geometria analica

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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
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CONVERSA INICIAL
Agora que sabemos o que são vetores e qual a importância destes elementos na resolução de
diversos problemas reais, podemos tratar de operações relacionadas a eles.
A primeira operação que estudaremos é a multiplicação de um vetor por um número, também
conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar. Em seguida, veremos como é possível
efetuarmos a soma e a subtração de vetores.
Estudaremos, ainda, as multiplicações entre vetores. Uma delas é conhecida como produto
escalar, pois o resultado é um número, e outra é o produto vetorial, pois é uma multiplicação entre
dois vetores do R3 cujo resultado é um vetor.
Estudaremos também o produto misto, que consiste em uma combinação do produto escalar
com o produto vetorial. A cada tema, teremos aplicações reais relacionadas ao que estamos
estudando.
TEMA 1 – MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
A primeira operação que iremos estudar é simples, mas muito importante. Consiste na
multiplicação de um vetor por um número pertencente ao conjunto dos reais. A multiplicação é
conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar e, além dos aspectos conceituais, possui
diversas aplicações. Uma delas, por exemplo, é bem simples. Se um automóvel está se deslocando
para o leste a uma velocidade de 30 km/h o respectivo vetor é . Se o motorista aumentar
em três vezes esta velocidade, ele estará trafegando a 90 km/h e o vetor passa a ser .
E como obtemos a multiplicação de um vetor por um escalar? A resposta é bem simples. Esta
multiplicação consiste em multiplicarmos cada componente do vetor por um número. O vetor
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resultante terá a mesma direção do vetor original. Se o escalar for positivo, a direção do vetor
resultante é a mesma e se o escalar for negativo, a direção é oposta à direção do vetor inicial. A
respeito do módulo, também temos uma relação fácil de ser observada. Ao multiplicarmos um vetor
por um número k, o módulo deste vetor também fica multiplicado por k. Se k=0, o resultado da
multiplicação de um vetor por k resulta no vetor nulo.
Para entendermos melhor, vamos acompanhar um exemplo.
Exemplo: sabendo que , obtenha o vetor . Faça a representação gráfica, calcule o
módulo de  e o módulo de .
Resolução: como , para obtermos , basta multiplicarmos cada componente de  por
2:
Graficamente, temos o seguinte:
O vetor :
Figura 1 – Gráfico 1
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O vetor :
Figura 2 – Gráfico 2
Os vetores  e  no mesmo sistema de eixos coordenados:
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Figura 3 – Gráfico 3
Módulo de :
Módulo de :
Assim, o módulo de  é igual a 7,81 e o módulo de  é igual a 15,62, o que corresponde ao
dobro do módulo de .
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Exemplo: considere o vetor . Obtenha o vetor  e em seguida faça a representação
gráfica, calcule o módulo de  e o módulo de .
Resolução: como , para obtermos , basta multiplicarmos cada componente de 
 por 2:
Graficamente, temos o que se segue (Figura 4).
Figura 4 – Gráfico 4
Módulo de :
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Módulo de :
Observe que o vetor   tem a mesma direção de , mas com sentido contrário. E, ainda, o
módulo de  é igual a 7,81 e o módulo de  é igual a 15,62, o dobro do módulo de .
Generalizando, temos em R2:
, em que  e 
e em R3:
, em que  e 
A mesma ideia pode ser utilizada para vetores do Rn:
, em que  e 
Dentre diversas aplicações, na computação, por exemplo, vetores são utilizados para armazenar
informações. Se estas informações forem números, ao multiplicarmos um vetor por um escalar,
estamos multiplicando cada elemento do vetor por este número. Para compreendermos melhor,
temos alguns exemplos:
Exemplo: no vetor   temos as medidas (altura, largura e profundidade), em
polegadas, de um armário. Sabendo que uma polegada corresponde a 2,54 cm, obtenha o vetor 
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 que contém as mesmas medidas, mas em centímetros.
Resolução: como uma polegada é igual a 2,54 centímetros, precisamos multiplicar o vetor  por
2,54 para obtermos :
Observe que neste caso a vírgula separa as casas decimais. Sendo assim, para separarmos as
componentes do vetor, estamos utilizando o ponto e vírgula.
Se dividirmos um vetor  pelo módulo de , o resultado é um vetor unitário que tem mesmo
sentido de  e denominado versor de . Há diferentes notações utilizadas para a representação de
um versor. Utilizaremos um acento
circunflexo (^) sobre a letra para indicarmos um versor.
Por exemplo,  indica o versor de .
Exemplo: dado o vetor , obtenha o versor de .
Resolução: inicialmente, precisamos calcular o módulo de :
Agora, precisamos dividir cada componente de   por 17,029, ou, de forma equivalente,
multiplicarmos  por 1/17,029:
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Podemos afirmar que o vetor  tem módulo igual a 1 e é o versor do vetor .
A seguir, veremos duas outras importantes operações relacionadas a vetores. A soma e a
subtração.
TEMA 2 – SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES
Quando temos duas ou mais forças aplicadas sobre um objeto, podemos determinar uma força
resultante dada pela soma de vetores. Por exemplo, ao mantermos suspensa uma planta, temos um
vetor que indica a força que estamos fazendo para cima e outro vetor decorrente da ação da
gravidade (força peso) sobre a planta.
Figura 5 – Vetores
Créditos: AtlasStudio/Shutterstock.
A resultado é a soma do vetor decorrente da gravidade (força peso) com a força necessária para
segurar a planta.
Também é possível observarmos a soma de vetores em estruturas, tais como treliças.
Figura 6 – Treliça
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A soma de vetores também auxilia no cálculo do contrapeso de uma plataforma.
Figura 7 – Contrapeso em plataforma
Muitas aplicações relacionadas a vetores serão estudadas em disciplinas futuras.
O processo para realizarmos a adição de vetores é bem simples. Basta somarmos as respectivas
componentes de cada vetor. De uma forma geral, temos a soma dada por:
, em que  e 
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e, de maneira análoga, a subtração de vetores é dada pela subtração das respectivas
componentes:
, em que  e 
A subtração é um caso particular da soma, pois podemos escrever  na forma .
Exemplo: dados os vetores  e , calcule . Em seguida, faça a representação
gráfica.
Resolução:
A soma de   e   corresponde ao vetor . Vamos agora fazer a
representação gráfica.
Figura 8 – Representação gráfica 1
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Exemplo: dados os vetores  e , calcule . Em seguida, faça a representação
gráfica.
Resolução:
A subtração de  e corresponde ao vetor . Vamos agora fazer a
representação gráfica.
Figura 9 – Representação gráfica 2
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Mas por que essa subtração resultou no vetor ?
A resposta é bem simples. A subtração   é equivalente à soma . Vamos fazer a
representação gráfica considerando agora o vetor .
Figura 10 – Representação gráfica 3
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Note que, tanto na soma quanto na subtração, podemos colocar a origem do segundo vetor na
extremidade do primeiro vetor para obtermos o vetor resultante. Chamamos este procedimento de
regra do paralelogramo.
Figura 11 – Vetores
Isso porque a imagemresultante corresponde a um paralelogramo:
Figura 12 – Regra do paralelogramo
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De forma análoga, podemos representar graficamente a subtração de vetores.
Figura 12 – Subtração de vetores
As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a  e  correspondem a  e .
Figura 13 – Diagonais do paralelogramo
Temos uma aplicação relacionada à soma de vetores, chamada de combinação linear. Podemos
dizer que um vetor qualquer  é uma combinação linear dos vetores  quando  é a soma
dos múltiplos dos vetores :
, onde 
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Por exemplo, o vetor   é uma combinação linear dos vetores   e .
Observe que, se multiplicarmos  por 2 e  por 4, temos o vetor :
Os vetores  e  são chamados de vetores canônicos. Além de serem vetores unitários, formam
uma base para o espaço vetorial R2.
Observe que estes vetores estão sobre os eixos x e y, respectivamente.
Figura 14 – Vetores nos eixos x e y
No caso do espaço tridimensional R3, temos que os vetores canônicos são ,
 e .
Figura 15 – Vetores no espaço tridimensional
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Os vetores canônicos ,   e   são importantes, pois podemos
escrever qualquer vetor de R3 como uma combinação linear destes vetores. Por exemplo, o vetor
 pode ser escrito como .
Graficamente, podemos representar vetores com duas ou com três componentes. No entanto,
como na geometria analítica temos propriedades que garantem que as operações de soma e de
subtração podem ser realizadas para vetores de n componentes, podemos efetuar a soma e a
subtração de vetores do Rn mesmo sem a respectiva representação gráfica.
Exemplo: dados os vetores  e , calcule a soma .
Resolução:
TEMA 3 – PRODUTO ESCALAR
Uma operação vetorial bastante importante é o produto escalar. O produto escalar é utilizado,
por exemplo, para calcularmos o ângulo entre vetores, o ângulo entre retas e o ângulo entre planos.
Também podemos utilizar o produto escalar para calcularmos a média ponderada onde os valores
são representados por um vetor e os respectivos pesos por outro.
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O nome produto escalar foi escolhido, pois o resultado desta multiplicação é um número,
também denominado de escalar.
Para determinarmos o produto escalar entre dois vetores, basta multiplicarmos as respectivas
componentes e somarmos os resultados.
No R2, por exemplo, o produto escalar é dado por  e no R3 o produto escalar é
dado por .
De uma forma geral, temos:
, em que  e .
Para compreendermos melhor, vamos acompanhar alguns exemplos.
Exemplo: dados os vetores  e , determine .
Resolução: o produto escalar  é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos
vetores  e , ou seja, .
Fazendo as multiplicações, temos:
que resulta em
.
Exemplo: determine o produto escalar  em que:
 e .
Resolução: o produto escalar  pode ser calculado como segue.
.
Em particular, o produto  com  e  é igual a:
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Logo, o produto escalar  é igual a 68.
Podemos definir também o produto escalar por meio da expressão
Em que  é o ângulo entre os vetores  e  e .
Figura 16 – Ângulo entre vetores
Exemplo: calcule o produto escalar entre os vetores  e  utilizando a expressão
.
Resolução: a figura a seguir ilustra os vetores  e .
Figura 17 – Vetores  e 
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Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses vetores está sobre cada
um dos eixos coordenados, temos
Vamos calcular as potências e o valor de cos 90°:
Efetuando as somas, temos:
Calculando as raízes, temos:
Finalmente, vamos efetuar as multiplicações:
Ou seja, o produto escalar  é igual a 0.
O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0, ou seja,  é ortogonal a 
 se e somente se .
Dentre diversas aplicações do produto escalar, uma delas é o cálculo de médias ponderadas.
Exemplo: um estudante obteve nota 67 na prova objetiva, nota 84 na prova discursiva e nota 99
em uma atividade prática. Sabendo que os pesos dessas avaliações correspondem, respectivamente,
a 50%, 30% e 20%, utilize o vetor  para armazenar as notas, o vetor  para armazenar os pesos de
cada avaliação produto escalar  para calcular a respectiva média ponderada.
Resolução: sejam os vetores  e , o produto escalar  é dado por
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Como o produto escalar também pode ser escrito na forma:
Em que  é o ângulo entre os vetores  e , podemos obter de forma análoga a expressão:
.
Com essa fórmula, é fácil calcular o ângulo  formado pelos vetores não nulos  e .
Exemplo: qual é o ângulo formado pelos vetores  e ?
Resolução: o ângulo entre  e  é dado por:
Inicialmente, vamos calcular :
Em seguida, os termos do denominador da fórmula:
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Substituindo esses termos na fórmula:
Temos:
TEMA 4 – PRODUTO VETORIAL
Quando precisamos obter a equação de uma reta ortogonal a outras duas ou para escrevermos
a equação geral de um plano, precisamos de um vetor que forme 90° com outros dois vetores. Para
isso, temos uma operação definida em R3 e denominada de produto vetorial. O produto vetorial,
também conhecido como produto externo, é realizado a partir de dois vetores não colineares e o
resultado é um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, ou seja, o produto vetorial gera um vetor
que forma 90° com os vetores utilizados no respectivo produto.
Figura 18 – Produto vetorial
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Podemos obter o produto vetorial de uma forma bem simples utilizando a Regra de Sarrus para
o cálculo de determinantes.
Veremos os detalhes no exemplo a seguir:
Exemplo: dados os vetores   e , obtenha um vetor w ortogonal aos
vetores  e .
Resolução: o produto vetorial é dado por
Vamos repetir as duas primeiras colunas:
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Agora basta fazermos as multiplicações no sentido da diagonal principal e, em seguida, as
multiplicações no sentido da diagonal secundária.
Note que para as multiplicações no sentido da diagonal secundária fazemos a troca dos
respectivos sinais.
A sequência de multiplicações, de forma detalhada, é:
que resulta em:
Somando os termos semelhantes, temos:
ou, de forma equivalente:
O módulo do produto vetorial está associado à área de um paralelogramo em que a base
corresponde ao vetor  e a altura ao vetor . Assim, .
Figura 19 - Paralelogramo
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Quando tratamos de produto vetorial, a associatividade não é válida, ou seja   é
diferente de .
No entanto, são válidas as seguintes propriedades:
i)  e 
II) 
III) 
Em que ,  e  são vetores quaisquer e  é um escalar.
TEMA 5 – PRODUTO MISTO
Quando temos uma combinação do produto escalar e do produto vetorial dos vetores ,  e ,
temos um produto denominado de produto misto e é dado por
.
Geometricamente, podemos interpretar o módulo do produto misto como sendo o volume de
um paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores não coplanares ,  e .
Figura 20 – Produto misto
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Exemplo: considere os vetores ,  e . Calcule .
Resolução: o produto misto é dado por:
Repetindo as duas primeiras colunas, temos:
FINALIZANDO
No decorrer da aula, estudamos operações relacionadas a vetores. A multiplicação de um vetor
por um escalar é dada pela multiplicação de cada componente do vetor pelo escalar. A soma de dois
vetores consiste na soma das respectivas componentes dos vetores. A subtração de vetores é dada
pela subtração das respectivas componentesdestes vetores. Vimos que o produto escalar cujo
resultado é um número é dado pela soma das multiplicações das respectivas componentes dos
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vetores. O produto vetorial cujo resultado é um vetor está definido apenas no espaço tridimensional
R3 e gera um vetor ortogonal a cada um dos vetores utilizados na operação.
REFERÊNCIAS
BORIN JUNIOR, A. M. S. (org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12.ed. São Paulo: Pearson, 2008. 2 v.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Pearson, 2014.