Introdução à Probabilidade Resumo

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<p>PROBABILIDADE</p><p>As origens da teoria das probabilidades encontram-se nos jogos de azar e</p><p>remontam ao século XVII. Na sociedade francesa dos anos 1650, o jogo era</p><p>hábito popular e elegante.</p><p>•3500 AC: jogos de azar que utilizavam objetos</p><p>criados a partir de pedaços de ossos ou madeira</p><p>(precursores dos dados modernos).</p><p>• 2000 AC: dados cúbicos,com marcas quase que</p><p>idênticas aos dados atuais.</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Século XVI:</p><p>• Primeiros Estudos:</p><p>• Cardano (1501-1576)</p><p>e Galileu (1564-1642)</p><p>calcularam valores de</p><p>probabilidades para várias</p><p>combinações de dados.</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Século XVII:</p><p>• Fermat (1601-1665) e Pascal</p><p>(1623-1662)</p><p>• Métodos de análise combinatória</p><p>• “Fundadores” da teoria</p><p>matemática das</p><p>probabilidades</p><p>• Huyghens (1629-1695)</p><p>• Primeiro tratamento científico ao</p><p>assunto.</p><p>PROBABILIDADE</p><p>• Bernoulli (1654-1705) e</p><p>Moivre (1667-1754)</p><p>• Trataram esta teoria</p><p>como um ramo da</p><p>Matemática. Thomas Bayes (1701 – 1761)</p><p>Desenvolveu a teoria bayesiana.</p><p>(„Ensaio buscando resolver um problema</p><p>na doutrina das probabilidades‟).</p><p>Resgatado por Laplace (1749-1827), que</p><p>o revelou ao mundo.</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Século XVIII:</p><p>• Laplace (1749-1827)</p><p>• Definição Clássica</p><p>• Aplicações Práticas e Científicas</p><p>• Gauss (1777-1855)</p><p>• Aplicação científica</p><p>• Método dos Mínimos Quadrados</p><p>• Leis Fundamentais da</p><p>Distribuição de Probabilidades</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Século XX</p><p>• Definição Axiomática</p><p>“A teoria das probabilidades,</p><p>como disciplina matemática,</p><p>pode e deve ser desenvolvida a</p><p>partir de axiomas e teoremas,</p><p>exatamente como a Geometria</p><p>Analítica ou a Álgebra Linear”</p><p>Kolmogorov (1903 – 1987)</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Objetivos da Teoria de Probabilidades:</p><p>Historicamente:</p><p>calcular certas probabilidades em jogos de azar.</p><p>Hoje:</p><p>Investigar e descobrir padrões regulares (ou leis)</p><p>em eventos aleatórios, bem como construir</p><p>modelos satisfatórios.</p><p>EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS</p><p>Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é,</p><p>podem ser determinados antes de sua realização, são</p><p>denominados de experimentos determinísticos.</p><p>Exemplos:</p><p>•Aquecimento de água contida em uma panela</p><p>• Queda livre de um corpo</p><p>É possível prever a temperatura de ebulição ou a velocidade</p><p>que o corpo atingirá o solo.</p><p>EXPERIMENTOS NÃO-DETERMINÍSTICOS</p><p>Experimentos que, ao serem repetidas várias vezes, nas mesmas</p><p>condições, apresentam resultados variados, não sendo possível,</p><p>portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados</p><p>experimentos aleatórios (probabilísticos).</p><p>Exemplos:</p><p>• Lançamento de uma moeda;</p><p>• Lançamento de um dado;</p><p>• Acidente de automóvel em um cruzamento;</p><p>• Sorteio de uma carta de um baralho.</p><p>EXPERIMENTOS NÃO-DETERMINÍSTICOS</p><p>Um experimento aleatório apresenta as seguintes características</p><p>fundamentais:</p><p>• Pode-se repetir várias vezes nas mesmas condições;</p><p>• É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;</p><p>• Não se pode prever com certeza qual será o próximo resultado.</p><p>Os experimentos aleatórios estão sujeitos à lei do acaso. A teoria das</p><p>probabilidades estuda a forma de estabelecer as possibilidades de</p><p>ocorrência de cada experimento aleatório.</p><p>ESPAÇO AMOSTRAL</p><p>É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento</p><p>aleatório. É denotado por S ou Ω (ômega). Um espaço amostral pode</p><p>ser finito ou infinito.</p><p>Exemplos:</p><p>E1 = jogar um dado e observar o número da face de cima.</p><p>E2 = observar o número de crianças com deficiência visual no</p><p>ambulatório A numa manhã de segunda-feira.</p><p>E3 = observar o tempo de recidiva de uma doença D em determinado</p><p>paciente.</p><p>ESPAÇO AMOSTRAL</p><p>Os espaços amostrais associados aos experimentos aleatórios são:</p><p>Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}</p><p>Ω2 = {0, 1, 2, 3, ….,N}, onde N é o número máximo de crianças</p><p>Ω3 = {t ϵ R/ t ≥ 0}</p><p>EVENTO</p><p>É qualquer subconjunto do espaço amostral Ω associado ao</p><p>experimento aleatório E.</p><p>Exemplos:</p><p>A1 = {ocorrência de número par} = {2, 4, 6}</p><p>A2 = {nº de atendimentos menor que 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>A3 = {tempo de recidiva é inferior a 6 meses} = {t ϵ R/ t < 6}</p><p>EVENTO</p><p>EVENTO COMPLEMENTAR</p><p>Evento Complementar: Ᾱ</p><p>É o evento que ocorre se e somente se o evento A não ocorre.</p><p>Exemplos:</p><p>A = { pessoas com tuberculose }</p><p>Ᾱ = { pessoas sem tuberculose }</p><p>EVENTO COMPLEMENTAR</p><p>EVENTO UNIÃO</p><p>Evento União:</p><p>É o evento que ocorre se e somente se A ou B ou ambos</p><p>ocorrem.</p><p>Exemplos:</p><p>A = {pessoas que têm diabetes}</p><p>B = {pessoas que têm hipertensão}</p><p>BA</p><p>BA = {pessoas que têm pelo menos uma das doenças}</p><p>EVENTO UNIÃO</p><p>EVENTO INTERSEÇÃO</p><p>Evento Interseção:</p><p>É o evento que ocorre se e somente se A e B ocorrem</p><p>simultaneamente.</p><p>Exemplos:</p><p>A = {pessoas que têm diabetes}</p><p>B = {pessoas que têm hipertensão}</p><p>BA</p><p>BA = {pessoas que têm as duas doenças}</p><p>EVENTO INTERSEÇÃO</p><p>EVENTO MUTUAMENTE EXCLUDENTES</p><p>Eventos Mutuamente Excludentes</p><p>Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se eles não</p><p>puderem ocorrer simultaneamente, isto é,</p><p> BA</p><p>Exemplo:</p><p>A = {pessoas do sexo masculino}</p><p>B = {pessoas com câncer de útero}</p><p> BA</p><p>EVENTO MUTUAMENTE EXCLUDENTES</p><p>DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE</p><p>Existem duas visões:</p><p>Objetiva:</p><p>• Probabilidade clássica (a priori)</p><p>• Probabilidade frequentista (a posteriori)</p><p>Subjetiva:</p><p>Expressa o grau de conhecimento que o indivíduo dispõe sobre</p><p>o evento.</p><p>PROBABILIDADE CLÁSSICA</p><p>É aplicada quando o espaço amostral é finito e os elementos são</p><p>equiprováveis, isto é, todos têm a mesma probabilidade de</p><p>ocorrer.</p><p>possíveis resultados de número</p><p>Aevento do ocorrência à</p><p>favoráveis resultados de número</p><p>P(A) </p><p>PROBABILIDADE CLÁSSICA</p><p>Exemplo:</p><p>Qual a probabilidade de nascimento do sexo masculino?</p><p>P(nascer do sexo masculino) = ?</p><p>Espaço amostral: Ω = sexo ao nascer = {masculino, feminino}</p><p>Evento: A = nascer do sexo masculino = {masculino}</p><p>P(A) = 1/2 = 0,5 ou 50%</p><p>PROBABILIDADE FREQUENTISTA</p><p>É aplicada em situações onde os elementos do espaço amostral</p><p>não são igualmente prováveis. Neste caso, a probabilidade do</p><p>evento A, dada por P(A) é calculada através da noção de</p><p>frequência relativa.</p><p>n</p><p>An</p><p></p><p></p><p></p><p>oexperiment do repetições de total N</p><p>ocorreu A que vezes de número</p><p>f(A)P(A)</p><p>PROBABILIDADE FREQUENTISTA</p><p>Exemplos:</p><p>1. Dentre 1878 tratamentos de canal que ocorreram em uma</p><p>determinada clínica, observou-se após 3 anos que 175</p><p>necessitaram de retratamento. Qual a probabilidade (em</p><p>percentagem) de retratamento com base na amostra analisada?.</p><p>Considere A como sendo o evento retratamento.</p><p>P(A) = 175/1878 = 0,0932 = 9,32%</p><p>PROBABILIDADE FREQUENTISTA</p><p>Exemplos:</p><p>2. Uma companhia de seguros estudou as causa de morte por acidente</p><p>doméstico em determinado hospital constatando n = 350 ocorrências</p><p>de morte, das quais 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes</p><p>causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras.</p><p>Selecionado aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade</p><p>de que a morte tenha sido causada por envenenamento? Considere A</p><p>como sendo o evento “morte por envenenamento”.</p><p>P(A) = 120/350 = 0,34286 = 34,3%</p><p>PROPRIEDADES GERAIS</p><p>A probabilidade do evento A, denotada por P(A), satisfaz às seguintes</p><p>propriedades:</p><p>• 0 ≤ P(A) ≤ 1</p><p>• P(S) = 1</p><p>• Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:</p><p>P(B) P(A)B)P(A </p><p>PROPRIEDADES GERAIS</p><p>4. Para qualquer n finito e se A1, A2, ..., An, forem eventos mutuamente</p><p>excludentes dois a dois, então:</p><p>)P(A)P(A )P(A)AP( n21</p><p>n</p><p>1i</p><p>i</p><p></p><p></p><p>.........</p><p>OPERAÇÕES COM EVENTOS</p><p>1. Se A for o evento vazio (Ø), então:</p><p>B)P(A-P(B) P(A)B)P(A</p><p></p><p>0 )P(P(A)  </p><p>2. Se A e B são dois eventos quaisquer, então:</p><p>3. Se Ᾱ for o evento complementar de A, então:</p><p>P(A))AP( 1</p><p>TEOREMA DA SOMA</p><p>OPERAÇÕES COM EVENTOS</p><p>4. Se A, B e C são três eventos quaisquer, então:</p><p>)C</p><p></p><p>BP(AC)P(B-C)P(A</p><p>-B)P(A-P(C)P(B)P(A)C)BP(A</p><p>OPERAÇÕES COM EVENTOS</p><p>Exemplos:</p><p>1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é de 0,40; a de sua</p><p>mulher é de 0,67. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos pelo menos</p><p>um esteja vivo, sabendo que a probabilidade de ambos estarem vivos é de 0,27.</p><p>Considere os eventos:</p><p>H: o homem estará vivo daqui a 30 anos.</p><p>M: a mulher estará vivo daqui a 30 anos.</p><p>P(H∪M) = P(H) + P(M) - P(H∩M)</p><p>OPERAÇÕES COM EVENTOS</p><p>2) Considere o experimento “lançamento de um dado” e os seguintes</p><p>eventos:</p><p>A = {sair o número 3}; B = {sair número par} e C = {sair número ímpar}.</p><p>Determinar: P(A); P(B); P(C); P(A∪B); P(A∪C) e P(Ᾱ)</p><p>RESPOSTA EXEMPLO 1</p><p>P(H U M) = P(H) + P(M) – P(H ∩ M) = 0,40 + 0,67 – 0,27</p><p>P(H U M) = 0,80 ou 80%</p><p>RESPOSTA EXEMPLO 2</p><p>P(A) = 1/6</p><p>P(B) = 3/6</p><p>P(C) = 3/6</p><p>P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/6 + 3/6 – 0 = 4/6 = 2/3</p><p>P(A U C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) = 1/6 + 3/6 – 1/6 = 3/6 = 1/2</p><p>P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 = 5/6</p><p>PROBABILIDADE CONDICIONAL</p><p>Existem muitas situações em que as probabilidades de ocorrência</p><p>de um evento A são alteradas devido à ocorrência ou não de outro</p><p>evento B associado (por exemplo, exposição).</p><p>0)(, </p><p></p><p> BPse</p><p>P(B)</p><p>B)P(A</p><p>P(A/B)</p><p>O espaço amostral S fica reduzido a B</p><p>PROPRIEDADES</p><p>a) 0 ≤ P(A/B) ≤ 1</p><p>b) P(S/B) = 1</p><p>c) P(Ᾱ/B) = 1 – P(A/B)</p><p>d) Se A1 e A2 forem eventos mutuamente excludentes, então:</p><p>/B)P(A/B)P(A/B)AP(A 2121 </p><p>EXEMPLO</p><p>A probabilidade de um vôo regular sair no horário é P(S) = 0,83.</p><p>A probalidade deste vôo chegar no horário é P(C) = 0,82.</p><p>A probalidade de que saia e chegue no horário P(S∩C) = 0,78.</p><p>Calcule:</p><p>a) A probabilidade do vôo chegar no horário tendo saído no horário.</p><p>b) A probabilidade do vôo ter saído no horário dado que chegou no</p><p>horário.</p><p>c) É sabido que o vôo não partiu no horário. Qual a probabilidade do</p><p>vôo chegar no horário?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Dados: P(S) = 0,83 P(C) = 0,82 P(S∩C) = 0,78</p><p>%9494,0</p><p>83,0</p><p>78,0</p><p>ou</p><p></p><p></p><p>P(S)</p><p>S)P(C</p><p>P(C/S)a)</p><p>%9595,0</p><p>82,0</p><p>78,0</p><p>ou</p><p></p><p></p><p>P(C)</p><p>S)P(C</p><p>P(S/C)b)</p><p>SOLUÇÃO</p><p>c) Sabe-se que:</p><p>P(C) = 0,82 P(S) = 0,83 P(C∩S) = 0,78</p><p>Se P(S) = 0,83 então:</p><p>(probabilidade do vôo não sair no horário)</p><p>0,170,831P(S)1)SP( </p><p>%2424,0</p><p>17,0</p><p>04,0</p><p>ou</p><p></p><p></p><p>)SP(</p><p>)SP(C</p><p>)SP(C/</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Eventos Chegar no horário (C) Não chegar no horário</p><p>(Ĉ)</p><p>Total</p><p>Sair no horário (S) 0,78 0,05 0,83</p><p>Não sair no horário (Ŝ) 0,04 0,13 0,17</p><p>Total 0,82 0,18 1,00</p><p>Como muda !</p><p>P(C) = 0,82</p><p>Atualizada a informação dizendo que o vôo não saiu no horário.</p><p>24,0)SP(C/</p><p>Veja a tabela:</p><p>EXERCÍCIO</p><p>Pressão</p><p>Arterial\Peso</p><p>Excesso Normal Deficiente Total</p><p>Elevada 0,10 0,08 0,02 0,20</p><p>Normal 0,15 0,45 0,20 0,80</p><p>Total 0,25 0,53 0,22 1,00</p><p>Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e à pressão arterial</p><p>de acordo com as proporções mostradas na tabela abaixo.</p><p>Considerando que a pessoa escolhida tem excesso de peso,</p><p>qual a probabilidade de ter também pressão elevada?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = ter pressão elevada</p><p>B = ter excesso de peso</p><p>A∩B = ter pressão elevada e ter excesso de peso</p><p>A/B = ter pressão elevada dado que tem excesso de peso</p><p>P(A) = 0,20 P(B) = 0,25 P(A∩B) = 0,10 P(A\B) = ?</p><p>%4040,0</p><p>25,0</p><p>10,0</p><p>ou</p><p>B</p><p></p><p></p><p></p><p>P(B)</p><p>)P(A</p><p>P(A/B)</p><p>REGRA DA MULTIPLICAÇÃO</p><p>(TEOREMA DO PRODUTO)</p><p>A expressão da probabilidade condicional, pode ser reescrita como:</p><p>P(B)</p><p>)P(A</p><p>P(A/B)</p><p>B</p><p></p><p>P(B/A)P(A)B)P(A </p><p>A probabilidade conjunta de dois ou mais eventos</p><p>pode sempre ser decomposta em um produto.</p><p>P(A/B)P(B)B)P(A </p><p>P(A)</p><p>)P(A</p><p>P(B/A)</p><p>B</p><p></p><p>Lembre:</p><p>REGRA DA MULTIPLICAÇÃO</p><p>(TEOREMA DO PRODUTO)</p><p>No caso de n eventos A1, A2,..…,An, tem-se que:</p><p>)...AA/AP(A</p><p>...)A/AP(A)/AP(A)P(A)A...AP(A</p><p>1-n21n</p><p>213121n21 </p><p>EXEMPLOS</p><p>Exemplo 1: Em um laboratório de diagnóstico por imagem compareceram nove</p><p>pacientes naturais do local e três naturais de outros estados. Se dois dos pacientes</p><p>são selecionados aleatoriamente para um exame de angiografia, qual é a</p><p>probabilidade de serem ambos naturais de outro estado?</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = o primeiro paciente é natural de outro estado</p><p>B = o evento o segundo paciente é natural de outro estado</p><p>P(B/A)P(A)B)P(A 25,0</p><p>12</p><p>3</p><p>P(A)</p><p>182,0</p><p>11</p><p>2</p><p>P(B) %6,4046,0183,025,0 B)P(A</p><p>EXEMPLOS</p><p>Exemplo 2: As probabilidades de morte por câncer de pulmão podem ser melhor</p><p>preditas, se conhecidos os hábitos de fumo dos indivíduos. Suponha que as</p><p>probabilidades são de 0,015 para os fumantes e 0,005 para os não fumantes. Então</p><p>essas probabilidades são condicionais e dependentes ao tabagismo (exposição).</p><p>Sejam os eventos:</p><p>Exposto (E+ = fumar) = 0,40</p><p>Não exposto (E- = não fumar) = 0,60</p><p>EXEMPLOS</p><p>As probabilidades das combinações de exposição (E+ = fumar, E- = não fumar)</p><p>e desfecho (M = Morte e S = Sobrevida), são dadas por:</p><p>P(fumar e morrer) = P(E+∩M) = P(E+)P(M/E+)=0,40x0,015 = 0,006 = 0,6%</p><p>P(fumar e sobreviver) = P(E+∩S) = P(E+)P(S/E+) = 0,4x0,985 = 0,394 = 39,4%</p><p>P(não fumar e morrer) = P(E-∩M) = P(E-)P(M/E-) = 0,6x0,005 = 0,003 = 0,3%</p><p>P(não fumar e sobreviver) = P(E-∩S) = P(E-)P(S/E-) = 0,6x0,995 = 0,597 = 59,7%</p><p>DIAGRAMA DA ÁRVORE</p><p>EXEMPLOS</p><p>A árvore pode ser resumida na tabela abaixo:</p><p>Exposição\Desfecho Morte Sobrevida Total</p><p>E+ 0,006 0,394 0,4</p><p>E- 0,003 0,597 0,6</p><p>Total 0,009 0,991 1,00</p><p>EXEMPLOS</p><p>A probabilidade de morte (independente da exposição) é:</p><p>P(morte) = P(fumar e morrer) ou P(não fumar e morrer)</p><p>P(M) = P(E+∩M) + P(E-∩M) = 0,006 + 0,003 = 0,009 = 0,9%</p><p>A probabilidade de não exposição é: P(não fumar) = P(E-) = 0,6 = 60%</p><p>A probabilidade de sobreviver é: P(S) = 0,394 + 0,597 = 0,991 = 99,1%</p><p>A probabilidade de não estar exposto (não fumar) ou de sobreviver é:</p><p>S)P(E-P(S) )P(ES)P(E --- </p><p>99,4%0,9940,5970,9910,6S)P(E- </p><p>INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA</p><p>Dois eventos são independentes se a ocorrência ou não ocorrência de um</p><p>deles não afeta a probabilidade de ocorrência ou não ocorrência do outro.</p><p>A é estatisticamente independente de B se:</p><p>P(B)P(A)B)P(A ou P(A)P(A/B) </p><p>EXEMPLOS</p><p>Exemplo 1: Efeitos colaterais com o uso de certa droga ocorrem em 10%</p><p>de todos os pacientes que a tomam. Dois pacientes de um médico</p><p>estão tomando a droga.</p><p>a) Qual a probabilidade de que ambos os pacientes apresentem os efeitos</p><p>colaterais?</p><p>b) Qual a probabilidade de que pelo menos um apresente os efeitos colaterais ?</p><p>1%0,010,100,10P(B)P(A)B)P(A </p><p>19%0,190,01-0,100,10B)P(A-P(B) P(A)B)P(A </p><p>EXERCÍCIO</p><p>Exercício 1: De acordo com certa tábua de mortalidade, a probabilidade</p><p>de Júlio estar vivo daqui a 20 anos é de 0,6 e a mesma probabilidade para</p><p>João é de 0,9. Determinar a probabilidade de ambos estarem vivos daqui a</p><p>20 anos.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = {Júlio estar vivo daqui a 20 anos}</p><p>B = {João estar vivo daqui a 20 anos}</p><p>P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0,6 X 0,9 = 0,54 ou 54%</p><p>TEOREMA DE BAYES E TESTES DIAGNÓSTICOS</p><p>Suponha um teste com os valores de sensibilidade e</p><p>especificidade</p><p>conhecidos.</p><p>Sensibilidade = S = P(T+/D+)</p><p>Especificidade = E = P(T-/D-)</p><p>Dado que o teste teve um resultado positivo, qual a</p><p>probabilidade de estar doente?</p><p>Resposta: Valor preditivo positivo = P(D+/T+)</p><p>TEOREMA DE BAYES E TESTES DIAGNÓSTICOS</p><p>)P(T</p><p>)TP(D</p><p>)/TP(D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Pela definição de probabilidade condicional:</p><p>Aplicando a lei da multiplicação:</p><p>)P(D)/DP(T)TP(D   = Sensibilidade x Prevalência</p><p>A prevalência é uma probabilidade a priori da doença (conhecida)</p><p>TEOREMA DE BAYES E TESTES DIAGNÓSTICOS</p><p>O teste ser positivo ocorre tanto entre os doentes quanto</p><p>entre os não doentes.</p><p>)P(D)/DP(T)P(D)/DP(T)DP(T)DP(T)P(T  </p><p>Agora todos os termos da equação são conhecidos:</p><p>P(T+/D+) = Sensibilidade (S)</p><p>P(D+) = Prevalência da doença (p)</p><p>P(T+/D-) = Complementar da Especificidade = (1 – E)</p><p>P(D-) = Complementar da prevalência = (1 – p)</p><p>TEOREMA DE BAYES E TESTES DIAGNÓSTICOS</p><p>Valor Preditivo Positivo:</p><p>)P(D)/DP(T)P(D)/DP(T</p><p>)P(D)/DP(T</p><p>)P(T</p><p>)TP(D</p><p>)/TP(D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>p)(1-E)(1-pS</p><p>pS</p><p>)/TP(D</p><p></p><p></p><p></p><p>TEOREMA DE BAYES E TESTES DIAGNÓSTICOS</p><p>De forma semelhante, determina-se:</p><p>Valor Preditivo Negativo:</p><p>p)(1-S)(1-p</p><p>p)E</p><p>)/TP(D</p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>1(</p><p>TEOREMA DE BAYES</p><p>Sejam A1, A2,…,An eventos disjuntos do espaço amostral Ω.</p><p>Seja B um evento tal que P(B) ǂ 0. Então, para qualquer um</p><p>dos eventos Ai, i = 1,…,n, tem-se que:</p><p>)P(A)P(B/A</p><p>)P(A)P(B/A</p><p>/B)P(A</p><p>i</p><p>n</p><p>1i</p><p>i</p><p>ii</p><p>i</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EXEMPLO</p><p>Linder & Singer (1986) estudaram a qualidade da tomografia</p><p>computadorizada para o diagnóstico de metástase de</p><p>carcinoma de fígado, obtendo os resultados sintetizados na</p><p>tabela abaixo. Sabe-se também que a prevalência de</p><p>metástase de carcinoma de fígado na população é de 2%.</p><p>Metástase/Tomografia Positiva (T+) Negativa (T-) Total</p><p>Presente (D+) 52 15 67</p><p>Ausente (D-) 9 74 83</p><p>Total 61 89 150</p><p>EXEMPLO</p><p>Sensibilidade = S = P(T+/D+) =52/67 = 0,776</p><p>Especificidade = E = P(T-/D-) = 74/83 = 0,892</p><p>Metástase/Tomografia Positiva (T+) Negativa (T-) Total</p><p>Presente (D+) 52 15 67</p><p>Ausente (D-) 9 74 83</p><p>Total 61 89 150</p><p>EXEMPLO</p><p>Valor Preditivo Positivo:</p><p>)02,01()89,01()02,078,0(</p><p>02,078,0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>p)(1-E)(1-pS</p><p>pS</p><p>)/TP(D</p><p>%1313,0 ou )/TP(D</p><p>EXEMPLO</p><p>Valor Preditivo Negativo:</p><p>)02,01(89,0)78,01(02,0</p><p>)02,01(89,01(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>p)(1-S)(1-p</p><p>p)E</p><p>)/TP(D</p><p>E</p><p>%9999,0 ou )/TP(D</p><p>Portanto, o valor de predição positiva é baixo enquanto que o valor de predição</p><p>negativa é bastante alto. Se o resultado da tomografia computadorizada é negativo,</p><p>a chance de não haver metástase é de 99%.</p>