Estatística Questionário Unidade IV

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<p>Usuário plinio.silva6 @aluno.unip.br</p><p>Curso ESTATÍSTICA</p><p>Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV</p><p>Iniciado 17/03/23 00:08</p><p>Enviado 17/03/23 00:12</p><p>Status Completada</p><p>Resultado da</p><p>tentativa</p><p>2 em 2,5 pontos</p><p>Tempo decorrido 4 minutos</p><p>Resultados</p><p>exibidos</p><p>Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas</p><p>respondidas incorretamente</p><p>• Pergunta 1</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma a seguinte distribuição de</p><p>probabilidade:</p><p>O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente,</p><p>Resposta Selecionada: e.</p><p>1/2 e 9/4.</p><p>Respostas: a.</p><p>0 e 3/4.</p><p>b.</p><p>1/4 e 3/2.</p><p>c.</p><p>1/2 e 3/4.</p><p>d.</p><p>1/2 e 3/2.</p><p>e.</p><p>1/2 e 9/4.</p><p>Feedback</p><p>da resposta:</p><p>Resposta: E</p><p>Comentário: Quando a probabilidade de todos os possíveis resultados de uma</p><p>variável aleatória discreta é expressa como uma taxa percentual, o resultado do</p><p>somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. Quando é expresso na forma</p><p>unitária, o somatório das probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando as</p><p>probabilidades expostas na 2ª coluna da tabela do enunciado, temos a equação a</p><p>seguir:</p><p>Isolando o K, temos:</p><p>Logo, sabemos que K = ½.</p><p>O valor esperado E(X), de uma variável discreta aleatória X, é calculado pela média</p><p>ponderada dos valores xi assumidos pela variável, em que os pesos são as</p><p>probabilidades unitárias p(xi):</p><p>No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a seguir:</p><p>• Pergunta 2</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população</p><p>composta por vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por certa doença. Se X é a variável</p><p>aleatória que contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram acometidas pela referida</p><p>doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a:</p><p>Resposta Selecionada: a.</p><p>0,375.</p><p>Respostas: a.</p><p>0,375.</p><p>b.</p><p>0,425.</p><p>c.</p><p>0,475.</p><p>d.</p><p>0,5.</p><p>e.</p><p>0,525.</p><p>Feedback da</p><p>resposta:</p><p>Resposta: A</p><p>Comentário: A questão aborda uma situação tratada como uma distribuição</p><p>binomial. A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades que</p><p>se aplica sempre que o processo de amostragem tem as seguintes características:</p><p>● Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e</p><p>fracasso, que são mutuamente exclusivos. No contexto, há apenas a possibilidade</p><p>de a pessoa ser acometida pela doença ou não ser acometida, e a ocorrência de uma</p><p>exclui a outra.</p><p>● Os eventos de uma série de tentativas são independentes. No contexto, a amostra</p><p>é selecionada com reposição, o que torna os eventos independentes entre si.</p><p>● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso não varia entre</p><p>uma tentativa e outra.</p><p>Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma pessoa ser acometida pela</p><p>doença, a probabilidade de fracasso q nessa mesma tentativa é dada por:</p><p>Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser acometida pela doença) é dado por:</p><p>Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não ser acometida pela doença)</p><p>dado como:</p><p>Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. O número 1, na</p><p>expressão acima, indica a probabilidade de ocorrência de 100%.</p><p>A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N tentativas é dada pela seguinte</p><p>expressão:</p><p>Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos:</p><p>No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X = 2 pessoas acometidas</p><p>pela doença em N = 4 tentativas (quantidade de pessoas da amostra).</p><p>Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre as 4 selecionadas que foram</p><p>acometidas pela doença é de 0,375, ou 37,5%.</p><p>• Pergunta 3</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável</p><p>que tem distribuição normal de média µ e variância σ², conforme a figura apresentada.</p><p>Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25,</p><p>assinale a alternativa que indica a probabilidade p(15 < X < 16,2).</p><p>Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação à média.</p><p>Resposta Selecionada: d.</p><p>0,7698.</p><p>Respostas: a.</p><p>0,1151.</p><p>b.</p><p>0,2302.</p><p>c.</p><p>0,3849.</p><p>d.</p><p>0,7698.</p><p>e.</p><p>0,8849.</p><p>Feedback</p><p>da resposta:</p><p>Resposta: D</p><p>Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de</p><p>probabilidades. Isso significa que as probabilidades seguem uma curva gaussiana,</p><p>conforme exposto na figura do enunciado. A área abaixo da curva vale 1.</p><p>Podemos converter os valores X da distribuição em valores padronizados z,</p><p>subtraindo o valor de X da média e dividindo o resultado pelo desvio-padrão.</p><p>Usando a simbologia empregada na questão, temos a seguinte expressão:</p><p>Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição</p><p>igual ao valor médio, ou seja, X = µ. A um desvio-padrão da média, para o lado</p><p>positivo da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A um desvio-padrão</p><p>da média, para o lado negativo da curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos</p><p>X = µ – σ. Essa correspondência pode ser vista na figura a seguir, em que os valores</p><p>(em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência</p><p>de X descrita logo a seguir (em azul):</p><p>Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC,</p><p>2017, p. 245.</p><p>Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 0) é igual à área de z = –1</p><p>em relação à média (ponto z = 0). Logo, valores simétricos em relação ao ponto</p><p>central correspondem à mesma medida de área e, consequentemente, à mesma</p><p>probabilidade, conforme ilustrado a seguir:</p><p>Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, basta que somemos as áreas</p><p>destacadas nas figuras anteriores, ou multipliquemos 0,3413 por 2.</p><p>Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a variável X tem distribuição</p><p>normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do</p><p>desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da variância, conforme exposto a</p><p>seguir:</p><p>Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 16,2, que são os limites do</p><p>intervalo da probabilidade a ser calculada na questão: P(15 < X < 16,2).</p><p>Para P = 15, temos:</p><p>Para P = 16,2, temos:</p><p>Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para sabermos o valor da</p><p>probabilidade pedida, basta que multipliquemos esse valor por 2, por se tratar de</p><p>regiões simétricas no gráfico.</p><p>• Pergunta 4</p><p>0 em 0,25 pontos</p><p>(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um concurso público</p><p>é, normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e desvio-padrão de 1 minuto. Nessas</p><p>condições, em que os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então, a probabilidade de que</p><p>um candidato leve mais de 6 minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) =</p><p>0,3413).</p><p>Resposta Selecionada: c.</p><p>0,6587.</p><p>Respostas: a.</p><p>0,1587.</p><p>b.</p><p>0,3413.</p><p>c.</p><p>0,6587.</p><p>d.</p><p>0,6826.</p><p>e.</p><p>0,8413.</p><p>• Pergunta 5</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi segmentada em faixas</p><p>etárias, conforme mostra a tabela a seguir. Um levantamento estatístico será efetuado por</p><p>amostragem, sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se encontram,</p><p>respectivamente, nas faixas etárias I, II, III.</p><p>Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-se como uma amostragem</p><p>aleatória.</p><p>Resposta Selecionada: b.</p><p>Estratificada.</p><p>Respostas: a.</p><p>Simples com reposição.</p><p>b.</p><p>Estratificada.</p><p>c.</p><p>Sistemática.</p><p>d.</p><p>Por conglomerados.</p><p>e.</p><p>Simples sem reposição.</p><p>Feedback</p><p>da resposta:</p><p>Resposta: B</p><p>Comentário: A população foi dividida em subgrupos, levando em consideração a</p><p>faixa etária dos indivíduos. Cada um desses subgrupos é um estrato, ou seja, um</p><p>subgrupo homogêneo em relação a alguma característica (nesse caso, a idade).</p><p>Posteriormente, foi feita uma amostragem aleatória simples de dentro de cada</p><p>estrato. Esse procedimento leva o nome de amostragem aleatória estratificada.</p><p>• Pergunta 6</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o tamanho médio de um tipo de</p><p>vegetação rasteira. Para isso, realizou coletas ao acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de</p><p>serem escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, aparentemente, o mesmo</p><p>tamanho. Qual foi o método de amostragem utilizado por esse biólogo?</p><p>Resposta Selecionada: b.</p><p>Amostragem aleatória simples.</p><p>Respostas: a.</p><p>Amostragem estratificada.</p><p>b.</p><p>Amostragem aleatória simples.</p><p>c.</p><p>Amostragem sistemática.</p><p>d.</p><p>Amostragem por conglomerados.</p><p>e.</p><p>Amostragem intencional.</p><p>Feedback da</p><p>resposta:</p><p>Resposta: B</p><p>Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos os elementos de uma</p><p>população têm igual probabilidade de serem selecionados para a amostra. No</p><p>contexto, a população era composta por plantas da vegetação rasteira que tinham a</p><p>mesma chance de serem escolhidas.</p><p>• Pergunta 7</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma população infinita, distribuída de</p><p>forma normal. Sabe-se que a média amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2. Nesse</p><p>caso, se o nível de confiança é de 95%, o limite inferior do intervalo de confiança para a média</p><p>populacional será:</p><p>Resposta Selecionada: a.</p><p>50,52.</p><p>Respostas: a.</p><p>50,52.</p><p>b.</p><p>52,08.</p><p>c.</p><p>54,18.</p><p>d.</p><p>56,20.</p><p>e.</p><p>58,45.</p><p>Feedback</p><p>da resposta:</p><p>Resposta: A</p><p>Comentário: Conforme vimos, um nível de confiança de 95% para uma população,</p><p>normalmente, distribuída implica z = 1,96. Considerando que a população é infinita,</p><p>calculamos o erro amostral c em função de z = 1,96, do desvio-padrão populacional</p><p>σ = 2 (aproximado pelo desvio-padrão da amostra) e do número de elementos da</p><p>amostra n = 25. A fórmula é apresentada a seguir:</p><p>O cálculo, portanto, segue o formato a seguir:</p><p>A probabilidade do intervalo de confiança da média populacional μ é dado</p><p>considerando a média amostral x̅ e o erro amostral c, como:</p><p>Logo, o limite inferior do intervalo de confiança da média populacional é 50,516.</p><p>Quando aproximado para duas casas decimais, chegamos ao valor 50,52.</p><p>• Pergunta 8</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coeficiente de correlação linear de Pearson dá uma</p><p>medida do grau de correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal dessa correlação, que</p><p>diz se os dados são direta ou inversamente relacionados.</p><p>O coeficiente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado pela</p><p>expressão a seguir:</p><p>Na equação:</p><p>Na simbologia, temos o que segue:</p><p>• xi é o um valor qualquer da variável x.</p><p>• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi.</p><p>• n é o número de pares de dados.</p><p>Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que:</p><p>É correto afirmar que:</p><p>Resposta</p><p>Selecionada:</p><p>b.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será</p><p>positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta</p><p>crescente.</p><p>Respostas: a.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será</p><p>negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta</p><p>decrescente.</p><p>b.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será</p><p>positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta</p><p>crescente.</p><p>c.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será</p><p>negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta</p><p>crescente.</p><p>d.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será nulo,</p><p>o que indica que a regressão linear será representada por uma reta horizontal.</p><p>e.</p><p>O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será</p><p>positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta</p><p>decrescente.</p><p>Feedback da</p><p>resposta:</p><p>Resposta: B</p><p>Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o coeficiente de</p><p>correlação linear de Pearson para n = 8, já que se trata de 8 pares de valores x e y.</p><p>Nesse caso, temos o que segue:</p><p>Nesse caso, temos um coeficiente de correlação linear positivo e próximo de 1, o</p><p>que indica que há uma forte correlação direta entre os valores de x e os valores de</p><p>y. Essa correlação se dará num formato crescente, já que o resultado é positivo.</p><p>• Pergunta 9</p><p>0 em 0,25 pontos</p><p>O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de</p><p>equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função de 1º grau.</p><p>Temos a variável y medida em função da variável x.</p><p>Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser</p><p>escrito da seguinte forma:</p><p>Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa</p><p>reta ajustada são dados, respectivamente, por:</p><p>Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.</p><p>xi yi</p><p>1 21</p><p>2 42</p><p>3 60</p><p>4 78</p><p>Nesse caso, qual o valor de Δ?</p><p>Resposta Selecionada: c.</p><p>12.</p><p>Respostas: a.</p><p>8.</p><p>b.</p><p>9.</p><p>c.</p><p>12.</p><p>d.</p><p>17.</p><p>e.</p><p>20.</p><p>• Pergunta 10</p><p>0,25 em 0,25 pontos</p><p>O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de</p><p>equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função de 1º grau.</p><p>Temos a variável y medida em função da variável x.</p><p>Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser</p><p>escrito da seguinte forma:</p><p>Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa</p><p>reta ajustada são dados, respectivamente, por:</p><p>Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.</p><p>xi yi</p><p>1 21</p><p>2 42</p><p>3 60</p><p>4 78</p><p>Nesse caso, qual o valor do coeficiente a, que representa o coeficiente angular?</p><p>Resposta Selecionada: d.</p><p>18,9.</p><p>Respostas: a.</p><p>12,3.</p><p>b.</p><p>14,8.</p><p>c.</p><p>16,2.</p><p>d.</p><p>18,9.</p><p>e.</p><p>23,1.</p><p>Feedback da</p><p>resposta:</p><p>Resposta: D</p><p>Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já</p><p>que há 4 pares de valores xy.</p>