Corpos rígidos - Equilíbrio de corpos rígidos

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<p>MECÂNICA DOS SÓLIDOS</p><p>Corpos rígidos: Equilíbrio de corpos rígidos</p><p>Esta apostila foi produzida com materiais próprios, e uma compilação de diversos materiais, indicados nas referências bibliográficas</p><p>Prof. João Paulo Mendes</p><p>- Equilíbrio em duas dimensões</p><p>- Equilíbrio em três dimensões</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO</p><p>Para um corpo rígido em equilíbrio estático, as forças e momentos</p><p>externos estão balanceadas e não impõem movimento de translação ou de</p><p>rotação ao corpo.</p><p>As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estático de</p><p>um corpo são que a força e o binário resultantes de todas as forças externas</p><p>formam um sistema equivalente a zero:</p><p>𝜮𝑭 = 𝟎</p><p>𝜮𝑴𝒐 = 𝜮(𝒓 𝒙 𝑭) = 𝟎</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO</p><p>Decompondo cada força e cada momento em seus componentes</p><p>retangulares, podemos indicar as condições necessárias e suficientes para o</p><p>equilíbrio por meio de 6 equações escalares:</p><p>𝜮𝑭𝒙 = 𝟎 𝜮𝑭𝒚 = 𝟎 𝜮𝑭𝒛 = 𝟎</p><p>𝜮𝑴𝒙 = 𝟎 𝜮𝑴𝒚 = 𝟎 𝜮𝑴𝒛 = 𝟎</p><p>Portanto, para um corpo rígido em equilíbrio, o sistema de forças</p><p>externas não causa qualquer movimento translacional ou rotacional ao corpo</p><p>considerado.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>DIAGRAMA DE CORPO LIVRE</p><p>Para escrever as equações de equilíbrio para um corpo rígido, é</p><p>essencial primeiro identificar todas as forças que atuam sobre esse corpo e,</p><p>então, desenhar o Diagrama de Corpo Livre (D.C.L.) correspondente.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>DIAGRAMA DE CORPO LIVRE</p><p>O primeiro passo na análise do</p><p>equilíbrio estático de um corpo rígido é</p><p>identificar todas as forças que atuam no</p><p>corpo com um diagrama de corpo livre.</p><p>• Selecionamos a extensão do corpo livre e o</p><p>destacamos do solo e de todos os outros</p><p>corpos.</p><p>• Incluímos as dimensões necessárias ao</p><p>cálculo dos momentos das forças.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>DIAGRAMA DE CORPO LIVRE</p><p>• Indicamos o ponto de aplicação e as</p><p>direções e sentidos arbitrados para as forças</p><p>desconhecidas. Estas geralmente consistem</p><p>nas reações de apoio por meio das quais o</p><p>solo e os outros corpos se opõem a um</p><p>possível movimento do corpo rígido.</p><p>• Indicamos o ponto de aplicação,</p><p>intensidade, direção e sentido das forças</p><p>externas, incluindo o peso do corpo rígido.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>Condições de vinculação</p><p>As condições de vinculação são impostas à estrutura por meio de</p><p>dispositivos mecânicos que impedem sua movimentação. Os vínculos</p><p>introduzem, nos pontos onde são aplicados, esforços referentes ao</p><p>deslocamento impedido. O mais comum é utilizar vínculos para impedir as</p><p>translações e/ou rotações.</p><p>Para a análise de problemas bidimensionais estes dispositivos podem</p><p>ser divididos em:</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>Reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida (apoio</p><p>móvel): Este tipo de apoio impede o deslocamento do ponto vinculado apenas</p><p>ao longo de uma direção pré-determinada. Como consequência, nesse tipo de</p><p>apoio surge uma única reação, orientada na direção do deslocamento</p><p>impedido. Na figura a seguir está apresentado o mecanismo de funcionamento</p><p>do apoio móvel. A presença do apoio móvel no sistema estrutural é</p><p>representada por meio dos símbolos apresentados na figura.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade</p><p>desconhecidos (apoio fixo): Este tipo de apoio impede o deslocamento dos</p><p>pontos vinculados ao longo de duas direções, no caso plano, e três direções no</p><p>caso tridimensional. Nos apoios do tipo fixo surgem duas (três) forças reativas,</p><p>como consequência da restrição aos dois (três) deslocamentos pontuais</p><p>impedidos no caso plano (tridimensional). As reações de apoio são orientadas</p><p>nas direções dos deslocamentos restringidos. O apoio fixo pode ser efetuado</p><p>por meio dos mecanismos ilustrados na figura a seguir. Para a representação</p><p>deste tipo de apoio no sistema estrutural utiliza-se o símbolo apresentado na</p><p>figura.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade</p><p>desconhecidos e a um binário de intensidade desconhecida (engastamento</p><p>perfeito): O apoio do tipo engastamento perfeito impede dois deslocamentos</p><p>no caso plano e três no caso tridimensional. Além disso, impede também a</p><p>rotação do ponto vinculado. Surgem no engaste duas (três) forças reativas</p><p>decorrentes do impedimento dos deslocamentos no caso plano (tridimensional)</p><p>e um (três) momento (s) que resulta (m) do impedimento à rotação do ponto.</p><p>Na figura a seguir estão apresentados os mecanismos que podem ser utilizados</p><p>para a construção de um engaste. Quando o engastamento perfeito está</p><p>presente em um dado sistema estrutural, este é representado por meio do</p><p>símbolo mostrado.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>Quando o sentido de uma força ou binário desconhecido não é</p><p>facilmente previsível, não se deve fazer qualquer tentativa de determiná-lo. Em</p><p>vez disso, o sentido da força ou binário deve ser escolhido de maneira</p><p>arbitrária, onde o sinal da solução obtida indicará se a hipótese estava correta</p><p>ou não:</p><p>• Resposta positiva ( + ) indica que a hipótese está correta;</p><p>• Resposta negativa ( - ) indica que a hipótese está incorreta.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES</p><p>Nesta primeira parte, considera-se o equilíbrio de uma estrutura</p><p>bidimensional; ou seja, pressupõe-se que a estrutura que está sendo analisada e</p><p>as forças a ela aplicadas estão contidas no mesmo plano. Obviamente, as</p><p>reações necessárias para se manter a estrutura na mesma posição estarão</p><p>também contidas nesse plano.</p><p>Considerando o plano formado pelos eixos x e y, teremos:</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES</p><p>• Para todas as forças e momentos aplicados a uma estrutura</p><p>bidimensional:𝑭𝒛 = 𝟎; 𝑴𝒙 = 𝑴𝒚 = 𝟎; 𝑴𝒛 = 𝑴𝒐;</p><p>• As equações de equilíbrio se reduzem a: 𝜮𝑭𝒙 = 𝟎; 𝜮𝑭𝒚 = 𝟎; 𝜮𝑴𝑨 = 𝟎,</p><p>sendo A qualquer ponto no plano da estrutura;</p><p>• As 3 equações podem ser resolvidas para no máximo 3 incógnitas;</p><p>• As 3 equações não podem ser ampliadas com equações adicionais, mas</p><p>qualquer uma delas pode ser substituída por outra equação: 𝜮𝑭𝒙 =</p><p>𝟎; 𝜮𝑴𝑨 = 𝟎; 𝜮𝑴𝑩 = 𝟎.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES</p><p>Treliça sustentada por um pino e um rolete</p><p>Diagrama de Corpo Livre da treliça</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>03 equações = 03 incógnitas</p><p>Estrutura ISOSTÁTICA</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES</p><p>Convenção de sinais</p><p>Para a utilização correta das equações de equilíbrio da estática,</p><p>devemos estabelecer uma convenção de sinais para as forças e momentos e</p><p>utilizá-la para todas as forças e momentos atuantes no corpo até o término da</p><p>equação.</p><p>Para as forças convém utilizar como sentidos positivos os próprios</p><p>sentidos positivos dos eixos de coordenadas. Já para o momento, em situações</p><p>de equilíbrio de um corpo rígido em suas dimensões, arbitramos positivo para</p><p>o sentido anti-horário, e negativo para o sentido horário (para situações em</p><p>condições de equilíbrio em três dimensões, utilizar a regra da mão direita).</p><p>O ponto de aplicação do momento pode ser qualquer um no plano da</p><p>figura, porém, é conveniente escolher um ponto que resulte em maior</p><p>simplificação da solução.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES ESTATICAMENTE INDETERMINADAS</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>Parcialmente Vinculada impropriamente vinculada.</p><p>equações < incógnitas</p><p>Estrutura HIPERESTÁTICA</p><p>equações < incógnitas</p><p>Estrutura HIPOSTÁTICA</p><p>EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM</p><p>Um guindaste fixo tem massa de 1.000 kg e é usado para suspender um caixote</p><p>de 2.400 kg. Ele é mantido na posição indicada na figura por um pino em A e</p><p>por um suporte basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está</p><p>localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM</p><p>Um guindaste fixo tem massa de 1.000 kg e é usado para suspender</p><p>um caixote</p><p>de 2.400 kg. Ele é mantido na posição indicada na figura por um pino em A e</p><p>por um suporte basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está</p><p>localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B.</p><p>RESPOSTA:</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES</p><p>As situações mais comuns de equilíbrio de corpos rígidos ocorrem em</p><p>três dimensões. A abordagem para a análise e a modelagem dessas situações é</p><p>a mesma que utilizamos para duas dimensões: traçamos um diagrama de corpo</p><p>livre e então escrevemos e resolvemos as equações de equilíbrio.</p><p>Entretanto, agora temos que lidar com mais equações e mais</p><p>variáveis. Além disso, as reações em suportes e conexões podem ser mais</p><p>variadas, tendo até mesmo três componentes de força e três binários atuando</p><p>em um único suporte. É preciso visualizar claramente em três dimensões,</p><p>relembrando as análises vetoriais já vistas anteriormente.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES</p><p>• São necessárias 6 equações escalares para expressar as condições para o</p><p>equilíbrio de um corpo rígido no caso geral tridimensional:</p><p>𝜮𝑭𝒙 = 𝟎; 𝜮𝑭𝒚 = 𝟎; 𝜮𝑭𝒛 = 𝟎 (Equilíbrio de translação)</p><p>𝜮𝑴𝒙 = 𝟎; 𝜮𝑴𝒚 = 𝟎; 𝜮𝑴𝒛 = 𝟎 (Equilíbrio de rotação);</p><p>• Essas equações podem ser resolvidas para no máximo 6 incógnitas que,</p><p>geralmente, representam reações em apoios ou conexões;</p><p>• As equações escalares serão obtidas mais convenientemente se</p><p>expressarmos, inicialmente, as condições de equilíbrio na forma vetorial:</p><p>𝜮𝑭 = 𝟎</p><p>𝜮𝑴𝒐 = 𝜮 𝐫 𝐱 𝐅 = 𝟎.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REAÇÕES DE APOIO</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM</p><p>Uma tampa de tubulação de raio r = 240 mm e 30 kg de massa é mantida na</p><p>posição horizontal pelo cabo CD. Considerando que o mancal em B não exerce</p><p>qualquer empuxo axial, determine a tração no cabo e as reações em A e B.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM</p><p>Uma tampa de tubulação de raio r = 240 mm e 30 kg de massa é mantida na</p><p>posição horizontal pelo cabo CD. Considerando que o mancal em B não exerce</p><p>qualquer empuxo axial, determine a tração no cabo e as reações em A e B.</p><p>RESPOSTA:</p><p>𝑨 = (𝟒𝟗, 𝟎𝟒𝑵) Ƹ𝒊 + (𝟕𝟑, 𝟓𝟎𝑵) Ƹ𝒋 + (𝟗𝟖, 𝟎𝟒𝑵)෡𝒌</p><p>𝑩 = (𝟐𝟒𝟓, 𝟏𝟎𝑵) Ƹ𝒊 + (𝟕𝟑, 𝟒𝟒𝑵) Ƹ𝒋</p><p>𝑻 = 𝟑𝟒𝟑, 𝟏𝟗𝑵</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R; Mecânica vetorial para engenheiros, Estática; 9ª ed, Porto Alegre: AMGH, 2012.</p><p>FEREIRA, W. G. Mecânica dos Sólidos. São Paulo, 2016.</p><p>HIBBELER, R. C.; Estática: Mecânica para Engenharia. 12ª ed, São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2011.</p><p>LEONEL, E. D. Notas de aula para as disciplinas Resistência dos Materiais e Mecânica dos Sólidos. São Paulo: USP, 2016.</p><p>NASCIMENTO, F. F. Curso básico de mecânica dos sólidos. Paraíba, 2020.</p><p>OLER, J. W. Mecânica vetorial para engenheiros, Estática; 9ª ed, Nova Iorque: McGraw Hill, 2010.</p><p>prof. João Paulo m.</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p>