Exponencial

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<p>16 y Resolução: (base menor do que 1) 1 Fazendo a análise de sinais: X1 + + X Fig. 6 Função decrescente. 2 3 Tendo em vista os dois casos apresentados, analise os S = exemplos de soluções de inequações a seguir. 17 Exercícios resolvidos Resolução: Resolva as equações a seguir: 14 < 216 Resolução: >0 + + 1 4 y 4 Resolução: Para : Revisando 1 Simplifique as expressões: 8 b) c) 76 Matemática</p><p>Capítulo 4 Função exponencial 2 2 e calcule 4 Resolva a equação exponencial 3 Construa o gráfico da função 5 Resolva a inequação Exercícios propostos Equações e expressões exponenciais 5 Fuvest Dado o sistema: 1 Resolva a equação (0, 2 Sabendo que vale: pode-se dizer que X + y é igual a: (a) 18 a) (b) -21 5 (c) 27 b) (d) 3 2 (e) -9 c) d) Gráficos exponenciais 5 6 Fuvest Seja f(x) em que a, b, e C são núme- e) 10 ros reais. A imagem de f é a semirreta e o gráfico de f 2 3 Resolva o sistema: intercepta os eixos coordenados nos pontos = 36 Então o produto abc vale: 3x+y = 243 (a) 4 (b) 2 (c) 0 4 Determine o valor de X na equação (d) -2 = 775. (e) -4 Frente 1 77</p><p>7 UFMG Observe a figura a seguir. Nessa figura, está Então, o valor de representado o gráfico da função (a) -3 (d) 1 (b) -1 (e) 3 y (c) 0 Inequações exponenciais 10 Unirio Assinale o conjunto-solução da inequação 0 (a) (b) a única afirmativa verdadeira sobre o valor Problemas gerais (d) 1<b<4 11 A equação 25x = 6 5x - 5 admite como soluções os números a e b. Então: 4<b<9 (a) (b) a+b=0 8 UFMG Observe a figura. y 12 A equação 3x - 4 = a, com a real, só terá solução real 12 para: (a) 3 (c) 2 -3 13 FGV Seja a função f, de R em R definida por Nessa figura, está representado o = k e se f(a) = 8, então é: a constantes positivas valor de f(2) é: 3 (c) 3 (a) (d) 4 (a) 2 8 4 1 (b) (e) 2 (b) (d) 1 4 2 1 (c) 8 9 UFSM A figura mostra um esboço do gráfico da função 14 UEL Considere a função de R em R dada por y Seu conjunto-imagem é: (a) 5 (b) [3;5] (d) (e) 2 0 2 78 Matemática</p><p>Capítulo 4 Função exponencial 15 FEI Quantas raízes reais possui a equação 2x Use a tabela a seguir para os cálculos necessários: (a) ex 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2 (b) 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 (c) (d) tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual (e) Quatro. a é de: (a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 16 Vunesp Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei em que N(t) é o número de bactérias em t horas, 20 Fuvest Leia e responda: constantes estritamente positivas. Se após 2 a) Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, os gráfi- horas o número inicial de bactérias, N(0), é duplicado, após 6 cos de f(x) = 2x e g(x) = 2x. horas o número de bactérias será: b) Baseado nos gráficos da parte a), resolva a inequação (a) 4a (d) 8a (b) (e) c) Qual é o maior: 2 elevado a ou 2 multiplicado por (c) 6a Justifique brevemente sua resposta. 17 UFMG produto das raízes da equação 21 Unicamp Esboce os gráficos das funções 3 em um mesmo sistema de eixos ortogonais. é: Mostre que a equação tem duas raízes reais 3 ainda, que + e-3a = 18. (a) -3 (d) 1 UEL Um economista, estudando a relação entre o preço da -1 22 (b) (e) carne bovina (que aumenta na entressafra) e as vendas de carne 4 3 de frango, encontrou uma função cujo gráfico é esboçado a seguir -1 (c) 3 18 UFMG valor de que satisfaz a equação de 16 é tal que: (a) (N) de (c) 3<x<4 19 Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se Preço da carne bovina (p) que risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do se- guinte modo em que é o risco de infecção no início De acordo com esse gráfico, é verdade que: da contagem do tempo t e y é o coeficiente de (a) é diretamente proporcional a p. risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. (b) é inversamente proporcional a p. Suponha que, com a implantação de um programa nessa (c) se p cresce, então V também cresce. cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, (d) é sempre maior que p. (e) o preço da carne de frango é inferior ao da carne bovina. TEXTO COMPLEMENTAR A história do número e Os números irracionais sempre foram muito intrigantes na his- Vamos apresentar, neste texto, um número irracional muito tória da matemática. Eles aparecem com frequência na geometria importante, mas pouco conhecido pelos alunos do Ensino Médio, número irracional e = 2,71828... como razão entre a diagonal e o lado de um quadrado a homem, desde os seus primórdios, teve como preocupação razão do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro a acúmulo de Um dos conceitos fundamentais quando se trata de dinheiro razão áurea presente na natureza 2 entre muitos outros. é noção de juros. Frente 1 79</p><p>Juros os ganhos obtidos por quem o dinhei- Observe tabela. ro. Tenha certeza de que essa prática é muito antiga. Encontra-se no Museu do Louvre, em Paris, um tablete de argila da Mesopo- n tâmia, datado de 1700 a.C., que propõe o seguinte problema: quanto tempo levará para uma somo de dinheiro dobrar se for 1 2 investida a uma taxa de 20% de juros compostos anualmente? 2 2,25 Vamos retomar a fórmula dos juros compostos: 3 4 2,44141 Com a noção de juros, as interpretações e especulações a 5 2,48832 esse respeito foram evoluindo com o tempo. Observe o exemplo 10 2,59374 a seguir Considere um empréstimo de R$ 100,00 com uma taxa 100 2,70481 de juros de 100% ao ano. No final de um ano, dívida seria de 1000 2,71692 = 200 10000 2,71815 Mas um ano possui dois semestres, e podemos cobrar 100000 2,71827 50% por semestre; assim, no final de um ano, dívida seria de 1000000 2,71828 100. (1+50%)2 = 225 10000000 2,71828 Prosseguindo esse raciocínio, temos quatro trimestres com 25% por trimestre; assim, no final de um ano, dívida seria de Podemos observar o comportamento peculiar do número (1+25%)4 = 244,14 Esses resultados devem assustar qualquer pessoa que queira À medida que n vai aumentando, vamos "estacionan- fazer um empréstimo. A dúvida que paira no é se esse valor aumenta de forma indeterminada. do" no número A comunidade bancária explora esse conceito de cálculo de ju- É que precisamos de mais fatos teóricos para concluir ros extremo. Vamos analisar os cálculos: : 100% que limite da expressão é o número é o valor da dívida de 100 reais, se aplicarmos juros compostos de número e. divididos igualmente em n períodos. Assim, Cn Simbolicamente, temos: lim e mistério do problema resume-se em entender o número Por causa da crescente importância do comércio internacio- nal, as transações financeiras também se É possível que o número e sido reconhecido nesse contexto. RESUMINDO é definida como função exponencial. injetora e sobrejetora. Monotonicidade 1 0<a<1 y y 1 1 Crescente Decrescente 80 Matemática</p><p>Capítulo 4 Função exponencial QUER SABER MAIS? SITE Leis exponenciais de ecologia populacional Exercícios complementares Equações e expressões exponenciais 3x+y 1 Quanto é o expoente em = 128? 8 Se então o valor 2x+2y=2 2 Calcule de modo que se obtenha (a) -2 (d) 1 (b) (e) 2 3 Resolva as seguintes equações exponenciais: (c) 0 a) 9 Determine os valores de X que satisfazem a equação b) 10 FGV Determine o conjunto-solução da equação c) d) 11 Resolva equação exponencial a 12 Determine a metade do número + Gráficos dos exponenciais 4 Mackenzie Se então são possíveis e y os 13 Fuvest A equação com real: valores reais de t, tais que: (a) não tem solução. (a) (b) (e) (b) tem uma única solução entre (c) (c) tem uma única solução 5 o valor de (d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa. (a) 12 (d) 24 (e) tem mais de duas soluções. (b) 18 (c) 21 14 Vunesp Considerando-se o gráfico e a equação a seguir relacionados à decomposição de uma substância, onde K é uma 6 A solução da equação é um número constante, t indica tempo (em minutos) e Q(t) indica a quan- tidade de substância (em gramas) no instante t. Determine os racional X tal que: valores de K e a. Q (b) (c) 1,5<x<2,5 2.048 7 Lei de decomposição então vale: da substância (a) 16 (d) 11 (b) 15 (e) 6 512 (c) 14 0 a Frente 1 81</p><p>15 ITA Sejam g: R R funções definidas por Inequações exponenciais considere as afirmações: 17 Assinale a única afirmação correta. (a) I. Os gráficos de feg não se interceptam. (b) II. As funções g são crescentes. (c) III. (d) Então: (e) (a) apenas a afirmação (I) é falsa. (b) apenas a afirmação (III) é falsa. 18 Resolva as inequações exponenciais. (c) apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. a) (d) apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. (e) todas as afirmações são falsas. c) 16 A função f: R R, defina por f: (x) = é melhor re- presentada por: (a) y e) Problemas gerais 19 Se a: ,então (b) y (a) 5 5 (b) 3 (c) 3 20 UFPE Seja g: R-> R uma função tal que, para todo (c) y de g(5) é: (a) 10 (b) 32 (c) igual a g(13). (d) 2 (e) impossível de calcular apenas com esses dados. (d) y 21 UFMT Com relação à função f(x) = sendo a e núme- ros reais e 0 < a # 1, julgue, quanto a (V) ou (F), os itens. A curva representativa do gráfico de f está toda acima 1 do eixo X, pois f(x) > 0 para todo X. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1). A função é crescente se (e) y 22 Mackenzie Se vale: (a) 1 1 (b) 2 (c) 4 (d) (e) log49 82 Matemática</p><p>Capítulo 4 Função exponencial 23 é igual a: número de funções sobrejetoras é: y (a) 0 (c) 2 (e) 4 (b) 1 (d) 3 (a) (e) 1 30 Construa o gráfico da função (b) y 31 FGV Se e 24 Mackenzie Na função real definida por f(x) f(b) então f(g(x))-f(h(x)) é igual a: é sempre igual a: (a) 3-x (e) 1 (b) 3-2x (d) 0 (a) (c) (e) 32 Unicamp Oprocesso de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: = onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, 25 UFSC O valor de X que satisfaz a equação: TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e a e b são constantes. referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18 Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 °C após 90 minutos e chegou a -16 °C após 26 Puccamp Seja f a função de R em R definida por 270 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes a e b. de é: f(x+4)+f(x+5) b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do cor- 39 5 (e) po no congelador é apenas superior à temperatura 16 ambiente. 21 16 33 Unicamp A função L(x) = a ebx fornece o nível de ilu- minação, em luxes, de um objeto situado a metros de uma 27 Mackenzie A soma das raízes da equação lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo (a) -1 (d) 2 que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe (b) 0 (e) 3 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe (c) 1 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a dis- 28 Mackenzie Analisando os gráficos das funções de R em tância entre a lâmpada e esse objeto. R definidas por g(x) as afirma- ções a seguir. 34 Supondo uma taxa de inflação de 20% ao ano, os preços I. f(x) g(x), deverão dobrar em, aproximadamente: II. Não existe (a) 1 ano. (c) 3 anos. (e) III. f(x) e g(x) são inversíveis. (b) 2 anos. (d) 4 anos. Então: (a) somente a (I) é verdadeira. 35 ITA A lei de decomposição do radium, no tempo é (b) somente a (II) é verdadeira. dada por M(t) = C onde M(t) é a quantidade de radium (c) somente (I) e (II) são verdadeiras. no tempo Cek são constantes positivas ("e" é o número ne- (d) somente (I) e (III) são verdadeiras. periano, e = 2,71828...) Se a metade da quantidade primitiva (e) somente (II) e (III) são verdadeiras. M(0) desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? 29 Mackenzie Analise graficamente as funções (I), (II), (III) e (IV) a seguir. 36 UnB Considere um objeto a uma temperatura inicial I. R* em R colocado em um meio com temperatura constante T. A taxa de II. transferência de calor do objeto para o ambiente, ou vice-versa, Obs.: g (-1) é mínimo é proporcional à diferença entre as temperaturas do objeto e do III. h(x) = (1/3)x de R em ambiente. Assim, é possível concluir que a temperatura y(t) do IV. t(x) = 3, de R em {3} objeto, no instante t 0, é dada por = que b>0é a constante de proporcionalidade. Frente 1 83</p><p>Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 40 Em um período prolongado de seca, a variação da Se a temperatura inicial do objeto é superior à do am- quantidade de água de certo reservatório é dada pela função biente, então a função y(t) é decrescente. sendo a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água após t meses. Em quantos Se a temperatura inicial do objeto é diferente da do meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade ambiente, então, para algum instante a constante do que era no início? b dada por (a) 5 Se a temperatura inicial do objeto é diferen- (b) 7 te da do ambiente, então, para todo t > 0, tem-se (c) 8 (d) 9 Se um objeto com uma temperatura inicial de (e) 10 0 for colocado em um ambiente à temperatura de 30 então o gráfico a seguir representa a função y(t). 41 Considere a função dada por y a) Quando determine os valores de X para os quais 30 °C b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equa- real. 42 número de soluções distintas da equação (a) t (b) 2, somente se (c) 37 UFV Seja a função real f(x) = a > 1, o conjunto dos (d) 1, somente se valores de X para os quais (e) 1, somente se (a) (b) {x e 43 Represente no sistema cartesiano o gráfico da função (c) {x e R real definida por: (d) {x e R ou (e) 38 UEL A relação a seguir descreve o crescimento de uma população de microrganismos, sendo P o número de microrga- Problemas envolvendo equações e inequações nismos t os dias após o instante 0. O valor de P é superior a exponenciais 63000 se, e somente t satisfizer à condição: 44 ITA Resolva a equação (a) (b) t>16 45 ITA Sendo a € R, com a resolva a inequação (c) t<30 (d) t>60 (e) 46 ITA Considere a 39 ITA Uma vez que para todo vale a Determine todos os valores de m para os quais a equação ad- desigualdade temos como consequência que, para mite solução real. 0<x<leneNse (a) 47 Prove que (b) (c) 48 Resolva em (d) (e) 84 Matemática</p><p>Gabarito Exercícios propostos 19. C 23. A 27. E 25. C 26. 1. 20. D 24. B 28. C 27. B 2. E 1 28. 3. 21. 25. 29. D 2 29. D C C 4. 03 8. A 12. A 16. D 22. A 26. D 30. A 33. A C 5. C 9. E 13. A 17. B 31. A 34. 62 6. A 10. C 14. D 18. A 30. 40. mulher é levemente 7. B 11. E 15. C 19. C f(x) 20. a) 1 g(x) f(x) 4 3 43. 2 44. C 31. E 1 45. 32. b) gráfico da função obtida no item a está esquematizado no gráfico adiante: 1 2 b) 360 y 33. 2'4 b) c) 34. D 21. y 35. M(0) 1 36. 6 37. 38. D 39. E 40. E 0 X -12<m<0 y 42. 43. 1 y -1 5 6 2 0 46. 47. bb'=2(ca'+c'a) y 48. D -2 49. Todos possuem 1 ponto em comum no eixo do 1 -3 50. C 51. D 52. B 0 44. 0 53. periódica de período In3 -1 54. 45. 2 1 A b) para todo Se existe um número 46. 55. D real b tal que f(b) : 0, então f(-b) = Observa- 47. Vamos analisar três casos para provarmos o 56. A -se no gráfico que tais números reais não nulos absurdo: 57. a=b absurdo 58. B Logo: 59. y a 60. B b = 4 Função exponencial 22. C Exercícios complementares 1 Revisando 1. 7 2. 1. a) b) c) 4 8 3. a) 2 1 b) 2 y 7. D absurdo 8. A 6. C 9. y a 11. b 2 1 12. 2 13. B 1 1 14. K=2.048;a=4min 15. E 4. 16. A 5. 17. A a-b 18. a) 2 b) a-b c) absurdo d) e) 220 Matemática</p>