nos habituar com a análise utilizando um sistema de dois
corpos. Um de massa m = 1kg e outro de massa M = 7kg, dispostos sobre o eixo
das abscissas no plano cartesiano, como demonstra a imagem a seguir:
Dois corpos dispostos sobre o eixo das abscissas no plano cartesiano.
Uma vez que conhecemos a massa de ambos os corpos, e a posição desses no
plano cartesiano, vamos determinar o ponto de centro de massa entre esses
dois corpos, utilizando o cálculo de uma média ponderada. Assim:
Eq. 13
 Conhecer o número de corpos que compõem o sistema
físico.
 Conhecer a massa de cada um dos corpos que compõem o
sistema físico.
 Conhecer a posição de cada um dos corpos que compõem
o sistema físico.
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 11/47
Substituindo os valores das massas, temos:
Eq. 14
O resultado obtido demonstra que o ponto de centro de massa está localizado
no ponto 4,63m sobre a reta x do plano cartesiano.
Analisando esse exemplo, podemos postular a posição do centro de massa
neste caso como sendo:
Eq. 15
E se esses corpos estivessem situados sobre o eixo das ordenadas (eixo y)
(imagem a seguir), como poderíamos postular o centro de massa entre eles?
Corpos posicionados sobre o eixo das ordenadas.
Como continuaria sendo uma análise unidimensional, o centro de massa seria
postulado da mesma maneira, porém levando-se em conta agora o eixo y. Então:
Eq. 16
xcm =
−5 ⋅ m + 6 ⋅ M
m + M
xcm =
−5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 7
1 + 7
= 4, 63m
xcm =
x1 ⋅ m1 + x2 ⋅ m2
m1 + m2
ycm =
y1 ⋅ m1 + y2 ⋅ m2
m1 + m2
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 12/47
Vamos agora observar dois corpos dispostos no plano xy, de tal maneira que
eles possuam coordenadas x e y diferentes de zero:
Dois corpos dispostos em um plano, com x e y diferentes de zero.
No caso apresentado na imagem anterior, precisamos determinar o centro de
massa entre esses dois corpos, com ambas as coordenadas que compõem o
seu ponto diferentes de zero. Assim, precisamos determinar separadamente as
coordenadas da abscissa e ordenada, para poder encontrar o ponto do plano
cartesiano onde se encontra o centro de massa.
Para determinar a coordenada das abscissas, utilizaremos a equação (15) e para
determinar a coordenada das ordenadas, utilizaremos a equação (16). Assim:
Eq. 17
Desta maneira, o ponto de centro de massa é expresso por:
Eq. 18
Vamos, então, supor que
.
Utilizando a equação (18), temos que o ponto de centro de massa entre esses
dois corpos é igual a:
Eq. 19
xcm =
x1 ⋅ m1 + x2 ⋅ m2
m1 + m2
 e ycm =
y1 ⋅ m1 + y2 ⋅ m2
m1 + m2
Pcm = ( x1 ⋅ m1 + x2 ⋅ m2
m1 + m2
,
y1 ⋅ m1 + y2 ⋅ m2
m1 + m2
)
m1 = 13g,m2 = 17g,x1 = −3cm,x2 = 1cm, y1 = 10cm e y2 = 7cm
Pcm = (−0, 7; 8, 3)cm
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 13/47
Perceba que o resultado encontrado se deu em centímetro (cm). Isso porque o
centro de massa não precisa estar no Sistema Internacional de medidas (S.I.)
para poder ser determinado, mas é necessário garantir que tanto as massas
quanto as posições estejam com unidades equivalentes.
Perceba também que a coordenada em x do ponto de centro de massa ficou
próxima do corpo de 13g. Isso porque o centro de massa se estabelece sempre
perto do corpo mais próximo.
Entre dois ou mais corpos sempre existirá um ponto de centro de massa.
Você já se perguntou o porquê de o planeta Terra
girar em torno do Sol?
Na verdade, a Terra gira em torno do
centro de massa existente entre a
Terra e o Sol, porém, como a massa do
Sol é tão maior que a massa da Terra,
o ponto de centro de massa entre a
Terra e o Sol se localiza no interior do
próprio Sol. Assim, a Terra gira em
torno desse ponto, através de uma
órbita elíptica, e o Sol gira em torno
desse ponto também, mas como tal
ponto se localiza dentro do Sol, não
percebemos esse movimento.
Outro exemplo equivalente é o sistema Terra-Lua. A Lua gira em torno da Terra
porque o centro de massa entre a Terra e a Lua se localiza no interior da própria
Terra. A massa da Terra é muito maior que a massa da Lua.
Teoria na prática
Agora, vamos aprender de forma prática a determinar o centro de massa de um
corpo, com geometria não tão uniforme.
_black
Mostrar solução
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 14/47
Mão na massa
Questão 1
Considere dois corpos de massa 1kg e 1,5kg dispostos sobre o eixo X,
localizados em X = 0 e X = 7cm respectivamente. A coordenada de X que
corresponde ao ponto de centro e a massa entre esses dois corpos é de:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
Questão 2
Considere três corpos de massa 1kg, 1,5kg e 2,0kg dispostos sobre o eixo X,
localizados em X = 0, x = 2,4cm e X = 7cm respectivamente. A coordenada de
X que corresponde ao ponto de centro de massa entre esses dois corpos é
de:

A 3,9cm
B 4,2cm
C 5,6cm
D 7,1cm
E 7,6cm
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 15/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Solução:
Questão 3
A imagem abaixo corresponde a um metal com massa distribuída
homogeneamente.
Considerando que suas dimensões estão dispostas na figura, e que essa
peça é utilizada em uma máquina afastada 3cm da vertical e 2cm da
horizontal, o seu centro de massa se dá no ponto:
A 3,9cm
B 2,4cm
C 1,6cm
D 0cm
E 1,3cm
xcm = x1⋅m1+x2⋅m2+x3⋅m3
m1+m2+m3
= 0.1+2,4.1,5+7.2,0
1+1,5+2,0 = 3, 9cm
A (3,5 ; 7,5)
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 16/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira a solução em vídeo a seguir:
Questão 4
Dois corpos maciços, de massa 3kg e 5kg, possuem seus centros de massas
individuais nos pontos (2 ; 5)m e (7 ; 9)m respectivamente. O centro de massa
entre esses dois corpos é o ponto:
B (4,5 ; 7,5)
C (3,5 ; 8,5)
D (3,5 ; 6,5)
E (3,5; 4,5)
A (3,30 ; 7,50)
B (4,98 ; 7,90)
C (5,13 ; 7,50)
D (6,00 ; 8,20)
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 17/47
Parabéns! A alternativa C está correta.
Solução:
Questão 5
Considere a imagem abaixo, e que os corpos contidos nela possuem suas
massas distribuídas uniformemente. Assinale a opção que representa o
ponto de centro de massa:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira a solução em vídeo a seguir:
E (6,00; 7,00)
xcm = x1⋅m1+x2⋅m2
m1+m2
= 2,3+7,5
3+5 = 5, 13cm
Ycm = y1⋅m1+y2⋅m2
m1+m2
= 5,3+9,5
3+5 = 7, 50cm
A (4 ; 1,2)cm
B (4,5 ; 1,2)cm
C (1,2 ; 4)cm
D (1,2 ; 4,5)cm
E (2,0 ; 6,1)cm
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 18/47
Questão 6
A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua é de 384.400km. Sabe-se
que a Terra tem massa de 6,0 x 1024kg e que a Lua tem massa de 7,4 x
1022kg. O centro de massa entre esses dois corpos se encontra a uma
distância de:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Como a distância é de 384.400 km, vamos dizer que a Terra se encontra
sobre o eixo x em x = 0 e que a Lua se encontra sobre o eixo x, em x =
384.000 km, assim:
Isso significa que o centro de massa entre esses dois corpos está a uma
distância de 4.683,17 km do centro da Terra, pois a Terra se encontra em x =
0.
A 380.683,17km do centro da Lua.
B 4.683,17km do centro da Terra.
C 4.683,17km do centro da Lua.
D 380.683,17km do centro daTerra.
E 386.683,17km do centro da Terra.
Xcm = x1⋅m1+x2⋅m2
m1+m2
= 0.6,0x1024+384.400.7,4x1022
6,0×1024+7,4x1022 = 4.683, 17km
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 19/47
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O Sol possui uma massa de e a Terra possui uma massa de
.
Assinale a opção que apresenta o ponto de centro de massa entre a Terra e o
Sol, sabendo que a distância do centro da Terra ao centro do Sol é igual a
, o raio de Terra é igual a 6371km e o raio do Sol é igual a
696340km:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para poder solucionar o problema, vamos desenhar a Terra e o Sol, colocando
a Terra na origem dos espaços do eixo cartesiano, e o Sol a uma distância de
1,47 x 108km, sobre o eixo x:
1, 99 × 1030
5, 97 × 1024
1, 47 × 108
A 1,99 x 108km
B 1,47 x 108km
C 5,97 x 108km
D 6,31 x 108km
E 7,99×108 km
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 20/47
Assim, definimos a Terra na posição zero, e o Sol na posição 1,47 x 108km.
Como conhecemos as posições e as massas, podemos determinar o ponto
de centro de massa:
Desta forma, definimos que o ponto de centro de massa se localiza no interior
do Sol.
Questão 2
A imagem mostra dois corpos, um de 10kg e outro de 3kg sobre uma barra de
peso desprezível. O corpo de 10kg está a 2cm do ponto de apoio, e o corpo
de 3kg está a uma distância desconhecida x do ponto de apoio.
Considerando que a barra não entra em rotação, o valor de x é de:
Pcm = 0.5,97×1024+1,47x108⋅1,99×1030
5,97×1024+1,00×1030 ≅1, 47 × 108km
A 2,2cm
B 3,2cm
C 4,0cm
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 21/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para que não haja rotação, ou seja, para que a barra fique parada na
horizontal, os momentos dos corpos de 10kg e de 3kg devem ser iguais,
assim:
2 - Análise escalar do equilíbrio
Ao �nal deste módulo, você será capaz de de�nir o momento escalar de
um corpo.
Equilíbrio de um sistema de
corpos
D 6,7cm
E 7,1cm
10kg ⋅ 2cm = 3kg ⋅ ×
× = 6, 7cm
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 22/47
Abordagem escalar
Equilíbrio em grandeza escalar
Olá! Neste vídeo, vou fazer uma breve introdução ao conteúdo que será
abordado neste módulo. Vamos lá?
Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante das forças
externas atuantes no corpo é igual a zero, mas isso pode ocorrer de duas
formas:
Com o corpo parado. Com o corpo em movimento com
velocidade constante.
Quando o corpo está parado, dizemos que o corpo está em equilíbrio estático, e
quando o corpo está se movendo com velocidade constante, ou seja, em
movimento retilíneo uniforme, dizemos que o corpo está em equilíbrio dinâmico.
Neste módulo, iremos nos atentar somente ao equilíbrio estático.
Um corpo está em equilíbrio estático quando a força resultante da atuação de
forças externas no corpo é nula. Em geral, estudamos esse fenômeno através da
análise do momento de alavanca (também chamado de momento angular ou
torque de uma força).
Vamos, então, considerar uma alavanca para poder definir todos os nossos
conceitos físicos. Desta forma, podemos definir o momento angular como
sendo:

13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 23/47
Onde, F = força aplicada (N); d = distância da força ao ponto de apoio (m) e Θ =
ângulo entre a força e a alavanca (graus).
Um ponto de apoio é um ponto que
permite que a alavanca gire
livremente. Um exemplo que ilustra
bem uma alavanca livre para girar e
um ponto de apoio fixo é uma
gangorra. Sim, a gangorra, aquele
brinquedo de criança que está
disponível nos parquinhos públicos da
cidade, como mostra a imagem.
Note que a gangorra é constituída de uma tábua longa de madeira, que funciona
como uma alavanca, levantando um lado enquanto o outro abaixa. No centro
dessa tábua existe um ponto de apoio, que permite a tábua girar livremente,
levantando uma criança, enquanto desce a outra. Vamos aproveitar o exemplo
dessa balança e discutir os conceitos físicos.
Vamos considerar primeiro que a tábua de madeira onde as crianças estão
sentadas possui 4m de comprimento e massa de 25kg, distribuída
uniformemente. A criança da esquerda tem 30kg e a criança da direita tem 25kg.
Como podemos dispor as crianças em cima da
tábua, de maneira que ela �que parada na
horizontal?
Primeiramente, vamos representar a ocasião com um desenho esquemático:
Representação das crianças na gangorra parada na horizontal.
τ = F ⋅ d ⋅ sen(θ)
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 24/47
A massa da tábua está distribuída uniformemente. Dessa maneira, todo o seu
peso pode ser representado no centro de massa. No entanto, seu centro de
massa está sendo apoiado no ponto de apoio. Assim, a força normal do ponto
de apoio anula a força peso da tábua.
Essa análise nos permite desprezar a massa da tábua e proceder com os
cálculos considerando somente as forças peso das crianças, analisando a
aceleração gravitacional local como 10m/s². Note na imagem anterior que uma
das crianças está na ponta da tábua, enquanto a outra está sentada mais
próxima ao ponto de apoio. Note também que as forças peso das crianças
fazem um ângulo de 90° com a superfície da tábua.
Então, podemos determinar a distância que a outra criança tem que estar da
barra utilizando o momento angular resultante do sistema, que nada mais é do
que a soma dos momentos de cada criança em cima dessa gangorra. Assim:
Como a gangorra deve ficar parada na horizontal, temos que ,
então:
Esse cálculo mostra que a criança da direita deveria ser posicionada a uma
distância de 2,4m do ponto de apoio, ou seja, seria impossível com essa
configuração conseguir parar a gangorra na horizontal, pois do ponto de apoio
até a extremidade existem 2 metros de tábua somente. O ponto desejado está
fora da gangorra. Todavia, conseguimos encontrar uma configuração possível de
equilíbrio para a gangorra se invertermos a ordem das crianças, colocando a
criança de 25kg a 2m do ponto de apoio, e a criança de 30kg à distância y do
ponto de apoio. Observe:
Veja que, com essa mudança na configuração do sistema, foi possível dispor as
crianças sobre a gangorra, fazendo-a ficar estática na horizontal.
τr = 30 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ sen (90∘) + 25 ⋅ 10 ⋅ y ⋅ sen (90∘)
μTotal  = τR = 0
600 + 250 ⋅ y = 0
y = 2, 4m
25 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ sen (90∘) + 30 ⋅ 10 ⋅ y ⋅ sen (90∘) = 0
y = 1, 7m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 25/47
Teoria na prática
Para conseguir entender melhor o conteúdo, exploraremos o momento angular
de um corpo.
Mão na massa
Questão 1
Uma barra de 2m de comprimento, delgada, com seu peso distribuído
uniformemente, pode ser suspensa por qual ponto do seu comprimento, para
que fique disposta na horizontal?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira a solução no vídeo abaixo:
_black
Mostrar solução

A 1,00m
B 0,75m
C 1,25m
D 1,50m
E 1,75m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 26/47
Questão 2
Considere o esquema abaixo:
O valor de x para que a barra se mantenha estática é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Solução comentada:
100 \cdot 
A 2,0m
B 2,5m
C 3,0m
D 4,0m
E 5,5m
g ⋅ 4 = 200 ⋅ g ⋅ x
x = 2m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 27/47
G representa a aceleração gravitacional, pois o momento depende da força e
a força atuante é a força peso.
Questão3
Para que haja estabilidade angular de um corpo rígido, qual é a condição
necessária?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo abaixo:
Questão 4
Considere uma barra que possui um único ponto de apoio, situado em seu
centro de massa, e que gira com velocidade angular constante. Sobre essa
barra, podemos afirmar que:
A A força resultante deve ser nula.
B O momento resultante deve ser nulo.
C As distâncias entre os pontos de apoio devem ser iguais.
D A resultante das massas deve ser nula.
E As distâncias entre os pontos de apoio devem ser nulas.
A O momento angular da barra é nulo.
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 28/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Como a barra gira, existe uma força centrípeta proporcional ao raio da
trajetória do giro e também à velocidade angular, seja esta constante ou
variável.
Questão 5
Considere a imagem:
Assinale a opção que apresenta corretamente o valor de x para que a barra se
mantenha parada:
B A barra possui massa desprezível.
C A barra possui velocidade angular nula.
D
A resultante das forças é proporcional à aceleração
centrípeta.
E A resultante das forças é nula
A 1,50m
B 1,56m
C 1,85m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 29/47
Parabéns! A alternativa C está correta.
Como a barra gira, existe uma força centrípeta proporcional ao raio da
trajetória do giro e também à velocidade angular, seja esta constante ou
variável.
Questão 6
Considere a figura abaixo:
Para haver equilíbrio, o valor de x é igual a:
D 2,00m
E 2,05m
A 44,44kg
B 46,25kg
C 48,48kg
D 50,00kg
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 30/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Solução comentada:
100. g. 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere a imagem abaixo:
A imagem mostra duas esferas, uma de 100kg e outra de 30kg, soldadas a
uma barra de 75kg. Esse conjunto é, então, apoiado no ponto equivalente a
1/3 do comprimento L da barra. O diâmetro da esfera de 100kg é L e o raio da
esfera de 30kg é L/3. Considerando a aceleração gravitacional como 10 m/s²,
assinale a alternativa que representa a massa do contrapeso que deve ser
adicionado exatamente no comprimento L/2 da barra, para que o conjunto
fique em equilíbrio:
E 52,04kg
4 = x ⋅ g ⋅ 1 + x ⋅ g ⋅ 8
x = 400
9 = 44, 44kg
A 0kg
B 12kg
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 31/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Primeiramente, vamos simplificar a figura desenhando um diagrama de corpo
livre:
O diagrama de corpo livre demonstra as forças já existentes no sistema.
Vamos começar a análise determinando a distância do centro da barra ao
ponto de apoio. O centro de massa da barra se localiza na sua metade,
porém, 1/3 do comprimento da barra está para a esquerda do ponto de apoio,
logo, para encontrar a distância do centro da barra ao ponto de apoio,
fazemos:
Note que esta distância já está representada na figura. Note também que a
figura não está mostrando o contrapeso que deve ser adicionado. Vamos
considerar esse contrapeso agora no cálculo. Vamos estabelecer que as
forças que fazem o sistema girar no sentido anti-horário são positivas e as
que fazem o sistema, no sentido horário, são negativas. Assim:
Como x é a nossa única incógnita, temos que . Uma vez que
Questão 2
Considere a imagem abaixo:
C 16kg
D 45kg
E 50kg
L
2 − L
3 = L
6
 1000 ⋅  ( L
2 + L
3 ) − 750 ( L
6 ) − x ( L
6 ) − 300 ( 2
3 L + L
3 ) = 0
x = 450N
P = mg : 450 = m ⋅ 10m = 45kg
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 32/47
A figura mostra uma barra homogênea de peso 200N apoiada em dois
pontos. Assinale a opção que representa corretamente os módulos das
forças normais N1 e N2.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para encontrar as forças normais de reação, precisaremos primeiro
estabelecer um ponto de apoio para ser considerado como ponto de apoio, e
o outro ponto de apoio, como uma força que se opõe à força peso. Observe:
Escolhendo o ponto N1 como ponto de apoio:
N2 como ponto de apoio:
Os valores das forças foram considerados desta forma, pois ficou
estabelecido que o sentido positivo é o sentido horário.
A 100N / 100N
B 200N / 200N
C 50N / 50N
D 75N / 75N
E 220N / 220N
 200  ⋅
L
2
− N2 ⋅ L = 0
N2 = 100N
− 200 ⋅
L
2
+ N1 ⋅ L = 0
N1 = 100N
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 33/47
3 - Análise vetorial do equilíbrio
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular o momento vetorial de
um corpo.
A abordagem vetorial do
equilíbrio
Análise de um sistema de
corpos
Equilíbrio em grandeza vetorial
Olá! Neste vídeo, vou fazer uma breve introdução ao conteúdo que será
abordado neste módulo. Vamos lá?

13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 34/47
Até agora, verificamos os conceitos de momento angular de uma força de forma
escalar. Todavia, tanto a força quanto a distância são grandezas vetoriais, então,
na verdade, apesar de podermos realizar os cálculos de forma escalar, o
momento angular é uma grandeza física vetorial determinada pelo produto
vetorial entre a força e a distância da força ao ponto de apoio, como mostra a
equação a seguir:
Os vetores são dependentes dos vetores unitários e .
Vamos considerar a imagem A. Nela está exemplificada uma plataforma de
salto. Essa plataforma é feita de madeira, com 120cm de comprimento, com
duas crianças de 28kg cada uma sobre ela. A plataforma possui 75kg e está
sendo escorada por uma barra de madeira. Vamos agora determinar a força
normal que a barra de madeira exerce na plataforma de madeira. Comecemos
analisando as forças, como mostra a imagem B:
Imagem A - Plataforma de salto.
→τ = →F × d̄
ı̂, ȷ̂ k̂
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 35/47
Imagem B - Representação das forças.
Vamos definir o sentido horário como sendo positivo, assim podemos escrever o
momento resultante como:
Teoria na prática
Para conseguir entender melhor a análise vetorial, vamos analisar um exemplo
simples, onde se tem um homem subindo uma escada, que está apoiada, no
chão e na parede.
Mão na massa
Questão 1
Em uma gangorra de 3m, cujo ponto de apoio se encontra no centro, brincam
duas crianças. Uma de 45kg e a outra de 38kg. Se a criança de 45kg se
encontra na ponta de um dos lados da gangorra, a outra criança deve se
posicionar a que distância do ponto de apoio para que a gangorra fique
disposta na horizontal?
280 ⋅ 50 + 750 ⋅ 60 + 280 ⋅ 120 − →N ⋅ 120 = 0
→N = 771, 67N
_black
Mostrar solução

A No ponto de apoio.
B 1,1m do ponto de apoio.
C 1,5m do ponto de apoio.
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 36/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Confira a solução no vídeo abaixo:
Questão 2
Considere a imagem abaixo:
Qual deve ser o valor da reação R2 para que a barra permaneça estática na
horizontal, se a força de 150N se encontra a uma distância de 3m de R2, a
força de 300N se encontra a uma distância de 4,5m de R2 e R1 se encontra a
7m de R2:
D Fora do comprimento da gangorra.
E 1,0 do ponto de apoio.
A 98,65N
B 113,54N
C 124,00N
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 37/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos considerar as forças que apontam no sentido horário como positivas
e R1como o ponto de apoio. Assim:
Questão 3
Considere a imagem a seguir:
Encontre o valor da tração (vetor vermelho) para que uma tábua de madeira
se mantenha na vertical, sabendo que a força de 600N está aplicada na
metade de seu comprimento.
D 128,57N
E 132,88N
− 300 ⋅ (7 − 4, 5) + R2 ⋅ 7 − 150 ⋅ 1 = 0
R2 = 128, 57N
A 600N
B 700N
C 800N
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 38/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
Questão 4
A imagem mostra uma bola e um cubo mantendo um esquema de hastes de
massa desprezíveis em equilíbrio.
Considere que o peso do cubo é de 60N e o peso da bola é de 45N. A haste
que sustenta o cubo possui comprimento de 6 m. Assim, o comprimento da
haste que sustenta a bola tem comprimento de:
D 900N
E 1000N
A 8m
B 10m
C 6m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 39/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Solução comentada:
Questão 5
Considere a imagem abaixo:
O bloco vermelho tem peso de 600N e o bloco preto massa de 500N. O valor
de X é igual a:
D 9m
E 10m
60.6 = 45 ⋅ x
x = 8m
A 2,5m
B 3,4m
C 3,6m
D 3,9m
E 4,2m
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 40/47
Parabéns! A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
Questão 6
Uma haste fina de 45N está apoiada por dois pontos de apoio, de maneira a
ficar dividida em três partes iguais. Os valores dos vetores reações e 
são iguais a:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Solução comentada:
Primeiro, vamos desenhar o descrito:
R1
−→
R2
−→
A e R1 = 12, 5N
−→
R2 = 32, 5N
B e R1 = 22, 5N
−→
R2 = 22, 5N
C e R1 = 32, 5N
−→
R2 = 12, 5N
D e R1 = 32, 5N
−→
R2 = 12, 5N
E e R1 = 12, 5N
−→
R2 = 12, 5N
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 41/47
Vamos utilizar primeiro R1 como ponto de apoio e R2 como força que atua no
sentido anti-horário.
Para determinar a distância de R1 ao peso de 45N, faremos:
Assim, considerando a força no sentido horário como positiva: 
Note que, se fizermos agora considerando R2 como ponto de apoio e R1
como força no sentido horário, também encontraremos 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na imagem, a linha vermelha está presente somente para indicar as
distâncias entre os vetores e também entre os vetores e o ponto de apoio. Os
vetores de força já estão em unidade de Newton.
Então, analisando a imagem, assinale a opção correta:
ΔL = L
2 − L
3 = L
6
R2 = 22, 5N
R1 = 22, 5N
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 42/47
Parabéns! A alternativa A está correta.
Consideremos as forças que fazem a barra tender a girar no sentido horário
como positivas. Assim:
Questão 2
Observe a imagem a seguir:
Qual deve ser o valor do ângulo para que o sistema se mantenha em
equilíbrio, se o atrito estático impede a barra de se deslocar horizontalmente?
A A barra está em equilíbrio somente se x = 0.
B A barra está em equilíbrio somente se x = 1.
C A barra está em equilíbrio somente se x = 2.
D A barra está em equilíbrio somente se x = 3.
E A barra está em equilíbrio somente se x = 4
 10. 2x − 8x + 6.
x
3
− 4(x +
x
3
) − 10( x
3
+ x +
x
2
) = 0
20x − 8x + 2x −
16
3
x −
11
6
x = 0
x = 0
A
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 43/47
Parabéns! A alternativa D está correta.
Primeiramente, é preciso realizar a decomposição do vetor força 35000N:
Agora que conhecemos os vetores, para que haja o equilíbrio, temos que ter a
seguinte condição:
Então, focando somente a decomposição da força de 35000N, temos a
seguinte relação:
120,8°
B 125,3°
C 150,9°
D 166,7°
E 170,3°
Fy ⋅ x = 200.10.4x
Fy = 8000N
−→
−→
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 44/47
Com essa relação, podemos escrever:
Considerações �nais
Aprendemos aqui as condições de equilíbrio, tanto de um corpo rígido quanto de
um sistema de corpos, por exemplo, o sistema Terra–Sol. Verificamos que
existem duas condições de equilíbrio, em que a primeira estabelece que a força
resultante no sistema deve ser nula e a segunda estabelece que o momento
angular resultante do sistema deve ser nulo.
Vimos que todo corpo rígido possui um centro de massa (CM) e que esse centro
de massa pode estar dentro ou fora desse corpo, e que, se uma força for
aplicada diretamente sobre o centro de massa desse corpo, ele irá desenvolver
um movimento retilíneo. Verificamos também que o momento resultante de um
corpo pode ser escrito tanto em notação escalar quanto em notação vetorial,
porém, apesar de mais complexa, a notação vetorial nos fornece mais
ferramentas para a real compreensão dos casos físicos presentes na natureza.
Consideramos que calcular o problema de um simples homem subindo uma
escada é bastante trabalhoso, pois existem muitos vetores atuando nesse
sistema. Entretanto, considerando as duas condições de equilíbrio, conseguimos
determinar o ponto no plano onde o homem se encontrava sobre a escada.
Compreender as condições de equilíbrio de um corpo é de suma importância,
principalmente para o ramo da construção, pois edifícios, pontes, viadutos,
casas, postes, móveis e veículos precisam permanecer em equilíbrio sem
sen(180 − Θ) =
8000
35000
sen(180 − Θ) = 0 ⋅ 23
180 − Θ = 13, 30
Θ = 166, 7∘
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 45/47
aplicação de carga e com aplicação de carga para que grandes acidentes não
venham a acontecer. Um arranha-céu, por exemplo, possui constantes ações de
ventos em toda a sua estrutura, então ele tem que ser construído de tal modo a
ter sempre um momento angular resultante nulo.
Podcast
Neste podcast iremos compreender melhor as condições que definem o
equilíbrio estático e o equilíbrio dinâmico.
Explore +
Para aprender mais sobre o centro de massa de um corpo rígido, leia:
Estudo do centro de massa e estabilidade de quatro posturas básicas do
Kung-fu Pak Hok, Pedro Jeferson Miranda et al. In: Rev. Bras. Ensino Fís. v.
38, n. 4, São Paulo, jul. 2016.
Forças internas e a conservação do momento angular, André Herkenhoff
Gomes. In: Rev. Bras. Ensino Fís. v.40, n. 3, São Paulo, abr. 2018.
Sobre a diferença entre o momento angular escalar e o momento angular
vetorial, Um passeio por várias álgebras na descrição do momento angular,
Emerson Dionísio Belançon, Samuel da Silva. In: Rev. Bras. Ensino Fís. v.41,
n.2, São Paulo, nov. 2019.
Referências

13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 46/47
BELANÇON, Emerson Dionísio; SILVA, Samuel da. Um passeio por várias
álgebras na descrição do momento angular. In: Revista Brasileira de Ensino de
Física. v. 41, n.2, São Paulo, nov. 2019.
CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física. 9. ed. RJ: LTC, 2016, v.1.
GOMES, André Herkenhoff. Forças internas e a conservação do momento
angular. In: Revista Brasileira de Ensino de Física. v. 40, n.3, São Paulo, abr. 2018.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 10.
ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016, v.1.
MIRANDA, Pedro Jeferson. Estudo do centro de massa e estabilidade de quatro
posturas básicas do Kung-fu Pak Hok. In: Revista Brasileira de Ensino de Física.
v. 38, n.4, São Paulo, jul. 2016.
MOSSMANN, V. L. F.; CATELLI, K. B.; Mello, F.; LIBARDI, H.; DAMO, I.
S. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético Utilizando-se a
Aquisição Automática de Dados. In:Revista Brasileira de Ensino de Física, [s.l.],
v.24, n.2, p. 146-149, jun. 2002. FapUnifesp.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força
de atrito cinético? In: Revista Brasileira de Ensino de Física, [s.l.], v. 41, n.1, p. 1-9,
6 set. 2018. FapUnifesp.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. v.1,6. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2014.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo
completo em formato PDF.
Download material
O que você achou do
conteúdo?
javascript:CriaPDF()
13/10/23, 12:08 Equilíbrio de um ponto material
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00209/index.html# 47/47
Relatar problema