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<p>ESTATÍSTICA E</p><p>PROBABILIDADE</p><p>PROFA. MA. MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA</p><p>PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA</p><p>REITORIA:</p><p>Dr. Roberto Cezar de Oliveira</p><p>PRÓ-REITORIA:</p><p>Profa. Ma. Gisele Colombari Gomes</p><p>DIREÇÃO DE GESTÃO EAD:</p><p>Prof. Me. Ricardo Dantas Lopes</p><p>EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAIS:</p><p>Diagramação</p><p>Revisão textual</p><p>Produção audiovisual</p><p>Gestão</p><p>WWW.UNINGA.BR</p><p>33WWW.UNINGA.BR</p><p>U N I D A D E</p><p>01</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................5</p><p>1. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS EM ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................5</p><p>1.1 UNIVERSO, AMOSTRA E VARIÁVEL .......................................................................................................................5</p><p>1.2 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ...............................................................................................................................6</p><p>1.3 TIPOS DE GRÁFICOS E SÉRIES ESTATÍSTICAS ...................................................................................................8</p><p>1.3.1 SÉRIES ESTATÍSTICAS .........................................................................................................................................9</p><p>1.4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ......................................................................................................................... 15</p><p>2. MEDIDAS DE POSIÇÃO ...........................................................................................................................................24</p><p>2.1 MÉDIA ARITMÉTICA ..............................................................................................................................................24</p><p>2.2 MODA .....................................................................................................................................................................29</p><p>MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO</p><p>PROFA. MA. MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA</p><p>PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE</p><p>44WWW.UNINGA.BR</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.3 MEDIANA ...............................................................................................................................................................30</p><p>3. MEDIDAS DE SEPARATRIZES ................................................................................................................................34</p><p>4. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ...............................................................................................................36</p><p>5. MEDIDAS DE DISPERSÃO ......................................................................................................................................38</p><p>5.1 AMPLITUDE TOTAL ...............................................................................................................................................39</p><p>5.2 VARIÂNCIA ............................................................................................................................................................40</p><p>5.3 DESVIO-PADRÃO ...................................................................................................................................................43</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................45</p><p>5WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>No ambiente onde estamos inseridos, qualquer pessoa tem acesso a uma grande</p><p>quantidade de informações. Ser bem-sucedido é ser capaz de entender e utilizar essas informações</p><p>de maneira correta.</p><p>Nesta unidade, serão abordados os primeiros passos para a compreensão sobre os dados</p><p>estatísticos. Ainda, serão apresentadas as três maneiras de sintetizar numericamente um conjunto</p><p>de dados: a média, a mediana e a moda. Vamos discutir a dispersão ou variabilidade dos dados</p><p>estudados em relação à média. Essas medidas incluem o estudo da amplitude total, da variância,</p><p>do desvio-padrão e do coeficiente de variação. Pegue sua xícara de café, respire fundo e bons</p><p>estudos!</p><p>1. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS EM ESTATÍSTICA DESCRITIVA</p><p>1.1 Universo, Amostra e Variável</p><p>Em nosso dia a dia, estamos sempre interessados em obter informações dos mais diversos</p><p>acontecimentos. Por exemplo, a renda média de salário de uma determinada empresa, o número de</p><p>alunos que concluíram o ensino superior, informações sobre a economia do país, como gerenciar</p><p>os gastos de uma empresa etc. Com isso, se fazem necessários formas e métodos de como obter</p><p>esses dados, como analisá-los e interpretá-los. A coleta, a organização e a apresentação de dados</p><p>estatísticos se dão através da Estatística descritiva.</p><p>Na maioria das vezes, não é possível coletar todos os dados de um determinado grupo por</p><p>ser economicamente inviável ou impraticável. Esse grupo é chamado de população e representa</p><p>o todo, ou seja, o universo de interesse. Com isso, a coleta e a análise de dados são feitas em uma</p><p>parte da população, chamada amostra. A amostra é um subconjunto finito da população.</p><p>Quando vamos analisar alguma característica de uma determinada população, devemos</p><p>especificar qual variável será analisada.</p><p>• Variáveis:</p><p>A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:</p><p>✓ para o fenômeno “estação do ano”, são quatro os resultados possíveis: verão, outono,</p><p>inverno e primavera;</p><p>✓ para o fenômeno “número de animais de estimação”, há um número de resultados</p><p>possíveis expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, …, n;</p><p>✓ para o fenômeno “volume”, temos uma situação diferente, pois os resultados podem</p><p>tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.</p><p>Com isso, podemos dizer que uma variável é definida, convencionalmente, como sendo</p><p>o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. As variáveis podem, ainda, ser classificadas</p><p>como qualitativa ou quantitativa.</p><p>6WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>✓ Variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos, como cor dos</p><p>olhos, sexo (masculino ou feminino), cor da pele etc.</p><p>✓ Variável quantitativa: quando seus valores são expressos por números, como peso, altura,</p><p>salário etc. Além disso, se essa variável puder assumir, teoricamente, qualquer valor num</p><p>determinado intervalo, ela recebe o nome de variável contínua, e se ela só puder assumir</p><p>valores pertencentes a um conjunto enumerável, recebe o nome de variável discreta. De</p><p>modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas, e as contagens ou enumerações,</p><p>a variáveis discretas.</p><p>1.2 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM</p><p>Como dito anteriormente, para estudar determinada característica de uma população,</p><p>na grande maioria das vezes, é necessário analisar uma amostra dela. Assim, devemos seguir</p><p>técnicas de amostragem para que fique assegurado que aquela amostra em questão represente a</p><p>população em relação a característica de interesse.</p><p>I) Amostragem casual ou aleatória simples: essa técnica funciona como um sorteio</p><p>aleatório, ou seja, enumera-se os elementos de uma população, de 1 até n, por exemplo, e desses</p><p>n elementos, sorteia-se k elementos. Entretanto, no caso em que a população é muito numerosa,</p><p>esse sorteio torna-se inviável e, para esse caso, podemos usar a Tabela de Números Aleatórios</p><p>(Anexo 1).</p><p>A Tabela de Números Aleatórios é construída de modo que os dez algarismos (0 a 9)</p><p>são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas (Anexo 1). E para a sua utilização, procedemos</p><p>da seguinte forma: sorteamos um algarismo qualquer dela, a partir do qual iremos considerar</p><p>números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa necessidade. Os números assim</p><p>obtidos irão indicar os</p><p>a saber:</p><p>, em que c denota cara, e</p><p>k, coroa.</p><p>a) Seja A o evento de saírem três caras, isto é, . Observe que ele pode ocorrer 1 vez.</p><p>Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de saírem três caras é de 12,5%.</p><p>b) Seja B o evento de saírem duas coroas. Observe que ele pode ocorrer 4 vezes, a saber:</p><p>e . Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de saírem duas coroas é de 12,5%.</p><p>c) Seja C o evento de saírem duas coroas consecutivas. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes. A</p><p>saber, e . Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de saírem duas coroas consecutivas é de 37,5%.</p><p>d) Observe que o evento de não saírem duas coroas consecutivas é o complemento do evento C,</p><p>isto é, trata-se de . Observe que ele pode ocorrer 5 vezes, a saber:</p><p>e . Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de não saírem duas coroas consecutivas é de 62,5%.</p><p>Note, nos itens (c) e (d), que .</p><p>52WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 5:</p><p>Dois dados idênticos, honestos e com seis faces cada, são lançados simultaneamente.</p><p>Com base nessa informação, determine a probabilidade de que:</p><p>a) saia, pelo menos, um número 3.</p><p>b) a soma dos dois resultados seja igual a 5.</p><p>c) saia, pelo menos, um número 3 e a soma dos dois resultados seja igual a 5.</p><p>Solução: o espaço amostral contém 36 elementos, e a Tabela 1 o ilustra.</p><p>Tabela 1 – Espaço amostral para o lançamento de dois dados honestos e idênticos.</p><p>Dado 1</p><p>Dado 2</p><p>Face 1 2 3 4 5 6</p><p>1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)</p><p>2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)</p><p>3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)</p><p>4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)</p><p>5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)</p><p>6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>a) Seja X o evento de sair, pelo menos, um número 3. Observe que ele pode ocorrer 11 vezes.</p><p>Assim:</p><p>b) Seja Y o evento de a soma dos dois resultados ser igual a 5. Observe que ele pode ocorrer 4</p><p>vezes. Assim:</p><p>c) Observe, nesse caso, que o evento saia, pelo menos, um número 3 e a soma dos dois resul-</p><p>tados seja igual a 5 é a intersecção dos eventos X e Y dos itens (a) e (b). Observe que ele pode</p><p>ocorrer 2 vezes, a saber: (3,2) e (2,3). Assim:</p><p>Exemplo 6:</p><p>Em uma fábrica, existem 3 máquinas, A, B e C, que produzem diariamente 10.000</p><p>peças. Sabe-se que A, B e C produzem, respectivamente, 2000, 5000 e 3000 peças. Da produção</p><p>de A, B e C, respectivamente, 5%,10% e 20% são defeituosas. Seleciona-se uma peça ao acaso e</p><p>verifica-se que é defeituosa. Determine a probabilidade de essa peça defeituosa ser proveniente</p><p>da máquina C.</p><p>Solução: segue do enunciado que o número de peças com defeitos das máquinas A, B e C são,</p><p>respectivamente, 100, 500 e 600, totalizando 1200. Seja X o evento de selecionar uma peça ao</p><p>acaso e essa ser proveniente da máquina C, temos que:</p><p>Portanto, a probabilidade de essa peça defeituosa ser proveniente da máquina C é de 50%.</p><p>53WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 7:</p><p>Determine a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos, exatamente dois</p><p>deles sejam meninas. Admita que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o</p><p>gênero de uma criança não seja influenciado pelo gênero de qualquer outra criança.</p><p>Solução: primeiramente, vamos construir o espaço amostral e vamos denotar por X o evento</p><p>de virem a nascer exatamente 2 meninas. O espaço amostral para esse experimento contém</p><p>8 elementos, a saber:</p><p>, em que A denota menina, e O denota menino. Observe que o espaço amostral contém 8</p><p>possibilidades, 3 correspondem a exatamente 2 meninas de modo que:</p><p>Portanto, é esperada a probabilidade de 37,5% de que, se um casal tem 3 filhos, exatamente</p><p>2 sejam meninas.</p><p>Exemplo 8:</p><p>Uma urna contém de bolas brancas e de bolas pretas, sendo que somente metade das bolas</p><p>brancas e das bolas pretas contêm um prêmio em seu interior. Uma bola dessa urna é sortea-</p><p>da aleatoriamente e, quando aberta, verifica-se que tem um prêmio em seu interior. Na situa-</p><p>ção descrita, determine a probabilidade de que essa bola seja branca.</p><p>Solução: seja N o número de bolas no interior da urna. Dessas, são brancas e pretas. De</p><p>acordo com o enunciado, metade das bolas brancas contém prêmio, ou seja, . Ana-</p><p>logamente, das bolas pretas contêm prêmio, isto é, . Assim, temos de</p><p>bolas premiadas. Seja S o espaço amostral das bolas premiadas, segue que . Seja A o</p><p>evento de sorteio de bola branca, dentre as que contêm um prêmio, aplicando a Eq. (1)</p><p>Portanto, a probabilidade de que a bola sorteada seja branca e contenha prêmio é de 60%.</p><p>No cálculo de probabilidade, é comum fazermos uso dos diagramas</p><p>de Venn para nos auxiliarem na resolução de situações-problema.</p><p>Assista ao vídeo Diagramas de Venn, do canal Brasil Escola, para</p><p>relembrar esse procedimento. Disponível em: https://www.youtube.</p><p>com/watch?v=4OzeSbLNUqg.</p><p>54WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 9:</p><p>Foi observado que uma loja de departamentos recebe, por hora, cerca de 250 clientes. Desses,</p><p>(i) 120 se dirigem ao setor de vestuário;</p><p>(ii) 90, ao setor de cosméticos;</p><p>(iii) 80, ao setor cinevídeo;</p><p>(iv) 50 se dirigem aos setores de vestuário e de cosméticos;</p><p>(v) 30 aos setores de cosméticos e de cinevídeo;</p><p>(vi) 30, aos setores de vestuário e cinevídeo.</p><p>Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros setores, que não vestuário ou cosméticos</p><p>ou cinevídeo. Qual a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir</p><p>aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo?</p><p>Solução: primeiramente, montamos o Diagrama de Venn, como ilustrado na Figura 2. Assim,</p><p>em seguida, determinamos o valor de x.</p><p>Figura 2 - Diagrama de Venn. Fonte: Os autores.</p><p>Daí,</p><p>Assim, o diagrama de Venn fica como apresentado na Figura 3.</p><p>Figura 3 – Diagrama de Venn. Fonte: Os autores.</p><p>Logo, se P(A) é a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir</p><p>aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo, então, segue que</p><p>55WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Outra maneira de se abordar a definição de probabilidade é por meio da frequência</p><p>relativa. Nessa situação, observamos (ou realizamos) um dado experimento e quantificamos o</p><p>número de vezes em que o evento X, por exemplo, ocorreu. Assim, a probabilidade de ocorrência</p><p>do evento X é aproximada por meio da Eq. (2).</p><p>Eq. (2)</p><p>Exemplo 10:</p><p>A Tabela 2 apresenta dados de sobrevivência (em dias) de uma corte de animais acometidos</p><p>por uma doença aguda. Na primeira coluna, t corresponde aos dias, sendo t = 0 o dia em que a</p><p>contagem começou a ser feita. vt, na segunda coluna, é a quantidade de animais vivos no início</p><p>do dia t. dt, na terceira coluna, indica quantos animais morreram no decorrer do dia t.</p><p>Tabela 2 – Dados de sobrevivência de animais acometidos por uma doença aguda.</p><p>t vt dt</p><p>0 10.000 500</p><p>1 9.500 700</p><p>2 8.800 800</p><p>3 8.000 800</p><p>4 7.200 1.080</p><p>5 6.120 720</p><p>6 5.400 1.350</p><p>7 4.050 1.350</p><p>8 2.700 1.200</p><p>9 1.500 1.500</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Até recentemente, era comum creditar-se a decisão de qualquer evento aos</p><p>deuses ou alguma outra causa sobrenatural. Simplesmente não havia espaço</p><p>para uma abordagem que atribuísse ao acaso, e tão somente a ele, essas</p><p>ocorrências”. Isso foi muito bem resumido por M. G. Kendall, quando disse:</p><p>A Humanidade precisou de centenas de anos para se acostumar com um mundo onde</p><p>alguns eventos não tinham causa... ou eram determinados por causas tão remotas</p><p>que somente podiam ser razoavelmente representados por modelos não-casuais.</p><p>Tendo isso em vista, fica mais fácil percebermos porque a abordagem matemática</p><p>do acaso, do azar e do risco só iniciou há pouco mais de 500 anos. A disciplina</p><p>que assim foi construída, a Teoria das Probabilidades, nasceu, mais precisamente</p><p>falando, das tentativas de quantificação dos riscos dos seguros e de avaliar</p><p>as chances de se ganhar em jogos de azar (SILVEIRA,</p><p>2001).</p><p>O texto anterior e as histórias sobre os surgimentos dos seguros e</p><p>os jogos de azar em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa6a.</p><p>html.</p><p>56WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Com referência a essas informações, julgue os itens que se seguem.</p><p>A) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 4 fosse escolhido ao acaso, a probabilidade</p><p>de ele ter chegado vivo no dia t = 7 seria superior a 60%.</p><p>Solução: seja A o evento do animal estar vivo e o complementar de A, isto é, o evento do</p><p>animal ter morrido. Assim, no dia 4, temos, inicialmente, 7.200 animais vivos. Do dia 4 até o</p><p>início do dia 7, o número de animais que vieram a morrer foi de 3.150 (1.080 + 720 + 1.350).</p><p>Aplicando a Eq. (2):</p><p>Daí, , ou seja, a probabilidade de o</p><p>animal estar vivo no dia 7 é de 56,25%, que é inferior a 60% e, portanto, a afirmação está errada.</p><p>B) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 3 fosse escolhido ao acaso, a probabilidade</p><p>de ele ter morrido até o dia t = 6 seria superior a 50%.</p><p>Solução: seja A o evento do animal morrer. Assim, no dia 3, temos, inicialmente, 8.000 animais</p><p>vivos. Do dia 3 até o início do dia 7, o número de animais que vieram a morrer foi de 3.950 (800</p><p>+ 1.080 + 720 + 1.350). Aplicando a Eq. (2):</p><p>Ou seja, a probabilidade do animal que estava vivo no dia 3 vir a morrer até o dia 6 é de</p><p>49,375% e, portanto, a afirmação está errada.</p><p>C) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 4 fosse escolhido ao acaso, a probabilidade</p><p>de ele morrer nesse dia seria igual a 15%.</p><p>Solução: seja B o evento do animal vir a morrer no dia 4. Note que o número de animais que</p><p>morrem nesse dia é igual a 1.080, enquanto o número de animais no início desse dia é igual a</p><p>7.200. Assim, aplicando a Eq. (2):</p><p>Logo, a probabilidade do animal vir a morrer no dia 4 é de 15%, e a afirmação está correta.</p><p>2. AS REGRAS DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO PARA O CÁLCULO DE</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Discutimos até agora o cálculo de probabilidade de eventos simples, ou seja, calculávamos</p><p>a probabilidade de um evento A qualquer, contando o número de possibilidades dentro de um</p><p>espaço amostral S. Agora, vamos dar atenção aos eventos compostos, ou seja, vamos examinar</p><p>situações de contar resultados em “experimentos”. Isso significa que empregaremos as técnicas da</p><p>adição e da multiplicação para calcular a probabilidade desse evento.</p><p>Vamos começar com a técnica da adição. Suponha um experimento que seja composto</p><p>por dois eventos simples, tal que possamos realizar um evento 1 de p maneiras e o evento 2 de</p><p>57WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>q maneiras. Assim, podemos realizar o evento 1 OU o evento 2 (mas não os dois) de</p><p>maneiras. Por exemplo: se, em uma lista, há 5 vogais e 20 consoantes, então, podemos escolher</p><p>uma letra de 5 + 20 = 25 maneiras.</p><p>Considere um experimento que seja constituído por dois eventos simples que ocorrem</p><p>simultaneamente, digamos X e Y. Estamos interessados em determinar a probabilidade da</p><p>ocorrência do evento X ou da ocorrência do evento Y, isto é, ou, ainda, . A</p><p>Eq. (3) ilustra o procedimento de cálculo nessas situações.</p><p>Eq. (3)</p><p>Na Eq. (3), (ou ) denota a probabilidade de que os eventos X e Y</p><p>ocorram ao mesmo tempo na execução do experimento. Podemos, ainda, estar interessados</p><p>em determinar a probabilidade de três eventos simples que ocorram simultaneamente, isto é,</p><p>determinar a probabilidade de ocorrência do evento X ou do evento Y ou do evento Z, isto é,</p><p>A Eq. (4) ilustra o procedimento de cálculo nessas situações:</p><p>Eq. (4)</p><p>Para facilitar a compreensão do tópico da adição de probabilidade, considere os exemplos</p><p>que seguem.</p><p>Exemplo 11:</p><p>Considere um baralho convencional com 52 cartas, do Exemplo 3. Ao selecionar uma carta ao</p><p>acaso, qual a probabilidade de sair uma carta de paus ou uma figura?</p><p>Solução: já vimos, no Exemplo 3, que a probabilidade de sair uma carta de paus é</p><p>, a probabilidade de sair uma figura é , e a probabilidade de sair uma figura de paus</p><p>é . Volte lá e confira! Observe que o evento Z, que fora definido no Exemplo</p><p>3, é tal que . Daí, a probabilidade de sair uma carta de paus ou figura é calculada</p><p>empregando-se a Eq. (3):</p><p>Portanto, ao selecionar uma carta ao acaso, a probabilidade de sair uma carta de paus ou uma</p><p>figura é de 42,3%.</p><p>58WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 12:</p><p>Considere o experimento do lançamento simultâneo de três moedas honestas. Qual a</p><p>probabilidade de saírem duas caras consecutivas ou exatamente uma coroa?</p><p>Solução: o espaço amostral para esse experimento contém 8 elementos, a saber:</p><p>. Seja A o evento de</p><p>saírem duas caras consecutivas. Observe que ele pode ocorrer 4 vezes, a saber: e</p><p>. Assim, aplicando a Eq. (1):</p><p>Seja B o evento de sair exatamente uma coroa. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes, a saber:</p><p>e . Assim, aplicando a Eq. (1):</p><p>Seja C o evento obtido da intersecção dentre os eventos A e B, isto é, . O evento C</p><p>consiste em saírem duas caras consecutivas e uma coroa. Note que isso ocorre 2 vezes, a saber:</p><p>e . Assim, aplicando a Eq. (1):</p><p>Daí, a probabilidade de saírem duas caras consecutivas ou exatamente uma coroa é calculada</p><p>empregando-se a Eq. (3):</p><p>Portanto, no lançamento simultâneo de três moedas honestas, a probabilidade de saírem duas</p><p>caras consecutivas ou exatamente uma coroa é de 50,0%.</p><p>Agora, vamos para a técnica da multiplicação. Suponha um experimento que seja</p><p>composto de dois eventos simples, tal que possamos realizar um evento 1 de maneiras e o</p><p>evento 2 de maneiras. Assim, podemos realizar o evento 1 e o evento 2 de maneiras. Por</p><p>exemplo: se, em uma lista, há 5 vogais e 20 consoantes, então, podemos escolher uma consoante</p><p>seguida de uma vogal para compor uma sílaba, e isso pode ser feito de maneiras.</p><p>Considere um experimento que seja constituído por dois eventos simples que ocorram</p><p>simultaneamente, digamos X e Y. Estamos interessados em determinar a probabilidade da</p><p>ocorrência do evento X e da ocorrência do evento Y, isto é, ou, ainda, . A Eq.</p><p>(5) ilustra o procedimento de cálculo nessas situações:</p><p>Eq. (5)</p><p>59WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Quando aplicamos a Eq. (5), temos de ter em mente que os eventos X e Y são independentes,</p><p>isto é, a ocorrência de um não afetará a ocorrência do outro. Na prática, essa observação manifesta-</p><p>se com a reposição dos elementos sorteados. O resultado da Eq. (5) pode ser estendido para N</p><p>eventos independentes e simples.</p><p>Exemplo 13:</p><p>Em uma avaliação, um aluno deve responder às duas questões seguintes.</p><p>1) Verdadeiro ou Falso: “Intenção significa propósito/desejo enquanto intensão</p><p>significa intensidade/força”.</p><p>2) Numa quarta-feira, André foi à caça. Numa quinta, matou o coelho. Numa sex-</p><p>ta, levou o coelho para casa e, no dia seguinte, comeu-o. Em qual dia da semana André</p><p>comeu o coelho?</p><p>a. quarta-feira.</p><p>b. quinta-feira.</p><p>c. sexta-feira.</p><p>d. sábado.</p><p>e. domingo.</p><p>Admitindo que o aluno que responderá ao questionário o faça de forma aleatória em ambas as</p><p>questões, qual a chance de ele acertar as duas?</p><p>Solução: a primeira questão é verdadeira e, na segunda, é correta a alternativa (c). Observe que</p><p>o espaço amostral para a primeira questão é R = {V, F}, e a probabilidade de essa pessoa acertar</p><p>a questão é . Já, na segunda questão, temos 5 possibilidades de alternativas</p><p>(o espaço amostral é W = {(a), (b), (c), (d), (e)}) para uma possibilidade de a alternativa estar</p><p>correta. Assim, a probabilidade de a pessoa acertar a segunda questão é .</p><p>Logo, a probabilidade de acertar ambas as questões é calculada por meio da Eq. (5):</p><p>Outra maneira de resolver essa questão é considerar o espaço amostral desse experimento:</p><p>e, agora, considerar que X seja o evento de acertar ambas</p><p>as questões. Daí, .</p><p>60WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 14:</p><p>Uma bomba centrífuga, que opera em uma refinaria, tem 60% de chances de não cavitar e 80%</p><p>de chances de não apresentar problemas mecânicos em seu rotor. Qual a probabilidade de essa</p><p>bomba centrífuga não desenvolver nenhum dos problemas citados (cavitação e problema téc-</p><p>nico no rotor)?</p><p>Solução: sejam X e Y os eventos de a bomba centrífuga não entrar em cavitação e apresentar</p><p>algum problema mecânico no rotor, respectivamente. Assim, P(X) = 0,60 e P(Y) = 0,80. A pro-</p><p>babilidade de que essa bomba centrífuga não desenvolva as duas falhas é calculada pela Eq. (5):</p><p>Portanto, a probabilidade de essa bomba centrífuga não desenvolver nenhum dos problemas</p><p>citados é de 48%.</p><p>Exemplo 15</p><p>De um baralho francês com 52 cartas, são retiradas, com reposição, três cartas. Qual a</p><p>probabilidade de que as três cartas sejam de paus?</p><p>Solução: seja B o evento de sortear aleatoriamente uma carta de paus do baralho. Assim, P(B)</p><p>é calculada pela Eq. (1):</p><p>Agora, ao retirar três cartas, com reposição, a probabilidade de as três serem de paus é calculada</p><p>pela Eq. (5):</p><p>Exemplo 16:</p><p>Um trocador de calor passará por três serviços de manutenção no próximo ano. Ape-</p><p>nas duas empresas prestam tais serviços: a empresa X e a empresa Y. Na ocasião da realização</p><p>de cada um dos serviços, o engenheiro mecânico escolherá qual das duas empresas irá realizá-</p><p>-lo. Sabe-se que a probabilidade da empresa X ser escolhida para realizar um serviço é quatro</p><p>vezes maior do que a probabilidade da empresa Y ser escolhida para realizar o mesmo serviço.</p><p>Determine a probabilidade de todos os três serviços de manutenção, previstos para o ano que</p><p>vem, serem realizados por uma mesma empresa.</p><p>Solução: observe que a seleção das empresas X e Y são eventos independentes, ou seja, a es-</p><p>colha de uma empresa para realizar um serviço não afeta a escolha dessa empresa ou da outra</p><p>para efetuar os demais serviços. Assim, a probabilidade de apenas a empresa X realizar os ser-</p><p>viços é calculada por meio da Eq. (5), considerando três eventos simples:</p><p>61WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>em que , e são as probabilidades da empresa X realizar os serviços , e</p><p>, respectivamente. Assim:</p><p>Já a probabilidade de apenas a empresa Y realizar os serviços é calculada de modo análogo. Daí:</p><p>Portanto, a probabilidade de todos os três serviços de manutenção, previstos para o ano que</p><p>vem, serem realizados por uma mesma empresa é calculada como segue:</p><p>Assim, a probabilidade de apenas uma empresa realizar todo o serviço é de 52%.</p><p>Exemplo 17:</p><p>Uma urna contém 4 bolinhas numeradas com os números 1, 3, 5 e 7. Uma bolinha é</p><p>sorteada ao acaso, tem seu número observado e é recolocada na urna. Em seguida, uma segun-</p><p>da bolinha é sorteada ao acaso. Considere as seguintes probabilidades:</p><p>• P1: probabilidade de que o número da primeira bolinha esteja entre 4 e 6, excluindo 4</p><p>e 6.</p><p>• PM: probabilidade de que a média aritmética dos dois números sorteados esteja entre 4</p><p>e 6, excluindo 4 e 6.</p><p>Determine o valor de P1 + PM.</p><p>Solução: vamos calcular P1 e PM de formas separadas.</p><p>i) Seja A o evento de a primeira bolinha estar entre 4 e 6, excluindo 4 e 6, ou seja, ser o número</p><p>5. Essa probabilidade é calculada pela Eq. (1):</p><p>ii) Seja B o evento de a média aritmética dos dois números sorteados estar entre 4 e 6, isto é, ser</p><p>igual a 5. Note que média 5 pode sair quando saírem (5 e 5) ou (3 e 7) ou (7 e 3). Assim:</p><p>Logo, .</p><p>Até agora, aplicamos a regra da multiplicação para situações em que os eventos são</p><p>independentes. No entanto, há outra situação importante a ser levada em consideração: são as</p><p>situações em que temos de ajustar a probabilidade do segundo evento para refletir o resultado</p><p>do primeiro, isto é, os eventos são dependentes. Essa situação é denominada de probabilidade</p><p>condicional.</p><p>62WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Considere, agora, o experimento que seja constituído de dois eventos simples e</p><p>independentes, digamos X e Y. Estamos interessados em determinar a probabilidade do evento Y</p><p>ocorrer dado que o evento X já ocorreu. Esse fato é denotado por , lê-se a probabilidade do</p><p>evento Y ocorrer depois que o evento X ocorreu, e a Eq. (6) permite o cálculo dessa probabilidade.</p><p>Eq. (6)</p><p>Exemplo 18:</p><p>No estoque de uma empresa de saneamento de grande porte, há trinta bombas centrí-</p><p>fugas. Seis delas, no entanto, estão defeituosas. Um engenheiro seleciona aleatoriamente duas</p><p>dessas bombas centrífugas. Considerando-se que, uma vez selecionadas, não há reposição de</p><p>qualquer das bombas centrífugas, qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?</p><p>Solução: observe que o resultado da escolha da segunda bomba centrífuga defeituosa é in-</p><p>fluenciado pelo resultado da escolha da primeira. Seja X o evento de selecionar aleatoriamente</p><p>uma bomba centrífuga defeituosa, segue da Eq. (1) que:</p><p>Após a escolha de uma bomba centrífuga defeituosa na primeira seleção, temos 29 restantes,</p><p>incluindo 5 defeituosas. Considere, agora, que Y seja o evento da seleção da segunda bomba</p><p>centrífuga defeituosa, dado que a primeira já foi feita. A probabilidade de a segunda ser defei-</p><p>tuosa é:</p><p>Logo, a probabilidade de que ambas sejam defeituosas é determinada usando-se a Eq. (6):</p><p>Exemplo 19:</p><p>Dentre as doenças transmitidas por mosquitos, a dengue é a que vem se alastrando mais rapi-</p><p>damente pelo globo: em 50 anos, o número de casos aumentou 30 vezes, sendo que 70% estão</p><p>concentrados no Sudeste asiático e nas ilhas do Pacífico. Menos de 1% das infecções evolui para</p><p>óbito, mas, na última década, dez países entraram para a lista dos afetados pela doença, tais</p><p>como Sri Lanka, Nepal, Timor-Leste, Indonésia e Tailândia. A resistência dos mosquitos aos</p><p>inseticidas disponíveis e o surgimento do sorotipo 4 do vírus vêm desafiando a comunidade</p><p>científica a criar formas de contenção da doença. A Tabela 3 apresenta os resultados de um</p><p>exame para detecção da dengue (o método Elisa IgM e IgG), realizado em alguns pacientes em</p><p>um hospital público hipotético.</p><p>63WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 3 – Resultados do exame Elisa IgM e IgG para detecção da dengue.</p><p>O paciente realmente estava doente</p><p>não sim</p><p>Resultado positivo 30</p><p>(falso-positivo)</p><p>84</p><p>(verdadeiro-positivo)</p><p>Resultado negativo 64</p><p>(verdadeiro-negativo)</p><p>18</p><p>(falso-negativo)</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Com base nessas informações, resolva os itens seguintes.</p><p>a) Se um paciente é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de o resultado do exame</p><p>apresentar resultado positivo, dado que ele estava doente.</p><p>b) Se um paciente é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de ele estar doente, dado</p><p>que o exame apresentou resultado positivo.</p><p>Solução: observe que temos 196 pacientes. Considere que X e Y sejam os eventos de o paciente</p><p>estar contaminado e de o resultado do exame ser positivo, respectivamente. Aplicando a Eq. (1)</p><p>nos resultados da Tabela 3, segue que:</p><p>Observe, ainda na Tabela 3, que a probabilidade de o paciente estar contaminado e apresentar</p><p>resultado positivo no exame é:</p><p>a) A probabilidade do resultado do exame apresentar resultado positivo, dado que o paciente</p><p>estava contaminado, pode ser escrita como . Fazendo uso da Eq. (6), temos:</p><p>Esse resultado indica que o paciente que está contaminado tem 82,4% de probabilidade de</p><p>apresentar o resultado do exame positivo.</p><p>b) A probabilidade do paciente estar contaminado, dado que o exame apresentou resultado</p><p>positivo, pode ser escrita como . Fazendo uso da Eq. (6), temos</p><p>Esse resultado mostra que um paciente que apresenta resultado positivo no teste tem 73,7% de</p><p>probabilidade de estar contaminado.</p><p>64WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Uma maneira de facilitar a compreensão do espaço amostral</p><p>de dois ou mais eventos é</p><p>por meio do diagrama de árvore (também chamado de árvore de possibilidades), apresentado</p><p>na Figura 4. Nele, é possível observar, de uma maneira mais conveniente e organizada, o conjunto</p><p>de eventos condicionais. Cada nó no diagrama de árvore representa um evento e está associado</p><p>à probabilidade desse evento.</p><p>Figura 4 – Diagrama de árvore. Fonte: Os autores.</p><p>Exemplo 20:</p><p>A eficácia de um teste de laboratório para checar uma nova doença nas pessoas que</p><p>comprovadamente têm essa doença é de 85%. Esse mesmo teste, no entanto, produz um</p><p>falso-positivo (acusa positivo quando não tem comprovadamente a doença) da ordem de 2%.</p><p>Em uma comunidade, a incidência dessa doença é de 5%. Ao selecionar uma pessoa nessa</p><p>comunidade para realizar o teste, qual a probabilidade de que o resultado desse exame seja</p><p>positivo?</p><p>Solução: vamos resumir as informações do enunciado no diagrama de árvore da Figura 5.</p><p>Figura 5 – Diagrama de árvore. Fonte: Os autores.</p><p>Sejam X e Y os eventos da pessoa estar doente e testar positivo no exame, respectivamente.</p><p>Assim, a probabilidade de que o resultado desse exame seja positivo (independentemente de</p><p>estar doente ou sadio) é:</p><p>Portanto, a probabilidade de o resultado do exame ser positivo é de 6,15%.</p><p>65WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 21:</p><p>Uma questão de Cálculo II é de múltipla escolha e tem cinco alternativas. Dos alunos de uma</p><p>turma de Engenharia, metade sabe resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta.</p><p>Um aluno da turma é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o aluno escolhido tenha</p><p>“chutado” a questão, dado que ele acertou a questão?</p><p>Solução: sejam X e Y os eventos de os alunos saberem resolver a questão e de acertarem a</p><p>questão, respectivamente. Se o aluno sabe resolver a questão, então, ele acertará a questão.</p><p>Logo, (a probabilidade de acertar dado que sabe é de 100%). Por outro lado, se</p><p>o aluno não sabe resolver a questão, então, ele tem 20% de acertar. Assim, (a</p><p>probabilidade de acertar dado que não sabe é de 20%). Podemos montar o diagrama de árvore</p><p>apresentado na Figura 6.</p><p>Figura 6 – Diagrama de árvore. Fonte: Os autores.</p><p>Observe, no diagrama de árvore, que 60% da turma podem acertar a questão, sendo que 10%</p><p>“chutaram”. Assim, a probabilidade de que o aluno escolhido tenha “chutado” a questão, dado</p><p>que ele acertou a questão, é calculada pela Eq. (6):</p><p>Portanto, a probabilidade de que o aluno escolhido tenha “chutado” a questão, dado que ele</p><p>acertou a questão, é de, aproximadamente, 16,7%.</p><p>Agora, vamos estudar o cálculo da probabilidade de situações em que, no espaço amostral,</p><p>pelo menos uma forneça o resultado desejado. Para determinar a probabilidade de pelo menos um,</p><p>é equivalente dizer um ou mais. Assim, considere X o evento de “pelo menos um” acontecer e seja</p><p>o evento complementar de X, isto é, denota o evento de que nenhum dos resultados seja o</p><p>evento considerado. Logo:</p><p>Eq. (7)</p><p>66WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 22:</p><p>Tabela 4 – Distribuição de idade dos alunos da 8ª série.</p><p>Idade 15 anos 14 anos 13 anos 12 anos</p><p>Número de alunos 5 5 15 15</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Na Tabela 4, que mostra a distribuição das idades dos alunos do 8º ano de uma escola,</p><p>a média aritmética das idades é igual a 13. A respeito desses estudantes e de suas idades, julgue</p><p>o item que segue.</p><p>“Se dois estudantes da turma forem aleatoriamente escolhidos para participar do coral da escola,</p><p>a probabilidade de pelo menos um deles ter menos de 13 anos de idade é igual a 8/13”.</p><p>Solução: note que a turma contém 40 alunos, sendo 15 com 12 anos e 25 com 13 anos ou mais.</p><p>Seja X o evento de o aluno selecionado ter 13 anos ou mais. Ao selecionar o primeiro aluno, a</p><p>probabilidade de ele ter 13 anos ou mais é:</p><p>Ao selecionar o segundo aluno, a probabilidade de ele ter 13 anos ou mais é:</p><p>Daí, a probabilidade de que ambos tenham 13 anos ou mais é calculada pela Eq. (5):</p><p>Logo, a probabilidade de que, pelo menos, um tenha menos de 13 anos é calculada por meio</p><p>da Eq. (7), como segue:</p><p>Exemplo 23:</p><p>Em uma pescaria, os pescadores Alberto, Bruno e Carlos colocavam os peixes que</p><p>pescavam em um mesmo recipiente. Ao final da pescaria, o recipiente continha 16 piaus e 32</p><p>piaparas. Na divisão dos peixes, cada um deles afirmou que teria pescado mais peixes que os</p><p>outros dois. Julgue o item a seguir a respeito dessa situação.</p><p>“Na situação dada, se 2 peixes fossem retirados do recipiente, aleatoriamente, a</p><p>probabilidade de que, pelo menos, um fosse um piau seria maior que ”.</p><p>Solução: note que, no recipiente, havia 48 peixes, sendo 16 piaus e 32 piaparas. Seja Y o</p><p>evento de o peixe selecionado ser uma piapara. Ao selecionar o primeiro peixe do recipiente, a</p><p>probabilidade de ele ser uma piapara é:</p><p>67WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Ao selecionar o segundo peixe do recipiente, a probabilidade de ser outra piapara é:</p><p>Daí, a probabilidade de que ambos sejam piaparas é calculada pela Eq. (5):</p><p>Logo, a probabilidade de que, pelo menos, um seja piau é calculada por meio da Eq. (7), como</p><p>segue:</p><p>3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE</p><p>Considere o lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas. O espaço amostral</p><p>desse evento é S = {(C,C); (C,K); (K,C); (K,K)}. O foco de estudo agora é atribuir uma descrição</p><p>numérica aos resultados desse experimento. A Tabela 5 apresenta o espaço amostral e a descrição</p><p>numérica da probabilidade de cada evento ocorrer.</p><p>Tabela 5 – Espaço amostral e probabilidade para o lançamento simultâneo de duas</p><p>moedas não viciadas.</p><p>Espaço amostral Probabilidade</p><p>(C,C) 1/4</p><p>(C,K) 1/4</p><p>(K,C) 1/4</p><p>(K,K) 1/4</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Nesse sentido, estamos interessados em encontrar uma função que corresponda ao</p><p>resultado desse experimento. Por se tratar de uma função (semelhante àquela ideia de função</p><p>das aulas de matemática: ), necessitamos definir alguns conceitos. Acompanhe as</p><p>definições que seguem.</p><p>Definição 9 – Uma variável aleatória é uma variável que descreve o valor correspondente</p><p>ao resultado de um experimento, isto é, trata-se de uma variável que assume valor numérico único,</p><p>que é determinado pelo acaso para cada resultado de um experimento e, em geral, é representada</p><p>por . A representação gráfica, de tabela e por equação da descrição da probabilidade para cada</p><p>valor da variável aleatória, é denominada de distribuição de probabilidade.</p><p>Definição 10 – Uma variável aleatória discreta é aquele tipo de variável cujos valores</p><p>assumidos são ou finito ou infinito enumerável. Por outro lado, uma variável aleatória contínua</p><p>é aquele tipo de variável que possui infinitos valores em uma escala contínua.</p><p>68WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 24:</p><p>São exemplos de variáveis aleatórias discretas: o número de inadimplentes dentre 1.000 pessoas</p><p>que pegaram empréstimo num banco, o número de consultas ao médico num determinado ano,</p><p>o número de pessoas infectadas com um vírus, o número de caras no lançamento de moedas,</p><p>dentre outros. São exemplos de variáveis aleatórias contínuas: altura de um ser humano, a tensão</p><p>da bateria de um carro, o volume de óleo extraído em um processo industrial, a velocidade de</p><p>decolagem de um avião, dentre outras.</p><p>Definição 11 – Se x assume todos os valores possíveis dos resultados de um experimento,</p><p>e P denota a probabilidade de um dado evento, então, para uma distribuição de probabilidade, é</p><p>válido que e .</p><p>Exemplo 25:</p><p>No caso do lançamento simultâneo de duas moedas, os resultados são apresentados</p><p>na Tabela 6. Seja X o número de coroas que saíram nos lançamentos. Assim, a distribuição de</p><p>probabilidade é:</p><p>Tabela 6 – Resultados dos lançamentos de duas moedas.</p><p>X P(X)</p><p>0 1/4</p><p>1 1/2</p><p>2 1/4</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Note que a probabilidade de não sair nenhuma coroa</p><p>é de 1/4, a probabilidade de sair</p><p>apenas uma coroa é de ½, e a probabilidade de saírem duas coroas é de 1/4. Note, também, que</p><p>e o que caracteriza a distribuição de probabilidade. O histograma</p><p>de probabilidade é apresentado na Figura 7.</p><p>Figura 7 – Distribuição de probabilidade do lançamento de duas moedas. Fonte: Os autores.</p><p>Nas distribuições de probabilidades, a média, a variância e o desvio-padrão podem ser</p><p>determinados pelas equações que seguem.</p><p>Eq. (8)</p><p>69WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Nela, é a média para uma distribuição de probabilidade. A média de uma variável</p><p>aleatória também é chamada de valor esperado ou esperança e é denotada por E(x). A Eq. (8)</p><p>é empregada em situações em que a variável aleatória é discreta. Caso a variável aleatória seja</p><p>contínua, é empregada a equação (9):</p><p>Eq. (9)</p><p>Eq. (10)</p><p>Nela, é a variância para uma distribuição de probabilidade.</p><p>Eq. (11)</p><p>Nela, s é o desvio-padrão para uma distribuição de probabilidade.</p><p>Exemplo 26:</p><p>Para a distribuição de probabilidade do Exemplo 25, determine a média, a variância e</p><p>o desvio-padrão.</p><p>Solução: a partir das informações já calculadas, construímos a Tabela 7.</p><p>Tabela 7 – Cálculo da média da distribuição de probabilidade.</p><p>0 1/4 0</p><p>1 1/2 1/2</p><p>2 1/4 1/2</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>A média é calculada por meio da Eq. (8):</p><p>Logo, a média ou esperança é igual a 1. Agora, vamos calcular a variância e, para isso, construí-</p><p>mos a Tabela 8.</p><p>Tabela 8 – Cálculo da variância da distribuição de probabilidade.</p><p>0 1/4 1 1/4</p><p>1 1/2 0 0</p><p>2 1/4 1 1/4</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>70WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A variância é calculada por meio da Eq. (9):</p><p>O desvio-padrão é calculado por meio da Eq. (10):</p><p>Exemplo 27:</p><p>Uma variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por</p><p>, se Determine a média de X.</p><p>Solução: aplicando a Eq. (9), segue que:</p><p>Observe que a integral imprópria é divergente.</p><p>Exemplo 28:</p><p>A proporção de álcool em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória,</p><p>com a seguinte função de densidade: f(x) = ax3(1−x), 0 ≤ x ≤ 1. Nessas condições, determine o</p><p>valor de a.</p><p>Solução: sabemos que, se x assume todos os valores possíveis em [0, 1], então, . A</p><p>variável aleatória em apreço é contínua e, dessa maneira, devemos ter que:</p><p>Assim, integrando e aplicando o teorema fundamental do cálculo:</p><p>Portanto, a = 20.</p><p>Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, E a esperança (ou média), a variância,</p><p>e k uma constante real, então, são válidas as seguintes propriedades:</p><p>i)</p><p>ii)</p><p>iii)</p><p>iv)</p><p>v)</p><p>vi)</p><p>vii) .</p><p>71WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 29:</p><p>As variáveis aleatórias X e Y são independentes. A variável X segue uma distribuição</p><p>Normal, com média 4 e variância 16, e a Y segue uma distribuição Normal, com média 9 e va-</p><p>riância 1. Assumindo que a distribuição de X − Y seja Normal, determine a média e variância</p><p>de X – Y.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que e . Aplicando-se as proprie-</p><p>dades (iii) e (vii), temos que . Portanto, a média é igual a -5, e a</p><p>variância é igual a 17.</p><p>Uma regra empírica e simples, que nos permite compreender melhor a ideia do desvio-</p><p>padrão, é a regra empírica da amplitude. Essa regra afirma que, para muitos conjuntos de dados,</p><p>a maior parte dos valores amostrais está localizada até dois desvios-padrão da média. Assim:</p><p>Exemplo 30:</p><p>Em uma urna, há seis bolas idênticas em tamanho e textura, mas que se diferem pela cor. Desse</p><p>total de bolas, há quatro pretas e duas brancas. Determine a distribuição de probabilidade da</p><p>variável aleatória X, tal que X é o evento de se obter duas bolas brancas dentre as disponíveis.</p><p>Solução: primeiramente, vamos construir o espaço amostral e determinar a probabilidade de</p><p>o evento X ocorrer em cada situação.</p><p>Tabela 10 – Espaço amostral.</p><p>Situação Espaço amostral Probabilidade</p><p>As duas bolas brancas saem</p><p>em duas retiradas</p><p>{B,B}</p><p>As duas bolas brancas saem</p><p>em três retiradas</p><p>{B,P,B}</p><p>{P,B,B}</p><p>As duas bolas brancas saem</p><p>em quatro retiradas</p><p>{B,P,P,B}</p><p>{P,P,B,B}</p><p>{P,B,P,B}</p><p>72WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>As duas bolas brancas saem</p><p>em cinco retiradas</p><p>{B,P,P,P,B}</p><p>{P,B,P,P,B}</p><p>{P,P,B,P,B}</p><p>{P,P,P,B,B}</p><p>As duas bolas brancas saem</p><p>em seis retiradas</p><p>{B,P,P,P,P,B}</p><p>{P,B,P,P,P,B}</p><p>{P,P,B,P,P,B}</p><p>{P,P,P,B,P,B}</p><p>{P,P,P,P,B,B}</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>A partir das informações já calculadas, construímos a Tabela 11.</p><p>Tabela 11 – Distribuição de probabilidade.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>A função que descreve a distribuição de probabilidade é:</p><p>73WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A média, a variância e o desvio-padrão são calculados pelas Eq. (8), (9) e (10), respectivamen-</p><p>te, e são apresentados a seguir:</p><p>Empregando a regra empírica da amplitude, podemos encontrar os valores máximos e míni-</p><p>mos, como segue:</p><p>A análise dos resultados dessa regra empírica nos permite concluir que o resultado de se ob-</p><p>terem duas bolas brancas, dentre as seis disponíveis, deveria, usualmente, ficar entre 2,17 e</p><p>7,17. Como há 6 bolas no interior da urna, seria incomum obter como resultado que as duas</p><p>bolas brancas saíssem em apenas duas retiradas (pois o valor 2 está fora do intervalo de valo-</p><p>res usuais: 2,17 a 7,17). Observe ainda que, para o valor de 7 ou mais, temos um evento im-</p><p>possível, pois só temos 6 bolas. Assim, o valor máximo usual é 6, pois é o maior valor possível</p><p>para o número de bolas no interior da urna.</p><p>Observe que a determinação dessas funções matemáticas que descrevem a distribuição</p><p>de probabilidade não é trivial. Vamos estudar, agora, algumas distribuições de probabilidade que</p><p>aparecem com frequência no dia a dia e são bem conhecidas.</p><p>3.1 A Distribuição de Probabilidade Binomial</p><p>Um tipo de distribuição bastante aplicada é a distribuição de probabilidade binomial.</p><p>Nela, os resultados pertencem a duas categorias: sucesso/fracasso, certo/errado, sim/não, dentre</p><p>outras possiblidades. A distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento</p><p>que satisfaça: i) o experimento tem um número finito de ensaios idênticos; ii) as tentativas são</p><p>independentes; iii) os resultados das tentativas são classificados em duas categorias: sucesso ou</p><p>fracasso; iv) a probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas. Assim, se p</p><p>é a probabilidade de sucesso, (1 – p) é a probabilidade do fracasso. A função de distribuição de</p><p>probabilidade binomial, denotada por , é descrita por:</p><p>Eq. (12)</p><p>Ali, n é o número de provas (ou de experimentos), k é o número de sucesso dentre as n</p><p>tentativas, p é a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa, é a probabilidade de</p><p>fracasso e .</p><p>74WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 31:</p><p>Gregor Mendel, em 1865, apresentou uma teoria segundo a qual, quando há duas</p><p>características a serem herdadas, uma delas será dominante, e a outra será recessiva. Para</p><p>validar sua teoria, Mendel fez um experimento usando ervilhas que podem ter vagens verdes</p><p>ou amarelas. Admita que a probabilidade de uma ervilha vir a ter vagem verde seja de 0,75.</p><p>Determine a probabilidade de exatamente 4 ervilhas com vagens verdes gerarem 6 proles.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que , , e . Assim,</p><p>aplicando a Eq. (12), segue que:</p><p>Portanto, a probabilidade de se obterem exatamente 4 ervilhas com vagens verdes entre 6 proles</p><p>é de 0,297.</p><p>Exemplo 32:</p><p>Um torno mecânico descalibrado vem apresentando 15% de defeitos. Para uma</p><p>amostra de 20 peças produzidas, qual é a probabilidade de se obterem exatamente duas peças</p><p>produzidas com defeito?</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que , , e .</p><p>Assim, aplicando a Eq. (10), segue que:</p><p>Portanto, a probabilidade de se obterem exatamente</p><p>2 peças com defeito, dentre as 20</p><p>produzidas, é de 0,229.</p><p>O fatorial é um número natural, representado por n!. É calculado pela multiplicação</p><p>desse número por todos os seus antecessores, até chegar ao número 1. Note</p><p>que, nesses produtos, o zero (0) é excluído.</p><p>75WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 33:</p><p>Um dado é lançado três vezes. Qual a probabilidade de que a face 4 apareça ao menos</p><p>uma vez?</p><p>Solução: seja X o evento de que a face 4 apareça no lançamento do dado. A probabilidade de</p><p>que a face 4 saia em um lançamento é de 1/6, isto é, a probabilidade do sucesso é de p = 1/6, e</p><p>a probabilidade do fracasso é de q = 1 - p = 5/6. Assim, a probabilidade de que a face 4 apareça</p><p>ao menos uma vez é calculada como a soma da face 4 sair uma vez, duas vezes e três vezes,</p><p>como segue:</p><p>Portanto, a probabilidade de que a face 4 apareça ao menos uma vez é de 42,13%.</p><p>Na distribuição de probabilidade binomial, a média, a variância e o desvio-padrão podem</p><p>ser determinados pelas equações que seguem.</p><p>Eq. (13)</p><p>Nela, é a média.</p><p>Eq. (14)</p><p>Nela, é a variância.</p><p>Exemplo 34:</p><p>Quando um pesquisador vai a campo e aborda pessoas na rua para serem entrevista-</p><p>das, o número de pessoas que aceitam responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.</p><p>O valor esperado dessa distribuição é 8, e sua variância é 1,6. Nessas condições, determine a</p><p>probabilidade de uma pessoa aceitar responder à pesquisa.</p><p>Solução: segue, do enunciado, que e Substituindo a Eq. (13) na Eq. (14), temos</p><p>que:</p><p>Portanto, a probabilidade de uma pessoa aceitar responder à pesquisa é de 80%.</p><p>76WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.2 A Distribuição de Probabilidade de Poison</p><p>Outro tipo de distribuição, também bastante empregada, é a distribuição de Poisson. Ela</p><p>é empregada em situações tais como a chegada de pessoas em uma fila, decaimento radioativo,</p><p>número de pessoas que fazem uso de um site da Internet etc.</p><p>A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição de probabilidade discreta à qual se</p><p>aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. Nesse sentido, agora, X é</p><p>a variável aleatória de número de ocorrência do evento em um intervalo. Esse intervalo pode</p><p>ser tempo, área, volume, distância etc. A função de distribuição de probabilidade de Poisson,</p><p>denotada por , é descrita por:</p><p>Eq. (15)</p><p>Nela, é uma constante que denota o valor esperado, ou número médio, de</p><p>ocorrência no intervalo, e k é a variável aleatória discreta, que indica o número de ocorrência no</p><p>intervalo.</p><p>Exemplo 35:</p><p>O número médio de erros de digitação cometidos por um digitador é de quatro por pá-</p><p>gina. Se mais que quatro erros aparecem em uma página, o digitador deve redigitar novamente</p><p>toda a página. Qual a probabilidade de uma página selecionada aleatoriamente não precisar</p><p>ser redigitada?</p><p>Solução: seja X o número de erros cometidos pelo digitador por página. Temos que .</p><p>Para não precisar redigitar uma página, ela poderá conter até 4 erros. Assim:</p><p>Aplicando a Eq. (15), segue que:</p><p>Portanto, a probabilidade de uma página selecionada aleatoriamente não precisar ser redigita-</p><p>da é de, aproximadamente, 62,9%.</p><p>77WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 36:</p><p>Um engenheiro agrônomo percebeu que a probabilidade de uma venda de um lote de</p><p>gado de corte ocorrer em um único contato é de 0,03. Se o engenheiro agrônomo efetuar 100</p><p>contatos, qual é a probabilidade de ele efetuar ao menos uma venda?</p><p>Solução: seja Y o número de vendas efetuadas. Assim, o número de vendas esperadas pelo en-</p><p>genheiro é . A probabilidade de esse engenheiro agrônomo efetuar, pelo</p><p>menos, uma venda é calculada como:</p><p>Aplicando a Eq. (15) para o cálculo de P(0), segue que:</p><p>Portanto, a probabilidade de ele efetuar ao menos uma venda nos 100 contatos é de, aproxi-</p><p>madamente, 95,0%.</p><p>Exemplo 37</p><p>Em um posto de gasolina, entram para abastecer, em média, 60 carros por hora. Qual a</p><p>probabilidade de, a cada 5 minutos, entrarem nesse posto para abastecer pelo menos 3 carros?</p><p>Solução: seja X o número de carros que entram no posto para abastecer a cada 5 minutos.</p><p>Temos que carro/minuto, ou seja, 5 carros a cada 5 minutos. A</p><p>probabilidade de, a cada 5 minutos, entrarem nesse posto para abastecer pelo menos 3 carros é:</p><p>Aplicando a Eq. (11) para o cálculo de P(0), P(1) e P(2), segue que:</p><p>78WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 38:</p><p>O número de atendimentos, via Internet, realizados pela Central de Atendimentos Fa-</p><p>zendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson, com média de 12 atendimentos por hora.</p><p>A probabilidade de essa CAF realizar, pelo menos, 3 atendimentos em um período de 20 mi-</p><p>nutos é:</p><p>Dados: e-2 = 0,14; e-4 = 0,018</p><p>(a) 0,594 (b) 0,910 (c) 0,766 (d) 0,628 (e) 0,750</p><p>Solução: seja X o número de atendimentos a cada 20 minutos. Temos que ,</p><p>ou seja, 4 atendimentos a cada 20 minutos. A probabilidade de essa CAF realizar, pelo menos,</p><p>3 atendimentos em um período de 20 minutos é:</p><p>Aplicando a Eq. (13) para o cálculo de P(0), P(1) e P(2), segue que:</p><p>Portanto, a probabilidade de essa CAF realizar, pelo menos, 3 atendimentos em um período de</p><p>20 minutos é 76,6%.</p><p>3.3 A Distribuição Normal Probabilidade</p><p>Até aqui, foram apresentados dois tipos de distribuição discreta de probabilidade</p><p>(binomial e Poisson). Agora, vamos dar atenção a um tipo de distribuição contínua e que é de</p><p>grande importância em Engenharia: a distribuição normal.</p><p>A distribuição normal é incrivelmente importante em estatística devido à sua capacidade</p><p>de comparar quão raros ou improváveis podem ser dois valores oriundos de distintas distribuições</p><p>de probabilidade. Por exemplo: o que é mais improvável: um lutador de sumô com mais de 180</p><p>kg ou um jogador de basquete com mais de 2,30m? Pode até parecer que estamos comparando</p><p>laranjas e maçãs (em certo sentido, estamos!), mas, quando as distribuições de probabilidade são</p><p>normais, existe uma maneira quantitativa de se fazer isso.</p><p>A variável contínua x, que apresenta sua distribuição de probabilidade com um gráfico</p><p>simétrico e em forma de sino, é descrita por:</p><p>Eq. (16)</p><p>Ela é denominada distribuição normal. Na Eq. (16), é a média, e é o desvio-padrão.</p><p>A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal, com média e</p><p>variância , como mostrado na Figura 8.</p><p>Figura 8 – Distribuição normal reduzida. Fonte: Os autores.</p><p>79WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Note que, para a distribuição normal, são válidas as seguintes propriedades:</p><p>• o gráfico da distribuição é uma curva na forma de sino e contínuo;</p><p>• a média, a moda e a mediana são idênticas, o que garante a simetria;</p><p>• o eixo x é uma assíntota horizontal;</p><p>• a área abaixo da curva é 1;</p><p>• o domínio da função distribuição de probabilidade consiste no conjunto dos números</p><p>reais;</p><p>• a curva tem um ponto de máximo em x = 0, e esse valor é de ;</p><p>• os pontos de inflexão da curva ocorrem em .</p><p>Alterando os valores da média e do desvio-padrão (e, consequentemente, ocorre a</p><p>alteração do valor da variância), podemos plotar diferentes curvas, como apresentado na Figura</p><p>9.</p><p>Figura 9 – Distribuições normais para alguns valores de média e variância. Fonte: Os autores.</p><p>Para toda distribuição normal, aproximadamente: 68% dos valores estão a não mais</p><p>que um desvio-padrão da média; 95% dos valores estão a não mais que dois desvios-padrões da</p><p>média; 99,7% dos valores estão a não mais que três desvios-padrões da média. Essa regra prática</p><p>pode ser empregada para identificar outliers, como ilustrado na Figura 10.</p><p>80WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 10 – A curva da distribuição normal e a regra para identificar</p><p>valores outliers. Fonte: Os autores.</p><p>A análise da Figura 10 nos permite afirmar que, em um conjunto de dados, valores que</p><p>distam até um desvio-padrão da média são relativamente comuns (algo em torno de 68%). Por</p><p>outro lado, dados com valores acima de três desvios-padrões da média são muito improváveis,</p><p>tanto que podemos rotulá-los como outliers, ocorrendo com probabilidade de 0,3%.</p><p>Obviamente, não precisamos nos limitar à medida da distância em relação à média</p><p>em números inteiros de desvios-padrões. Com um pouco de algebrismo, podemos estimar a</p><p>probabilidade de observar valores acima de k desvios-padrões da média. Dessa forma, podemos</p><p>comparar a raridade de dois valores (mesmo que provenientes de duas distribuições distintas)</p><p>comparando quantos desvios-padrões eles estão afastados de suas respectivas médias. Essa</p><p>medida, em números de desvios-padrões ( ) que a variável x está de sua média ( ), é denominada</p><p>de z-score e é definida como:</p><p>Eq. (17)</p><p>E, a partir do valor calculado de z-score, podemos determinar a probabilidade, fazendo</p><p>uso da tabela de z-score que está no anexo desse material (Anexo 2). Fique atento ao trabalhar</p><p>com a tabela de z-score: não confunda o valor do z-score com a área da região sob a curva.</p><p>Acompanhe os exemplos que seguem.</p><p>81WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 39:</p><p>Determine a área da região hachurada de cada curva de distribuição normal apresentada</p><p>a seguir.</p><p>a)</p><p>Figura 11 – Região hachurada para cálculo do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar , isto é, estamos interessados na</p><p>área acumulada a partir da esquerda até a linha do z-score. Uma maneira de determinar a área</p><p>é empregando a tabela de z-score, como apresentado na Figura 12.</p><p>Figura 12 – Determinação da área a partir do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>Portanto, dessa maneira, a área abaixo da curva da distribuição normal até z = 0,75 é igual a</p><p>0,7734 unidades de área e denotamos isso por</p><p>b)</p><p>Figura 13 – Região hachurada para cálculo do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>82WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Solução: estamos interessados em determinar , ou seja, estamos interessados na</p><p>área acumulada a partir da linha do z-score. Uma maneira de determinar essa área é excluir da</p><p>área esquerda até a linha do z-score, como segue:</p><p>Note que o valor de é determinado como ilustrado na Figura 14.</p><p>Figura 14 – Determinação da área a partir do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>Portanto,</p><p>c)</p><p>Figura 15 – Região hachurada para cálculo do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar , ou seja, estamos</p><p>interessados na área acumulada limitada à direita e à esquerda pelas linhas do z-score. Uma</p><p>maneira de determinar a área é excluir da área esquerda até o z = - 0,6 e excluir a área a partir</p><p>de z = 1,2, como segue:</p><p>Os valores de e são determinados como apresentados na Figura 16.</p><p>Figura 16 – Determinação da área a partir do z-score. Fonte: Os autores.</p><p>Assim,</p><p>83WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 40:</p><p>Determine o z-score correspondente a cada curva de distribuição normal apresentada</p><p>a seguir.</p><p>a)</p><p>Figura 17 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar o z-score para a situação em que a área acumu-</p><p>lada é a partir da esquerda até a linha z-score é de 0,9793. Observe a Figura 18.</p><p>Figura 18 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Portanto, segue que z-score = 2,04.</p><p>b)</p><p>Figura 19 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar o z-score para a situação em que a área acumu-</p><p>lada é a partir da esquerda até a linha z-score seja igual de 0,2546. Observe a Figura 20.</p><p>Figura 20 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>O vídeo a seguir ensina a fazer a área sombreada da distribuição</p><p>normal usando o software Excel. Disponível em</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=ZR67nlCsxeI.</p><p>84WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Portanto, segue que z-score = - 0,65.</p><p>c)</p><p>Figura 21 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar o z-score para a situação em que a área acumu-</p><p>lada é a partir da linha do z-score para direita. Observe que a área não hachurada é de 0,8849</p><p>(1 – 0,1151). Observe a Figura 22.</p><p>Figura 22 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Portanto, segue que o z-score = 1,20.</p><p>d)</p><p>Figura 23 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Solução: estamos interessados em determinar o z-score para a situação em que a área acumu-</p><p>lada é a partir da linha do z-score para direita. Note que a área não hachurada é de 0,0559 (1</p><p>– 0,9441). Observe a Figura 24.</p><p>Figura 24 – Determinação do z-score a partir da área. Fonte: Os autores.</p><p>Portanto, segue que z-score = 1,20.</p><p>85WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 41</p><p>Em um exame nacional, a média dos estudantes foi de 1020, com desvio-padrão de 90.</p><p>Assumindo que as notas sejam normalmente distribuídas, determine a probabilidade de, ao se</p><p>selecionar ao acaso um estudante, ele apresente nota superior a 1200.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que , e queremos determinar a</p><p>probabilidade de se selecionar ao acaso um estudante com nota superior a 1200, isto é,</p><p>. Inicialmente, calculamos o z-score:</p><p>Geometricamente, a probabilidade de, ao selecionar ao acaso um estudante, ele apresentar nota</p><p>superior a 1200, corresponde à região hachurada na Figura 25, isto é, a região à direita da reta</p><p>de z = 2,0.</p><p>Figura 25 – Região para cálculo de probabilidade. Fonte: Os autores.</p><p>Na tabela de z-score, encontramos que Portanto, a</p><p>probabilidade de, ao selecionar ao acaso um estudante, ele apresentar nota superior a 1200, é</p><p>de 2,28%.</p><p>O z-score é o quanto uma medida se afasta da média em termos de desvios-</p><p>padrão. Assim, quando o escore Z é positivo, isso indica que o dado está acima</p><p>da média e, quando ele é negativo, significa que o dado está abaixo</p><p>da média. Os valores do z-score oscilam entre , e isso</p><p>corresponde a 99,72% da área sob a curva da Distribuição Normal.</p><p>O vídeo a seguir nos apresenta a definição do z-score e o uso das</p><p>tabelas de z-score. Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=xP6XZabCSgs.</p><p>86WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 42:</p><p>O tempo de realização de um exame clínico é normalmente distribuído com média</p><p>de 96 minutos e desvio-padrão de 17 minutos. Caso um paciente que faça esse exame seja</p><p>escolhido ao acaso, determine a probabilidade de ele gastar, no máximo, 80 minutos. Faça a</p><p>sugestão de tempo para que um motorista de táxi retorne para buscar o paciente.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que min, min, e queremos determinar</p><p>a probabilidade de se selecionar ao acaso um paciente que fará o exame e que gaste até 80</p><p>minutos, isto é, . Inicialmente, calculamos o z-score:</p><p>Geometricamente, a probabilidade de, ao selecionar ao acaso um paciente que faça esse exame e</p><p>o tempo transcorrido para que o tempo seja de até 80 minutos, corresponde à região hachurada</p><p>na Figura 26, isto é, a região à esquerda da reta de z = -0,94.</p><p>Figura 26 – Região para cálculo de probabilidade. Fonte: Os autores.</p><p>Na tabela de z-score, encontramos que ou 17,36%.</p><p>Assim, a probabilidade de esse paciente gastar, no máximo, 80 minutos é de 17,36%. Logo, o</p><p>tempo de retorno do motorista de táxi pode ser feito em três desvios-padrões, além da média</p><p>para garantir 99,7% que o paciente tenha finalizado o paciente (você consegue entender o</p><p>porquê de 3 desvios-padrões?). Assim, a sugestão de</p><p>tempo é de 147 minutos</p><p>após o ingresso desse paciente no laboratório onde fará o exame.</p><p>87WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 43:</p><p>A distribuição dos níveis de colesterol total em mulheres, entre 20 e 34 anos, segue</p><p>distribuição normal, com média de 186 miligramas por decilitro e o desvio-padrão de 35,8</p><p>miligramas por decilitro. Encontre a probabilidade de que uma mulher entre 20 e 34 anos seja</p><p>selecionada aleatoriamente e apresente a taxa de colesterol total entre 200 e 239 miligramas por</p><p>decilitro.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que miligramas por decilitro,</p><p>miligramas por decilitros e queremos determinar a probabilidade de, ao selecionar ao acaso</p><p>uma mulher entre 20 e 34 anos, que ela apresente taxa de colesterol total entre 200 e 239</p><p>miligramas por decilitro, . Inicialmente, calculamos os z-scores:</p><p>Geometricamente, a probabilidade de, ao selecionar ao acaso uma mulher entre 20 e 34 anos</p><p>e ela apresentar taxa de colesterol total entre 200 e 239 miligramas por decilitro, corresponde</p><p>à região hachurada na Figura 27, isto é, a região compreendida entre as retas de z = 0,39 e z =</p><p>1,48.</p><p>Figura 27 – Região para cálculo de probabilidade. Fonte: Os autores.</p><p>Na tabela de z-score, encontramos que</p><p>e que Assim,</p><p>.</p><p>Portanto, a probabilidade de, ao selecionar ao acaso uma mulher entre 20 e 34 anos e a taxa de</p><p>colesterol total entre 200 e 239 miligramas por decilitro, é de 27,89%.</p><p>88WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 44:</p><p>Durante um período, registrou-se, em uma fábrica, a quantidade diária de óleo (Q), em</p><p>litros, consumida para a produção de um produto. Concluiu-se que a população formada por</p><p>essas quantidades é normalmente distribuída com média igual a 50 litros por dia. Sabe-se que</p><p>5% dos valores dessas quantidades são inferiores a 41,8 litros, e 90% possuem um valor de, no</p><p>máximo, x litros. Determine o valor de x, em litros.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que litros, e 5% das quantidades são inferiores</p><p>a 41,8 litros. Esses 5% inferiores correspondem ao z-score de - 1,64 (busque esse resultado na</p><p>tabela de z-score no anexo). Assim, determinamos o desvio-padrão:</p><p>Agora, 90% dos valores possuem um máximo de x litros. Daí, z-score é 1,28 (busque por esse</p><p>valor na tabela de z-score no anexo):</p><p>Portanto, o valor de x é igual a 56,4 litros.</p><p>Exemplo 45:</p><p>Em um concurso público, serão chamados para contratação imediata 20% dos candi-</p><p>datos com as maiores notas. As notas seguem uma distribuição normal, com média 5,5 e des-</p><p>vio-padrão 3. Determine a nota mínima para que o candidato seja chamado para contratação</p><p>imediata.</p><p>Solução: depreende-se do enunciado que e . Note que, se 20% dos candidatos</p><p>com as maiores notas serão chamados de forma imediata, então, 80% não serão chamados de</p><p>forma imediata. Assim, na tabela de z-score, buscamos pelo valor de área mais próximo de</p><p>0,80. Isso corresponde a um valor de z-score próximo de 0,85 (confira esse resultado na tabela</p><p>de z-score que está anexa). Daí, se N denota a variável nota, temos que:</p><p>Portanto, a nota que o candidato necessita para ser chamado de imediato no concurso público</p><p>é igual a 8,0.</p><p>89WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Chegamos ao final da Unidade 2. Nela, estudamos o cálculo de probabilidade e suas</p><p>propriedades. Estudamos, também, algumas distribuições de probabilidade, duas delas discretas</p><p>e uma distribuição contínua, de muita importância: a distribuição normal. Agora, chegamos ao</p><p>fim da unidade e vamos dar início à próxima, na qual vamos discutir sobre a inferência estatística.</p><p>No século XX, diversas disciplinas científicas passaram, em maior ou menor grau,</p><p>pela revolução probabilística. Em vez de imaginar que os fenômenos estudados</p><p>seguem leis determinísticas, as ciências modernas partem da ideia de que eles</p><p>seguem distribuições probabilísticas. Há possibilidade de conhecermos o mundo,</p><p>mas nunca temos certeza sobre os resultados de nossas investigações. Essa</p><p>passagem de uma visão determinística do mundo, que caracterizou as ciências</p><p>até o século XIX, para uma visão probabilística, a partir do século XX, foi possível</p><p>graças aos avanços e revoluções ocorridos em uma disciplina: a Estatística.</p><p>No livro Uma Senhora Toma Chá, de David Salsburg, o autor conta as histórias</p><p>de como alguns cientistas criaram e desenvolveram as diversas facetas do</p><p>conhecimento estatístico. Além de ser interessante para o pesquisador que usa</p><p>estatística em seu trabalho, o livro é uma leitura agradável para qualquer pessoa</p><p>curiosa, que esteja interessada em conhecer melhor a história das ciências</p><p>modernas.</p><p>9090WWW.UNINGA.BR</p><p>U N I D A D E</p><p>03</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................91</p><p>1. TEORIA DA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS .......................................................................................................... 92</p><p>2. ESTIMATIVA POR INTERVALO .............................................................................................................................. 93</p><p>2.1 ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS DE CONFIANÇA DA MÉDIA ............................................................................. 93</p><p>2.2 ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS DE CONFIANÇA DA PROPORÇÃO POPULACIONAL ................................... 100</p><p>3. TESTE DE HIPÓTESE ..............................................................................................................................................103</p><p>3.1 CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESE PARA MÉDIA POPULACIONAL ..................................................104</p><p>3.2 CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESE PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL ...................................... 111</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 113</p><p>INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTE</p><p>DE HIPÓTESE</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE</p><p>PROFA. MA. MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA</p><p>PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA</p><p>91WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Nesta unidade, estamos interessados em estimar um parâmetro de uma população por</p><p>meio de uma amostra. Por exemplo, suponha que estejamos interessados em determinar a altura</p><p>média das mulheres no Brasil. Como não é possível medir a altura de uma a uma das mulheres,</p><p>faz-se necessário retirar uma amostra dessa população, em que a retirada dessa amostra deve</p><p>seguir critérios estatísticos. Obtida a mostra, determina-se a altura média das mulheres. Porém,</p><p>esse valor obtido não representa exatamente a altura média da população e, por isso, além dessa</p><p>informação, é necessário calcular uma margem de erro para mais ou para menos em relação a esse</p><p>valor. A obtenção dessa margem de erro nos permite determinar um intervalo de confiança em</p><p>torno da média amostral, com determinado nível de significância, e isso nos possibilita afirmar</p><p>que a média populacional pertence a esse intervalo. E através desse intervalo, podemos inferir</p><p>sobre a altura média das mulheres no Brasil. No que segue, ao longo desta unidade, abordaremos</p><p>como calcular a margem de erro e determinar o intervalo de confiança. Estudaremos, também, o</p><p>Teste de Hipóteses, que é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com</p><p>base nos elementos da amostra e determinar se amostras observadas diferem significativamente</p><p>dos resultados esperados.</p><p>92WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1. TEORIA DA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS</p><p>Em diversas situações, estamos interessados em obter informações</p><p>espécie na população siga distribuição normal, determine a amplitude do inter-</p><p>valo de confiança de 90% de nível de significância.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Passo 1: segue do enunciado que , e, ainda, a altura dessas mudas</p><p>segue distribuição normal (condições do passo 1 são verificadas).</p><p>Passo 2: determinar o valor crítico .</p><p>Um nível de confiança de 90% corresponde a ou</p><p>A Figura 3 mostra que a área em cada cauda é Recorrendo à tabela z-score, do</p><p>anexo 2, encontramos (esse valor é obtido pelo método de interpolação).</p><p>Figura 3 – Construção do intervalo de confiança com 90% de nível de confiança. Fonte: Os autores.</p><p>Passo 3: cálculo da margem de erro. Novamente, para o cálculo da margem de erro, sempre</p><p>consideraremos o valor de positivo. Assim,</p><p>Passo 4: determinar os limites do intervalo de confiança.</p><p>Assim, com 90% de confiança, pode-se dizer que a média das alturas das mudas nativas do</p><p>Pantanal está entre 14,93 e 15,07 cm. Portanto, com 90% de confiança, a amplitude do intervalo</p><p>de confiança para a média é .</p><p>97WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 3:</p><p>Uma universidade deseja estimar o escore de QI médio para a população de estudantes</p><p>de Engenharia. Quantos estudantes de Engenharia devem ser selecionados aleatoriamente para</p><p>teste de QI se desejamos estar 95% confiantes de que a média amostral estará a menos de três</p><p>pontos de QI da média populacional? Assuma que o desvio-padrão populacional seja igual a</p><p>15.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Para um intervalo de confiança de 95%, temos de modo que e</p><p>(consulte a tabela do anexo 2). Como o enunciado pede que a média amostral</p><p>esteja a menos de três pontos de QI da média populacional ( ), a margem de erro é E = 3.</p><p>Temos, ainda, que .</p><p>Assim, a equação pode ser reescrita como . Substituindo os valores,</p><p>segue que:</p><p>Logo, é necessária uma amostra aleatória simples de, pelo menos, 97 alunos de Medicina</p><p>Veterinária e, com essa amostra de 97 alunos, teremos 95% de confiança de que a média</p><p>amostral estará a menos de 3 pontos de QI da verdadeira média populacional .</p><p>Até o momento, apresentamos o roteiro 1, que é utilizado quando o desvio-padrão</p><p>populacional é conhecido e aplicamos esse roteiro em três exemplos.</p><p>No que segue, abordaremos o roteiro 2, que é utilizado quando o desvio-padrão, (ou a</p><p>variância, ) é desconhecido e, nesse caso, faremos uso da distribuição t de Student, disponível</p><p>no Anexo 3, em vez da distribuição Normal. Essa distribuição foi desenvolvida por Willian Gosset,</p><p>o qual era empregado de uma cervejaria irlandesa e precisava de uma distribuição que pudesse</p><p>ser empregada para pequenas amostras. Proibido de publicar os resultados de suas pesquisas,</p><p>Gosset usou o pseudônimo de Student e publicou os resultados de sua pesquisa.</p><p>Se uma população tem distribuição normal, então, a distribuição de:</p><p>é uma distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n.</p><p>• Determinação do intervalo de confiança para a média populacional quando o desvio-</p><p>padrão, (ou a variância, ) é desconhecido.</p><p>✓ Objetivo:</p><p>Construir um intervalo de confiança que contenha a média populacional, ou seja, obter</p><p>um intervalo do tipo em que E é a margem de erro.</p><p>✓ Requisitos:</p><p>i) A amostra é aleatória simples;</p><p>ii) A população segue distribuição normal.</p><p>98WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 2 – Roteiro 2: Determinação do intervalo de confiança para a média populacional</p><p>quando o desvio-padrão, (ou a variância, ) é desconhecido.</p><p>Passo 1 Verifique se os requisitos anteriormente citados são satisfeitos.</p><p>Passo 2</p><p>Usando (n-1) graus de liberdade, recorremos à tabela do anexo 3 para deter-</p><p>minar</p><p>Passo 3</p><p>Calcular a margem de erro:</p><p>Passo 4 Com os valores da margem de erro (E) e da média amostral, , determine os</p><p>limites superior e inferior do intervalo de confiança: e .</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Exemplo 4:</p><p>A concentração de um poluente em uma refinaria segue distribuição normal. Uma</p><p>amostra, de tamanho 51, apresentou média igual a 80,0 ppb e desvio-padrão igual a 10,0 ppb.</p><p>Determine o intervalo de confiança, com 95% de confiança, que contenha a média da popula-</p><p>ção da concentração desse poluente.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Passo 1: segue do enunciado que , , e, ainda, a variável</p><p>estudada segue distribuição normal (condições do passo 1 são verificadas).</p><p>Passo 2: determinar o valor</p><p>Um nível de confiança de 95% corresponde a (para as duas caudas, ou seja, 0,025 em</p><p>cada). O número de graus de liberdade é . Recorrendo à tabela do anexo 3,</p><p>encontramos</p><p>Passo 3: cálculo da margem de erro.</p><p>Passo 4: determinar os limites do intervalo de confiança.</p><p>Portanto, com 95% de confiança, o intervalo de confiança para a média é .</p><p>Esse resultado pode ser expresso no formato ppb.</p><p>99WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Apresentamos duas abordagens para o desenvolvimento de uma estimativa intervalar de</p><p>uma média populacional. Para o caso de conhecido, e a distribuição normal padrão são</p><p>utilizados para calcular a margem de erro e desenvolver a estimativa intervalar. Para o caso de</p><p>desconhecido, o desvio padrão amostral s e a distribuição t são utilizados para calcular a margem</p><p>de erro e desenvolver a estimativa intervalar. Um resumo dos procedimentos de estimação</p><p>intervalar referente aos dois casos é apresentado na figura a seguir.</p><p>Figura 4 – resumo dos procedimentos para determinação do intervalo de confiança para uma média populacional.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Algumas propriedades importantes da distribuição t de Student:</p><p>A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica em sino que a</p><p>distribuição normal padrão, mas reflete a maior variabilidade que se espera com</p><p>pequenas amostras.</p><p>A distribuição t de Student é diferente para tamanhos de amostra diferentes.</p><p>A distribuição t de Student tem uma média de t = 0.</p><p>À medida que o tamanho amostral se torna maior, a distribuição t de Student se</p><p>aproxima da distribuição normal padrão.</p><p>O desvio-padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral, mas</p><p>é maior que 1.</p><p>100WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.2 Estimação por Intervalos de Confiança da Proporção Populacional</p><p>Nesta secção, estamos interessados em determinar proporções populacionais. Por</p><p>exemplo, considere a seguinte situação: um candidato a diretor de uma empresa decidiu realizar</p><p>uma pesquisa de intenções de votos com os funcionários desta e constatou que 70% dos 250</p><p>funcionários selecionados votariam nele. Assim, a proporção amostral, é um</p><p>estimador pontual da proporção p populacional. Uma vez que não se pode esperar que esse</p><p>estimador pontual produza o valor exato da proporção populacional, uma estimativa intervalar</p><p>se faz necessária. A forma geral de uma estimativa intervalar para a proporção populacional é a</p><p>seguinte:</p><p>Na sequência, enunciaremos um roteiro necessário para a determinação da margem de</p><p>erro, bem como a obtenção do intervalo de confiança para a proporção populacional.</p><p>• Condições para a estimação do intervalo de confiança quando uma proporção é conhecida.</p><p>✓ Objetivo:</p><p>Construir um intervalo de confiança para se estimar uma proporção populacional.</p><p>✓ Requisitos:</p><p>i) A amostra é aleatória simples;</p><p>ii) A população segue distribuição binomial (aquela em que há duas categorias de</p><p>resultados);</p><p>iii) As proporções de “sucesso” e “fracasso” são conhecidas.</p><p>Tabela 3 – Roteiro: determinação do intervalo de confiança para a média populacional</p><p>quando uma proporção é conhecida.</p><p>Passo 1 Verifique se os requisitos anteriormente citados são satisfeitos.</p><p>Passo 2 Use a tabela do anexo 2 para determinar</p><p>Passo 3</p><p>Calcular a margem de erro:</p><p>Passo 4 Com os valores da margem de erro (E) e da proporção amostral, , determine os</p><p>limites superior e inferior do intervalo de confiança: e .</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>101WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>elementos da amostra. A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente</p><p>(da direita para a esquerda ou vice-versa), verticalmente (de cima para baixo ou vice-versa),</p><p>diagonalmente (no sentido ascendente ou descendente) ou formando o desenho de uma letra</p><p>qualquer. A opção, porém, deve ser feita antes de iniciado o processo.</p><p>O documentário O Prazer da Estatística – The Joy of Statistics leva os espectadores</p><p>a uma viagem através do maravilhoso mundo da estatística para explorar o notável</p><p>poder que esse mundo tem de mudar a nossa compreensão da realidade.</p><p>O documentário é apresentado pelo Professor Hans Rosling, cuja visão aberta,</p><p>de expansão da mente, e engraçadas palestras on-line têm feito</p><p>dele uma lenda internacional da Internet. Rosling é um homem que</p><p>se deleita no glorioso mundo das estatísticas e, aqui, ele explora</p><p>sua história, como elas funcionam matematicamente e como elas</p><p>podem ser usadas atualmente no computador para ver o mundo</p><p>como ele realmente é, e não apenas como o imaginamos ser.</p><p>O documentário está disponível em http://www.youtube.com/</p><p>watch?v=xLr68J2yDJ8.</p><p>7WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 1:</p><p>Dos 30 funcionários de uma empresa, 20% serão escolhidos para realizar exames de</p><p>rotina. Como 20% de 30 é igual a 6, significa que dos 30 funcionários, 6 deverão fazer o exame.</p><p>Assim, para realizar a escolha desses funcionários, eles são enumerados de 1 a 30 e, em seguida,</p><p>escrevemos esses números em papéis de mesmo tamanho, colocando-os dentro de uma caixa.</p><p>Agitamos e retiramos, um a um, sem reposição. Os seis números formarão a amostra.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Deseja-se obter uma amostra que corresponda a 10% da população, para a pesquisa</p><p>da estatura de noventa alunos de uma escola. Para isso, sorteia-se um número aleatório e, a</p><p>partir dele, da esquerda para a direita, por exemplo, iremos contar nove elementos (10% de</p><p>90), com dois dígitos cada, pois o maior valor da população possui dois dígitos, na Tabela</p><p>de Números Aleatórios. Supondo que o número sorteado seja o 53 e escolhendo a 11ª linha,</p><p>temos os seguintes elementos:</p><p>53 08 58 96 63 05 61 25 70</p><p>Como o número 96 excede o valor máximo da população, esse valor deverá ser des-</p><p>prezado e consideraremos o 11º elemento da linha.</p><p>Logo, a amostra é dada por: 53 08 58 63 05 61 25 70 22.</p><p>Figura 1 – Tabela de Números Aleatórios. Fonte: Crespo (2009).</p><p>8WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>ii) Amostragem estratificada – essa técnica é utilizada quando temos a população</p><p>subdividida em grupos, que são chamados de estratos. Nesse caso, é necessário considerar</p><p>elementos de cada estrato para que a amostra da população seja representativa.</p><p>Exemplo 3:</p><p>Considere que, dos 90 alunos do exemplo 2, 33 sejam meninos e 57 sejam meninas.</p><p>Temos, nesse caso, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos escolher 10%</p><p>do total de 90.</p><p>SOLUÇÃO: devemos considerar 10% de cada estrato, ou seja, 10% do estrato “sexo masculino”</p><p>e 10% do estrato “sexo feminino”. Assim,</p><p>10% de 33 = 3,3 e 10% de 57 = 5,7.</p><p>Como esses valores referem-se a pessoas, consideraremos 3 alunos do sexo masculino</p><p>e 6 alunos do sexo feminino, totalizando os 9 alunos que correspondem aos 10% da população.</p><p>Na sequência, escolhemos 3 meninos dentre os 33 e 6 meninas dentre as 57. Pode-</p><p>mos enumerar esses alunos de 1 a 90, sendo que os enumerados de 1 até 33 correspondem</p><p>aos alunos do sexo masculino, e os enumerados de 34 até 90 correspondem as alunas do sexo</p><p>feminino. Daí, procede-se a um sorteio. Ou, então, usa-se a tabela de números aleatórios para</p><p>proceder ao sorteio, até que 3 alunos e 6 alunas sejam selecionados.</p><p>iii) Amostragem sistemática – nessa técnica de amostragem, os elementos da população</p><p>que participam da amostra são determinados por intervalos fixos, e não se utiliza a tabela de</p><p>números aleatórios.</p><p>Por exemplo, no caso da população dos 90 alunos do exemplo 2, para obtermos 9 amostras</p><p>sistemáticas, podemos escolher os números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 e 27.</p><p>1.3 Tipos de Gráficos e Séries Estatísticas</p><p>Após a coleta e análise de dados, podemos dispô-los em uma tabela. Uma tabela é um</p><p>quadro que resume um conjunto de observações ou informações, em que algumas normas devem</p><p>ser seguidas:</p><p>a. Toda tabela deve conter Título e Fonte. Título: é a indicação que precede a tabela e que</p><p>contém a designação do fato observado, o local e a época em que foi registrado. Fonte: é</p><p>a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração.</p><p>b. Cabeçalho: evidencia o conteúdo das colunas e fica na parte superior da tabela. Coluna</p><p>indicadora: mostra o conteúdo das linhas.</p><p>c. Cada cruzamento entre linha e coluna é denominado célula ou casa.</p><p>d. Rodapé: espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela, em que são colocadas as</p><p>notas de natureza informativa (fonte, notas e chamadas).</p><p>e. Nenhuma célula (casa) deve ficar em branco.</p><p>f. Hífen (-), indica que o valor numérico é nulo.</p><p>g. Reticência (...), indica que não se dispõe do dado.</p><p>9WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>h. Interrogação (?), indica dúvida quanto a exatidão do valor numérico.</p><p>i. Zeros (0; 0,0; 0,00), indica valor muito pequeno em relação a unidade utilizada.</p><p>j. A tabela não é fechada lateralmente por traços verticais.</p><p>k. Não há obrigatoriedade de linha vertical entre as colunas, mas deve ser usada quando a</p><p>tabela apresenta muita informação (muitas colunas e/ou muitas linhas).</p><p>Exemplo 4:</p><p>A seguir, ilustramos os elementos que compõe uma tabela.</p><p>Figura 2 – Elementos que compõe uma tabela. Fonte: Tabelas e Séries Estatísticas (2024).</p><p>1.3.1 Séries estatísticas</p><p>Uma série estatística se trata de toda tabela que apresenta distribuição de um conjunto de</p><p>dados em função da época, do local ou da espécie.</p><p>Série temporal ou cronológica: é a série cujos dados estão dispostos em correspondência</p><p>com o tempo, ou seja, varia o tempo e permanecem constantes o fato e o local.</p><p>Exemplo 5:</p><p>Exemplo de série temporal.</p><p>10WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Série geográfica ou territorial: é a série cujos dados estão dispostos em correspondência</p><p>com o local, ou seja, varia o local e permanecem constantes a época e o fato.</p><p>Exemplo 6:</p><p>Exemplo de série geográfica.</p><p>Série específica ou qualitativa: é a série cujos dados estão dispostos em correspondência</p><p>com a espécie ou qualidade, ou seja, varia o fato e permanecem constantes a época e o local.</p><p>Exemplo 7</p><p>Exemplo de série específica.</p><p>Um gráfico estatístico é uma maneira de apresentação dos dados, que tem como objetivo</p><p>produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno estudado, uma vez que os gráficos</p><p>falam mais rapidamente à compreensão da série. Os gráficos devem ser simples, claros e devem</p><p>expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. A seguir, apresentaremos os principais tipos de</p><p>gráficos estatísticos.</p><p>Gráfico de colunas: é construído no plano cartesiano. No eixo horizontal, são construídas</p><p>as colunas que representam a variação (medidas ou quantidades numéricas) dos dados na</p><p>pesquisa realizada. O fluxo de informações, representado por um valor numérico, é indicado pelo</p><p>eixo vertical. As colunas devem sempre possuir a mesma largura, e a distância entre elas deve ser</p><p>constante. Também podemos representar duas ou mais categorias de informações.</p><p>11WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 3 – Ilustração dos elementos do gráfico de colunas. Fonte: IBGE Educa (2024).</p><p>Exemplo 8:</p><p>Exemplo de um gráfico de colunas.</p><p>Figura 4 – Exemplo de um gráfico de colunas. Fonte: IBGE (2018).</p><p>12WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 9:</p><p>Exemplo de um gráfico de colunas com</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 5:</p><p>Uma pesquisa constatou que 80%, dos 4030 adultos selecionados aleatoriamente na</p><p>cidade de Maringá, acreditavam no aquecimento global. Com base nessas informações, resolva</p><p>os itens a seguir:</p><p>a) Ache o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional p.</p><p>b) Supondo que você seja um repórter de um jornal, escreva uma breve afirmativa que descre-</p><p>va, com precisão, os resultados e que inclua todas as informações relevantes.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>a) Passo 1: segue do enunciado que .</p><p>Passo 2: determinar o valor crítico .</p><p>Um nível de confiança de 95% corresponde a ou Recor-</p><p>rendo à tabela do Anexo 2, encontramos</p><p>Passo 3: cálculo da margem de erro.</p><p>Passo 4: determinar os limites do intervalo de confiança.</p><p>Portanto, com 95% de confiança, o intervalo de confiança para a proporção é</p><p>.</p><p>b) Eis uma afirmativa que resume os resultados: 80% dos adultos de Maringá acreditam que a</p><p>Terra esteja se tornando mais quente. Essa porcentagem se baseia em uma pesquisa de opinião</p><p>realizada com 4030 adultos selecionados aleatoriamente. Essa porcentagem deve diferir por</p><p>não mais que 1,24 pontos percentuais, para mais ou para menos.</p><p>102WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 6:</p><p>Para se estimar a porcentagem de alunos do curso de Engenharia Civil, do Centro</p><p>Universitário Ingá – UNINGÁ, favoráveis à modificação do currículo escolar, tomou-se uma</p><p>amostra de 100 alunos, dos quais 70 foram favoráveis à mudança.</p><p>a) Qual o erro da estimativa admitindo-se 96% de confiança?</p><p>b) Para a situação anterior, qual será o intervalo de confiança para a verdadeira porcentagem</p><p>de alunos favoráveis à mudança?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>a) Passo 1: segue do enunciado que .</p><p>Passo 2: determinar o valor crítico .</p><p>Um nível de confiança de 96% corresponde a ou</p><p>Recorrendo à tabela do Anexo 2, encontramos</p><p>Passo 3: cálculo da margem de erro.</p><p>Logo, o erro da estimativa, admitindo-se 96% de confiança, é de 0,094 = 9,4%.</p><p>b) Passo 4: determinar os limites do intervalo de confiança.</p><p>Portanto, com 96% de confiança, o intervalo de confiança para a</p><p>proporção é .</p><p>Nunca aceite os resultados de uma pesquisa ou de um estudo científico sem a</p><p>margem de erro, pois ela é a única maneira que você possui para medir o quanto</p><p>a estatística amostral realmente reflete os parâmetros da população nos quais</p><p>você está interessado. Os resultados amostrais variam, e, caso uma amostra</p><p>diferente tenha sido selecionada, podemos obter um resultado amostral diferente;</p><p>a margem de erro mede essa diferença.</p><p>103WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3. TESTE DE HIPÓTESE</p><p>Muitas vezes, é necessário tomar decisões sobre populações com base em suas informações</p><p>amostrais (decisões estatísticas), com isso, nas tomadas de decisões, é útil formular hipóteses ou</p><p>suposições sobre as populações em questão. Tais hipóteses, que podem ser verdadeiras ou não,</p><p>denominam-se hipóteses estatísticas e, em geral, consistem de afirmações sobre as distribuições de</p><p>probabilidade das populações, por exemplo:</p><p>A proporção de paranaenses com a doença A é 30% (p = 0,30);</p><p>A idade dos alunos da Uningá tem uma distribuição normal?</p><p>Para os alunos do sexo masculino da Uningá a cor dos cabelos independe da cor dos</p><p>olhos?</p><p>TESTE DE HIPÓTESE: é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese</p><p>estatística com base nos elementos da amostra e determinar se amostras observadas diferem</p><p>significativamente dos resultados esperados.</p><p>Os Testes de Hipóteses podem ser de dois tipos:</p><p>✓ Não Paramétricos: quando formulamos hipóteses com respeito à natureza da distribuição</p><p>da população. Estes testes não dependem dos parâmetros populacionais, nem de suas</p><p>respectivas estimativas (item c dos exemplos anteriores).</p><p>✓ Paramétricos: quando formulamos hipóteses com respeito ao valor de um parâmetro</p><p>populacional (itens a e b dos exemplos anteriores).</p><p>Nesta secção, vamos tratar somente dos testes paramétricos, pois se referem às hipóteses</p><p>sobre parâmetros populacionais, isto é, feita uma determinada afirmação (ou suposição) sobre o</p><p>parâmetro de uma população, desejamos inferir se os resultados de uma amostra desta população</p><p>contrariam ou não tal afirmação.</p><p>O teste de hipótese representa uma regra de decisão que permite aceitar ou rejeitar uma</p><p>hipótese formulada. Têm-se, então, as duas seguintes hipóteses iniciais:</p><p>Hipótese nula (H0): é aquela que será testada; admite-se aqui que a diferença observada</p><p>entre estatística amostral (estimador) e o parâmetro populacional é devida apenas ao acaso (efeito</p><p>da amostra), ou seja, essa diferença não é significativa.</p><p>Hipótese alternativa (H1): é qualquer hipótese diferente da hipótese nula, isto é, é aquela</p><p>que será citada caso o teste indique que H0 deva ser rejeitada; aceitando essa hipótese, conclui-se</p><p>que a diferença citada é significativa.</p><p>As hipóteses estatísticas para o parâmetro θ (média (µ) e proporção (p), por exemplo),</p><p>podem ser formuladas como segue:</p><p>Tabela 4 – Possíveis formulações matemáticas para um teste de hipótese.</p><p>Teste bilateral Teste unilateral à direita Teste unilateral à esquerda</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>A expressão “hipótese nula” foi introduzida por Ronald Fisher. Se a afirmação na</p><p>hipótese nula não for verdadeira, então, a hipótese alternativa deve ser verdadeira.</p><p>104WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O objetivo de se testar uma hipótese nula é tomar uma decisão, se possível correta.</p><p>Devemos aceitar ou rejeitar H0, que é a hipótese usada como referência. Suponhamos que</p><p>exista essa hipótese, a qual será considerada válida até prova em contrário, referente a um dado</p><p>parâmetro da população. Essa hipótese será testada com base em resultados amostrais, podendo</p><p>ser aceita ou rejeitada.</p><p>Para melhor entendermos a regra de decisão adotada, é interessante estudarmos os</p><p>tipos de erros que podemos cometer e as respectivas probabilidades de cometermos esses erros.</p><p>Podemos cometer dois tipos de erros, ou seja:</p><p>Erro Tipo I – ou de primeira espécie, constitui-se em rejeitar H0, quando H0 é verdadeiro.</p><p>α = P (cometer erro tipo I) = P (rejeitar H0 H0 é verdadeiro)</p><p>A probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou seja, de se rejeitar a hipótese H0 quando</p><p>ela é verdadeira, é denominada de nível de significância do teste. Geralmente, adota-se o nível</p><p>de 5%, ou seja, , porém, dependendo das exigências do pesquisador, podem-se adotar</p><p>1%, 10% ou outros valores.</p><p>Erro Tipo II ou de segunda espécie, constitui-se em aceitar H0, quando H0 é falso. A</p><p>probabilidade de cometer esse erro será simbolizada por β.</p><p>β = P (cometer erro Tipo II) = P (aceitar H0 H0 é falso)</p><p>Esquematicamente, a tabela a seguir mostra as diversas situações que podem ocorrer</p><p>num teste de hipótese:</p><p>Tabela 5 – Situações que podem ocorrer num teste de hipótese.</p><p>DECISÃO</p><p>(Teste)</p><p>REALIDADE</p><p>H0 é verdadeira H0 é falsa</p><p>Aceitar H0 Decisão correta Erro tipo II</p><p>Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>3.1 Construção de um Teste de Hipótese para Média Populacional</p><p>Na sequência, explicamos o roteiro, dividido em 4 etapas, para construção do teste de</p><p>hipótese para média populacional com desvio-padrão conhecido e desconhecido.</p><p>Etapa 1: formulação das hipóteses (uma das opções da Tabela 4).</p><p>O teste é feito com base em uma amostra, e como essa amostra vai nos trazer informações</p><p>sobre a população, e não o seu comportamento exato, na verdade, o que se quer testar é se há,</p><p>ou não, uma diferença estatisticamente significativa entre a informação , que a amostra traz</p><p>sobre a média da população, e o verdadeiro valor ( ) dessa média, para que a hipótese nula,</p><p>H0, possa ser rejeitada ou não. Assim, o critério de decisão consiste em não rejeitar a hipótese</p><p>H0 se forem estatisticamente não significativas essas diferenças ( ), bem como rejeitar</p><p>H0</p><p>se essas diferenças forem estatisticamente significativas. Para medir essas diferenças, usamos a</p><p>estatística do teste obtida da distribuição de , que é o estimador de .</p><p>105WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>(i) Quando o desvio-padrão populacional, , é conhecido: pelo teorema do limite central,</p><p>sabemos que ~ N( , 2/n) para qualquer tamanho de amostra n se a população tiver distribuição</p><p>normal, e, para n suficientemente grande, (n 30) se a população não tiver distribuição normal.</p><p>Nessas condições, a estatística do teste é:</p><p>(ii) Quando o desvio-padrão populacional, , não é conhecido: se o desvio-padrão</p><p>populacional for desconhecido e, supondo população com distribuição normal, a estatística</p><p>do teste é:</p><p>Em um teste estatístico, admitimos sempre que H0 é verdadeiro e, a partir daí,</p><p>desenvolvemos o critério de decisão para rejeitar ou não tal hipótese. Assim, sob H0 e com as</p><p>informações obtidas na amostra, o valor da estatística do teste é dado por:</p><p>ou</p><p>Etapa 3: região crítica (RC) ou região de rejeição.</p><p>A decisão de rejeitar ou não H0, ou seja, decidir se a diferença ( ) é ou não</p><p>significativa, é tomada com base na região crítica RC (ou região de rejeição de H0), que é</p><p>construída de modo que P( RC/H0 é verdadeira) = , em que é o nível de significância</p><p>do teste. A construção da RC depende também do tipo de teste que estamos realizando e está</p><p>relacionada à hipótese definida na etapa 1. A Figura 5 apresenta as regiões críticas (que são as</p><p>áreas hachuradas) para cada tipo de teste. Os valores de ±E e ±E /2 são obtidos das tabelas</p><p>das distribuições de probabilidade da estatística do teste, que podem ser Z ou t para o nível de</p><p>significância considerado.</p><p>Figura 5 – Regiões críticas para teste de hipótese: (A) unilateral à esquerda, (B) bilateral, (C) unilateral à direita.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: tomada de decisão.</p><p>Se o valor da estatística do teste zcalculado ou tcalculado pertencer à região crítica RC, rejeitamos</p><p>a hipótese H0 ao nível de significância. Caso contrário, não podemos rejeitá-la.</p><p>106WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 7:</p><p>A linha de produção de um medicamento veterinário está calibrada para colocar</p><p>160 mL ± 8 mL por frasco de uma dada vacina. Valores acima ou abaixo dessa média são</p><p>considerados críticos, e a linha de produção deve ser suspensa se qualquer um dos dois ocorrer.</p><p>O engenheiro do controle de qualidade retira 30 amostras a cada 2 horas e precisa tomar a</p><p>decisão de parar, ou não, a linha de produção para calibragem. Se a média amostral for de</p><p>158,20 mL, o que o engenheiro deveria recomendar aos responsáveis pela área de produção, ao</p><p>nível de significância de 5%?</p><p>Solução: segue do enunciado que temos 30 amostras e o desvio-padrão é conhecido. Vamos</p><p>aplicar as quatro etapas.</p><p>Etapa 1: escrever a formulação das hipóteses.</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>Temos as seguintes informações: , n = 30, e Vamos assumir</p><p>distribuição normal e calcular o valor de Z:</p><p>Etapa 3: esboço da região crítica.</p><p>O teste é bilateral (veja a tabela 4). Assim, fazemos o esboço da região crítica. Primeiramente,</p><p>buscamos os valores de Z (no anexo 2) para marcar os extremos do intervalo da região crítica.</p><p>Observe as Figuras 6 e 7.</p><p>Figura 6 – Determinação dos extremos do intervalo da região crítica. Fonte: Os autores.</p><p>107WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 7 – Esboço da região crítica e localização do valor de nessa região.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: decisão.</p><p>Como o valor de está fora da região crítica, pode-se afirmar, com 95% de</p><p>certeza, que não será necessário parar a linha de produção para calibração.</p><p>Exemplo 8:</p><p>Suponhamos que os cientistas tenham estabelecido que se os cigarros contêm em mé-</p><p>dia 30 miligramas ou mais de nicotina, existe a certeza de se produzir câncer no pulmão. Um</p><p>fumante está disposto a se arriscar se a média de nicotina for menor que 30 miligramas. En-</p><p>saios sobre 100 cigarros da marca A mostraram uma média de 26 miligramas de nicotina. Se σ</p><p>= 8 miligramas e considerando um nível de significância de 2%, qual a decisão que o fumante</p><p>deve tomar?</p><p>SOLUÇÃO: Como µ = 30, n = 100, 26x = , σ = 8 e α = 2%, tem-se:</p><p>Etapa 1: formular as hipóteses.</p><p>Consideraremos:</p><p>H0: O conteúdo médio de nicotina nos cigarros é de 30 miligramas e o fumante não se arrisca</p><p>a fumar.</p><p>H1: O conteúdo médio de nicotina nos cigarros é significativamente inferior a 30 miligramas e</p><p>o fumante se arrisca a fumar.</p><p>Assim, utilizando o teste unilateral à esquerda (Tabela 4), formulamos as hipóteses:</p><p>H</p><p>H</p><p>0</p><p>1</p><p>30</p><p>30</p><p>:</p><p>:</p><p>µ</p><p>µ</p><p>=</p><p><</p><p></p><p></p><p></p><p>108WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>Uma vez que σ é conhecido, a estatística do teste é:</p><p>Etapa 3: esboço da região crítica.</p><p>Como vimos na etapa 4, o teste é unilateral à esquerda e α = 2% = 0,02. Da tabela Z, obtemos</p><p>. Assim:</p><p>Figura 8 – Teste unilateral a esquerda. Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: decisão.</p><p>Como , isto é, - 5 < - 2,05, rejeita-se H0 ao nível de significância de 2%, ou seja,</p><p>com 98% de confiança, há evidências de que o conteúdo médio de nicotina nos cigarros seja</p><p>inferior a 30 miligramas. Portanto, o fumante se arrisca a fumar.</p><p>Exemplo 9:</p><p>Um fornecedor de equipamentos de ultrassom disse que o preço médio desse</p><p>equipamento em seu catálogo é de R$ 23.900,00. Você suspeita que essa afirmação seja</p><p>incorreta e descobre que uma amostra aleatória, normalmente distribuída, de 14 equipamentos</p><p>de ultrassom tenha preço médio de R$ 23.000,00 e desvio-padrão amostral de R$ 1.113,00. Há</p><p>evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor com nível de significância de</p><p>5%?</p><p>SOLUÇÃO: Temos n = 14 amostras e o desvio-padrão amostral é conhecido. Por isso, vamos</p><p>usar o teste t e aplicar as quatro etapas.</p><p>Etapa 1: escrever a formulação das hipóteses.</p><p>109WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>Temos as seguintes informações: , n = 14, e</p><p>Vamos assumir distribuição normal e calcular o valor de t:</p><p>Etapa 3: esboço da região crítica.</p><p>O teste é unilateral à esquerda (compare a formulação das hipóteses com a Tabela 4 para</p><p>confirmação). Assim, fazemos o esboço da região crítica. Primeiramente, buscamos os valores</p><p>de t (no anexo 3) para marcar os extremos do intervalo da região crítica. Observe que temos</p><p>13 graus de liberdade (n - 1 = 14 - 1 = 13) e (área em uma calda, pois o teste é</p><p>unilateral à esquerda) e analise as Figuras 9 e 10.</p><p>Figura 9 – Determinação do extremo do intervalo da região crítica. Fonte: Os autores.</p><p>Figura 10 – Esboço da região crítica e localização do valor de nessa região. Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: decisão.</p><p>Note que o valor de está dentro da região crítica, e rejeitamos a hipótese</p><p>nula. Portanto, pode-se afirmar, com 95% de certeza, que a média do preço do equipamento de</p><p>ultrassom seja inferior a R$ 23.900,00.</p><p>110WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 10:</p><p>Deseja-se investigar se certa moléstia que ataca o rim altera o consumo de oxigênio</p><p>desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição normal com</p><p>média 12 cm3/min. Os valores medidos em cinco pacientes com a moléstia foram: 14,4; 12,9;</p><p>15,0; 13,7 e 13,5. Qual seria a conclusão, ao nível de 1% de significância?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Etapa 1: formular as hipóteses.</p><p>Consideraremos:</p><p>H0: A moléstia não altera a média de consumo renal de oxigênio.</p><p>H1: Indivíduos portadores da moléstia têm média alterada.</p><p>Assim, utilizando o teste bilateral (Tabela 1), formulamos as hipóteses:</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>Uma vez que σ é desconhecido, a estatística do teste é o . Como foram dados</p><p>os valores de cada elemento da amostra, precisaremos calcular a média amostral e o desvio</p><p>padrão amostral, s. Lembrando da Unidade 1, os cálculos de e s são dados a seguir:</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>Etapa 3: esboço da região crítica.</p><p>O teste é bilateral, os graus de liberdade são dados por gl = n -1 = 5 - 1 = 4 e sendo α =</p><p>0,01 (área em duas caldas), da tabela t, obtemos tα = 4,60.</p><p>Assim:</p><p>Figura 11 – Teste bilateral. Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: decisão.</p><p>Como e , segue que e, com isso, rejeita-se H0</p><p>ao nível de significância de 1%, ou seja, com 99% de confiança, há evidências amostrais de que</p><p>a moléstia tem influência no consumo renal médio de oxigênio.</p><p>111WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.2 Construção de um Teste de Hipótese para Proporção Populacional</p><p>Já sabemos do estudo de intervalo de confiança para a proporção populacional, que</p><p>p representa a proporção populacional e representa a proporção amostral. Temos que se</p><p>, podemos aproximar a distribuição amostral de pela distribuição normal, ou</p><p>seja, . Com isso, podemos aplicar o Teste de hipótese para a proporção</p><p>populacional de forma semelhante aos testes para média.</p><p>Etapa 1: formulação das hipóteses idem à Tabela 4.</p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>O valor da estatística do teste será dado por:</p><p>Etapa 3: região crítica ou região de rejeição.</p><p>Corresponde às áreas hachuradas da Figura 5 para cada tipo de teste, como proposto na</p><p>Tabela 4.</p><p>Etapa 4: tomada de decisão.</p><p>Se o valor da estatística do teste pertencer à região crítica RC, rejeitamos a</p><p>hipótese H0 ao nível de significância. Caso contrário, não podemos rejeitá-la.</p><p>Como fazer uso da tabela t de Student?</p><p>O vídeo a seguir, do canal Salvando o Semestre, nos ensina a fazer</p><p>uso da tabela t de Student. Disponível em: https://www.youtube.</p><p>com/watch?v=xP6XZabCSgs.</p><p>112WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 11:</p><p>Um cientista, consumidor de certas provetas, acusou o fabricante, dizendo que mais</p><p>de 20% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou</p><p>uma amostra de tamanho 50, onde 30% das peças eram defeituosas. Mostre como o fabricante</p><p>poderia refutar a acusação. Utilize um nível de significância de 10%.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Etapa 1: escrever a formulação das hipóteses.</p><p>Consideraremos:</p><p>H0: A proporção das unidades fabricadas que apresentam defeito é de 20%.</p><p>H1: A proporção das unidades fabricadas que apresentam defeito é significativamente superior</p><p>a 20%.</p><p>Assim, usando, novamente, a tabela 4, temos o teste unilateral à direita, dado por:</p><p>H : 0,20</p><p>H : 0,20</p><p>0</p><p>1</p><p>p</p><p>p</p><p>=</p><p>></p><p></p><p></p><p></p><p>Etapa 2: escolha da estatística do teste.</p><p>Segue do enunciado que</p><p>. A estatística do teste é:</p><p>Etapa 3: esboço da região crítica</p><p>O Teste é unilateral à direita e sendo α = 0,10, da tabela obtemos . Assim:</p><p>Figura 12 – Teste unilateral à direita. Fonte: Os autores.</p><p>Etapa 4: decisão.</p><p>Note que o valor de está dentro da região crítica, e rejeitamos a hipótese</p><p>nula. Portanto, pode-se afirmar, com 90% de certeza de que há evidências que a proporção das</p><p>unidades fabricadas que apresentam defeitos seja significativamente superior a 20%.</p><p>113WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Nessa unidade, abordamos um ramo muito importante da estatística, chamada Estatística</p><p>Inferencial. Vimos como é possível inferir sobre um parâmetro de uma população a partir de uma</p><p>amostra da mesma. Vimos, também, as técnicas para determinação do intervalo de confiança, em</p><p>que a aplicação de cada técnica depende do tipo de informação que se tem acerca do problema.</p><p>Por fim, abordamos os Testes de Hipóteses que nos permite testar uma afirmação sobre um</p><p>parâmetro da população.</p><p>No Capítulo 4, Princípios de amostragem, serão abordados os tipos de amostra e</p><p>os fundamentos para sua coleta e seleção adequada pelo programa estatístico,</p><p>bem como os fundamentos da inferência estatística, quando você aprenderá o</p><p>significado prático de estimação e estimadores para que possa, a partir do estudo</p><p>das amostras, inferir os resultados obtidos nas populações das quais elas foram</p><p>retiradas. O Capítulo 5, Teoria da estimação: intervalos de confiança, direciona o</p><p>entendimento de forma natural para a inferência populacional de características</p><p>amostrais. Os intervalos de confiança para médias, proporções e variâncias e</p><p>o erro amostral, ligados à teoria da amostragem, propiciarão ao administrador</p><p>um excelente arcabouço teórico para a tomada de decisão, pois poderão antever</p><p>comportamentos e tendências populacionais a partir do comportamento da</p><p>característica semelhante que foi estudada na amostra. No Capítulo 6, Testes</p><p>de hipóteses, são verificadas as afirmações feitas a respeito de parâmetros</p><p>populacionais. Você aprenderá como testar afirmações que comumente são</p><p>feitas no dia a dia e que, muitas vezes, não encontram bases científicas de</p><p>comprovação. Digo sempre que iniciar frases com a expressão ‘acho que’ revela,</p><p>no mínimo, a incerteza que, por já estar presente no campo da administração,</p><p>não precisa de reforços. Os testes de hipóteses</p><p>vão de encontro a essas incertezas no sentido de</p><p>testar predominantemente se médias, proporções</p><p>e outras estatísticas calculadas nas amostras</p><p>realmente têm contrapartida na população</p><p>(VITGILLITO, 2017).</p><p>Figura 13 – Estatística aplicada.</p><p>Fonte: Minha Biblioteca (2024).</p><p>114114WWW.UNINGA.BR</p><p>U N I D A D E</p><p>04</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................115</p><p>1. CORRELAÇÃO DE DADOS ........................................................................................................................................116</p><p>2. REGRESSÃO LINEAR ..............................................................................................................................................119</p><p>ANEXO 1 – NÚMEROS ALEATÓRIOS ..........................................................................................................................127</p><p>ANEXO 2 – TABELA NORMAL REDUZIDA .................................................................................................................128</p><p>ANEXO 3 - DISTRIBUILÇÃO T DE STUDENT .............................................................................................................130</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 131</p><p>CORRELAÇÃO E REGRESSÃO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE</p><p>PROFA. MA. MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA</p><p>PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA</p><p>115WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Nas unidades anteriores, nosso objetivo era descrever a distribuição de uma única</p><p>variável. Para isso, aprendemos a calcular as medidas de tendência central e variabilidade. No</p><p>entanto, ao considerarmos duas ou mais variáveis, nos deparamos com o problema de saber</p><p>como elas se relacionam e, nesse sentido, as medidas estudadas anteriormente não são eficientes.</p><p>Por isso, nessa unidade, iremos estudar os conceitos de correlação e regressão linear, pois quando</p><p>consideramos variáveis como gasto com propagandas e vendas, comprimento de uma barra de aço</p><p>e temperatura, peso e altura de um grupo de pessoas, desejamos verificar se existe alguma relação</p><p>entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. Uma vez que a relação entre</p><p>as variáveis seja de natureza quantitativa, a correlação é a ferramenta utilizada para determinar e</p><p>medir essa relação. Confirmada a correlação entre as duas variáveis,</p><p>iremos descrever essa relação</p><p>através de uma função Matemática, na qual a regressão linear é quem determina os parâmetros</p><p>dessa função.</p><p>116WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1. CORRELAÇÃO DE DADOS</p><p>Dizemos que duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística quando existe</p><p>correlação entre elas. A correlação, por sua vez, entre duas variáveis, ocorre quando os valores de</p><p>uma variável estão relacionados, de alguma maneira, aos valores de outra variável. Por exemplo:</p><p>gasto com propagandas e vendas; comprimento de uma barra de aço e temperatura; peso e altura</p><p>de um grupo de pessoas; o tempo de prática de esportes e o ritmo cardíaco; o tempo de estudo e</p><p>a nota na prova.</p><p>A correlação é uma relação entre duas variáveis, em que uma é a variável independente e</p><p>a outra a variável dependente. Os dados estatísticos dessa correlação podem ser presentados por</p><p>pares ordenados (x, y), os quais x denota a variável independente (ou explanatória) e y denota a</p><p>variável dependente (ou resposta).</p><p>As correlações entre as variáveis podem se apresentar de algumas formas: positiva, negativa</p><p>ou não linear. Pode, ainda, não haver correlação entre as variáveis. Por exemplo, as variáveis</p><p>gasto com propaganda e vendas se apresentam, em geral, correlacionadas positivamente, pois,</p><p>quase sempre, quanto mais se investe em propaganda, mais vendas são realizadas. Por outro</p><p>lado, as variáveis tempo e velocidade estão correlacionadas negativamente, pois quanto maior</p><p>a velocidade, menor o tempo gasto. Ainda, as variáveis cor dos olhos e altura, por exemplo, não</p><p>estão correlacionadas. As figuras a seguir ilustram essas possibilidades:</p><p>Figura 1 – Tipos de correlação. Fonte: Os autores.</p><p>As correlações e regressões podem ser simples ou múltiplas. Quando se trabalha com duas</p><p>variáveis, diz correlação e regressão simples. Quando se trabalha com mais de duas variáveis,</p><p>fala-se de correlação e regressão múltipla.</p><p>Uma das formas de visualizarmos se existe ou não correlação entre duas variáveis, é através</p><p>do diagrama de dispersão. O diagrama de dispersão é formado por um conjunto de pontos (x,</p><p>y) no plano cartesiano, em que os valores de x e y foram obtidos através de uma coleta de dados</p><p>estatísticos (veja a figura 1). Para ilustrarmos a ideia do diagrama de dispersão, iremos considerar</p><p>o exemplo a seguir.</p><p>117WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>EXEMPLO 1:</p><p>O administrador da rede de pet shop está interessado em descobrir se existe relação</p><p>entre os gastos com propaganda das lojas, no horário nobre da TV aberta, e as vendas dessas</p><p>oito lojas. Para tal propósito, ele conduz um estudo para determinar se existe uma relação li-</p><p>near entre a quantidade de dinheiro gasto em propaganda e as vendas. Os dados coletados pelo</p><p>administrador estão dispostos na Tabela 1.</p><p>Tabela 1 – Gasto com propaganda e receita de uma rede de pet shop.</p><p>Filial Gasto com propaganda (UR$ 1.000,00)</p><p>Vendas da loja</p><p>(UR$ 1.000,00)</p><p>1 540 5,80</p><p>2 294 2,60</p><p>3 440 4,00</p><p>4 624 6,80</p><p>5 252 2,00</p><p>6 295 2,70</p><p>7 372 4,00</p><p>8 473 4,90</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Chamando de x os gastos com propagandas e de y as vendas das lojas, podemos in-</p><p>terpretar os dados da tabela 1 da seguinte forma: a filial 1 gastou x1 = 540 com propagandas e</p><p>obteve y1 = 5,80 em vendas, a filial 2 gastou x2 = 294 com propagandas e obteve y2 = 2,60 em</p><p>vendas e, assim, sucessivamente até a 8ª filial. Representando esses dados por pares ordenados,</p><p>temos (x1, y1) = (540; 5,80), (x2, y2) = (294; 2,60), ..., (x8, y8) = (473; 4,90). A representação desse</p><p>conjunto de pontos no plano cartesiano é o que determina o diagrama de dispersão e nos diz</p><p>se as variáveis x e y estão correlacionadas ou não.</p><p>Figura 2 – Diagrama de dispersão da situação-problema. Fonte: Os autores.</p><p>Observamos, através do diagrama de dispersão, ilustrado na figura 2, que as variáveis</p><p>“gastos com propaganda” e “vendas” estão correlacionadas positivamente, ou seja, o aumento</p><p>nos gastos com propaganda ocasiona aumento nas vendas da loja.</p><p>118WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Como dito até agora, o diagrama de dispersão é uma forma gráfica de determinarmos se</p><p>existe ou não correlação entre as variáveis estudadas. Outra forma de verificarmos essa correlação</p><p>é por meio do cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, que é definido a seguir:</p><p>Equação 01</p><p>Na equação 01, n é o número de observações, é a soma dos valores da variável</p><p>independente, é a soma dos valores da variável dependente, é a soma dos produtos entre</p><p>a variável dependente e independente, é a soma dos quadrados da variável independente, e</p><p>é a soma dos quadrados da variável dependente.</p><p>O valor do coeficiente de Pearson (r) pertence ao intervalo 1, e através dele,</p><p>podemos determinar qual tipo de correlação existe entre as variáveis, a saber:</p><p>se a correlação entre as variáveis é perfeita e positiva, então r = 1.</p><p>se a correlação entre as variáveis é perfeita e negativa, então r = - 1.</p><p>se não existe correlação entre as variáveis, então r = 0. Nesse caso, obviamente, a correlação</p><p>não é linear.</p><p>se a correlação é de inexistente a muito fraca, e nada podemos concluir.</p><p>se , a correlação é de muito fraca à média, e podemos considerar o valor</p><p>de r nesse intervalo como indício de uma correlação entre as variáveis, sem muito efeito.</p><p>se a correlação é de média a muito forte, e as variáveis mantêm dependência</p><p>significativa.</p><p>Voltando ao exemplo 1, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson (r). Para</p><p>isso, com o objetivo de facilitar os cálculos e a visualização dos termos da equação 01, construímos</p><p>a Tabela 2.</p><p>Tabela 2 – Valores calculados para o coeficiente de correlação.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>119WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Assim, fazendo uso da Equação 01, segue que o valor do coeficiente de correlação de</p><p>Pearson é:</p><p>Através do valor do coeficiente de correlação (r = 9899) calculado, podemos dizer que,</p><p>de fato, há forte correlação positiva entre as variáveis “gastos” e “vendas”. Assim, à medida que</p><p>aumenta o gasto com propaganda, as vendas da rede de pet shop aumentam também.</p><p>2. REGRESSÃO LINEAR</p><p>Vimos que duas variáveis podem estar correlacionadas ou não. Uma vez correlacionadas,</p><p>podemos determinar os parâmetros da equação de uma reta que melhor se ajusta ao conjunto</p><p>de dados da situação-problema. Esse método é conhecido como regressão linear ou método dos</p><p>mínimos quadrados e a vantagem de obtermos essa modelagem, ou seja, a equação da reta, é que</p><p>conseguimos fazer previsões futuras do problema em questão.</p><p>A equação da reta é dada por:</p><p>Equação 02</p><p>Na equação 02, a e b são números reais e a 0. Supondo que x seja a variável independente,</p><p>e y, a variável dependente, os valores de a e b são dados por:</p><p>Equação 03</p><p>O fato de duas variáveis serem fortemente correlacionadas não implica re-</p><p>lação de causa e efeito entre elas. Um estudo mais profundo é necessário para</p><p>determinar se há uma relação causal entre as variáveis. Se houver correlação sig-</p><p>nificante entre as variáveis, o pesquisador deve considerar as seguintes possibili-</p><p>dades:</p><p>• existe relação direta de causa e efeito entre as variáveis.</p><p>• existe relação de causa e efeito reversa entre as variáveis.</p><p>• a relação de causa e efeito entre as variáveis estudadas pode ser causada</p><p>por uma terceira variável ou por uma combinação de diversas outras variá-</p><p>veis.</p><p>• a relação de causa e efeito entre as variáveis é uma coincidência.</p><p>120WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>e</p><p>Equação 04</p><p>Considerando, ainda, o exemplo 1, vamos determinar a equação da reta que melhor se</p><p>ajusta àquele conjunto de dados, ou seja, determinaremos a equação linear que modela a relação</p><p>entre as variáveis “gasto com propagandas” e “vendas da</p><p>loja”. Para isso, consideraremos os dados</p><p>da Tabela 2 (e Figura 2) e usaremos as equações 03 e 04 para calcularmos os valores de a e b.</p><p>Assim,</p><p>e</p><p>Substituindo os valores de a e b na equação 02, segue que a reta de regressão para</p><p>a situação em estudo, é dada por:</p><p>Em que x é a quantidade de milhares de reais gastos com propaganda, e y é a quantidade</p><p>de milhares de reais arrecadados com as vendas.</p><p>Através dessa equação, podemos predizer a receita de uma determinada filial (y), dado um</p><p>gasto com propaganda (x) e vice-versa. Por exemplo, caso estejamos interessados em determinar</p><p>o valor da receita quando são gastos UR$ 700.000, apenas substituímos x = 700 (lembre-se de</p><p>que o valor de x, ao empregar a equação obtida nesse caso, é dividido por 1.000). Daí, obtemos</p><p>uma receita igual a UR$ 7.850,00. Observe que, quando não se gasta com propaganda (x = 0),</p><p>prevemos uma queda nas vendas de UR$ 1,25 (UR$ 1000).</p><p>Para esboçar a reta no plano cartesiano, formado pelos eixos X e Y, basta atribuir, pelo</p><p>menos, dois valores para x e calcular os correspondentes valores de y, pois, por dois pontos, passa</p><p>uma (e apenas uma) reta.</p><p>Sabendo que duas variáveis estão correlacionadas e qual o melhor modelo linear descreve</p><p>essa relação, podemos, ainda, calcular o coeficiente de determinação.</p><p>O coeficiente de determinação é um indicador da qualidade do ajustamento, dado pelo</p><p>quadrado do coeficiente de correlação, ou seja:</p><p>[Coeficiente de determinação = (coeficiente de correlação)2]</p><p>O abuso mais comum em correlação em estudos é confundir os conceitos de</p><p>correlação com as casualidades. Quando uma correlação forte é encontrada entre</p><p>duas variáveis, procure outras variáveis que são correlacionadas com ambas.</p><p>121WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Através do coeficiente de determinação, podemos dizer o quanto a variável dependente</p><p>(y) foi influenciada pela variável independente (x), já que um valor previsto para y não será</p><p>necessariamente um resultado exato, pois, além do valor da variável x, existem outras variáveis</p><p>que não foram incluídas no estudo, e elas podem afetar o resultado final, ou seja, o r2 expressa a</p><p>proporção da variação total que é explicada (devida) à reta de regressão de x sobre y.</p><p>O valor de r2 varia entre 0 e 1, isto é: 0 ≤ r2 ≤ 1, ou se multiplicarmos r2 por 100, obteremos</p><p>seu valor em porcentagem, ou seja, r2 x 100 0% ≤ r2 ≤ 100%.</p><p>Há, ainda, a possibilidade de interpretação dos coeficientes neste intervalo, tomando</p><p>como base os seguintes limites:</p><p>Tabela 3 – Interpretação do coeficiente de determinação.</p><p>Se 0,9 ≤ r2 < 1,00 Alto poder de explicação do modelo.</p><p>Se 0,8 ≤ r2 < 0,90 Bom poder explicação do modelo.</p><p>Se 0,6 ≤ r2 < 0,80 Médio poder explicação do modelo.</p><p>Se r2 < 0,60 O poder de explicação do modelo é ruim.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>No exemplo em que estudamos, a relação linear entre dinheiro gasto em propaganda e</p><p>as vendas da rede de pet shop, obtivemos um coeficiente de correlação de r = 0,9899. Então, r2</p><p>0,9799 e ele determina, de acordo com a tabela anterior, um alto poder de explicação do modelo.</p><p>A interpretação desse coeficiente de determinação é que, dentre as filiais estudadas, 97,99% das</p><p>variações nas vendas são explicadas pelas variações nos gastos com propagandas. Os outros</p><p>2,01% (1 - 0,9799 ou 100% - 97,99%) restantes são inexplicáveis e se devem ao acaso ou a outras</p><p>variáveis.</p><p>Você sabia que é possível usar uma calculadora científica</p><p>para efetuar a regressão linear simples? Assista ao vídeo do</p><p>canal Me ensinou, disponível em: https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=VDUw0mKZKIw.</p><p>122WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A seguir, faremos mais três exemplos para fixarmos o conteúdo abordado.</p><p>EXEMPLO 2:</p><p>Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia elétrica”</p><p>(xi) e “volume de produção nas empresas industriais” (yi), fez-se uma amostragem que</p><p>inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:</p><p>Considerando as informações dadas, resolva os itens a seguir:</p><p>a) verifique se há correlação entre as variáveis estudadas.</p><p>b) determine a equação da reta para o caso de existência de correlação.</p><p>c) determine o coeficiente de determinação e explique seu significado.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>a) Iremos determinar se há correlação, algebricamente, calculando o coeficiente de</p><p>Pearson, que é definido pela equação 01. Note que n = 20, pois a amostragem inclui 20</p><p>empresas. Assim:</p><p>Assim, o coeficiente de Pearson, calculado, nos diz que existe uma correlação média entre</p><p>as variáveis.</p><p>b) Para determinar a equação da reta de correlação do tipo , vamos empregar</p><p>as Equações (03) e (04) como segue:</p><p>Logo, a equação de regressão linear é:</p><p>c) O coeficiente de determinação é:</p><p>E, de acordo com o modelo especificado, apenas 29,62% das variações de , que</p><p>corresponde ao volume de produção nas empresas industriais, são explicadas pelas</p><p>variações de , que corresponde ao consumo de energia elétrica, e os outros 70,38% das</p><p>variações de são explicadas por outras variáveis ou combinações de outras variáveis.</p><p>123WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>EXEMPLO 3:</p><p>De acordo com os dados da tabela a seguir, verifique se existe correlação linear</p><p>entre fator água-cimento (a/c) e resistência à compressão (kg/m3) em corpos de prova</p><p>moldados com concreto.</p><p>Tabela 4 – dados de fator água-cimento (a/c) e resistência à compressão (kg/m3) em</p><p>corpos de prova moldados com concreto.</p><p>Fonte: Mattos; Azambuja; Konrath (2017).</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Com os valores da Tabela 3, podemos empregar um software (Excel, por exemplo) e</p><p>compor o diagrama de dispersão, que está apresentado na Figura 3 a seguir.</p><p>Pelo diagrama de dispersão, verifica-se que a relação entre o fator água/cimento e a</p><p>resistência à compressão não é linear. Isso não significa que não exista relação entre essas</p><p>variáveis, significa, apenas, que essa relação não é linear, ou seja, não podemos encontrar</p><p>um modelo de reta que se ajuste aos dados do problema.</p><p>Figura 3 – Diagrama de dispersão. Fonte: Os autores.</p><p>124WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>EXEMPLO 4:</p><p>Considere os dados relativos à quantidade de fertilizante utilizada (xi), em kg, e a produção</p><p>obtida (yi) de soja, em ton., em determinado município, conforme Tabela5. Baseado nessas</p><p>informações, resolva os itens a seguir:</p><p>a) construa o diagrama de dispersão.</p><p>b) verifique se há correlação entre as variáveis estudadas.</p><p>c) determine a equação da reta para o caso de existência de correlação.</p><p>d) determine o coeficiente de determinação e explique seu significado.</p><p>Tabela 5 – Quantidade de fertilizante utilizada e quantidade de soja produzida em um</p><p>dado município.</p><p>xi 100 200 300 400 500 600 700</p><p>yi 40 45 50 65 70 70 80</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>a) De posse dos valores da Tabela 5, podemos empregar um software (Excel, por exemplo)</p><p>e compor o diagrama de dispersão, que está apresentado na Figura 4.</p><p>Figura 4 – Diagrama de dispersão. Fonte: Os autores.</p><p>Observamos, através do diagrama de dispersão, que existe uma correlação positiva entre</p><p>as variáveis estudadas. Para determinar os demais itens, vamos construir a Tabela 6, como</p><p>segue.</p><p>125WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 6 – Valores calculados para o coeficiente de correlação.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>b) Pelo item a) já sabemos, graficamente, que existe uma correlação positiva entre as</p><p>variáveis. Agora, iremos determinar essa correlação, algebricamente, calculando o</p><p>coeficiente de Pearson, que é definido pela equação 01. Note que n = 7, pois temos 7 pares</p><p>ordenados. Assim:</p><p>Assim, o coeficiente de Pearson calculado confirma a correlação obtida no item a)</p><p>e essa correlação é positiva e forte, isto é, as variáveis mantêm dependência significativa.</p><p>c) Para determinar</p><p>a equação da reta de correlação do tipo , vamos empregar</p><p>as Equações (03) e (04) como segue:</p><p>126WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Logo, a equação de regressão linear é:</p><p>d) O coeficiente de determinação é:</p><p>E, de acordo com o modelo especificado, 95,5% das variações da quantidade de soja</p><p>produzida são explicadas pelas variações da quantidade de fertilizante empregadas, e</p><p>4,5% das variações da quantidade de soja produzida são explicadas por outras variáveis</p><p>ou combinações de outras variáveis.</p><p>Capítulo 11:</p><p>Sendo a relação entre as variáveis de natureza</p><p>quantitativa, a correlação é o instrumento adequado</p><p>para descobrir e medir essa relação. Uma vez</p><p>caracterizada a relação, procuramos descrevê-la</p><p>através de uma função matemática. A regressão é</p><p>o instrumento adequado para a determinação dos</p><p>parâmetros dessa função (CRESPO, 2009)</p><p>Figura 5 – Estatística Fácil.</p><p>Fonte: Minha Biblioteca (2024).</p><p>127WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>ANEXO 1 – Números aleatórios</p><p>128WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>ANEXO 2 – Tabela Normal Reduzida</p><p>129WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>130WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>ANEXO 3 - Distribuilção t de student</p><p>131WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Na Unidade 4, trabalhamos com a correlação linear entre duas variáveis. Vimos as</p><p>possibilidades de correlações e como determina-las, tanto graficamente, através do diagrama de</p><p>dispersão, quanto algebricamente, através do coeficiente de correlação de Pearson. Além disso,</p><p>vimos que, uma vez correlacionadas, podemos determinar a equação de reta que melhor se ajusta</p><p>ao conjunto de dados. Finalmente, apresentamos o coeficiente de determinação que nos diz o</p><p>quanto a variável dependente foi influenciada pela variável independente.</p><p>132WWW.UNINGA.BR</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2009. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/. Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências – Tradução da 9ª edição</p><p>norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.</p><p>minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/. Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>IBGE EDUCA. Principais tipos de gráficos para a educação básica. 2024. Disponível em:</p><p>https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/20773-tipos-de-graficos-no-ensino.html .</p><p>Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>IBGE. Atlas geográfico escolar. 2018. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/geociencias/atlas/</p><p>nacional/16633-atlas-geografico-escolar.html. Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2016.</p><p>MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística Geral e Aplicada. 6. ed. São Paulo: Grupo</p><p>GEN, 2017. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597012682/.</p><p>Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>MATTOS, V. L. D.; AZAMBUJA, A. M. V.; KONRATH, A. C. Introdução à Estatística -</p><p>Aplicações em Ciências Exatas. São Paulo: Grupo GEN, 2017. Disponível em: https://integrada.</p><p>minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633556/. Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>TABELAS E SÉRIES ESTATÍSTICAS. Elementos que compõe uma tabela. 2024. Disponível em:</p><p>https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/11394823032022Aula_04.pdf . Acesso em: 12</p><p>fev. 2024.</p><p>VIRGILLITO, S. B. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2017. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/. Acesso em: 12 fev. 2024.</p><p>duas categorias.</p><p>Figura 5 – Exemplo de um gráfico de colunas com duas categorias. Fonte: IBGE (2018).</p><p>Gráficos de barras: O gráfico de barras também é construído sobre o Plano Cartesiano</p><p>(primeiro quadrante). No eixo vertical, são construídas as barras que representam a variação</p><p>(medidas ou quantidades numéricas) dos dados na pesquisa realizada. O fluxo de informações,</p><p>representado por um valor numérico, é indicado pelo eixo horizontal. As barras devem sempre</p><p>possuir a mesma largura, e a distância entre elas deve ser constante. Podemos representar duas ou</p><p>mais categorias de informações.</p><p>Figura 6 – Ilustração dos elementos do gráfico de barras. Fonte: IBGE Educa (2024).</p><p>13WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 10:</p><p>Exemplo de um gráfico de barras.</p><p>Figura 7 – Exemplo de um gráfico de barras. Fonte: IBGE (2018).</p><p>Gráficos de setores: os gráficos de setores (ou pizza) são representados por círculos</p><p>divididos proporcionalmente de acordo com os dados da informação a ser representada. Os</p><p>valores são expressos em números ou em percentuais (%). Esse tipo de gráfico é recomendado</p><p>para visualização de informações de apenas uma categoria e não é recomendado o uso em três</p><p>dimensões.</p><p>Figura 8 – Ilustração dos elementos do gráfico de setores. Fonte: IBGE Educa (2024).</p><p>14WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 11:</p><p>Exemplo de um gráfico de setores.</p><p>Figura 9 – Exemplo de um gráfico de setores. Fonte: IBGE (2018).</p><p>Gráfico de linhas: Esse tipo de gráfico é utilizado quando se deseja trabalhar com</p><p>duas ou mais informações provenientes de dados numéricos. Ele se utiliza de uma ou mais</p><p>linhas poligonais para representar uma série estatística, que mostram a variação (medidas ou</p><p>quantidades numéricas) dos dados na pesquisa realizada, isto é, como os dados se movimentam</p><p>no decorrer do tempo e é feito no primeiro quadrante do plano cartesiano. É indicado quando</p><p>uma das variáveis representa o tempo e se pretende revelar o movimento dos dados ao longo do</p><p>tempo.</p><p>Figura 9 – Ilustração dos elementos do gráfico de linhas. Fonte: Educa (2024).</p><p>15WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 12</p><p>Exemplo de um gráfico de linhas.</p><p>Figura 10 – Exemplo de um gráfico de linhas. Fonte: IBGE (2018).</p><p>1.4 Distribuição de Frequência</p><p>Após a coleta de dados de uma pesquisa estatística, é necessária a organização destes. Esse</p><p>procedimento é, em geral, feito por meio de tabelas, que são chamadas de tabelas de distribuição</p><p>de frequência.</p><p>Para a compreensão do conceito da tabela de distribuição de frequência, começaremos</p><p>considerando o conjunto de dados que apresenta a distância horizontal (em metros) percorrida</p><p>por um drone antes de apresentar algum tipo de defeito. Um total de 40 testes foram realizados</p><p>e são apresentados na Tabela 4.</p><p>Tabela 4 – Distância percorrida, em metros, por um protótipo de drone antes de apresentar</p><p>algum tipo de defeito.</p><p>33,50 30,38 48,38 31,13 29,63 9,25 32,25 38,00 8,63 29,63</p><p>9,00 18,00 18,00 1,25 37,88 10,00 25,24 52,00 9,25 53,38</p><p>8,75 34,00 7,63 14,00 43,25 16,50 11,38 25,02 18,50 16,63</p><p>9,38 8,00 35,25 21,63 19,38 11,50 28,50 78,38 38,88 33,63</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Observamos, na tabela 5, que os dados não estão organizados, por isso, recebem o nome</p><p>de dados brutos. Os dados brutos constituem uma tabela, denominada tabela bruta. O primeiro</p><p>passo a se fazer é organizar esses dados em ordem crescente ou decrescente. Essa organização é</p><p>chamada de rol. A tabela 5 mostra o rol crescente dos dados.</p><p>16WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 5 – Rol crescente da distância percorrida, em metros, por um protótipo de drone</p><p>antes de apresentar algum tipo de defeito.</p><p>1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00</p><p>11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38</p><p>21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63</p><p>34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Após a organização dos dados em rol, iremos construir uma tabela para que a leitura dos</p><p>dados fique mais compreensível. Para isso, devemos definir os seguintes itens:</p><p>I. classe: é a subdivisão dos dados em intervalos ou faixas de valores.</p><p>II. limite de classe: são os valores extremos de cada classe. Para uma classe, temos o</p><p>limitante inferior, que é o menor número que pode pertencer à classe, além do limitante</p><p>superior, que é o maior número que pode pertencer à classe.</p><p>III. amplitude amostral (AA): é a diferença entre o maior e o menor entre os dados</p><p>coletados.</p><p>IV. ponto médio de uma classe : são os valores obtidos somando-se o limitante</p><p>inferior de classe ao limitante superior e dividindo-se o resultado da soma por 2.</p><p>V. número de classes (i): para a construção de uma tabela de distribuição de frequência,</p><p>a primeira coisa com que devemos nos preocupar é determinar o número de classes.</p><p>Para tal, fazemos uso da regra de Sturges, a qual é dada pela Eq. (01) a seguir.</p><p>Eq. (01)</p><p>Ainda, podemos fazer uso da regra da raiz, a qual é dada pela Eq. (02):</p><p>Eq. (02)</p><p>Para as equações (01) e (02), temos que n é o número de dados coletados.</p><p>VI. amplitude de classe (h): calculado o número de classes a ser usado na construção da</p><p>tabela de distribuição de frequência, devemos proceder ao cálculo da amplitude da</p><p>classe, a qual é calculada fazendo-se a razão entre a amplitude total e o número de</p><p>classes.</p><p>VII. frequência absoluta : é o número de vezes que determinado elemento aparece na</p><p>amostra ou, ainda, o número de vezes que um elemento aparece numa classe.</p><p>VIII. frequência relativa : é a razão entre a frequência absoluta da classe em questão e</p><p>o número total de elementos na amostra. A frequência relativa é calculada usando-se</p><p>a Eq. (03):</p><p>Eq. (03)</p><p>IX. frequência relativa percentual : é obtida procedendo-se ao produto da</p><p>frequência relativa por 100, como apresenta a Eq. (04):</p><p>17WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Eq. (04)</p><p>X. frequência acumulada : é obtida somando-se a frequência absoluta da classe</p><p>considerada com as frequências absolutas anteriores a essa classe. A Eq. (05) mostra o</p><p>procedimento do cálculo da frequência acumulada de uma classe.</p><p>Eq. (05)</p><p>Nela, é a frequência absoluta da primeira classe, é a frequência absoluta da segunda</p><p>classe e assim por diante, até a n-ésima classe. O símbolo denota a soma das frequências</p><p>da primeira, segunda, até a n-ésima classe.</p><p>XI. frequência relativa acumulada : é a razão entre a frequência acumulada de</p><p>uma classe pelo número total de elementos na amostra, como mostra a Eq. (06):</p><p>Eq. (06)</p><p>XII. frequência relativa acumulada percentual : é o produto da frequência</p><p>relativa acumulada de uma classe por 100, como apresentado na Eq. (07):</p><p>Eq. (07)</p><p>Definido esses doze itens, vamos aplica-los na tabela 5 para que possamos construir a</p><p>Tabela de Distribuição de Frequências.</p><p>1º passo: determinar o número de classes desejado. Esse número deve estar entre 5 e</p><p>20, por questões práticas e ainda deve ser um número inteiro. Como temos n = 40 observações,</p><p>podemos usar o critério de Sturges ou da raiz. Assim, temos, pelo critério de Sturges, o número</p><p>de classes igual a:</p><p>2º passo: calcular a amplitude das classes. Se necessário, faça uso de arredondamentos e/</p><p>ou mude o número de classes de modo que se usem números convenientes.</p><p>3º passo: escolha ou o valor mínimo ou um valor conveniente, que seja um pouco menor</p><p>do que esse valor mínimo, para ser o primeiro limitante inferior de classe. Usando esse limitante</p><p>inferior e a amplitude da classe, prossiga e liste os outros limites inferiores de classe, adicionando</p><p>a amplitude de classe ao primeiro limite de classe inferior para obter o segundo limite inferior de</p><p>classe, e assim por diante.</p><p>4º passo: liste</p><p>os limites inferiores de cada classe em uma coluna vertical e prossiga para</p><p>preencher os limitantes superiores. Feito isso, percorra o conjunto de dados, colocando uma</p><p>marca apropriada para cada valor dado. Conte as marcas para encontrar a frequência total para</p><p>cada classe.</p><p>18WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Na sequência, construímos a tabela 3, denominada de tabela de distribuição de</p><p>frequência. Observe, na Tabela 3, que, na primeira classe, temos a frequência dos valores da</p><p>distância horizontal percorrida pelo robô, que vai de 1 (inclusive) até 14 (exclusive), totalizando</p><p>12 valores. Nas classes seguintes, usamos ideia análoga.</p><p>Tabela 6 – Distribuição de frequência da distância percorrida por um protótipo de drone</p><p>antes de apresentar algum tipo de defeito.</p><p>Classe (i) Distância percorrida Frequência (fi)</p><p>1 12</p><p>2 11</p><p>3 12</p><p>4 3</p><p>5 1</p><p>6 1</p><p>Total 40</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>A partir da tabela de distribuição de frequência, podemos calcular as frequências relativas</p><p>( , frequências acumuladas ( ) e seus percentuais, como apresentado na Tabela 7.</p><p>Tabela 7 – Distribuição de frequência da distância percorrida por protótipo de drone,</p><p>antes de apresentar algum tipo de defeito.</p><p>Classe (i)</p><p>Distância per-</p><p>corrida</p><p>1 12 0,300 30,0 12 0,300 30,0</p><p>2 11 0,275 27,5 23 0,575 57,5</p><p>3 12 0,300 30,0 35 0,875 87,5</p><p>4 3 0,075 7,50 38 0,950 95,0</p><p>5 1 0,025 2,50 39 0,975 97,5</p><p>6 1 0,025 2,50 40 1,000 100,0</p><p>Total 40 1 100 - - -</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>19WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O cálculo da frequência relativa da primeira classe foi determinado da seguinte maneira:</p><p>. Esse procedimento foi usado para calcular as demais frequências relativas. As</p><p>frequências relativas percentuais foram obtidas multiplicando-se por 100 as frequências relativas</p><p>de cada classe.</p><p>O cálculo da frequência acumulada foi realizado como segue:</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. As frequências relativas acumuladas foram calculadas</p><p>como segue:</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. Já as frequências relativas percentuais foram obtidas</p><p>multiplicando-se por 100 as frequências relativas acumuladas.</p><p>Em muitas situações, é mais conveniente representar de forma gráfica uma distribuição</p><p>de frequência. E isso pode ser feito utilizando-se do histograma, do polígono de frequência ou do</p><p>polígono de frequência acumulada.</p><p>O histograma é um gráfico dado por um diagrama de colunas, em que cada retângulo</p><p>está associado a uma classe da distribuição de frequência. As frequências de classe devem ser</p><p>usadas na escala vertical. As barras na escala horizontal são rotuladas de uma das maneiras: (1)</p><p>fronteiras de classe; (2) pontos médios das classes; ou (3) limites inferiores das classes.</p><p>Figura 11 – Histograma da distribuição de frequência da distância percorrida por um drone, antes de apresentar</p><p>algum tipo de defeito. Fonte: Os autores.</p><p>20WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O polígono de frequência é o gráfico de configuração linear. Ele é obtido calculando-se o</p><p>ponto médio de cada classe, marca-se esse ponto no lado superior do histograma. O polígono de</p><p>frequência é obtido ligando esses pontos médios. A Figura 12 mostra o polígono de frequência,</p><p>associado aos dados da Tabela 7.</p><p>Figura 12 – Polígono de frequência da distância percorrida por um drone, antes de apresentar algum tipo de defeito.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>O polígono de frequência acumulada, ou ogiva de Galton, é um gráfico que permite</p><p>descrever dados quantitativos por meio da frequência acumulada. A ogiva é um gráfico de linha</p><p>que une os pontos cujas abcissas são os limites superiores das classes e ordenadas suas respectivas</p><p>frequências acumuladas. A Figura 13 apresenta o polígono de frequência acumulada para os</p><p>dados distribuídos em classe da Tabela 7.</p><p>Figura 13 – Polígono de frequência acumulada da distância percorrida por um drone, antes de apresentar algum tipo</p><p>de defeito. Fonte: Os autores.</p><p>21WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 13:</p><p>Os dados a seguir representam o valor (R$) do produto A vendido em 25 diferentes</p><p>estabelecimentos. Construa uma tabela de distribuição de frequência e identifique qual a faixa</p><p>de preços com maior frequência.</p><p>Dados Brutos: 20,5 - 19,5 - 15,6 - 24,1 - 9,9 - 15,4 - 12,7 - 5,4 - 17,0 - 28,6 - 16,9 - 7,8 -</p><p>23,3 - 11,8 - 18,4 - 13,4 - 14,3 - 19,2 - 9,2 - 16,8 - 8,8 - 22,1 - 20,8 - 12,6 - 15,9</p><p>Solução: Para a construção da tabela de distribuição de frequências, devemos seguir os</p><p>seguintes passos:</p><p>Organizar os dados em rol crescente:</p><p>5,4 - 7,8 – 8,8 – 9,2 – 9,9 – 11,8 – 12,6 – 12,7 – 13,4 – 14,3 – 15,4 15,6 – 15,9 – 16,8 –</p><p>16,9 – 17,0 – 18,4 – 19,2 – 19,5 – 20,5 – 20,8 – 22,1 – 23,3 - 24,1 – 28,6</p><p>Determinar o número de classes desejado.</p><p>Calcular a amplitude das classes.</p><p>Escolher um valor mínimo para ser o 1º limitante inferior da classe e construir uma</p><p>tabela contendo o número de classes, os intervalos e as frequências absolutas.</p><p>Como o primeiro valor do conjunto de dados é o valor 5,4, escolheremos o número 5.</p><p>A partir do número 5, iremos somar o número 4, até obtermos as 6 classes com seus respectivos</p><p>intervalos. Para as frequências, a partir dos dados em rol, foi contado quantos elementos</p><p>pertencem a cada classe, ou seja, na 1ª classe houve 3 valores para o produto A variando de R$</p><p>5,00 a R$ 9,00 e assim sucessivamente. A tabela a seguir mostra esse processo.</p><p>Tabela 8: Distribuição de frequência do valor (R$) do produto A vendido em 25</p><p>diferentes estabelecimentos.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>22WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Calcular as frequências relativas ( , frequências acumuladas ( ) e seus percentuais.</p><p>Tabela 9 – Distribuição de frequência para o valor (R$) do produto A vendido em 25</p><p>diferentes estabelecimentos.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>O cálculo da frequência relativa da primeira classe foi determinado da seguinte maneira:</p><p>. Esse procedimento foi usado para calcular as demais frequências relativas.</p><p>As frequências relativas percentuais foram obtidas multiplicando-se por 100 as frequências</p><p>relativas de cada classe.</p><p>O cálculo da frequência acumulada foi realizado como segue:</p><p>23WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. As frequências relativas acumuladas foram</p><p>calculadas como segue:</p><p>E assim por diante, até a sexta classe. Já as frequências relativas percentuais foram</p><p>obtidas multiplicando-se por 100 as frequências relativas acumuladas.</p><p>Assim, observamos pela tabela, que a faixa de preços com maior frequência ocorre na</p><p>3ª classe, onde os valores variam de R$ 13,00 a R$ 17,00.</p><p>Figura 14 – Histograma da distribuição de frequência para o valor (R$) do produto A vendido em 25 diferentes</p><p>estabelecimentos. Fonte: Os autores.</p><p>24WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 15 – Polígono de frequência para o valor (R$) do produto A vendido em 25 diferentes estabelecimentos.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Figura 16 – Polígono de frequência acumulada para o valor (R$) do produto A vendido em 25 diferentes</p><p>estabelecimentos. Fonte:</p><p>2. MEDIDAS DE POSIÇÃO</p><p>As medidas de posição de uma série de dados nos orientam quanto à posição da distribuição</p><p>em relação ao eixo horizontal do histograma. As usualmente empregadas são a média, a mediana</p><p>e a moda. Vamos discuti-las em separado.</p><p>2.1 Média Aritmética</p><p>A média aritmética é a mais importante de todas as medidas de posição existentes</p><p>para descrever dados em geral. A média aritmética ( ) é uma medida de tendência central,</p><p>determinada pela adição de todos os valores e divisão pelo número de valores. Essa definição nos</p><p>permite escrever a</p><p>Eq. (08):</p><p>25WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Eq. (08)</p><p>Nela, , , ..., são as variáveis que se estão estudando, n é o número de valores</p><p>estudados, e denota a soma de todos os valores em estudo.</p><p>Exemplo 14</p><p>A seguir, é informada a tensão, em milivolt (mV), de cinco resistores iguais quando</p><p>submetidos a uma mesma corrente elétrica.</p><p>7 – 8,5 – 6,5 – 9 – 9</p><p>Qual foi a tensão média, em mV, desenvolvida pelos resistores quando submetidos à</p><p>mesma corrente elétrica?</p><p>Solução: a média aritmética da tensão é</p><p>Portanto, a tensão média desenvolvida pelos resistores foi de 8 mV.</p><p>Acabamos de calcular a média aritmética para o caso em que os dados não estão</p><p>agrupados. Agora, vamos aprender a calcular a média aritmética para o caso em que os dados</p><p>estão agrupados sem intervalo de classe. Nessa situação, como as frequências são números</p><p>indicadores da intensidade de cada valor, elas funcionam como fatores de ponderação e, assim,</p><p>calculada a média aritmética ponderada, como apresentado pela Eq. (09)</p><p>Eq. (09)</p><p>Nela, é a frequência, e é o valor da variável.</p><p>26WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 15:</p><p>Na Figura 17, são apresentados os números de acidentes de trabalho, no primeiro</p><p>semestre de 2020, nas 60 fábricas de uma indústria de bebidas.</p><p>Figura 17 – Ilustração para o exemplo. Fonte: Os autores.</p><p>Determine o número médio de acidentes das 60 fábricas de bebidas.</p><p>Solução: das informações dispostas na figura 17, montamos uma tabela para auxiliar-</p><p>nos no cálculo da média aritmética. Assim:</p><p>Tabela 10 – Tabela de distribuição para o cálculo da média.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Daí, segue que o número médio de acidentes de trabalho nas 60 fábricas de bebida é:</p><p>Portanto, o número médio de acidentes de trabalho nas 60 fábricas de bebida foi de 1,7</p><p>acidentes.</p><p>Vejamos, agora, o caso do cálculo da média aritmética quando os dados estão agrupados</p><p>em classe. Nesse caso, convenciona-se que os valores incluídos num determinado intervalo</p><p>coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média ponderada. Vejamos o exemplo</p><p>seguinte.</p><p>27WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 16</p><p>A Tabela 11 apresenta a distribuição de frequências do número de salários-mínimos</p><p>dos funcionários de uma start up de tecnologia da informação.</p><p>Tabela 11 – Distribuição de frequência do número de salários-mínimos recebidos</p><p>pelos funcionários de uma start up.</p><p>Classes (de salários-mínimos)</p><p>Classes (de salários-mínimos)</p><p>0 2 5</p><p>2 4 2</p><p>4 6 4</p><p>6 8 2</p><p>8 10 7</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Determine o número médio de salários-mínimos desses funcionários.</p><p>Solução: das informações dispostas na Tabela 11, montamos a Tabela 12 para auxiliar-</p><p>nos no cálculo da média aritmética. Assim.</p><p>Tabela 12 – Tabela de distribuição para resolução do exercício.</p><p>Classes (de salários-mínimos)</p><p>Tabela 12 – Tabela de distribuição para resolução do exercício.</p><p>Classes (de salários-mínimos)</p><p>0 2 5 1 5</p><p>2 4 2 3 6</p><p>4 6 4 5 20</p><p>6 8 2 7 14</p><p>8 10 7 9 63</p><p>Total -</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Daí, segue que o número médio de salários-mínimos é:</p><p>Portanto, o número médio de salários-mínimos recebidos pelos funcionários da start up é 5,4</p><p>28WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 17:</p><p>A média salarial de 100 engenheiros recém-formados é igual a R$ 5.000,00. Se o sa-</p><p>lário de João, também engenheiro recém-formado, fosse incluído no cálculo, a média salarial</p><p>seria igual a R$ 5.100,00. Determine o salário de João, em reais.</p><p>Solução: temos que a média salarial, das 100 pessoas pode ser calculada por meio</p><p>da equação:</p><p>Ou seja, a soma dos salários dos 100 engenheiros é:</p><p>Considerando agora a inclusão de João, a média salarial é igual a e é calculada por</p><p>meio da equação:</p><p>Ou seja, a soma dos salários de 101 engenheiros é:</p><p>Assim, subtraindo (1) de (2), segue que o salário de João é igual a R$ 15.100.</p><p>A média aritmética apresenta as seguintes propriedades:</p><p>(i) Chamamos de desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de</p><p>um conjunto de valores e a média aritmética. A soma algébrica desses desvios</p><p>tomados em relação à média aritmética é nula.</p><p>(ii) Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores</p><p>da variável, a média aritmética fica aumentada ou diminuída dessa constante.</p><p>(iii) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante (k) qualquer por todos</p><p>os valores da variável, a média aritmética fica multiplicada ou dividida dessa</p><p>constante.</p><p>29WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.2 Moda</p><p>A Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência num conjunto de dados, esse(s)</p><p>valor(es) é(são) denominado(s) “valor modal”. Um conjunto de dados poderá ser classificado em:</p><p>(i) amodal – quando não apresentar valor modal; (ii) unimodal – quando apresentar único valor</p><p>modal; (iii) bimodal – quando apresentar dois valores modais; (iv) trimodal – quando apresentar</p><p>três valores modais; (v) polimodal – quando apresentar quatro ou mais valores modais.</p><p>Exemplo 18:</p><p>Os dados a seguir correspondem à pressão manométrica (em MPa) lida em uma</p><p>adutora ao longo de 10 horas de observação: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150,</p><p>200. Calcule a moda para esse conjunto de dados.</p><p>Solução: organizando os dados em rol crescente, obtemos a seguinte distribuição:</p><p>150 – 150 – 200 – 200 – 200 – 200 – 250 – 250 – 250 – 300</p><p>Note que, na série, há repetição dos valores 150 (2 vezes), 200 (4 vezes) e 250 (3</p><p>vezes). Assim, o valor modal para os valores de pressão manométrica ao longo das 10</p><p>horas é igual a 200 MPa, porque é o resultado que se repete mais vezes.</p><p>Acabamos de calcular a moda para o caso em que os dados não estão agrupados. Agora,</p><p>vamos aprender a calcular a moda para o caso em que os dados estão agrupados sem intervalo de</p><p>classe. Nessa situação, é muito fácil determinar o valor modal, bastando determinar a classe que</p><p>apresenta maior frequência. Vejamos o exemplo que segue.</p><p>Exemplo 19:</p><p>Determinada carreira profissional, em um órgão público, apresenta 5 níveis de</p><p>salários com uma distribuição apresentada na Tabela 13.</p><p>Tabela 13 – Distribuição salarial de funcionários de uma carreira pública.</p><p>Salários (R$) 1.500,00 2.000,00 2.500,00 3.000,00 3.500,00</p><p>Quantidade de</p><p>funcionários</p><p>8 13 23 18 3</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Determine o salário modal desse órgão público.</p><p>Solução: o salário modal desse compartimento público é R$ 2.500,00, pois esse valor</p><p>caracteriza o maior número de ocorrências (23 vezes).</p><p>Vejamos agora o caso do cálculo da moda quando os dados estão agrupados em classe.</p><p>Nesse caso, é comum fazer uso da equação de Czuber para o cálculo do valor modal, como</p><p>mostra a Eq. (10):</p><p>Eq. (10)</p><p>30WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Nela, é o limite inferior da classe modal, é a diferença entre a frequência da classe</p><p>modal e a frequência da classe anterior à classe modal, é a diferença entre a frequência da</p><p>classe modal e a frequência da classe posterior à classe modal e é a amplitude da classe</p><p>modal. Vejamos o exemplo seguinte.</p><p>Exemplo 20:</p><p>A Tabela 14 apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas numa</p><p>prova de mecânica dos fluidos, realizada por 50 estudantes universitários do curso de</p><p>engenharia mecânica.</p><p>Tabela 14 – Distribuição de frequência das notas em mecânica dos fluidos.</p><p>Nota Frequência</p><p>4</p><p>12</p><p>15</p><p>13</p><p>6</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Determine a nota modal.</p><p>Solução: a classe modal corresponde à classe que apresenta maior frequência. É claro</p><p>que essa frequência corresponde à terceira classe. Assim,</p><p>, , e . Logo, a nota modal é:</p><p>Portanto, a nota modal em mecânica dos fluidos foi de 5,2.</p><p>A moda é, em geral, usada para medidas rápidas e aproximações de posição ou, ainda,</p><p>quando a medida de posição deve ser</p><p>o valor mais frequente da distribuição.</p><p>2.3 Mediana</p><p>A mediana (Me) é a medida de posição definida como sendo o número que divide o</p><p>conjunto de dados analisado em duas partes iguais, com o número igual de elementos. Dessa</p><p>maneira, a mediana encontra-se no centro de uma série estatística organizada em rol.</p><p>Ao organizar os dados em rol e este apresentar um número ímpar de elementos, a</p><p>mediana será o valor central. Caso o rol tenha um número par de elementos, a mediana será</p><p>a média aritmética entre os dois termos centrais. Nesse caso, a mediana será um valor que não</p><p>necessariamente pertence à série de dados.</p><p>31WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 21:</p><p>Os dados a seguir correspondem ao rol crescente de medidas da concentração</p><p>de um poluente líquido (em ppb) ao longo de 25 dias:</p><p>24 − 24 −24 −25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 − 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40− 46 – 48</p><p>− 48 − 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65</p><p>Determine a concentração mediana desse poluente, em ppb.</p><p>Solução: note que os dados estão organizados em rol crescente e que temos 25 valores.</p><p>O 13º elemento é o que ocupa a posição central (está destacado no rol) e esse valor é a</p><p>mediana do conjunto de dados. Assim sendo, a concentração mediana do poluente é</p><p>igual a 40 ppb.</p><p>Exemplo 22:</p><p>Cientistas ambientais mediram as emissões de gases de efeito estufa de uma</p><p>amostra de vinte carros. As quantidades listadas estão em toneladas (por ano), expres-</p><p>sas em equivalente de CO2.</p><p>8,5 – 5,0 – 4,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0 – 1,5 – 4,5 – 10,0 – 6,5 – 6,0 – 7,5 – 5,5 – 9,5 – 8,5 – 70 –</p><p>9,0 – 8,5 – 3,0 – 20.</p><p>Qual é a mediana teórica da quantidade de gases de efeito estufa dessa amostra</p><p>de carros?</p><p>Solução: primeiramente, vamos organizar o conjunto de dados em rol crescente. Assim,</p><p>temos:</p><p>1,5 – 2,0 – 3,0 – 4,0 – 4,5 – 5,0 – 5,5 – 6 – 6,5 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,5 – 8,5 – 8,5 –</p><p>9,0 – 9,0 – 9,5 – 10,0</p><p>Note que temos um número par de elementos, e os dois termos centrais têm</p><p>média aritmética igual a 7,0. Portanto, a mediana é igual a 7,0 toneladas (por ano).</p><p>Acabamos de calcular a mediana para o caso em que os dados não estão agrupados.</p><p>Agora, vamos aprender a calcular a mediana para o caso em que os dados estão agrupados sem</p><p>intervalo de classe. Nessa situação, devemos executar os seguintes passos: (i) calcular a frequência</p><p>acumulada; (ii) determinar um valor tal, que dívida a distribuição em dois grupos que contenham</p><p>o mesmo número de elementos. Vejamos o exemplo a seguir.</p><p>32WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 23:</p><p>Os salários dos 40 funcionários de uma construtora, em 31 de dezembro de</p><p>2020, estavam distribuídos segundo as informações da Tabela 15.</p><p>Tabela 15 – Distribuição de frequência salarial de uma construtora.</p><p>Salário (R$) Número de funcionários</p><p>800,00 4</p><p>1.100,00 8</p><p>2.000,00 10</p><p>2.800,00 16</p><p>3.600,00 2</p><p>Total 40</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Determine a mediana dos salários dos funcionários da construtora.</p><p>Solução: para determinar o valor da mediana, primeiramente, vamos determinar</p><p>a frequência acumulada, como apresentado na Tabela 16, para o conjunto de dados.</p><p>Assim:</p><p>Tabela 16 – Distribuição de frequências para os salários dos funcionários da construtora.</p><p>Salário (R$)</p><p>800,00 4 4</p><p>1.100,00 8 12</p><p>2.000,00 10 22</p><p>2.800,00 16 38</p><p>3.600,00 2 40</p><p>Total 40 -</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Daí, a posição da mediana será , ou seja, o valor pertence à 3ª classe e</p><p>corresponde ao salário de R$ 2.000,00. Portanto, a mediana do salário da construtora é</p><p>igual a R$ 2.000,00.</p><p>Vejamos o caso do cálculo da mediana quando os dados estão agrupados em classe. Nesse</p><p>caso, usa-se a Eq. (11) de interpolação linear:</p><p>Eq. (11)</p><p>Nela: é o limitante inferior da classe mediana; é o número de elementos coletados na</p><p>pesquisa; é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; é a frequência</p><p>absoluta da classe mediana; e é a amplitude da classe da mediana. Vejamos o exemplo seguinte.</p><p>33WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 24:</p><p>A Tabela 17 apresenta a distribuição de frequência do percentual de redução da</p><p>carga bacteriana, empregando um novo desinfetante desenvolvido por um engenheiro</p><p>químico. Determinar o percentual mediano desse conjunto de dados.</p><p>Tabela 17 – Distribuição de frequência do percentual de redução da carga bacteriana,</p><p>empregando um novo desinfetante.</p><p>Percentual de redução</p><p>Frequência (fi)</p><p>Percentual de redução Frequência (fi)</p><p>12</p><p>11</p><p>12</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>Total 40</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Solução: vamos, primeiramente, escrever a Tabela 18 com a coluna de frequência acu-</p><p>mulada e identificar a classe mediana. Assim:</p><p>Tabela 18 – Distribuições de frequência.</p><p>Percentual de redução</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>34WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Depreende-se, da Tabela 18, que n = 40 e que a classe que contém a mediana</p><p>é a segunda (hachurada na Tabela 18). Para essa classe, temos: , ,</p><p>e . Daí:</p><p>Portanto, o percentual de redução mediano foi de 23,45.</p><p>Logo, o valor mediano de redução da carga bacteriana, empregando um novo</p><p>desinfetante, é igual a 23,45%.</p><p>3. MEDIDAS DE SEPARATRIZES</p><p>Essas medidas são valores que ocupam posições no conjunto de dados, em rol, dividindo-o</p><p>em partes iguais e podendo ser:</p><p>a. quartis – divide a série em quatro partes iguais. São assim representados Q1 (25% dos</p><p>dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro quartil), Q2 (50% dos</p><p>dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do segundo quartil, e é evidente</p><p>que Q2 coincide com a mediana) e Q3 (75% dos dados são valores menores ou iguais ao</p><p>valor do terceiro quartil).</p><p>b. decis – divide a série em dez partes iguais. São assim representados: D1 (10% dos dados</p><p>são valores menores ou iguais ao valor do primeiro decil), D2 (20% dos dados são valores</p><p>menores ou iguais ao valor do segundo decil), D3 (30% dos dados são valores menores</p><p>ou iguais ao valor do terceiro decil), D4 (40% dos dados são valores menores ou iguais</p><p>ao valor do quarto decil), D5 (50% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do</p><p>quinto decil), D6 (60% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do sexto decil),</p><p>D7 (70% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do sétimo decil), D8 (80% dos</p><p>dados são valores menores ou iguais ao valor do oitavo decil) e D9 (90% dos dados são</p><p>valores menores ou iguais ao valor do nono decil).</p><p>c. percentis - dividem o conjunto de dados em cem partes iguais. A seguir, são apresentados</p><p>alguns dos percentis mais usados: P5 (5% dos dados são valores menores ou iguais ao</p><p>valor do quinto percentil), P10 (10% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do</p><p>décimo percentil), P25 (25% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do vigésimo</p><p>quinto percentil), P50 (50% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do percentil</p><p>cinquenta), P75 (75% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do percentil setenta</p><p>e cinco), P90 (90% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do percentil noventa)</p><p>e P95 (95% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do percentil noventa e cinco).</p><p>35WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 25:</p><p>Um estudo conduzido para quantificar o percentual de rendimento, em óleo, do olea-</p><p>ginoso girassol para a produção de biodiesel é apresentado na Tabela 19.</p><p>Tabela 19 – Rendimento percentual de extração de oleaginosas.</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Com base nessas informações, determine:</p><p>a) o primeiro quartil.</p><p>b) o segundo decil.</p><p>c) o octogésimo percentil.</p><p>Solução: primeiro, temos de organizar os dados em rol. Note que a Tabela 19 já está organizada</p><p>em rol. Assim:</p><p>(a) para o primeiro quartil, temos que 25% dos valores são menores ou iguais ao valor do pri-</p><p>meiro quartil. Daí, . Note que a grandeza rendimento não</p><p>é inteira, então</p><p>iremos arredonda-la para cima. Assim, os percentuais de rendimento que</p><p>ocupam entre a 1ª e a 8ª posição formam primeiro quartil, ou seja, Q1 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32;</p><p>2,71; 3,09; 3,73; 4,03}.</p><p>36WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(b) para o segundo decil, temos que 20% dos valores são menores ou iguais ao segundo decil.</p><p>Daí, . Assim, os percentuais de rendimento que ocupam entre</p><p>a 1ª e a 6ª posição formam o segundo decil, ou seja, D2 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32; 2,71; 3,09}.</p><p>(c) para o octogésimo percentil, temos que 80% dos valores são menores ou iguais a 80º per-</p><p>centil. Daí, . Assim, os percentuais de rendimento que ocu-</p><p>pam entre a 1ª e a 24ª posição formam o octogésimo percentil, ou seja, P80 = {1,59; 1,83; 1,93;</p><p>2,32; 2,71; 3,09; 3,73; 4,03; 4,25; 4,40; 4,50; 5,18; 5,20; 5,30; 5,34; 5,56; 6,04; 6,07; 6,09; 6,17; 6,41;</p><p>7,33; 7,97; 8,10}.</p><p>4. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE</p><p>A medida de assimetria é um indicador da forma da distribuição dos dados. Ao construir</p><p>uma distribuição de frequências e/ou um histograma, está buscando identificar visualmente a</p><p>forma da distribuição dos dados. Uma distribuição é classificada como:</p><p>(a) simétrica se média = mediana = moda. Esse caso é ilustrado pela Figura 18.</p><p>Figura 18 – Distribuição simétrica. Fonte: Os autores.</p><p>(b) assimétrica negativa se média ≤ mediana ≤ moda. O lado mais longo do polígono</p><p>de frequência (cauda da distribuição) está à esquerda do centro, como apresentado na Figura 19.</p><p>Figura 19 – Distribuição assimétrica negativa. Fonte: Os autores.</p><p>37WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(c) assimétrica positiva se moda ≤ mediana ≤ média. O lado mais longo do polígono de</p><p>frequência está à direita do centro, como apresentado na Figura 20.</p><p>Figura 20 – Distribuição assimétrica positiva. Fonte: Os autores.</p><p>Exemplo 26:</p><p>Os valores a seguir correspondem à força, em kN, aplicada em vinte e cinco corpos</p><p>de prova, feitos de um novo material e criados por um grupo de pesquisa constituído por</p><p>engenheiros mecânicos:</p><p>24 – 24 – 24 – 25 – 25 – 30 – 32 – 32 – 35 – 36 – 36 – 40 – 40 – 40 – 40 – 40 – 46 –</p><p>48 – 48 – 50 – 54 – 60 – 60 – 65</p><p>Verifique se esse conjunto de dados é simétrico ou assimétrico.</p><p>Solução: para esse conjunto de dados, temos que a média é igual a 40 kN, a mediana</p><p>é igual a 40 kN, e a moda é igual a 40 kN (confira!). Assim, segue que essa distribuição é</p><p>simétrica.</p><p>A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, ou o quanto uma curva de</p><p>frequência será achatada em relação a uma curva normal de referência. Para o cálculo do grau</p><p>de curtose de uma distribuição, utiliza-se o coeficiente de curtose (ou coeficiente percentílico de</p><p>curtose), definido como na Eq. (12):</p><p>Eq. (12)</p><p>Nela: Q3 e Q1 são o terceiro e primeiro quartis; P90 e P10 são o nonagésimo e o décimo</p><p>percentis. Quanto à curtose, a distribuição pode ser:</p><p>(a) Mesocúrtica – normal. Nem achatada, nem alongada e é tal que C = 0,263, como</p><p>apresentado na Figura 21.</p><p>Figura 21 – Curva mesocúrtica. Fonte: Os autores.</p><p>(b) Platicúrtica – achatada e, nesse caso, C > 0,263, como ilustra a Figura 22.</p><p>38WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 22 – Curva platicúrtica. Fonte: Os autores.</p><p>(c) Leptocúrtica – alongada e, nesse caso, C < 0,263, como ilustrado na Figura 23.</p><p>Figura 23 – Curva leptocúrtica. Fonte: Os autores.</p><p>5. MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>Agora, vamos discutir a dispersão ou variabilidade dos dados estudados. Essas medidas</p><p>incluem o estudo da amplitude total, da variância, do desvio-padrão e do coeficiente de variação.</p><p>Nossos objetivos aqui é determinar as medidas de dispersão, bem como sua interpretação. P a r a</p><p>iniciar nosso estudo, considere os seguintes conjuntos de dados:</p><p>A: 18, 18, 18, 18, 18</p><p>B: 16, 17, 18, 19, 20</p><p>C: - 47, - 37, - 2, 68, 108</p><p>A média aritmética de cada conjunto de dados é:</p><p>Note que, embora as médias aritméticas sejam iguais, existe diferença na dispersão desses</p><p>dados em relação à média. Temos que o conjunto de dados A é mais homogêneo que o conjunto</p><p>de dados B, que, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto de dados C. Ou seja, quando</p><p>comparamos esses conjuntos de dados de A para C, temos aumento na dispersão dos dados por</p><p>eles apresentados.</p><p>Daí, surge a necessidade de medir a dispersão ou variabilidade de um conjunto de dados.</p><p>As medidas de dispersão são: amplitude total, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.</p><p>39WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>5.1 Amplitude Total</p><p>A amplitude total (AT) de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o</p><p>menor valor, como pode ser visto na Eq. (13):</p><p>Eq. (13)</p><p>Trata-se de uma medida de dispersão muito sensível aos valores extremos e não tão útil</p><p>quanto as outras medidas de dispersão que estudaremos. Estudemos os exemplos seguintes.</p><p>Exemplo 27:</p><p>Na Tabela 20, estão os valores, em rol, da tensão (em mV) desenvolvida por resistores</p><p>idênticos testados em laboratório. Determine a amplitude total desse conjunto de dados.</p><p>Tabela 20 – Tensão desenvolvida por resistores, em mV.</p><p>1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00</p><p>11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38</p><p>21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63</p><p>34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Solução: antes de calcular a amplitude total, primeiramente, devemos escrever os dados em rol.</p><p>Assim sendo, temos que:</p><p>Logo, a amplitude total desse conjunto de dados é igual a 77,13.</p><p>Exemplo 28:</p><p>Na Tabela 21, estão os valores, em rol, da tensão (em mV) desenvolvida por resistores</p><p>idênticos testados em laboratório. Determine a amplitude total desse conjunto de dados.</p><p>Tabela 21 – Tensão desenvolvida por resistores, em mV.</p><p>11</p><p>12</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>Total 40</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Solução: nessa situação, em que os dados estão organizados por classe, a amplitude é dada</p><p>por: . Logo, a amplitude da tensão, desenvolvida pelos resistores em teste,</p><p>é igual a 78 mV.</p><p>40WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>5.2 Variância</p><p>A diferença entre cada valor observado e a média é denominada desvio e é dada por</p><p>, se o conjunto de dados for um universo, ou por se os dados forem amostrais. Ao</p><p>somar todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenças de cada valor observado em relação</p><p>à média, o resultado é igual a zero. Isso significa que essa medida não mede a variabilidade dos</p><p>dados. Para resolver esse problema, consideramos o quadrado dos desvios em relação à média.</p><p>A variância é uma medida de dispersão estatística, determinando quão longe os valores</p><p>coletados estão em relação ao valor esperado. As variâncias populacional e amostral são calculadas</p><p>de acordo com as Eq. (14) e (15), respectivamente:</p><p>Eq. (14)</p><p>Eq. (15)</p><p>Nelas, é a variância populacional, é a variância amostral, é o valor da variável, é</p><p>a média aritmética dos elementos da população, é a média aritmética dos elementos da amostra,</p><p>N é o número de elementos da população, e n é o número de elementos da amostra.</p><p>Exemplo 29:</p><p>O número de metros cúbicos de água, consumidos diariamente em um condomínio, é:</p><p>3 – 6 – 2 – 7 – 2. Determine a variância amostral para o consumo de água desse condomínio,</p><p>em .</p><p>Solução: primeiramente, vamos determinar a média aritmética da amostra. Assim,</p><p>. Para obter o quadrado dos desvios, montamos a Tabela 22.</p><p>Tabela 22 – Tabela de desvios em relação à média.</p><p>3 1</p><p>6 4</p><p>2 4</p><p>7 9</p><p>2 4</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Daí, segue que a variância amostral é:</p><p>Portanto, a variância é 5,5 2.</p><p>41WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados sem</p><p>intervalo de classe. Nesse caso,</p><p>a variância é dada pela Eq. (16):</p><p>Eq. (16)</p><p>Nela, é o ponto médio da classe considerada, n é o número de elementos da amostra, e</p><p>é a frequência absoluta.</p><p>Exemplo 30:</p><p>Os dados da Tabela 23 correspondem ao número de semanas de férias usadas pelos</p><p>funcionários de uma construtora. Determine a variância amostral para esse conjunto de dados.</p><p>Tabela 23 – Número de semanas de férias, usadas pelos funcionários de uma construtora.</p><p>Número semanas de férias Frequência observada</p><p>0 20</p><p>1 40</p><p>2 80</p><p>3 50</p><p>4 10</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Solução: para o cálculo da variância amostral, montamos a Tabela 24. Assim:</p><p>Tabela 24 – Valores calculados para determinação da variância amostral.</p><p>0 20 0 0</p><p>1 40 40 40</p><p>2 80 160 320</p><p>3 50 150 350</p><p>4 10 40 160</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Assim, a variância amostral é:</p><p>Logo, a variância amostral é 0,5475 semanas2.</p><p>Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados com</p><p>intervalo de classe. Nesse caso, a equação da variância é dada por:</p><p>42WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Eq. (17)</p><p>Na Eq. (17), é o ponto médio da classe considerada, n é o número de elementos da</p><p>amostra, e é a frequência absoluta da classe.</p><p>Exemplo 31</p><p>A Tabela 25 apresenta a distribuição de frequência do percentual de redução da carga</p><p>bacteriana, empregando um novo desinfetante desenvolvido por um engenheiro químico.</p><p>Determine a variância amostral desse conjunto de dados.</p><p>Tabela 25 – Percentual de redução da carga bacteriana.</p><p>Percentual de redução Frequência</p><p>12</p><p>11</p><p>12</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>Total 40</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Solução: para o cálculo da variância amostral, montamos a Tabela 26.</p><p>Tabela 26 – Cálculo de valores para determinação da variância amostral.</p><p>12 7,5 90 675</p><p>11 20,5 225,5 4.622,75</p><p>12 33,5 402 13.467</p><p>3 46,5 139,5 6.486,75</p><p>1 59,5 59,5 3.540,25</p><p>1 72,5 72,5 5.256,25</p><p>Total -</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Assim, a variância amostral é:</p><p>Logo, a variância é 239,87 %2.</p><p>43WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>5.3 Desvio-Padrão</p><p>Vimos que a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à média</p><p>e que ela é um número cuja unidade está ao quadrado em relação à variável estudada, o que, sob o</p><p>aspecto prático, é inconveniente. O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância,</p><p>o que, do ponto de vista prático, é mais conveniente, pois, assim, a medida de dispersão tem a</p><p>mesma unidade da média. O desvio-padrão populacional e amostral é definido pelas Eq. (18) e</p><p>(19):</p><p>Eq. (18)</p><p>Eq. (19)</p><p>Nelas, é desvio-padrão populacional, é a variância populacional, é o desvio padrão</p><p>amostral e é a variância amostral.</p><p>O desvio-padrão apresenta as seguintes propriedades:</p><p>(i) Adicionando (ou subtraindo) uma constante k de todos os valores da variável em</p><p>estudo, o desvio padrão não se altera.</p><p>(ii) Multiplicando todos os valores da variável em estudo por uma constante k, tal que</p><p>, o desvio-padrão fica multiplicado por essa constante.</p><p>Exemplo 32:</p><p>No exemplo 29, verificamos que a variância foi . Assim, o desvio-padrão é</p><p>m3. Já, no exemplo 30, mostramos que a variância foi semanas2</p><p>e, daí, o desvio-padrão é igual a semanas. Finalmente, no exemplo 31,</p><p>verificamos que a variância foi %2 e, daí, o desvio-padrão é igual a %.</p><p>O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, o qual é definido</p><p>como sendo a razão entre o desvio-padrão e a média aritmética. O coeficiente de variação,</p><p>definido pela Eq. (20), é empregado na comparação do grau de concentração em torno da média</p><p>para duas ou mais séries estatísticas distintas. Dizemos que uma série é mais homogênea que</p><p>outra quando apresentar menor coeficiente de variação.</p><p>Eq. (20)</p><p>Quando todos os valores são iguais, o desvio-padrão é 0. Do contrário, o desvio-</p><p>padrão tem de ser positivo.</p><p>44WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Nela, s é o desvio-padrão, e é a média aritmética.</p><p>Exemplo 33:</p><p>Na Tabela 27, são apresentados os valores da concentração de partículas poluentes em</p><p>duas regiões distintas de uma grande cidade brasileira.</p><p>Tabela 27 – Concentração de partículas, em partes por bilhão (ppb).</p><p>27 – Concentração de partículas, em partes por bilhão (ppb).</p><p>Região Concentração (ppb) Desvio-padrão (ppb)</p><p>A 1.000 200</p><p>B 1.000 300</p><p>Fonte: Os autores.</p><p>Qual das regiões apresenta mais homogeneidade nos dados?</p><p>Solução: vamos calcular os coeficientes de variação das concentrações das partículas poluido-</p><p>ras das regiões A e B.</p><p>Como o coeficiente de variação da região A é menor que o da região B, segue que a</p><p>concentração de partículas poluidoras na região A é mais homogêneado que na região B.</p><p>Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros é elaborado para atender</p><p>aos estudantes de Engenharias, Física ou Química. Seus autores, Douglas</p><p>C. Montgomery e George C. Runger, usaram exemplos reais para lidar com a</p><p>variabilidade dos dados.</p><p>45WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Chegamos ao final da Unidade 1. Nela, estudamos como organizar os dados em tabelas e</p><p>gráficos. Estudamos, também, as medidas de posição, que são valores que representam a tendência</p><p>de concentração dos dados observados. Na unidade, tratamos das seguintes medidas de posição:</p><p>média, moda e mediana. Aprendemos, também, sobre as medidas de dispersão, que são utilizadas</p><p>para indicar o grau de variação dos elementos de um conjunto numérico em relação à sua média.</p><p>Abordamos quatro medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de</p><p>variação. Assim, chegamos ao fim da unidade e podemos dar início à próxima, na qual vamos</p><p>discutir sobre probabilidade.</p><p>4646WWW.UNINGA.BR</p><p>U N I D A D E</p><p>02</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................47</p><p>1. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE ..........................................................................................................................48</p><p>2. AS REGRAS DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO PARA O CÁLCULO DE PROBABILIDADE .....................................56</p><p>3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE .............................................................................................67</p><p>3.1 A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL ............................................................................................ 73</p><p>3.2 A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISON .........................................................................................76</p><p>3.3 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL PROBABILIDADE ...................................................................................................78</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................89</p><p>ESTUDO DA PROBABILIDADE E DAS</p><p>DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE</p><p>PROFA. MA. MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA</p><p>PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA</p><p>47WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Athanasios Papoulis, um engenheiro e matemático grego, que escreveu o livro Probability,</p><p>Random Variables and Stochastic Processes, usado nas principais escolas de engenharia do mundo,</p><p>disse:</p><p>As teorias científicas lidam com conceitos, não com a realidade. Embora</p><p>elas sejam formuladas para corresponder à realidade, esta correspondência</p><p>é aproximada e a justificativa para todas as conclusões teóricas é baseada em</p><p>alguma forma de raciocínio indutivo (PAPOULIS, 1965).</p><p>Desde o período dos primeiros estudos matemáticos sobre probabilidades até a metade do</p><p>século XX, surgiram várias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações</p><p>que chamamos de</p><p>clássicas, tais como: cálculo associado aos seguros de vida (cálculos atuariais); cálculos referentes</p><p>aos estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação, como o caso recente</p><p>do COVID-19 (estudos demográficos); teoria de jogos, como loteria, carteados etc. Todas essas</p><p>teorias estão baseadas em probabilidades.</p><p>Há registros históricos de censos para fins de alistamento militar e de coleta de impostos,</p><p>realizados há mais de 4.000 anos, como é o caso do censo do imperador Yao, na China. Em todo</p><p>esse tempo, a estatística era usada meramente para o trabalho de exibição e síntese dos dados</p><p>colhidos pelo censo, ou seja, tratava-se da Estatística Descritiva, a qual não envolvia nenhum</p><p>trabalho probabilístico, pois todos os objetos do universo envolvido (a população) eram apenas</p><p>observados e medidos.</p><p>A primeira pessoa a pensar em medir/observar uma amostra e, a partir de análise</p><p>probabilista, estender os resultados dessa amostra para todo o universo foi Adolphe Quételet,</p><p>no ano de 1850. A partir dele, rapidamente surgiu a ideia de dar consistência mais rigorosa ao</p><p>método científico a partir de uma fundamentação probabilista para as etapas da coleta e análise</p><p>indutiva de dados científicos. Essa ideia é usada até hoje para a tomada de decisões.</p><p>Nesta unidade, serão abordados os conceitos básicos de probabilidade e alguns casos de</p><p>distribuição de probabilidade. Esperamos que você aproveite. Bons estudos.</p><p>48WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE</p><p>Ao estudar probabilidade, nos deparamos com uma série de novos conceitos. A fim de</p><p>relembrar e elucidar esses conceitos, para melhor entendimento do estudo de probabilidade,</p><p>acompanhe as definições que seguem.</p><p>Definição 1 – Um experimento é um processo que permite ao pesquisador realizar</p><p>observações. Um evento é o conjunto de resultados de um dado experimento. Dizemos que</p><p>esse evento é um evento simples quando o evento, ou o resultado desse evento, não pode ser</p><p>decomposto em componentes mais simples. Por outro lado, um evento composto ocorre quando</p><p>o mesmo combina dois ou mais eventos simples.</p><p>Definição 2 – O espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados</p><p>possíveis de um experimento. Vamos denotar o número de resultados possíveis do espaço</p><p>amostral por n(S).</p><p>Definição 3 – Um evento aleatório é qualquer subconjunto de um espaço amostral, ou</p><p>seja, trata-se de um resultado possível de um experimento aleatório e que não é previsível.</p><p>Acompanhe o exemplo que segue.</p><p>Exemplo 1:</p><p>a) Considere o lançamento de uma moeda honesta. Nesse caso, o experimento é o lançamen-</p><p>to da moeda. Os resultados do experimento, sair cara ou sair coroa, são caracterizados como</p><p>eventos simples. O espaço amostral é S = {cara, coroa}.</p><p>b) Considere o lançamento simultâneo de três moedas honestas. Nesse caso, o experimento é</p><p>o lançamento da moeda. Denotando c por cara e k por coroa, segue que o espaço amostral é</p><p>. Os resultados desse experimento não são caracterizados como eventos sim-</p><p>ples. Mas por quê? Com o lançamento simultâneo de três moedas, o evento sair duas caras</p><p>e uma coroa pode ser decomposto em eventos mais simples, como: , ou . Por</p><p>outro lado, o resultado é um evento simples, uma vez que não pode ser decomposto em</p><p>resultados individuais. Aí, você poderia se perguntar: o evento não pode ser decomposto</p><p>em resultados individuais, tais como c, c e k? A pergunta é ótima, mas a forma de pensar é in-</p><p>correta, porque c, c e k não são resultados individuais do lançamento das três moedas. Lembre-</p><p>-se: com o lançamento de três moedas, n(S) = 8, ou seja, há exatamente 8 resultados possíveis</p><p>de eventos simples que já foram listados em S.</p><p>Vamos continuar com as definições.</p><p>Definição 4 – Admita um evento A qualquer, dentro de um espaço amostral S. O evento</p><p>complementar de A, denotado por , é o evento que acontece caso o evento A não aconteça.</p><p>Definição 5 – Um evento equiprovável é aquele no qual cada ponto amostral tem a</p><p>mesma chance de ocorrência.</p><p>49WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 2:</p><p>No lançamento simultâneo de três moedas honestas, o espaço amostral tem 8 elementos</p><p>e é igual a . Seja A o evento sair duas caras e uma coroa, ou seja, ,</p><p>. Dessa forma, o evento complementar de A é</p><p>. Observe que, no espaço amostral S, todos os eventos têm iguais chances de saírem, isto é, as</p><p>chances de sair o evento é idêntica às chances de saírem quaisquer outros eventos desse</p><p>espaço amostral.</p><p>Definição 6 – Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S,</p><p>digamos A e B. Dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se, quando o evento</p><p>A acontece, o evento B não acontece, ou vice-versa. Em outras palavras, a ocorrência de um dos</p><p>eventos implica a não ocorrência do outro.</p><p>Definição 7 – Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S,</p><p>digamos A e B. Dizemos que a união dos eventos A e B é formada pelos pontos amostrais que</p><p>pertencem a, pelo menos, um dos eventos. Em outras palavras, se o evento A ocorre ou se o</p><p>evento B ocorre ou se ambos os eventos ocorrem.</p><p>Definição 8 – Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S,</p><p>digamos A e B. Dizemos que a interseção dos eventos A e B é formada pelos pontos amostrais que</p><p>pertencem simultaneamente aos dois eventos. Em outras palavras, os eventos A e B acontecem</p><p>nos dois eventos.</p><p>Na abordagem clássica de probabilidade, admitimos que um experimento seja constituído</p><p>de N eventos simples, distintos e equiprováveis, a que denominados de elementos do espaço</p><p>amostral. Seja A um evento qualquer desse espaço amostral S, tal que o número de modos que</p><p>o evento A possa ocorrer seja n. A probabilidade de o evento A ocorrer em n das N maneiras</p><p>possíveis é obtida pela razão entre o número de maneiras em que A pode ocorrer e o número</p><p>de elementos distintos de eventos simples de S. A Eq. (1) ilustra a definição de probabilidade em</p><p>abordagem clássica.</p><p>Eq. (1)</p><p>Ao efetuar cálculo de probabilidade, fique atento ao fato de que:</p><p>a probabilidade de um evento impossível é nula.</p><p>a probabilidade de um evento certo é igual a 1 (ou 100%).</p><p>para qualquer evento X, a probabilidade de X está entre 0 e 1, inclusive.</p><p>se P(X) denota a probabilidade de o evento X ocorrer, então, a probabilidade do</p><p>evento complementar de X é igual a</p><p>50WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 3:</p><p>O baralho francês de 52 cartas, ilustrado na Figura 1, é constituído de 13 cartas de cada</p><p>um dos naipes franceses: paus, ouros, espadas e copas.</p><p>Figura 1 – Baralho francês de 52 cartas. Fonte: Os autores.</p><p>Ao escolher aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair:</p><p>a) uma carta de paus?</p><p>b) uma figura?</p><p>c) uma figura de paus?</p><p>Solução:</p><p>a) Seja X o evento de sair uma carta de paus. Observe que ele pode ocorrer 13 vezes. Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de sair uma carta de paus é de 25%.</p><p>b) Seja Y o evento de sair uma figura (reis, damas e valetes). Observe que ele pode ocorrer 12</p><p>vezes. Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de sair uma figura é, aproximadamente, de 23,1%.</p><p>c) Seja Z o evento de sair uma figura de paus. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes. Assim:</p><p>Portanto, a probabilidade de sair uma figura de paus é, aproximadamente, de 5,8%.</p><p>51WWW.UNINGA.BR</p><p>ES</p><p>TA</p><p>TÍ</p><p>ST</p><p>IC</p><p>A</p><p>E</p><p>PR</p><p>OB</p><p>AB</p><p>IL</p><p>ID</p><p>AD</p><p>E</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 4:</p><p>Considere o experimento do lançamento simultâneo de três moedas honestas para</p><p>responder às questões seguintes.</p><p>a) Qual a probabilidade de saírem três caras?</p><p>b) Qual a probabilidade de saírem duas coroas?</p><p>c) Qual a probabilidade de saírem duas coroas consecutivas?</p><p>d) Qual a probabilidade de não saírem duas coroas consecutivas?</p><p>Solução: o espaço amostral para esse experimento contém 8 elementos,</p>a equação da reta de correlação do tipo , vamos empregar
as Equações (03) e (04) como segue:
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Logo, a equação de regressão linear é:
d) O coeficiente de determinação é:
E, de acordo com o modelo especificado, 95,5% das variações da quantidade de soja
produzida são explicadas pelas variações da quantidade de fertilizante empregadas, e
4,5% das variações da quantidade de soja produzida são explicadas por outras variáveis
ou combinações de outras variáveis.
Capítulo 11:
Sendo a relação entre as variáveis de natureza
quantitativa, a correlação é o instrumento adequado
para descobrir e medir essa relação. Uma vez
caracterizada a relação, procuramos descrevê-la
através de uma função matemática. A regressão é
o instrumento adequado para a determinação dos
parâmetros dessa função (CRESPO, 2009)
Figura 5 – Estatística Fácil.
Fonte: Minha Biblioteca (2024).
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ANEXO 1 – Números aleatórios
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ANEXO 2 – Tabela Normal Reduzida
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ANEXO 3 - Distribuilção t de student
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na Unidade 4, trabalhamos com a correlação linear entre duas variáveis. Vimos as
possibilidades de correlações e como determina-las, tanto graficamente, através do diagrama de
dispersão, quanto algebricamente, através do coeficiente de correlação de Pearson. Além disso,
vimos que, uma vez correlacionadas, podemos determinar a equação de reta que melhor se ajusta
ao conjunto de dados. Finalmente, apresentamos o coeficiente de determinação que nos diz o
quanto a variável dependente foi influenciada pela variável independente.
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2009. Disponível em: https://
integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/. Acesso em: 12 fev. 2024.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências – Tradução da 9ª edição
norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.
minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/. Acesso em: 12 fev. 2024.
IBGE EDUCA. Principais tipos de gráficos para a educação básica. 2024. Disponível em:
https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/20773-tipos-de-graficos-no-ensino.html .
Acesso em: 12 fev. 2024.
IBGE. Atlas geográfico escolar. 2018. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/geociencias/atlas/
nacional/16633-atlas-geografico-escolar.html. Acesso em: 12 fev. 2024.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2016.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística Geral e Aplicada. 6. ed. São Paulo: Grupo
GEN, 2017. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597012682/.
Acesso em: 12 fev. 2024.
MATTOS, V. L. D.; AZAMBUJA, A. M. V.; KONRATH, A. C. Introdução à Estatística -
Aplicações em Ciências Exatas. São Paulo: Grupo GEN, 2017. Disponível em: https://integrada.
minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633556/. Acesso em: 12 fev. 2024.
TABELAS E SÉRIES ESTATÍSTICAS. Elementos que compõe uma tabela. 2024. Disponível em:
https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/11394823032022Aula_04.pdf . Acesso em: 12
fev. 2024.
VIRGILLITO, S. B. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/. Acesso em: 12 fev. 2024.Mais conteúdos dessa disciplina
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