MATEMATICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES

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<p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Unidade 1</p><p>Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos</p><p>Aula 1</p><p>Juros simples e Taxa Equivalente</p><p>Juros simples e taxa equivalente</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta aula, você conhecerá alguns conceitos iniciais da Matemática Financeira como: juros</p><p>simples, taxa equivalente e montante, os quais podem ser encontrados em nosso dia a dia em</p><p>diversas situações, como cálculo de juros em um empréstimo ou na compra de um</p><p>eletrodoméstico, aplicação de taxas, entre outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Davi, que precisa comprar</p><p>alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento: compras</p><p>com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros simples de 2,7%</p><p>a.m.</p><p>Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você</p><p>estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos dar início ao</p><p>nosso estudo!</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros simples</p><p>O conceito de juros simples pode ser aplicado em situações do nosso dia a dia, como cálculo em</p><p>multas, cheque especial, impostos, entre outros.</p><p>De acordo com Moreira (2010), o conceito de juros surgiu há muito tempo quando o homem</p><p>relacionou o tempo com ganho de dinheiro, com processos de acumulação de capital e a</p><p>desvalorização da moeda. Na Matemática Financeira, para aprofundarmos sobre o cálculo dos</p><p>juros, primeiramente precisamos conhecer a de�nição de alguns termos:</p><p>Taxa de juros (i): é a unidade de medida dos juros, correspondente à remuneração paga</p><p>pelo uso, durante determinado tempo, apresentada nas situações pela porcentagem.</p><p>Por exemplo: um empréstimo com taxa de 2% ao mês:</p><p>Tal que, 2% referem-se à taxa percentual e 0,02 à taxa unitária. Uma observação importante é que</p><p>o mercado �nanceiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário colocá-</p><p>la na forma unitária para realizar os cálculos �nanceiros.</p><p>Tempo (n): prazo da operação �nanceira, o qual deve estar equivalente ao período da taxa.</p><p>Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação</p><p>�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado valor presente (VP) e</p><p>valor atual (VA).</p><p>Juros (J): é a remuneração do capital empregado, ou seja, se aplicarmos um determinado</p><p>valor durante um período de tempo, ao �m do prazo, obteremos um valor de juros.</p><p>Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de</p><p>operações �nanceiras realizadas com o capital.</p><p>O juro simples é calculado sempre sobre o valor do capital inicial. Os juros de cada período são</p><p>obtidos multiplicando a taxa de juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela</p><p>seguinte fórmula:</p><p>Para melhor compreender, observe o exemplo:</p><p>Joana emprestou R$ 1500,00 de uma instituição bancária para pagar daqui 4 meses, com uma</p><p>taxa de 2% a.m. no regime de juros simples. Quanto Joana pagará de juros para instituição</p><p>bancária?</p><p>Temos que:</p><p>2% = 2</p><p>100 = 0,02</p><p>J = C. i.n</p><p>C = 1500</p><p>n = 4 meses</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Montante</p><p>Com intuito de aprofundar ainda mais sobre o regime de capitalização de juros simples, vamos</p><p>abordar o cálculo do montante.</p><p>O montante também é conhecido como valor futuro e na língua inglesa, usa-se Future Value,</p><p>indicado nas calculadoras �nanceiras pela tecla FV. O cálculo do montante é a soma do capital</p><p>com os juros, ou seja, a partir da seguinte fórmula:</p><p>Observe um exemplo do cálculo do montante:</p><p>Marcos investiu R$ 10.500,00 a uma taxa simples de 12% a.a., quanto ele terá ao �nal de 12</p><p>meses?</p><p>Temos que o capital é:</p><p>O período é</p><p>E a taxa que está ao ano deverá ser convertida ao mês, para que se torne equivalente ao período</p><p>da taxa, logo:</p><p>Agora, deve-se substituir na fórmula:</p><p>i = 2% a.m =   2</p><p>100 = 0,02</p><p>J = C. i.n</p><p>J = 1500.0,02.4</p><p>J = 120,00</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = 10.500</p><p>n = 12 meses</p><p>i = 12% a. a = 1% a.m  1</p><p>100 = 0,01</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>M = 10 500(1 + 0,01.12)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o montante será R$ 11 760,00.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa equivalente</p><p>Para que possamos compreender sobre taxa equivalente, primeiramente, vamos abordar sobre o</p><p>período comercial, qual é utilizado em transações �nanceiras:</p><p>1 mês = 30 dias</p><p>1 ano = 12 meses</p><p>1 ano = 360 dias</p><p>Essas informações serão necessárias para toda nossa disciplina, pois antes de calcular qualquer</p><p>fórmula você deve se atentar se o período temporal da taxa de juros (i) e período (n) estão</p><p>equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano, o período (n) também deve estar ao ano.</p><p>Se por acaso esses períodos temporais estiverem diferentes, faz-se necessário o cálculo da taxa</p><p>equivalente. No regime de capitalização do juros simples a taxa equivalente i_eq é calculada da</p><p>seguinte forma: quando a taxa for apresentada numa referência maior que a solicitada, deverá</p><p>dividir pela proporção da referência. Quando a taxa for apresentada numa referência menor que a</p><p>solicitada, deverá multiplicar pela proporção da referência menor.</p><p>Por exemplo: Carmem emprestou um valor X de seu irmão comprometendo-se a pagar após 4</p><p>meses, com uma taxa de 15% a.a. no regime de juros simples. A taxa está equivalente com o</p><p>período? Como podemos deixá-la equivalente?</p><p>Observe que a taxa de juros está ao ano e o período de tempo está ao mês, logo, faz-se</p><p>necessário deixar a taxa equivalente. Para isso, como temos a taxa ao ano, um período de</p><p>referência maior que o período ao mês, vamos dividir a taxa por 12.</p><p>Logo, a taxa equivalente será</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>M = 10 500(1 + 0,12)</p><p>M = 10 500(1,12)</p><p>M = 11 760</p><p>i = 15% a. a =  ieq =</p><p>15%</p><p>12 = 1,25%a.m</p><p>ieq = 1, 25%a.m.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação Davi, que precisa comprar</p><p>alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento:</p><p>Compras com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros</p><p>simples de 2,7% a.m.</p><p>Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você</p><p>estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Primeiramente, temos que</p><p>calcular o valor da entrada, ou seja, 25% de 800:</p><p>Como a entrada é R$ 200,00, subtraindo do valor da compra de R$ 800,00, temos que o capital é:</p><p>O período é</p><p>E a taxa que está ao mês deverá ser convertida ao dia, para que se torne equivalente ao período</p><p>da taxa, logo:</p><p>Agora, deve-se substituir na fórmula:</p><p>Logo, João pagará no prazo �nal R$ 605,40.</p><p>Saiba mais</p><p>25% de 800 = 25</p><p>100 . 800 = 20000</p><p>100 = 200</p><p>C = 600</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>n = 10 dias.</p><p>ieq = 2,7% a.m =</p><p>2,7%</p><p>30 dias = 0,09% a. d =</p><p>0,09</p><p>100 = 0,0009</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>M = 600(1 + 0,0009.10)</p><p>M = 600(1 + 0,009)</p><p>M = 600(1,009)</p><p>M = 605,40</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para saber mais sobre o regime de capitalização de juros simples leia o artigo Uma breve</p><p>introdução à matemática �nanceira: juros simples de José Bonifácio de Araújo Júnior.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>Aula 2</p><p>Séries de Juros Simples</p><p>Séries de juros simples</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo</p><p>aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização</p><p>de juros simples, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o</p><p>parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os</p><p>juros simples com e sem entrada.</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros simples, considere a situação da</p><p>Ana, que para compra de uma máquina nova para sua empresa, parcelou em 3 vezes mensais</p><p>uma quantia de R$ 4.500,00 com taxa de juros simples de 5% a.m. Determine o valor de cada</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>parcela que Ana vai pagar.</p><p>Antes de resolver o problema da Ana, vamos realizar um estudo sobre parcelamento!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Parcelamento</p><p>Muitas vezes, você, ao comprar um móvel, imóvel ou qualquer outra coisa �nanciada, precisa</p><p>calcular o valor das parcelas a serem pagas. Você já viu o seguinte tipo de anúncio: Taxa de juros</p><p>de 0,89%! Saberia veri�car se o valor da parcela pago pelo produto foi calculado exatamente com</p><p>essa taxa de juros?</p><p>Para isso, vamos aprender o conceito de séries, que utilizamos em situações que envolvem</p><p>parcelamento e prestações. Essa fórmula das séries deve ser aplicada em problemas que</p><p>envolvam poucas parcelas.</p><p>As séries de juros simples são compostas a partir da equação geral do montante de juros</p><p>simples, da seguinte forma:</p><p>Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de</p><p>uma compra é o capital, temos:</p><p>Logo,</p><p>Tal que:</p><p>Então:</p><p>Tal que,</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = M</p><p>(1+i.n)</p><p>C1 = M1/(1 + i.n1)′′′′;C2 = M2</p><p>(1+i.n2)</p><p>;… ;Cj =</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = C1 + C2 +…+ Cj</p><p>C = M1</p><p>(1+i.n1)</p><p>+ M2</p><p>(1+i.n2)</p><p>+…+</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>C: capital</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>Siga em Frente...</p><p>Juros simples no parcelamento</p><p>Quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime de capitalização de juros simples,</p><p>deve-se utilizar a fórmula de série:</p><p>Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros,</p><p>n o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir:</p><p>João pretende comprar uma televisão em 2 vezes mensais e iguais, tal que o preço à vista é R$</p><p>740,00. Se o parcelamento será realizado sob a taxa de juros simples de 4% a.m., qual o valor das</p><p>parcelas?</p><p>Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (Cada uma delas vale</p><p>M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que</p><p>equivale ao capital (C) é igual a R$ 740,00.</p><p>A taxa de juros simples é igual a i = 4% a.m. Lembre-se que, conforme vimos na seção anterior,</p><p>temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.</p><p>Aplicando a equação da série de juros simples:</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>M</p><p>1+0,04∙1</p><p>+ M</p><p>1+0,04∙2</p><p>= 740</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos colocar o M em evidência,</p><p>Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.</p><p>Séries de juros simples</p><p>Utilizamos a série de juros simples em situações que necessitam do cálculo de prestações e</p><p>parcelamentos, em tal regime de capitalização. Agora, vamos continuar abordando este tema,</p><p>porém quando temos o pagamento de uma entrada, na seguinte fórmula:</p><p>Tal que,</p><p>AV: valor à vista</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>E: valor da entrada</p><p>Observe um exemplo:</p><p>Uma impressora está em promoção com duas parcelas iguais a R$ 400,00, vencendo em dois</p><p>meses, com entrada de R$ 200,00. Sabendo que esses valores foram obtidos sob taxa de juros</p><p>simples de 60% a.a., determine o valor à vista da impressora.</p><p>( 1</p><p>1,04 + 1</p><p>1,08 )M = 740</p><p>(0,9615 + 0,9259)M = 740</p><p>1,8874M = 740</p><p>M = 740</p><p>1,8874 = 392,07</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Primeiramente, temos que deixar nossa taxa equivalente que está ao ano para mês.</p><p>Na sequência, é preciso substituir os valores na fórmula da série de juros simples com entrada.</p><p>Portanto, o valor à vista da impressora é R$ 911,47.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Ana, que para compra de</p><p>uma máquina nova para sua empresa, parcelou em 3 vezes mensais uma quantia de R$ 4.500,00</p><p>com taxa de juros simples de 5% a.m. Determine o valor de cada parcela que Ana vai pagar.</p><p>Logo, Ana pagará R$ 1.647,69 em cada parcela.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre parcelamento e séries de juros simples, leia o artigo Sistema de</p><p>prestações constantes no regime de juros simples de Clovis de Faro e Gerson Lachtermacher.</p><p>Referências</p><p>ieq =</p><p>60%</p><p>12 = 5% a.m</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>AV − 200 = 400</p><p>1+0,0⋅2 + 400</p><p>1+0,05⋅3</p><p>AV = 400</p><p>1,1 + 400</p><p>1,15 + 200</p><p>AV = 363,64 + 347,83 + 200</p><p>AV = 911,47</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>1+inj</p><p>4500 = M</p><p>1+0,05⋅1</p><p>+ M</p><p>1+0,05⋅2</p><p>+ M</p><p>1+0,05⋅3</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FARO, C.; LACHTERMACHER, G. Sistema de prestações constantes no regime de juros simples.</p><p>Revista Estudos e Negócios Academics, v. 3, n. 5, p. 3-13, 2023.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>Aula 3</p><p>Juros compostos e Taxa Equivalente</p><p>Juros compostos e taxa equivalente</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai conhecer o regime de capitalização de juros compostos, que difere do</p><p>regime de capitalização de juros simples, pois considera o resgate dos juros a cada período. Os</p><p>juros são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de juros varia</p><p>exponencialmente em função do tempo.</p><p>Para colocar em prática o cálculo do montante dos juros compostos, considere a situação da</p><p>Alana que comprou um aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagá-lo no prazo de 2 meses,</p><p>a partir da seguinte condição de pagamento:</p><p>Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de</p><p>42,58% a.a.</p><p>Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses? Antes de resolver</p><p>essa situação, vamos abordar os conceitos relacionados ao regime de capitalização de juros</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>compostos, desde cálculo do montante e taxa equivalente.</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos</p><p>O juro composto é calculado sobre o montante relativo ao período anterior, em que os juros são</p><p>incorporados, a cada período de capitalização, ao principal. Para seu cálculo também</p><p>utilizaremos as seguintes nomenclaturas:</p><p>Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação</p><p>�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado como valor presente (VP)</p><p>e valor atual (VA).</p><p>Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de</p><p>operações �nanceiras realizadas com o capital.</p><p>Juros (J): são as compensações �nanceiras nas operações realizadas, representando um</p><p>acréscimo.</p><p>Taxa (i): taxa de juros aplicadas sobre o capital (C).</p><p>Período (prazo) (n): período de tempo da incidência da taxa de juros sobre o capital (C).</p><p>Os juros compostos são bem mais utilizados que juros simples em nosso dia a dia,</p><p>especialmente em aplicações, investimentos, empréstimos, cálculos de prestações,</p><p>�nanciamentos, entre outros.</p><p>Geralmente, nas mais diversas situações, temos que considerar o prazo n de acordo com a</p><p>unidade de tempo da taxa, ou vice-versa, o que se faz necessário calcular as taxas equivalentes</p><p>para diferentes períodos.</p><p>Montante</p><p>Quando pretendemos trabalhar com cálculo do montante, o resultado futuro de operações</p><p>�nanceiras realizadas com o capital, no regime de capitalização de juros compostos, é calculado</p><p>por meio da fórmula do montante:</p><p>Em que:</p><p>M: montante ou valor futuro</p><p>C: capital ou valor presente</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de tempo ou prazo da operação �nanceira</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Observe o exemplo a seguir para melhor compreender o cálculo do montante para regime de</p><p>capitalização de juros compostos.</p><p>Sonia emprestou R$ 1.000,00 de uma instituição bancária a uma taxa de juros compostos de 4%</p><p>a.m. (ao mês), para pagar após dois meses. Determine o valor que ela pagará no �nal para</p><p>instituição bancária.</p><p>Substituindo os valores na fórmula do montante,</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa equivalente</p><p>As taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes do</p><p>prazo da operação �nanceira, ou vice-versa. Quando estas são aplicadas a um mesmo principal</p><p>durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no regime de juros</p><p>compostos. Para isso, no período comercial, sempre devemos considerar o seguinte:</p><p>M = C(1 + i)n</p><p>M = 1000(1 + 0,04)2</p><p>M = 1000 ⋅ 1,04²</p><p>M = 1000 ⋅ 1,0816</p><p>M = 1 081,60</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>1 ano = 6 bimestres</p><p>1 ano = 4 trimestres</p><p>1 ano = 3 quadrimestres</p><p>1 ano = 2 semestres</p><p>1 biênio = 2 anos</p><p>1 triênio = 3 anos</p><p>Para o cálculo da taxa equivalente no regime de capitalização dos juros compostos, considere a</p><p>seguinte fórmula:</p><p>Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.</p><p>Vejamos um exemplo para melhor compreensão:</p><p>Lucas emprestou um valor X para seu irmão a uma taxa de juros compostos de 14% a.a. para</p><p>pagar em 12 meses.</p><p>Nesta situação, a taxa de juros está ao ano e o prazo da operação �nanceira está ao mês, logo,</p><p>faz-se necessário deixar as taxas equivalentes. Para isso, primeiramente, temos que calcular</p><p>com a menor unidade, ou seja, o mês.</p><p>A fórmula a ser utilizada será a de taxa equivalente para juros compostos:</p><p>Logo, a taxa equivalente a 14% a.a. ao mês será i = 1,1% a.m.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Alana que comprou um</p><p>aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagar no prazo de 2 meses, a partir da seguinte</p><p>condição de pagamento:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,14)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,14)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,14)</p><p>0,0833</p><p>− 1</p><p>ieq = 1,011 − 1</p><p>ieq = 0,011 a.m</p><p>ieq = 1,1 %  a.m</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de</p><p>42,58% a.a.</p><p>Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses?</p><p>Considerando as informações extraídas do problema, antes de calcularmos o montante,</p><p>devemos deixar a taxa i = 42,58% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de</p><p>taxa equivalente de juros compostos:</p><p>Em que,</p><p>i = 42,58% a.a. = 0,4258 a.a.</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)p/a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,4258)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,4258)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,4258)0,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0300 − 1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3% a.m., ou seja, i = 0,03 a.m. Substituindo os valores na</p><p>fórmula do montante:</p><p>Portanto, o valor a ser pago após 2 meses por Alana será de R$ 954,81.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre o regime de capitalização dos juros compostos leia o artigo Sistema de</p><p>Juros Compostos de Wilson de Oliveira.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>Aula 4</p><p>Séries de Juros Compostos</p><p>Série de juros compostos</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>ieq = 0,0300 a.m</p><p>ieq = 3 %  a.m</p><p>M = C(1 + i)n</p><p>M = 900(1 + 0,03)2</p><p>M = 900 ⋅ 1,0609</p><p>M = R$954,81</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização</p><p>de juros compostos, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o</p><p>parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os</p><p>juros compostos com e sem entrada.</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição</p><p>de pagamento da loja MM:</p><p>Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.</p><p>Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas</p><p>mensais de R$ 500,00? Vamos lá!</p><p>M=7401,8861=392,34Vamos Começar!</p><p>Parcelamento</p><p>Com os juros simples, para o cálculo de parcelamento em juros compostos também vamos</p><p>utilizar as séries. Em situações que envolvem parcelamento, prestações em pequenas</p><p>quantidades, vamos utilizar a fórmula das séries. Para cálculos com quantidades maiores de</p><p>parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual veremos mais adiante em nosso livro.</p><p>Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de</p><p>uma compra é o capital, temos:</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>C = M</p><p>(1+i) n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo,</p><p>Tal que:</p><p>Então:</p><p>Tal que,</p><p>C: capital</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>Juros compostos no parcelamento</p><p>Conforme vimos na seção anterior, quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime</p><p>de capitalização de juros compostos deve-se utilizar a fórmula de série:</p><p>Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros,</p><p>n o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir:</p><p>Carla pretende comprar um equipamento eletrônico que custa R$ 740,00. Ela vai pagar em duas</p><p>parcelas mensais e iguais. Sabendo que o parcelamento será realizado sob a taxa de juros</p><p>compostos de 4% a.m., determine o valor das parcelas.</p><p>Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (cada uma delas vale</p><p>M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que</p><p>equivale ao capital (C) é igual a R$ 740,00.</p><p>A taxa de juro composto é igual a i = 4% a.m. Lembre-se, que conforme vimos na seção anterior,</p><p>temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.</p><p>C1 = M1</p><p>(1+i) n1</p><p>;C2 = M2</p><p>(1+i) n2</p><p>;… ;Cj =</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>C = C1 + C2 +…+ Cj</p><p>C = M1</p><p>(1+i) n1</p><p>+ M2</p><p>(1+i) n2</p><p>+…+</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Aplicando a equação da série de juros compostos:</p><p>Vamos colocar o M em evidência,</p><p>Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Séries de juros compostos</p><p>Agora, vamos continuar abordando este tema, porém quando temos o pagamento de uma</p><p>entrada, na seguinte fórmula:</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>M</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>740 = M</p><p>(1+0,04)</p><p>1 + M</p><p>(1+0,04)</p><p>2</p><p>740 = M</p><p>(1,04)</p><p>1 + M</p><p>(1,04)</p><p>2</p><p>( 1</p><p>1,04 + 1</p><p>1,0816 )M = 740</p><p>(0,9615 + 0,9246)M = 740</p><p>1,8861M = 740</p><p>M = 740</p><p>1,8861 = 392,34</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Tal que,</p><p>AV: valor à vista</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>E: valor da entrada</p><p>Observe um exemplo:</p><p>Raquel comprou um móvel que custa R$ 900,00 e terá que pagar 25% do valor à vista de entrada</p><p>e mais 2 parcelas iguais e mensais, sob taxa de juros compostos de 3,6% a.m. Qual valor de cada</p><p>parcela?</p><p>Temos que,</p><p>AV = R$ 900,00</p><p>E = 25% de 900 = 225</p><p>i = 3,6% a.m = 0,0360 a.m.</p><p>Substituindo os valores na fórmula da série de juros compostos com entrada, temos:</p><p>Colocando o M em evidência,</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)nj</p><p>900 − 225 = M</p><p>(1+0,0360)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0360)2</p><p>675 = M</p><p>1,0360</p><p>+ M</p><p>1,0733</p><p>( 1</p><p>1,0360</p><p>+ 1</p><p>1,0733</p><p>)M = 675</p><p>(0,9653 + 0,9317)M = 675</p><p>1,8970M = 675</p><p>M = 675</p><p>1,8970</p><p>M = R$355,82</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, Raquel pagará uma entrada de R$ 225,00 e mais duas parcelas de R$ 355,82.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição</p><p>de pagamento da loja MM:</p><p>Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.</p><p>Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas</p><p>mensais de R$ 500,00? Vamos lá!</p><p>Considerando as informações do problema, antes de calcularmos o valor da compra, devemos</p><p>deixar a taxa i = 56% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de taxa</p><p>equivalente de juros compostos:</p><p>Em que,</p><p>i = 56% a.a. = 0,56 a.a.</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo,</p><p>Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3,77% a.m., ou seja, i = 0,0377 a.m. Substituindo na fórmula</p><p>das séries dos juros compostos, temos:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,56)</p><p>1</p><p>12 − 1</p><p>ieq = (1,56)0,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0377 − 1</p><p>ieq = 0,0377</p><p>ieq = 3,77% a.m.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor da compra foi de R$ 1.393,64.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre a série de juros compostos, leia o artigo Matemática �nanceira: juros</p><p>compostos de José Bonifácio de Araújo Júnior.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Matemática �nanceira: juros compostos. Revista Processus</p><p>Multidisciplinar, v. 1, n. 2, p. 46-51, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>M</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>C = 500</p><p>(1+0,0377)1</p><p>+ 500</p><p>(1+0,0377)2</p><p>+ 500</p><p>(1+0,0377)3</p><p>C = 500</p><p>(1,0377)1</p><p>+ 500</p><p>(1,0377)2</p><p>+ 500</p><p>(1,0377)3</p><p>C = 500</p><p>1,0377</p><p>+ 500</p><p>1,0768</p><p>+ 500</p><p>1,1174</p><p>C = 481,83 + 464,34 + 447,47</p><p>C = 1.393,64</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Olá, estudante!</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>juros e parcelamento para aplicá-los na resolução de problemas �nanceiros, é preciso diferenciar</p><p>os regimes de capitalização de juros simples e compostos.</p><p>Importante ressaltar que quando estamos nos referindo aos juros simples, estamos calculando</p><p>os juros sempre sobre o valor do capital inicial, ou seja, eles são obtidos multiplicando a taxa de</p><p>juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela seguinte fórmula:</p><p>Além disso, devemos nos atentar para a taxa equivalente, em que o período temporal da taxa de</p><p>juros (i) e período (n) devem estar equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano o</p><p>período (n) também deve estar ao ano.</p><p>Quando somamos o capital inicial ao juro aplicado encontramos o valor do montante, que nos</p><p>juros simples pode ser calculado a partir da seguinte fórmula:</p><p>Ainda no regime de capitalização dos juros simples, podemos calcular valores de prestações</p><p>considerando algumas situações de �nanciamento, em que cada parcela ou prestação</p><p>corresponde a pequenos montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o capital, a partir da</p><p>fórmula das séries:</p><p>Assim como nos juros simples, também temos diversos pontos a nos atentar sobre os juros</p><p>compostos, pois estes são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de</p><p>juros varia exponencialmente em função do tempo, ou seja, a taxa de juros é aplicada a cada</p><p>período.</p><p>Para o cálculo do montante (M) nos juros compostos, faz-se uso da seguinte fórmula:</p><p>J = C. i.n</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Também deve-se atentar para as taxas equivalentes, pois o período de tempo da taxa de juros</p><p>deve ser o mesmo do prazo da operação �nanceira, assim, utiliza-se a seguinte fórmula para o</p><p>regime de capitalização de juros compostos:</p><p>Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.</p><p>Por �m, podemos calcular valor de prestações em �nanciamentos com uso da fórmula da série</p><p>dos juros compostos, em que cada parcela ou prestação corresponde a pequenos montantes (M)</p><p>e o valor à vista de uma compra é o capital.</p><p>Essa fórmula deve ser utilizada para situações com pequenas quantidades de parcelas, pois ao</p><p>apresentar uma quantidade maior de parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual</p><p>será visto mais adiante na disciplina.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>A loja de departamento disparou um pan�eto promocional contendo a seguinte informação:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Sabendo que Mônica comprou um produto e vai pagar uma entrada de R$ 200,00 e mais duas</p><p>parcelas iguais de R$ 400,00, vencendo em dois meses. Qual o valor à vista deste produto?</p><p>Re�ita sobre as perguntas a seguir:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Primeiramente vamos extrair as informações do problema:</p><p>E (entrada) = 200,00</p><p>M (2 parcelas) = 400,00</p><p>Vence em dois meses, então (n) começa em 2 meses.</p><p>AV (valor a vista) = ?</p><p>i = 60% a.a. = 0,60 a.a</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Logo, temos que a taxa a ser utilizada será i = 3,99% a.m. Agora, vamos utilizar a fórmula das</p><p>séries de juros compostos com entrada:</p><p>Substituindo,</p><p>Portanto, o valor do produto era R$ 925,60.</p><p>Figura 1 | Mapa mental dos juros e parcelamentos</p><p>ieq = (1 + i)p/a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,6)1/12 − 1</p><p>ieq = 1,60,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0399 − 1</p><p>ieq = 0,0399 a.m</p><p>ieq = 3,99% a.m</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>AV − 200 = 400</p><p>(1+0,0399)</p><p>2 + 400</p><p>(1+0,0399)</p><p>3</p><p>AV = 400</p><p>1,0814 + 400</p><p>1,1245 + 200</p><p>AV = 369,89 + 355,71 + 200</p><p>AV = 925,60</p>