Aplicações dos Conceitos Básicos

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<p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>Unidade 2</p><p>Aplicações dos Conceitos Básicos</p><p>Aula 1</p><p>Capital de Giro - Desconto Bancário</p><p>Capital de giro - desconto bancário</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá algumas aplicações de conceitos básicos da Matemática Financeira</p><p>como: capital de giro, desconto bancário e valor nominal, os quais podem ser encontrados em</p><p>aplicações do nosso cotidiano, como: antecipar recebimentos de títulos para garantir capital de</p><p>giro de uma empresa ou até mesmo antecipação de recebimento do 13º salário, entre outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa</p><p>empresa de telefonia; faltam três dias para ele receber a segunda parcela do 13º salário e ele vai</p><p>solicitar antecipação desse pagamento para quitar algumas dívidas. O salário de Lindolfo é R$</p><p>1.800,00. Diante deste contexto, sabendo que uma instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>nominal de 0,7% a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo?</p><p>Se você estivesse no lugar do Lindolfo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos</p><p>dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Capital de giro</p><p>No mercado de trabalho, muitas vezes, é o capital de giro que garante a saúde �nanceira das</p><p>empresas. De acordo com Padoveze (2004), o termo “giro” vem da ideia de movimentação</p><p>contínua dos principais elementos formadores das transações da empresa, em que ela</p><p>basicamente forma seus lucros.</p><p>Em outras palavras, ainda para Pandoveze (2004), da movimentação dos capitais aplicados no</p><p>giro é que há a formação tradicional do lucro, ou seja, capital de giro é a terminologia utilizada</p><p>para designar os valores investidos no ativo circulante, conjunto de bens e direitos que podem</p><p>ser convertidos em dinheiro no considerado ano �scal da empresa.</p><p>Segundo Gonçalves (2007), a expressão giro refere-se aos recursos em curto prazo da empresa,</p><p>normalmente de�nidos como aqueles capazes de serem convertidos em dinheiro no prazo</p><p>máximo de um ano (ciclo operacional) e que o capital de giro demonstra, em sentido amplo, o</p><p>valor total dos recursos demandados pela empresa para �nanciar seu ciclo operacional, que</p><p>reúne as necessidades circulantes identi�cadas desde a aquisição da matéria-prima até o</p><p>recebimento das vendas.</p><p>Um exemplo de se obter o capital de giro e uma das formas de gerenciar esse capital é a partir</p><p>do desconto bancário, o qual refere-se à obtenção de capital por meio antecipação de títulos, que</p><p>podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou serviços prestados a clientes que</p><p>pagarão numa relação futura.</p><p>Desconto bancário</p><p>O desconto bancário refere-se à antecipação no período em dias do recebimento de um título,</p><p>seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma instituição �nanceira. Nos</p><p>dias atuais, trata-se de uma operação comum entre pessoas jurídicas, que são empresas de</p><p>grande, médio e pequeno porte, assim como também pessoas físicas.</p><p>A pessoa jurídica, ou seja, instituição com responsabilidades jurídicas, empresas, associações,</p><p>companhias, entre outras, pode realizar antecipações de diversos títulos, veja alguns exemplos:</p><p>Promissórias;</p><p>Duplicatas;</p><p>Boletos;</p><p>Cheques;</p><p>Faturas de cartão de crédito.</p><p>A pessoa física, ou seja, todo indivíduo, homem ou mulher, identi�cado por um CPF (Cadastro de</p><p>Pessoa Física), também pode fazer uso dessa operação �nanceira, observe alguns exemplos:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>13º salário – 1ª e 2ª parcela.</p><p>Restituição de Imposto de Renda.</p><p>O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade, pois a instituição �nanceira</p><p>cobra uma taxa administrativa pela realização dessa operação. O desconto bancário refere-se ao</p><p>valor resultante da antecipação de um título, ou seja, é a quantia a ser abatida do valor nominal</p><p>(valor do título).</p><p>Figura 1 | Desconto bancário. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Valor nominal</p><p>O valor nominal (N) é denominado como valor do título que será antecipado, e as antecipações</p><p>de títulos ocorrem geralmente a poucos dias do vencimento dos títulos, isso para que o valor</p><p>resgatado (V_B ) seja o mais próximo do valor nominal (N), ou seja, do valor do título.</p><p>A taxa nominal é uma taxa de juros simples, então se necessitarmos convertê-la de mês para dia,</p><p>ou de ano para dia, devemos usar o conceito de taxa equivalente em juros simples.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o</p><p>desconto racional, é dado por:</p><p>Em que:</p><p>N é o valor nominal.</p><p>d corresponde a taxa de juros simples ao dia.</p><p>n é o período de antecipação.</p><p>Agora, para o cálculo do valor resgatado (V_B), que é o valor nominal menos o desconto racional,</p><p>fazemos uso da seguinte fórmula:</p><p>Para melhor compreender, observe um exemplo:</p><p>Ana, gerente de uma loja de roupas, necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o</p><p>recebimento de uma duplicada no valor de R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias. A instituição</p><p>�nanceira que fará a antecipação da duplicata cobra uma taxa nominal administrativa de 17,1%</p><p>a.m. Qual valor Ana resgatará pela duplicata?</p><p>Primeiramente, temos que uma taxa nominal (d) de 17,1% a.m., mas trabalhamos com taxa</p><p>nominal ao dia. Logo, precisamos deixá-la equivalente, lembrando que a taxa nominal é taxa de</p><p>juros simples:</p><p>Assim, temos:</p><p>Substituindo na fórmula do valor resgatado:</p><p>D = N ⋅ d ⋅ n</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>ieq =</p><p>0,171</p><p>30</p><p>= 0,0057 a. d = 0,57% a. d</p><p>d = 0,57% a. d</p><p>N = R$ 1000,00</p><p>n = 7 dias</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = 1100(1 − 0,0057.7)</p><p>VB = 1100(1 − 0,0399)</p><p>VB = 1100(0,9601)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor a ser resgatado por Ana é de R$ 1056,11.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa</p><p>empresa de telefonia e faltam três dias para receber a segunda parcela do 13º salário. O salário</p><p>de Lindolfo é R$ 1.800,00 e ele vai antecipar o seu recebimento para pagar algumas dívidas.</p><p>Diante deste contexto, sabendo que a instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7%</p><p>a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo?</p><p>A segunda parcela do 13º salário, nesse caso, é título a ser antecipado, então:</p><p>N = R$ 1.800,00.</p><p>A instituição cobra uma taxa nominal de 0,7% a.d. = d.</p><p>Lindolfo está a três dias de receber a segunda parcela do 13º salário e decide antecipar o seu</p><p>recebimento, então n = 3. Substituindo na fórmula do valor resgatado:</p><p>Portanto, pela antecipação do 13º salário em 3 dias, Lindolfo receberá R$ 1.762,20.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre capital de giro, leia o artigo Necessidade de capital de giro e sua</p><p>aplicabilidade prática de José Bonifácio de Mateus Benatti.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:</p><p>VB = 1 056,11</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = 1800(1 − 0,007.3)</p><p>VB = 1800(1 − 0,021)</p><p>VB = 1800(0,979)</p><p>VB = 1762,20</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>04 abr. 2024.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema</p><p>de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Desconto Bancário com IOF</p><p>Desconto bancário com IOF</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre as aplicações de conceitos básicos</p><p>da Matemática Financeira como: antecipações de títulos, Imposto sobre Operações Financeiras</p><p>(IOF) e títulos de alto porte, os quais podem ser utilizados em antecipações de recebimentos de</p><p>clientes.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do gerente Paulo, que precisa</p><p>trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a</p><p>antecipação de um título de valore nominal:</p><p>Título: R$ 23.650,00</p><p>O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa</p><p>nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?</p><p>Se você estivesse no lugar do Paulo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos</p><p>dar início ao nosso estudo!</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Antecipação de títulos</p><p>Nos dias atuais, a antecipação de títulos pode ser uma ferramenta útil para os gestores de</p><p>empresas dos mais diversos setores, uma vez que os desa�os na gestão de uma empresa são</p><p>inúmeros, sejam eles, fatores internos ou externos, de modo que o planejamento �nanceiro não</p><p>ocorre da forma esperada.</p><p>A antecipação de títulos consiste em receber de forma antecipada valores de títulos de crédito</p><p>como duplicatas, notas promissórias, cheques, entre outros, com vencimentos futuros, para que</p><p>a empresa possa ter esse dinheiro em caixa para movimentações �nanceiras.</p><p>Em outras palavras, a antecipação de títulos permite que um valor a ser creditado no futuro seja</p><p>realocado para o presente. No caso de um negócio que realiza vendas a prazo, a antecipação de</p><p>títulos possibilita acesso aos recursos de maneira imediata, sem ser necessário esperar o</p><p>vencimento desses títulos.</p><p>Uma observação importante é que as antecipações de títulos ocorrem geralmente a poucos dias</p><p>do pagamento dos clientes, isso para que o valor resgatado seja o mais próximo do valor</p><p>nominal, ou seja, do valor do título.</p><p>Veja um exemplo: João vai receber a primeira parcela do seu 13º salário no dia 30 de novembro,</p><p>mas irá antecipar esse recebimento para o dia 10 de novembro, logo ele terá um desconto do</p><p>valor nominal devido aos 20 dias de antecipação.</p><p>IOF</p><p>O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) foi criado pela Lei nº 5.143, de 1966, com intuito de</p><p>substituir o imposto sobre transferência para o exterior. O IOF envolve operações de câmbio,</p><p>crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários. Quando estamos trabalhando com</p><p>desconto bancário, antecipação de títulos, promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta</p><p>conforme a fórmula a seguir:</p><p>Em que:</p><p>VB: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.</p><p>N: valor nominal, valor do título antecipado.</p><p>d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>n: período de antecipação do título, geralmente em dias.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>Importante ressaltar que a taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples, então se</p><p>necessitarmos convertê-las de mês para dia, ou de ano para dia, usaremos o conceito de Taxa</p><p>Equivalente em Juros Simples.</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Um exemplo de antecipação de títulos com incidência do IOF são títulos de alto porte, que</p><p>veremos a seguir.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Títulos de alto porte</p><p>Os títulos que têm incidência do IOF são denominados como alto porte, identicamente à taxa de</p><p>desconto, este percentual é calculado sobre o valor nominal do título juntamente com uma taxa</p><p>nominal cobrada no ato da liberação dos recursos, de forma antecipada (SANTOS, 2016).</p><p>De acordo com Santos (2016), as operações de desconto praticadas pelas instituições</p><p>�nanceiras costumam apresentar encargos �nanceiros, os quais são geralmente cobrados sobre</p><p>o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos à vista (descontados no momento da</p><p>liberação dos recursos).</p><p>Vejamos um exemplo de como podemos aplicar o conceito de antecipação em títulos de alto</p><p>porte.</p><p>Marina pretende antecipar um título de alto porte no valor de R$ 17.500,00 em 15 dias e</p><p>consultou que o valor do resgate seria de R$ 12.000,00. Sabendo que o IOF cobrado foi de 0,05%</p><p>a.d., qual a taxa nominal cobrada nessa antecipação?</p><p>Primeiramente, vamos utilizar a fórmula da antecipação de títulos com IOF.</p><p>Na sequência, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Depois, vamos substituir os seguintes valores:</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>Vb = 12000</p><p>N = 17500</p><p>d =?</p><p>n = 15 dias</p><p>IOF = 0, 05% = 0, 0005 a. d.</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>12. 000 = 17. 500[1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>12.000</p><p>17.500 = [1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, a taxa nominal cobrada nessa antecipação foi de 1,88% a.d.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do gerente Paulo, que precisa</p><p>trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a</p><p>antecipação de um título de valor nominal R$ 23.650,00.</p><p>O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa</p><p>nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula:</p><p>0, 7 = [1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>0, 7 = [1 − (15d+ 0, 0075)]</p><p>0, 7 = [1 − 15d− 0, 0075]</p><p>0, 7 = 0, 9925 − 15d</p><p>15d = 0, 9925 − 0, 7</p><p>15d = 0, 2925</p><p>15d = 0, 2925</p><p>d = 0,2925</p><p>15</p><p>d = 0, 0188 a. d</p><p>d = 1, 88% a. d</p><p>Vb =?</p><p>N = 23650</p><p>d = 0, 12% a. d = 0, 0012 a. d</p><p>n = 17 dias</p><p>IOF = 0, 017% = 0, 00017 a. d.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor resgatado será de R$ 23.099,19.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre IOF, leia o artigo Imposto sobre operações �nanceiras, câmbio e a</p><p>novíssima Lei Nº 14.286 de 2021  de Luiz Henrique Nicolau.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:</p><p>04 abr. 2024.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4. ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,</p><p>216 p.</p><p>Aula 3</p><p>Taxa Efetiva e Nominal</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>VB = 23. 650[1 − (0, 0012 + 0, 00017)17]</p><p>VB = 23. 650[1 − (0, 00137)17]</p><p>VB = 23. 650[1 − 0, 02329]</p><p>VB = 23. 650. 0, 9767</p><p>VB = 23099, 19</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Taxa efetiva e taxa nominal</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você compreenderá sobre a importância da utilização de forma adequada das taxas</p><p>equivalentes nos regimes de capitalização de juros simples e juros compostos, ou seja, a taxa</p><p>efetiva e taxa nominal.</p><p>Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que</p><p>precisa</p><p>�nanciar a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a</p><p>seguinte condição de pagamento:</p><p>Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal</p><p>de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da</p><p>proposta de pagamento da Lilian. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Taxa equivalente</p><p>A taxa equivalente, seja no regime de capitalização de juros simples ou compostos, tem como</p><p>função adequar a taxa à relação temporal de trabalho. Para uma melhor compreensão, observe</p><p>um exemplo:</p><p>Se temos uma situação em que as parcelas são mensais, a taxa de juros também precisa estar</p><p>ao mês (a.m.). O mesmo ocorre se as parcelas estiverem ao ano (a.a.), logo, é necessário</p><p>converter a taxa de juros também ao ano, utilizando os conceitos de taxas equivalentes para</p><p>cada regime de capitalização.</p><p>Importante relembrar que no período comercial, temos o seguinte:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>1 mês = 30 dias</p><p>1 ano = 12 meses</p><p>1 ano = 360 dias</p><p>1 bimestre = 2 meses</p><p>1 trimestre = 3 meses</p><p>semestre = 6 meses</p><p>Sendo assim, a taxa equivalente só altera a relação temporal, pois quando temos alteração de</p><p>regime de capitalização de juros simples para compostos, ou vice-versa, trabalhamos com taxa</p><p>efetiva ou nominal.</p><p>Figura 1 | Cálculo de taxas. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa efetiva</p><p>A taxa efetiva refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do</p><p>período de capitalização especí�co para o regime de juros compostos. Para converter uma taxa</p><p>nominal em efetiva usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias.</p><p>d: taxa nominal.</p><p>Observe um exemplo:</p><p>José vai realizar um �nanciamento em regime de juros compostos, o qual apresentou taxa</p><p>nominal de 32% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento ao ano?</p><p>Como se trata de um �nanciamento em juros compostos, a taxa de trabalho não pode ser a taxa</p><p>nominal, pois ela é taxa de juros simples; então deveremos trabalhar com taxa efetiva. Extraindo</p><p>informações da situação, temos:</p><p>n = 360 dias.</p><p>f = 360 dias.</p><p>d = 32% = 0,32</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Logo, a taxa efetiva para o �nanciamento é 38,24% a.a.</p><p>Taxa nominal</p><p>A taxa nominal refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do</p><p>período de capitalização dos juros simples. Para converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a</p><p>seguinte fórmula:</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( d</p><p>n + 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,32</p><p>360 + 1)</p><p>360</p><p>− 1</p><p>ief = (0,0009 + 1)360 − 1</p><p>ief = 1,3824 − 1</p><p>ief = 0,3824 a. a = 38,24% a. a</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias.</p><p>d: taxa nominal.</p><p>: taxa efetiva.</p><p>Para melhor compreender, observe um exemplo:</p><p>Alana vai realizar um �nanciamento em regime de juros simples, mas como o parcelamento é a</p><p>curto prazo, apresentou taxa efetiva de 27% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento</p><p>ao ano?</p><p>Como se trata de um �nanciamento em juros simples, a taxa de trabalho não pode ser a taxa</p><p>efetiva, pois ela é taxa de juros compostos; então deveremos trabalhar com taxa nominal.</p><p>n =  360 dias</p><p>f = 360 dias</p><p>Substituindo na fórmula, temos:</p><p>Portanto, a taxa de trabalho, que é a taxa nominal é de 25,2% a.a.</p><p>ief</p><p>ief = 27% = 0,27</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>d = [(0,27 + 1)</p><p>1</p><p>360 − 1]360</p><p>d = [(1,27)0,0028 − 1]360</p><p>d = [1,0007 − 1]360</p><p>d = [1,0007 − 1]360</p><p>d = 0,0007.360</p><p>d = 0,252 a. a</p><p>d = 25,2% a. a</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que precisa �nanciar</p><p>a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a seguinte condição</p><p>de pagamento:</p><p>Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal</p><p>de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da</p><p>proposta de pagamento da Lilian.</p><p>Como a proposta trata de um �nanciamento em parcelas mensais e iguais em regime de juros</p><p>compostos, não calcularemos as parcelas com a taxa nominal, pois ela é uma taxa de juros</p><p>simples, por isso vamos converter a taxa dada em taxa efetiva ao mês.</p><p>n = 360 dias</p><p>f = 30 dias</p><p>d = 13,2% = 0,132</p><p>Substituindo na fórmula, temos:</p><p>Portanto, a taxa de que iremos usar para calcular as parcelas mensais e iguais da proposta, que é</p><p>a taxa efetiva, será de 1,21% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre taxas, acesse o livro Matemática �nanceira de Ernesto Coutinho Puccini.</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,132</p><p>360 + 1)</p><p>30</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,132</p><p>360 + 1)</p><p>30</p><p>− 1</p><p>ief = (0,0004 + 1)30 − 1</p><p>ief = 1,0121 − 1</p><p>ief = 0,0121 a.m = 1,21% a.m</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto universidade aberta, 2007.</p><p>Aula 4</p><p>Negociação com Juros Simples e Compostos</p><p>Negociação de juros simples e compostos</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá sobre negociação em regime de juros simples e compostos, bem</p><p>como analisar propostas e contrapropostas, aplicando conceitos de séries de ambos os regimes</p><p>de capitalização.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação de Kátia, que pretende comprar</p><p>um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma</p><p>taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. A loja fez uma</p><p>contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a</p><p>taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso, qual é o valor de cada parcela da proposta</p><p>de Kátia?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Negociação em juros simples</p><p>O ato de negociar faz parte de nossas vidas, pois a partir disso é que adquirimos bens de</p><p>consumo dentro de nossas reais possibilidades, sem depreciar o valor real do bem. A negociação</p><p>tem como princípio um fundamento básico: o capital numa situação A deve ser o mesmo numa</p><p>situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o mesmo do proposto, independentemente</p><p>da forma de pagamento e regime de juros.</p><p>= capital numa situação “A”</p><p>= capital numa situação “B”</p><p>Podemos ter situações que envolvem o pagamento de entrada, daí temos a seguinte situação:</p><p>Observe um exemplo: uma loja de departamento masculina está anunciando um terno por duas</p><p>parcelas iguais de R$ 300,00 a cada sete dias, sob regime e taxa de juros simples de 0,035% a.d.</p><p>Ricardo tem muito interesse pelo terno e apresentou uma proposta de pagar em três parcelas</p><p>iguais, vencendo a cada dez dias, sob a mesma taxa e o mesmo regime imposto pela loja. Qual é</p><p>o valor das parcelas propostas pelo Ricardo?</p><p>Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta:</p><p>Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.</p><p>CA = CB</p><p>CA</p><p>CB</p><p>AVA = AVB</p><p>AVA</p><p>AVB</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>1+iPropostanjProposta</p><p>300</p><p>(1+0,00035.7)</p><p>+ 300</p><p>(1+0,00035.14)</p><p>= M</p><p>(1+0,00035.10)</p><p>+ M</p><p>(1+0,00035.20)</p><p>+ M</p><p>(1+0,00035.30)</p><p>597,81 = 2,9791M</p><p>597,81</p><p>2,9791 = M</p><p>M = 200,67</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Negociação em juros compostos</p><p>Assim como vimos na negociação de juros simples, podemos utilizar os mesmos conceitos para</p><p>os juros compostos, com a diferença da utilização da série de juros compostos.</p><p>Exemplo: um aparelho celular está sendo anunciado por duas parcelas mensais e iguais a R$</p><p>600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m. Carlos pretende comprar o aparelho</p><p>celular, mas ofereceu a seguinte condição: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob</p><p>taxa e regime de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o valor das parcelas propostas por Carlos?</p><p>Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta.</p><p>Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.</p><p>Negociação em juros simples e compostos</p><p>Podemos ter também numa mesma negociação ambos os regimes de capitalização, juros</p><p>simples e juros compostos. Veja o exemplo:</p><p>Renata está vendendo um aparelho eletrônico por duas parcelas de R$ 150,00 a cada 12 dias,</p><p>sob regime e taxa de juros simples de 0,043% a.d. Joana quer pagar em duas parcelas mensais e</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta = ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>600</p><p>(1+0,018)</p><p>1 + 600</p><p>(1+0,018)</p><p>2 = M</p><p>(1+0,02)</p><p>2 + M</p><p>(1+0,02)</p><p>3 + M</p><p>(1+0,02)</p><p>5</p><p>600</p><p>1,018</p><p>+ 600</p><p>1,0363</p><p>= M</p><p>1,0404</p><p>+ M</p><p>1,0612</p><p>+ M</p><p>1,1041</p><p>589,39 + 578,98 = ( 1</p><p>1,0404</p><p>+ 1</p><p>1,0612</p><p>+ 1</p><p>1,1041</p><p>)M</p><p>1168,37 = (0,9612 + 0,9423 + 0,9057)M</p><p>1168,37 = 2,8092M</p><p>1168,37</p><p>2,8092 = M</p><p>M = 415,91</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>iguais sob regime e taxa de juros compostos de 1,32% a.m. Qual é o valor das parcelas que</p><p>Joana está disposta a pagar?</p><p>Portanto, o valor das parcelas propostas por Joana é de R$ 151,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Kátia, que pretende comprar</p><p>um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma</p><p>taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. Mas a loja fez uma</p><p>contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a</p><p>taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso, qual valor de cada parcela da proposta de</p><p>Kátia?</p><p>Primeiramente, temos o valor anunciado e valor proposto:</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>150</p><p>1+0,0043⋅12</p><p>+ 150</p><p>1+0,0043⋅24</p><p>= M</p><p>(1+0,0132)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0132)2</p><p>297,70 = 1,9611M</p><p>M = 297,70</p><p>1,9611</p><p>M = R$151,80</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= EProposta +∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>22.000</p><p>1+0,0004⋅10 + 22.000</p><p>1+0,0004⋅20 + 22.000</p><p>1+0,0004⋅30 =</p><p>= 25.670,40 + M</p><p>(1+0,0121)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0121)2</p><p>+ M</p><p>(1+0,0121)3</p><p>65.476,88 = 25.670,40 +M( 1</p><p>1,0121 + 1</p><p>1,0243 + 1</p><p>1,0367 )</p><p>65.476,88 − 25.670,40 = M(0,9880 + 0,9763 + 0,9646)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, o valor das parcelas propostas é de R$ 13.590,93.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre negociação, leia o livro Matemática �nanceira de Fernando Guerra e Inder</p><p>Jeet Taneja.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática Financeira. Curso de graduação em Administração a</p><p>Distância, v. 1, 2014.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>39.806,48 = 2,9289M</p><p>M = 39.806,48</p><p>2,9289</p><p>M = R$13.590,93</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>descontos e à taxa efetiva e nominal a �m de utilizá-los na resolução de problemas que envolvam</p><p>negociações �nanceiras, é necessário elencar os conhecimentos a seguir.</p><p>Quando trabalhamos com desconto bancário, nos referimos à antecipação do recebimento de</p><p>títulos no período em dias, seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma</p><p>instituição �nanceira.</p><p>Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o</p><p>desconto racional, utilizamos a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>N: valor nominal.</p><p>d: corresponde a taxa de juros simples ao dia.</p><p>n: período de antecipação.</p><p>Agora, para o cálculo do valor resgatado (</p><p>Também podemos trabalhar com desconto bancário de títulos de alto porte, ou seja, com IOF, a</p><p>partir da seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>D = N ⋅ d ⋅ n</p><p>VB</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.</p><p>N: valor nominal, valor do título antecipado.</p><p>d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>n: período de antecipação do título, geralmente em dias.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>Outro tema importante para área refere-se às conversões das taxas equivalentes, em que a taxa</p><p>de juros e o período precisam estar na mesma unidade tempo. Para o regime de juros compostos</p><p>utilizamos a taxa efetiva e para sua conversão usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias</p><p>d: taxa nominal</p><p>A taxa nominal refere-se a uma taxa no regime de capitalização dos juros simples. Para converter</p><p>uma taxa efetiva em nominal usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias</p><p>d: taxa nominal</p><p>: taxa efetiva</p><p>Por �m, temos que a negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital numa</p><p>situação A deve ser o mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o</p><p>mesmo do proposto, independentemente da forma de pagamento e regime de juros.</p><p>Para negociação com anúncio e proposta em juros simples usa-se a fórmula:</p><p>Para negociação com anúncio e proposta em juros compostos usa-se a fórmula:</p><p>VB</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>ief</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>1+iPropostanjProposta</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para negociação com anúncio em juros simples e proposta em juros compostos usa-se a</p><p>fórmula:</p><p>Importante ressaltar que podemos ter anúncio em juros compostos e proposta em juros simples</p><p>também. Tais conceitos vistos nesta unidade além de contribuir para o avanço dos conteúdos da</p><p>disciplina também visam contribuir para resolução de problemas do nosso dia a dia.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Dona Maria alugou um forno para sua padaria e vai pagar duas parcelas mensais e iguais a R$</p><p>650,00 sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m. Senhor José, dono da padaria</p><p>ao lado, também tem interesse em alugar a mesma máquina, mas tem condição para pagar em</p><p>três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m.</p><p>Sendo assim, qual o valor de cada parcela Seu José vai pagar?</p><p>Após o estudo,</p><p>re�ita sobre as seguintes perguntas:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Dê o Play!</p><p>Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente temos que:</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta = ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Situação A (Anúncio): duas parcelas mensais e iguais a R$ 650,00 sob regime de juros</p><p>compostos e taxa efetiva de 4% a.m.</p><p>Situação B (Proposta): três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa</p><p>efetiva de 4% a.m.</p><p>Observe que não será necessário converter as taxas, pois temos taxa efetiva no regime de juros</p><p>compostos. Neste caso, temos tanto o anúncio quanto a proposta em regime de juros</p><p>compostos, então vamos utilizar a seguinte fórmula:</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>Logo, o valor de cada parcela da proposta do sr. José é R$ 441,77.</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjA</p><p>(1+iA)</p><p>njA</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjB</p><p>(1+iB)</p><p>njB</p><p>650</p><p>(1+0,04)1</p><p>+ 650</p><p>(1+0,04)2</p><p>= M</p><p>(1+0,04)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,04)2</p><p>+ M</p><p>(1+0,04)3</p><p>650</p><p>1,04</p><p>+ 650</p><p>1,0816</p><p>= M</p><p>1,04</p><p>+ M</p><p>1,0816</p><p>+ M</p><p>1,1249</p><p>625 + 600,96 = M( 1</p><p>1,04</p><p>+ 1</p><p>1,0816</p><p>+ 1</p><p>1,1249</p><p>)</p><p>1.225,96 = M(0,9615 + 0,9246 + 0,8890)</p><p>1.225,96 = 2,7751M</p><p>M = 1.225,96</p><p>2,7751</p><p>M = 441,77</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Figura 1 | Mapa mental dos cálculos de juros e parcelamentos (desconto bancário e</p><p>taxa efetiva)</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>Unidade 3</p><p>Análise de Financiamentos</p><p>Aula 1</p><p>Valor Presente - Financiamento</p>