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Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IVESTATÍSTICA 3066-60_54406_R_E1_20241 CONTEÚDO Usuário mateus.silva286 @aluno.unip.br Curso ESTATÍSTICA Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV Iniciado 05/03/24 23:50 Enviado 05/03/24 23:55 Status Completada Resultado da tentativa 2,5 em 2,5 pontos Tempo decorrido 5 minutos Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente Pergunta 1 Resposta Selecionada: e. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: (FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma a seguinte distribuição de probabilidade: O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente, 1/2 e 9/4. 0 e 3/4. 1/4 e 3/2. 1/2 e 3/4. 1/2 e 3/2. 1/2 e 9/4. Resposta: E Comentário: Quando a probabilidade de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória discreta é expressa como uma taxa percentual, o resultado do somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. Quando é expresso na forma unitária, o somatório das probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando as probabilidades expostas na 2ª coluna da tabela do enunciado, temos a equação a seguir: Isolando o K, temos: Logo, sabemos que K = ½. O valor esperado E(X), de uma variável discreta aleatória X, é calculado pela média ponderada dos valores xi assumidos pela variável, em que os pesos são as probabilidades unitárias p(xi): No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a seguir: UNIP EAD BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TUTORIAIS mateus.silva286 @aluno.unip.br 1 CONTEÚDOS ACADÊMICOS 0,25 em 0,25 pontos http://company.blackboard.com/ https://ava.ead.unip.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_333913_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_333913_1&content_id=_3834222_1&mode=reset https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_10_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_27_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_47_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_29_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_25_1 https://ava.ead.unip.br/webapps/login/?action=logout Pergunta 2 Resposta Selecionada: a. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: (FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a: 0,375. 0,375. 0,425. 0,475. 0,5. 0,525. Resposta: A Comentário: A questão aborda uma situação tratada como uma distribuição binomial. A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades que se aplica sempre que o processo de amostragem tem as seguintes características: ● Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e fracasso, que são mutuamente exclusivos. No contexto, há apenas a possibilidade de a pessoa ser acometida pela doença ou não ser acometida, e a ocorrência de uma exclui a outra. ● Os eventos de uma série de tentativas são independentes. No contexto, a amostra é selecionada com reposição, o que torna os eventos independentes entre si. ● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso não varia entre uma tentativa e outra. Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma pessoa ser acometida pela doença, a probabilidade de fracasso q nessa mesma tentativa é dada por: Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser acometida pela doença) é dado por: Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não ser acometida pela doença) dado como: Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. O número 1, na expressão acima, indica a probabilidade de ocorrência de 100%. A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N tentativas é dada pela seguinte expressão: Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos: No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X = 2 pessoas acometidas pela doença em N = 4 tentativas (quantidade de pessoas da amostra). Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre as 4 selecionadas que foram acometidas pela doença é de 0,375, ou 37,5%. Pergunta 3 0,25 em 0,25 pontos 0,25 em 0,25 pontos Resposta Selecionada: d. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: (IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem distribuição normal de média µ e variância σ², conforme a �gura apresentada. Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a alternativa que indica a probabilidade p(15 < X < 16,2). Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação à média. 0,7698. 0,1151. 0,2302. 0,3849. 0,7698. 0,8849. Resposta: D Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso signi�ca que as probabilidades seguem uma curva gaussiana, conforme exposto na �gura do enunciado. A área abaixo da curva vale 1. Podemos converter os valores X da distribuição em valores padronizados z, subtraindo o valor de X da média e dividindo o resultado pelo desvio-padrão. Usando a simbologia empregada na questão, temos a seguinte expressão: Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, X = µ. A um desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A um desvio-padrão da média, para o lado negativo da curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos X = µ – σ. Essa correspondência pode ser vista na �gura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de X descrita logo a seguir (em azul): Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245. Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 0) é igual à área de z = –1 em relação à média (ponto z = 0). Logo, valores simétricos em relação ao ponto central correspondem à mesma medida de área e, consequentemente, à mesma probabilidade, conforme ilustrado a seguir: Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, basta que somemos as áreas destacadas nas �guras anteriores, ou multipliquemos 0,3413 por 2. Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a variável X tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da variância, conforme exposto a seguir: Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 16,2, que são os limites do intervalo da probabilidade a ser calculada na questão: P(15 < X < 16,2). Para P = 15, temos: Para P = 16,2, temos: Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para sabermos o valor da probabilidade pedida, basta que multipliquemos esse valor por 2, por se tratar de regiões simétricas no grá�co. Pergunta 4 Resposta Selecionada: a. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: (PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um concurso público é, normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e desvio-padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então, a probabilidade de que um candidato leve mais de 6 minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) = 0,3413). 0,1587. 0,1587. 0,3413. 0,6587. 0,6826. 0,8413. Resposta: A Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso signi�ca que as probabilidades de tempo de resolução de uma questão de Estatísticano concurso seguem uma curva gaussiana. Pelos dados entregues, temos média de tempo de resolução x ̅= 5 min, com desvio-padrão σ = 1 min. A probabilidade que queremos calcular é que o candidato leve mais do que 6 minutos para resolver uma questão. Desse modo, queremos saber o valor de P(>6). O enunciado também nos entrega um valor de probabilidade para uma distribuição normal padrão, correspondente a 0,25 em 0,25 pontos z = 1. Podemos converter os valores x da distribuição em valores padronizados z, usando a seguinte expressão: Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, x = x.̅ A um desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1. Nesse caso, temos x = x ̅+ σ. Essa correspondência pode ser vista na �gura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de x descrita logo a seguir (em azul): Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245. Na questão, o tempo de x = 6 min, corresponde a x ̅+ σ, ou z = 1, conforme demonstrado a seguir: Pela tabela de áreas sob uma distribuição normal padrão em relação ao valor médio, podemos notar que, quanto maior é o valor de z, mais o valor da área se aproxima de 0,5. Por exemplo, para z = 3,09, que é o valor mais alto disponível na tabela a seguir, temos P(z=3,09) = 0,4990. z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 O valor de 0,5 também pode ser inferido ser pela �gura: já que a área total corresponde a 1, a área correspondente de 0 até o in�nito corresponderá à metade disso, ou seja, 0,5. Isso signi�ca que, para x tendendo ao in�nito, temos P(z→∞) = 0,5 em relação ao valor médio (em que z = 0). Logo, para sabermos P(>6), queremos saber qual é o valor da área entre z = 1 e z → ∞. Para isso, basta que façamos a subtração do valor de P(z→∞) = 0,5 do valor de P(z=1) = 0,3413. Pergunta 5 Resposta Selecionada: b. Respostas: a. (CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi segmentada em faixas etárias, conforme mostra a tabela a seguir. Um levantamento estatístico será efetuado por amostragem, sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se encontram, respectivamente, nas faixas etárias I, II, III. Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-se como uma amostragem aleatória. Estrati�cada. Simples com reposição. 0,25 em 0,25 pontos b. c. d. e. Comentário da resposta: Estrati�cada. Sistemática. Por conglomerados. Simples sem reposição. Resposta: B Comentário: A população foi dividida em subgrupos, levando em consideração a faixa etária dos indivíduos. Cada um desses subgrupos é um estrato, ou seja, um subgrupo homogêneo em relação a alguma característica (nesse caso, a idade). Posteriormente, foi feita uma amostragem aleatória simples de dentro de cada estrato. Esse procedimento leva o nome de amostragem aleatória estrati�cada. Pergunta 6 Resposta Selecionada: b. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: (INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira. Para isso, realizou coletas ao acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de serem escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, aparentemente, o mesmo tamanho. Qual foi o método de amostragem utilizado por esse biólogo? Amostragem aleatória simples. Amostragem estrati�cada. Amostragem aleatória simples. Amostragem sistemática. Amostragem por conglomerados. Amostragem intencional. Resposta: B Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos os elementos de uma população têm igual probabilidade de serem selecionados para a amostra. No contexto, a população era composta por plantas da vegetação rasteira que tinham a mesma chance de serem escolhidas. Pergunta 7 Resposta Selecionada: a. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma população in�nita, distribuída de forma normal. Sabe-se que a média amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2. Nesse caso, se o nível de con�ança é de 95%, o limite inferior do intervalo de con�ança para a média populacional será: 50,52. 50,52. 52,08. 54,18. 56,20. 58,45. Resposta: A Comentário: Conforme vimos, um nível de con�ança de 95% para uma população, normalmente, distribuída implica z = 1,96. Considerando que a população é in�nita, calculamos o erro amostral c em função de z = 1,96, do desvio-padrão populacional σ = 2 (aproximado pelo desvio-padrão da amostra) e do número de elementos da amostra n = 25. A fórmula é apresentada a seguir: O cálculo, portanto, segue o formato a seguir: A probabilidade do intervalo de con�ança da média populacional μ é dado considerando a média amostral x ̅e o erro amostral c, como: 0,25 em 0,25 pontos 0,25 em 0,25 pontos Logo, o limite inferior do intervalo de con�ança da média populacional é 50,516. Quando aproximado para duas casas decimais, chegamos ao valor 50,52. Pergunta 8 Resposta Selecionada: b. Respostas: a. b. (Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coe�ciente de correlação linear de Pearson dá uma medida do grau de correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal dessa correlação, que diz se os dados são direta ou inversamente relacionados. O coe�ciente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado pela expressão a seguir: Na equação: Na simbologia, temos o que segue: • xi é o um valor qualquer da variável x. • yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi. • n é o número de pares de dados. Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que: É correto a�rmar que: O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente. O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente. O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente. 0,25 em 0,25 pontos c. d. e. Comentário da resposta: O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente. O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será nulo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta horizontal. O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente. Resposta: B Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o coe�ciente de correlação linear de Pearson para n = 8, já que se trata de 8 pares de valores x e y. Nesse caso, temos o que segue: Nesse caso, temos um coe�ciente de correlação linear positivo e próximo de 1, o que indica que há uma forte correlação direta entre os valores de x e os valores de y. Essa correlação se dará num formato crescente, já que o resultado é positivo. Pergunta 9 xi yi 1 21 2 42 3 60 4 78 O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coe�ciente angular e b é o coe�ciente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x. Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma: Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coe�cientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por: Considere o seguinte conjunto de dados, em quetemos incertezas σ = 1 para a variável y. 0,25 em 0,25 pontos Resposta Selecionada: e. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: Nesse caso, qual o valor de Δ? 20. 8. 9. 12. 17. 20. xi yi xi 2 1 21 1 2 42 4 3 60 9 4 78 16 Resposta: E Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy. Usando a tabela de dados, vamos calcular Sx e Sx2, usando colunas auxiliares para facilitar os cálculos. Os somatórios de interesse são feitos na última linha. Já podemos calcular Δ, conforme exposto a seguir: Pergunta 10 O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coe�ciente angular e b é o coe�ciente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x. Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma: Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coe�cientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por: 0,25 em 0,25 pontos Terça-feira, 5 de Março de 2024 23h55min53s BRT Resposta Selecionada: d. Respostas: a. b. c. d. e. Comentário da resposta: xi yi 1 21 2 42 3 60 4 78 Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y. Nesse caso, qual o valor do coe�ciente a, que representa o coe�ciente angular? 18,9. 12,3. 14,8. 16,2. 18,9. 23,1. Resposta: D Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy. ← OK