L1-1

Prévia do material em texto

<p>Lista 1.1</p><p>Matemática Discreta – Q2/2024</p><p>Problema 1. Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposi-</p><p>cional (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑟 ∧ 𝑠).</p><p>Problema 2. Expresse a proposição “2 é um número primo par e 3 é um número</p><p>primo ı́mpar” na forma (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑟 ∧ 𝑠), para proposições apropriadas 𝑝, 𝑞, 𝑟 e 𝑠.</p><p>Descreva como a árvore dedutiva que você construiu no problema anterior sugere</p><p>que demonstração dessa proposição ocorra.</p><p>Problema 3. Prove a seguinte proposição: “Seja 𝑛 ∈ Z. Então o resto da divisão</p><p>de 𝑛2 por 3 é 0 ou 1.”</p><p>Problema 4. Prove a seguinte proposição: “Seja 𝑛 ∈ Z. Então o resto da divisão</p><p>de 𝑛2 por 5 é 0 ou 1 ou 4.”</p><p>Problema 5. Prove a seguinte proposição: “Seja 𝑥 ∈ R. Se 𝑥2 ≥ 𝑥, então 𝑥 ≤ 0</p><p>ou 𝑥 ≥ 1.”</p><p>Problema 6. Prove a seguinte proposição: “Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ Z. Se 𝑎 divide 𝑏 e</p><p>𝑐 divide 𝑑, então 𝑎𝑐 divide 𝑏𝑑.”</p><p>Problema 7. Prove a seguinte proposição: “Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ Z. Se 𝑎 divide 𝑏 e 𝑏</p><p>divide 𝑎, então 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏.”</p><p>Problema 8. Seja 𝑝(𝑥) um polinômio sobre C. Prove que se 𝛼 é uma raı́z de 𝑝(𝑥)</p><p>e 𝑎 ∈ C, então 𝛼 é uma raı́z de (𝑥 − 𝑎)𝑝(𝑥).</p><p>Problema 9. Prove a seguinte proposição: “Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ R. Se 𝑥 e 𝑥 + 𝑦 são</p><p>números racionais, então 𝑦 é racional.”</p><p>Problema 10. Prove a seguinte proposição: “Seja 𝑟 um número racional e seja 𝑎</p><p>um número irracional. Então 𝑟 + 𝑎 é irracional.”</p><p>1</p>