Gabarito Prova Mecânica

Prévia do material em texto

<p>GABARITO DA 3a PROVA DE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA – TURMA B4 – 05/12/2018</p><p>Abaixo estão os Momentos de Inércia de alguns corpos uniformes por eixos que passam pelo seu centro de massa:</p><p>- disco ou cilindro maciço de massa M , raio R, pelo seu eixo: ICM,cil =</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2</p><p>- esfera maciça de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,1 = 2</p><p>5</p><p>MR2</p><p>- esfera ôca de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,2 = 2</p><p>3</p><p>MR2</p><p>- barra de massa M , comprimento L, por um eixo que passa pelo centro de massa, perpendicular à barra: ICM,bar =</p><p>1</p><p>12</p><p>ML2</p><p>Parte A - Questões (8,0 pontos, 1,6 ponto por quest~ao): Para cada afirmação ou pergunta abaixo,</p><p>responda/comente se estão certas ou erradas e, em qualquer caso, justifique com palavras e/ou equações.</p><p>Q1- Uma bailarina que rodopia sobre uma pista de gelo sem atrito aumenta sua velocidade angular quando</p><p>aproxima os braços ao seu corpo. Consequentemente, seu momento angular aumenta, já que ~L = I~ω.</p><p>A afirmativa está INCORRETA. Quando a bailarina abre ou fecha os braços, forças internas estão atuando</p><p>no sistema e estas não produzem torque ĺıquido. Com isso, como torques externos podem ser desprezados</p><p>numa pista de gelo, seu momento angular deve ficar constante. Aliás, este é o motivo de sua velocidade</p><p>angular aumentar, quando ela fecha os braços. Nessa condição, sua inércia rotacional é menor e, como o</p><p>momento angular deve se conservar,</p><p>~L = I1~ω1 = I2~ω2 −→ ~ω2 =</p><p>I1</p><p>I2</p><p>~ω1.</p><p>Q2- Em uma corrida ladeira abaixo de carrinhos de madeira, sem motor, do alto até o fim da ladeira, é</p><p>melhor escolher rodas com pequeno momento de inércia, do que com grande momento de inércia.</p><p>A afirmativa está CORRETA. Em qualquer hipótese, mesmo com perdas devido a atrito, resistência do</p><p>ar, etc., parte da energia potencial gravitacional será transformada em energia cinética, pois as perdas não</p><p>consumirão toda a energia mecânica dispońıvel. A energia cinética será a soma das energias cinéticas de</p><p>rotação e de translação das partes do carrinho. O que se quer é a maior energia cinética de translação,</p><p>que se traduz em maior velocidade de translação. Para tanto, temos de minimizar a energia cinética de</p><p>rotação das rodas, que é 1</p><p>2</p><p>Irodaω</p><p>2 ou, fazendo v = ωR (R é o raio da roda), fica igual a 1</p><p>2</p><p>Iroda(v/R)2.</p><p>Então, devemos escolher rodas com o menor valor de Iroda posśıvel.</p><p>Q3– Em um avião monomotor, o piloto vê a hélice à sua frente girar no sentido horário. Ao fazer uma curva</p><p>para a sua direita num vôo horizontal, o piloto sente que o avião tende a embicar para baixo.</p><p>A afirmativa está CORRETA. Em relação ao piloto, a hélice possui momento angular que aponta na mesma</p><p>direção de sua velocidade angular, isto é, do piloto para a hélice (ele está atrás dela), portanto para a frente</p><p>do avião. Ao virar para a direita, pela regra da mão direita, o piloto tem que aplicar um torque para baixo</p><p>no sistema. Como ~τ = d~ℓ/dt, teremos uma variação de momento angular na mesma direção, isto é, para</p><p>cima, pois d~ℓ = ~τdt. Então, o momento angular da hélice (que é o do sistema), sofre uma variação para</p><p>baixo e o avião tende a embicar para baixo.</p><p>Lfin</p><p>dL</p><p>Lhel</p><p>Q4– Um planeta de massa M1 em órbita circular de raio R1 em torno de seu Sol tem o mesmo momento</p><p>angular que um outro planeta de massa M2 = M1</p><p>2</p><p>em torno do mesmo Sol, em órbita circular de raio</p><p>R2 = 4R1.</p><p>A afirmativa está CORRETA. A velocidade orbital de um planeta de massa M1 em órbita circular de raio</p><p>R1 em torno de seu sol de massa MS pode ser calculada pela segunda lei de Newton e pela lei da gravitação</p><p>universal como Vorb,1 =</p><p>√</p><p>GMS</p><p>R1</p><p>. Usando a definição de momento angular, seu valor para o planeta de massa</p><p>M1 é L1 = M1Vorb,1R1 = M1</p><p>√</p><p>GMSR1. Do mesmo modo, para um planeta 2 em torno do mesmo sol,</p><p>o momento angular será L2 = M2Vorb,2R2 = M2</p><p>√</p><p>GMSR2. Substituindo M2 = M1</p><p>2</p><p>e R2 = 4R1, temos</p><p>L2 = M1</p><p>2</p><p>√</p><p>GMS4R1 = M1</p><p>2</p><p>2</p><p>√</p><p>GMSR1 = M1</p><p>√</p><p>GMSR1 = L1</p><p>Q5– Se você está comprando diamantes de um comerciante que utiliza uma balança de molas para a pesagem,</p><p>e você quer obter o máximo de diamantes pelo seu dinheiro, onde preferiria que a pesagem fosse feita,</p><p>na superf́ıcie da Terra ou na superf́ıcie da Lua? Explique.</p><p>A balança de molas mede a força que estica ou comprime a mola, que é igual ao peso que se pendura na</p><p>mesma. Na superf́ıcie da Lua, a atração gravitacional, gL, é menor que na superf́ıcie da Terra. Se o vendedor</p><p>estipula o preço pelo peso simplesmente (e não sabe F́ısica), o mesmo peso marcado pela balança na Lua</p><p>e na Terra conterão massas (quantidades) de diamantes diferentes: PL = Mdiam,LgL = PT = Mdiam,TgT .</p><p>Como gL < gT , Mdiam,L > Mdiam,T, e você terá uma quantidade maior de diamantes se estes forem pesados</p><p>na Lua e não na Terra.</p><p>Parte B - Problemas (16,0 pontos: P1 e P3 = 5,0 pontos, P2 = 6,0 pontos cada)</p><p>P1- Um pequeno corpo de massa m está</p><p>parado no eixo de um anel fino de raio</p><p>R e massa M , também parado, a uma</p><p>distância r do centro do anel, como</p><p>mostra a figura, vista de lado. O sis-</p><p>tema está isolado de outros corpos.</p><p>Justifique o seu racioćınio em todas as</p><p>partes.</p><p>P1.1– Encontre o módulo da força gravi-</p><p>tacional do anel que atua no corpo</p><p>de massa m, em termos de G, m,</p><p>M , r e R. Mostre na figura o sen-</p><p>tido dessa força. (2 pontos)</p><p>P1.2– Se ambos os corpos forem soltos</p><p>do repouso e separados inicialmen-</p><p>te da distância r, como na figura,</p><p>vão se atrair mutuamente e se mo-</p><p>vimentar. A que distância da po-</p><p>sição inicial do centro do anel o</p><p>corpo de massa m vai passar pelo</p><p>centro do anel (em termos de G,</p><p>m, M , r e R)? (1 ponto)</p><p>m</p><p>M</p><p>R</p><p>dM</p><p>dθ</p><p>(R +r )2 1/2</p><p>φ</p><p>r</p><p>dF</p><p>dF cos φ</p><p>2</p><p>P1.3– Qual é a energia cinética total do sistema no instante que a massa m passa pelo centro do anel? (2</p><p>pontos)</p><p>Solução</p><p>P1.1– Vamos dividir o anel em uma infinidade de massas infinitesimais dM . A distância entre essas massas</p><p>infinitesimais e a massa m é d =</p><p>√</p><p>R2 + r2 e o módulo da força que a massa m sofre desse infinitésimo de</p><p>massa é</p><p>dF =</p><p>G(m)(dM)</p><p>d2</p><p>=</p><p>Gm</p><p>R2 + r2</p><p>dM. (6)</p><p>A componente dessa força na direção que aponta para o centro do anel é dF cosφ=dF r</p><p>√</p><p>R2+r2</p><p>. Para encon-</p><p>trarmos a força total entre o anel e a massa m temos que integrar</p><p>F =</p><p>∫</p><p>dF cosφ =</p><p>∫</p><p>dF</p><p>(</p><p>r√</p><p>R2 + r2</p><p>)</p><p>=</p><p>∫</p><p>GmdM</p><p>R2 + r2</p><p>(</p><p>r√</p><p>R2 + r2</p><p>)</p><p>=</p><p>Gmr</p><p>(R2 + r2)</p><p>3</p><p>2</p><p>∫</p><p>dM, (7)</p><p>onde coloquei para fora do sinal da integral os termos constantes. Obviamente a integral que sobrou é a</p><p>massa total do anel e a força que a massa m sofre do anel aponta para o centro do anel e tem o módulo</p><p>F = GmM</p><p>r</p><p>(R2 + r2)</p><p>3</p><p>2</p><p>. (8)</p><p>P1.2– Pela 3a Lei de Newton, o anel sofre uma força de mesmo módulo da massa m, mas de sentido oposto.</p><p>Se o sistema está isolado de outros corpos, essas são as únicas forças que atuam no mesmo. Como são forças</p><p>internas, não conseguem acelerar o centro de massa do sistema. Inicialmente tanto o anel como a massa m</p><p>estão parados e o centro de massa do sistema se situa à distância</p><p>Rcm =</p><p>0+mr</p><p>M +m</p><p>= r</p><p>(</p><p>m</p><p>M +m</p><p>)</p><p>. (9)</p><p>Como não há forças externas atuando, o centro de massa terá aceleração nula. E, como estava inicialmente</p><p>parado, continua parado, e quando a massa m passar pelo centro do anel, ambos estarão à distância dada</p><p>pela Eq.(9) da posição inicial do anel.</p><p>P1.3– A força gravitacional é uma força conservativa e, na ausência de outras forças, a energia mecânica</p><p>do sistema se conserva. Inicialmente tanto o anel como a massa m estão parados. A energia potencial</p><p>gravitacional entre eles pode ser calculada por integração. Considerando o mesmo elemento infinitesimal de</p><p>massa dM da parte P1.1–, a energia potencial gravitacional inicial é</p><p>Epot,ini =</p><p>∫</p><p>dE =</p><p>∫</p><p>−G(m)(dM)√</p><p>R2 + r2</p><p>= − Gm√</p><p>R2 + r2</p><p>∫</p><p>dM = − GmM√</p><p>R2 + r2</p><p>. (10)</p><p>Quando a massa m estiver passando pelo centro do anel, a distância entre ela e o centro será nula e a energia</p><p>potencial gravitacional nesse instante será, seguindo</p><p>o mesmo racioćınio da Eq.(10), quando r = 0</p><p>Epot,fin = −GmM</p><p>R</p><p>. (11)</p><p>Nesse instante o sistema terá uma certa energia cinética de tal forma que as energias mecânicas inicial e final</p><p>são iguais</p><p>Emec,ini = Ecin,ini + Epot,ini = 0 +</p><p>(</p><p>− GmM√</p><p>R2 + r2</p><p>)</p><p>= Emec,fin = Ecin,fin +</p><p>(</p><p>−GmM</p><p>R</p><p>)</p><p>, (12)</p><p>de onde calculamos</p><p>Ecin,fin = GmM</p><p>(</p><p>1</p><p>R</p><p>− 1√</p><p>R2 + r2</p><p>)</p><p>. (13)</p><p>P2– Em um parque de diversões há um pequeno carrossel cujo raio é R, e cuja massa é M . O carrossel</p><p>consiste, na verdade, de um cilindro que pode girar em torno de seu eixo vertical, cujo momento de</p><p>inércia em torno desse eixo é ICM = MR2</p><p>2</p><p>. Uma criança de massa m corre com a velocidade V0 em</p><p>direção a um ponto do carrossel, e a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma</p><p>distância r do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra</p><p>nele, ficando em sua borda e passando a girar com ele. O eixo do carrossel faz força no carrossel e não</p><p>deixa o centro do mesmo sair do lugar e o carrossel passa a girar com a criança em torno do eixo. A</p><p>figura mostra o sistema visto de cima. Em termos dos dados fornecidos (m, M , R, r e V0), responda o</p><p>que se pede abaixo, justificando o seu racioćınio (6 pontos).</p><p>P2.1– Qual a velocidade angular do carrossel e da</p><p>criança, imediatamente após a criança ter</p><p>se agarrado ao carrossel? (2 pontos)</p><p>Contando a partir do instante em que a</p><p>criança atinge o carrossel e passa a se mover</p><p>com ele com a velocidade angular calculada</p><p>anteriormente, o sistema freia e chega ao</p><p>repouso após T segundos. Considerando</p><p>constante o torque do atrito no eixo do car-</p><p>rossel, calcule, em termos de m, M , R, r,</p><p>V0 e T :</p><p>P2.2– a aceleração angular e o torque retardador</p><p>no sistema devido ao atrito (2 pontos)</p><p>P2.3– o ângulo percorrido pelo carrossel durante</p><p>os T segundos, até parar. (2 pontos)</p><p>0</p><p>m</p><p>v</p><p>R</p><p>r</p><p>M</p><p>(antes)</p><p>(depois)</p><p>eixo</p><p>Solução</p><p>P2.1- Quando a criança pula sobre o carrossel, age sobre este e sofre a reação. Estas são forças internas. As</p><p>forças externas que atuam sobre o sistema são a gravidade e a força que o eixo do carrossel (preso à Terra)</p><p>faz sobre o mesmo. A gravidade (peso do carrossel e da criança) é vertical e é anulada pela componente</p><p>vertical da força que o carrossel sofre de seu eixo. Entretando, nada anula a componente horizontal da</p><p>força externa. Então, não há conservação de quantidade de movimento linear durante processo. Também</p><p>não há conservação de energia cinética, uma vez que a criança se agarra no carrossel, numa espécie de</p><p>colisão inelástica. Resta saber se há algum torque externo resultante, para verificarmos se há conservação</p><p>de quantidade de movimento angular. As forças internas entre a criança e o carrossel não exercem torque</p><p>ĺıquido. Como os pesos estão na vertical, o torque que podem exercer sempre estarão na horizontal (pela</p><p>definição de torque) e não poderão afetar o movimento do carrossel em torno de seu eixo, que é vertical. O</p><p>torque devido à força que o eixo faz sobre o carrossel, em relação a esse eixo, também pode ser desprezado,</p><p>por se tratar de uma colisão. Então, imediatamente antes e depois da colisão, há conservação de quantidade</p><p>de movimento angular na direção vertical.</p><p>Como há conservação de quantidade de movimento angular na direção vertical, temos que Li = Lf .</p><p>Inicialmente o carrossel está parado e não contribui para a quantidade de movimento angular do sistema.</p><p>Somente a criança se movimenta e, em relação ao eixo do carrossel, sua quantidade de movimento pode ser</p><p>calculada com a definição de momento angular em relação ao eixo do carrossel, ~LE = ~rE × ~p. Esse vetor</p><p>aponta para dentro da figura acima (entrando no papel) e tem o módulo:</p><p>Li = Lcri,i + Lcar,i = |~rE ×m~v|+ 0 = mv0r.</p><p>Depois que a criança se agarra à borda do carrossel, o sistema começa a girar em torno de seu eixo, com uma</p><p>certa velocidade angular, Lf = Itotalω. O momento de inércia do sistema é constituido de uma contribuição</p><p>da carrossel e uma da criança, nele agarrada. Como reconhecemos anteriormente que o torque externo em</p><p>relação ao eixo do carrossel é nulo, a equação de conservação que escrevemos acima se refere a esse eixo.</p><p>Então temos de calcular o momento de inércia com relação a esse eixo:</p><p>Itotal,eixo = Icar,eixo + Icri,eixo =</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2. (P2.1)</p><p>Então temos a velocidade angular imediatamente depois da colisão, ωD:</p><p>mv0r = ItotalωD −→ ωD =</p><p>mv0r</p><p>Itotal</p><p>=</p><p>mv0r</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>. (P2.2)</p><p>P2.2- Se o carrossel, após a criança ter se agarrado a ele, possui a velocidade angular, ωD, calculada na</p><p>Eq. (P2.2) e pára (ω = 0) após T segundos, podemos calcular sua aceleração angular, suposta constante, por</p><p>ω = ωD − αT −→ α =</p><p>ω − ωD</p><p>T</p><p>= − 1</p><p>T</p><p>(</p><p>mv0r</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)</p><p>. (P2.3)</p><p>O momento de inércia desse sistema é constante. Então podemos escrever que ~τeixo = Itotal,eixo~α, e</p><p>τeixo =</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)[</p><p>− 1</p><p>T</p><p>(</p><p>mv0r</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)]</p><p>= −mv0r</p><p>T</p><p>. (P2.4)</p><p>O sinal negativo diz que o torque é oposto à velocidade inicial e, portanto, aponta para fora do desenho. O</p><p>mesmo resultado seria encontrado se usássemos a relação</p><p>~τ =</p><p>d~ℓ</p><p>dt</p><p>≈ ∆~L</p><p>∆T</p><p>=</p><p>0−mv0r</p><p>T</p><p>= −mv0r</p><p>T</p><p>.</p><p>P2.3- Para calcular o ângulo que o carrossel girou antes de voltar ao repouso (após um tempo T ), temos</p><p>de calcular o deslocamento angular que o mesmo sofreu. Como supusemos que a aceleração angular foi</p><p>constante, podemos usar:</p><p>θfinal = θinicial + ωoT +</p><p>1</p><p>2</p><p>αT 2, ou θfinal − θinicial = ∆θ = ωoT +</p><p>1</p><p>2</p><p>αT 2. (P2.5)</p><p>Usando os resultados das Eqs. (P2.2) e (P2.3), podemos escrever:</p><p>∆θ =</p><p>mv0rT</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>− 1</p><p>T</p><p>mv0r</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)</p><p>T 2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>mv0rT</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>. (P2.6)</p><p>O mesmo resultado poderia ser encontrado considerando que o trabalho realizado pelo torque retardador</p><p>tem de ser igual à variação de energia cinética de rotação durante os T segundos, isto é, após a criança ter</p><p>pulado sobre o carrossel:</p><p>Wtotal=∆Ecin,rot=τE∆θ=−mv0r</p><p>T</p><p>∆θ = 0− 1</p><p>2</p><p>Itotalω</p><p>2</p><p>o = −1</p><p>2</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)(</p><p>mv0r</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2 +mR2</p><p>)2</p><p>. (P2.7)</p><p>Na Eq. (P2.7) utilizamos resultados das Eqs. (P2.1), (P2.2) e (P2.4). O sinal do trabalho do torque (negativo)</p><p>se deve ao fato do torque ser oposto à velocidade angular inicial. Simplificando para encontrar ∆θ obtemos</p><p>a resposta da Eq. (P2.6).</p><p>P3– Um corpo ciĺındrico maciço, de raio R e massa</p><p>M , possui um fio resistente, inextenśıvel e sem</p><p>massa, enrolado à sua volta. Solta-se o corpo</p><p>na presença da gravidade, segurando-o somente</p><p>pelo fio, e um mecanismo consegue manter uma</p><p>tensão constante no fio, T , enquanto este se de-</p><p>senrola do corpo, como mostra a figura. Dê suas</p><p>respostas em termos de M , R, T , g (5 pontos).</p><p>P3.1– Indique na figura todas as forças (com dire-</p><p>ção e sentido) que atuam no corpo, enquanto</p><p>ele está pendurado pelo fio (1 ponto);</p><p>P3.2– Encontre a aceleração linear do centro de</p><p>massa do corpo ciĺındrico em relação ao ob-</p><p>servador do lado de fora (1 ponto).</p><p>P3.3– Encontre a aceleração angular do corpo, em</p><p>torno de seu centro de massa (1 ponto).</p><p>P3.4– Encontre a aceleração linear do fio em rela-</p><p>ção ao centro de massa do corpo (1 ponto).</p><p>P3.5– Encontre a aceleração linear do fio, agora em</p><p>relação ao observador externo (1 ponto).</p><p>P</p><p>R</p><p>M</p><p>T</p><p>T</p><p>Solução</p><p>P3.1– As únicas forças que atuam no cilindro são seu peso (exercido pela Terra) e a tensão (exercida pela</p><p>corda). Elas estão em azul na figura.</p><p>P3.2– A resultante das forças acima é a responsável pela aceleração do centro de massa do cilindro. Con-</p><p>siderando positivo para cima, temos</p><p>T − P = T −Mg = Ma −→ a =</p><p>T</p><p>M</p><p>− g = acentro, observador.</p><p>Se T > Mg, o cilindro acelera para cima; caso contrário, acelera para baixo. Se T = Mg, o cilindro fica com</p><p>seu centro parado, mas girando em torno dele, de forma acelerada.</p><p>P3.3– O torque resultante será o responsável pela aceleração angular do cilindro. Vamos considerar, para o</p><p>torque, que positivo é o sentido saindo do</p><p>plano da figura. Em relação ao seu centro (que coincide com o</p><p>centro de massa), temos que o torque resultante é</p><p>τresultante,cm = τT,cm − τP,cm = TR = Icmα.</p><p>Utilizando a tabela fornecida no ińıcio da prova, temos que Icilindro sólido,cm = 1</p><p>2</p><p>MR2 e,</p><p>TR =</p><p>1</p><p>2</p><p>MR2α −→ α =</p><p>2T</p><p>MR</p><p>.</p><p>P3.4– A aceleração linear do fio em relação ao centro do cilindro é igual à aceleração tangencial do cilindro</p><p>em relação ao seu centro</p><p>atangencial = αR =</p><p>2T</p><p>M</p><p>= afio, centro.</p><p>P3.5– A aceleração linear do fio em relação ao observador pode ser calculada com a relação entre diferentes</p><p>referenciais, ou</p><p>afio, observador = afio, centro + acentro, observador =</p><p>2T</p><p>M</p><p>+</p><p>(</p><p>T</p><p>M</p><p>− g</p><p>)</p><p>=</p><p>3T</p><p>M</p><p>− g.</p>