Eventos e espaço amostral

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<p>Sequência Didática | Matemática | Probabilidade e Estatística | Eventos e Espaço amostral 1</p><p>Ponto de</p><p>PARTIDA</p><p>Hoje será um dia de sol? O céu ficará</p><p>nublado? Levo um guarda chuva? Ponho</p><p>um casaco na mochila? Ao sair do trabalho</p><p>irei para a academia? Ao sair da escola vou</p><p>direto para o curso? Que roupa levar?</p><p>Antes de sair de casa, algumas pessoas</p><p>se questionam e costumam informar-se</p><p>sobre a previsão do tempo, para se organi-</p><p>zar e realizar diferentes atividades ao longo</p><p>de um dia.</p><p>Observando a imagem ao lado, você</p><p>saberia dizer como as previsões do tempo</p><p>são realizadas? É necessário efetuar algum</p><p>cálculo?</p><p>Na imagem há uma informação “chance de chuva 0%”. O que você entende ao ler essa informação?</p><p>Fonte:</p><p>www.iqe.org.br/surl/?b4e64d</p><p>Recife</p><p>Pouco Nublado</p><p>Agora</p><p>29°</p><p>10h</p><p>29°</p><p>11h</p><p>29°</p><p>12h</p><p>29°</p><p>13h</p><p>29°</p><p>Hoje: Pouco nublado. A temperatura</p><p>atual é de 29°; a máxima será de 29°.</p><p>05:20</p><p>O sol nasce</p><p>17:09</p><p>O sol se põe</p><p>0%</p><p>Chance de chuva</p><p>70%</p><p>Umidade</p><p>L 13 km/h</p><p>Vento</p><p>33°</p><p>Sensação térmica</p><p>0 cm</p><p>Precipitação</p><p>1 014 hPa</p><p>Pressão</p><p>9,7 km</p><p>Visibilidade</p><p>9</p><p>Índice UV</p><p>Fonte:</p><p>www.iqe.org.br/surl/?23652f</p><p>MAT Sequência Didática do Aluno</p><p>Ensino Médio</p><p>Probabilidade e Estatística</p><p>Eventos e Espaço amostral</p><p>EM.12.MA.10.1.22.A-2020</p><p>2</p><p>Atividade 1</p><p>a) Você sabe o que é um evento determinístico? E um evento aleatório? Converse com os colegas e explique com suas</p><p>palavras.</p><p>Vejamos o significado das palavras aleatório e determinístico no dicionário.</p><p>Aleatório:</p><p>1. Que depende do acaso ou de acontecimentos incertos, favoráveis ou não a um determinado evento; casual; contingente, fortuito.</p><p>2. Diz-se de fenômenos físicos cujas variáveis oscilam em razão de determinadas leis de probabilidade.</p><p>Determinístico: Relativo a determinismo.</p><p>Vocabulário</p><p>Fonte:</p><p>www.iqe.org.br/surl/?804c28</p><p>b) No quadro abaixo há listagem de alguns eventos, classifique-os em determinísticos (D) ou aleatórios (A):</p><p>( ) Previsão do tempo</p><p>( ) Diagonais de um quadrado são perpendiculares</p><p>( ) Goiabada com mel é doce</p><p>( ) Lançamento de um dado</p><p>( ) A água ferve, ao nível do mar, a 100º Celsius</p><p>( ) Números sorteados na loteria</p><p>( ) Retirar uma carta do baralho</p><p>Sequência Didática | Matemática | Probabilidade e Estatística | Eventos e Espaço amostral 3</p><p>A probabilidade é o estudo das chances de um determinado</p><p>experimento aleatório ocorrer, as quais são quantificadas entre</p><p>o intervalo dos números reais 0 e 1.</p><p>Um experimento aleatório que não tem nenhuma chance de ocorrer, ou seja, 0%</p><p>ou então probabilidade 0 é chamado de evento impossível.</p><p>Quando se tem um experimento aleatório que tem probabilidade 1, ou seja,</p><p>100% de chance de ocorrer, esse é chamado de evento certo. Use seu celular</p><p>para ler o QR code e visitar o endereço descrito ao lado:</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>www.iqe.org.br/surl/?9fa0e1</p><p>Atividade 2</p><p>Conforme você pôde perceber na atividade anterior, fazer previsões é importante para a tomada de decisões, como por</p><p>exemplo, a previsão do tempo. Agora vejamos outra situação que envolve esse aspecto:</p><p>Um determinado procedimento cirúrgico tem ao longo dos anos mostrado uma eficiência de 99%. Ciente</p><p>disso, um paciente pergunta ao médico quantas operações já havia realizado. O médico responde que realizou</p><p>99 cirurgias com sucesso. Após a resposta do médico, o paciente decidiu que não iria ser operado, pois, segundo</p><p>seus cálculos, sua operação não teria sucesso.</p><p>Com base na afirmação acima, escolha uma das alternativas e justifique.</p><p>a) O paciente tem razão, já que se as primeiras 99 cirurgias correram bem, a centésima tem que correr mal para que a pro-</p><p>babilidade de sucesso seja 99%.</p><p>b) O paciente não está certo, a probabilidade de a sua operação ser bem-sucedida é de 50%.</p><p>c) O paciente está certo.</p><p>d) O paciente não está certo, a probabilidade de sua operação ser bem-sucedida é de 99%.</p><p>ESPAÇO AMOSTRAL, O QUE É?</p><p>O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral</p><p>desse experimento. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento desse espaço.</p><p>Para</p><p>LEMBRAR</p><p>4</p><p>Atividade 3</p><p>Determine o espaço amostral dos experimentos de cada item:</p><p>a) Sorteio para definir em que mês do ano será promovida uma feira de móveis;</p><p>b) No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado.</p><p>c) Extração sucessiva, com reposição, de duas bolas de uma urna que contém três bolas vermelhas e uma bola branca.</p><p>d) Extração sucessiva, sem reposição, de duas bolas de uma urna que contém três bolas vermelhas e uma bola branca.</p><p>Atividade 4</p><p>Um grupo de amigos do 3º ano do Ensino Médio, curiosos com a abordagem do Professor de Matemática sobre o lança-</p><p>mento de uma moeda, decidiram fazer alguns experimentos e previsões:</p><p>a) No lançamento de uma moeda honesta, qual a chance de sair cara? E coroa?</p><p>b) Agora ao lançar uma moeda 20 vezes, a chance de sair cara é a mesma da atividade anterior? Façam os lançamentos e</p><p>organizem os resultados obtidos em uma tabela para conferir.</p><p>c) Lancem uma moeda 100 vezes e registrem os resultados obtidos. Qual a chance de sair cara? Compare o resultado com</p><p>os dos demais colegas.</p><p>d) O que você observou nas respostas obtidas do item (b) e (c)?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Probabilidade e Estatística | Eventos e Espaço amostral 5</p><p>Atividade 5 - Jogo Qual é a chance da soma?</p><p>Junte-se com mais dois colegas e com o auxílio de dois dados, sigam as</p><p>instruções:</p><p>• Os dados devem ser lançados 30 vezes. Em cada lançamento deve-se</p><p>anotar a soma dos pontos. Por exemplo:</p><p>1 + 4 = 5.</p><p>• Na medida em que forem feitos os lançamentos e anotado quantas</p><p>vezes foram obtidas cada soma, coloquem os dados em uma tabela</p><p>com o valor da soma, frequência absoluta e relativa para cada soma.</p><p>Observação: Dois estudantes jogarão os dados (cada qual um) e um tercei-</p><p>ro estudante anotará a quantidade de vezes que cada soma é obtida e preen-</p><p>cherá a tabela com o auxílio dos dois colegas.</p><p>Em seguida, responda com seu grupo os itens abaixo:</p><p>a) Quais foram os resultados obtidos mais e menos frequentes? Por quê?</p><p>b) Compare o resultado do seu grupo com os demais (a turma toda).</p><p>A lei dos grandes números nos diz que a probabilidade de um resultado, em um grande número de joga-</p><p>das idênticas repetidas, está intimamente relacionada com as frequências dos resultados, e caracteriza</p><p>a probabilidade frequentista. A lei dos grandes números foi sistematizada por Bernoulli em torno de 1689</p><p>como um dos principais teoremas da teoria das probabilidades, mencionando que a frequência relativa de um evento</p><p>tende para a probabilidade desse evento, quando n (número de repetições do experimento) tende ao infinito.</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>Você conhece o Problema de Monty Hall? É um</p><p>famoso problema que surgiu a partir de um programa</p><p>de televisão dos Estados Unidos.</p><p>Assista ao vídeo</p><p>disponibilizado via QR</p><p>Code e entenda como</p><p>o problema funciona:</p><p>Agora, teste o problema com um colega e juntos tirem suas conclusões.</p><p>www.iqe.org.br/surl/?194281</p><p>?</p><p>Você</p><p>SABIA?</p><p>1 2</p><p>?? ??</p><p>Fonte:</p><p>www.iqe.org.br/surl/?d0d47a</p><p>Soma Frequência</p><p>absoluta</p><p>Frequência</p><p>relativa (%)</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>12</p><p>6</p><p>Atividade 6</p><p>Luan lançou um dado (numerado de 1 a 6) e gostaria de calcular algumas probabilidades. Vamos ajudá-lo a descobrir o</p><p>valor de cada uma delas?</p><p>a) Probabilidade de sair uma face igual a 2.</p><p>b) Probabilidade de sair uma face maior que 4.</p><p>Agora Luan, está com dois dados honestos (numerados de 1 a 6), lança-os e observa as faces voltadas para cima:</p><p>c) Qual a probabilidade de que o primeiro dado, D1, tenha face par, e, o segundo dado D2, tenha face ímpar?</p><p>Para facilitar a visualização do espaço amostral, preencha os dados na tabela abaixo:</p><p>D1</p><p>D2</p><p>d) Qual a probabilidade de que o primeiro dado, D1, tenha face par, ou, o segundo dado, D2, tenha face ímpar?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Probabilidade e Estatística | Eventos e Espaço amostral 7</p><p>A REGRA DO “E” E “OU”</p><p>A REGRA DO “E”</p><p>Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω,</p><p>a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto</p><p>é a probabilidade da ocorrência do evento A U B, pode</p><p>ser apresentada em dois casos:</p><p>1º caso: A B = Ø</p><p>A B</p><p>P(A U B) = P (A) + P (B)</p><p>Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente</p><p>exclusivos.</p><p>2º caso: A B ≠ Ø</p><p>P(A U B) = P (A) + P (B) - P (A B)</p><p>O evento A B representa a ocorrência simultânea dos</p><p>eventos A e B.</p><p>A REGRA DO “OU”</p><p>Sejam A e B dois eventos independentes de um mesmo</p><p>espaço amostral U, logo a probabilidade da ocorrência</p><p>do evento A B é:</p><p>P(A U B) = P(A). P(B)</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>Você sabia que em um grupo de 23 pessoas a probabilidade</p><p>de duas pessoas completarem aniversário no mesmo dia é</p><p>maior que 50%? E para um grupo de 57 pessoas ou mais, a</p><p>probabilidade é maior que 99%? Pois bem, esse é o paradoxo do aniversário.</p><p>Leia o texto disponibilizado em QR Code e discuta com os seus colegas.</p><p>Em sua sala de aula, faça a comprovação com os colegas. Pergunte-os a data de aniversário, organize os dados em uma</p><p>tabela, e, com base nas informações discutidas no texto disponibilizado via QR Code, faça as comparações.</p><p>?</p><p>Você</p><p>SABIA?</p><p>www.iqe.org.br/surl/?82b7e0</p><p>Atividade 7</p><p>Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se uma delas ao acaso e vê-se que o número nela marcado é</p><p>maior que 8. Qual a probabilidade de esse número ser múltiplo de 5?</p><p>8</p><p>Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral, com P(B) ≠ Ø.</p><p>Chama-se probabilidade A condicionada a B, a probabilidade de ocorrên-</p><p>cia do evento A, sabendo-se que já ocorreu ou que vai ocorrer o evento B:</p><p>P (A|B) = P (A B)</p><p>P(B)</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>Atividade 8</p><p>Resolva as situações-problema a seguir, aplicando os conhecimentos construídos ao longo dessa sequência didática.</p><p>a) Uma das caixas da oficina de Pedro contém 7 parafusos: 4 de aço e 3 de ferro. Retiram-se ao acaso 2 parafusos des-</p><p>sa caixa, sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de saírem 2 parafusos de metais diferentes?</p><p>b) Em uma loja de roupas existem 20 modelos de calças jeans, sendo 13 azuis e 7 pretas. Sabemos ainda que entre as azuis,</p><p>8 são de modelo feminino e 5 do modelo masculino, enquanto das pretas 4 são do modelo feminino e 3 de modelo mas-</p><p>culino. Uma peça foi vendida, mas o histórico não consta a cor, nem o modelo. Qual a probabilidade de que a calça vendida</p><p>seja azul e do modelo feminino? (Suponha que cada calça pode ter sido vendida com mesma probabilidade).</p><p>c) Um professor pede a seus alunos que respondam duas questões do tipo V ou F. Um dos alunos, Pedro, responde às</p><p>questões ao acaso. É mais provável que:</p><p>(i) Pedro acerte as duas questões;</p><p>(ii) Pedro erre as duas questões;</p><p>(iii) Pedro acerte apenas uma das questões;</p><p>(iv) as alternativas (i), (ii) e (iii) são equiprováveis</p><p>Sequência Didática | Matemática | Probabilidade e Estatística | Eventos e Espaço amostral 9</p><p>No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par maior ou igual a 4?</p><p>a) 1</p><p>6 b) 1</p><p>3 c) 1</p><p>2 d) 2</p><p>3 e) 1</p><p>#</p><p>Ligado no</p><p>SAEB</p><p>1) (ENEM - 2017 - 2º dia de aplicação)</p><p>Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando</p><p>chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25% Para um determinado dia, o servi-</p><p>ço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.</p><p>Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva?</p><p>a) 0,075 b) 0,150 c) 0,325 d) 0,600 e) 0,800</p><p>2) (ENEM - 2005 - 1º dia de aplicação)</p><p>Um aluno de uma escola será escolhido por sorteio para representá-la em uma certa atividade. A escola tem dois turnos.</p><p>No diurno há 300 alunos, distribuídos em 10 turmas de 30 alunos. No noturno há 240 alunos, distribuídos em 6 turmas</p><p>de 40 alunos. Em vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram propostos dois outros métodos de sorteio.</p><p>Método I: escolher ao acaso um dos turnos (por exemplo, lançando uma moeda) e, a seguir, sortear um dos alunos do</p><p>turno escolhido.</p><p>Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas (por exemplo, colocando um papel com o número de cada turma em</p><p>uma urna e sorteando uma delas) e, a seguir, sortear um dos alunos dessa turma.</p><p>Sobre os métodos I e II de sorteio é correto afirmar:</p><p>a) em ambos os métodos, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados.</p><p>b) no método I, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método II a chance de um aluno do</p><p>diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.</p><p>c) no método II, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método I, a chance de um aluno do</p><p>diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.</p><p>d) no método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no méto-</p><p>do II ocorre o contrário.</p><p>e) em ambos os métodos, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior do que a de um aluno do noturno.</p><p>#</p><p>Ligado no</p><p>ENEM</p>