estatística QUESTIONÁRIO UNIDADE IV

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Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IVESTATÍSTICA 3066-60_54406_R_E1_20241 CONTEÚDO
Usuário mateus.silva286 @aluno.unip.br
Curso ESTATÍSTICA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV
Iniciado 05/03/24 23:50
Enviado 05/03/24 23:55
Status Completada
Resultado da tentativa 2,5 em 2,5 pontos  
Tempo decorrido 5 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma a seguinte distribuição de probabilidade:
 
 
O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente,
1/2 e 9/4.
0 e 3/4.
1/4 e 3/2.
1/2 e 3/4.
1/2 e 3/2.
1/2 e 9/4.
Resposta: E
Comentário: Quando a probabilidade de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória discreta é expressa como
uma taxa percentual, o resultado do somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. Quando é expresso na forma
unitária, o somatório das probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando as probabilidades expostas na 2ª coluna
da tabela do enunciado, temos a equação a seguir:
 
 
Isolando o K, temos:
 
 
 
Logo, sabemos que K = ½.
 
O valor esperado E(X), de uma variável discreta aleatória X, é calculado pela média ponderada dos valores xi assumidos
pela variável, em que os pesos são as probabilidades unitárias p(xi):
 
 
 
No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a seguir:
 
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mateus.silva286 @aluno.unip.br 1
CONTEÚDOS ACADÊMICOS
0,25 em 0,25 pontos
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Pergunta 2
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez
foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram acometidas
pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a:
0,375.
0,375.
0,425.
0,475.
0,5.
0,525.
Resposta: A
Comentário: A questão aborda uma situação tratada como uma distribuição binomial. A distribuição binomial é uma
distribuição discreta de probabilidades que se aplica sempre que o processo de amostragem tem as seguintes
características:
 
● Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e fracasso, que são mutuamente
exclusivos. No contexto, há apenas a possibilidade de a pessoa ser acometida pela doença ou não ser acometida, e a
ocorrência de uma exclui a outra.
● Os eventos de uma série de tentativas são independentes. No contexto, a amostra é selecionada com reposição, o
que torna os eventos independentes entre si.
● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso não varia entre uma tentativa e outra.
 
Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma pessoa ser acometida pela doença, a probabilidade de fracasso q
nessa mesma tentativa é dada por:
 
 
Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser acometida pela doença) é dado por:
 
Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não ser acometida pela doença) dado como:
 
 
Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. O número 1, na expressão acima, indica a
probabilidade de ocorrência de 100%.
A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N tentativas é dada pela seguinte expressão:
 
 
Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos:
 
 
No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X = 2 pessoas acometidas pela doença em N = 4 tentativas
(quantidade de pessoas da amostra).
 
 
Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre as 4 selecionadas que foram acometidas pela doença é de
0,375, ou 37,5%.
Pergunta 3
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem distribuição normal de média µ e
variância σ², conforme a �gura apresentada.
 
Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a alternativa que indica a
probabilidade p(15 < X < 16,2).
 
Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação à média.
 
0,7698.
0,1151.
0,2302.
0,3849.
0,7698.
0,8849.
Resposta: D
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso signi�ca que as
probabilidades seguem uma curva gaussiana, conforme exposto na �gura do enunciado. A área abaixo da curva vale 1.
Podemos converter os valores X da distribuição em valores padronizados z, subtraindo o valor de X da média e dividindo o
resultado pelo desvio-padrão. Usando a simbologia empregada na questão, temos a seguinte expressão:
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, X = µ. A um
desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A um desvio-padrão da
média, para o lado negativo da curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos X = µ – σ. Essa correspondência pode ser vista na
�gura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de
X descrita logo a seguir (em azul):
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
 
Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 0) é igual à área de z = –1 em relação à média (ponto z = 0). Logo,
valores simétricos em relação ao ponto central correspondem à mesma medida de área e, consequentemente, à mesma
probabilidade, conforme ilustrado a seguir:
 
 
 
Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, basta que somemos as áreas destacadas nas �guras anteriores, ou
multipliquemos 0,3413 por 2. 
Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a variável X tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância
σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da variância, conforme
exposto a seguir:
 
 
Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 16,2, que são os limites do intervalo da probabilidade a ser calculada
na questão: P(15 < X < 16,2).
 
Para P = 15, temos:
 
 
Para P = 16,2, temos:
 
 
Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para sabermos o valor da probabilidade pedida, basta que multipliquemos
esse valor por 2, por se tratar de regiões simétricas no grá�co.
 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um concurso público é, normalmente, distribuído, com média
de 5 minutos e desvio-padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então, a
probabilidade de que um candidato leve mais de 6 minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) = 0,3413).
0,1587.
0,1587.
0,3413.
0,6587.
0,6826.
0,8413.
Resposta: A
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso signi�ca que as
probabilidades de tempo de resolução de uma questão de Estatísticano concurso seguem uma curva gaussiana.
Pelos dados entregues, temos média de tempo de resolução x ̅= 5 min, com desvio-padrão σ = 1 min. A probabilidade que
queremos calcular é que o candidato leve mais do que 6 minutos para resolver uma questão. Desse modo, queremos
saber o valor de P(>6).
O enunciado também nos entrega um valor de probabilidade para uma distribuição normal padrão, correspondente a
0,25 em 0,25 pontos
z = 1. Podemos converter os valores x da distribuição em valores padronizados z, usando a seguinte expressão:
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, x = x.̅ A um
desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1. Nesse caso, temos x = x ̅+ σ. Essa correspondência
pode ser vista na �gura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a
correspondência de x descrita logo a seguir (em azul):
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
 
Na questão, o tempo de x = 6 min, corresponde a x ̅+ σ, ou z = 1, conforme demonstrado a seguir:
 
 
Pela tabela de áreas sob uma distribuição normal padrão em relação ao valor médio, podemos notar que, quanto maior é
o valor de z, mais o valor da área se aproxima de 0,5. Por exemplo, para z = 3,09, que é o valor mais alto disponível na
tabela a seguir, temos P(z=3,09) = 0,4990.
 
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
 
O valor de 0,5 também pode ser inferido ser pela �gura: já que a área total corresponde a 1, a área correspondente de 0
até o in�nito corresponderá à metade disso, ou seja, 0,5. Isso signi�ca que, para x tendendo ao in�nito, temos
P(z→∞) = 0,5 em relação ao valor médio (em que z = 0).
 
 
Logo, para sabermos P(>6), queremos saber qual é o valor da área entre z = 1 e z → ∞. Para isso, basta que façamos a
subtração do valor de P(z→∞) = 0,5 do valor de P(z=1) = 0,3413.
 
Pergunta 5
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi segmentada em faixas etárias, conforme mostra a tabela a seguir. Um
levantamento estatístico será efetuado por amostragem, sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se encontram,
respectivamente, nas faixas etárias I, II, III.
 
 
Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-se como uma amostragem aleatória. 
Estrati�cada.
Simples com reposição.
0,25 em 0,25 pontos
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Estrati�cada.
Sistemática.
Por conglomerados.
Simples sem reposição.
Resposta: B
Comentário: A população foi dividida em subgrupos, levando em consideração a faixa etária dos indivíduos. Cada um
desses subgrupos é um estrato, ou seja, um subgrupo homogêneo em relação a alguma característica (nesse caso, a
idade). Posteriormente, foi feita uma amostragem aleatória simples de dentro de cada estrato. Esse procedimento leva o
nome de amostragem aleatória estrati�cada.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira. Para isso, realizou coletas ao
acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de serem escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, aparentemente, o
mesmo tamanho. Qual foi o método de amostragem utilizado por esse biólogo?
Amostragem aleatória simples.
Amostragem estrati�cada.
Amostragem aleatória simples.
Amostragem sistemática.
Amostragem por conglomerados.
Amostragem intencional.
Resposta: B
Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos os elementos de uma população têm igual probabilidade de
serem selecionados para a amostra. No contexto, a população era composta por plantas da vegetação rasteira que
tinham a mesma chance de serem escolhidas.
Pergunta 7
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma população in�nita, distribuída de forma normal. Sabe-se que a média
amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2.  Nesse caso, se o nível de con�ança é de 95%, o limite inferior do intervalo de
con�ança para a média populacional será:
50,52.
50,52.
52,08.
54,18.
56,20.
58,45.
Resposta: A
Comentário: Conforme vimos, um nível de con�ança de 95% para uma população, normalmente, distribuída implica z =
1,96. Considerando que a população é in�nita, calculamos o erro amostral c em função de z = 1,96, do desvio-padrão
populacional σ = 2 (aproximado pelo desvio-padrão da amostra) e do número de elementos da amostra n = 25. A fórmula
é apresentada a seguir:
 
 
 
O cálculo, portanto, segue o formato a seguir:
 
 
A probabilidade do intervalo de con�ança da média populacional μ é dado considerando a média amostral x ̅e o erro
amostral c, como:
 
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
 
 
Logo, o limite inferior do intervalo de con�ança da média populacional é 50,516. Quando aproximado para duas casas
decimais, chegamos ao valor 50,52.
Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
b.
Respostas: a.
b.
(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coe�ciente de correlação linear de Pearson dá uma medida do grau de correlação entre duas
grandezas, além de fornecer o sinal dessa correlação, que diz se os dados são direta ou inversamente relacionados.
O coe�ciente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado pela expressão a seguir:
 
  
 
Na equação:
 
  
 
Na simbologia, temos o que segue:
 
• xi é o um valor qualquer da variável x.
• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi.
• n é o número de pares de dados.
 
Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que:
 
 
 
É correto a�rmar que:
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear
será representada por uma reta crescente.
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão
linear será representada por uma reta decrescente.
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear
será representada por uma reta crescente.
0,25 em 0,25 pontos
c.
d.
e.
Comentário da
resposta:
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão
linear será representada por uma reta crescente.
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será nulo, o que indica que a regressão linear
será representada por uma reta horizontal.
O coe�ciente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear
será representada por uma reta decrescente.
Resposta: B
Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o coe�ciente de correlação linear de Pearson para n = 8, já
que se trata de 8 pares de valores x e y. Nesse caso, temos o que segue:
 
 
Nesse caso, temos um coe�ciente de correlação linear positivo e próximo de 1, o que indica que há uma forte
correlação direta entre os valores de x e os valores de y. Essa correlação se dará num formato crescente, já que o
resultado é positivo.
Pergunta 9
xi yi
1 21
2 42
3 60
4 78
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o
coe�ciente angular e b é o coe�ciente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
   
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coe�cientes angular e linear dessa reta ajustada são dados,
respectivamente, por:
 
  
 
 
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em quetemos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
 
0,25 em 0,25 pontos
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Nesse caso, qual o valor de Δ?
20.
8.
9.
12.
17.
20.
xi yi xi
2
1 21 1
2 42 4
3 60 9
4 78 16
 
Resposta: E
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy.
 
 
Usando a tabela de dados, vamos calcular Sx
e Sx2, usando colunas auxiliares para facilitar os cálculos. Os somatórios de interesse são feitos na última linha.
 
 
Já podemos calcular Δ, conforme exposto a seguir:
 
Pergunta 10
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o
coe�ciente angular e b é o coe�ciente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
  
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coe�cientes angular e linear dessa reta ajustada são dados,
respectivamente, por:
 
 
  
 
0,25 em 0,25 pontos
Terça-feira, 5 de Março de 2024 23h55min53s BRT
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
xi yi
1 21
2 42
3 60
4 78
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
 
Nesse caso, qual o valor do coe�ciente a, que representa o coe�ciente angular?
18,9.
12,3.
14,8.
16,2.
18,9.
23,1.
Resposta: D
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy.
← OK