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F u n d a m e n t o s d e M e c â n i c a
1. Um caminhão parte do repouso e acelera com aceleração constante até atingir 5m/s em 10s.
Determine: a) a aceleração do caminhão e b) a distância total percorrida.
2. Uma pessoa joga uma pequena pedra para cima, na superfície da terra, com uma velocidade de
2m/s. Desprezando-se a resistência do ar, determine: a) a velocidade da bola quando ela atinge a
altura máxima. b) a altura máxima atingida pela bola e c) a velocidade que a bola retorna na mão da
pessoa.
3. Uma partícula se move com uma equação da posição descrita por 𝑥 𝑡 = 𝑘𝑡 − 3, todas as
grandezas no [SI] e com 𝑘=constante. a) determine a unidade de medida da constante 𝑘 e escreva
as equações de v 𝑡 e a 𝑡 . b) Agora faça o valor da constante 𝑘=2 e escreva as equações da letra
anterior.
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4. Uma partícula se move com uma aceleração descrita pela seguinte função: 𝑎 𝑡 = 𝑘𝑡 , com todas
as grandezas no [SI] e com 𝑘=constante. a) Determine as unidades da constante 𝑘 e escreva as
equações de 𝑣 𝑡 e 𝑥 𝑡 , considere 𝑣 𝑡 = 𝑣 e 𝑥 𝑡 = 𝑥 . b) considere agora o valor de 𝑘 = 2 e 𝑣 =
1m/s e 𝑥 = -2m e escreva as equações de movimento desta partícula.
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5. O gráfico ao lado corresponde ao movimento
uniformemente variado de uma partícula.
Determine a função da posição em função do
tempo aqui dada por 𝑠(𝑡) e da velocidade em
função do tempo 𝑣 𝑡 .
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5. A posição 𝑠(𝑡) de uma partícula móvel varia com o tempo,
conforme o gráfico ao lado, que é um arco de parábola cujo vértice
está localizado no eixo 𝑠.
Determine:
a) A função da posição em função do tempo 𝑠 𝑡 .
b) A velocidade em t = 3s.
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6. Uma partícula move-se com uma equação: x(t) = 150 – 20t + 0,5t², (t em segundos e s em metros).
Tabele essa função no intervalo de 0 a 40 s (de 10 em 10 s) e faça uma representação gráfica. A partir do
gráfico, determine:
a) o instante em que o móvel muda de sentido;
b) o(s) instante(s) em que o móvel passa pela origem dos espaços.
7. O tempo de reação (intervalo de tempo entre o instante em que uma pessoa recebe a informação e o
instante em que reage) de certo motorista é de 0,7s, e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo
à razão máxima de 5m/s em cada segundo. Supondo que ele esteja dirigindo à velocidade constante de
10m/s, determine: a) o tempo mínimo decorrido entre o instante em que avista algo inesperado, que o leva a
acionar os freios, até o instante em que o veículo para; b) a distância percorrida nesse tempo.
 A física lida com grandezas que têm um valor e uma orientação.
 O vetor é um objeto matemático que tem um valor e uma orientação.
 Uma grandeza vetorial é uma grandeza física que pode ser representada por um 
vetor
 Exemplos: posição, velocidade, aceleração
 As operações com vetores obedecem a regras diferentes das regras da algebra
 Uma grandeza escalar é uma grandeza que pode ser representada por um número
 Exemplos: tempo, temperatura, energia, massa
 As operações com escalares obedecem às regras da álgebra
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Capítulo 3 - Vetores
 O exemplo mais simples é o vetor deslocamento
 Se uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B, 
podemos representar essa mudança de posição por uma 
reta orientada que liga o ponto A ao ponto B
Figura 3-1
 Em (a), as três retas têm o mesmo comprimento e a 
mesma orientação; são vetores deslocamento iguais.
 Em (b), as três trajetórias correspondem ao mesmo 
vetor deslocamento.
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 A soma vetorial ou resultante
o é o resultado da adição de vetores
o representa o deslocamento total produzido 
por dois ou mais vetores deslocamento
Figura 3-2
Eq. (3-1)
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 A soma de vetores é comutativa
o podemos somar vetores em qualquer ordem
Eq. (3-2)
Figura 3-3
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 A soma vetorial é associativa
o Podemos agrupar os vetores em qualquer ordem para somá-los
Eq. (3-3)
Figura 3-4
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 O sinal negativo inverte a orientação de um vetor
 Podemos usar essa propriedade para definir a subtração de 
vetores 
Figura 3-5
Figura 3-6
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 Essas regras se aplicam a todos os vetores, independentemente de representarem 
deslocamento, velocidade ou outra grandeza vetorial qualquer.
 Apenas vetores que representam a mesma grandeza podem ser somados:
o (distância) + (distância) faz sentido
o (distância) + (velocidade) não faz sentido!
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 Em vez de usar um método gráfico, podemos somar 
vetores por componentes
o Componente é a projeção do vetor em um eixo.
 O processo de obter as componentes de um vetor é 
chamado de decomposição do vetor
Figura 3-8
 As componentes de um vetor podem ser positivas ou 
negativas.
 As componentes não mudam quando deslocamos um 
vetor sem mudar a orientação.
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Projeções e Componentes de um vetor
 As componentes em duas dimensões são dadas por
 em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x positivo, e a é o comprimento do 
vetor
 O comprimento e o ângulo também podem ser calculados a partir das componentes
As componentes definem univocamente um vetor (em 2D):
Eq. (3-5)
Eq. (3-6)
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 Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos
 Uma circunferência completa tem 360˚ ou 2𝜋 rad
 Aqui estão as três funções trigonométricas básicas:
Figura 3-11
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3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das Componentes
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 Um vetor unitário
o Tem módulo 1
o Tem uma orientação
o Não tem dimensão nem unidade
o É representado com um acento circunflexo (^)
 Usamos um sistema de coordenadas dextrogiro
o Permanece dextrogiro quando sofre uma rotação 
Figura 3-13
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
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 As grandezas ax i e ay j são componentes vetoriais
 As grandezas ax e ay são componentes escalares ou apenas “componentes”
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
 Os vetores podem ser somados usando componentes: 
Eq. (3-10)
Eq. (3-11)
Eq. (3-12)
Eq. (3-9)
→
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 Os vetores não dependem do sistema de coordenadas usado para 
representá-los.
 Se fazemos girar o sistema de coordenadas, o vetor não muda.
 Todos os sistemas de coordenadas desse tipo são igualmente válidos Figura 3-15
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3-3 Multiplicação de Vetores
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 Multiplicação de um vetor z por um escalar c:
O resultado é um vetor.
o cujo módulo é o módulo de z vezes |c|. 
o cuja direção é igual à do vetor z, ou oposta se c for negativo.
o cujas componentes são as componentes de z multiplicadas por c.
 Para dividir um vetor por um escalar, multiplicamos o vetor por 1/c
Exemplo Multiplicação do vetor z por 5
o 𝑧 = 3 ̂𝚤 + 5�̂�
o 5𝑧 = 
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 Multiplicação de um vetor z por um escalar c:
O resultado é um vetor.
o cujo módulo é o módulo de z vezes |c|. 
o cuja direção é igual à do vetor z, ou oposta se c for negativo.
o cujas componentes são as componentes de z multiplicadas por c.
 Para dividir um vetor por um escalar, multiplicamos o vetor por 1/c
Exemplo Multiplicação do vetor z por 5
o 𝑧 = 3 ̂𝚤 + 5�̂�
o 5𝑧 = 15 ̂𝚤 + 25�̂�
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 Multiplicação de vetores: o produto escalar
o O resultado é um escalar, em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo entre 
as direções dos dois vetores:
 O produto escalar obedeceà lei comutativa ( ) e pode ser calculado usando as 
componentes:
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 O produto escalar é o produto do módulo de um dos vetores pela projeção do outro vetor 
na direção do primeiro vetor:
 Tanto faz usar a projeção do primeiro 
vetor no segundo vetor ou a projeção do 
segundo vetor no primeiro vetor.
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Ângulo entre 2 vetores:
 Partindo de:
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 O ângulo ϕ entre os vetores �⃗� e 𝑏 é:
 ϕ = arccos .
 Multiplicação de vetores: o produto vetorial
o O resultado é um vetor cujo módulo c é dado por
em que a e b são os módulos dos vetores e ϕ é o ângulo entre os vetores e cuja 
direção é perpendicular à direção dos dois vetores. 
 A direção é determinada pela regra da mão direita.
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(a) O produto ; (b) o produto 
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Regra da Mão Direita
 O produto vetorial não é comutativo
 Pode ser calculado usando as componentes:
 Assim, expandindo: 
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• Vetor unitário em 2D
• Algumas operações vetoriais
Exemplos no Geogebra
3 Resumo
Escalares e Vetores
 Escalares têm um valor
 Vetores têm um módulo e 
uma orientação
 Ambos têm unidades! 
Soma de Vetores
 Obedece às leis comutativa e 
associativa
Vetores Unitários
 Podemos escrever vetores 
em termos de vetores 
unitários
Componentes de um Vetor
 Dadas por
 Relações inversas
Eq. (3-2)
Eq. (3-5)
Eq. (3-7)
Eq. (3-3)
Eq. (3-6)
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F U N D A M E N T O S D E F Í S I C A • M e c â n i c a
Copyright @ LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução Proibida. 
Soma por Componentes
 Somando por componentes,
Escalar Vezes um Vetor
 O produto é um vetor
 O módulo é multiplicado pelo 
escalar
 O sentido é igual ou oposto
Produto Vetorial
 Produz um vetor 
perpendicular
 A direção é dada pela regra 
da mão direita
Produto Escalar
 Produz um escalar
Eqs. (3-10) a (3-12)
Eq. (3-22)
Eq. (3-20)
Eq. (3-24)