ET_23 2_ Estatística Descritiva_ Universo, Amostra e Variáveis

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<p>Introdução</p><p>A palavra “Estatística” está relacionada à palavra latina “status”, que significa</p><p>“estado”, deriva da matemática e tem como objetivo apresentar técnicas para</p><p>planejamento, coleta de dados, tabulação dos dados, apresentação de resultados</p><p>para que possam ser tomadas decisões acerca do que está sendo estudado.</p><p>Dessa maneira, a Estatística é definida da seguinte maneira: Estatística é um</p><p>conjunto de métodos e processos que serve para estudar e medir os fenômenos</p><p>coletivos. A Estatística subdivide-se em três áreas: descritiva, probabilística e</p><p>inferencial. A estatística descritiva, como o próprio nome já diz, preocupa-se em</p><p>descrever os dados. A estatística inferencial, fundamentada na teoria das</p><p>probabilidades, preocupa-se com a análise destes dados e sua interpretação.</p><p>A parte da Estatística que somente observa e avalia certo grupo, sem tirar</p><p>quaisquer conclusões ou inferências, é denominada Estatística Descritiva. Ela se</p><p>divide em: definição do problema a ser estudado, planejamento estatístico, coleta</p><p>dos dados, apresentação dos dados e descrição desses dados.</p><p>Convido você a entrar neste mundo fascinante da estatística.</p><p>Estatística Descritiva: Universo, Amostra e Variáveis</p><p>Ricardo Cardoso de Oliveira</p><p>Autor</p><p>Renata Cristina de Souza Chatalov</p><p>Autor</p><p>Objetivos de Aprendizagem</p><p>Compreender o conceito de universo e amostra em estatística</p><p>Identificar e diferenciar os tipos de variáveis utilizadas em análises</p><p>estatísticas</p><p>Explorar técnicas de amostragem, como amostragem aleatória simples,</p><p>estratificada e por conglomerados</p><p>Compreender os princípios e aplicações das diferentes técnicas de</p><p>amostragem</p><p>Construir e interpretar uma distribuição de frequência</p><p>Calcular frequências relativas e percentuais em uma distribuição de</p><p>frequência</p><p>Calcular e interpretar medidas de posição, como média aritmética, moda</p><p>e mediana</p><p>Reconhecer as aplicações das medidas de posição em diferentes</p><p>contextos</p><p>Explorar medidas de dispersão, como amplitude, desvio padrão e</p><p>variância</p><p>Compreender como essas medidas indicam a variabilidade dos dados.</p><p>Universo, Amostra e Variáveis</p><p>A estatística está interessada nos métodos científicos para coleta, organização,</p><p>resumo, apresentação e análise dos dados, bem como na tomada de decisões</p><p>baseadas em tais análises.</p><p>Ao coletar os dados referentes às características de um grupo ou de indivíduos que</p><p>possuem ao menos uma característica comum, é, muitas vezes, ou impossível ou</p><p>inviável economicamente ou impraticável observar todo o grupo, em particular</p><p>quando este é muito grande. Assim, ao invés de examinar todo o universo (que</p><p>também é denominado população), examina-se uma pequena porção do universo,</p><p>denominada amostra.</p><p>Após a determinação dos elementos da amostra, pergunta-se: o que fazer com</p><p>estes? Pode-se medi-los, observá-los e/ou contá-los? Daí surge um conjunto de</p><p>respostas que receberá a denominação de variável. A variável é a característica</p><p>que vai ser observada, medida ou contada nos elementos da população ou da</p><p>amostra e que pode variar, ou seja, assumir um valor diferente de elemento para</p><p>elemento observado.</p><p>A variável pode ser classificada em: (I) qualitativa – aquela em que a característica</p><p>observada é expressa por atributos (cor da pele, sexo, tipo sanguíneo etc.); (II)</p><p>quantitativa – aquela em que a característica observada é expressa em números</p><p>(número de alunos matriculados na disciplina de estatística, idade etc.). No entanto,</p><p>uma variável quantitativa pode ser contínua (aquela que pode assumir qualquer</p><p>valor entre dois limites) ou discreta (aquela que só pode assumir valores</p><p>pertencentes a um conjunto enumerável). Vejamos o Exemplo 1.</p><p>Exemplo 1: Condé Nast Traveler é um site especializado em viagens</p><p>(<www.cntraveler.com>). Em 2013, o site publicou uma lista com os 154 melhores</p><p>novos hotéis abertos no ano anterior. Na figura a seguir, é apresentada a avaliação</p><p>do site para onze lugares para se hospedar na América Central e América do Sul.</p><p>Desprende-se do enunciado do Exemplo 1 que o universo contém 154 hotéis e que é</p><p>apresentada  somente uma amostra de 11 hotéis indicados pela Condé Nast</p><p>Traveler para se hospedar nas América do Sul e Central. Nesse exemplo, caso a</p><p>variável de estudo fosse o país em que se localiza o hotel, teríamos uma variável</p><p>qualitativa. Caso a variável de estudo fosse o número de quartos, teríamos uma</p><p>variável quantitativa discreta.</p><p>FIGURA 1 Avaliações de onze novos hotéis para se hospedar nas Américas Central e do Sul</p><p>FONTE: Condé Nast Traveler (2012)</p><p>Técnicas de Amostragem</p><p>Para garantir que a amostra represente o universo, ou seja, que a amostra possua</p><p>as mesmas características que o universo no que diz respeito à variável estudada, é</p><p>necessário que ela seja obtida por técnicas adequadas. A seguir, estudaremos três</p><p>das principais técnicas de amostragem.</p><p>(I) Amostragem aleatória simples – Essa técnica de amostragem pode ser</p><p>realizada numerando os elementos do universo de 1 até n e, em seguida, procede-</p><p>se um sorteio de k números para representar a amostra. No caso de a população</p><p>ser muito grande, o sorteio torna-se inviável e fazemos o uso da</p><p>Tabela de Números Aleatórios. Vejamos os Exemplos 2 e 3.</p><p>Exemplo 2: O banco Felicidade tem 100 funcionários e deseja escolher 15% para</p><p>realizar exames de rotina. Assim, para proceder a escolha desses funcionários,</p><p>primeiramente os numeramos de 01 a 100 e, em seguida, escrevemos os números</p><p>de 01 a 100 em papéis de mesmo tamanho, colocamos dentro de uma caixa,</p><p>agitamos e retiramos, um a um, os quinze números que formarão a amostra.</p><p>Exemplo 3: Considere agora que o banco Felicidade tenha 10.000 funcionários e que</p><p>150 deverão ser sorteados para realizar exames de rotina. Note que, agora, os</p><p>números de elementos do universo e da amostra são relativamente grandes. Assim,</p><p>faz-se necessário utilizar-se da tabela de número aleatórios. Para obtermos esses</p><p>150 elementos da amostra, sorteamos um algarismo qualquer da tabela, a partir do</p><p>qual iremos tomar números de dois, três ou mais dígitos, de acordo com a</p><p>necessidade, percorrendo as linhas e/ou colunas da tabela de números aleatórios</p><p>da esquerda para direita (ou vice-versa), ou ainda de cima para baixo (ou vice-</p><p>versa). Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra.</p><p>Saiba mais!</p><p>A amostragem estratificada é uma técnica de amostragem utilizada</p><p>quando o universo de interesse é dividido em estratos. Essa</p><p>abordagem garante que a amostra represente adequadamente cada</p><p>estrato, levando em consideração suas proporções no universo. Por</p><p>exemplo, considerando uma situação em que há 100 funcionários,</p><p>sendo 80 do sexo masculino e 20 do sexo feminino, a amostragem</p><p>estratificada permite selecionar uma amostra que respeite a</p><p>proporção de funcionários de cada sexo.</p><p>Confira este vídeo, nele, você encontrará uma explicação clara e</p><p>concisa sobre os conceitos fundamentais da estatística, incluindo</p><p>amostragem, média, mediana e desvio padrão. Assista para obter</p><p>uma visão geral sobre a importância da estatística e como ela é</p><p>aplicada em diversas áreas. Fonte: YouTube - [Inserir link do recurso].</p><p>Para saber mais sobre essa técnica e sua aplicação, acesse:</p><p>Clique Aqui</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor.</p><p>(II) Amostragem estratificada – Essa técnica de amostragem é empregada</p><p>quando tivermos o universo subdividido em estratos. Assim, para que a amostra</p><p>represente o universo, é interessante que ela leve em consideração cada estrato.</p><p>Para entender melhor, veja o Exemplo 4.</p><p>Exemplo 4: Considere que, no Exemplo 2, dos 100 funcionários, 80 sejam do sexo</p><p>masculino e 20 do sexo feminino, ou seja, temos dois estratos (sexo masculino e</p><p>sexo feminino) e queremos escolher 15% do total de 100.</p><p>Solução: Nesse exemplo, queremos respeitar a proporção dos funcionários do sexo</p><p>masculino e feminino. Assim, temos:</p><p>SEXO UNIVERSO AMOSTRA</p><p>Masculino80 15 × 80</p><p>100</p><p>= 12</p><p>Feminino 20 15 × 20</p><p>100</p><p>= 3</p><p>Total 100 15 × 100</p><p>100</p><p>= 15</p><p>Quadro 1 - Resolução do Exemplo 4.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Ou seja, serão sorteados 12 homens e 3 mulheres. A segunda etapa dessa</p><p>técnica</p><p>de amostragem consiste em escolher os 12 homens entre os 80 e as 3 mulheres</p><p>entre as 20. Podemos numerar esses funcionários de 1 a 100, sendo que os</p><p>numerados de 1 até 20 correspondem aos funcionários do sexo feminino e os</p><p>numerados de 21 até 100 correspondam aos funcionários do sexo masculino e,</p><p>então, proceder um sorteio ou usar a tabela de números aleatórios.</p><p>(III) Amostragem sistemática – Nessa técnica de amostragem, os membros do</p><p>universo que participam da amostra são determinados a partir de intervalos fixos, e</p><p>não há a utilização de tabelas de números aleatórios. Por exemplo, no caso do</p><p>universo dos 100 funcionários do Banco Felicidade, para obtermos 10 amostras</p><p>sistemáticas, podemos escolher os números 10, 20, 30, e assim por diante, até</p><p>completarmos 10 amostras sistematicamente colhidas.</p><p>Distribuição de Frequência</p><p>Após a realização de uma pesquisa em que os dados foram coletados, faz-se</p><p>necessária a organização e classificação desses. Esse procedimento é, em geral,</p><p>feito por meio de tabelas. Essas tabelas são denominadas tabelas de distribuição</p><p>de frequência.</p><p>Para entender esse conceito e outros que virão, vamos considerar que foram</p><p>coletados os dados referentes aos preços de quarenta ações ordinárias em uma</p><p>determinada Bolsa de Valores, como pode ser visto na Tabela 1.</p><p>33,5030,38 48,3831,13 29,639,25 32,25 38,008,63 29,63</p><p>9,00 18,00 18,00 1,25 37,88 10,0025,24 52,00 9,25 53,38</p><p>8,75 34,007,63 14,0043,25 16,5011,38 25,02 18,50 16,63</p><p>9,38 8,00 35,25 21,63 19,38 11,50 28,5078,38 38,8833,63</p><p>Tabela 1 - Preços de quarenta ações ordinárias em uma Bolsa de Valores</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>A Tabela 1 é um tipo de tabela em que os dados não estão organizados. É</p><p>denominada tabela bruta e os dados são chamados de dados brutos. Ao organizar</p><p>esses dados brutos, em tabela, em ordem crescente ou decrescente temos o rol,</p><p>como apresentado na Tabela 2.</p><p>1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00</p><p>11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38</p><p>21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63</p><p>34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38</p><p>Tabela  2 - Rol crescente dos preços de quarenta ações ordinárias em uma Bolsa de</p><p>Valores.</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Uma vez organizados os dados em rol, iremos agora resumir esses dados em uma</p><p>tabela de tal forma que a leitura dos dados seja facilitada. Para isso, definimos:</p><p>(I) Classe: É a subdivisão dos dados em intervalos ou faixas de valores.</p><p>(II) Limite de classe: São os valores extremos de cada classe. Para uma classe,</p><p>temos o limitante inferior, que é o menor número que pode pertencer à classe, e</p><p>ainda o limitante superior, que é o maior número que pode pertencer à classe.</p><p>(III) Ponto médio de uma classe: São os valores obtidos somando-se o limitante</p><p>inferior de classe ao limitante superior e dividindo-se o resultado da soma por 2.</p><p>(IV) Número de classes (I): Para construção de uma tabela de distribuição de</p><p>frequência, a primeira coisa com que devemos nos preocupar é em determinar o</p><p>número de classes. Para tal, fazemos uso da regra de Sturges, a qual é dada por:</p><p>𝑖 = 1 + 3, 3 𝑙𝑜𝑔 � 𝑛 �</p><p>Ou ainda, podemos fazer uso da regra da raiz, a qual é dada por:</p><p>𝑖 = √𝑛</p><p>Para essas regras, temos que n é o número de dados coletados.</p><p>(V) Amplitude total da distribuição (AT): É a diferença entre o maior e o menor</p><p>valor observado.</p><p>(VI) Amplitude de classe (h): Calculado o número de classes a ser usado na</p><p>construção da tabela de distribuição de frequência, devemos proceder ao cálculo</p><p>da amplitude de classe, a qual é calculada fazendo-se a razão entre a amplitude</p><p>total e o número de classes.</p><p>(VII) Frequência absoluta: É o número de vezes que determinado elemento aparece</p><p>na amostra ou, ainda, o número de vezes que um elemento aparece em uma</p><p>classe.</p><p>(VIII) Frequência relativa: É a razão entre a frequência absoluta da classe em</p><p>questão e o número total de elementos na amostra. A frequência relativa é</p><p>calculada usando-se a equação:</p><p>𝑓</p><p>𝑟𝑖 = 𝑓𝑖</p><p>𝑛</p><p>(IX) Frequência relativa percentual: É obtida calculando-se o produto da</p><p>frequência relativa por 100, como mostrado abaixo:</p><p>(X) Frequência acumulada: É obtida somando-se a frequência absoluta da classe</p><p>considerada às frequências absolutas anteriores a esta classe. A equação a seguir</p><p>mostra o procedimento do cálculo da frequência acumulada de uma classe.</p><p>𝐹𝐴𝐶 = 𝑓1 + 𝑓2 + . . . + 𝑓𝑛 = ∑𝑖 = 1</p><p>𝑛 𝑓𝑖</p><p>Em que (f1) é a frequência absoluta da primeira classe, (f2) é frequência absoluta</p><p>da segunda classe, e assim por diante, até a n-ésima classe. O símbolo</p><p>denota a soma das frequências da primeira, segunda e até a n-ésima classe.</p><p>(XI) Frequência relativa acumulada: É a razão entre a frequência acumulada de</p><p>uma classe pelo número total de elementos na amostra, como mostra a equação a</p><p>seguir:</p><p>𝐹</p><p>𝑅𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐶</p><p>𝑛</p><p>(XII) Frequência relativa acumulada percentual: É o produto da frequência relativa</p><p>acumulada de uma classe por 100, como apresentado a seguir:</p><p>𝐹𝑅𝐴𝐶 = 𝐹𝑟𝑎𝑐</p><p>𝑛</p><p>∗ 100</p><p>Já que definimos tanta coisa, vamos aplicá-las à Tabela 1. Digamos que nosso</p><p>objetivo seja elaborar um relatório e queremos resumir as informações dos preços</p><p>dessas quarenta ações ordinárias em uma tabela de distribuição de frequência.</p><p>Embora existam tecnologias para gerar distribuições de frequência</p><p>automaticamente, os passos para construí-las manualmente são os seguintes:</p><p>1º passo: Determinar o número de classes desejado. Este número deve estar entre 5</p><p>e 20, por questões práticas, e ainda deve ser um número inteiro. Como temos n = 40</p><p>observações, podemos usar o critério de Sturges ou da raiz. Assim, temos, pelo</p><p>critério de Sturges, o número de classes igual a:</p><p>𝑖 = 1 + 3, 3 𝑙𝑜𝑔 � 40 � − 𝐶𝑟𝑖𝑡�́�𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑟𝑔𝑒𝑠</p><p>𝑖 = √40 = 6, 32425552033675 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 6 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 − 𝐶𝑟𝑖𝑡�́�𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 .</p><p>2º passo: Calcular a amplitude total.</p><p>AT = Xmáx – Xmín</p><p>Em que:</p><p>Xmáx = maior valor do conjunto de dados.</p><p>Xmín = menor valor do conjunto de dados</p><p>No nosso exemplo, temos:</p><p>AT = Xmáx – Xmín</p><p>AT = 78,38 – 1,25 = 77,13</p><p>3º passo: Calcular a amplitude das classes. Se necessário, faça uso de</p><p>arredondamentos e/ou mude o número de classes, de modo que se use números</p><p>convenientes.</p><p>Em que:</p><p>ℎ = 𝐴𝑇</p><p>𝑘</p><p>AT = amplitude total</p><p>k = número de classes (número de linhas, com valor arredondado, se necessário)</p><p>ℎ = 77, 13</p><p>6</p><p>≃ 13 � 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜 �</p><p>4º Passo: Para iniciar sua tabela, escolha ou o valor mínimo, ou um valor</p><p>conveniente que seja um pouco menor do que esse valor mínimo para ser o</p><p>primeiro limitante inferior de classe. Usando esse limitante inferior e a amplitude de</p><p>classe, prossiga e liste os outros limites inferiores de classe, adicionando a</p><p>amplitude de classe ao primeiro limite de classe inferior para obter o segundo limite</p><p>inferior de classe, e assim por diante. No nosso caso, como arredondamos os</p><p>valores, iniciamos nossa tabela com o número 1.</p><p>5º Passo: Liste os limites inferiores de cada classe em uma coluna vertical e</p><p>prossiga para preencher os limitantes superiores. Feito isso, percorra o conjunto de</p><p>dados, colocando uma marca apropriada para cada valor dado. Conte as marcas</p><p>para encontrar a frequência total para cada classe.</p><p>Para construir a tabela, temos o menor valor da classe, chamado de Limite Inferior</p><p>(Li), e o maior valor da classe, chamado de Limite Superior (Ls).</p><p>Agora, vamos construir a tabela de distribuição de frequência.</p><p>Classe (i) Preço das ações (intervalos de classe) Frequência (fi)</p><p>1 1 |---------- 14 12</p><p>2 14 |---------- 27 11</p><p>3 27 |---------- 40 12</p><p>4 40 |---------- 53 3</p><p>5 53 |---------- 66 1</p><p>6 66 |---------- 79 1</p><p>Total 40</p><p>Tabela 2 - Distribuição de frequência dos preços de quarenta ações ordinárias</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Observe que na última classe (última linha) o limite superior, 79, está com as bordas</p><p>abertas porque é maior do que o Xmáx, que neste caso é 78,38. Caso o nosso limite</p><p>superior da última classe seja igual ao</p><p>Xmáx, essa borda deveria estar fechada no</p><p>limite superior.</p><p>De posse da tabela de distribuição de frequência, podemos calcular as frequências</p><p>relativas e acumuladas, como apresentado na Tabela .</p><p>Classe (i) Preço das ações</p><p>1 1|---- 14 12 0,300 30,0 12 0,300 30,0</p><p>2 14|---- 27 11 0,275 27,5 23 0,575 57,5</p><p>3 27 |---- 40 12 0,300 30,0 35 0,875 87,5</p><p>4 40|---- 53 3 0,075 7,50 38 0,950 95,0</p><p>5 53|---- 66 1 0,025 2,50 39 0,975 97,5</p><p>6 66|---- 79 1 0,025 2,50 40 1,000 100,0</p><p>Total 40 1,000 100,00 - - -</p><p>Tabela 3 - Preço das ações ordinárias em uma Bolsa de Valores (Distribuição de</p><p>frequência relativa e acumulada).</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>O cálculo da frequência relativa da primeira classe foi feito da seguinte maneira:</p><p>𝑓𝑟1 = 12</p><p>40</p><p>= 0, 30</p><p>Esse procedimento foi usado para calcular as demais frequências relativas. As</p><p>frequências relativas percentuais foram obtidas multiplicando por 100 as</p><p>frequências relativas de cada classe.</p><p>O cálculo da frequência acumulada foi feito como apresentado a seguir:</p><p>𝐹𝐴𝐶1 = 𝑓1 = 12</p><p>𝐹𝐴𝐶2 = 𝑓1 + 𝑓2 = 12 + 11 = 23</p><p>𝐹𝐴𝐶3 = 𝑓1 + 𝑓2 = 12 + 11 + 12 = 35</p><p>𝐹𝐴𝐶4 = 𝑓1 + 𝑓2 = 12 + 11 + 12 + 3 = 38</p><p>𝐹𝐴𝐶5 = 𝑓1 + 𝑓2 = 12 + 11 + 12 + 3 + 1 = 39</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. As frequências relativas acumuladas foram</p><p>calculadas como a seguir:</p><p>𝐹𝑅𝐴𝐶1 = 12</p><p>40</p><p>= 0, 300</p><p>𝐹𝑅𝐴𝐶2 = 23</p><p>40</p><p>= 0, 575</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. Já as frequências relativas percentuais foram</p><p>obtidas multiplicando por 100 as frequências relativas acumuladas.</p><p>Em muitas situações é mais conveniente representar de forma gráfica uma</p><p>distribuição de frequência, e isso pode ser feito usando o histograma, o polígono de</p><p>frequência ou o polígono de frequência acumulada.</p><p>O histograma é a representação gráfica da distribuição de frequência. Trata-se de</p><p>um diagrama de colunas, em que cada retângulo está associado com uma classe</p><p>da distribuição de frequência. O histograma associado à Tabela 5 está</p><p>representado na Figura 1.</p><p>O polígono de frequência é o gráfico de configuração linear. Ele é obtido</p><p>calculando-se o ponto médio de cada classe. Marca-se esse ponto no lado superior</p><p>do histograma. O polígono de frequência é obtido ligando-se esses pontos médios.</p><p>A Figura 2 mostra o polígono de frequência associado aos dados da Tabela 5.</p><p>FIGURA 2 Histograma da distribuição de frequência dos preços de 40 ações ordinárias em</p><p>uma bolsa de valores</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>FIGURA 3 Polígono de frequência dos preços de 40 ações ordinárias em uma bolsa de valores</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>O polígono de frequência acumulada ou ogiva de Galton é um gráfico que permite</p><p>descrever dados quantitativos por meio da frequência acumulada. A ogiva é um</p><p>gráfico de linha que une os pontos cujas abscissas são os limites superiores das</p><p>classes, e cujas ordenadas são suas respectivas frequências acumuladas. A Figura</p><p>3 apresenta o polígono de frequência acumulada para os dados distribuídos em</p><p>classe da Tabela 5.</p><p>FIGURA 4 Polígono de frequência acumulada dos preços de 40 ações ordinárias em uma</p><p>bolsa de valores</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>Medidas de Posição</p><p>O que vimos até agora com a distribuição de frequência permite-nos descrever, de</p><p>modo geral, um conjunto de dados. Precisamos, agora, encontrar maneiras de</p><p>ressaltar as tendências da distribuição estudada. Para tal, vamos estudar as</p><p>medidas de posição, que são média, moda e mediana.</p><p>Média Aritmética</p><p>A média aritmética é a mais importante de todas as medidas de posição existentes</p><p>para descrever dados em geral.</p><p>A média aritmética 𝑥 é uma medida de tendência central determinada pela adição</p><p>de todos os valores e divisão pelo número de valores. Esta definição nos permite</p><p>escrever a equação a seguir:</p><p>𝑥− = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + . . . + 𝑥𝑛</p><p>𝑛</p><p>= Σ 𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>Em que x1+x2,..., xn são as variáveis que se está estudando, n é o número de valores</p><p>estudados, Σ denota a soma de todos os valores em estudo.</p><p>Atenção!</p><p>Cálculo de Média</p><p>Além de representar um valor numérico, a média carrega consigo</p><p>uma infinidade de possibilidades e significados. Você já se perguntou</p><p>qual é a história que ela conta sobre seus conhecimentos e desafios</p><p>no estudo da matemática?</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Exemplo 5: A seguir, é apresentada a quantidade de negócios realizados pela BM&F</p><p>Bovespa na última semana do mês de junho de 2013. Determine a média aritmética</p><p>da quantidade de negócios realizados nesse período.</p><p>Data Quantidade de negócios</p><p>24/061.296.915</p><p>25/06993.396</p><p>26/06950.702</p><p>27/06 945.651</p><p>28/061.113.816</p><p>Total 5.300.480</p><p>Tabela 4 - Resolução do Exemplo 5.</p><p>Fonte: BM&F Bovespa (2013).</p><p>Solução:</p><p>𝑥− = 1.296.915 + 993.396 + 950.702 + 945.651 + 1.113.816</p><p>5</p><p>= 5.300.480</p><p>5</p><p>Acabamos de calcular a média aritmética para o caso em que os dados não estão</p><p>agrupados. Agora, vamos aprender a calcular a média aritmética para o caso em</p><p>que os dados estão agrupados, sem intervalo de classe. Nessa situação, como as</p><p>frequências são números indicadores da intensidade de cada valor, elas funcionam</p><p>como fatores de ponderação e, assim, calculados a média aritmética ponderada,</p><p>como apresentado pela equação a seguir:</p><p>𝑥− = Σ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖</p><p>Σ 𝑓𝑖</p><p>Exemplo 6: (CESGRANRIO) Uma pesquisa realizada pela Polícia Rodoviária Estadual</p><p>a respeito do número de acidentes automobilísticos por dia, em determinado trecho</p><p>de uma estrada, utilizando a observação de 200 dias, resultou na seguinte Tabela</p><p>de Frequências:</p><p>Número de acidentes por dia Frequência observada</p><p>0 20</p><p>1 40</p><p>2 80</p><p>3 50</p><p>4 10</p><p>Tabela 5 - Distribuição de frequência de número de acidentes observados pela</p><p>Polícia Rodoviária Estadual</p><p>Fonte: Adaptada de Cesgranrio (2006).</p><p>O valor esperado do número de acidentes automobilístico por dia no trecho de</p><p>estrada observado é:</p><p>(A) 1,00     (B) 1,95       (C) 2,00     (D) 2,50     (E) 3,00</p><p>Solução: Das informações dispostas na tabela, montamos outra tabela para nos</p><p>auxiliar no cálculo da média aritmética. Assim:</p><p>0 20 0</p><p>1 40 40</p><p>2 80 160</p><p>3 50 150</p><p>4 10 40</p><p>Σ xi . fi=390</p><p>Tabela 6 - Resolução do exercício de média aritmética</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Daí segue que 𝑥− = 390</p><p>200</p><p>= 1, 95. Portanto, o valor esperado do número de acidentes</p><p>automobilístico por dia, no trecho de estrada observado, é igual a 1,95.</p><p>Vejamos agora, o caso do cálculo da média aritmética quando os dados estão</p><p>agrupados em classe. Nesse caso, convenciona-se que os valores incluídos em um</p><p>determinado intervalo coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média</p><p>ponderada. Vejamos o exemplo seguinte.</p><p>Exemplo 7: No quadro a seguir, temos a distribuição de frequência dos preços de</p><p>quarenta ações ordinárias negociados em um dia em uma Bolsa de Valores.</p><p>Determinar o preço médio dessas ações.</p><p>Preço das ações Frequência (fi)</p><p>1 _____ 14 12</p><p>14 _____ 27 11</p><p>27 _____ 40 12</p><p>40 _____ 53 3</p><p>53 _____ 66 1</p><p>66 _____ 79 1</p><p>Total 40</p><p>Tabela 7  - Resolução do Exemplo 7.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Solução: Das informações dispostas no quadro anterior, montamos outra tabela</p><p>para nos auxiliar no cálculo da média aritmética. Assim:</p><p>Preço das ações</p><p>1 |---- 14 12 7,5 90</p><p>14 |---- 27 11 20,5 225,5</p><p>27 |---- 40 12 33,5 402</p><p>40 |---- 53 3 46,5 139,5</p><p>53 |---- 66 1 59,559,5</p><p>66 |---- 79 1 72,5 72,5</p><p>Total -</p><p>Tabela 8 - Resolução do exercício preço das ações (auxílio).</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Daí, segue que 989/40 = 24,725. Portanto, o preço médio das ações negociadas é</p><p>igual a R$ 24,73.</p><p>A média aritmética apresenta as seguintes propriedades:</p><p>(I) Chamamos de desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de</p><p>um conjunto de valores e a média aritmética. A soma algébrica desses desvios</p><p>tomados em relação à média aritmética é nula.</p><p>(II) Somando ou subtraindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores da</p><p>variável, a média aritmética fica aumentada ou diminuída dessa constante.</p><p>(III) Multiplicando ou dividindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores da</p><p>variável, a média aritmética fica multiplicada ou dividida por essa constante.</p><p>Moda</p><p>Moda (Mo) é o valor que ocorre com</p><p>maior frequência em um conjunto de dados e</p><p>esse(s) valor(es) é denominado “valor modal”. Um conjunto de dados pode ser</p><p>classificado em cinco categorias:</p><p>Saiba mais!</p><p>Amodal: quando não há valor modal (ou seja, não há valores que se</p><p>repetem);</p><p>Unimodal: quando há um único valor modal;</p><p>Bimodal: quando há dois valores modais;</p><p>Trimodal: quando há três valores modais;</p><p>Polimodal: quando há quatro ou mais valores modais.</p><p>Essa classificação permite identificar a distribuição dos valores no conjunto de</p><p>dados com base na quantidade de valores modais observados.</p><p>Exemplo 8: Os dados a seguir correspondem às quantidades diárias de merendas</p><p>escolares demandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150,</p><p>200, 150, 200. Calcule a moda.</p><p>Solução: Organizando os dados em rol, obtemos a seguinte distribuição 150 – 150 –</p><p>200 – 200 – 200 – 200 – 250 – 250 – 250 – 300. Note que na série há repetição dos</p><p>valores 150 (2 vezes), 200 (4 vezes) e 250 (3 vezes). O valor modal será 200, pois é o</p><p>que repete mais vezes.</p><p>Acabamos de calcular a moda para o caso em que os dados não estão agrupados.</p><p>Agora, vamos aprender a calcular a moda para o caso em que os dados estão</p><p>agrupados, sem intervalo de classe. Nessa situação, é muito fácil determinar o valor</p><p>modal, bastando determinar a classe que apresenta maior frequência. Vejamos o</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 9: Determinada carreira profissional, em um órgão público, apresenta 5</p><p>níveis de salários com uma distribuição demonstrada no quadro a seguir:</p><p>Salários (R$) 1.500,002.000,002.500,003.000,003.500,00</p><p>Quantidade de funcionários 10 15 25 20 5</p><p>Tabela 9 - Resolução do Exemplo 9.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Determine o salário modal desse órgão público.</p><p>Solução: O salário modal desse compartimento público é R$ 2.500,00, pois esse</p><p>valor caracteriza o maior número de ocorrências (25 vezes).</p><p>Vejamos, agora, o caso do cálculo da moda quando os dados estão agrupados em</p><p>classe. Nesse caso, é comum fazer uso da fórmula de Czuber para o cálculo do</p><p>valor modal:</p><p>𝑀𝑜 = 𝑙𝑀𝑜 + � 𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>� . ℎ𝑀𝑜</p><p>Em que:</p><p>lMo  é o limite inferior da classe modal;</p><p>d1 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe</p><p>anterior à classe modal;</p><p>d2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe</p><p>posterior à classe modal;</p><p>h é a amplitude (do intervalo) em que se encontra  a classe modal.</p><p>Vejamos o exemplo seguinte.</p><p>Exemplo 10: O quadro, a seguir, apresenta a distribuição de frequências das notas</p><p>obtidas em um teste de Estatística, realizado por 50 estudantes universitários.</p><p>Nota Frequência</p><p>0 |---- 2 4</p><p>2 |---- 4 12</p><p>4|---- 6 15</p><p>6 |---- 8 13</p><p>8 |---- 106</p><p>Tabela 10 - Resolução do Exemplo 10.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Determine a nota modal.</p><p>Solução: A classe modal corresponde à classe que apresenta maior frequência. É</p><p>claro que essa frequência corresponde à terceira classe.</p><p>Portanto, a nota modal é 5,2.</p><p>A moda é, em geral, usada para medidas rápidas e aproximações de posição, ou</p><p>ainda, quando a medida de posição deve ser o valor mais frequente da distribuição.</p><p>Mediana</p><p>A mediana (Md) é uma medida de posição que divide um conjunto de dados em</p><p>duas partes iguais, com o mesmo número de elementos em cada parte. Ao</p><p>organizar os dados em ordem crescente, a mediana é o valor que se encontra no</p><p>centro de uma série estatística organizada, chamada de rol. Quando o rol tem um</p><p>número ímpar de elementos, a mediana será o valor central desse conjunto.</p><p>Saiba mais!</p><p>No entanto, se o rol possui um número par de elementos, a mediana</p><p>será calculada como a média aritmética dos dois termos centrais.</p><p>Nesse caso, a mediana será um valor que não está presente nos</p><p>dados originais, mas representa o ponto central da distribuição.</p><p>Essa definição e método de cálculo da mediana permitem obter uma medida</p><p>representativa que reflete a posição central dos dados, mesmo em casos em que a</p><p>quantidade de elementos é par.</p><p>Exemplo 11: Suponha que certa Agência do Banco XYZ tenha 25 funcionários, cujas</p><p>idades, em anos, são as seguintes:</p><p>24 −24 −24 −25 −25 −30 −32 −32 −32 −35 −36 −36 −40 −40 −40 −40− 46 – 48− 48</p><p>−50 −54 −54 −60 −60 −65</p><p>Tabela 11- Exercício sobre mediana (em rol).</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Determine a idade mediana dos funcionários do Banco XYZ.</p><p>Solução: Note que os dados estão organizados em rol crescente e que temos 25</p><p>valores. O 13º elemento é o que ocupa a posição central e este valor é a mediana do</p><p>conjunto de dados. Assim sendo, a mediana das idades dos funcionários do Banco</p><p>XYZ é 40 anos.</p><p>Exemplo 12 (CESGRANRIO): Uma turma do 2º período de Administração é composta</p><p>de 20 alunos, que tiraram as seguintes notas no teste de Estatística:</p><p>Aluno Nota Aluno Nota</p><p>1 8,5 11 6,0</p><p>2 5,0 12 7,5</p><p>3 4,0 13 5,5</p><p>4 7,0 14 9,5</p><p>5 8,0 15 8,5</p><p>6 9,0 16 7,0</p><p>7 1,5 17 9,0</p><p>8 4,5 18 8,5</p><p>9 10,0 19 3,0</p><p>10 6,5 20 2,0</p><p>Tabela 12 - Resolução do exercício sobre mediana em tabelas.</p><p>Fonte: Adaptado de Cesgranrio (2006).</p><p>Qual é a mediana teórica da turma nesse teste?</p><p>(A) 6,0         (B) 6,5         (C) 6,75     (D) 7,0         (E) 7,25</p><p>Solução: Primeiramente, vamos organizar as notas em rol crescente. Assim, temos:</p><p>1,5 – 2,0 – 3,0 – 4,0 – 4,5 – 5,0 – 5,5 – 6 – 6,5 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,5 – 8,5 – 8,5 –</p><p>9,0 – 9,0 – 9,5 – 10,0</p><p>Note que temos um número par de elementos e os dois termos centrais têm média</p><p>aritmética igual a 7,0. Portanto, a mediana da nota desse grupo de alunos é igual a</p><p>7,0 pontos.</p><p>Acabamos de calcular a mediana para o caso em que os dados não estão</p><p>agrupados. Agora, vamos aprender a calcular a mediana para o caso em que os</p><p>dados estão agrupados, sem intervalo de classe. Nessa situação, devemos executar</p><p>os seguintes passos: (I) calcular a frequência acumulada; (II) determinar um valor</p><p>tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de</p><p>elementos. Vejamos o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 13: Os salários dos 40 funcionários de uma empresa, em 31 de dezembro de</p><p>2016, estavam distribuídos conforme a tabela a seguir:</p><p>Salário (R$) Número de funcionários</p><p>800,00 4</p><p>1.100,00 8</p><p>2.000,00 10</p><p>2.800,00 16</p><p>3.600,00 2</p><p>Total 40</p><p>Tabela 13 - Mediana em tabelas de frequências, sem intervalo de classes.</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Determine a mediana dos salários dos funcionários dessa empresa.</p><p>Solução: Para determinar o valor da mediana, primeiro vamos determinar a</p><p>frequência acumulada para o conjunto de dados. Assim:</p><p>Salário (R$) Fi Fac</p><p>800,00 4 4</p><p>1.100,00 8 12</p><p>2.000,00 10 22</p><p>2.800,00 16 38</p><p>3.600,00 2 40</p><p>Total 40 -</p><p>Tabela 14 - Resolução da mediana em dados agrupados, sem intervalo de classes</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Daí, a posição da mediana será  40</p><p>2</p><p>= 20, ou seja, o valor pertence a 3ª classe e</p><p>corresponde ao salário de R$ 2.000,00. Portanto, a mediana do salário é igual a R$</p><p>2.000,00.</p><p>Vejamos, agora, o caso do cálculo da mediana quando os dados estão agrupados</p><p>em classe. Nesse caso, usa-se a seguinte equação de interpolação linear:</p><p>𝑀𝑒 = 𝑙𝑀𝑒 + �</p><p>𝑛</p><p>2 − 𝐹𝐴𝐶𝑎𝑛𝑡</p><p>𝑓𝑀𝑒</p><p>� . ℎ𝑀𝑒</p><p>Em que:</p><p>lme = é o limite inferior da classe mediana (que se refere a classe em que está a</p><p>mediana, encontrada anteriormente na coluna frequência acumulada).</p><p>n = é o número de elementos (total).</p><p>Facant = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.</p><p>Fme = é a frequência absoluta da classe mediana.</p><p>hme = é a amplitude da classe da mediana.</p><p>Vejamos o exemplo seguinte.</p><p>Exemplo 14: A tabela, a seguir, apresenta a distribuição de frequência dos preços de</p><p>quarenta ações ordinárias negociadas em um dia em uma Bolsa de Valores.</p><p>Determinar a mediana do preço dessas ações.</p><p>Preço das ações Frequência ( )</p><p>1 |---- 14 12</p><p>14 |---- 27 11</p><p>27 |---- 40 12</p><p>40 |---- 53 3</p><p>53 |---- 66 1</p><p>66 |---- 79 1</p><p>Total 40</p><p>Tabela 15 - Mediana em tabelas de frequências, com intervalo de classe</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Solução: Vamos, primeiramente, reescrever a tabela com a coluna de frequência</p><p>acumulada e identificar a classe mediana, como mostrado a seguir:</p><p>Preço das ações</p><p>1 |---- 14 12 12</p><p>14|----</p><p>27 11 23</p><p>27 |---- 40 12 35</p><p>40 |---- 53 3 38</p><p>53 |---- 66 1 39</p><p>66 |---- 79 1 40</p><p>Total 40-</p><p>Tabela 16 - Resolução da Mediana em tabelas de frequências, com intervalo de</p><p>classe.</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Temos que</p><p>𝑛 = 40, 𝑙𝑀𝑒 = 14, 𝐹𝐴𝐶𝑎𝑛𝑡 = 12, 𝑓𝑀𝑒 = 11 𝑒 ℎ𝑀𝑒 = 27 − 14 = 13.</p><p>Daí,</p><p>𝑀𝑒 = 14 + �</p><p>40</p><p>2 − 12</p><p>11</p><p>�.13</p><p>𝑀𝑒 = 23, 45</p><p>Logo, o valor mediano das ações é igual a R$ 23,45.</p><p>Medidas Separatrizes</p><p>Estas medidas são valores que ocupam posições no conjunto de dados, em rol,</p><p>dividindo-o em partes iguais e podem ser:</p><p>(a) quartis – dividem a série em quatro partes iguais. São assim representadas Q1</p><p>(25% dos dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro</p><p>quartil), Q2 (50% dos dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do</p><p>segundo quartil e é evidente que Q2 coincide com a mediana) e Q3 (75% dos dados</p><p>são valores menores ou iguais ao valor do terceiro quartil).</p><p>(b) decis – dividem a série em dez partes iguais. dividem os dados em décimas</p><p>partes (cada parte tem 10% dos dados). São indicados por D1, D2, ..., D9.</p><p>(c) Percentis – dividem o conjunto de dados em cem partes iguais. Percentis:</p><p>dividem os dados em centésimas partes, em que cada parte tem 1% dos dados).</p><p>São indicados por P1, P2, ..., P99 (CRESPO, 2009).</p><p>Estudemos os exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 15: A seguir, é apresentada uma tabela com os valores das taxas de juros</p><p>para cheque especial de pessoa física, segundo o Banco Central do Brasil.</p><p>Posição Instituição Taxa (% a.m.)</p><p>1 BANCO BTG PACTUAL S.A. 1,59</p><p>2 BCO INDUSVAL S.A. 1,83</p><p>3 BCO SOFISA S.A. 1,93</p><p>4 BCO CEDULA S.A. 2,32</p><p>5 BCO ALFA S.A. 2,71</p><p>6 BANCOOB 3,09</p><p>7 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S.A. 3,73</p><p>8 CAIXA ECONÔMICA FEDERAL 4,03</p><p>9 BCO INDUSTRIAL E COMERCIAL S.A.4,25</p><p>10 BCO CAPITAL S.A. 4,4</p><p>11 BANIF BRASIL BM S.A. 4,5</p><p>12 BCO DO BRASIL S.A. 5,18</p><p>13 BCO DAYCOVAL S.A. 5,2</p><p>14 BCO PAULISTA S.A. 5,3</p><p>15 BCO DO EST. DO PA S.A. 5,34</p><p>16 BCO DA AMAZONIA S.A. 5,56</p><p>17 BCO DO EST. DO RS S.A. 6,04</p><p>18 BRB - BCO DE BRASILIA S.A. 6,07</p><p>19 BCO BANESTES S.A. 6,09</p><p>20 BCO ORIGINAL DO AGRO S/A 6,17</p><p>21 BCO LUSO BRASILEIRO S.A. 6,41</p><p>22 BCO SAFRA S.A. 7,33</p><p>23 ITAÚ UNIBANCO BM S.A. 7,97</p><p>24 BCO DO EST. DE SE S.A. 8,1</p><p>25 BCO BRADESCO S.A. 8,24</p><p>26 BCO MERCANTIL DO BRASIL S.A. 8,39</p><p>27 BCO RENDIMENTO S.A. 9,35</p><p>28 HSBC BANK BRASIL SA BCO MULTIP9,71</p><p>29 BCO SANTANDER (BRASIL) S.A. 9,78</p><p>30 BCO CITIBANK S.A. 9,92</p><p>Tabela 17 - Valores das taxas de juros para cheque especial de pessoa física</p><p>Fonte: Banco Central do Brasil (2006).</p><p>Com base nessas informações, determine:</p><p>a) o primeiro quartil.</p><p>b) o segundo decil.</p><p>c) o octogésimo quinto percentil.</p><p>Solução: Primeiro, temos que organizar os dados em rol. Note que a tabela já está</p><p>organizada em rol. Assim:</p><p>(a) Para o primeiro quartil, temos que 25% dos valores são menores ou iguais ao</p><p>valor do primeiro quartil. Daí, 𝑖 = � 25</p><p>100</p><p>= � 30 ∗ 0, 25 � = 7, 5 � . Note que i não é inteiro,</p><p>então arredondamos para cima. Assim, as taxas de juro dos bancos que ocupam</p><p>entre a 1º e a 8º posição formam primeiro quartil, ou seja, Q1 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32;</p><p>2,71; 3,09; 3,73; 4,03}.</p><p>(b) Para o segundo decil, temos que 20% dos valores são menores ou iguais ao</p><p>segundo decil. Daí, . Assim, as taxas de juro dos bancos que ocupam entre a 1º e a 6º</p><p>posição formam o segundo decil, ou seja, D2 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32; 2,71; 3,09}.</p><p>(c) Para o octogésimo quinto percentil, temos que 85% dos valores são menores ou</p><p>iguais ao 85º percentil. Daí, . Note que i não é inteiro, então arredondamos para</p><p>cima. Assim, as taxas de juro dos bancos que ocupam entre a 1º e a 26º posição</p><p>formam o octogésimo quinto, ou seja, P85 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32; 2,71; 3,09; 3,73; 4,03;</p><p>4,25; 4,4; 4,5; 5,18; 5,2; 5,3; 5,34; 5,56; 6,04; 6,07; 6,09; 6,17; 6,41; 7,33; 7,97; 8,1; 8,24; 8,39}.</p><p>Exemplo 16 (FCC): Considere o histograma da variável X a seguir, em que as</p><p>frequências simples absolutas foram anotadas no interior dos retângulos.</p><p>O valor do terceiro quartil de X é:</p><p>(A) 40</p><p>(B) 35</p><p>(C) 30</p><p>(D) 25</p><p>(E) 12</p><p>Solução: Temos um total de 5 + 15 + 25 + 8 + 7 = 60 elementos. Queremos o terceiro</p><p>quartil. Assim, o terceiro quartil terá 45 elementos. Daí, calculando a frequência</p><p>acumulada FAC = 5 + 15 + 25 = 45 e essa soma leva-nos à classe do 35. Portanto, o</p><p>valor do terceiro quartil de X é 35.</p><p>Exemplo 17 (CESGRANRIO): A tabela apresenta uma distribuição hipotética. Não há</p><p>observações coincidentes com os limites das classes.</p><p>Classes Frequência absoluta</p><p>de 0 a 10 4</p><p>de 10 a 20 10</p><p>de 20 a 30 50</p><p>FIGURA 5 Histograma da variável X</p><p>FONTE: Adaptada de FCC (2006)</p><p>de 30 a 40100</p><p>Total 164</p><p>Tabela 18 - Distribuição de frequências - quartil.</p><p>Fonte: Cesgranrio (2006).</p><p>Mediante o exposto, assinale a alternativa em que a melhor estimativa para o</p><p>terceiro quartil seja aproximadamente de:</p><p>(A) 34,75</p><p>(B) 34,9</p><p>(C) 35</p><p>(D) 35,75</p><p>(E) 35,9</p><p>Solução: Primeiramente, vamos determinar a frequência acumulada da</p><p>distribuição.</p><p>Classes Fi Fac</p><p>de 0 a 10 4 4</p><p>de 10 a 20 10 14</p><p>de 20 a 30 50 64</p><p>de 30 a 40100 164</p><p>Total 164 -</p><p>Tabela 19 - Resolução da distribuição de frequências - quartil.</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Para o terceiro quartil, temos a quantidade de elementos igual a  � 75</p><p>100</p><p>� 164 = 123, ou</p><p>seja, o terceiro quartil está na classe de 30 a 40. Usando interpolação linear, temos:</p><p>30 64</p><p>|x 123|</p><p>40 164</p><p>Daí, x = 35,9.</p><p>Medidas de Dispersão</p><p>Agora, vamos discutir a dispersão ou variabilidade dos dados estudados. Essas</p><p>medidas incluem o estudo da amplitude total, da variância, do desvio-padrão e do</p><p>coeficiente de variação. Nossos objetivos aqui são determinar as medidas de</p><p>dispersão, bem como sua interpretação.</p><p>Para iniciar nosso estudo, considere os seguintes conjuntos de dados:</p><p>A: 17, 17, 17, 17, 17</p><p>B: 15, 16, 17, 18, 19</p><p>C: - 48, - 38, - 3, 67, 107</p><p>A média aritmética de cada conjunto de dados é: 17.</p><p>Note que, embora as médias aritméticas sejam iguais, existe diferença na dispersão</p><p>desses dados em relação à média. Temos que o conjunto de dados A é mais</p><p>homogêneo que o conjunto de dados B, que, por sua vez, é mais homogêneo que o</p><p>conjunto de dados C. Ou seja, quando comparamos esses conjuntos de dados de A</p><p>para C, temos aumento na dispersão dos dados por eles apresentados. Daí surge a</p><p>necessidade em medir a dispersão ou variabilidade de um conjunto de dados.</p><p>Amplitude Total</p><p>A amplitude total (AT) de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e</p><p>o menor valor.</p><p>Amplitude total = (valor máximo dos dados) − (valor mínimo dos dados)</p><p>Trata-se de uma medida de dispersão muito sensível aos valores extremos e não é</p><p>tão útil quanto as outras medidas de dispersão que estudaremos. Estudemos os</p><p>exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 18: Na tabela, a seguir, estão apresentados os valores em rol do preço de</p><p>quarenta ações negociadas em um dia por uma Bolsa de Valores. Esta tabela é</p><p>mostrada a seguir.</p><p>1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00</p><p>11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38</p><p>21,63 25,02 25,2428,50 29,63 30,3831,13 32,25 33,5033,63</p><p>34,0035,2537,88 38,0038,8843,25 48,3852,0053,3878,38</p><p>Tabela 20 - Ações na bolsa de valores</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Determine a amplitude total dos preços das ações negociadas.</p><p>Solução: Antes de calcular a amplitude total, primeiro devemos escrever os dados</p><p>em rol. Assim sendo, temos que:</p><p>AT=78,38−1,25</p><p>AT=77,13</p><p>Logo, a amplitude dos preços das ações é igual a R$ 77,13.</p><p>Exemplo 19: No exemplo 6, foi apresentada uma pesquisa realizada pela Polícia</p><p>Rodoviária Estadual a respeito do número de acidentes automobilístico por dia, em</p><p>determinado trecho de uma estrada. A tabela de frequências é apresentada a</p><p>seguir:</p><p>Número de acidentes por dia Frequência observada</p><p>0 20</p><p>1 40</p><p>2 80</p><p>3 50</p><p>4 10</p><p>Tabela 21 - Distribuição de frequências de uma pesquisa realizada pela Polícia</p><p>Rodoviária Estadual a respeito de número de acidentes automobilísticos diários</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Determine a amplitude total.</p><p>Solução: Nesse caso, a amplitude será dada por AT = 4 - 0 = 4, ou seja, a amplitude</p><p>do número de</p><p>acidentes por dia é igual a 4.</p><p>Exemplo 20: Organizamos, na tabela apresenta a seguir, os valores dos preços das</p><p>quarenta ações negociadas por uma Bolsa de Valores em tabela de distribuição de</p><p>frequência, com dados agrupados em classe.</p><p>Classe(i) Preço das ações fi</p><p>1 1 |---- 14 12</p><p>2 14 |---- 27 11</p><p>3 27 |---- 40 12</p><p>4 40 |---- 53 3</p><p>5 53 |---- 66 1</p><p>6 66|---- 79 1</p><p>Total 40</p><p>Tabela 22 - Resolução - Distribuição de frequências dos valores dos preços de</p><p>quarenta ações negociadas por uma Bolsa de Valores, agrupados em classe.</p><p>Fonte: Elaborada pelos autores.</p><p>Determine a amplitude do valor dos preços das ações negociadas.</p><p>Solução: Nessa situação em que os dados estão organizados por classe, a</p><p>amplitude é dada por: AT = 79 - 1 = 78. Logo, a amplitude dos preços das ações é</p><p>igual a R$ 78,00.</p><p>Desvio em Relação à Média</p><p>A diferença entre cada valor observado e a média é denominada desvio e é dada</p><p>se o conjunto de dados for um universo, ou se os dados são amostrais. Ao somar</p><p>todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenças de cada valor observado</p><p>em relação à média, o resultado é igual a zero. Isto significa que esta medida não</p><p>mede a variabilidade dos dados. Para resolver este problema, consideramos o</p><p>quadrado dos desvios em relação à média.</p><p>Variância</p><p>A variância é uma medida de dispersão estatística, determinando quão longe os</p><p>valores coletados estão em relação ao valor esperado. A variância é calculada de</p><p>acordo com as equações a seguir:</p><p>Variância populacional Variância amostral</p><p>𝜎2 =</p><p>Σ � 𝑥𝑖 − 𝜇 �</p><p>2</p><p>𝑁</p><p>𝑠2 =</p><p>Σ � 𝑥𝑖 − 𝑥 �</p><p>2</p><p>𝑛 − 1</p><p>Tabela 23 - Variância (equações).</p><p>Fonte: Adaptado de Crespo (2009).</p><p>Em que:</p><p>σ2 é a variância populacional;</p><p>s2 é a variância amostral;</p><p>xi é o valor da variável;</p><p>μ é a média aritmética dos elementos da população;</p><p>x é a média aritmética dos elementos da amostra;</p><p>N é o número de elementos da população;</p><p>n é o número de elementos da amostra</p><p>Vejamos o procedimento para o cálculo da variância nos exemplos a seguir.</p><p>Começaremos com os dados não agrupados.</p><p>Exemplo 21 (CESGRANRIO): Em uma amostra de cinco residências de uma</p><p>determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma:</p><p>Casa A Casa B Casa C Casa D Casa E</p><p>3 6 2 7 2</p><p>Tabela 24 - Variância amostral</p><p>Fonte: Adaptado de Cesgranrio (2006).</p><p>A variância amostral é:</p><p>(A) 5,8</p><p>(B) 5,5</p><p>(C) 5,1</p><p>(D) 4,8</p><p>(E) 4,4</p><p>Solução: Primeiramente, vamos determinar a média aritmética da amostra. Assim,</p><p>𝑥− = 3 + 6 + 2 + 7 + 2</p><p>5</p><p>= 20</p><p>5</p><p>= 4 . Para obter o quadrado dos desvios, montamos o quadro a</p><p>seguir:</p><p>(xi−x)2</p><p>Casa A 3 (3 - 4) = -1 1</p><p>Casa B 6 (6 - 4) = 2 4</p><p>Casa C2 (2 - 4) = - 24</p><p>Casa D 7 (7 - 4) = 3 9</p><p>Casa E 2 (2 - 4) = - 24</p><p>Σ(xi−x=0) Σ(xi−x)2=22</p><p>Tabela 26  - Resolução do cálculo da variância.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Daí segue que a variância amostral é 𝑠2 = 22</p><p>5 − 1</p><p>= 5, 5. Logo, a variância é 5,5</p><p>moradores.</p><p>Desvio-padrão</p><p>Vimos que a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à</p><p>média, e que ela é um número cuja unidade está ao quadrado em relação à</p><p>variável estudada, o que sob o aspecto prático é inconveniente. O desvio-padrão é</p><p>definido como a raiz quadrada da variância, o que do ponto de vista prático é mais</p><p>conveniente, pois assim a medida de dispersão tem a mesma unidade da média.</p><p>Equação</p><p>Desvio-padrão populacional Desvio-padrão amostral</p><p>𝜎 = �Σ � 𝑥𝑖 − 𝜇 �</p><p>2</p><p>𝑁</p><p>𝑠 = �Σ � 𝑥𝑖 − 𝑥 �</p><p>2</p><p>𝑛 − 1</p><p>Tabela 27 - Desvio-padrão (equação).</p><p>Fonte: Adaptado de Crespo (2009).</p><p>Ou seja, podemos encontrar o desvio-padrão, extraindo a raiz quadrada do valor</p><p>encontrado da variância (independente se é amostral ou populacional)</p><p>O desvio-padrão apresenta as seguintes propriedades, entre elas:</p><p>(I) Adicionando (ou subtraindo) uma constante k de todos os valores da variável</p><p>em estudo, o desvio-padrão não se altera.</p><p>(II) Multiplicando todos os valores da variável em estudo por uma constante k, o</p><p>desvio-padrão fica multiplicado por essa constante.</p><p>Exemplo 22: No exemplo 21, verificamos que a variância foi s2=5,5. Assim, o desvio-</p><p>padrão é s = √5,5 = 2,35moradores.</p><p>Coeficiente de Variação</p><p>O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, o qual é</p><p>definido como sendo a razão entre o desvio-padrão e a média aritmética. O</p><p>coeficiente de variação é empregado na comparação do grau de concentração</p><p>em torno da média para duas ou mais séries estatísticas distintas. Dizemos que</p><p>uma série é mais homogênea que outra quando apresentar menor coeficiente de</p><p>variação.</p><p>𝐶𝑉 = 100 . � 𝑆</p><p>𝑋 �</p><p>Exemplo 23: Uma administradora de imóveis realizou um estudo sobre todos os</p><p>imóveis alugados em duas regiões, A e B, levantando o seguinte quadro:</p><p>Região Valor médio do aluguel Desvio-padrão</p><p>A R$ 500,00 R$ 100,00</p><p>B R$ 500,00 R$ 150,00</p><p>Tabela 28 - Operações com coeficiente de variação.</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores.</p><p>Qual das regiões apresenta mais homogeneidade nos dados?</p><p>Solução: Vamos calcular os coeficientes de variação das regiões A e B.</p><p>𝑐𝑣𝐴 = 100 ⋅ � 100</p><p>500</p><p>= 20% �</p><p>𝐶𝑉𝐵 = 100 ⋅ � 150</p><p>500</p><p>= 30% �</p><p>Como o coeficiente de variação da região A é menor que o da região B, segue que</p><p>os preços dos aluguéis na região A são mais homogêneos que os preços dos</p><p>aluguéis na região B.</p><p>Medidas de Assimetria e Curtose</p><p>A medida de assimetria é um indicador da forma da distribuição dos dados. Ao</p><p>construir uma distribuição de frequências e/ou um histograma, se está buscando,</p><p>também, identificar visualmente a forma da distribuição dos dados, que é ou não</p><p>confirmada pelo coeficiente de assimetria de Pearson (As) definido como:</p><p>Coeficiente de assimetria populacional Coeficiente de assimetria amostral</p><p>𝐴𝑆 = 𝜇 − 𝑀𝑜</p><p>𝜎</p><p>𝐴𝑆 = 𝑥 − 𝑀𝑜</p><p>𝑠</p><p>Tabela 29 - Assimetria.</p><p>Fonte: Adaptado de Crespo (2009).</p><p>Uma distribuição é classificada como:</p><p>(a) Simétrica, se média = mediana = moda ou As = 0. Graficamente, temos:</p><p>(b) Assimétrica negativa se média ≤ mediana ≤ moda ou As < 0. O lado mais longo</p><p>do polígono de frequência (cauda da distribuição) está à esquerda do centro.</p><p>FIGURA 6 Distribuição simétrica</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>(c) Assimétrica positiva se moda ≤ mediana ≤ média ou As > 0. O lado mais longo</p><p>do polígono de frequência está à direita do centro.</p><p>Curtose é o grau de achatamento da distribuição ou o quanto uma curva de</p><p>frequência será achatada em relação a uma curva normal de referência.</p><p>FIGURA 7 Assimetria negativa</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>FIGURA 8 Assimetria positiva</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>Para o cálculo do grau de curtose de uma distribuição, utiliza-se o coeficiente de</p><p>curtose (ou coeficiente percentílico de curtose), definido como:</p><p>𝐶 = 𝑄3 − 𝑄1</p><p>2 � 𝑃90 − 𝑃10 �</p><p>Em que Q3 e Q1 são o terceiro e primeiro quartil, P90 e P10 são o décimo e</p><p>nonagésimo percentis.</p><p>Quanto à curtose, a distribuição pode ser:</p><p>(a) Mesocúrtica – normal. Nem achatada, nem alongada. (C = 0,263)</p><p>(b) Platicúrtica – achatada. (C > 0,263)</p><p>FIGURA 9 Curtose - Mesocúrtica</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>(c) Leptocúrtica – alongada. (C < 0,263)</p><p>Nessa primeira unidade, foi abordada a estatística descritiva, que é aquela que tem</p><p>por finalidade descrever e sumarizar um conjunto de dados relativos a uma</p><p>população (universo) ou a uma amostra.</p><p>FIGURA 10 Curtose - Platicúrtica</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>FIGURA 11 Curtose - Leptocúrtica</p><p>FONTE: Elaborada pelos autores</p><p>Iniciamos a unidade com definições das variáveis de estudo e, em seguida,</p><p>estudamos as técnicas de amostragem de dados, para aprendermos as seguintes</p><p>técnicas de amostragem: simples, estratificada e sistemática. Em seguida,</p><p>passamos a construir tabelas de distribuição de frequência, com objetivo de tabular</p><p>os dados coletados.</p><p>Em um segundo momento desta unidade, aprendemos as técnicas de medidas de</p><p>posição – média, moda, mediana e medidas de separatrizes. Essas medidas de</p><p>posição são importantes, pois descrevem a posição do conjunto de dados e ainda</p><p>possibilitam determinar se um valor está entre o maior e o menor valor de uma</p><p>série estatística, ou ainda se está</p><p>localizado no centro do conjunto.</p><p>Finalizamos a unidade com as medidas de dispersão (ou variabilidade), estudando:</p><p>amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e as medidas de</p><p>assimetria e curtose. As medidas de dispersão foram importantes no nosso estudo,</p><p>pois serviram para avaliar o quanto os dados estavam semelhantes ou o quanto os</p><p>dados estavam distantes do valor central.</p><p>É muito importante o domínio dessa unidade para seguirmos com nossos estudos.</p><p>Saiba mais!</p><p>O Prazer da Estatística</p><p>O documentário O Prazer da Estatística – The Joy of Statistics – leva os</p><p>espectadores a uma viagem por meio do maravilhoso mundo da</p><p>estatística para explorar o notável poder que esta tem de mudar a</p><p>nossa compreensão do mundo. Este documentário é apresentado</p><p>pelo Professor Hans Rosling, cuja visão aberta, de expansão da mente,</p><p>e engraçadas palestras on-line têm feito dele uma lenda internacional</p><p>na internet. Rosling é um homem que se deleita no glorioso mundo das</p><p>estatísticas, e aqui ele explora sua história, como elas funcionam</p><p>matematicamente e como elas podem ser usadas atualmente no</p><p>computador para ver o mundo como ele realmente é, e não apenas</p><p>como o imaginamos ser. O documentário encontra-se disponível no</p><p>YOUTUBE, no link a seguir.</p><p>Indicação de Leitura</p><p>Livro: Estatística Fácil</p><p>Autor: Antônio Arnot Crespo</p><p>Ano: 2009 – 19ª edição</p><p>Editora: Saraiva</p><p>ISBN: 978-85-02-081106-2</p><p>Sinopse: Este livro nos apresenta o conteúdo da estatística de forma fácil e com</p><p>muitos exemplos de aplicações, com abundância de situações práticas. Nele estão</p><p>contidos temas como: estatística descritiva, tabelas, distribuição de frequências,</p><p>gráficos, probabilidades e suas distribuições, e finaliza os estudos com a correlação</p><p>e regressão linear. No seu final, apresenta uma revisão de matemática que poderá</p><p>auxiliá-lo(a) na resolução de exercícios.</p><p>Atividade</p><p>Uma empresa de pequeno porte, com apenas 20 funcionários, pretende</p><p>gratificar seus 10 vendedores com um bônus salarial. Para realizar esse</p><p>pagamento, a empresa dispõe de um valor de 6,5 mil reais, lucro de um</p><p>bom mês de vendas. Como a empresa trabalha com metas, o gestor</p><p>definiu que o valor será distribuído conforme a porcentagem que seus</p><p>vendedores conseguiram atingir da meta estabelecida.</p><p>Meta Atingida (%) Valor do bônus (reais)</p><p>0 a 25 400</p><p>26 a 50 700</p><p>51 a 75 800</p><p>76 a 100 1000</p><p>Para verificar o valor do bônus que será atribuído para cada vendedor, o</p><p>gestor analisa o valor vendido por cada funcionário:</p><p>Funcionário Valor Vendido (reais)</p><p>João R$ 10.000,00</p><p>Maria R$ 7.800,00</p><p>Rose R$ 5.700,00</p><p>Ronaldo R$ 4.500,00</p><p>Cleber R$ 4.000,00</p><p>Marcos R$ 3.000,00</p><p>Ana R$ 2.300,00</p><p>Rodrigo R$ 1.900,00</p><p>Bárbara R$ 1.500,00</p><p>Mônica R$ 1.000,00</p><p>Sabendo que a meta para cada funcionário era de 10 mil reais, o gestor</p><p>constrói o seguinte quadro de frequência:</p><p>Meta</p><p>(%)</p><p>Quantidade de Funcionários por</p><p>meta</p><p>% de funcionários por</p><p>meta</p><p>0 a 25 a b</p><p>26 a 50 c d</p><p>51 a 75 e f</p><p>76 a 100 g h</p><p>Total 10 i</p><p>Dessa forma, podemos dizer que:</p><p>I - a maior parte do valor do lucro será distribuída para os vendedores que</p><p>atingiram de 76 a 100% da meta;</p><p>II – (b + d + f + h = i) e i = 1;</p><p>III - a maioria dos funcionários atingiu mais que 50% da meta, pois e + g > a</p><p>+ c;</p><p>IV - a média de vendas é de R$ 4.170,00;</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A. I, apenas.</p><p>B. II, apenas.</p><p>C. III, apenas.</p><p>D. IV, apenas.</p><p>E. II e IV, apenas.</p><p>Atividade</p><p>Em uma gincana elaborada pelo professor de matemática de uma escola,</p><p>os alunos formaram 3 equipes.  Cada equipe tinha que realizar 10 provas</p><p>que valiam de 0 a 10 pontos. Vencia a equipe que tivesse a maior mediana</p><p>em relação às provas realizadas. A vencedora foi a Equipe 1 com 7 pontos,</p><p>logo em seguida a Equipe 3 com 6 pontos ocupando o segundo lugar, e,</p><p>por último, a Equipe 2 com 5 pontos em terceiro lugar, devido ter zerado</p><p>duas das provas. As notas das provas da Equipe 2 foram 10; 5; 8; 5; 8; 4; 3; 9;</p><p>0; 0.</p><p>Se a Equipe 2 tivesse tirado:</p><p>A. 10 em apenas uma das provas zeradas, teria ganho o primeiro</p><p>lugar.</p><p>B. 1 e 10 nas provas zeradas, teria ganho o primeiro lugar.</p><p>C. 6 em apenas uma das provas zeradas, ficaria em segundo lugar.</p><p>D. Qualquer nota maior que 0 nas duas provas zeradas, teria</p><p>permanecido na mesma posição.</p><p>E. 10 em apenas uma das provas zeradas, teria ganho o segundo</p><p>lugar.</p><p>Atividade</p><p>O departamento de logística é um dos mais importantes de uma empresa,</p><p>pois administra todo o fluxo, controle e armazenamento dos produtos</p><p>comercializados. Sabendo disso, o Diretor da Empresa X solicitou ao gestor</p><p>um relatório que aponte a quantidade de vendas de todos os produtos</p><p>para poder planejar futuras tomadas de decisões. Antes de preparar o</p><p>relatório, o gestor faz o seguinte quadro:</p><p>Produto Quantidade vendida</p><p>Produto A 30</p><p>Produto B 50</p><p>Produto C15</p><p>Produto D 13</p><p>Produto E 17</p><p>Produto F 22</p><p>Produto G95</p><p>Produto H 100</p><p>Produto I 547</p><p>Produto J 15</p><p>Mediante os dados apurados:</p><p>A. A média dos produtos é maior que a mediana.</p><p>B. A moda dos produtos é maior que a média.</p><p>C. A média dos produtos é menor que a mediana.</p><p>D. A moda dos produtos é maior que a mediana.</p><p>E. A média dos produtos é igual a mediana.</p><p>Síntese</p><p>Neste material, foi abordada a estatística descritiva, que é aquela que tem por</p><p>finalidade descrever e sumarizar um conjunto de dados relativos a uma população</p><p>(universo) ou a uma amostra.</p><p>Iniciamos o material com definições das variáveis de estudo e, em seguida,</p><p>estudamos as técnicas de amostragem de dados, para aprendermos as seguintes</p><p>técnicas de amostragem: simples, estratificada e sistemática. Em seguida,</p><p>passamos a construir tabelas de distribuição de frequência, com objetivo de tabular</p><p>os dados coletados.</p><p>Em um segundo momento deste material, aprendemos as técnicas de medidas de</p><p>posição – média, moda, mediana e medidas de separatrizes. Essas medidas de</p><p>posição são importantes, pois descrevem a posição do conjunto de dados e ainda</p><p>possibilitam determinar se um valor está entre o maior e o menor valor de uma</p><p>série estatística, ou ainda se está localizado no centro do conjunto.</p><p>Finalizamos o material com as medidas de dispersão (ou variabilidade), estudando:</p><p>amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e as medidas de</p><p>assimetria e curtose. As medidas de dispersão foram importantes no nosso estudo,</p><p>pois serviram para avaliar o quanto os dados estavam semelhantes ou o quanto os</p><p>dados estavam distantes do valor central.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>A NOVA bolsa. BM&F Bovespa. São Paulo, 2013.  Disponível em:</p><p><http://www.bmfbovespa.com.br/pt_br/>. Acesso em: 19 jan. 2018.</p><p>CENTRAL DE CONCURSOS. Site. São Paulo, 2006. Disponível em:</p><p><https://www.centraldeconcursos.com.br/>. Acesso em: 18 set. 2019.</p><p>CESGRANRIO. Site. Rio de Janeiro, 2006. Disponível em:</p><p><http://www.cesgranrio.org.br/concursos/principal.aspx>. Acesso em: 18 set. 2019.</p><p>CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.</p><p>http://www.bmfbovespa.com.br/pt_br/</p><p>https://www.centraldeconcursos.com.br/</p><p>http://www.cesgranrio.org.br/concursos/principal.aspx</p><p>FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (FCC). Site. São Paulo, 2006. Disponível em:</p><p><https://www.concursosfcc.com.br/>. Acesso em: 18 set. 2019.</p><p>GOLD LIST 2013: New hotels. Condé Nast Traveler. [S.l], 2012. Disponível em:</p><p><https://www.cntraveler.com/galleries/2012-12-11/photos-new-gold-list-hotels-</p><p>2013>. Acesso em: 18 abr. 2018.</p><p>https://www.concursosfcc.com.br/</p><p>https://www.cntraveler.com/galleries/2012-12-11/photos-new-gold-list-hotels-2013</p><p>https://www.cntraveler.com/galleries/2012-12-11/photos-new-gold-list-hotels-2013</p>