Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos

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JUROS E
PARCELAMENTOS -
CONCEITOS BÁSICOS
Aula 1
JUROS SIMPLES E TAXA
EQUIVALENTE
Juros simples e taxa equivalente
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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12/08/2024, 17:14 Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos
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Ponto de Partida
Olá, estudante!
Nesta aula, você conhecerá alguns conceitos iniciais da Matemática
Financeira como: juros simples, taxa equivalente e montante, os
quais podem ser encontrados em nosso dia a dia em diversas
situações, como cálculo de juros em um empréstimo ou na compra
de um eletrodoméstico, aplicação de taxas, entre outros.
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do
Davi, que precisa comprar alguns itens para seu escritório e a loja
oferece a seguinte condição de pagamento: compras com entrada
de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros
simples de 2,7% a.m.
Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar
no prazo final? Se você estivesse no lugar do Davi, como faria para
resolver essa situação? Para isso, vamos dar início ao nosso
estudo!
Vamos Começar!
Juros simples
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O conceito de juros simples pode ser aplicado em situações do
nosso dia a dia, como cálculo em multas, cheque especial,
impostos, entre outros.
De acordo com Moreira (2010), o conceito de juros surgiu há muito
tempo quando o homem relacionou o tempo com ganho de dinheiro,
com processos de acumulação de capital e a desvalorização da
moeda. Na Matemática Financeira, para aprofundarmos sobre o
cálculo dos juros, primeiramente precisamos conhecer a definição
de alguns termos:
Taxa de juros (i): é a unidade de medida dos juros,
correspondente à remuneração paga pelo uso, durante
determinado tempo, apresentada nas situações pela
porcentagem.
Por exemplo: um empréstimo com taxa de 2% ao mês:
2%=
2
100
=0,02
Tal que, 2% referem-se à taxa percentual e 0,02 à taxa unitária. Uma
observação importante é que o mercado financeiro trabalha com
base na taxa de juros percentual, porém é necessário colocá-la na
forma unitária para realizar os cálculos financeiros. 
Tempo (n): prazo da operação financeira, o qual deve estar
equivalente ao período da taxa. 
Capital (C): quantidade de recurso financeiro disponível ou
exigido no ato de uma operação financeira, compra ou
aplicação. O capital também é denominado valor presente (VP)
e valor atual (VA).
Juros (J): é a remuneração do capital empregado, ou seja, se
aplicarmos um determinado valor durante um período de
tempo, ao fim do prazo, obteremos um valor de juros. 
Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o
resultado futuro de operações financeiras realizadas com o
capital.
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O juro simples é calculado sempre sobre o valor do capital inicial. Os
juros de cada período são obtidos multiplicando a taxa de juros (i)
pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela seguinte
fórmula:
J=C . i .n
Para melhor compreender, observe o exemplo:
Joana emprestou R$ 1500,00 de uma instituição bancária para
pagar daqui 4 meses, com uma taxa de 2% a.m. no regime de juros
simples. Quanto Joana pagará de juros para instituição bancária?
Temos que:
C=1500
n=4 meses
i=2% a .m=
2
100
=0,02
Substituindo na fórmula:
J=C . i .n
J=1500.0,02.4
J=120,00
Montante
Com intuito de aprofundar ainda mais sobre o regime de
capitalização de juros simples, vamos abordar o cálculo do
montante. 
O montante também é conhecido como valor futuro e na língua
inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras
pela tecla FV. O cálculo do montante é a soma do capital com os
juros, ou seja, a partir da seguinte fórmula:
M=C (1+ i .n )
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Observe um exemplo do cálculo do montante:
Marcos investiu R$ 10.500,00 a uma taxa simples de 12% a.a.,
quanto ele terá ao final de 12 meses?
Temos que o capital é:
C=10.500
O período é n=12 meses.
 
E a taxa que está ao ano deverá ser convertida ao mês, para que se
torne equivalente ao período da taxa, logo:
i=12% a .a=1% a .m
1
100
=0,01
Agora, deve-se substituir na fórmula: 
M=C (1+ i .n )
M=10 500 (1+0,01.12)
M=10 500 (1+0,12)
M=10 500 (1,12)
M= 11 760
Logo, o montante será R$ 11 760,00.
Siga em Frente...
Taxa equivalente
Para que possamos compreender sobre taxa equivalente,
primeiramente, vamos abordar sobre o período comercial, qual é
utilizado em transações financeiras:
1 mês = 30 dias
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1 ano = 12 meses 
1 ano = 360 dias
Essas informações serão necessárias para toda nossa disciplina,
pois antes de calcular qualquer fórmula você deve se atentar se o
período temporal da taxa de juros (i) e período (n) estão
equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano, o período
(n) também deve estar ao ano. 
Se por acaso esses períodos temporais estiverem diferentes, faz-se
necessário o cálculo da taxa equivalente. No regime de
capitalização do juros simples a taxa equivalente i_eq é calculada da
seguinte forma: quando a taxa for apresentada numa referência
maior que a solicitada, deverá dividir pela proporção da referência.
Quando a taxa for apresentada numa referência menor que a
solicitada, deverá multiplicar pela proporção da referência menor. 
Por exemplo: Carmem emprestou um valor X de seu irmão
comprometendo-se a pagar após 4 meses, com uma taxa de 15%
a.a. no regime de juros simples. A taxa está equivalente com o
período? Como podemos deixá-la equivalente?
Observe que a taxa de juros está ao ano e o período de tempo está
ao mês, logo, faz-se necessário deixar a taxa equivalente. Para isso,
como temos a taxa ao ano, um período de referência maior que o
período ao mês, vamos dividir a taxa por 12. 
i=15% a .a= ieq=
15%
12
=1,25%a .m
Logo, a taxa equivalente será ieq=1,25%a .m .
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação
Davi, que precisa comprar alguns itens para seu escritório e a loja
oferece a seguinte condição de pagamento:
Compras com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até
10 dias, sob taxa de juros simples de 2,7% a.m.
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Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar
no prazo final? Se você estivesse no lugar do Davi, como faria para
resolver essa situação? Primeiramente, temos que calcular o valor
da entrada, ou seja, 25% de 800:
25% de 800=
25
100
.800=
20000
100
=200
Como a entrada é R$ 200,00, subtraindo do valor da compra de R$
800,00, temos que o capital é:
C=600M=C (1+ i .n )
O período é n=10 dias .
E a taxa que está ao mês deverá ser convertida ao dia, para que se
torne equivalente ao período da taxa, logo:
ieq=2,7% a .m=
2,7%
30 dias
=0,09% a .d=
0,09
100
=0,0009
Agora, deve-se substituir na fórmula:
M=C (1+ i .n )
M=600 (1+0,0009.10)
M=600 (1+0,009)
M=600 (1,009)
M=605,40
Logo, João pagará no prazo final R$ 605,40.
Saiba Mais
Para saber mais sobre o regime de capitalização de juros simplesleia o artigo Uma breve introdução à matemática financeira: juros
simples de José Bonifácio de Araújo Júnior.
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https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática
financeira: juros simples. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1,
n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia
Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
Aula 2
SÉRIES DE JUROS SIMPLES
Séries de juros simples
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Ponto de Partida
Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com
relação ao regime de capitalização de juros simples, desde fazer
uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o
parcelamento e, por fim, compreender como calcular prestações em
situações que envolvem os juros simples com e sem entrada. 
Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros
simples, considere a situação da Ana, que para compra de uma
máquina nova para sua empresa, parcelou em 3 vezes mensais
uma quantia de R$ 4.500,00 com taxa de juros simples de 5% a.m.
Determine o valor de cada parcela que Ana vai pagar. 
Antes de resolver o problema da Ana, vamos realizar um estudo
sobre parcelamento!
Vamos Começar!
Parcelamento
Muitas vezes, você, ao comprar um móvel, imóvel ou qualquer outra
coisa financiada, precisa calcular o valor das parcelas a serem
pagas. Você já viu o seguinte tipo de anúncio: Taxa de juros de
0,89%! Saberia verificar se o valor da parcela pago pelo produto foi
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calculado exatamente com essa taxa de juros? 
Para isso, vamos aprender o conceito de séries, que utilizamos em
situações que envolvem parcelamento e prestações. Essa fórmula
das séries deve ser aplicada em problemas que envolvam poucas
parcelas. 
As séries de juros simples são compostas a partir da equação geral
do montante de juros simples, da seguinte forma:
M=C (1+ i .n )
C=
M
(1+ i .n )
Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos
montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o capital, temos:
C1=M1/ (1+ i .n1) " " ;C2=
M2
( )1+ i .n2
;…;C j=
M j
( )1+ i .n j
Logo,
C=C1+C2+…+C j
Tal que:
C=
M1
(1+ i .n1)
+
M2
(1+ i .n2)
+…+
M j
(1+ i .n j )
Então:
C=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
Tal que,
C: capital
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
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Siga em Frente...
Juros simples no parcelamento
Quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime de
capitalização de juros simples, deve-se utilizar a fórmula de série:
C=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante
(parcelas), i o valor da taxa de juros, n o período de cada parcela.
Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir: 
João pretende comprar uma televisão em 2 vezes mensais e iguais,
tal que o preço à vista é R$ 740,00. Se o parcelamento será
realizado sob a taxa de juros simples de 4% a.m., qual o valor das
parcelas?
Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas
iguais a M (Cada uma delas vale M). Como são mensais, ocorrerão
nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que equivale ao
capital (C) é igual a R$ 740,00.
A taxa de juros simples é igual a i = 4% a.m. Lembre-se que,
conforme vimos na seção anterior, temos que transformar a taxa
percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.
Aplicando a equação da série de juros simples:
C=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
M
1+0,04∙1
+
M
1+0,04∙2
=740
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Vamos colocar o M em evidência,
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
1,04
+
1
1,08
M=740
( )0,9615+0,9259 M=740
1,8874M=740
M=
740
1,8874
=392,07
Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.
Séries de juros simples
Utilizamos a série de juros simples em situações que necessitam do
cálculo de prestações e parcelamentos, em tal regime de
capitalização. Agora, vamos continuar abordando este tema, porém
quando temos o pagamento de uma entrada, na seguinte fórmula: 
AV−E=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
Tal que,
AV: valor à vista
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
E: valor da entrada
Observe um exemplo:
Uma impressora está em promoção com duas parcelas iguais a R$
400,00, vencendo em dois meses, com entrada de R$ 200,00.
Sabendo que esses valores foram obtidos sob taxa de juros simples
de 60% a.a., determine o valor à vista da impressora.
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Primeiramente, temos que deixar nossa taxa equivalente que está
ao ano para mês.
ieq=
60%
12
=5% a .m
Na sequência, é preciso substituir os valores na fórmula da série de
juros simples com entrada.
AV−E=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
AV−200=
400
1+0,0 ·2
+
400
1+0,05·3
AV=
400
1,1
+
400
1,15
+200
AV=363,64+347,83+200
AV=911,47
Portanto, o valor à vista da impressora é R$ 911,47.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da
Ana, que para compra de uma máquina nova para sua empresa,
parcelou em 3 vezes mensais uma quantia de R$ 4.500,00 com taxa
de juros simples de 5% a.m. Determine o valor de cada parcela que
Ana vai pagar. 
C=
j
∑
j=1
M j
1+ in j
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4500=
M
1+0,05·1
+
M
1+0,05·2
+
M
1+0,05·3
Logo, Ana pagará R$ 1.647,69 em cada parcela. 
Saiba Mais
Para saber mais sobre parcelamento e séries de juros simples, leia
o artigo Sistema de prestações constantes no regime de juros
simples de Clovis de Faro e Gerson Lachtermacher.
Referências Bibliográficas
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
FARO, C.; LACHTERMACHER, G. Sistema de prestações
constantes no regime de juros simples. Revista Estudos e
Negócios Academics, v. 3, n. 5, p. 3-13, 2023.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia
Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
 
Aula 3
JUROS COMPOSTOS E
TAXA EQUIVALENTE
Juros compostos e taxa
equivalente
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https://repositorio.fgv.br/bitstreams/ce78d8b3-706c-41eb-af25-612cbcde4883/download
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Ponto de PartidaNesta aula, você vai conhecer o regime de capitalização de juros
compostos, que difere do regime de capitalização de juros simples,
pois considera o resgate dos juros a cada período. Os juros são
calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de
juros varia exponencialmente em função do tempo. 
Para colocar em prática o cálculo do montante dos juros compostos,
considere a situação da Alana que comprou um aparelho celular no
valor de R$ 900,00 e irá pagá-lo no prazo de 2 meses, a partir da
seguinte condição de pagamento:
Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob
taxa de juros compostos de 42,58% a.a.
Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no final dos 2
meses? Antes de resolver essa situação, vamos abordar os
conceitos relacionados ao regime de capitalização de juros
compostos, desde cálculo do montante e taxa equivalente. 
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Vamos Começar!
Juros compostos
O juro composto é calculado sobre o montante relativo ao período
anterior, em que os juros são incorporados, a cada período de
capitalização, ao principal. Para seu cálculo também utilizaremos as
seguintes nomenclaturas:
Capital (C): quantidade de recurso financeiro disponível ou
exigido no ato de uma operação financeira, compra ou
aplicação. O capital também é denominado como valor
presente (VP) e valor atual (VA).
Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o
resultado futuro de operações financeiras realizadas com o
capital.
Juros (J): são as compensações financeiras nas operações
realizadas, representando um acréscimo.
Taxa (i): taxa de juros aplicadas sobre o capital (C).
Período (prazo) (n): período de tempo da incidência da taxa de
juros sobre o capital (C).
Os juros compostos são bem mais utilizados que juros simples em
nosso dia a dia, especialmente em aplicações, investimentos,
empréstimos, cálculos de prestações, financiamentos, entre outros.
Geralmente, nas mais diversas situações, temos que considerar o
prazo n de acordo com a unidade de tempo da taxa, ou vice-versa, o
que se faz necessário calcular as taxas equivalentes para diferentes
períodos.
Montante
Quando pretendemos trabalhar com cálculo do montante, o
resultado futuro de operações financeiras realizadas com o capital,
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no regime de capitalização de juros compostos, é calculado por
meio da fórmula do montante:
M=C . ( )1+ i n
Em que: 
M: montante ou valor futuro
C: capital ou valor presente
i: taxa de juros
n: período de tempo ou prazo da operação financeira
Observe o exemplo a seguir para melhor compreender o cálculo do
montante para regime de capitalização de juros compostos. 
Sonia emprestou R$ 1.000,00 de uma instituição bancária a uma
taxa de juros compostos de 4% a.m. (ao mês), para pagar após dois
meses. Determine o valor que ela pagará no final para instituição
bancária. 
Substituindo os valores na fórmula do montante,
M=C ( )1+ i n
M=1000( )1+0,04 2
M=1000·1,04²
M=1000·1,0816
M=1 081,60
Siga em Frente...
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Taxa equivalente
As taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades
de tempo diferentes do prazo da operação financeira, ou vice-versa.
Quando estas são aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no
regime de juros compostos. Para isso, no período comercial, sempre
devemos considerar o seguinte:
1 ano = 6 bimestres
1 ano = 4 trimestres
1 ano = 3 quadrimestres
1 ano = 2 semestres
1 biênio = 2 anos 
1 triênio = 3 anos
Para o cálculo da taxa equivalente no regime de capitalização dos
juros compostos, considere a seguinte fórmula:
ieq= ( )1+ i
p
a −1
Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou
desejado.
Vejamos um exemplo para melhor compreensão: 
Lucas emprestou um valor X para seu irmão a uma taxa de juros
compostos de 14% a.a. para pagar em 12 meses. 
Nesta situação, a taxa de juros está ao ano e o prazo da operação
financeira está ao mês, logo, faz-se necessário deixar as taxas
equivalentes. Para isso, primeiramente, temos que calcular com a
menor unidade, ou seja, o mês.
A fórmula a ser utilizada será a de taxa equivalente para juros
compostos:
ieq= ( )1+ i
p
a −1
ieq= ( )1+0,14 1/12−1
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ieq= ( )1,14 1/12−1
ieq= ( )1,14 0,0833−1
ieq=1,011−1
ieq=0,011 a .m
ieq=1,1 % a .m
Logo, a taxa equivalente a 14% a.a. ao mês será i = 1,1% a.m.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da
Alana que comprou um aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá
pagar no prazo de 2 meses, a partir da seguinte condição de
pagamento:
Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob
taxa de juros compostos de 42,58% a.a.
Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no final dos 2
meses?
Considerando as informações extraídas do problema, antes de
calcularmos o montante, devemos deixar a taxa i = 42,58% a.a.
equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de taxa
equivalente de juros compostos:
ieq= ( )1+ i
p
a −1
Em que, 
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i = 42,58% a.a. = 0,4258 a.a.
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12
meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
ieq= ( )1+ i p/a−1
ieq= ( )1+0,4258 1/12−1
ieq= ( )1,4258 1/12−1
ieq= ( )1,4258 0,0833−1
ieq=1,0300−1
ieq=0,0300 a .m
ieq=3 % a .m
Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3% a.m., ou seja, i = 0,03 a.m.
Substituindo os valores na fórmula do montante:
M=C ( )1+ i n
M=900 ( )1+0,03 2
M=900 ·1,0609
M=R$954,81
Portanto, o valor a ser pago após 2 meses por Alana será de R$
954,81.
Saiba Mais
Para saber mais sobre o regime de capitalização dos juros
compostos leia o artigo Sistema de Juros Compostos de Wilson de
Oliveira. 
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https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/635
Referências Bibliográficas
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia
Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus
Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22, 2020.
Aula 4
SÉRIES DE JUROS
COMPOSTOS
Série de juros compostos
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com
relação ao regime de capitalização de juros compostos, desde fazer
uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o
parcelamento e, por fim, compreender como calcular prestaçõesem
situações que envolvem os juros compostos com e sem entrada. 
Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros
compostos, considere a condição de pagamento da loja MM:
Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros
compostos de 56% a.a.
Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo
que vai pagar três parcelas mensais de R$ 500,00? Vamos lá!
 
M=7401,8861=392,34Vamos
Começar!
Parcelamento
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Com os juros simples, para o cálculo de parcelamento em juros
compostos também vamos utilizar as séries. Em situações que
envolvem parcelamento, prestações em pequenas quantidades,
vamos utilizar a fórmula das séries. Para cálculos com quantidades
maiores de parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual
veremos mais adiante em nosso livro. 
M=C . (1+ i) n
C=
M
( )1+ i n
Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos
montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o capital, temos:
C1=
M1
( )1+ i
n 1
;C2=
M2
( )1+ i
n 2
;…;C j=
M j
( )1+ i
n j
Logo,
C=C1+C2+…+C j
Tal que:
C=
M1
(1+ i)
n 1
+
M2
(1+ i)
n 2
+…+
M j
(1+ i)
n j
Então:
C=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
 
Tal que,
C: capital
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
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Juros compostos no parcelamento
Conforme vimos na seção anterior, quando pretendemos trabalhar
com parcelamento no regime de capitalização de juros compostos
deve-se utilizar a fórmula de série:
C=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante
(parcelas), i o valor da taxa de juros, n o período de cada parcela.
Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir: 
Carla pretende comprar um equipamento eletrônico que custa R$
740,00. Ela vai pagar em duas parcelas mensais e iguais. Sabendo
que o parcelamento será realizado sob a taxa de juros compostos
de 4% a.m., determine o valor das parcelas.
Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas
iguais a M (cada uma delas vale M). Como são mensais, ocorrerão
nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que equivale ao
capital (C) é igual a R$ 740,00.
A taxa de juro composto é igual a i = 4% a.m. Lembre-se, que
conforme vimos na seção anterior, temos que transformar a taxa
percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.
Aplicando a equação da série de juros compostos:
C=
j
∑
j=1
M
( )1+ i n
740=
M
( )1+0,04 1 +
M
( )1+0,04 2
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740=
M
( )1,04 1 +
M
( )1,04 2
 
Vamos colocar o M em evidência,
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
1,04
+
1
1,0816
M=740
( )0,9615+0,9246 M=740
1,8861M=740
M=
740
1,8861
=392,34
Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.
Siga em Frente...
Séries de juros compostos
Agora, vamos continuar abordando este tema, porém quando temos
o pagamento de uma entrada, na seguinte fórmula: 
AV−E=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
 
Tal que,
AV: valor à vista
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
E: valor da entrada
Observe um exemplo:
Raquel comprou um móvel que custa R$ 900,00 e terá que pagar
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25% do valor à vista de entrada e mais 2 parcelas iguais e mensais,
sob taxa de juros compostos de 3,6% a.m. Qual valor de cada
parcela?
Temos que,
AV = R$ 900,00
E = 25% de 900 = 225
i = 3,6% a.m = 0,0360 a.m.
Substituindo os valores na fórmula da série de juros compostos com
entrada, temos:
AV−E=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
900−225=
M
( )1+0,0360 1 +
M
( )1+0,0360 2
675=
M
1,0360
+
M
1,0733
 
Colocando o M em evidência,
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
1,0360
+
1
1,0733
M=675
( )0,9653+0,9317 M=675
1,8970M=675
M=
675
1,8970
M=R$355,82
Portanto, Raquel pagará uma entrada de R$ 225,00 e mais duas
parcelas de R$ 355,82.
Vamos Exercitar?
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Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros
compostos, considere a condição de pagamento da loja MM:
Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros
compostos de 56% a.a.
Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo
que vai pagar três parcelas mensais de R$ 500,00? Vamos lá!
Considerando as informações do problema, antes de calcularmos o
valor da compra, devemos deixar a taxa i = 56% a.a. equivalente ao
mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de taxa equivalente de juros
compostos:
ieq= ( )1+ i
p
a −1
Em que, 
i = 56% a.a. = 0,56 a.a.
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12
meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo,
ieq= ( )1+ i
p
a −1
ieq= ( )1+0,56
1
12 −1
ieq= ( )1,56 0,0833−1
ieq=1,0377−1
ieq=0,0377
ieq=3,77% a .m .
 
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Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3,77% a.m., ou seja, i =
0,0377 a.m. Substituindo na fórmula das séries dos juros
compostos, temos:
C=
j
∑
j=1
M
( )1+ i n
C=
500
( )1+0,0377 1 +
500
( )1+0,0377 2 +
500
( )1+0,0377 3
C=
500
( )1,0377 1 +
500
( )1,0377 2 +
500
( )1,0377 3
C=
500
1,0377
+
500
1,0768
+
500
1,1174
C=481,83+464,34+447,47
C=1.393,64
Logo, o valor da compra foi de R$ 1.393,64.
Saiba Mais
Para saber mais sobre a série de juros compostos, leia o artigo
Matemática financeira: juros compostos de José Bonifácio de Araújo
Júnior.
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Matemática financeira: juros compostos.
Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 2, p. 46-51, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia
Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus
Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22, 2020.
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Encerramento da Unidade
JUROS E PARCELAMENTOS
- CONCEITOS BÁSICOS
Videoaula de Encerramento
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Ponto de Chegada
Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender
os conceitos relacionados a juros e parcelamento para aplicá-los na
resolução de problemas financeiros, é preciso diferenciar os regimes
de capitalização de juros simples e compostos. 
Importante ressaltar que quando estamos nos referindo aos juros
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simples, estamos calculando os juros sempre sobre o valor do
capital inicial, ou seja, eles são obtidos multiplicando a taxa de juros
(i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela seguinte
fórmula:
J=C . i .n
Além disso, devemos nos atentar para a taxa equivalente, em que o
período temporalda taxa de juros (i) e período (n) devem estar
equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano o período (n)
também deve estar ao ano. 
Quando somamos o capital inicial ao juro aplicado encontramos o
valor do montante, que nos juros simples pode ser calculado a partir
da seguinte fórmula:
M=C (1+ i .n )
Ainda no regime de capitalização dos juros simples, podemos
calcular valores de prestações considerando algumas situações de
financiamento, em que cada parcela ou prestação corresponde a
pequenos montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o
capital, a partir da fórmula das séries:
C=∑j=1
j M j
(1+ i .n j )
Assim como nos juros simples, também temos diversos pontos a
nos atentar sobre os juros compostos, pois estes são calculados
sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de juros varia
exponencialmente em função do tempo, ou seja, a taxa de juros é
aplicada a cada período. 
Para o cálculo do montante (M) nos juros compostos, faz-se uso da
seguinte fórmula:
M=C . ( )1+ i n
Também deve-se atentar para as taxas equivalentes, pois o período
de tempo da taxa de juros deve ser o mesmo do prazo da operação
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financeira, assim, utiliza-se a seguinte fórmula para o regime de
capitalização de juros compostos:
ieq= ( )1+ i
p
a −1
Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou
desejado.
Por fim, podemos calcular valor de prestações em financiamentos
com uso da fórmula da série dos juros compostos, em que cada
parcela ou prestação corresponde a pequenos montantes (M) e o
valor à vista de uma compra é o capital.
C=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
Essa fórmula deve ser utilizada para situações com pequenas
quantidades de parcelas, pois ao apresentar uma quantidade maior
de parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual será
visto mais adiante na disciplina. 
 
É Hora de Praticar!
A loja de departamento disparou um panfleto promocional contendo
a seguinte informação:
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Sabendo que Mônica comprou um produto e vai pagar uma entrada
de R$ 200,00 e mais duas parcelas iguais de R$ 400,00, vencendo
em dois meses. Qual o valor à vista deste produto?
Reflita
Reflita sobre as perguntas a seguir:
Você consegue identificar qual fórmula utilizar em cada
situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identificar situações do seu dia a dia em nossa
disciplina e como ela pode te ajudar?
 
Bons estudos!
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Resolução do estudo de caso
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Primeiramente vamos extrair as informações do problema:
E (entrada) = 200,00
M (2 parcelas) = 400,00
Vence em dois meses, então (n) começa em 2 meses. 
AV (valor a vista) = ?
i = 60% a.a. = 0,60 a.a
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12
meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
ieq= ( )1+ i p/a−1
ieq= ( )1+0,6 1/12−1
ieq=1,60,0833−1
ieq=1,0399−1
ieq=0,0399 a .m
ieq=3,99% a .m
Logo, temos que a taxa a ser utilizada será i = 3,99% a.m. Agora,
vamos utilizar a fórmula das séries de juros compostos com entrada:
 
AV−E=∑j=1
j M j
( )1+ i
n j
 
Substituindo,
AV−200=
400
( )1+0,0399 2 +
400
( )1+0,0399 3
AV=
400
1,0814
+
400
1,1245
+200
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AV=369,89+355,71+200
AV=925,60
Portanto, o valor do produto era R$ 925,60. 
Dê o play!
Assimile
Figura 1 | Mapa mental dos juros e parcelamentos
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
12/08/2024, 17:14 Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos
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MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia
Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus
Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22, 2020.
12/08/2024, 17:14 Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos
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